Când rezolvă problema C2 folosind metoda coordonatelor, mulți elevi se confruntă cu aceeași problemă. Ei nu pot calcula coordonatele punctelor incluse în formulă produs punctual. Apar cele mai mari dificultăți piramide. Și dacă punctele de bază sunt considerate mai mult sau mai puțin normale, atunci vârfurile sunt un adevărat iad.

Astăzi vom lucra la o piramidă patruunghiulară obișnuită. Există, de asemenea, o piramidă triunghiulară (alias - tetraedru). E mai mult design complex, așa că îi va fi dedicată o lecție separată.

În primul rând, să ne amintim definiția:

O piramidă obișnuită este aceea care:

1. Baza este un poligon regulat: triunghi, pătrat etc.;
2. O altitudine trasă la bază trece prin centrul acesteia.

În special, baza unei piramide patruunghiulare este pătrat. La fel ca și Cheops, doar puțin mai mic.

Mai jos sunt calcule pentru o piramidă în care toate muchiile sunt egale cu 1. Dacă nu este cazul în problema dvs., calculele nu se schimbă - doar numerele vor fi diferite.

Vârfurile unei piramide patruunghiulare

Deci, să fie dat cel corect piramida patruunghiulara SABCD, unde S este vârful, baza ABCD este un pătrat. Toate muchiile sunt egale cu 1. Trebuie să introduceți un sistem de coordonate și să găsiți coordonatele tuturor punctelor. Avem:

Introducem un sistem de coordonate cu originea in punctul A:

1. Axa OX este îndreptată paralel cu muchia AB;
2. Axa OY este paralelă cu AD. Deoarece ABCD este un pătrat, AB ⊥ AD;
3. În cele din urmă, direcționăm axa OZ în sus, perpendicular pe planul ABCD.

Acum calculăm coordonatele. Construcție suplimentară: SH - înălțimea trasă la bază. Pentru comoditate, vom plasa baza piramidei într-un desen separat. Deoarece punctele A, B, C și D se află în planul OXY, coordonatele lor este z = 0. Avem:

1. A = (0; 0; 0) - coincide cu originea;
2. B = (1; 0; 0) - pas cu 1 de-a lungul axei OX de la origine;
3. C = (1; 1; 0) - pas cu 1 de-a lungul axei OX și cu 1 de-a lungul axei OY;
4. D = (0; 1; 0) - pas numai de-a lungul axei OY.
5. H = (0,5; 0,5; 0) - centrul pătratului, mijlocul segmentului AC.

Rămâne de găsit coordonatele punctului S. Rețineți că coordonatele x și y ale punctelor S și H sunt aceleași, deoarece se află pe o dreaptă paralelă cu axa OZ. Rămâne de găsit coordonata z pentru punctul S.

Luați în considerare triunghiurile ASH și ABH:

1. AS = AB = 1 prin condiție;
2. Unghiul AHS = AHB = 90°, deoarece SH este înălțimea și AH ⊥ HB ca diagonalele pătratului;
3. Partea AH este comună.

Prin urmare, triunghiuri dreptunghiulare ASH și ABH egal câte un catet și câte o ipotenuză. Aceasta înseamnă SH = BH = 0,5 BD. Dar BD este diagonala unui pătrat cu latura 1. Prin urmare, avem:

Coordonatele totale ale punctului S:

În concluzie, notăm coordonatele tuturor vârfurilor unei piramide dreptunghiulare regulate:

Ce să faci când coastele sunt diferite

Ce se întâmplă dacă marginile laterale ale piramidei nu sunt egale cu marginile bazei? În acest caz, luați în considerare triunghiul AHS:

Triunghiul AHS - dreptunghiular, iar ipotenuza AS este, de asemenea, o margine laterală a piramidei originale SABCD. Piciorul AH este ușor de calculat: AH = 0,5 AC. Vom găsi piciorul rămas SH conform teoremei lui Pitagora. Aceasta va fi coordonata z pentru punctul S.

Sarcină. Având în vedere o piramidă patruunghiulară regulată SABCD, la baza căreia se află un pătrat cu latura 1. Latura laterală BS = 3. Aflați coordonatele punctului S.

Cunoaștem deja coordonatele x și y ale acestui punct: x = y = 0,5. Aceasta rezultă din două fapte:

1. Proiecția punctului S pe planul OXY este punctul H;
2. În același timp, punctul H este centrul unui pătrat ABCD, ale cărui laturi sunt egale cu 1.

Rămâne de găsit coordonatele punctului S. Luați în considerare triunghiul AHS. Este dreptunghiulară, cu ipotenuza AS = BS = 3, catetul AH fiind jumătate din diagonală. Pentru calcule suplimentare avem nevoie de lungimea sa:

Teorema lui Pitagora pentru triunghiul AHS: AH 2 + SH 2 = AS 2. Avem:

Deci, coordonatele punctului S:

Primul nivel

Piramidă. Ghid vizual (2019)

Ce este o piramidă?

Cum arată ea?

Vedeți: în partea de jos a piramidei (se spune „ la baza") un poligon, iar toate vârfurile acestui poligon sunt conectate la un anumit punct din spațiu (acest punct se numește " vârf»).

Toată această structură mai are fetele laterale , coaste lateraleȘi coaste de bază. Încă o dată, să desenăm o piramidă împreună cu toate aceste nume:

Unele piramide pot părea foarte ciudat, dar sunt încă piramide.

Aici, de exemplu, este complet „oblic” piramidă.

Și mai multe despre nume: dacă există un triunghi la baza piramidei, atunci piramida se numește triunghiulară, dacă este un patrulater, atunci patruunghiular, iar dacă este un centagon, atunci... ghiciți singur. .

În același timp, punctul în care a căzut înălţime, numit baza de inaltime. Vă rugăm să rețineți că în piramidele „strâmbe”. înălţime poate ajunge chiar în afara piramidei. Ca aceasta:

Și nu este nimic în neregulă cu asta. Arată ca un triunghi obtuz.

Piramida corectă.

Mult cuvinte complexe? Să descifrăm: „La bază - corect” - acest lucru este de înțeles. Acum să ne amintim că un poligon obișnuit are un centru - un punct care este centrul lui și , și .

Ei bine, cuvintele „vârful este proiectat în centrul bazei” înseamnă că baza înălțimii cade exact în centrul bazei. Uite ce netedă și drăguță arată piramida regulata .

Hexagonal: la bază există un hexagon regulat, vârful este proiectat în centrul bazei.

Patraunghiular: baza este un pătrat, vârful este proiectat la punctul de intersecție a diagonalelor acestui pătrat.

Triunghiular: la bază se află un triunghi regulat, vârful este proiectat până la punctul de intersecție al înălțimilor (sunt și mediane și bisectoare) acestui triunghi.

Foarte proprietăți importante ale unei piramide obișnuite:

În piramida dreaptă

• toate marginile laterale sunt egale.
• toate fețele laterale sunt triunghiuri isoscele și toate aceste triunghiuri sunt egale.

Volumul piramidei

Formula principală pentru volumul unei piramide:

De unde anume a venit? Acest lucru nu este atât de simplu și la început trebuie doar să vă amintiți că o piramidă și un con au volum în formulă, dar un cilindru nu.

Acum să calculăm volumul celor mai populare piramide.

Lasă latura bazei să fie egală și marginea laterală egală. Trebuie să găsim și.

Aceasta este aria unui triunghi regulat.

Să ne amintim cum să căutăm această zonă. Folosim formula zonei:

Pentru noi, „ ” este aceasta, iar „ ” este și aceasta, eh.

Acum să-l găsim.

Conform teoremei lui Pitagora pt

Care este diferența? Acesta este circumradius în deoarece piramidăcorectși, prin urmare, centrul.

Deoarece - punctul de intersecție al medianelor de asemenea.

(teorema lui Pitagora pentru)

Să o înlocuim în formula pentru.

Și să înlocuim totul în formula de volum:

Atenţie: dacă aveți un tetraedru obișnuit (adică), atunci formula se dovedește astfel:

Lasă latura bazei să fie egală și marginea laterală egală.

Nu este nevoie să te uiți aici; La urma urmei, baza este un pătrat și, prin urmare.

O vom găsi. Conform teoremei lui Pitagora pt

știm noi? Aproape. Uite:

(am văzut asta uitându-ne la ea).

Înlocuiți în formula pentru:

Și acum înlocuim și în formula de volum.

Lasă latura bazei să fie egală și marginea laterală.

Cum să găsești? Uite, un hexagon este format din exact șase triunghiuri regulate identice. Am căutat deja aria unui triunghi regulat atunci când calculăm volumul unei piramide triunghiulare regulate; aici folosim formula pe care am găsit-o.

Acum să-l găsim.

Conform teoremei lui Pitagora pt

Dar ce contează? Este simplu pentru că (și toți ceilalți) au dreptate.

Să înlocuim:

\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)((a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

PIRAMIDĂ. SCURT DESPRE LUCRURILE PRINCIPALE

O piramidă este un poliedru care constă din orice poligon plat (), un punct care nu se află în planul bazei (vârful piramidei) și toate segmentele care leagă vârful piramidei cu punctele bazei (marginile laterale).

O perpendiculară coborâtă din vârful piramidei spre planul bazei.

Piramida corectă- o piramidă în care un poligon regulat se află la bază, iar vârful piramidei este proiectat în centrul bazei.

Proprietatea unei piramide regulate:

• Într-o piramidă obișnuită, toate marginile laterale sunt egale.
• Toate fețele laterale sunt triunghiuri isoscele și toate aceste triunghiuri sunt egale.

Aici puteți găsi informații de bază despre piramide și formule și concepte aferente. Toate sunt studiate cu un tutore de matematică în pregătirea pentru examenul de stat unificat.

Luați în considerare un plan, un poligon , culcat în el și un punct S, nu întins în el. Să conectăm S la toate vârfurile poligonului. Poliedrul rezultat se numește piramidă. Segmentele se numesc coaste laterale. Poligonul se numește bază, iar punctul S este vârful piramidei. În funcție de numărul n, piramida se numește triunghiulară (n=3), pătrangulară (n=4), pentagonală (n=5) și așa mai departe. Un nume alternativ pentru o piramidă triunghiulară este tetraedru. Înălțimea unei piramide este perpendiculara care coboară din vârful ei până în planul bazei.

O piramidă se numește regulată dacă un poligon regulat, iar baza altitudinii piramidei (baza perpendicularei) este centrul acesteia.

Comentariul tutorelui:
Nu confundați conceptele de „piramidă obișnuită” și „tetraedru obișnuit”. Într-o piramidă obișnuită, marginile laterale nu sunt neapărat egale cu marginile bazei, dar într-un tetraedru obișnuit, toate cele 6 margini sunt egale. Aceasta este definiția lui. Este ușor de demonstrat că egalitatea implică faptul că centrul P al poligonului coincide cu o înălțime de bază, deci un tetraedru obișnuit este o piramidă obișnuită.

Ce este o apotema?
Apotema unei piramide este înălțimea feței sale laterale. Dacă piramida este regulată, atunci toate apotemele ei sunt egale. Reversul nu este adevărat.

Un tutore de matematică despre terminologia sa: 80% din munca cu piramide este construită prin două tipuri de triunghiuri:
1) Conținând apotema SK și înălțimea SP
2) Conținând marginea laterală SA și proiecția ei PA

Pentru a simplifica referințele la aceste triunghiuri, este mai convenabil ca un profesor de matematică să îl numească pe primul dintre ele apotemal, și al doilea costal. Din păcate, această terminologie nu o veți găsi în niciunul dintre manuale, iar profesorul trebuie să o introducă unilateral.

Formula pentru volumul unei piramide:
1) , unde este aria bazei piramidei și este înălțimea piramidei
2), unde este raza sferei înscrise și este aria suprafeței totale a piramidei.
3) , unde MN este distanța dintre oricare două muchii care se încrucișează și este aria paralelogramului format din punctele de mijloc ale celor patru muchii rămase.

Proprietatea bazei înălțimii unei piramide:

Punctul P (vezi figura) coincide cu centrul cercului înscris la baza piramidei dacă este îndeplinită una dintre următoarele condiții:
1) Toate apotemele sunt egale
2) Toate fețele laterale sunt înclinate în mod egal față de bază
3) Toate apotemele sunt înclinate în mod egal față de înălțimea piramidei
4) Înălțimea piramidei este înclinată în mod egal față de toate fețele laterale

Comentariul profesorului de matematică: Vă rugăm să rețineți că toate punctele sunt unite printr-o proprietate comună: într-un fel sau altul, fețele laterale sunt implicate peste tot (apotemele sunt elementele lor). Prin urmare, tutorele poate oferi o formulare mai puțin precisă, dar mai convenabilă pentru învățare: punctul P coincide cu centrul cercului înscris, baza piramidei, dacă există informații egale despre fețele sale laterale. Pentru a dovedi, este suficient să arătăm că toate triunghiurile apotemelor sunt egale.

Punctul P coincide cu centrul unui cerc circumscris lângă baza piramidei dacă una dintre cele trei condiții este adevărată:
1) Toate marginile laterale sunt egale
2) Toate nervurile laterale sunt înclinate în mod egal față de bază
3) Toate nervurile laterale sunt înclinate în mod egal pe înălțime

• apotema- înălțimea feței laterale a unei piramide regulate, care este desenată din vârful acesteia (în plus, apotema este lungimea perpendicularei, care este coborâtă de la mijlocul poligonului regulat la una dintre laturile sale);
• fetele laterale (ASB, BSC, CSD, DSA) - triunghiuri care se întâlnesc la vârf;
• coaste laterale ( LA FEL DE , B.S. , C.S. , D.S. ) — laturile comune ale fețelor laterale;
• vârful piramidei (t. S) - un punct care leagă nervurile laterale și care nu se află în planul bazei;
• înălţime ( ASA DE ) - un segment perpendicular trasat prin vârful piramidei până la planul bazei acesteia (capetele unui astfel de segment vor fi vârful piramidei și baza perpendicularei);
• secțiunea diagonală a piramidei- o sectiune a piramidei care trece prin varful si diagonala bazei;
• baza (ABCD) - un poligon care nu aparține vârfului piramidei.

Proprietățile piramidei.

1. Când toate marginile laterale au aceeași dimensiune, atunci:

• este ușor să descrii un cerc lângă baza piramidei, iar vârful piramidei va fi proiectat în centrul acestui cerc;
• nervurile laterale formează unghiuri egale cu planul bazei;
• Mai mult, este adevărat și opusul, adică. când nervurile laterale se formează cu planul bazei unghiuri egale, sau când un cerc poate fi descris lângă baza piramidei și vârful piramidei va fi proiectat în centrul acestui cerc, ceea ce înseamnă că toate marginile laterale ale piramidei au aceeași dimensiune.

2. Când fețele laterale au un unghi de înclinare față de planul bazei de aceeași valoare, atunci:

• este ușor să descrii un cerc lângă baza piramidei, iar vârful piramidei va fi proiectat în centrul acestui cerc;
• înălțimile fețelor laterale sunt de lungime egală;
• aria suprafeței laterale este egală cu ½ produsul dintre perimetrul bazei și înălțimea feței laterale.

3. O sferă poate fi descrisă în jurul unei piramide dacă la baza piramidei există un poligon în jurul căruia poate fi descris un cerc (o condiție necesară și suficientă). Centrul sferei va fi punctul de intersecție al planurilor care trec prin mijlocul marginilor piramidei perpendicular pe acestea. Din această teoremă concluzionăm că o sferă poate fi descrisă atât în ​​jurul oricărei piramide triunghiulare, cât și în jurul oricărei piramide regulate.

4. O sferă poate fi înscrisă într-o piramidă dacă planele bisectoare ale unghiurilor diedrice interne ale piramidei se intersectează în punctul 1 (condiție necesară și suficientă). Acest punct va deveni centrul sferei.

Cea mai simplă piramidă.

Pe baza numărului de unghiuri, baza piramidei este împărțită în triunghiular, patruunghiular și așa mai departe.

Va fi o piramidă triunghiular, patruunghiular, și așa mai departe, când baza piramidei este un triunghi, un patrulater și așa mai departe. Piramida triunghiulara există un tetraedru - un tetraedru. Patraunghiular - pentagonal și așa mai departe.