O minge și o sferă sunt, în primul rând, figuri geometrice, iar dacă o minge este un corp geometric, atunci o sferă este suprafața unei mingi. Aceste cifre au fost de interes cu multe mii de ani în urmă î.Hr.
Ulterior, când s-a descoperit că Pământul este o minge și cerul este o sferă cerească, s-a dezvoltat o nouă direcție fascinantă în geometrie - geometria pe o sferă sau geometria sferică. Pentru a vorbi despre dimensiunea și volumul unei mingi, trebuie mai întâi să o definiți.
Minge
O bilă de rază R cu un centru în punctul O din geometrie este un corp care este creat de toate punctele din spațiu care au o proprietate comună. Aceste puncte sunt situate la o distanță care nu depășește raza mingii, adică umplu întreg spațiul mai puțin decât raza mingii în toate direcțiile de la centrul acesteia. Dacă luăm în considerare doar acele puncte care sunt echidistante de centrul mingii, vom lua în considerare suprafața acesteia sau învelișul mingii.
Cum pot lua mingea? Putem tăia un cerc din hârtie și începem să-l rotim în jurul propriului diametru. Adică, diametrul cercului va fi axa de rotație. Figura formată va fi o minge. Prin urmare, mingea este numită și corp de revoluție. Pentru că poate fi format prin rotirea unei figuri plate - un cerc.
Să luăm un avion și să ne tăiem mingea cu el. La fel cum am tăiat o portocală cu un cuțit. Piesa pe care o tăiem din minge se numește segment sferic.
ÎN Grecia antică au știut să lucreze nu numai cu o minge și o sferă ca și cu figurile geometrice, de exemplu, să le folosească în construcție, dar au știut și să calculeze aria suprafeței unei mingi și volumul unei mingi.
O sferă este un alt nume pentru suprafața unei mingi. O sferă nu este un corp - este suprafața unui corp de revoluție. Cu toate acestea, deoarece atât Pământul, cât și multe corpuri au o formă sferică, de exemplu o picătură de apă, atunci studiul relații geometrice s-a răspândit în sferă.
De exemplu, dacă conectăm două puncte ale unei sfere între ele printr-o linie dreaptă, atunci această linie dreaptă se numește coardă, iar dacă această coardă trece prin centrul sferei, care coincide cu centrul mingii, atunci coarda se numește diametrul sferei.
Dacă trasăm o linie dreaptă care atinge sfera doar într-un punct, atunci această linie va fi numită tangentă. În plus, această tangentă la sferă în acest punct va fi perpendiculară pe raza sferei trase la punctul de contact.
Dacă extindem coarda la o linie dreaptă într-o direcție sau alta de la sferă, atunci această coardă va fi numită secantă. Sau o putem spune altfel - secanta la sferă conține acordul său.
Volumul mingii
Formula de calcul a volumului unei mingi este:
unde R este raza bilei.
Dacă trebuie să găsiți volumul unui segment sferic, utilizați formula:
V seg =πh 2 (R-h/3), h este înălțimea segmentului sferic.
Suprafața unei mingi sau sfere
Pentru a calcula aria unei sfere sau aria suprafeței unei mingi (sunt același lucru):
unde R este raza sferei.
Arhimede era foarte îndrăgostit de minge și sferă, chiar a cerut să lase pe mormânt un desen în care era înscrisă o minge într-un cilindru. Arhimede credea că volumul unei mingi și suprafața ei sunt egale cu două treimi din volumul și suprafața cilindrului în care este înscrisă bila.”
Definiție.
Sferă (suprafata mingii) este colecția tuturor punctelor din spațiul tridimensional care se află la aceeași distanță de un punct, numită centrul sferei(DESPRE).O sferă poate fi descrisă ca o figură tridimensională care se formează prin rotirea unui cerc în jurul diametrului său cu 180° sau a unui semicerc în jurul diametrului său cu 360°.
Definiție.
Minge este o colecție de toate punctele din spațiul tridimensional, distanța de la care nu depășește o anumită distanță până la un punct numit centrul mingii(O) (mulțimea tuturor punctelor spațiului tridimensional limitate de o sferă).O minge poate fi descrisă ca o figură tridimensională care se formează prin rotirea unui cerc în jurul diametrului său cu 180° sau a unui semicerc în jurul diametrului său cu 360°.
Definiție. Raza sferei (minge)(R) este distanța de la centrul sferei (minge) Oîn orice punct al sferei (suprafața mingii).
Definiție. Diametrul sferei (mingii).(D) este un segment care leagă două puncte ale unei sfere (suprafața unei mingi) și care trece prin centrul acesteia.
Formulă. Volumul sferei:
| V= | 4 | π R 3 = | 1 | π D 3 |
| 3 | 6 |
Formulă. Suprafața unei sfere prin rază sau diametru:
S = 4π R 2 = π D 2
Ecuația sferei
1. Ecuația unei sfere cu raza R și centru la originea sistemului de coordonate carteziene:
x 2 + y 2 + z 2 = R 2
2. Ecuația unei sfere cu raza R și centru într-un punct cu coordonatele (x 0, y 0, z 0) în sistemul de coordonate carteziene:
(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = R 2
Definiție. Puncte diametral opuse sunt oricare două puncte de pe suprafața unei bile (sfere) care sunt conectate printr-un diametru.
Proprietățile de bază ale unei sfere și ale unei mingi
1. Toate punctele sferei sunt la fel de îndepărtate de centru.
2. Orice secțiune a unei sfere de către un plan este un cerc.
3. Orice secțiune a unei mingi de către un plan este un cerc.
4. Sfera are volumul cel mai mare dintre toate figurile spațiale cu aceeași suprafață.
5. Prin oricare două puncte diametral opuse puteți desena multe cercuri mari pentru o sferă sau cercuri pentru o minge.
6. Prin oricare două puncte, cu excepția punctelor diametral opuse, puteți desena un singur cerc mare pentru o sferă sau un cerc mare pentru o minge.
7. Orice două cercuri mari ale unei bile se intersectează de-a lungul unei linii drepte care trece prin centrul bilei, iar cercurile se intersectează în două puncte diametral opuse.
8. Dacă distanța dintre centrele oricăror două bile este mai mică decât suma razelor lor și mai mare decât modulul diferenței razelor lor, atunci astfel de bile se intersectează, iar în planul de intersecție se formează un cerc.
Secanta, coardă, planul secant al unei sfere și proprietățile acestora
Definiție. Sferă secante este o linie dreaptă care intersectează sfera în două puncte. Punctele de intersecție sunt numite puncte de perforare suprafețe sau puncte de intrare și ieșire de pe suprafață.
Definiție. Coarda unei sfere (minge)- acesta este un segment care leagă două puncte de pe o sferă (suprafața unei mingi).
Definiție. Plan de tăiere este planul care intersectează sfera.
Definiție. Plan diametral- acesta este un plan secant care trece prin centrul unei sfere sau bile, secțiunea se formează în consecință cerc mareȘi cerc mare. Cercul mare și cercul cel mare au un centru care coincide cu centrul sferei (minge).
Orice coardă care trece prin centrul unei sfere (bile) este un diametru.
O coardă este un segment al unei linii secante.
Distanța d de la centrul sferei la secantă este întotdeauna mai mică decât raza sferei:
d< R
Distanța m dintre planul de tăiere și centrul sferei este întotdeauna mai mică decât raza R:
m< R
Locația secțiunii planului de tăiere pe sferă va fi întotdeauna cerc mic, iar pe minge secțiunea va fi cerc mic. Cercul mic și cercul mic au propriile lor centre care nu coincid cu centrul sferei (minge). Raza r a unui astfel de cerc poate fi găsită folosind formula:
r = √R 2 - m 2,
Unde R este raza sferei (bilei), m este distanța de la centrul bilei până la planul de tăiere.
Definiție. Emisferă (emisferă)- aceasta este o jumătate de sferă (minge), care se formează atunci când este tăiată de un plan diametral.
Tangenta, planul tangent la o sferă și proprietățile acestora
Definiție. Tangenta la o sfera este o linie dreaptă care atinge sfera doar într-un punct.
Definiție. Plan tangent la o sferă este un plan care atinge sfera doar într-un punct.
Linia tangentă (planul) este întotdeauna perpendiculară pe raza sferei trasate la punctul de contact
Distanța de la centrul sferei la linia tangentă (planul) este egală cu raza sferei.
Definiție. Segment de minge- aceasta este partea de minge care este tăiată de minge de un plan de tăiere. Baza segmentului numit cercul care s-a format la locul secțiunii. Înălțimea segmentului h este lungimea perpendicularei trase de la mijlocul bazei segmentului până la suprafața segmentului.
Formulă. Suprafața exterioară a unui segment de sferă cu înălțimea h prin raza sferei R:
S = 2πRh
Înainte de a începe să studiați conceptul de minge, care este volumul unei mingi și să luați în considerare formule pentru calcularea parametrilor acesteia, trebuie să vă amintiți conceptul de cerc, studiat mai devreme în cursul de geometrie. La urma urmei, majoritatea acțiunilor din spațiul tridimensional sunt similare sau decurg din geometria bidimensională, ajustată pentru aspectul coordonatei a treia și gradului trei.
Ce este un cerc?
Un cerc este o figură pe un plan cartezian (prezentat în figura 1); cel mai adesea definiția sună ca „locația geometrică a tuturor punctelor din plan, distanța de la care până la un anumit punct (centru) nu depășește un anumit număr nenegativ numit rază”.
După cum putem vedea din figură, punctul O este centrul figurii și setul de absolut toate punctele care umplu cercul, de exemplu, A, B, C, K, E, sunt situate nu mai departe de o rază dată. (nu depășiți cercul prezentat în Fig. .2).
Dacă raza este zero, atunci cercul se transformă într-un punct.
Probleme cu înțelegerea
Elevii confundă adesea aceste concepte. Este ușor de reținut cu o analogie. Cercul pe care copiii îl învârt în clasă cultura fizica, - cerc. Înțelegând acest lucru sau amintindu-și că primele litere ale ambelor cuvinte sunt „O”, copiii vor înțelege mnemonic diferența.
Introducerea conceptului de „minge”
O minge este un corp (Fig. 3) delimitat de o anumită suprafață sferică. Ce este o „suprafață sferică” va deveni clar din definiția ei: acesta este locul geometric al tuturor punctelor de pe suprafață, distanța de la un anumit punct (centru) nu depășește un anumit număr nenegativ numit rază. După cum puteți vedea, conceptele de cerc și suprafață sferică sunt similare, doar spațiile în care sunt situate diferă. Dacă înfățișăm o minge în spațiu bidimensional, obținem un cerc a cărui limită este un cerc (limita unei bile este o suprafață sferică). În figură vedem o suprafață sferică cu raze OA = OB.
Minge închisă și deschisă
În spațiile vectoriale și metrice sunt luate în considerare și două concepte legate de suprafața sferică. Dacă mingea include această sferă, atunci se numește închisă, dar dacă nu, atunci mingea este deschisă. Acestea sunt concepte mai „avansate”; ele sunt studiate în institute ca parte a introducerii lor în analiză. Pentru unul simplu, chiar uz casnic Vor fi suficiente acele formule care sunt studiate la cursul de stereometrie pentru clasele 10-11. Aceste concepte sunt accesibile aproape oricărei persoane cu studii medii care vor fi discutate în continuare.
Concepte pe care trebuie să le cunoașteți pentru următoarele calcule
Raza și diametrul.
Raza unei bile și diametrul acesteia sunt determinate în același mod ca și pentru un cerc.
Raza este un segment care leagă orice punct de la limita mingii și punctul care este centrul mingii.
Diametrul este un segment care leagă două puncte de la limita unei mingi și care trece prin centrul acesteia. Figura 5a demonstrează clar care segmente sunt razele bilei, iar Figura 5b prezintă diametrele sferei (segmente care trec prin punctul O).
Secțiuni într-o sferă (minge)
Orice secțiune a unei sfere este un cerc. Dacă trece prin centrul mingii, se numește cerc mare (cerc cu diametrul AB), secțiunile rămase se numesc cercuri mici (cerc cu diametrul DC).
Aria acestor cercuri se calculează folosind următoarele formule:
Aici S este desemnarea pentru zonă, R pentru rază, D pentru diametru. Există, de asemenea, o constantă egală cu 3,14. Dar nu vă confundați că pentru a calcula aria unui cerc mare, se utilizează raza sau diametrul bilei (sferei) în sine, iar pentru a determina aria, sunt necesare dimensiunile razei cercului mic.
Se poate trasa un număr infinit de astfel de secțiuni care trec prin două puncte de același diametru situate la limita mingii. De exemplu, planeta noastră: două puncte la Nord și Polii de Sud, care sunt capetele axei pământului, iar în sens geometric - capetele diametrului și meridianele care trec prin aceste două puncte (Figura 7). Adică, numărul de cercuri mari de pe o sferă tinde spre infinit.
Piese de minge
Dacă tăiați o „piesă” din sferă folosind un anumit plan (Figura 8), atunci aceasta va fi numită un segment sferic sau sferic. Va avea o înălțime - o perpendiculară de la centrul planului de tăiere la suprafața sferică O 1 K. Punctul K de pe suprafața sferică la care vine înălțimea se numește vârful segmentului sferic. Un cerc mic cu raza O 1 T (in în acest caz,, conform figurii, planul nu a trecut prin centrul sferei, dar dacă secțiunea trece prin centru, atunci cercul de secțiune va fi mare), format la tăierea segmentului sferic, se va numi bază din bucata noastră din minge – un segment sferic.
Dacă conectăm fiecare punct de bază al unui segment sferic de centrul sferei, obținem o figură numită „sector sferic”.
Dacă două plane trec printr-o sferă și sunt paralele unul cu celălalt, atunci acea parte a sferei care este închisă între ele se numește strat sferic (Figura 9, care arată o sferă cu două plane și un strat sferic separat).
Suprafața (partea evidențiată în Figura 9 din dreapta) a acestei părți a sferei se numește centură (din nou, pentru o mai bună înțelegere, se poate face o analogie cu globul, și anume cu zonele sale climatice - arctic, tropical, temperat etc.), iar cercurile în secțiune transversală vor fi bazele stratului sferic. Înălțimea stratului face parte din diametrul trasat perpendicular pe planurile de tăiere din centrele bazelor. Există și conceptul de sferă sferică. Se formează atunci când planurile care sunt paralele între ele nu intersectează sfera, ci o ating într-un punct fiecare.
Formule pentru calcularea volumului unei mingi și a suprafeței acesteia
Bila se formează prin rotirea în jurul diametrului fix al unui semicerc sau cerc. Pentru a calcula diferiți parametri ai unui obiect dat, nu sunt necesare multe date.
Volumul unei sfere, formula de calcul dată mai sus, este derivată prin integrare. Să ne dăm seama punct cu punct.
Considerăm un cerc într-un plan bidimensional, deoarece, așa cum am menționat mai sus, este cercul care stă la baza construcției mingii. Folosim doar a patra parte (Figura 10).
Luăm un cerc cu raza unitară și centru la origine. Ecuația unui astfel de cerc este următoarea: X 2 + Y 2 = R 2. Exprimăm Y de aici: Y 2 = R 2 - X 2.
Asigurați-vă că rețineți că funcția rezultată este nenegativă, continuă și descrescătoare pe segmentul X (0; R), deoarece valoarea lui X în cazul în care luăm în considerare un sfert de cerc este de la zero la valoarea lui. rază, adică spre unitate.
Următorul lucru pe care îl facem este să rotim sfert de cerc în jurul axei x. Ca rezultat, obținem o emisferă. Pentru a-i determina volumul, vom recurge la metode de integrare.
Deoarece acesta este volumul doar al unei emisfere, dublăm rezultatul, din care aflăm că volumul mingii este egal cu:
Mici nuanțe
Dacă trebuie să calculați volumul unei mingi prin diametrul acesteia, amintiți-vă că raza este jumătate din diametru și înlocuiți această valoare în formula de mai sus.
Puteți ajunge, de asemenea, la formula pentru volumul unei mingi prin zona suprafeței sale limită - sfera. Să reamintim că aria unei sfere se calculează prin formula S = 4πr 2, integrând care ajungem și la formula de mai sus pentru volumul unei sfere. Din aceleași formule puteți exprima raza dacă enunțul problemei conține o valoare de volum.
Multe corpuri pe care le întâlnim în viață sau despre care am auzit au o formă sferică, cum ar fi o minge de fotbal, o picătură de apă care cade în timpul ploii sau planeta noastră. În acest sens, este relevant să luăm în considerare întrebarea cum să găsiți volumul unei sfere.
Figura bilei în geometrie
Înainte de a răspunde la întrebarea despre minge, să aruncăm o privire mai atentă asupra acestui corp. Unii oameni o confundă cu o sferă. În exterior, ele sunt într-adevăr similare, dar o minge este un obiect umplut în interior, în timp ce o sferă este doar învelișul exterior al unei mingi de grosime infinitezimală.
Din punct de vedere al geometriei, o minge poate fi reprezentată printr-o colecție de puncte, iar cele dintre ele care se află pe suprafața ei (formează o sferă) se află la aceeași distanță de centrul figurii. Această distanță se numește rază. De fapt, raza este singurul parametru care poate fi folosit pentru a descrie orice proprietăți ale unei mingi, cum ar fi suprafața sau volumul acesteia.
Imaginea de mai jos arată un exemplu de minge.
Dacă te uiți cu atenție la acest obiect rotund perfect, poți ghici cum să-l obții dintr-un cerc obișnuit. Pentru a face acest lucru, este suficient să rotiți această figură plată în jurul unei axe care coincide cu diametrul său.
Una dintre celebrele surse literare antice, care discută proprietățile acestei figuri tridimensionale în detaliu suficient, este opera filozofului grec Euclid - „Elemente”.
Suprafața și volumul
Când luați în considerare întrebarea cum să găsiți volumul unei mingi, în plus față de această valoare, ar trebui dată o formulă pentru aria sa, deoarece ambele expresii pot fi legate între ele, așa cum va fi arătat mai jos.
Deci, pentru a calcula volumul unei mingi, ar trebui să aplicați una dintre următoarele două formule:
- V = 4/3 *pi * R3;
- V = 67/16 * R3.
Aici R este raza figurii. Prima formulă dată este exactă, dar pentru a profita de acest lucru, trebuie să utilizați numărul adecvat de zecimale pentru pi. A doua expresie dă complet bun rezultat, diferind de primul cu doar 0,03%. Pentru o serie de sarcini practice, această precizie este mai mult decât suficientă.
Egal cu această valoare pentru o sferă, adică exprimată prin formula S = 4 * pi * R2. Dacă exprimăm raza de aici și apoi o înlocuim în prima formulă pentru volum, atunci obținem: R = √ (S / (4 * pi)) = > V = S / 3 * √ (S / (4 * pi) )).
Astfel, am examinat întrebările despre cum să găsim volumul unei mingi prin rază și prin suprafața acesteia. Aceste expresii pot fi aplicate cu succes în practică. Mai târziu în articol vom da un exemplu de utilizare a acestora.
Problemă cu picăturile de ploaie
Apa, când este în imponderabilitate, ia forma unei picături sferice. Acest lucru se datorează prezenței forțelor de tensiune superficială, care tind să minimizeze suprafața. Mingea, la rândul ei, are cea mai mică valoare dintre toate figurile geometrice cu aceeași masă.
În timpul ploii, o picătură de apă care căde este în imponderabilitate, deci forma ei este o sferă (aici neglijăm forța de rezistență a aerului). Este necesar să se determine volumul, suprafața și raza acestei picături dacă se știe că masa sa este de 0,05 grame.
Volumul este ușor de determinat; pentru a face acest lucru, împărțiți masa cunoscută la densitatea H 2 O (ρ = 1 g/cm 3). Atunci V = 0,05 / 1 = 0,05 cm 3.
Știind cum să găsim volumul unei bile, ar trebui să exprimăm raza din formulă și să înlocuim valoarea rezultată, avem: R = ∛ (3 * V / (4 * pi)) = ∛ (3 * 0,05 / (4) * 3,1416)) = 0,2285 cm.
Acum înlocuim valoarea razei în expresia pentru suprafața figurii, obținem: S = 4 * 3,1416 * 0,22852 = 0,6561 cm 2.
Astfel, știind să aflăm volumul unei mingi, am primit răspunsuri la toate întrebările problemei: R = 2,285 mm, S = 0,6561 cm 2 și V = 0,05 cm 3.
Instrucțiuni
Notă
^ - semn care indică exponențiația;
^1/2 este în esență să ia rădăcina pătrată;
^1/3 - extragerea rădăcinii cubice.
Surse:
- diametrul este
Un cerc este o figură geometrică pe un plan care constă din toate punctele acestui plan care se află la aceeași distanță de un punct dat. Punctul dat se numește centru cerc, și distanța la care punctele cerc sunt din centrul său - raza cerc. Aria planului delimitată de un cerc se numește cerc. Există mai multe metode de calcul diametru cerc, alegerea unuia anume depinde de datele inițiale disponibile.
Instrucțiuni
Video pe tema
La construirea diferitelor forme geometrice, uneori este necesar să se determine caracteristicile acestora: lungime, lățime, înălțime și așa mai departe. Dacă despre care vorbim despre un cerc sau cerc, adesea trebuie să determinați diametrul acestuia. Un diametru este un segment de linie dreaptă care leagă cele două puncte cele mai îndepărtate unul de celălalt situate pe un cerc.
Vei avea nevoie
- - etalon;
- - busolă;
- - calculator.
Instrucțiuni
În cel mai simplu caz, determinați diametrul folosind formula D = 2R, unde R este raza cercului cu centrul în punctul O. Acest lucru este convenabil dacă desenați un cerc cu un . De exemplu, dacă, atunci când construiți o figură, setați deschiderea picioarelor busolei la 50 mm, atunci diametrul cercului rezultat va fi egal cu dublul razei, adică 100 mm.
Dacă cunoașteți circumferința care formează limita exterioară a cercului, atunci utilizați formula pentru a determina diametrul:
D = L/p, unde
L – circumferinta;
p este numărul „pi”, egal cu aproximativ 3,14.
De exemplu, dacă lungimea este de 180 mm, atunci diametrul va fi de aproximativ: D = 180 / 3,14 = 57,3 mm.
Dacă aveți un cerc desenat în prealabil cu raza, diametrul și circumferința, atunci utilizați o riglă de măsurare pentru a estima diametrul. Dificultatea este de a găsi
