Triunghiuri minunate. Lucrarea de cercetare „Punctele remarcabile ale triunghiului

Primele două teoreme vă sunt bine cunoscute, celelalte două le vom demonstra.

Teorema 1

Trei bisectoare ale unui triunghi se intersectează într-un punct, adică centrul cercului înscris.

Dovada

pe baza faptului că bisectoarea unui unghi este locul punctelor echidistante de laturile unghiului.

Teorema 2

Cele trei bisectoare perpendiculare pe laturile triunghiului se intersectează într-un punct, care este centrul cercului circumferitor.

Dovada

pe baza faptului că bisectoarea perpendiculară a unui segment este locul punctelor echidistante de capetele acestui segment.

Teorema 3

Trei înălțimi sau trei drepte, pe care se află altitudinile triunghiului, se intersectează într-un punct. Acest punct se numește ortocentru triunghi.

Dovada

Prin vârfurile triunghiului `ABC` trasăm linii drepte paralele cu laturile opuse.

La intersecție se formează un triunghi `A_1 B_1 C_1`.

Prin construcție, `ABA_1C` este un paralelogram, deci `BA_1 = AC`. În mod similar, se stabilește că `C_1B = AC`, deci `C_1B = AC`, punctul `B` este mijlocul segmentului `C_1A_1`.
Exact în același mod se arată că `C` este mijlocul lui `B_1A_1` și `A` este mijlocul lui `B_1 C_1`.
Fie `BN` înălțimea triunghiului `ABC`, apoi pentru segmentul `A_1 C_1` dreapta `BN` este bisectoarea perpendiculară. De unde rezultă că cele trei drepte pe care se află altitudinile triunghiului `ABC` sunt bisectoarele perpendiculare ale celor trei laturi ale triunghiului `A_1B_1C_1`; iar astfel de perpendiculare se intersectează într-un punct (Teorema 2).
Dacă triunghiul este acut, atunci fiecare dintre altitudini este un segment care leagă vârful și un punct din partea opusă. În acest caz, punctele `B` și `N` se află în semiplane diferite formate de linia `AM`, ceea ce înseamnă că segmentul `BN` intersectează dreapta `AM`, punctul de intersecție se află la înălțimea `BN` , adică se află în interiorul triunghiului .
Într-un triunghi dreptunghic, punctul de intersecție al altitudinilor este vârful unghiului drept.

Teorema 4

Trei mediane ale unui triunghi se intersectează într-un punct și sunt împărțite la punctul de intersecție în raportul `2:1`, numărând de la vârf. Acest punct se numește centru de greutate (sau centru de masă) al triunghiului.
Există diverse dovezi ale acestei teoreme. Să prezentăm unul care se bazează pe teorema lui Thales.

Dovada

Fie `E`, `D` și `F` punctele medii ale laturilor `AB`, `BC` și `AC` ale triunghiului `ABC`.

Să desenăm mediana `AD` prin punctele `E` și `F` paralel are linii drepte `EK` și `FL`. După teorema lui Thales `BK = KD` `(/_ABC`, E K ‖ A D) EK\|AD) și `DL = LC` `(/_ACB`, A D ‖ F L) AD\| FL). Dar `BD = DC = a//2`, deci `BK = KD = DL = LC = a//4`. După aceeași teoremă `BN = NM = MF` `(/_ FBC`, N K ‖ M D ‖ F L) NK\| MD\| FL) , deci `BM = 2MF`.

Aceasta înseamnă că mediana `BF` în punctul `M` de intersecție cu mediana `AD` a fost împărțită în raportul `2:1` numărând de la vârf.

Să demonstrăm că mediana „AD” la punctul „M” este împărțită în același raport. Raționamentul este similar.

Dacă luăm în considerare medianele `BF` și `CE`, putem arăta și că ele se intersectează în punctul în care mediana `BF` este împărțită în raportul `2:1`, adică în același punct `M`. Și până în acest moment mediana `CE` va fi, de asemenea, împărțită în raportul `2:1`, numărând de la vârf.

Introducere

Obiectele lumii din jurul nostru au anumite proprietăți, care sunt studiate de diverse științe.

Geometria este o ramură a matematicii care examinează diferite figuri și proprietățile lor; rădăcinile sale merg înapoi în trecutul îndepărtat.

În a patra carte a Elementelor, Euclid rezolvă problema: „A înscrie un cerc într-un triunghi dat”. Din soluție rezultă că cele trei bisectoare ale unghiurilor interioare ale triunghiului se intersectează într-un punct - centrul cercului înscris. Din rezolvarea unei alte probleme euclidiene rezultă că perpendicularele restaurate pe laturile triunghiului la mijlocul lor se intersectează și ele într-un punct - centrul cercului circumscris. Elementele nu spune că cele trei altitudini ale triunghiului se intersectează într-un punct, numit ortocentru (cuvântul grecesc „orthos” înseamnă „drept”, „corect”). Această propunere era însă cunoscută lui Arhimede. Al patrulea punct singular al triunghiului este punctul de intersecție al medianelor. Arhimede a demonstrat că este centrul de greutate (baricentrul) al triunghiului.

Au fost abordate cele patru puncte de mai sus Atentie speciala, iar din secolul al XVIII-lea au fost numite punctele „remarcabile” sau „speciale” ale triunghiului. Studiul proprietăților triunghiului asociat cu aceste și alte puncte a servit drept început pentru crearea unei noi ramuri matematică elementară– „geometrie triunghiulară” sau „geometrie triunghiulară nouă”, unul dintre fondatorii căruia a fost Leonhard Euler.

În 1765, Euler a demonstrat că în orice triunghi ortocentrul, baricentrul și circumcentrul se află pe aceeași linie dreaptă, numită mai târziu „linia dreaptă a lui Euler”. În anii douăzeci ai secolului al XIX-lea, matematicienii francezi J. Poncelet, C. Brianchon și alții au stabilit în mod independent următoarea teoremă: bazele medianelor, bazele altitudinilor și punctele mijlocii ale segmentelor de altitudini care leagă ortocentrul cu vârfurile unui triunghi. culcați pe același cerc. Acest cerc se numește „cercul de nouă puncte” sau „cercul Feuerbach” sau „cercul Euler”. K. Feuerbach a stabilit că centrul acestui cerc se află pe linia dreaptă Euler.

„Cred că niciodată nu am trăit într-o perioadă atât de geometrică. Totul în jur este geometrie.” Aceste cuvinte, rostite de marele arhitect francez Le Corbusier la începutul secolului XX, caracterizează foarte exact timpul nostru. Lumea în care trăim este plină de geometria caselor și străzilor, munților și câmpurilor, creații ale naturii și ale omului.

Ne-a interesat așa-numitul „ puncte minunate triunghi."

După ce am citit literatura pe această temă, ne-am fixat pentru noi înșine definițiile și proprietățile punctelor remarcabile ale unui triunghi. Dar munca noastră nu s-a încheiat aici și am vrut să explorăm noi înșine aceste puncte.

De aceea ţintă dat muncă – studierea unor puncte și drepte remarcabile ale unui triunghi, aplicarea cunoștințelor dobândite la rezolvarea problemelor. În procesul de realizare a acestui obiectiv, se pot distinge următoarele etape:

Selecție și studiu material educațional din diverse surse de informare, literatură;

Studierea proprietăților de bază ale punctelor și liniilor remarcabile ale unui triunghi;

Generalizarea acestor proprietăți și demonstrarea teoremelor necesare;

Rezolvarea problemelor care implică puncte remarcabile ale unui triunghi.

Capitoleu. Puncte și linii triunghiulare remarcabile

1.1 Punctul de intersecție al bisectoarelor perpendiculare pe laturile triunghiului

O bisectoare perpendiculară este o dreaptă care trece prin mijlocul unui segment, perpendicular pe acesta. Cunoaștem deja teorema care caracterizează proprietatea bisectoarei perpendiculare: fiecare punct al bisectoarei perpendiculare pe un segment este echidistant de capetele sale și invers; dacă un punct este echidistant de capetele segmentului, atunci se află pe bisectoarea perpendiculară.

Poligonul se numește înscris într-un cerc dacă toate vârfurile sale aparțin cercului. Cercul se numește circumscris poligonului.

Un cerc poate fi descris în jurul oricărui triunghi. Centrul său este punctul de intersecție al bisectoarelor perpendiculare pe laturile triunghiului.

Fie punctul O punctul de intersecție al bisectoarelor perpendiculare pe laturile triunghiului AB și BC.

Concluzie: astfel, dacă punctul O este punctul de intersecție al bisectoarelor perpendiculare pe laturile triunghiului, atunci OA = OC = OB, adică. punctul O este echidistant de toate vârfurile triunghiului ABC, ceea ce înseamnă că este centrul cercului circumscris.


unghiular acut	obtuz	dreptunghiular

Consecințe

sin γ = c/2R = c/sin γ =2R.

Se dovedește într-un mod similar A/ sin α =2R, b/ sin β =2R.

Prin urmare:

Această proprietate se numește teorema sinusurilor.

În matematică se întâmplă adesea ca obiecte care sunt complet definite diferit, se dovedesc a fi identice.

Exemplu. Fie A1, B1, C1 punctele medii ale laturilor ∆ABC BC, AC, respectiv AB. Arătați că cercurile descrise în jurul triunghiurilor AB1C1, A1B1C, A1BC1 se intersectează într-un punct. Mai mult, acest punct este centrul unui cerc circumscris în jurul ∆ABC.

Să considerăm segmentul AO și să construim un cerc pe acest segment, ca pe un diametru. Punctele C1 și B1 cad pe acest cerc, deoarece sunt vârfurile unghiurilor drepte bazate pe AO. Punctele A, C1, B1 se află pe un cerc = acest cerc este circumscris în jurul ∆AB1C1.

Să desenăm în mod similar segmentul BO și să construim un cerc pe acest segment, ca pe un diametru. Acesta va fi un cerc circumscris aproximativ ∆ВС1 А1.

Să desenăm un segment CO și să construim un cerc pe acest segment, ca pe un diametru. Acesta va fi un cerc circumscris de aproximativ

Aceste trei cercuri trec prin punctul O - centrul cercului circumscris aproximativ ∆ABC.

Generalizare. Dacă pe laturile ∆ABC AC, BC, AC luăm puncte arbitrare A 1, B 1, C 1, atunci cercurile circumscrise triunghiurilor AB 1 C 1, A 1 B 1 C, A 1 BC 1 se intersectează într-un punct. .

1.2 Punctul de intersecție al bisectoarelor triunghiului

Reversul este de asemenea adevărat: dacă un punct este echidistant de laturile unui unghi, atunci se află pe bisectoarea lui.

Este util să marcați jumătățile unui colț cu aceleași litere:

OAF=OAD= α, OBD=OBE= β, OCE=OCF= γ.

Fie punctul O punctul de intersecție al bisectoarelor unghiurilor A și B. Prin proprietatea punctului situat pe bisectoarea unghiului A, OF=OD=r. După proprietatea punctului situat pe bisectoarea unghiului B, OE=OD=r. Astfel, OE=OD= OF=r= punctul O este echidistant de toate laturile triunghiului ABC, i.e. O este centrul cercului înscris. (Punctul O este singurul).

Concluzie: astfel, dacă punctul O este punctul de intersecție al bisectoarelor unghiurilor unui triunghi, atunci OE=OD= OF=r, adică. punctul O este echidistant de toate laturile triunghiului ABC, ceea ce înseamnă că este centrul cercului înscris. Punctul O de intersecție al bisectoarelor unghiurilor unui triunghi este un punct remarcabil al triunghiului.

Consecințe:

Din egalitatea triunghiurilor AOF și AOD (Figura 1) de-a lungul ipotenuzei și unghiului ascuțit, rezultă că A.F. = ANUNȚ . Din egalitatea triunghiurilor OBD și OBE rezultă că BD = FI , Din egalitatea triunghiurilor COE și COF rezultă că CU F = C.E. . Astfel, segmentele tangente trasate la cerc dintr-un punct sunt egale.

AF=AD= z, BD=BE= y, CF=CE= X

a=x+y (1), b= x+z (2), c= x+y (3).

+ (2) – (3), atunci obținem: a+b-с=X+ y+ X+ z- z- y = a+b-с= 2X =

x=( b + c - a)/2

În mod similar: (1) + (3) – (2), atunci obținem: y = (a + c –b)/2.

În mod similar: (2) + (3) – (1), atunci obținem: z= (a +b - c)/2.

Bisectoarea unghiului unui triunghi împarte latura opusă în segmente proporționale cu laturile adiacente.

1.3 Punctul de intersecție al medianelor triunghiulare (centroid)

Dovada 1. Fie A 1 , B 1 și C 1 punctele medii ale laturilor BC, CA și AB ale triunghiului ABC, respectiv (Fig. 4).

Fie G punctul de intersecție a două mediane AA 1 și BB 1. Să demonstrăm mai întâi că AG:GA 1 = BG:GB 1 = 2.

Pentru a face acest lucru, luați punctele medii P și Q ale segmentelor AG și BG. După teorema de pe linia mediană a unui triunghi, segmentele B 1 A 1 și PQ sunt egale cu jumătate din latura AB și paralele cu aceasta. Prin urmare, patrulaterul A 1 B 1 este un paralelogram PQ. Apoi punctul G de intersecție a diagonalelor sale PA 1 și QB 1 împarte fiecare dintre ele în jumătate. Prin urmare, punctele P și G împart mediana AA 1 în trei părți egale, iar punctele Q și G împart, de asemenea, mediana BB 1 în trei părți egale. Deci, punctul G de intersecție a două mediane ale unui triunghi împarte fiecare dintre ele în raport 2:1, numărând de la vârf.

Se numește punctul de intersecție al medianelor unui triunghi centroid sau centrul de greutate triunghi. Acest nume se datorează faptului că în acest punct se află centrul de greutate al unei plăci triunghiulare omogene.

1.4 Punct de intersecție al altitudinilor triunghiului (ortocentru)

1.5 Punctul Torricelli

Calea este dată de triunghiul ABC. Punctul Torricelli al acestui triunghi este punctul O din care laturile acestui triunghi sunt vizibile la un unghi de 120°, i.e. unghiurile AOB, AOC și BOC sunt egale cu 120°.

Să demonstrăm că dacă toate unghiurile unui triunghi sunt mai mici de 120°, atunci punctul Torricelli există.

Pe latura AB a triunghiului ABC construim triunghi echilateral ABC" (Fig. 6, a) și descrieți un cerc în jurul lui. Segmentul AB subtinde un arc al acestui cerc care măsoară 120°. În consecință, punctele acestui arc altele decât A și B au proprietatea că segmentul AB este vizibil din ele la un unghi de 120°. În mod similar, pe latura AC a triunghiului ABC vom construi un triunghi echilateral ACB" (Fig. 6, a) și vom descrie un cerc în jurul lui. Punctele arcului corespunzător, diferite de A și C, au proprietatea că segmentul AC este vizibil din ele la un unghi de 120°. În cazul în care unghiurile triunghiului sunt mai mici de 120°, aceste arce se intersectează într-un punct intern O. În acest caz, ∟AOB = 120°, ∟AOC = 120°. Prin urmare, ∟BOC = 120°. Prin urmare, punctul O este cel dorit.

În cazul în care unul dintre unghiurile unui triunghi, de exemplu ABC, este egal cu 120°, punctul de intersecție al arcelor de cerc va fi punctul B (Fig. 6, b). În acest caz, punctul lui Torricelli nu există, deoarece este imposibil să vorbim despre unghiurile la care laturile AB și BC sunt vizibile din acest punct.

În cazul în care unul dintre unghiurile unui triunghi, de exemplu ABC, este mai mare de 120° (Fig. 6, c), arcele de cerc corespunzătoare nu se intersectează și nici punctul lui Torricelli nu există.

Punctul Torricelli este asociat cu problema lui Fermat (pe care o vom considera în capitolul II) de a găsi punctul a cărui sumă a distanțelor până la trei puncte date este cea mai mică.

1.6 Cercul cu nouă puncte

Într-adevăr, A 3 B 2 – linia de mijloc triunghiul AHC și deci A 3 B 2 || CC 1. B 2 A 2 este linia de mijloc a triunghiului ABC și, prin urmare, B 2 A 2 || AB. Deoarece CC 1 ┴ AB, atunci A 3 B 2 A 2 = 90°. La fel, A 3 C 2 A 2 = 90°. Prin urmare, punctele A 2, B 2, C 2, A 3 se află pe același cerc cu diametrul A 2 A 3. Deoarece AA 1 ┴BC, atunci și punctul A 1 aparține acestui cerc. Astfel, punctele A 1 și A 3 se află pe cercul circumferitor al triunghiului A2B2C2. În mod similar, se arată că punctele B 1 și B 3, C 1 și C 3 se află pe acest cerc. Aceasta înseamnă că toate cele nouă puncte se află pe același cerc.

În acest caz, centrul cercului de nouă puncte se află la mijloc între centrul de intersecție al înălțimilor și centrul cercului circumscris. Într-adevăr, să fie în triunghiul ABC (Fig. 9), punctul O centrul cercului circumscris; G – punctul de intersecție al medianelor. H este punctul în care înălțimile se intersectează. Trebuie să demonstrați că punctele O, G, H se află pe aceeași dreaptă și centrul cercului de nouă puncte N împarte segmentul OH la jumătate.

Se consideră o homotezie cu centrul în punctul G și coeficientul -0,5. Vârfurile A, B, C ale triunghiului ABC vor merge, respectiv, în punctele A 2, B 2, C 2. Altitudinile triunghiului ABC vor intra în altitudinile triunghiului A 2 B 2 C 2 și, prin urmare, punctul H va merge în punctul O. Prin urmare, punctele O, G, H se vor afla pe aceeași linie dreaptă.

Să arătăm că mijlocul N al segmentului OH este centrul cercului de nouă puncte. Într-adevăr, C 1 C 2 este o coardă a cercului de nouă puncte. Prin urmare, bisectoarea perpendiculară a acestei coarde are un diametru și intersectează OH la mijlocul lui N. În mod similar, bisectoarea perpendiculară a coardei B 1 B 2 este un diametru și intersectează OH în același punct N. Deci N este centrul lui cercul de nouă puncte. Q.E.D.

Într-adevăr, fie P un punct arbitrar situat pe cercul circumferitor al triunghiului ABC; D, E, F – bazele perpendicularelor coborâte din punctul P spre laturile triunghiului (Fig. 10). Să arătăm că punctele D, E, F se află pe aceeași dreaptă.

Rețineți că dacă AP trece prin centrul cercului, atunci punctele D și E coincid cu vârfurile B și C. În caz contrar, unul dintre unghiurile ABP sau ACP este acut, iar celălalt este obtuz. De aici rezultă că punctele D și E vor fi situate de-a lungul laturi diferite de la dreapta BC și pentru a demonstra că punctele D, E și F se află pe aceeași dreaptă, este suficient să verificăm că ∟CEF =∟BED.

Să descriem un cerc cu diametrul CP. Deoarece ∟CFP = ∟CEP = 90°, atunci punctele E și F se află pe acest cerc. Prin urmare, ∟CEF =∟CPF ca unghiuri înscrise subtinse de un arc de cerc. Apoi, ∟CPF = 90°- ∟PCF = 90°- ∟DBP = ∟BPD. Să descriem un cerc cu diametrul BP. Deoarece ∟BEP = ∟BDP = 90°, atunci punctele F și D se află pe acest cerc. Prin urmare ∟BPD =∟BED. Prin urmare, obținem în sfârșit acel ∟CEF =∟BED. Aceasta înseamnă că punctele D, E, F se află pe aceeași dreaptă.

CapitolIIRezolvarea problemelor

Să începem cu probleme legate de localizarea bisectoarelor, medianelor și altitudinilor unui triunghi. Rezolvarea acestora, pe de o parte, vă permite să vă amintiți materialul acoperit anterior și, pe de altă parte, dezvoltă conceptele geometrice necesare, vă pregătește pentru a rezolva mai multe sarcini complexe.

Sarcina 1. La unghiurile A și B ale triunghiului ABC (∟A

Soluţie. Fie CD înălțimea și CE bisectoarea, atunci

∟BCD = 90° - ∟B, ∟BCE = (180° - ∟A - ∟B):2.

Prin urmare, ∟DCE =.

Soluţie. Fie O punctul de intersecție al bisectoarelor triunghiului ABC (Fig. 1). Să profităm de faptul că unghiul mai mare se află opus laturii mai mari a triunghiului. Dacă AB BC, atunci ∟A

Soluţie. Fie O punctul de intersecție al altitudinilor triunghiului ABC (Fig. 2). Dacă AC ∟B. Un cerc cu diametrul BC va trece prin punctele F și G. Având în vedere că cel mai mic dintre cele două coarde este cel pe care se sprijină unghiul mai mic înscris, obținem acel CG.

Dovada. Pe laturile AC și BC ale triunghiului ABC, ca și pe diametre, construim cercuri. Punctele A 1, B 1, C 1 aparțin acestor cercuri. Prin urmare, ∟B 1 C 1 C = ∟B 1 BC, ca unghiuri bazate pe același arc de cerc. ∟B 1 BC = ∟CAA 1 ca unghiuri cu laturile reciproc perpendiculare. ∟CAA 1 = ∟CC 1 A 1 ca unghiuri subtinse de același arc de cerc. Prin urmare, ∟B 1 C 1 C = ∟CC 1 A 1, i.e. CC 1 este bisectoarea unghiului B 1 C 1 A 1 . În mod similar, se arată că AA 1 și BB 1 sunt bisectoarele unghiurilor B 1 A 1 C 1 și A 1 B 1 C 1 .

Triunghiul considerat, ale cărui vârfuri sunt bazele altitudinilor unui triunghi acut dat, oferă un răspuns la una dintre problemele extreme clasice.

Soluţie. Fie ABC triunghiul acut dat. Pe laturile sale, trebuie să găsiți punctele A 1 , B 1 , C 1 pentru care perimetrul triunghiului A 1 B 1 C 1 ar fi cel mai mic (Fig. 4).

Să fixăm mai întâi punctul C 1 și să căutăm punctele A 1 și B 1 pentru care perimetrul triunghiului A 1 B 1 C 1 este cel mai mic (pentru o poziție dată a punctului C 1).

Pentru a face acest lucru, luați în considerare punctele D și E simetrice față de punctul C 1 în raport cu dreptele AC și BC. Atunci B 1 C 1 = B 1 D, A 1 C 1 = A 1 E și, prin urmare, perimetrul triunghiului A 1 B 1 C 1 va fi egal cu lungimea liniei întrerupte DB 1 A 1 E. este clar că lungimea acestei linii întrerupte este cea mai mică dacă punctele B 1, A 1 se află pe linia DE.

Vom schimba acum poziția punctului C 1 și vom căuta o poziție în care perimetrul triunghiului corespunzător A 1 B 1 C 1 este cel mai mic.

Deoarece punctul D este simetric față de C 1 în raport cu AC, atunci CD = CC 1 și ACD = ACC 1. La fel, CE=CC 1 și BCE=BCC 1. Prin urmare, triunghiul CDE este isoscel. Latura sa laterală este egală cu CC 1. Baza DE este egală cu perimetrul P triunghiul A 1 B 1 C 1. Unghiul DCE este egal cu unghiul dublu ACB al triunghiului ABC și, prin urmare, nu depinde de poziția punctului C 1.

Într-un triunghi isoscel cu un unghi dat la vârf, cu cât latura este mai mică, cu atât baza este mai mică. Prin urmare, cea mai mică valoare a perimetrului P se realizează în cazul celei mai mici valori CC 1. Această valoare este luată dacă CC 1 este înălțimea triunghiului ABC. Astfel, punctul necesar C 1 de pe latura AB este baza altitudinii trase de la vârful C.

Rețineți că am putea fixa mai întâi nu punctul C 1, ci punctul A 1 sau punctul B 1 și am obține că A 1 și B 1 sunt bazele altitudinilor corespunzătoare ale triunghiului ABC.

De aici rezultă că triunghiul necesar al celui mai mic perimetru înscris într-un triunghi acut dat ABC este un triunghi ale cărui vârfuri sunt bazele altitudinilor triunghiului ABC.

Soluţie. Să demonstrăm că dacă unghiurile triunghiului sunt mai mici de 120°, atunci punctul necesar în problema Steiner este punctul Torricelli.

Să rotim triunghiul ABC în jurul vârfului C cu un unghi de 60°, Fig. 7. Obținem triunghiul A’B’C. Să luăm un punct arbitrar O din triunghiul ABC. Când se întoarce, va merge la un punct O’. Triunghiul OO'C este echilateral deoarece CO = CO' și ∟OCO' = 60°, deci OC = OO'. Prin urmare, suma lungimilor OA + OB + OC va fi egală cu lungimea liniei întrerupte AO + OO’ + O’B’. Este clar că lungimea acestei linii întrerupte ia cea mai mică valoare dacă punctele A, O, O’, B’ se află pe aceeași linie dreaptă. Dacă O este un punct Torricelli, atunci acesta este așa. Într-adevăr, ∟AOC = 120°, ∟COO" = 60°. Prin urmare, punctele A, O, O' se află pe aceeași linie dreaptă. În mod similar, ∟CO'O = 60°, ∟CO"B" = 120°. Prin urmare, punctele O, O', B' se află pe aceeași dreaptă, ceea ce înseamnă că toate punctele A, O, O', B' se află pe aceeași dreaptă.

Concluzie

Geometria unui triunghi, împreună cu alte secțiuni ale matematicii elementare, face posibil să simțiți frumusețea matematicii în general și poate deveni pentru cineva începutul căii către „știința mare”.

Geometria este o știință uimitoare. Istoria sa datează de mai bine de o mie de ani, dar fiecare întâlnire cu ea poate oferi și îmbogăți (atât elevul, cât și profesorul) cu noutatea incitantă a unei mici descoperiri, bucuria uimitoare a creativității. Într-adevăr, orice problemă din geometria elementară este în esență o teoremă, iar soluția ei este o victorie matematică modestă (și uneori uriașă).

Din punct de vedere istoric, geometria a început cu un triunghi, așa că timp de două milenii și jumătate triunghiul a fost un simbol al geometriei. Geometria școlară poate deveni doar interesantă și semnificativă, doar atunci poate deveni geometrie propriu-zisă atunci când include un studiu profund și cuprinzător al triunghiului. În mod surprinzător, triunghiul, în ciuda aparentei sale simplități, este un obiect de studiu inepuizabil - nimeni, nici măcar în timpul nostru, nu îndrăznește să spună că a studiat și cunoaște toate proprietățile triunghiului.

În această lucrare s-au luat în considerare proprietățile bisectoarelor, medianelor, bisectoarelor perpendiculare și altitudinilor unui triunghi, s-a extins numărul de puncte și linii remarcabile ale triunghiului și s-au formulat și demonstrat teoreme. Au fost rezolvate o serie de probleme de aplicare a acestor teoreme.

Materialul prezentat poate fi folosit atât la lecțiile de bază, cât și la orele opționale, și în pregătirea pentru testare centralizatăși olimpiade la matematică.

Bibliografie

Berger M. Geometrie în două volume - M: Mir, 1984.

Kiselyov A.P. Geometrie elementară. – M.: Educație, 1980.

Coxeter G.S., Greitzer S.L. Noi întâlniri cu geometria. – M.: Nauka, 1978.

Latotin L.A., Chebotaravsky B.D. Matematică 9. – Minsk: Narodnaya Asveta, 2014.

Prasolov V.V. Probleme de planimetrie. – M.: Nauka, 1986. – Partea 1.

Scanavi M.I. Matematică. Probleme cu soluțiile. – Rostov-pe-Don: Phoenix, 1998.

Sharygin I.F. Probleme de geometrie: Planimetrie. – M.: Nauka, 1986.

În această lecție ne vom uita la patru puncte minunate ale triunghiului. Să ne oprim asupra a două dintre ele în detaliu, să ne amintim dovezile unor teoreme importante și să rezolvăm problema. Să ne amintim și să le caracterizăm pe celelalte două.

Subiect:Revizuirea cursului de geometrie clasa a VIII-a

Lecția: Patru puncte minunate ale unui triunghi

Un triunghi este, în primul rând, trei segmente și trei unghiuri, prin urmare proprietățile segmentelor și unghiurilor sunt fundamentale.

Este dat segmentul AB. Orice segment are un punct de mijloc și o perpendiculară poate fi trasă prin el - să-l notăm ca p. Astfel, p este bisectoarea perpendiculară.

Teorema (proprietatea principală a bisectoarei perpendiculare)

Orice punct situat pe bisectoarea perpendiculară este echidistant de capetele segmentului.

Demonstrează asta

Dovada:

Luați în considerare triunghiurile și (vezi Fig. 1). Sunt dreptunghiulare și egale, pentru că. au un catete comun OM, iar catetele AO și OB sunt egale prin condiție, astfel, avem două triunghiuri dreptunghiulare, egale în două catete. Rezultă că ipotenuzele triunghiurilor sunt și ele egale, adică ceea ce s-a cerut să fie demonstrat.

Orez. 1

Teorema inversă este adevărată.

Teorema

Fiecare punct echidistant de capetele unui segment se află pe bisectoarea perpendiculară pe acest segment.

Având în vedere un segment AB, o bisectoare perpendiculară pe acesta p, un punct M echidistant de capetele segmentului (vezi Fig. 2).

Demonstrați că punctul M se află pe bisectoarea perpendiculară a segmentului.

Orez. 2

Dovada:

Luați în considerare un triunghi. Este isoscel, conform condiției. Luați în considerare mediana unui triunghi: punctul O este mijlocul bazei AB, OM este mediana. Conform proprietății unui triunghi isoscel, mediana trasată la baza sa este atât o altitudine, cât și o bisectoare. Rezultă că . Dar linia p este și perpendiculară pe AB. Știm că în punctul O se poate trasa o singură perpendiculară pe segmentul AB, ceea ce înseamnă că dreptele OM și p coincid, rezultă că punctul M aparține dreptei p, ceea ce trebuia să dovedim.

Dacă este necesar să descrii un cerc în jurul unui segment, acest lucru se poate face și există infinit de astfel de cercuri, dar centrul fiecăruia dintre ele se va afla pe bisectoarea perpendiculară pe segment.

Ei spun că bisectoarea perpendiculară este locul punctelor echidistante de capetele unui segment.

Un triunghi este format din trei segmente. Să mergem la doi dintre ei bisectoare perpendiculareși obținem punctul O al intersecției lor (vezi Fig. 3).

Punctul O aparține bisectoarei perpendiculare pe latura BC a triunghiului, ceea ce înseamnă că este echidistant de vârfurile sale B și C, să notăm această distanță ca R: .

În plus, punctul O este situat pe bisectoarea perpendiculară pe segmentul AB, adică. , în același timp, de aici.

Astfel, punctul O al intersecției a două puncte de mijloc

Orez. 3

perpendicularele triunghiului sunt echidistante de vârfurile sale, ceea ce înseamnă că se află și pe a treia bisectoare perpendiculară.

Am repetat demonstrația unei teoreme importante.

Cele trei bisectoare perpendiculare ale unui triunghi se intersectează într-un punct - centrul cercului circumferitor.

Deci, ne-am uitat la primul punct remarcabil al triunghiului - punctul de intersecție al perpendicularelor sale bisectoriale.

Să trecem la proprietatea unui unghi arbitrar (vezi Fig. 4).

Unghiul este dat, bisectoarea sa este AL, punctul M se află pe bisectoare.

Orez. 4

Dacă punctul M se află pe bisectoarea unui unghi, atunci este echidistant de laturile unghiului, adică distanțele de la punctul M la AC și la BC ale laturilor unghiului sunt egale.

Dovada:

Luați în considerare triunghiuri și . Acestea sunt triunghiuri dreptunghiulare și sunt egale pentru că... au o ipotenuză comună AM, iar unghiurile sunt egale, deoarece AL este bisectoarea unghiului. Astfel, triunghiurile dreptunghiulare sunt egale în ipotenuză și unghi ascuțit, rezultă că , care este ceea ce trebuia demonstrat. Astfel, un punct de pe bisectoarea unui unghi este echidistant de laturile acelui unghi.

Teorema inversă este adevărată.

Teorema

Dacă un punct este echidistant de laturile unui unghi nedezvoltat, atunci se află pe bisectoarea sa (vezi Fig. 5).

Se dă un unghi nedezvoltat, punctul M, astfel încât distanța de la acesta până la laturile unghiului să fie aceeași.

Demonstrați că punctul M se află pe bisectoarea unghiului.

Orez. 5

Dovada:

Distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea perpendicularei. Din punctul M trasăm perpendicularele MK pe latura AB și MR pe latura AC.

Luați în considerare triunghiuri și . Acestea sunt triunghiuri dreptunghiulare și sunt egale pentru că... au o ipotenuză comună AM, catetele MK și MR sunt egale prin condiție. Astfel, triunghiurile dreptunghiulare sunt egale în ipotenuză și catete. Din egalitatea triunghiurilor decurge egalitatea elementelor corespondente; laturi egale opuse se află unghiuri egale, Prin urmare, Prin urmare, punctul M se află pe bisectoarea unghiului dat.

Dacă trebuie să înscrieți un cerc într-un unghi, acest lucru se poate face și există infinit de astfel de cercuri, dar centrele lor se află pe bisectoarea unui unghi dat.

Ei spun că bisectoarea este locul punctelor echidistante de laturile unui unghi.

Un triunghi este format din trei unghiuri. Să construim bisectoarele a două dintre ele și să obținem punctul O al intersecției lor (vezi Fig. 6).

Punctul O se află pe bisectoarea unghiului, ceea ce înseamnă că este echidistant de laturile sale AB și BC, să notăm distanța ca r: . De asemenea, punctul O se află pe bisectoarea unghiului, ceea ce înseamnă că este echidistant de laturile sale AC și BC: , , de aici.

Este ușor de observat că punctul de intersecție al bisectoarelor este echidistant de laturile celui de-al treilea unghi, ceea ce înseamnă că se află pe

Orez. 6

bisectoare a unghiului. Astfel, toate cele trei bisectoare ale triunghiului se intersectează într-un punct.

Așadar, ne-am amintit de demonstrarea unei alte teoreme importante.

Bisectoarele unghiurilor unui triunghi se intersectează într-un punct - centrul cercului înscris.

Deci, ne-am uitat la al doilea punct remarcabil al triunghiului - punctul de intersecție al bisectoarelor.

Am examinat bisectoarea unui unghi și am remarcat proprietățile sale importante: punctele bisectoarei sunt echidistante de laturile unghiului, în plus, segmentele tangente desenate la cerc dintr-un punct sunt egale.

Să introducem câteva notații (vezi Fig. 7).

Să notăm segmente tangente egale cu x, y și z. Latura BC situată opusă vârfului A este desemnată ca a, în mod similar AC ca b, AB ca c.

Orez. 7

Problema 1: într-un triunghi se cunosc semiperimetrul și lungimea laturii a. Aflați lungimea tangentei trase din vârful A - AK, notat cu x.

Evident, triunghiul nu este complet definit și există multe astfel de triunghiuri, dar se dovedește că au unele elemente în comun.

Pentru sarcini în care despre care vorbim despre cercul înscris, putem propune următoarea metodă de rezolvare:

1. Desenați bisectoare și obțineți centrul cercului înscris.

2. Din centrul O, trageți perpendiculare pe laturi și obțineți puncte de tangență.

3. Marcați tangente egale.

4. Scrieți relația dintre laturile triunghiului și tangente.

Baranova Elena

Această lucrare examinează punctele remarcabile ale triunghiului, proprietățile și modelele lor, cum ar fi cercul în nouă puncte și linia dreaptă Euler. Este prezentat fundalul istoric al descoperirii dreptei lui Euler și a cercului în nouă puncte. Este propusă direcția practică de aplicare a proiectului meu.

Descarca:

Previzualizare:

Pentru a utiliza previzualizările prezentării, creați-vă un cont ( cont) Google și conectați-vă: https://accounts.google.com

Subtitrările diapozitivelor:

„PUNCTELE MINUNAȚE ALE UNUI TRIUNGHI”. (Întrebări aplicate și fundamentale de matematică) Elena Baranova Clasa a VIII-a, MKOU „Școala Gimnazială Nr. 20” Poz. Novoizobilny, Tatyana Vasilievna Dukhanina, profesor de matematică a MKOU „Școala secundară nr. 20” satul Novoizobilny 2013. Guvernul municipal instituție educațională"In medie şcoală cuprinzătoare nr. 20"

Scop: studiați triunghiul pentru punctele sale remarcabile, studiați clasificările și proprietățile lor. Obiective: 1. Studiați literatura necesară 2. Studiați clasificarea punctelor remarcabile ale unui triunghi 3.. Familiarizați-vă cu proprietățile punctelor remarcabile ale unui triunghi 4. Să fiți capabil să construiți puncte remarcabile ale unui triunghi. 5. Explorați sfera punctelor remarcabile. Obiect de studiu - secțiunea de matematică - geometrie Subiect de studiu - triunghi Relevanță: extindeți cunoștințele despre triunghi, proprietățile punctelor sale remarcabile. Ipoteza: legatura dintre triunghi si natura

Punctul de intersecție al bisectoarelor perpendiculare.Este echidistant de vârfurile triunghiului și este centrul cercului circumscris. Cercuri circumscrise triunghiurilor, ale căror vârfuri sunt punctele mijlocii ale laturilor triunghiului și vârfurile triunghiului se intersectează într-un punct, care coincide cu punctul de intersecție al bisectoarelor perpendiculare.

Punctul de intersecție al bisectoarelor Punctul de intersecție al bisectoarelor unui triunghi este echidistant de laturile triunghiului. OM=OA=OB

Punctul de intersecție al altitudinilor Punctul de intersecție al bisectoarelor unui triunghi, ale cărui vârfuri sunt bazele înălțimilor, coincide cu punctul de intersecție al altitudinilor triunghiului.

Punctul de intersecție al medianelor Medianele unui triunghi se intersectează într-un punct, care împarte fiecare mediană într-un raport de 2:1, numărând de la vârf. Dacă punctul de intersecție al medianelor este conectat la vârfuri, atunci triunghiul va fi împărțit în trei triunghiuri de suprafață egală. O proprietate importantă a punctului de intersecție al medianelor este faptul că suma vectorilor, al căror început este punctul de intersecție al medianelor, iar capetele sunt vârfurile triunghiurilor, este egală cu zero M1 N C B A m2 m3 M1 N C B A m2 m3 M1 N C B A m2 m3 M1 N C B A m2 m3

Punctul Torricelli Notă: Un punct Torricelli există dacă toate unghiurile triunghiului sunt mai mici de 120.

Cercul de nouă puncte B1, A1, C1 – bazele înălțimii; A2, B2, C2 – punctele mijlocii ale laturilor corespunzătoare; A3, B3, C3 sunt punctele medii ale segmentelor AN, VN și CH.

Linia dreaptă a lui Euler Punctul de intersecție al medianelor, punctul de intersecție al înălțimilor, centrul unui cerc de nouă puncte se află pe o singură dreaptă, care se numește linia dreaptă a lui Euler în onoarea matematicianului care a determinat acest model.

Un pic din istoria descoperirii punctelor remarcabile În 1765, Euler a descoperit că punctele medii ale laturilor unui triunghi și bazele altitudinilor sale se află pe același cerc. Cea mai uimitoare proprietate a punctelor remarcabile ale unui triunghi este că unele dintre ele sunt conectate între ele printr-un anumit raport. Punctul de intersecție al medianelor M, punctul de intersecție al înălțimilor H și centrul cercului circumferitor O se află pe aceeași dreaptă, iar punctul M împarte segmentul OH astfel încât relația OM: OH = 1: 2 să fie valabilă.Această teoremă a fost demonstrată de Leonhard Euler în 1765.

Legătura dintre geometrie și natură. În această poziție, energia potențială are cea mai mică valoare, iar suma segmentelor MA+MB+MC va fi cea mai mică, iar suma vectorilor aflați pe aceste segmente cu începutul în punctul Torricelli va fi egală cu zero.

Concluzii Am învățat că pe lângă minunatele puncte de intersecție a altitudinilor, medianelor, bisectoarelor și bisectoarelor perpendiculare pe care le cunosc, există și puncte și linii minunate ale unui triunghi. Voi putea folosi cunoștințele acumulate pe această temă în activitățile mele educaționale, voi aplica în mod independent teoremele la anumite probleme și voi aplica teoremele învățate într-o situație reală. Cred că folosirea punctelor și liniilor minunate ale unui triunghi în învățarea matematicii este eficientă. Cunoașterea lor accelerează semnificativ rezolvarea multor sarcini. Materialul propus poate fi folosit atât în lecțiile de matematică, cât și în activitati extracuriculare elevii din clasele 5-9.

Previzualizare:

Pentru a utiliza previzualizarea, creați un cont Google și conectați-vă:

Punctul de intersecție al medianelor unui triunghi Punctul de intersecție al bisectoarelor unui triunghi Punctul de intersecție al altitudinilor unui triunghi Punctul de intersecție al bisectoarelor perpendiculare ale unui triunghi

Mediana (BD) a unui triunghi este segmentul care leagă vârful triunghiului de punctul de mijloc al laturii opuse. A B C D Median

Medianele unui triunghi se intersectează într-un punct (centrul de greutate al triunghiului) și sunt împărțite la acest punct într-un raport de 2: 1, numărând de la vârf. AM: MA 1 = VM: MV 1 = SM:MS 1 = 2:1. A A 1 B B 1 M C C 1

Bisectoarea (AD) a unui triunghi este un segment al bisectoarei colț interior triunghi.

Fiecare punct al bisectoarei unui unghi nedezvoltat este echidistant de laturile sale. Dimpotrivă: fiecare punct situat în interiorul unui unghi și echidistant de laturile unghiului se află pe bisectoarea sa. A M B C

Toate bisectoarele unui triunghi se intersectează într-un punct - centrul cercului înscris în triunghi. C B 1 M A V A 1 C 1 O Raza unui cerc (OM) este o perpendiculară coborâtă din centru (TO) spre latura triunghiului

ÎNĂLȚIE Altitudinea (C D) a unui triunghi este segmentul perpendicular trasat de la vârful triunghiului la linia dreaptă care conține latura opusă. A B C D

Altitudinile unui triunghi (sau prelungirile lor) se intersectează într-un punct. A A 1 B B 1 C C 1

MIDPERPENDICULAR Bisectoarea perpendiculară (DF) este linia perpendiculară pe latura triunghiului și care o împarte la jumătate. A D F B C

A M B m O Fiecare punct al bisectoarei perpendiculare (m) pe un segment este echidistant de capetele acestui segment. Dimpotrivă: fiecare punct echidistant de capetele unui segment se află pe bisectoarea perpendiculară pe acesta.

Toate bisectoarele perpendiculare ale laturilor triunghiului se intersectează într-un punct - centrul cercului circumscris triunghiului. A B C O Raza cercului circumscris este distanța de la centrul cercului la orice vârf al triunghiului (OA). m n p

Sarcini pentru elevi Construiți un cerc înscris într-un triunghi obtuz folosind o busolă și o riglă. Pentru a face acest lucru: Construiți bisectoare într-un triunghi obtuz folosind o busolă și o riglă. Punctul de intersecție al bisectoarelor este centrul cercului. Construiți raza cercului: o perpendiculară de la centrul cercului pe latura triunghiului. Construiți un cerc înscris în triunghi.

2. Folosind o busolă și o riglă, construiți un cerc care circumscrie un triunghi obtuz. Pentru a face acest lucru: Construiți bisectoare perpendiculare pe laturile triunghiului obtuz. Punctul de intersecție al acestor perpendiculare este centrul cercului circumscris. Raza unui cerc este distanța de la centru la orice vârf al triunghiului. Construiți un cerc în jurul triunghiului.