1. Ecuația laturilor AB și BC și coeficienții lor unghiulari.
Atribuirea oferă coordonatele punctelor prin care trec aceste drepte, deci vom folosi ecuația unei drepte care trece prin două puncte date $$\frac(x-x_1)(x_2-x_1)=\frac(y-y_1) (y_2-y_1)$ $ înlocuiți și obțineți ecuațiile
ecuația dreptei AB $$\frac(x+6)(6+6)=\frac(y-8)(-1-8) => y = -\frac(3)(4)x + \frac( 7 )(2)$$ pantă linia dreaptă AB este egală cu \(k_(AB) = -\frac(3)(4)\)
ecuația dreptei BC $$\frac(x-4)(6-4)=\frac(y-13)(-1-13) => y = -7x + 41$$ panta dreptei BC este egală cu \ (k_( BC) = -7\)
2. Unghiul B în radiani cu o precizie de două cifre
Unghiul B este unghiul dintre liniile AB și BC, care se calculează prin formula $$tg\phi=|\frac(k_2-k_1)(1+k_2*k_1)|$$înlocuiește valorile coeficienților unghiulari dintre aceste linii și obțineți $$tg\ phi=|\frac(-7+\frac(3)(4))(1+7*\frac(3)(4))| = 1 => \phi = \frac(\pi)(4) \aproximativ 0,79$$
3.Lungimea laturii AB
Lungimea laturii AB se calculează ca distanța dintre puncte și este egală cu \(d = \sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)\) => $$d_(AB) = \sqrt((6+ 6)^2+(-1-8)^2) = 15$$
4. Ecuația înălțimii CD și a lungimii acestuia.
Vom găsi ecuația înălțimii folosind formula unei drepte care trece printr-un punct dat C(4;13) într-o direcție dată - perpendicular pe dreapta AB folosind formula \(y-y_0=k(x-x_0) \). Să găsim coeficientul unghiular al înălțimii \(k_(CD)\) folosind proprietatea dreptelor perpendiculare \(k_1=-\frac(1)(k_2)\) obținem $$k_(CD)= -\frac(1). )(k_(AB) ) = -\frac(1)(-\frac(3)(4)) = \frac(4)(3)$$ Inlocuim o dreapta in ecuatie, obtinem $$y - 13 = \frac(4)(3) (x-4) => y = \frac(4)(3)x+\frac(23)(3)$$ Vom căuta lungimea înălțimii ca distanța de la punctul C(4;13) la linia dreaptă AB folosind formula $$d = \frac(Ax_0+By_0+C)(\sqrt(A^2+B^2))$$ în numărător este ecuația a dreptei AB, să o reducem la această formă \(y = -\frac(3)(4)x + \frac(7)(2) => 4y+3x-14 = 0\) , înlocuiți rezultatul ecuația și coordonatele punctului în formula $$d = \frac(4*13+3*4-14 )(\sqrt( 4^2+3^2)) = \frac(50)(5) = 10$$
5. Ecuația medianei AE și coordonatele punctului K, intersecția acestei mediane cu înălțimea CD.
Vom căuta ecuația mediei ca ecuație a unei drepte care trece prin două puncte date A(-6;8) și E, unde punctul E este punctul de mijloc dintre punctele B și C și coordonatele sale sunt găsite conform formula \(E(\frac(x_2+x_1) (2);\frac(y_2+y_1)(2))\) înlocuiți coordonatele punctelor \(E(\frac(6+4)(2); \frac(-1+13)(2))\) = > \(E(5; 6)\), atunci ecuația mediei AE va fi următorul $$\frac(x+6)(5+ 6)=\frac(y-8)(6-8) => y = - \frac(2)(11)x + \frac(76)(11)$$Să găsim coordonatele punctului de intersecție al lui înălțimile și mediana, i.e. hai sa le gasim punct comun Pentru a face acest lucru, creăm o ecuație de sistem $$\begin(cases)y = -\frac(2)(11)x + \frac(76)(11)\\y = \frac(4)(3)x+ \frac(23 )(3)\end(cases)=>\begin(cases)11y = -2x +76\\3y = 4x+23\end(cases)=>$$$$\begin(cases)22y = -4x + 152\\3y = 4x+23\end(cases)=> \begin(cases)25y =175\\3y = 4x+23\end(cases)=> $$$$\begin(cases) y =7\ \ x=-\frac(1)(2)\end(cases)$$ Coordonatele punctului de intersecție \(K(-\frac(1)(2);7)\)
6. Ecuația unei drepte care trece prin punctul K paralel cu latura AB.
Dacă linia dreaptă este paralelă, atunci coeficienții lor unghiulari sunt egali, adică \(k_(AB)=k_(K) = -\frac(3)(4)\), sunt cunoscute și coordonatele punctului \(K(-\frac(1)(2);7)\) , adică . pentru a găsi ecuația unei drepte, aplicăm formula pentru ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat într-o direcție dată \(y - y_0=k(x-x_0)\), înlocuim datele și obținem $ $y - 7= -\frac(3)(4) (x-\frac(1)(2)) => y = -\frac(3)(4)x + \frac(53)(8)$ $
8. Coordonatele punctului M care este simetric cu punctul A în raport cu dreapta CD.
Punctul M se află pe dreapta AB, deoarece CD este înălțimea de pe această parte. Să găsim punctul de intersecție al lui CD și AB; pentru a face acest lucru, rezolvăm sistemul de ecuații $$\begin(cases)y = \frac(4)(3)x+\frac(23)(3)\\y = - \frac(3)(4) x + \frac(7)(2)\end(cases) =>\begin(cases)3y = 4x+23\\4y =-3x + 14\end(cases) => $$$$\begin(cases )12y = 16x+92\\12y =-9x + 42\end(cases) =>
\begin(cases)0= 25x+50\\12y =-9x + 42\end(cases) => $$$$\begin(cases)x=-2\\y=5 \end(cases)$$ Coordonatele punctului D(-2;5). Conform condiției AD=DK, această distanță dintre puncte se găsește prin formula pitagoreică \(d = \sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)\), unde AD și DK sunt ipotenuzele triunghiurilor dreptunghice egale, iar \(Δx =x_2-x_1\) și \(Δy=y_2-y_1\) sunt catetele acestor triunghiuri, i.e. să găsim catetele și să găsim coordonatele punctului M. \(Δx=x_D-x_A = -2+6=4\), și \(Δy=y_D-y_A = 5-8=-3\), apoi coordonatele a punctului M va fi egal \ (x_M-x_D = Δx => x_D +Δx =-2+4=2 \), și \(y_M-y_D = Δy => y_D +Δy =5-3=2 \), am constatat că coordonatele punctului \( M(2;2)\)
Problema 1. Coordonatele vârfurilor triunghiului ABC sunt date: A(4; 3), B(16;-6), C(20; 16). Aflați: 1) lungimea laturii AB; 2) ecuațiile laturilor AB și BC și coeficienții lor unghiulari; 3) unghiul B în radiani cu o precizie de două cifre; 4) ecuația înălțimii CD și lungimea acesteia; 5) ecuația medianei AE și coordonatele punctului K de intersecție a acestei mediane cu înălțimea CD; 6) ecuația unei drepte care trece prin punctul K paralel cu latura AB; 7) coordonatele punctului M, situate simetric față de punctul A relativ la dreapta CD.
Soluţie:
1. Distanța d dintre punctele A(x 1 ,y 1) și B(x 2 ,y 2) este determinată de formula
Aplicând (1), găsim lungimea laturii AB:
2. Ecuația dreptei care trece prin punctele A(x 1 ,y 1) și B(x 2 ,y 2) are forma
(2)
Înlocuind coordonatele punctelor A și B în (2), obținem ecuația laturii AB:
După ce am rezolvat ultima ecuație pentru y, găsim ecuația laturii AB sub forma unei ecuații în linie dreaptă cu un coeficient unghiular:
Unde
Înlocuind coordonatele punctelor B și C în (2), obținem ecuația dreptei BC:
Sau 
3. Se știe că tangentei unghiului dintre două drepte, ai căror coeficienți unghiulari sunt respectiv egali, se calculează prin formula
(3)
Unghiul dorit B este format din drepte AB și BC ai căror coeficienți unghiulari se găsesc: Aplicând (3), obținem
Sau bucuros.
4. Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat într-o direcție dată are forma
(4)
Înălțimea CD este perpendiculară pe latura AB. Pentru a afla panta înălțimii CD, folosim condiția de perpendicularitate a dreptelor. De atunci 
Înlocuind în (4) coordonatele punctului C și coeficientul unghiular de înălțime găsit, obținem
Pentru a afla lungimea înălțimii CD, determinăm mai întâi coordonatele punctului D - punctul de intersecție al dreptelor AB și CD. Rezolvarea sistemului împreună:
găsim 
acestea. D(8;0).
Folosind formula (1) găsim lungimea înălțimii CD:
5. Pentru a găsi ecuația mediei AE, determinăm mai întâi coordonatele punctului E, care este mijlocul laturii BC, folosind formulele de împărțire a unui segment în două părți egale:
(5)
Prin urmare,
Înlocuind coordonatele punctelor A și E în (2), găsim ecuația pentru mediana:
Pentru a găsi coordonatele punctului de intersecție al înălțimii CD și medianei AE, rezolvăm împreună sistemul de ecuații
Găsim.
6. Deoarece linia dreaptă dorită este paralelă cu latura AB, coeficientul ei unghiular va fi egal cu coeficientul unghiular al dreptei AB. Înlocuind în (4) coordonatele punctului K găsit și coeficientul unghiular obținem 
3x + 4y – 49 = 0 (KF)
7. Deoarece dreapta AB este perpendiculară pe dreapta CD, punctul dorit M, situat simetric față de punctul A față de dreapta CD, se află pe dreapta AB. În plus, punctul D este punctul de mijloc al segmentului AM. Folosind formulele (5), găsim coordonatele punctului dorit M:
Triunghiul ABC, înălțimea CD, mediana AE, linia dreaptă KF și punctul M sunt construite în sistemul de coordonate xOy din Fig. 1.
Sarcina 2.
Creați o ecuație pentru locul punctelor ale căror distanțe la un punct dat A(4; 0) și la o dreaptă dată x=1 sunt egale cu 2. 
Soluţie:
În sistemul de coordonate xOy, construim punctul A(4;0) și dreapta x = 1. Fie M(x;y) un punct arbitrar al locației geometrice dorite a punctelor. Să coborâm perpendiculara MB pe dreapta dată x = 1 și să determinăm coordonatele punctului B. Deoarece punctul B se află pe dreapta dată, abscisa sa este egală cu 1. ordonata punctului B este egală cu ordonata punctului M Prin urmare, B(1;y) (Fig. 2).
Conform condițiilor problemei |MA|: |MV| = 2. Distante |MA| și |MB| găsim din formula (1) a problemei 1:
Pătratând părțile stânga și dreaptă, obținem
sau
Ecuația rezultată este o hiperbolă în care semiaxa reală este a = 2, iar semiaxa imaginară este
Să definim focarele unei hiperbole. Pentru o hiperbolă, egalitatea este satisfăcută. Prin urmare, și 
– trucuri de hiperbole. După cum puteți vedea, punctul dat A(4;0) este focalizarea dreaptă a hiperbolei.
Să determinăm excentricitatea hiperbolei rezultate:
Ecuațiile asimptotelor hiperbolelor au forma și . Prin urmare, sau și sunt asimptote ale unei hiperbole. Înainte de a construi o hiperbolă, îi construim asimptotele.
Problema 3. Creați o ecuație pentru locusul punctelor echidistante de punctul A(4; 3) și dreapta y = 1. Reduceți ecuația rezultată la forma sa cea mai simplă.
Soluţie: Fie M(x; y) unul dintre punctele locului geometric dorit al punctelor. Să aruncăm perpendiculara MB din punctul M la această dreaptă y = 1 (Fig. 3). Să determinăm coordonatele punctului B. Evident, abscisa punctului B este egală cu abscisa punctului M, iar ordonata punctului B este egală cu 1, adică B(x; 1). Conform condițiilor problemei |MA|=|MV|. În consecință, pentru orice punct M(x;y) aparținând locului geometric dorit al punctelor, următoarea egalitate este adevărată:
Ecuația rezultată definește o parabolă cu un vârf în punct. Pentru a aduce ecuația parabolei la forma sa cea mai simplă, să setăm și y + 2 = Y, atunci ecuația parabolei ia forma: 
Un exemplu de rezolvare a unor sarcini din lucrarea standard „Geometrie analitică pe un plan”
Vârfurile sunt date, 
,
triunghiul ABC. Găsi:
Ecuațiile tuturor laturilor unui triunghi;
Sistem de inegalități liniare care definește un triunghi ABC;
Ecuațiile altitudinii, medianei și bisectoarei unui triunghi desenate din vârf A;
Punctul de intersecție al altitudinilor triunghiului;
Punctul de intersecție al medianelor triunghiului;
Lungimea înălțimii coborâtă în lateral AB;
Colţ A;
Faceți un desen.
Fie că vârfurile triunghiului au coordonate: A (1; 4), ÎN (5; 3), CU(3; 6). Să desenăm imediat un desen:
1. Pentru a scrie ecuațiile tuturor laturilor unui triunghi, folosim ecuația unei drepte care trece prin două puncte date cu coordonate ( X 0 , y 0 ) Și ( X 1 , y 1 ):
=
Astfel, înlocuind în loc de ( X 0 , y 0 ) coordonatele punctului A, iar în loc de ( X 1 , y 1 ) coordonatele punctului ÎN, obținem ecuația dreptei AB:
Ecuația rezultată va fi ecuația dreptei AB, scris in forma generala. În mod similar, găsim ecuația dreptei AC:
Și, de asemenea, ecuația dreptei Soare:
2. Rețineți că mulțimea de puncte a triunghiului ABC reprezintă intersecția a trei semiplane, iar fiecare semiplan poate fi definit folosind o inegalitate liniară. Dacă luăm ecuația oricărei părți ∆ ABC, De exemplu AB, apoi inegalitățile
Și 
definiți punctele aflate de-a lungul laturi diferite din linia dreaptă AB. Trebuie să alegem semiplanul în care se află punctul C. Să înlocuim coordonatele acestuia în ambele inegalități:
A doua inegalitate va fi corectă, ceea ce înseamnă că punctele necesare sunt determinate de inegalitate
.
Facem același lucru cu dreapta BC, ecuația ei 
. Folosim punctul A (1, 1) ca punct de testare:
Aceasta înseamnă că inegalitatea necesară are forma:
.
Dacă verificăm linia dreaptă AC (punctul de testare B), obținem:
Aceasta înseamnă că inegalitatea necesară va avea forma
În final, obținem un sistem de inegalități:
Semnele „≤”, „≥” înseamnă că punctele situate pe laturile triunghiului sunt de asemenea incluse în setul de puncte care alcătuiesc triunghiul ABC.
3. a) Pentru a găsi ecuația pentru înălțimea căzută de la vârf Aîn lateral Soare, luați în considerare ecuația laturii Soare:
. Vector cu coordonate 
perpendicular pe lateral Soareși deci paralel cu înălțimea. Să scriem ecuația unei drepte care trece printr-un punct A paralel cu vectorul 
:
Aceasta este ecuația pentru înălțimea omisă din t. Aîn lateral Soare.
b) Aflați coordonatele mijlocului laturii Soare dupa formulele: 
Aici 
– acestea sunt coordonatele lui t. ÎN, A 
– coordonatele t. CU. Să înlocuim și să obținem:
Linia dreaptă care trece prin acest punct și punctul A este mediana necesară:
c) Vom căuta ecuația bisectoarei pe baza faptului că într-un triunghi isoscel înălțimea, mediana și bisectoarea coborâtă de la un vârf la baza triunghiului sunt egale. Să găsim doi vectori 
Și 
si lungimile lor:
Apoi vectorul 
are aceeași direcție ca vectorul 
, și lungimea acestuia 
La fel, vectorul unitar 
coincide în direcția cu vectorul 
Suma vectorială
există un vector care coincide în direcție cu bisectoarea unghiului A. Astfel, ecuația bisectoarei dorite poate fi scrisă astfel:
4) Am construit deja ecuația pentru una dintre înălțimi. Să construim o ecuație pentru o altă înălțime, de exemplu, din vârf ÎN. Latură AC dat de ecuaţie 
Deci vectorul 
perpendicular AC, și astfel paralel cu înălțimea dorită. Apoi ecuația dreptei care trece prin vârf ÎNîn direcția vectorului 
(adică perpendicular AC), are forma:
Se știe că altitudinile unui triunghi se intersectează într-un punct. În special, acest punct este intersecția înălțimilor găsite, i.e. rezolvarea sistemului de ecuații:
- coordonatele acestui punct.
5. Mijloc AB are coordonate 
. Să scriem ecuația medianei la latură AB. Această linie trece prin puncte cu coordonatele (3, 2) și (3, 6), ceea ce înseamnă că ecuația sa are forma:
Rețineți că un zero în numitorul unei fracții din ecuația unei drepte înseamnă că această dreaptă este paralelă cu axa ordonatelor.
Pentru a găsi punctul de intersecție al medianelor, este suficient să rezolvi sistemul de ecuații:
Punctul de intersecție al medianelor unui triunghi are coordonate 
.
6. Lungimea înălțimii coborâtă în lateral AB, egală cu distanța de la punct CU la o linie dreaptă AB cu ecuație 
si se gaseste prin formula:
7. Cosinusul unghiului A poate fi găsit folosind formula pentru cosinusul unghiului dintre vectori 
Și 
, care este egal cu raportul dintre produsul scalar al acestor vectori și produsul lungimilor lor:
.
