Cred că meriți mai mult decât atât. Iată cheia mea pentru trigonometrie:
- Desenați cupola, peretele și tavanul
- Funcțiile trigonometrice nu sunt altceva decât procente din aceste trei forme.
Metaforă pentru sinus și cosinus: dom
În loc să te uiți doar la triunghiurile în sine, imaginează-le în acțiune găsind un exemplu specific din viața reală.
Imaginați-vă că vă aflați în mijlocul unui dom și doriți să atârnați un ecran de proiector de film. Îndreptați cu degetul spre dom la un anumit unghi „x”, iar ecranul ar trebui să fie suspendat din acest punct.
Unghiul spre care indicați determină:
- sine(x) = sin(x) = înălțimea ecranului (de la podea până la punctul de montare al domului)
- cosinus(x) = cos(x) = distanța de la tine până la ecran (pe etaj)
- ipotenuză, distanța de la tine până la partea de sus a ecranului, întotdeauna aceeași, egală cu raza cupolei
Vrei ca ecranul să fie cât mai mare? Atârnă-l direct deasupra ta.
Vrei ca ecranul să atârne cât mai departe de tine? Agățați-l drept perpendicular. Ecranul va avea înălțime zero în această poziție și va atârna cel mai departe, așa cum ați cerut.
Înălțimea și distanța față de ecran sunt invers proporționale: cu cât ecranul atârnă mai aproape, cu atât este mai mare înălțimea acestuia.
Sinusul și cosinusul sunt procente
Nimeni în anii mei de studiu, vai, nu mi-a explicat că funcțiile trigonometrice sinus și cosinus nu sunt altceva decât procente. Valorile lor variază de la +100% la 0 la -100%, sau de la un maxim pozitiv la zero la un maxim negativ.
Să presupunem că am plătit un impozit de 14 ruble. Nu știi cât este. Dar dacă spuneți că am plătit 95% impozit, veți înțelege că pur și simplu am fost lână.
Înălțimea absolută nu înseamnă nimic. Dar dacă valoarea sinusului este 0,95, atunci înțeleg că televizorul atârnă aproape de partea superioară a domului tău. Foarte curând va ajunge inaltime maximaîn centrul domului și apoi începe să scadă din nou.
Cum putem calcula acest procent? Este foarte simplu: împărțiți înălțimea curentă a ecranului la maximul posibil (raza cupolei, numită și ipotenuză).
De aceea ni se spune că „cosinus = latura opusă / ipotenuză”. Totul este să obții interes! Cel mai bine este să definiți sinusul ca „procentul înălțimii curente față de maximul posibil”. (Sinusul devine negativ dacă unghiul dvs. este îndreptat „sub pământ”. Cosinusul devine negativ dacă unghiul este îndreptat către punctul domului din spatele vostru.)
Să simplificăm calculele presupunând că suntem în centrul cercului unitar (raza = 1). Putem sări peste diviziune și doar să luăm sinusul egal cu înălțimea.
Fiecare cerc este în esență o unitate, mărită sau redusă la scară dimensiunea potrivită. Deci, determinați conexiunile cercului unității și aplicați rezultatele la dimensiunea specifică a cercului dvs.
Experiment: luați orice colț și vedeți ce procent din înălțime față de lățime afișează:
Graficul creșterii valorii sinusului nu este doar o linie dreaptă. Primele 45 de grade acoperă 70% din înălțime, dar ultimele 10 grade (de la 80° la 90°) acoperă doar 2%.
Acest lucru îți va fi mai clar: dacă mergi în cerc, la 0° te ridici aproape vertical, dar pe măsură ce te apropii de vârful cupolei, înălțimea se schimbă din ce în ce mai puțin.
Tangenta si secante. Perete
Într-o zi, un vecin a construit un zid chiar unul lângă altul la cupola ta. Ți-a strigat vederea de la fereastră și preț bun pentru revanzare!
Dar este posibil să câștigi cumva în această situație?
Desigur ca da. Dacă am agăța un ecran de film chiar pe peretele vecinului nostru? Tintiti unghiul (x) si obtineti:
- tan(x) = tan(x) = înălțimea ecranului pe perete
- distanța de la tine până la perete: 1 (aceasta este raza cupolei tale, peretele nu se mișcă nicăieri de la tine, nu?)
- secant(x) = sec(x) = „lungimea scării” de la tine în picioare în centrul domului până în partea de sus a ecranului suspendat
Să clarificăm câteva puncte privind tangenta sau înălțimea ecranului.
- începe de la 0 și poate ajunge la infinit de sus. Puteți întinde ecranul din ce în ce mai sus pe perete pentru a crea o pânză nesfârșită pentru vizionarea filmului preferat! (Pentru unul atât de uriaș, desigur, va trebui să cheltuiți mulți bani).
- tangenta este doar o versiune mai mare a sinusului! Și în timp ce creșterea sinusului încetinește pe măsură ce vă deplasați spre partea de sus a cupolei, tangenta continuă să crească!
Sekansu are și cu ce să se laude:
- Secanta începe la 1 (scara este pe podea, de la tine până la perete) și începe să se ridice de acolo
- Secanta este întotdeauna mai lungă decât tangenta. Scara înclinată pe care o folosiți pentru a agăța ecranul ar trebui să fie mai lungă decât ecranul în sine, nu? (Cu dimensiuni nerealiste, când ecranul este atât de lung și scara trebuie plasată aproape vertical, dimensiunile lor sunt aproape aceleași. Dar chiar și atunci secanta va fi puțin mai lungă).
Amintiți-vă, valorile sunt la sută. Dacă decideți să atârnați ecranul la un unghi de 50 de grade, tan(50)=1,19. Ecranul dvs. este cu 19% mai mare decât distanța până la perete (raza domului).
(Introduceți x=0 și verificați-vă intuiția - tan(0) = 0 și sec(0) = 1.)
Cotangente și cosecante. Tavan
Incredibil, vecinul tău a decis acum să construiască un acoperiș peste domul tău. (Ce e în neregulă cu el? Se pare că nu vrea să-l spioni în timp ce se plimbă gol prin curte...)
Ei bine, este timpul să construiești o ieșire pe acoperiș și să vorbești cu vecinul tău. Alegeți unghiul de înclinare și începeți construcția:
- distanța verticală dintre ieșirea din acoperiș și podea este întotdeauna 1 (raza cupolei)
- cotangent(x) = cot(x) = distanța dintre vârful domului și punctul de ieșire
- cosecant(x) = csc(x) = lungimea drumului către acoperiș
Tangenta și secanta descriu peretele, iar COtangente și COsecante descriu tavanul.
Concluziile noastre intuitive de această dată sunt similare cu cele anterioare:
- Dacă iei unghiul egal cu 0°, ieșirea ta pe acoperiș va dura pentru totdeauna, deoarece nu va ajunge niciodată la tavan. Problemă.
- Cea mai scurtă „scara” până la acoperiș va fi obținută dacă o construiți la un unghi de 90 de grade față de podea. Cotangenta va fi egală cu 0 (nu ne mișcăm deloc de-a lungul acoperișului, ieșim strict perpendicular), iar cosecantul va fi egal cu 1 („lungimea scării” va fi minimă).
Vizualizați conexiunile
Dacă toate cele trei cazuri sunt desenate într-o combinație dom-perete-tavan, rezultatul va fi următorul:
Ei bine, este încă același triunghi, mărit în dimensiune pentru a ajunge la perete și tavan. Avem laturi verticale (sinus, tangentă), laturi orizontale (cosinus, cotangent) și „ipotenuze” (secante, cosecantă). (Cu ajutorul săgeților puteți vedea unde ajunge fiecare element. Cosecantul este distanța totală de la dvs. până la acoperiș).
Puțină magie. Toate triunghiurile au aceleași egalități:
Din teorema lui Pitagora (a 2 + b 2 = c 2) vedem cum sunt conectate laturile fiecărui triunghi. În plus, raporturile „înălțime/lățime” ar trebui să fie, de asemenea, aceleași pentru toate triunghiurile. (Pur și simplu treceți de la cel mai mare triunghi la cel mai mic. Da, dimensiunea s-a schimbat, dar proporțiile laturilor vor rămâne aceleași).
Știind care latură din fiecare triunghi este egală cu 1 (raza cupolei), putem calcula cu ușurință că „sin/cos = tan/1”.
Am încercat întotdeauna să-mi amintesc aceste fapte printr-o simplă vizualizare. În imagine vedeți clar aceste dependențe și înțelegeți de unde provin. Această tehnică este mult mai bună decât memorarea formulelor uscate.
Nu uitați de alte unghiuri
Psst... Nu vă blocați pe un singur grafic, gândindu-vă că tangenta este întotdeauna mai mică de 1. Dacă creșteți unghiul, puteți ajunge la tavan fără a ajunge la perete:
Conexiunile pitagoreice funcționează întotdeauna, dar dimensiunile relative pot varia.
(Este posibil să fi observat că rapoartele sinus și cosinus sunt întotdeauna cele mai mici, deoarece sunt conținute în dom).
Pentru a rezuma: ce trebuie să ne amintim?
Pentru majoritatea dintre noi, aș spune că va fi suficient:
- trigonometria explică anatomia obiectelor matematice, cum ar fi cercurile și intervalele repetate
- Analogia cupolă/perete/acoperiș arată relația dintre diferitele funcții trigonometrice
- Funcțiile trigonometrice rezultă în procente, pe care le aplicăm scriptului nostru.
Nu trebuie să memorați formule precum 1 2 + cot 2 = csc 2 . Sunt potrivite doar pentru teste stupide în care cunoașterea unui fapt este pretinsă drept înțelegere. Luați un minut pentru a desena un semicerc sub formă de cupolă, un perete și un acoperiș, etichetați elementele și toate formulele vă vor veni pe hârtie.
Aplicație: Funcții inverse
Orice funcție trigonometrică ia un unghi ca parametru de intrare și returnează rezultatul ca procent. sin(30) = 0,5. Aceasta înseamnă că un unghi de 30 de grade ocupă 50% din înălțimea maximă.
Funcția trigonometrică inversă este scrisă ca sin -1 sau arcsin. Asin este, de asemenea, adesea scris în diferite limbaje de programare.
Dacă înălțimea noastră este de 25% din înălțimea domului, care este unghiul nostru?
În tabelul nostru de proporții puteți găsi un raport în care secanta este împărțită la 1. De exemplu, secanta cu 1 (ipotenuza față de orizontală) va fi egală cu 1 împărțit la cosinus:
Să presupunem că secanta noastră este 3,5, adică. 350% din raza unui cerc unitar. Cu ce unghi de înclinare față de perete corespunde această valoare?
Anexă: Câteva exemple
Exemplu: Aflați sinusul unghiului x.
O sarcină plictisitoare. Să complicăm banalul „găsește sinusul” la „Care este înălțimea ca procent din maxim (ipotenuză)?”
În primul rând, observați că triunghiul este rotit. Nu e nimic în neregulă cu asta. Triunghiul are și înălțime, este indicat cu verde în figură.
Cu ce este egala ipotenuza? Conform teoremei lui Pitagora, știm că:
3 2 + 4 2 = ipotenuză 2 25 = ipotenuză 2 5 = ipotenuză
Amenda! Sinusul este procentul din înălțimea celei mai lungi laturi a triunghiului sau ipotenuza. În exemplul nostru, sinusul este 3/5 sau 0,60.
Desigur, putem merge pe mai multe căi. Acum știm că sinusul este 0,60, putem găsi pur și simplu arcsinusul:
Asin(0,6)=36,9
Iată o altă abordare. Rețineți că triunghiul este „cu fața la perete”, așa că putem folosi tangenta în loc de sinus. Înălțimea este 3, distanța până la perete este 4, deci tangenta este ¾ sau 75%. Putem folosi arctangenta pentru a trece de la o valoare procentuală înapoi la un unghi:
Tan = 3/4 = 0,75 atan(0,75) = 36,9 Exemplu: Vei înota până la țărm?
Ești într-o barcă și ai suficient combustibil pentru a parcurge 2 km. Acum sunteți la 0,25 km de coastă. În ce unghi maxim față de țărm poți înota până la el, astfel încât să ai suficient combustibil? Adăugare la afirmația problemei: avem doar un tabel cu valorile arc-cosinus.
Ce avem? litoral poate fi reprezentat ca un „perete” în faimosul nostru triunghi, iar „lungimea unei scări” atașată de perete este distanța maximă posibilă de parcurs cu barca până la țărm (2 km). Apare o secanta.
În primul rând, trebuie să mergeți la procente. Avem 2 / 0,25 = 8, adică putem înota o distanță care este de 8 ori distanța dreaptă până la țărm (sau la perete).
Apare întrebarea: „Care este secanta lui 8?” Dar nu putem răspunde, deoarece avem doar arc cosinus.
Folosim dependențele noastre derivate anterior pentru a lega secanta la cosinus: „sec/1 = 1/cos”
Secanta lui 8 este egală cu cosinusul lui ⅛. Un unghi al cărui cosinus este ⅛ este egal cu acos(1/8) = 82,8. Și acesta este cel mai mare unghi pe care ni-l putem permite pe o barcă cu cantitatea specificată de combustibil.
Nu-i rău, nu? Fără analogia dom-perete-tavan, m-aș fi pierdut într-o grămadă de formule și calcule. Vizualizarea problemei simplifică foarte mult căutarea unei soluții și este, de asemenea, interesant de văzut care funcție trigonometrică va ajuta în cele din urmă.
Pentru fiecare problemă, gândiți-vă astfel: Mă interesează cupola (sin/cos), peretele (tan/sec) sau tavanul (cot/csc)?
Și trigonometria va deveni mult mai plăcută. Calcule usoare pentru tine!
Notite importante!
1. Dacă vedeți gobbledygook în loc de formule, ștergeți memoria cache. Cum se face acest lucru în browser este scris aici:
2. Înainte de a începe să citiți articolul, acordați atenție navigatorului nostru pentru cele mai utile resurse pt
Sinus, cosinus, tangent, cotangent
Conceptele de sinus (), cosinus (), tangentă (), cotangentă () sunt indisolubil legate de conceptul de unghi. Pentru a înțelege bine aceste concepte, la prima vedere, complexe (care provoacă o stare de groază la mulți școlari) și pentru a ne asigura că „diavolul nu este atât de groaznic pe cât este pictat”, să începem de la de la început și înțelegeți conceptul de unghi.
Conceptul de unghi: radian, grad
Să ne uităm la poză. Vectorul s-a „întors” față de punct cu o anumită cantitate. Deci măsura acestei rotații în raport cu poziția inițială va fi colţ.
Ce altceva trebuie să știți despre conceptul de unghi? Ei bine, desigur, unități unghiulare!
Unghiul, atât în geometrie, cât și în trigonometrie, poate fi măsurat în grade și radiani.
Unghiul (un grad) este unghiul central dintr-un cerc subtins de un arc de cerc egal cu o parte a cercului. Astfel, întregul cerc este format din „bucăți” de arce circulare, sau unghiul descris de cerc este egal.
Adică, figura de mai sus arată un unghi egal cu, adică acest unghi se sprijină pe un arc circular de mărimea circumferinței.
Un unghi în radiani este unghiul central dintr-un cerc subtins de un arc de cerc a cărui lungime este egală cu raza cercului. Ei bine, te-ai dat seama? Dacă nu, atunci hai să ne dăm seama din desen.
Deci, figura prezintă un unghi egal cu un radian, adică acest unghi se sprijină pe un arc de cerc, a cărui lungime este egală cu raza cercului (lungimea este egală cu lungimea sau raza este egală cu lungimea arcului). Astfel, lungimea arcului se calculează cu formula:
Unde este unghiul central în radiani.
Ei bine, știind asta, poți să răspunzi câți radiani sunt conținute în unghiul descris de cerc? Da, pentru aceasta trebuie să vă amintiți formula pentru circumferință. Iat-o:
Ei bine, acum să corelăm aceste două formule și să aflăm că unghiul descris de cerc este egal. Adică, prin corelarea valorii în grade și radiani, obținem asta. Respectiv, . După cum puteți vedea, spre deosebire de „grade”, cuvântul „radian” este omis, deoarece unitatea de măsură este de obicei clară din context.
Câți radiani sunt? Asta e corect!
Am înţeles? Apoi mergeți mai departe și remediați:
Aveți dificultăți? Atunci uite răspunsuri:
Triunghi dreptunghic: sinus, cosinus, tangenta, cotangenta unghiului
Deci, ne-am dat seama conceptul de unghi. Dar ce este sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi? Să ne dăm seama. Pentru a face acest lucru, ne va ajuta un triunghi dreptunghic.
Cum se numesc laturile unui triunghi dreptunghic? Așa este, ipotenuză și catete: ipotenuza este latura care se află opusă unghiului drept (în exemplul nostru aceasta este latura); picioarele sunt cele două laturi rămase și (cele adiacente unghi drept), și, dacă luăm în considerare picioarele relativ la unghi, atunci piciorul este piciorul adiacent, iar piciorul este opusul. Deci, acum să răspundem la întrebarea: ce sunt sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi?
Sinusul unghiului- acesta este raportul dintre catetul opus (distant) față de ipotenuză.
În triunghiul nostru.
Cosinusul unghiului- acesta este raportul dintre catetul adiacent (aproape) și ipotenuză.
În triunghiul nostru.
Tangenta unghiului- acesta este raportul dintre latura opusă (depărtată) și cea adiacentă (închisă).
În triunghiul nostru.
Cotangenta unghiului- acesta este raportul dintre piciorul adiacent (aproape) și cel opus (departe).
În triunghiul nostru.
Aceste definiții sunt necesare tine minte! Pentru a vă aminti mai ușor ce picior să împărțiți în ce, trebuie să înțelegeți clar acest lucru tangentăȘi cotangentă doar picioarele stau, iar ipotenuza apare doar in sinusuluiȘi cosinus. Și apoi poți veni cu un lanț de asociații. De exemplu, acesta:
Cosinus→ating→ating→adiacent;
Cotangent → atinge → atinge → adiacent.
În primul rând, trebuie să vă amintiți că sinus, cosinus, tangentă și cotangentă, deoarece rapoartele laturilor unui triunghi nu depind de lungimile acestor laturi (la același unghi). Nu crede? Apoi asigurați-vă că vă uitați la imagine:
Luați în considerare, de exemplu, cosinusul unui unghi. Prin definiție, dintr-un triunghi: , dar putem calcula cosinusul unui unghi dintr-un triunghi: . Vedeți, lungimile laturilor sunt diferite, dar valoarea cosinusului unui unghi este aceeași. Astfel, valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei depind numai de mărimea unghiului.
Dacă înțelegi definițiile, atunci continuă și consolidează-le!
Pentru triunghiul prezentat în figura de mai jos, găsim.
Ei bine, ai primit-o? Apoi încercați singur: calculați același lucru pentru unghi.
Cercul unitar (trigonometric).
Înțelegând conceptele de grad și radian, am considerat un cerc cu o rază egală cu. Un astfel de cerc se numește singur. Va fi foarte util atunci când studiezi trigonometria. Prin urmare, să ne uităm la asta mai detaliat.
După cum puteți vedea, acest cerc este construit în sistemul de coordonate carteziene. Raza cercului este egală cu unu, în timp ce centrul cercului se află la originea coordonatelor, poziția inițială a vectorului rază este fixată de-a lungul direcției pozitive a axei (în exemplul nostru, aceasta este raza).
Fiecare punct de pe cerc îi corespunde două numere: coordonatele axei și coordonatele axei. Care sunt aceste numere de coordonate? Și, în general, ce legătură au ei cu subiectul la îndemână? Pentru a face acest lucru, trebuie să ne amintim despre triunghiul dreptunghic considerat. În figura de mai sus, puteți vedea două triunghiuri dreptunghiulare întregi. Luați în considerare un triunghi. Este dreptunghiulară deoarece este perpendiculară pe axă.
Cu ce este egal triunghiul? Asta e corect. În plus, știm că este raza cercului unitar, ceea ce înseamnă . Să înlocuim această valoare în formula noastră pentru cosinus. Iată ce se întâmplă:
Cu ce este egal triunghiul? Ei bine, desigur,! Înlocuiți valoarea razei în această formulă și obțineți:
Deci, poți spune ce coordonate are un punct aparținând unui cerc? Ei bine, în niciun caz? Ce se întâmplă dacă îți dai seama de asta și sunt doar numere? Cărei coordonate corespunde? Ei bine, desigur, coordonatele! Si la ce coordonata corespunde? Așa e, coordonate! Astfel, punct.
Atunci ce sunt și egal cu? Așa este, să folosim definițiile corespunzătoare ale tangentei și cotangentei și să obținem asta, a.
Ce se întâmplă dacă unghiul este mai mare? De exemplu, ca în această imagine:
Ce s-a schimbat în acest exemplu? Să ne dăm seama. Pentru a face acest lucru, să ne întoarcem din nou la un triunghi dreptunghic. Luați în considerare un triunghi dreptunghic: unghi (ca adiacent unui unghi). Care sunt valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei pentru un unghi? Așa este, aderăm la definițiile corespunzătoare ale funcțiilor trigonometrice:
Ei bine, după cum puteți vedea, valoarea sinusului unghiului corespunde în continuare coordonatei; valoarea cosinusului unghiului - coordonata; și valorile tangentei și cotangentei la rapoartele corespunzătoare. Astfel, aceste relații se aplică oricărei rotații a vectorului rază.
S-a menționat deja că poziția inițială a vectorului rază este de-a lungul direcției pozitive a axei. Până acum am rotit acest vector în sens invers acelor de ceasornic, dar ce se întâmplă dacă îl rotim în sensul acelor de ceasornic? Nimic extraordinar, vei obține și un unghi de o anumită valoare, dar doar acesta va fi negativ. Astfel, la rotirea vectorului rază în sens invers acelor de ceasornic, obținem unghiuri pozitive, iar când se rotește în sensul acelor de ceasornic - negativ.
Deci, știm că o întreagă revoluție a vectorului rază în jurul unui cerc este sau. Este posibil să rotiți vectorul rază către sau către? Ei bine, bineînțeles că poți! Prin urmare, în primul caz, vectorul rază va face o revoluție completă și se va opri în poziția sau.
În al doilea caz, adică vectorul rază va face trei rotații complete și se va opri în poziția sau.
Astfel, din exemplele de mai sus putem concluziona că unghiurile care diferă prin sau (unde este orice număr întreg) corespund aceleiași poziții a vectorului rază.
Figura de mai jos arată un unghi. Aceeași imagine corespunde colțului etc. Această listă poate fi continuată pe termen nelimitat. Toate aceste unghiuri pot fi scrise prin formula generală sau (unde este orice număr întreg)
Acum, cunoscând definițiile funcțiilor trigonometrice de bază și folosind cercul unitar, încercați să răspundeți care sunt valorile:
Iată un cerc de unitate care vă va ajuta:
Aveți dificultăți? Atunci hai să ne dăm seama. Deci știm că:
De aici, determinăm coordonatele punctelor corespunzătoare anumitor măsuri de unghi. Ei bine, să începem în ordine: unghiul la corespunde unui punct cu coordonate, deci:
Nu exista;
Mai departe, aderând la aceeași logică, aflăm că colțurile din corespund punctelor cu coordonate, respectiv. Știind acest lucru, este ușor să determinați valorile funcțiilor trigonometrice în punctele corespunzătoare. Încercați mai întâi singur, apoi verificați răspunsurile.
Raspunsuri:
Astfel, putem realiza următorul tabel:
Nu este nevoie să ne amintim toate aceste valori. Este suficient să ne amintim corespondența dintre coordonatele punctelor de pe cercul unității și valorile funcțiilor trigonometrice:
Dar valorile funcțiilor trigonometrice ale unghiurilor în și, date în tabelul de mai jos, trebuie amintit:
Nu vă speriați, acum vă vom arăta un exemplu destul de simplu de reținut valorile corespunzătoare:
Pentru a utiliza această metodă, este vital să vă amintiți valorile sinusului pentru toate cele trei măsuri de unghi (), precum și valoarea tangentei unghiului. Cunoscând aceste valori, este destul de simplu să restabiliți întregul tabel - valorile cosinusului sunt transferate în conformitate cu săgețile, adică:
Știind acest lucru, puteți restabili valorile pentru. Numătorul „ ” se va potrivi și numitorul „ ” se va potrivi. Valorile cotangentelor sunt transferate în conformitate cu săgețile indicate în figură. Dacă înțelegeți acest lucru și vă amintiți diagrama cu săgeți, atunci va fi suficient să vă amintiți toate valorile din tabel.
Coordonatele unui punct pe un cerc
Este posibil să găsiți un punct (coordonatele sale) pe un cerc, cunoscând coordonatele centrului cercului, raza acestuia și unghiul de rotație?
Ei bine, bineînțeles că poți! Hai să-l scoatem afară formula generala pentru aflarea coordonatelor unui punct.
De exemplu, iată un cerc în fața noastră:
Ni se spune că punctul este centrul cercului. Raza cercului este egală. Este necesar să găsiți coordonatele unui punct obținute prin rotirea punctului cu grade.
După cum se poate observa din figură, coordonatele punctului corespund lungimii segmentului. Lungimea segmentului corespunde coordonatei centrului cercului, adică este egală. Lungimea unui segment poate fi exprimată folosind definiția cosinusului:
Apoi avem asta pentru coordonata punctului.
Folosind aceeași logică, găsim valoarea coordonatei y pentru punct. Prin urmare,
Deci, în vedere generala coordonatele punctelor sunt determinate de formulele:
Coordonatele centrului cercului,
Raza cercului,
Unghiul de rotație al razei vectoriale.
După cum puteți vedea, pentru cercul unitar pe care îl luăm în considerare, aceste formule sunt reduse semnificativ, deoarece coordonatele centrului sunt egale cu zero și raza este egală cu unu:
Ei bine, haideți să încercăm aceste formule exersând găsirea punctelor pe un cerc?
1. Aflați coordonatele unui punct pe cercul unitar obținute prin rotirea punctului pe.
2. Aflați coordonatele unui punct pe cercul unitar obținute prin rotirea punctului pe.
3. Aflați coordonatele unui punct pe cercul unitar obținute prin rotirea punctului pe.
4. Punctul este centrul cercului. Raza cercului este egală. Este necesar să se găsească coordonatele punctului obținute prin rotirea vectorului rază inițială cu.
5. Punctul este centrul cercului. Raza cercului este egală. Este necesar să se găsească coordonatele punctului obținute prin rotirea vectorului rază inițială cu.
Întâmpinați probleme în a găsi coordonatele unui punct dintr-un cerc?
Rezolva aceste cinci exemple (sau te pricepi la rezolvarea lor) si vei invata sa le gasesti!
REZUMAT ȘI FORMULE DE BAZĂ
Sinusul unui unghi este raportul dintre catetul opus (depărtat) și ipotenuză.
Cosinusul unui unghi este raportul dintre catetul adiacent (aproape) și ipotenuză.
Tangenta unui unghi este raportul dintre latura opusă (depărtată) și latura adiacentă (închisă).
Cotangenta unui unghi este raportul dintre latura adiacentă (închisă) și latura opusă (depărtată).
Ei bine, subiectul s-a terminat. Dacă citești aceste rânduri, înseamnă că ești foarte cool.
Pentru că doar 5% dintre oameni sunt capabili să stăpânească ceva pe cont propriu. Și dacă citești până la capăt, atunci ești în acest 5%!
Acum cel mai important lucru.
Ați înțeles teoria pe această temă. Și, repet, asta... asta este pur și simplu super! Ești deja mai bun decât majoritate absolută colegii tăi.
Problema este că acest lucru poate să nu fie suficient...
Pentru ce?
Pentru succes promovarea examenului de stat unificat, pentru admiterea la facultate cu buget redus și, CEL MAI IMPORTANT, pe viață.
Nu te voi convinge de nimic, o să spun doar un lucru...
Oamenii care au primit o educație bună, câștigă mult mai mult decât cei care nu l-au primit. Aceasta este statistica.
Dar acesta nu este principalul lucru.
Principalul lucru este că sunt MAI FERICIȚI (există astfel de studii). Poate pentru că mai multe oportunități se deschid în fața lor și viața devine mai strălucitoare? nu stiu...
Dar gandeste-te singur...
Ce este nevoie pentru a fi sigur că ești mai bun decât alții la examenul de stat unificat și, în cele din urmă, fii... mai fericit?
CĂGAȚI-VĂ MÂNĂ REZOLVÂND PROBLEME PE ACEST TEMA.
Nu ți se va cere teorie în timpul examenului.
Vei avea nevoie rezolva problemele in timp.
Și, dacă nu le-ați rezolvat (MULTE!), cu siguranță veți face o greșeală stupidă undeva sau pur și simplu nu veți avea timp.
Este ca în sport - trebuie să o repeți de multe ori pentru a câștiga cu siguranță.
Găsiți colecția oriunde doriți, neaparat cu solutii, analiza detaliata si decide, decide, decide!
Puteți folosi sarcinile noastre (opțional) și noi, bineînțeles, le recomandăm.
Pentru a folosi mai bine sarcinile noastre, trebuie să contribuiți la prelungirea duratei de viață a manualului YouClever pe care îl citiți în prezent.
Cum? Există două opțiuni:
- Deblocați toate sarcinile ascunse din acest articol -
- Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse din toate cele 99 de articole ale manualului - Cumpărați un manual - 499 RUR
Da, avem 99 de astfel de articole în manualul nostru și accesul la toate sarcinile și toate textele ascunse din ele poate fi deschis imediat.
Accesul la toate sarcinile ascunse este asigurat pe toată durata de viață a site-ului.
În concluzie...
Dacă nu vă plac sarcinile noastre, găsiți altele. Doar nu te opri la teorie.
„Înțeles” și „Pot rezolva” sunt abilități complet diferite. Ai nevoie de amândouă.
Găsiți probleme și rezolvați-le!
- 2. Interval de valori: [-1;1]
- 3. Funcția impară.
- 7. Intervale la care funcția este pozitivă: (2*pi*n; pi+2*pi*n)
- 8. Intervale la care funcția este negativă: (-pi + 2*pi*n; 2*pi*n)
- 9. Intervale crescătoare: [-pi/2 +2*pi*n; pi/2 +2*pi*n]
- 10. Intervale descrescătoare:
- 11. Puncte minime: -pi/2 +2*pi*n
- 12. Functie minima: -1
- 13. Puncte maxime: pi/2 +2*pi*n
- 14. Funcție maximă: 1
Proprietățile cosinusului
.jpg)
- 1. Zona de definiție: axa numărului întreg
- 2. Interval de valori: [-1;1]
- 3. Funcție uniformă.
- 4. Cea mai mică perioadă pozitivă: 2*pi
- 5. Coordonatele punctelor de intersecție ale graficului funcției cu axa Ox: (pi/2 +pi*n; 0)
- 6. Coordonatele punctelor de intersecție ale graficului funcției cu axa Oy: (0;1)
- 7. Intervale la care funcția este pozitivă: (-pi/2 +2*pi*n; pi/2 +2*pi*n)
- 8. Intervale la care funcția este negativă: (pi/2 +2*pi*n; 3*pi/2 +2*pi*n)
- 9. Intervale crescătoare: [-pi + 2*pi*n; 2*pi*n]
- 10. Intervale descrescătoare:
- 11. Puncte minime: pi+2*pi*n
- 12. Functie minima: -1
- 13. Puncte maxime: 2*pi*n
- 14. Funcție maximă: 1
Proprietățile tangentei
.jpg)
- 1. Zona de definiție: (-pi/2 +pi*n; pi/2 +pi*n)
- 3. Funcția impară.
- 5. Coordonatele punctelor de intersecție ale graficului funcției cu axa Ox: (pi*n; 0)
- 6. Coordonatele punctelor de intersecție ale graficului funcției cu axa Oy: (0;0)
- 9. Funcția crește pe intervale (-pi/2 + pi*n; pi/2 + pi*n)
Proprietățile cotangentei
.jpg)
- 1. Domeniu: (pi*n; pi +pi*n)
- 2. Interval de valori: întreaga axă a numărului
- 3. Funcția impară.
- 4. Cea mai mică perioadă pozitivă: pi
- 5. Coordonatele punctelor de intersecție ale graficului funcției cu axa Ox: (pi/2 + pi*n; 0)
- 6. Coordonatele punctelor de intersecție ale graficului funcției cu axa Oy: nr
- 7. Intervale la care funcția este pozitivă: (pi*n; pi/2 +pi*n)
- 8. Intervale la care funcția este negativă: (-pi/2 +pi*n; pi*n)
- 9. Funcția scade pe intervale (pi*n; pi +pi*n)
- 10. Nu există puncte maxime și minime.
Figura de mai jos prezintă mai multe cercuri unitare, care indică semnele sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei în diferite sferturi de coordonate.
Trigonometria este o ramură a științei matematice care studiază funcțiile trigonometrice și utilizarea lor în geometrie. Dezvoltarea trigonometriei a început în Grecia antică. În timpul Evului Mediu, oamenii de știință din Orientul Mijlociu și India au adus contribuții importante la dezvoltarea acestei științe.
Acest articol este dedicat Noțiuni de bazăși definiții ale trigonometriei. Se discută definițiile funcțiilor trigonometrice de bază: sinus, cosinus, tangentă și cotangentă. Semnificația lor este explicată și ilustrată în contextul geometriei.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Inițial, definițiile funcțiilor trigonometrice al căror argument este un unghi au fost exprimate în termeni de raportul laturilor unui triunghi dreptunghic.
Definiții ale funcțiilor trigonometrice
Sinusul unui unghi (sin α) este raportul catetului opus acestui unghi față de ipotenuză.
Cosinusul unghiului (cos α) - raportul catetei adiacente la ipotenuză.
Tangenta unghiului (t g α) - raportul dintre latura opusă și latura adiacentă.
Cotangent unghi (c t g α) - raportul dintre latura adiacentă și latura opusă.
Aceste definiții sunt date pentru unghiul ascuțit al unui triunghi dreptunghic!
Să dăm o ilustrare.
ÎN triunghiul ABC cu unghiul drept C, sinusul unghiului A este egal cu raportul catetului BC la ipotenuza AB.
Definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei vă permit să calculați valorile acestor funcții din lungimile cunoscute ale laturilor triunghiului.
Important de reținut!
Gama de valori ale sinusului și cosinusului este de la -1 la 1. Cu alte cuvinte, sinusul și cosinusul iau valori de la -1 la 1. Gama de valori ale tangentei și cotangentei este întreaga linie numerică, adică aceste funcții pot lua orice valoare.
Definițiile date mai sus se aplică unghiurilor ascuțite. În trigonometrie se introduce conceptul de unghi de rotație, a cărui valoare, spre deosebire de unghiul ascuțit, nu este limitată la 0 până la 90 de grade.Unghiul de rotație în grade sau radiani se exprimă prin orice număr real de la - ∞ la + ∞.
În acest context, putem defini sinus, cosinus, tangentă și cotangentă a unui unghi de mărime arbitrară. Să ne imaginăm un cerc unitar cu centrul său la originea sistemului de coordonate carteziene.
Punctul inițial A cu coordonatele (1, 0) se rotește în jurul centrului cercului unitar printr-un anumit unghi α și merge la punctul A 1. Definiția este dată în termeni de coordonatele punctului A 1 (x, y).
Sinus (sin) al unghiului de rotație
Sinusul unghiului de rotație α este ordonata punctului A 1 (x, y). sin α = y
Cosinus (cos) al unghiului de rotație
Cosinusul unghiului de rotație α este abscisa punctului A 1 (x, y). cos α = x
Tangenta (tg) a unghiului de rotație
Tangenta unghiului de rotație α este raportul dintre ordonata punctului A 1 (x, y) și abscisa acestuia. t g α = y x
Cotangenta (ctg) a unghiului de rotatie
Cotangenta unghiului de rotație α este raportul dintre abscisa punctului A 1 (x, y) și ordonata sa. c t g α = x y
Sinusul și cosinusul sunt definite pentru orice unghi de rotație. Acest lucru este logic, deoarece abscisa și ordonata unui punct după rotație pot fi determinate în orice unghi. Situația este diferită cu tangenta și cotangenta. Tangenta este nedefinită atunci când un punct după rotație merge la un punct cu abscisă zero (0, 1) și (0, - 1). În astfel de cazuri, expresia pentru tangenta t g α = y x pur și simplu nu are sens, deoarece conține împărțirea la zero. Situația este similară cu cotangente. Diferența este că cotangenta nu este definită în cazurile în care ordonata unui punct ajunge la zero.
Important de reținut!
Sinusul și cosinusul sunt definite pentru orice unghi α.
Tangenta este definită pentru toate unghiurile, cu excepția α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)
Cotangenta este definită pentru toate unghiurile, cu excepția α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)
La hotărâre exemple practice nu spune „sinusul unghiului de rotație α”. Cuvintele „unghi de rotație” sunt pur și simplu omise, ceea ce înseamnă că este deja clar din context ceea ce se discută.
Numerele
Dar definiția sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui număr și nu unghiului de rotație?
Sinus, cosinus, tangentă, cotangentă a unui număr
Sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui număr t este un număr care este, respectiv, egal cu sinus, cosinus, tangentă și cotangentă în t radian.
De exemplu, sinusul numărului 10 π este egal cu sinusul unghiului de rotație de 10 π rad.
Există o altă abordare pentru determinarea sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui număr. Să aruncăm o privire mai atentă.
Orice număr real t un punct de pe cercul unitar este asociat cu centrul de la originea sistemului de coordonate carteziene dreptunghiulare. Sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta sunt determinate prin coordonatele acestui punct.
Punctul de pornire al cercului este punctul A cu coordonatele (1, 0).
Număr pozitiv t
Număr negativ t corespunde punctului la care se va ajunge punctul de plecare dacă se deplasează în jurul cercului în sens invers acelor de ceasornic și va merge pe drum t.
Acum că s-a stabilit legătura dintre un număr și un punct dintr-un cerc, trecem la definiția sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei.
Sinusul (păcatul) al lui t
Sinusul unui număr t- ordonata unui punct de pe cercul unitar corespunzător numărului t. sin t = y
Cosinus (cos) al lui t
Cosinusul unui număr t- abscisa punctului cercului unitar corespunzător numărului t. cos t = x
Tangenta (tg) a lui t
Tangenta unui număr t- raportul ordonatei la abscisa unui punct de pe cercul unitar corespunzător numărului t. t g t = y x = sin t cos t
Cele mai recente definiții sunt în conformitate cu și nu contrazic definiția dată la începutul acestui paragraf. Punctează pe cercul corespunzător numărului t, coincide cu punctul la care se îndreaptă punctul de plecare după întoarcerea cu un unghi t radian.
Funcții trigonometrice ale argumentului unghiular și numeric
Fiecare valoare a unghiului α corespunde unei anumite valori a sinusului și cosinusului acestui unghi. La fel ca toate unghiurile α, altele decât α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) corespund unei anumite valori tangente. Cotangenta, așa cum sa menționat mai sus, este definită pentru toate α, cu excepția α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).
Putem spune că sin α, cos α, t g α, c t g α sunt funcții ale unghiului alfa, sau funcții ale argumentului unghiular.
În mod similar, putem vorbi despre sinus, cosinus, tangentă și cotangentă ca funcții ale unui argument numeric. Fiecare număr real t corespunde unei anumite valori a sinusului sau cosinusului unui număr t. Toate numerele, altele decât π 2 + π · k, k ∈ Z, corespund unei valori tangente. Cotangenta, în mod similar, este definită pentru toate numerele, cu excepția π · k, k ∈ Z.
Funcții de bază ale trigonometriei
Sinus, cosinus, tangentă și cotangentă sunt funcțiile trigonometrice de bază.
De obicei, este clar din context cu ce argument al funcției trigonometrice (argument unghiular sau argument numeric) avem de-a face.
Să revenim la definițiile date la început și la unghiul alfa, care se află în intervalul de la 0 la 90 de grade. Definițiile trigonometrice ale sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei sunt pe deplin în concordanță cu definiții geometrice, dat folosind raporturile de aspect ale unui triunghi dreptunghic. Să o arătăm.
Să luăm un cerc unitar cu un centru într-un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare. Să rotim punctul de plecare A (1, 0) cu un unghi de până la 90 de grade și să desenăm o perpendiculară pe axa absciselor din punctul rezultat A 1 (x, y). În triunghiul dreptunghic rezultat, unghiul A 1 O H egal cu unghiul tura α, lungimea catetei O H este egală cu abscisa punctului A 1 (x, y). Lungimea catetului opus unghiului este egală cu ordonata punctului A 1 (x, y), iar lungimea ipotenuzei este egală cu unu, deoarece este raza cercului unitar.
În conformitate cu definiția din geometrie, sinusul unghiului α este egal cu raportul dintre latura opusă ipotenuzei.
sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y
Aceasta înseamnă că determinarea sinusului unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic prin raportul de aspect este echivalentă cu determinarea sinusului unghiului de rotație α, cu alfa situată în intervalul de la 0 la 90 de grade.
În mod similar, corespondența definițiilor poate fi arătată pentru cosinus, tangentă și cotangentă.
Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
Vom începe studiul nostru de trigonometrie cu triunghiul dreptunghic. Să definim ce sunt sinusul și cosinusul, precum și tangenta și cotangenta unui unghi ascuțit. Acestea sunt elementele de bază ale trigonometriei.
Să vă reamintim că unghi drept este un unghi egal cu 90 de grade. Cu alte cuvinte, jumătate de unghi rotit.
Colt ascutit- sub 90 de grade.
Unghi obtuz- mai mare de 90 de grade. În legătură cu un astfel de unghi, „obtuz” nu este o insultă, ci un termen matematic :-)
Să desenăm un triunghi dreptunghic. Un unghi drept este de obicei notat cu . Vă rugăm să rețineți că latura opusă colțului este indicată de aceeași literă, doar mică. Astfel, latura opusă unghiului A este desemnată .
Unghiul este indicat de corespunzătoare Literă greacă.
Ipotenuză a unui triunghi dreptunghic este latura opusă unghiului drept.
Picioarele- laturile situate opuse unghiurilor ascuțite.
Piciorul situat opus unghiului se numește opus(față de unghi). Celălalt picior, care se află pe una dintre laturile unghiului, se numește adiacent.
Sinusul Unghiul ascuțit dintr-un triunghi dreptunghic este raportul dintre latura opusă ipotenuzei:
Cosinus unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic - raportul catetei adiacente la ipotenuză:
Tangentă unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic - raportul dintre latura opusă și cea adiacentă:
O altă definiție (echivalentă): tangenta unui unghi ascuțit este raportul dintre sinusul unghiului și cosinusul său:
Cotangentă unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic - raportul dintre latura adiacentă și opusul (sau, ceea ce este același, raportul dintre cosinus și sinus):
Observați mai jos relațiile de bază pentru sinus, cosinus, tangentă și cotangentă. Ne vor fi de folos atunci când rezolvăm probleme.
Să demonstrăm unele dintre ele.
Bine, am dat definiții și am notat formule. Dar de ce mai avem nevoie de sinus, cosinus, tangentă și cotangentă?
Noi stim aia suma unghiurilor oricărui triunghi este egală cu.
Știm relația dintre petreceri triunghi dreptunghic. Aceasta este teorema lui Pitagora: .
Se pare că cunoscând două unghiuri într-un triunghi, îl poți găsi pe al treilea. Cunoscând cele două laturi ale unui triunghi dreptunghic, o poți găsi pe a treia. Aceasta înseamnă că unghiurile au propriul raport, iar laturile au propriul lor raport. Dar ce ar trebui să faci dacă într-un triunghi dreptunghic cunoști un unghi (cu excepția unghiului drept) și o latură, dar trebuie să găsești celelalte laturi?
Aceasta este ceea ce oamenii în trecut au întâlnit când făceau hărți ale zonei și ale cerului înstelat. La urma urmei, nu este întotdeauna posibil să se măsoare direct toate laturile unui triunghi.
Sinus, cosinus și tangentă - se mai numesc funcții unghiulare trigonometrice- da relatii intre petreceriȘi colțuri triunghi. Cunoscând unghiul, puteți găsi toate funcțiile sale trigonometrice folosind tabele speciale. Și cunoscând sinusurile, cosinusurile și tangentele unghiurilor unui triunghi și a uneia dintre laturile sale, puteți găsi restul.
De asemenea, vom desena un tabel cu valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei pentru unghiurile „bune” de la până la.
Vă rugăm să rețineți cele două linii roșii din tabel. La valorile unghiulare adecvate, tangenta și cotangenta nu există.
Să ne uităm la mai multe probleme de trigonometrie din FIPI Task Bank.
1. Într-un triunghi, unghiul este , . Găsi .
Problema este rezolvată în patru secunde.
Deoarece , .
2. Într-un triunghi, unghiul este , , . Găsi .
Să-l găsim folosind teorema lui Pitagora.
Problema este rezolvată.
Adesea în probleme există triunghiuri cu unghiuri și sau cu unghiuri și. Amintiți-vă raporturile de bază pentru ei pe de rost!
Pentru un triunghi cu unghiuri și catetul opus unghiul la este egal cu jumătate din ipotenuză.
Un triunghi cu unghiuri și este isoscel. În ea, ipotenuza este de ori mai mare decât catetul.
Ne-am uitat la probleme de rezolvare a triunghiurilor dreptunghiulare - adică găsirea laturilor sau unghiurilor necunoscute. Dar asta nu este tot! ÎN Opțiuni pentru examenul de stat unificat la matematică există multe probleme în care apare sinusul, cosinusul, tangenta sau cotangenta unghiului extern al unui triunghi. Mai multe despre asta în următorul articol.
