Concepte și definiții de bază pentru curba dreaptă. Arhive de categorie: Probleme de îndoire. Determinarea reacțiilor de sprijin

Deformare la încovoiere constă în curbura axei unei tije drepte sau într-o modificare a curburii iniţiale a unei tije drepte (Fig. 6.1). Să ne familiarizăm cu conceptele de bază care sunt utilizate atunci când luăm în considerare deformarea la îndoire.

Tijele care se îndoaie se numesc grinzi.

Curat numită încovoiere, în care momentul încovoietor este singurul factor de forță intern care apare în secțiunea transversală a grinzii.

Mai des, în secțiunea transversală a tijei, împreună cu momentul încovoietor, apare și o forță transversală. Această îndoire se numește transversală.

plat (drept) numită încovoiere când planul de acţiune al momentului încovoietor în secţiune transversală trece prin una din axele centrale principale ale secţiunii transversale.

La îndoire oblică planul de acțiune al momentului încovoietor intersectează secțiunea transversală a grinzii de-a lungul unei linii care nu coincide cu niciuna dintre axele centrale principale ale secțiunii transversale.

Începem studiul nostru despre deformarea la încovoiere cu cazul îndoirii în plan pur.

Tensiuni și tensiuni normale în timpul îndoirii pure.

După cum sa menționat deja, cu încovoiere plană pură în secțiunea transversală, dintre cei șase factori de forță interni, doar momentul încovoietor este diferit de zero (Fig. 6.1, c):

Experimentele efectuate pe modele elastice arată că, dacă pe suprafața modelului se aplică o rețea de linii (Fig. 6.1, a), atunci la îndoire pură se deformează după cum urmează (Fig. 6.1, b):

a) liniile longitudinale sunt curbate de-a lungul circumferinței;

b) contururi secțiuni transversale rămâne plat;

c) liniile de contur ale secțiunilor se intersectează peste tot cu fibrele longitudinale în unghi drept.

Pe baza acestui fapt, se poate presupune că în îndoirea pură secțiunile transversale ale grinzii rămân plate și se rotesc astfel încât să rămână normale față de axa curbă a grinzii (secțiuni plate în ipoteza de îndoire).

Orez. 6.1

Măsurând lungimea liniilor longitudinale (Fig. 6.1, b), puteți constata că fibrele superioare se lungesc atunci când fasciculul se îndoaie, iar cele inferioare se scurtează. Evident, este posibil să se găsească fibre a căror lungime rămâne neschimbată. Se numește un set de fibre care nu își schimbă lungimea atunci când o grindă este îndoită strat neutru (n.s.). Stratul neutru intersectează secțiunea transversală a fasciculului într-o linie dreaptă, care se numește linie neutră (n.l.) secțiune.

Pentru a obține o formulă care determină mărimea tensiunilor normale care apar în secțiunea transversală, luați în considerare o secțiune a grinzii într-o stare deformată și nedeformată (Fig. 6.2).

Orez. 6.2

Folosind două secțiuni transversale infinitezimale, selectăm un element de lungime
. Înainte de deformare, secțiunile delimitând elementul
, erau paralele între ele (Fig. 6.2, a), iar după deformare s-au îndoit ușor, formând un unghi
. Lungimea fibrelor care se află în stratul neutru nu se modifică la îndoire
. Să notăm cu litera raza de curbură a urmei stratului neutru pe planul de desen . Să determinăm deformația liniară a unei fibre arbitrare
, situat la distanta din stratul neutru.

Lungimea acestei fibre după deformare (lungimea arcului
) este egal cu
. Avand in vedere ca inainte de deformare toate fibrele aveau aceeasi lungime
, constatăm că alungirea absolută a fibrei luate în considerare

Deformarea sa relativă

Este evident că
, deoarece lungimea fibrei care se află în stratul neutru nu s-a schimbat. Apoi, după înlocuire
primim

(6.2)

Prin urmare, deformarea longitudinală relativă este proporțională cu distanța fibrei față de axa neutră.

Să introducem ipoteza că la îndoire, fibrele longitudinale nu se apasă unele pe altele. În această ipoteză, fiecare fibră este deformată izolat, experimentând tensiune sau compresie simplă, în care
. Luând în considerare (6.2)

, (6.3)

adică tensiunile normale sunt direct proporționale cu distanțele punctelor de secțiune transversală luate în considerare față de axa neutră.

Să substituim dependența (6.3) în expresia pentru momentul încovoietor
în secțiune transversală (6.1)

Amintiți-vă că integrala
reprezinta momentul de inertie al sectiunii fata de axa

(6.4)

Dependența (6.4) reprezintă legea lui Hooke pentru îndoire, deoarece raportează deformația (curbura stratului neutru).
) cu un moment care acţionează în secţiune. Lucru
se numește rigiditatea secțiunii la încovoiere, N m 2.

Să înlocuim (6.4) în (6.3)

(6.5)

Aceasta este formula necesară pentru determinarea tensiunilor normale în timpul îndoirii pure a unei grinzi în orice punct al secțiunii sale transversale.

Pentru a stabili unde se află linia neutră în secțiune transversală, înlocuim valoarea tensiunilor normale în expresia forței longitudinale.
și momentul încovoietor

Din moment ce
,

;

(6.6)

(6.7)

Egalitatea (6.6) indică faptul că axa – axa neutră a secțiunii – trece prin centrul de greutate al secțiunii transversale.

Egalitatea (6.7) arată că Şi - principalele axe centrale ale secțiunii.

Conform (6.5), cea mai mare tensiune se realizează în fibrele cele mai îndepărtate de linia neutră

Atitudine reprezintă momentul axial de rezistenţă al secţiunii raportat la axa sa centrală , Înseamnă

Sens pentru cele mai simple secțiuni transversale următoarele:

Pentru secțiune transversală dreptunghiulară

, (6.8)

Unde - latura secțiunii perpendiculară pe ax ;

- latura secțiunii paralelă cu axa ;

Pentru secțiune transversală rotundă

, (6.9)

Unde - diametrul secțiunii transversale circulare.

Condiția de rezistență pentru tensiunile normale de încovoiere poate fi scrisă sub formă

(6.10)

Toate formulele obținute au fost obținute pentru cazul îndoirii pure a unei tije drepte. Acţiunea forţei transversale duce la faptul că ipotezele care stau la baza concluziilor îşi pierd puterea. Cu toate acestea, practica de calcul arată că chiar și în timpul îndoirii transversale a grinzilor și cadrelor, atunci când se află în secțiune, în plus față de momentul încovoietor
exista si o forta longitudinala
și forța tăietoare , puteți folosi formulele date pentru îndoirea pură. Eroarea este nesemnificativă.

În științe de inginerie și inginerie civilă (rezistența materialelor, mecanica structurală, teoria rezistenței), o grindă este înțeleasă ca un element al unei structuri de susținere care este susceptibilă în primul rând la sarcini de încovoiere și are diverse forme secţiune transversală.

Desigur, în construcția reală, structurile de grinzi sunt supuse și altor tipuri de încărcare (sarcină de vânt, vibrații, încărcare alternativă), cu toate acestea, calculul principal al grinzilor orizontale, multi-sprijinite și fixate rigid se realizează sub acțiunea fie a sarcină transversală sau echivalentă redusă la acesta.

Schema de calcul consideră grinda ca o tijă fixată rigid sau ca o tijă montată pe două suporturi. Dacă există 3 sau mai multe suporturi, sistemul de tije este considerat static nedeterminat și deformarea atât a întregii structuri, cât și a acesteia. elemente individuale, devine mult mai complicat.

În acest caz, sarcina principală este considerată ca suma forțelor care acționează în direcția perpendiculară pe secțiune. Scopul calculului deformarii este de a determina deformarea maximă (deformația) care nu trebuie să depășească valorile limită și caracterizează rigiditatea atât a unui element individual (și a întregii structuri a clădirii asociată acestuia.

Prevederi de bază ale metodelor de calcul

Metodele moderne de construcție pentru calcularea structurilor de tijă (grindă) pentru rezistență și rigiditate fac posibilă, deja în faza de proiectare, să se determine valoarea deformarii și să se facă o concluzie despre posibilitatea de a opera structura clădirii.

Calculul rigidității ne permite să rezolvăm problema celor mai mari deformații care pot apărea în structura unei clădiri în timpul unei acțiuni complexe. diverse tipuriîncărcături

Metodele moderne de calcul, efectuate folosind calcule specializate pe calculatoare electronice, sau efectuate cu ajutorul unui calculator, fac posibilă determinarea rigidității și rezistenței obiectului de cercetare.

În ciuda formalizării metodelor de calcul, care implică utilizarea de formule empirice, iar efectul sarcinilor reale este luat în considerare prin introducerea unor factori de corecție (factori de siguranță), un calcul cuprinzător evaluează destul de complet și adecvat fiabilitatea operațională a unei structuri construite sau un element fabricat al unei mașini.

În ciuda separării calculelor de rezistență și a determinării rigidității structurale, ambele metode sunt interdependente, iar conceptele de „rigiditate” și „rezistență” sunt inseparabile. Cu toate acestea, în piesele de mașină, principala distrugere a unui obiect are loc din cauza pierderii rezistenței, în timp ce obiectele mecanice structurale sunt adesea nepotrivite pentru utilizare ulterioară din cauza deformațiilor plastice semnificative, care indică rigiditatea scăzută a elementelor structurale sau a obiectului în ansamblu.

Astăzi, la disciplinele „Rezistența materialelor”, „Mecanica structurală” și „Piese de mașini”, sunt acceptate două metode de calcul a rezistenței și rigidității:

Simplificat(formale), timp în care coeficienții agregați sunt utilizați în calcule.
Rafinat, unde nu se folosesc doar factorii de siguranță, ci și contracția este calculată pe baza stărilor limită.

Algoritm de calcul al rigidității

Formula pentru determinarea rezistenței la încovoiere a unei grinzi

M– momentul maxim care apare în fascicul (găsit din diagrama momentelor);
Wn, min– momentul de rezistență al secțiunii (găsit din tabel sau calculat pentru un profil dat), secțiunea are de obicei 2 momente de rezistență a secțiunii, în calcule se utilizează Wx dacă sarcina este perpendiculară pe axă profil x-x sau Wy dacă sarcina este perpendiculară pe axa y-y;
Ry– rezistența de proiectare a oțelului la încovoiere (stabilită în funcție de alegerea oțelului);
γ c– coeficientul conditiilor de munca (acest coeficient se regaseste in Tabelul 1 SP 16.13330.2011;

Algoritmul pentru calcularea rigidității (determinarea cantității de deformare) este destul de formalizat și nu este greu de stăpânit.

Pentru a determina deformarea fasciculului, este necesar să efectuați următorii pași în secvența de mai jos:

Întocmește o schemă de calcul obiect de cercetare.
Determinați caracteristicile dimensionale grinzi și secțiuni de proiectare.
Calculați sarcina maximă, acţionând asupra grinzii, determinând punctul de aplicare a acesteia.
Dacă este necesar, grinda (în schema de proiectare va fi înlocuită cu o tijă fără greutate) este verificată suplimentar pentru rezistența la momentul încovoietor maxim.
Se determină valoarea deflexiunii maxime, care caracterizează rigiditatea grinzii.

Pentru a întocmi o diagramă de proiectare a unei grinzi, trebuie să știți:

Dimensiunile geometrice ale grinzii, inclusiv distanța dintre suporturi, iar dacă există console, lungimea acestora.
Forma geometricăși dimensiunile secțiunii transversale.
Încarcă naturași punctele lor de aplicare.
Material fasciculși caracteristicile sale fizice și mecanice.

În cel mai simplu calcul al grinzilor cu două suporturi, un suport este considerat rigid, iar al doilea este articulat.

Determinarea momentelor de inerție și a rezistenței de secțiune

Caracteristicile geometrice care sunt necesare la efectuarea calculelor de rezistență și rigiditate includ momentul de inerție al secțiunii (J) și momentul de rezistență (W). Pentru a calcula valorile lor, există formule speciale de calcul.

Formula modulului secțiunii

La determinarea momentelor de inerție și rezistență, este necesar să se acorde atenție orientării secțiunii în planul tăiat. Pe măsură ce momentul de inerție crește, rigiditatea grinzii crește și deviația scade. Acest lucru poate fi verificat cu ușurință în practică, încercând să îndoiți placa în poziția sa normală, „întinsă” și așezând-o pe marginea ei.

Determinarea sarcinii și a deformarii maxime

Formula pentru determinarea deformarii

q– sarcina uniform distribuita, exprimata in kg/m (N/m);
l– lungimea grinzii în metri;
E– modulul de elasticitate (pentru oțel egal cu 200-210 GPa);
eu– momentul de inerție al secțiunii.

La determinarea sarcinii maxime, este necesar să se țină cont de un număr destul de semnificativ de factori care acționează atât în mod constant (sarcini statice), cât și periodic (vânt, sarcină de șoc vibrații).

ÎN casă cu un etaj, pe grinda de lemn plafon vor exista forțe de greutate constante din propria greutate, pereții despărțitori situate la etajul doi, mobilier, ocupanți și așa mai departe.

Caracteristici ale calculelor de deviere

Desigur, calculul elementelor de podea pentru deformare se efectuează pentru toate cazurile și este obligatoriu în prezența unui nivel semnificativ de încărcări externe.

Astăzi, toate calculele valorii deformarii sunt destul de formalizate și toate sarcinile reale complexe sunt reduse la următoarele scheme simple de calcul:

Nucleu, sprijinindu-se pe un suport fix si articulat, percepand o sarcina concentrata (cazul este discutat mai sus).
Nucleu, sprijinindu-se pe o structură fixă și articulată asupra căreia acționează o sarcină distribuită.
Diverse opțiuni de încărcare tijă cantilever fixată rigid.
Acțiune asupra unui obiect de proiectare a unei sarcini complexe– moment încovoietor distribuit, concentrat.

În același timp, metoda de calcul și algoritmul nu depind de materialul de fabricație, ale cărui caracteristici de rezistență sunt luate în considerare sensuri diferite modulul de elasticitate.

Cea mai frecventă greșeală este, de obicei, subnumărarea unităților de măsură. De exemplu, factorii de putere în formule de calcul sunt substituite în kilograme, iar valoarea modulului elastic este luată conform sistemului SI, unde nu există conceptul de „kilogram de forță”, iar toate forțele se măsoară în newtoni sau kilonewtoni.

Tipuri de grinzi utilizate în construcții

Industria modernă a construcțiilor, atunci când construiește structuri industriale și rezidențiale, practică utilizarea sistemelor de tije de diverse secțiuni, forme și lungimi, realizate din diverse materiale.

Cele mai răspândite sunt oțelul și produse din lemn. În funcție de materialul utilizat, determinarea valorii de deformare are propriile nuanțe legate de structura și uniformitatea materialului.

De lemn

Construcție modernă de înălțime joasă case individualeŞi cabane la tara practică utilizarea pe scară largă a bustenilor din lemn de esență moale și tare.

Practic, produsele din lemn care lucrează în îndoire sunt folosite pentru amenajarea pardoselilor și tavanelor. Aceste elemente structurale vor suferi cele mai mari sarcini laterale, provocând cea mai mare deformare.

Braţ de deviere busteni de lemn depinde:

Din material(specie de lemn) care a fost folosit la realizarea grinzii.
Din caracteristicile geometriceși forma secțiunii transversale a obiectului de design.
Din acțiune cumulativă diverse tipuri de sarcini.

Criteriul de admisibilitate a deformarii fasciculului ia în considerare doi factori:

Corespondență cu deviația reală valorile maxime admise.
Posibilitate de utilizare a structuriiîn prezenţa unei abateri calculate.

Oţel

Au o secțiune transversală mai complexă, care poate fi compozită, realizată din mai multe tipuri de metal laminat.

La calcularea structurilor metalice, pe lângă determinarea rigidității obiectului în sine și a elementelor acestuia, devine adesea necesară determinarea caracteristicilor de rezistență ale conexiunilor.

De obicei, conectarea elementelor individuale ale unei structuri de oțel se realizează: Prin utilizarea filetate
(șuruburi, șuruburi) conexiuni.

Conexiune cu nituri.

Îndoirea este un tip de deformare în care axa longitudinală a grinzii este îndoită. Grinzile drepte care se îndoaie se numesc grinzi. Îndoirea directă este o îndoire în care forțele externe care acționează asupra grinzii se află într-un singur plan (planul forței) care trece prin axa longitudinală a grinzii și prin axa centrală principală de inerție a secțiunii transversale.Îndoirea se numește pură

, dacă apare un singur moment încovoietor în orice secțiune transversală a grinzii.

Încovoierea, în care un moment încovoietor și o forță transversală acționează simultan în secțiunea transversală a unei grinzi, se numește transversală. Linia de intersecție a planului forței și a planului secțiunii transversale se numește linie de forță.

Factori de forță interni în timpul îndoirii grinzii. În timpul îndoirii plane transversale, în secțiunile grinzii apar doi factori de forță interni: forța transversală Q și momentul încovoietor M. Pentru determinarea acestora se folosește metoda secțiunilor (vezi prelegerea 1). Forța transversală Q în secțiunea fasciculului este egală cu suma algebrică a proiecțiilor pe planul de secțiune a tuturor forțe externe

, acționând pe o parte a secțiunii luate în considerare. Regula semnelor pentru forțe tăietoare

Î:

Momentul încovoietor M într-o secțiune a grinzii este egal cu suma algebrică a momentelor relativ la centrul de greutate al acestei secțiuni a tuturor forțelor externe care acționează pe o parte a secțiunii luate în considerare.

Regula semnului pentru momentele încovoietoare M:

Dependențe diferențiale ale lui Zhuravsky.

S-au stabilit relații diferențiale între intensitatea q a sarcinii distribuite, expresiile pentru forța transversală Q și momentul încovoietor M:

Pe baza acestor dependențe, pot fi identificate următoarele modele generale de diagrame ale forțelor transversale Q și momentelor încovoietoare M:

1. Caracteristicile diagramelor factorilor de forță interni în timpul îndoirii. În secțiunea grinzii în care nu există sarcină distribuită, este prezentată diagrama Q linie dreaptă

2. , paralel cu baza diagramei, iar diagrama M - o linie dreaptă înclinată (Fig. a). În secțiunea în care se aplică o forță concentrată, Q ar trebui să fie pe diagramă salt , egală cu valoarea acestei forțe, iar pe diagrama M - punct de rupere

3. În secțiunea în care se aplică un moment concentrat, valoarea lui Q nu se modifică, iar diagrama M are În secțiunea în care se aplică o forță concentrată, Q ar trebui să fie pe diagramă , egală cu valoarea acestui moment (Fig. 26, b).

4. Într-o secțiune a unui fascicul cu o sarcină distribuită de intensitate q, diagrama Q se modifică conform unei legi liniare, iar diagrama M se modifică conform unei legi parabolice și convexitatea parabolei este îndreptată spre direcția sarcinii distribuite (Fig. c, d).

5. Dacă, în cadrul unei secțiuni caracteristice, diagrama Q intersectează baza diagramei, atunci în secțiunea în care Q = 0, momentul încovoietor are o valoare extremă M max sau M min (Fig. d).

Tensiuni normale de încovoiere.

Determinat prin formula:

Momentul de rezistență al unei secțiuni la încovoiere este mărimea:

Secțiune transversală periculoasă în timpul îndoirii se numește secțiunea transversală a grinzii în care apare solicitarea normală maximă.

Tensiuni de forfecare în timpul îndoirii drepte.

Determinat de formula lui Zhuravsky pentru tensiuni de forfecare la curba dreaptă grinzi:

unde S ots este momentul static al zonei transversale a stratului tăiat de fibre longitudinale în raport cu linia neutră.

Calcule ale rezistenței la încovoiere.

1. La calculul de verificare Tensiunea maximă de proiectare este determinată și comparată cu efortul admisibil:

2. La calcul de proiectare selectarea secțiunii grinzii se face din condiția:

3. La determinarea sarcinii admisibile, momentul încovoietor admis este determinat din condiția:

Mișcări de îndoire.

Sub influența sarcinii de încovoiere, axa grinzii se îndoaie. În acest caz, se observă tensiunea fibrelor pe partea convexă și compresia pe partea concavă a fasciculului. În plus, există o mișcare verticală a centrelor de greutate ale secțiunilor transversale și rotația lor față de axa neutră. Pentru a caracteriza deformarea la încovoiere, se folosesc următoarele concepte:

Deviația fasciculului Y- deplasarea centrului de greutate al secțiunii transversale a fasciculului în direcția perpendiculară pe axa acesteia.

Deviația este considerată pozitivă dacă centrul de greutate se mișcă în sus. Cantitatea de deviere variază de-a lungul lungimii fasciculului, adică y = y(z)

Unghiul de rotație al secțiunii- unghiul θ prin care fiecare secțiune se rotește față de poziția inițială. Unghiul de rotație este considerat pozitiv atunci când secțiunea este rotită în sens invers acelor de ceasornic. Mărimea unghiului de rotație variază pe lungimea fasciculului, fiind funcție de θ = θ (z).

Cele mai comune metode pentru determinarea deplasărilor este metoda MoraŞi regula lui Vereșchagin.

metoda lui Mohr.

Procedura de determinare a deplasărilor folosind metoda lui Mohr:

1. Un „sistem auxiliar” este construit și încărcat cu o sarcină unitară în punctul în care trebuie determinată deplasarea. Dacă se determină deplasarea liniară, atunci se aplică o forță unitară în direcția acesteia când se determină deplasările unghiulare, se aplică un moment unitar;

2. Pentru fiecare secțiune a sistemului se notează expresiile pentru momentele încovoietoare M f din sarcina aplicată și M 1 din sarcina unitară.

3. Pe toate secțiunile sistemului, integralele lui Mohr sunt calculate și însumate, rezultând deplasarea dorită:

4. Dacă deplasarea calculată are semn pozitiv, aceasta înseamnă că direcția sa coincide cu direcția forței unitare. Un semn negativ indică faptul că deplasarea reală este opusă direcției forței unității.

regula lui Vereșchagin.

Pentru cazul în care diagrama momentelor încovoietoare de la o sarcină dată are un contur arbitrar, iar dintr-o sarcină unitară - un contur rectiliniu, este convenabil să folosiți metoda grafico-analitică sau regula lui Vereshchagin.

unde A f este aria diagramei momentului încovoietor M f de la o sarcină dată; y c – ordonata diagramei dintr-o unitate de sarcină sub centrul de greutate al diagramei M f; EI x este rigiditatea secțiunii secțiunii grinzii. Calculele folosind această formulă se fac în secțiuni, în fiecare dintre acestea diagrama în linie dreaptă ar trebui să fie fără fracturi. Valoarea (A f *y c) este considerată pozitivă dacă ambele diagrame sunt situate pe aceeași parte a fasciculului, negativă dacă sunt situate de-a lungul laturi diferite. Un rezultat pozitiv al înmulțirii diagramelor înseamnă că direcția de mișcare coincide cu direcția unei forțe (sau moment) unitare. O diagramă complexă M f ar trebui împărțită în figuri simple (se folosește așa-numita „stratificare a parcelei”), pentru fiecare dintre acestea fiind ușor de determinat ordonata centrului de greutate. În acest caz, aria fiecărei figuri este înmulțită cu ordonata de sub centrul său de greutate.

Pentru o grindă cantilever încărcată cu o sarcină distribuită de intensitate kN/m și un moment concentrat de kN m (Fig. 3.12), este necesar să: construiți diagrame ale forțelor tăietoare și momentelor încovoietoare, selectați o grindă de secțiune transversală circulară cu cel admisibil tensiune normală kN/cm2 și se verifică rezistența grinzii prin tensiuni tangenţiale la efortul tangenţial admisibil kN/cm2. Dimensiunile grinzii m; m; m.

Schema de calcul pentru problema îndoirii transversale directe

Orez. 3.12

Rezolvarea problemei „încovoiere transversală dreaptă”

Determinarea reacțiilor de sprijin

Reacția orizontală în ansamblu este zero, deoarece sarcinile externe pe direcția axei z nu acționează asupra fasciculului.

Alegem direcțiile forțelor de reacție rămase care apar în înglobare: vom direcționa reacția verticală, de exemplu, în jos, iar momentul - în sensul acelor de ceasornic. Valorile lor sunt determinate din ecuațiile statice:

Când compunem aceste ecuații, considerăm că momentul este pozitiv când se rotește în sens invers acelor de ceasornic, iar proiecția forței este pozitivă dacă direcția acesteia coincide cu direcția pozitivă a axei y.

Din prima ecuație găsim momentul la sigiliu:

Din a doua ecuație - reacție verticală:

Primit de noi valori pozitive pentru moment și reacția verticală în înglobare indică faptul că le-am ghicit direcțiile.

În conformitate cu natura fixării și încărcării grinzii, împărțim lungimea acesteia în două secțiuni. De-a lungul limitelor fiecăreia dintre aceste secțiuni vom schița patru secțiuni transversale (vezi Fig. 3.12), în care vom folosi metoda secțiunilor (ROZU) pentru a calcula valorile forțelor tăietoare și momentelor încovoietoare.

Secțiunea 1. Să aruncăm mental partea dreaptă a fasciculului. Să înlocuim acțiunea sa pe partea stângă rămasă cu o forță de tăiere și un moment de încovoiere. Pentru confortul calculării valorilor acestora, să acoperim partea dreaptă aruncată a grinzii cu o bucată de hârtie, aliniind marginea stângă a foii cu secțiunea luată în considerare.

Să ne amintim că forța tăietoare care apare în orice secțiune transversală trebuie să echilibreze toate forțele externe (active și reactive) care acționează asupra părții grinzii care este considerată (adică vizibilă) de noi. Prin urmare, forța de forfecare trebuie să fie egală cu suma algebrică a tuturor forțelor pe care le vedem.

Să prezentăm și regula semnelor pentru forța de forfecare: o forță externă care acționează asupra părții grinzii luate în considerare și care tinde să „roteze” această parte în raport cu secțiunea în sensul acelor de ceasornic determină o forță de forfecare pozitivă în secțiune. O astfel de forță externă este inclusă în suma algebrică pentru definiția cu semnul plus.

În cazul nostru, vedem doar reacția suportului, care rotește partea din fascicul vizibilă pentru noi față de prima secțiune (față de marginea bucății de hârtie) în sens invers acelor de ceasornic. De aceea

kN.

Momentul încovoietor în orice secțiune trebuie să echilibreze momentul creat de forțele exterioare vizibile pentru noi în raport cu secțiunea în cauză. În consecință, este egală cu suma algebrică a momentelor tuturor forțelor care acționează asupra părții grinzii pe care o luăm în considerare, raportată la secțiunea luată în considerare (cu alte cuvinte, raportată la marginea bucății de hârtie). În același timp sarcina externă, îndoirea părții considerate a grinzii cu o convexă în jos, determină un moment încovoietor pozitiv în secțiune. Iar momentul creat de o astfel de încărcare este inclus în suma algebrică pentru determinare cu un semn „plus”.

Vedem două eforturi: reacția și momentul de închidere. Cu toate acestea, pârghia forței în raport cu secțiunea 1 este zero. De aceea

kNm.

Am luat semnul „plus” deoarece momentul reactiv îndoaie partea din fascicul vizibilă pentru noi cu o convexă în jos.

Secțiunea 2. Ca și înainte, vom acoperi toată partea dreaptă a grinzii cu o bucată de hârtie. Acum, spre deosebire de prima secțiune, forța are un umăr: m

kN; kNm.

Secțiunea 3. Închizând partea dreaptă a grinzii, găsim

kN;

Secțiunea 4. Acoperiți partea stângă a grinzii cu o foaie. Apoi

kNm.

Folosind valorile găsite, construim diagrame ale forțelor tăietoare (Fig. 3.12, b) și momentelor încovoietoare (Fig. 3.12, c).

În zonele neîncărcate, diagrama forțelor de forfecare merge paralel cu axa grinzii și sub o sarcină distribuită q - de-a lungul unei linii drepte înclinate în sus. Sub reacția suport din diagramă există un salt în jos cu valoarea acestei reacții, adică cu 40 kN.

În diagrama momentelor încovoietoare vedem o rupere sub reacția de sprijin. Unghiul de îndoire este îndreptat spre reacția de sprijin. Sub o sarcină distribuită q, diagrama se modifică de-a lungul unei parabole pătratice, a cărei convexitate este îndreptată spre sarcină. În secțiunea 6 a diagramei există un extremum, deoarece diagrama forței de forfecare în acest loc trece prin valoarea zero.

Determinați diametrul secțiunii transversale necesar al grinzii

Condiția normală de rezistență la stres are forma:

unde este momentul de rezistenţă al grinzii la încovoiere. Pentru o grindă cu secțiune transversală circulară este egală cu:

Cea mai mare valoare absolută a momentului încovoietor apare în a treia secțiune a grinzii: kN cm

Apoi, diametrul fasciculului necesar este determinat de formulă

cm.

Acceptăm mm. Apoi

kN/cm2 kN/cm2.

„Supratensiune” este

ceea ce este permis.

Verificăm rezistența grinzii prin cele mai mari solicitări de forfecare

Cele mai mari solicitări de forfecare apar în secțiunea transversală a grinzii secțiune rotundă, sunt calculate prin formula

unde este aria secțiunii transversale.

Conform diagramei, cea mai mare valoare algebrică a forței tăietoare este egală cu kN. Apoi

kN/cm2 kN/cm2,

adică este satisfăcută și condiția de rezistență pentru tensiuni tangențiale și cu o marjă mare.

Un exemplu de rezolvare a problemei „încovoiere transversală dreaptă” nr. 2

Starea unui exemplu de problemă la îndoirea dreaptă transversală

Pentru o grindă susținută simplu, încărcată cu o sarcină distribuită de intensitate kN/m, forță concentrată kN și moment concentrat kN m (Fig. 3.13), este necesar să se construiască diagrame ale forțelor tăietoare și ale momentelor încovoietoare și să se selecteze o grindă de grindă în I. secțiune transversală cu o efort normal admisibil kN/cm2 și efort tangenţial admisibil kN/cm2. Lungimea grinzii m.

Un exemplu de problemă de îndoire dreaptă - diagramă de calcul

Orez. 3.13

Rezolvarea unui exemplu de problemă la îndoirea dreaptă

Determinarea reacțiilor de sprijin

Pentru o grindă pur și simplu susținută dată, este necesar să se găsească trei reacții de sprijin: , și . Deoarece asupra grinzii acționează numai sarcini verticale perpendiculare pe axa acesteia, reacția orizontală a suportului articulat fix A este nulă: .

Direcțiile reacțiilor verticale sunt alese arbitrar. Să direcționăm, de exemplu, ambele reacții verticale în sus. Pentru a calcula valorile lor, să creăm două ecuații statice:

Să ne amintim că rezultanta unei sarcini liniare , uniform distribuită pe o secțiune de lungime l, este egală cu , adică egală cu aria diagramei acestei sarcini și se aplică la centrul de greutate al acesteia diagramă, adică la mijlocul lungimii.

;

kN.

Să verificăm: .

Reamintim că forțele a căror direcție coincide cu direcția pozitivă a axei y sunt proiectate (proiectate) pe această axă cu semnul plus:

asta e adevarat.

Construim diagrame ale forțelor tăietoare și ale momentelor încovoietoare

Împărțim lungimea fasciculului în secțiuni separate. Limitele acestor secțiuni sunt punctele de aplicare a forțelor concentrate (active și/sau reactive), precum și punctele corespunzătoare începutului și sfârșitului sarcinii distribuite. Există trei astfel de secțiuni în problema noastră. De-a lungul limitelor acestor secțiuni vom schița șase secțiuni transversale, în care vom calcula valorile forțelor tăietoare și ale momentelor încovoietoare (Fig. 3.13, a).

Secțiunea 1. Să aruncăm mental partea dreaptă a fasciculului. Pentru confortul calculării forței de forfecare și a momentului de încovoiere care apar în această secțiune, vom acoperi partea din grinda pe care am aruncat-o cu o bucată de hârtie, aliniind marginea stângă a foii de hârtie cu secțiunea în sine.

Forța de forfecare în secțiunea grinzii este egală cu suma algebrică a tuturor forțelor externe (active și reactive) pe care le vedem. ÎN în acest caz, vedem reacția de sprijin și sarcina liniară q distribuite pe o lungime infinitezimală. Sarcina liniară rezultată este zero. De aceea

kN.

Semnul plus este luat deoarece forța rotește partea din fascicul vizibilă pentru noi față de prima secțiune (marginea unei bucăți de hârtie) în sensul acelor de ceasornic.

Momentul încovoietor în secțiunea grinzii este egal cu suma algebrică a momentelor tuturor forțelor pe care le vedem în raport cu secțiunea luată în considerare (adică relativ la marginea bucății de hârtie). Vedem reacția suportului și sarcina liniară q distribuite pe o lungime infinitezimală. Cu toate acestea, forța are un efect de pârghie de zero. Sarcina liniară rezultată este, de asemenea, zero. De aceea

Secțiunea 2. Ca și înainte, vom acoperi toată partea dreaptă a grinzii cu o bucată de hârtie. Acum vedem reacția și sarcina q acționând asupra unei secțiuni de lungime . Sarcina liniară rezultată este egală cu . Este atașat la mijlocul unei secțiuni de lungime. De aceea

Să ne amintim că atunci când determinăm semnul momentului încovoietor, eliberăm mental partea din grinda pe care o vedem de toate elementele de fixare de susținere reale și ne imaginăm ca și cum ar fi ciupită în secțiunea luată în considerare (adică ne imaginăm mental marginea stângă). a bucăţii de hârtie ca înglobare rigidă).

Secțiunea 3. Închideți partea dreaptă. Primim

Secțiunea 4. Acoperiți partea dreaptă a grinzii cu o foaie. Apoi

Acum, pentru a verifica corectitudinea calculelor, să acoperim partea stângă a grinzii cu o bucată de hârtie. Vedem forța concentrată P, reacția suportului drept și sarcina liniară q distribuită pe o lungime infinitezimală. Sarcina liniară rezultată este zero. De aceea

kNm.

Adică totul este corect.

Secțiunea 5. Ca și înainte, închideți partea stângă a grinzii. Vom avea

kN;

kNm.

Secțiunea 6. Să închidem din nou partea stângă a grinzii. Primim

kN;

Utilizând valorile găsite, construim diagrame ale forțelor tăietoare (Fig. 3.13, b) și ale momentelor încovoietoare (Fig. 3.13, c).

Ne asigurăm că sub zona descărcată diagrama forțelor de forfecare se desfășoară paralel cu axa grinzii și sub o sarcină distribuită q - de-a lungul unei linii drepte înclinate în jos. Există trei salturi în diagramă: sub reacție - în sus cu 37,5 kN, sub reacție - în sus cu 132,5 kN și sub forța P - în jos cu 50 kN.

În diagrama momentelor încovoietoare vedem rupturi sub forța concentrată P și sub reacțiile de sprijin. Unghiurile de rupere sunt îndreptate spre aceste forțe. Sub o sarcină distribuită de intensitate q, diagrama se modifică de-a lungul unei parabole pătratice, a cărei convexitate este îndreptată spre sarcină. Sub momentul concentrat are loc un salt de 60 kN m, adică prin mărimea momentului însuși. În secțiunea 7 a diagramei există un extremum, deoarece diagrama forței de forfecare pentru această secțiune trece prin valoarea zero (). Să determinăm distanța de la secțiunea 7 până la suportul din stânga.

Procesul de proiectare al clădirilor și structurilor moderne este reglementat de un număr mare de coduri și reglementări diferite de construcție. În cele mai multe cazuri, standardele cer ca anumite caracteristici să fie asigurate, de exemplu, deformarea sau deformarea grinzilor plăcilor de pardoseală sub sarcină statică sau dinamică. De exemplu, SNiP nr. 2.09.03-85 determină, pentru suporturi și treceri, deformarea grinzii nu este mai mare de 1/150 din lungimea travei. Pentru podele de mansardă această cifră este deja de 1/200, iar pentru grinzile interfloor este și mai mică - 1/250. Prin urmare, una dintre etapele obligatorii de proiectare este efectuarea unui calcul al deformarii fasciculului.

Modalități de a efectua calcule și teste de deformare

Motivul pentru care SNiP-urile stabilesc astfel de restricții draconice este simplu și evident. Cu cât deformarea este mai mică, cu atât marja de rezistență și flexibilitate a structurii este mai mare. Pentru o deformare mai mică de 0,5%, elementul portant, grinda sau placa se păstrează în continuare proprietăți elastice, care garantează redistribuirea normală a forțelor și păstrarea integrității întregii structuri. Odată cu deformarea crescândă, cadrul clădirii se îndoaie, rezistă, dar stă în picioare, trecând dincolo de limite valoare admisibilă legăturile se rup, iar structura își pierde rigiditatea și capacitatea portantă ca o avalanșă.

Utilizați un calculator software online, în care condițiile standard sunt „conectate” și nimic mai mult;
Utilizați date de referință gata făcute pentru diverse tipuriși tipuri de grinzi, pentru diferite modele de încărcare de susținere. Este necesar doar să se identifice corect tipul și dimensiunea fasciculului și să se determine deformarea dorită;
Calculați deviația permisă cu mâinile și cu capul, majoritatea designerilor fac acest lucru, în timp ce controlează inspectorii de arhitectură și construcții preferă a doua metodă de calcul.

Pentru informația dumneavoastră! Pentru a înțelege cu adevărat de ce este atât de important să cunoaștem magnitudinea abaterii de la poziția inițială, merită să înțelegeți că măsurarea cantității de deviere este singura modalitate accesibilă și fiabilă de a determina starea fasciculului în practică.

Măsurând cât de mult s-a lăsat grinda tavanului, puteți determina cu o certitudine de 99% dacă structura este în paragină sau nu.

Metoda de realizare a calculelor de deformare

Înainte de a începe calculul, va trebui să vă amintiți unele dependențe din teoria rezistenței materialelor și să întocmiți o diagramă de calcul. În funcție de cât de corect este executată diagrama și de condițiile de încărcare sunt luate în considerare, acuratețea și corectitudinea calculului vor depinde.

Noi folosim cel mai simplu model grinda încărcată prezentată în diagramă. Cea mai simplă analogie a unei grinzi poate fi o riglă de lemn, fotografie.

În cazul nostru, fasciculul:

Are o sectiune dreptunghiulara S=b*h, lungimea piesei de sustinere este L;
Rigla este încărcată cu o forță Q care trece prin centrul de greutate al planului îndoit, în urma căreia capetele se rotesc printr-un unghi mic θ, cu o deviere față de poziția orizontală inițială , egal cu f;
Capetele grinzii se sprijină în mod articulat și liber pe suporturi fixe, în consecință, nu există o componentă orizontală a reacției, iar capetele riglei se pot deplasa în orice direcție;

Pentru a determina deformarea unui corp sub sarcină, utilizați formula modulului elastic, care este determinată de raportul E = R/Δ, unde E este o valoare de referință, R este forța, Δ este cantitatea de deformare a corpului .

Calculați momentele de inerție și forțele

Pentru cazul nostru, dependența va arăta astfel: Δ = Q/(S E) . Pentru o sarcină q distribuită de-a lungul grinzii, formula va arăta astfel: Δ = q h/(S E) .

Ceea ce urmează este cel mai important punct. Diagrama Young de mai sus arată deformarea unei grinzi sau deformarea unei rigle ca și cum ar fi zdrobită sub o presă puternică. În cazul nostru, grinda este îndoită, ceea ce înseamnă că la capetele riglei, în raport cu centrul de greutate, se aplică două momente încovoietoare cu semn diferit. Diagrama de încărcare pentru o astfel de grindă este prezentată mai jos.

Pentru a transforma dependența lui Young pentru momentul încovoietor, este necesar să înmulțim ambele părți ale egalității cu umărul L. Obținem Δ*L = Q·L/(b·h·E) .

Dacă ne imaginăm că unul dintre suporturi este fixat rigid, iar celui de-al doilea i se va aplica un moment de echilibrare echivalent al forțelor M max = q*L*2/8, în consecință, mărimea deformației grinzii va fi exprimată prin dependență. Δх = M x/((h/3) b (h/2) E). Mărimea b h 2 /6 se numește momentul de inerție și se numește W. Rezultatul este Δx = M x / (W E) formula fundamentală pentru calcularea unei grinzi pentru încovoiere W = M / E prin momentul de inerție și momentul încovoietor.

Pentru a calcula cu exactitate deformarea, va trebui să cunoașteți momentul încovoietor și momentul de inerție. Valoarea primului poate fi calculată, dar formula specifică de calcul a unei grinzi pentru deformare va depinde de condițiile de contact cu suporturile pe care se află grinda și, respectiv, de metoda de încărcare pentru o sarcină distribuită sau concentrată. Momentul încovoietor de la o sarcină distribuită se calculează folosind formula Mmax = q*L 2 /8. Formulele date sunt valabile numai pentru o sarcină distribuită. Pentru cazul în care presiunea asupra fasciculului este concentrată într-un anumit punct și adesea nu coincide cu axa de simetrie, formula de calcul a deformarii trebuie să fie derivată folosind calcul integral.

Momentul de inerție poate fi considerat ca echivalentul rezistenței unei grinzi la sarcina de încovoiere. Mărimea momentului de inerție pentru o grindă dreptunghiulară simplă poate fi calculată folosind formula simplă W=b*h 3 /12, unde b și h sunt dimensiunile secțiunii transversale ale grinzii.

Din formulă este clar că aceeași riglă sau tablă secțiune dreptunghiulară poate avea un moment de inerție complet diferit și o cantitate de deformare dacă îl puneți pe suporturi mod tradițional sau pune-l pe muchie. Nu e de mirare că aproape toate elementele sistem de căpriori Acoperișurile sunt realizate nu din cherestea de 100x150, ci din scânduri de 50x150.

Secțiuni reale structuri de constructii poate avea o varietate de profile, de la pătrat, cerc până la forme complexe de grinzi în I sau canale. În același timp, determinarea manuală a momentului de inerție și a cantității de deviere, „pe hârtie”, pentru astfel de cazuri devine o sarcină netrivială pentru un constructor neprofesionist.

Formule pentru utilizare practică

În practică, cel mai adesea se confruntă sarcina opusă - determinarea marjei de siguranță a podelelor sau a pereților pentru un caz specific pe baza unei valori cunoscute de deformare. În domeniul construcțiilor, este foarte dificil să evaluezi factorul de siguranță de către alții, metode nedistructive. Adesea, pe baza mărimii deformarii, este necesar să se efectueze un calcul, să se evalueze factorul de siguranță al clădirii și starea generală. structuri portante. Mai mult, pe baza măsurătorilor efectuate se determină dacă deformația este acceptabilă, conform calculului, sau dacă clădirea se află în stare de urgență.

Sfat! În materie de calcul stare limită grinzile în ceea ce privește deviația, cerințele SNiP oferă un serviciu de neprețuit. Prin setarea limitei de deviere într-o valoare relativă, de exemplu, 1/250, codurile de constructie facilitează semnificativ determinarea stării de urgență a unei grinzi sau plăci.

De exemplu, dacă intenționați să cumpărați o clădire finită care a stat destul de mult timp pe un sol problematic, ar fi util să verificați starea tavanului pe baza deformarii existente. Știind totul normă admisibilă deformarea și lungimea grinzii, se poate aprecia fără niciun calcul cât de critică este starea structurii.

Inspecția construcției în timpul evaluării și evaluării deformației capacitate portantă suprapunerea merge într-un mod mai complicat:

Inițial se măsoară geometria plăcii sau grinzii și se înregistrează valoarea deformarii;
Pe baza parametrilor măsurați, se determină sortimentul fasciculului, apoi se selectează formula pentru momentul de inerție din cartea de referință;
Momentul de forță este determinat de deformarea și momentul de inerție, după care, cunoscând materialul, se pot calcula tensiunile reale într-o grindă de metal, beton sau lemn.

Întrebarea este de ce este atât de dificil dacă deformarea poate fi obținută folosind formula de calcul pentru o grindă simplă pe suporturi articulate f=5/24*R*L 2 /(E*h) sub o forță distribuită. Este suficient să cunoașteți lungimea deschiderii L, înălțimea profilului, rezistența de proiectare R și modulul elastic E pentru material specific plafoane

Sfat! Utilizați în calculele dumneavoastră colecții departamentale existente de diverse organizații de proiectare, în care toate formulele necesare pentru determinarea și calcularea stării de încărcare limită sunt rezumate într-o formă condensată.

Concluzie

Majoritatea dezvoltatorilor și proiectanților de clădiri serioase acționează într-un mod similar. Programul este bun, ajută la calcularea foarte rapidă a parametrilor de deformare și de încărcare de bază ai pardoselii, dar este, de asemenea, important să se ofere clientului dovezi documentare ale rezultatelor obținute sub formă de calcule secvențiale specifice pe hârtie.