Fracțiunea corespunzătoare. Fracție - ce este? Tipuri de fracții

Fracțiunea corespunzătoare

Sferturi

Ordine. AȘi b există o regulă care permite cuiva să identifice în mod unic una și doar una dintre cele trei relații dintre ei: „< », « >" sau " = ". Această regulă se numește regula de ordonareși se formulează astfel: două numere nenegative și sunt legate prin aceeași relație ca două numere întregi și ; două numere nepozitive AȘi b sunt legate prin aceeași relație ca două numere nenegative și ; dacă deodată A nenegativ, dar b- negativ, atunci A > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
Adunarea fracțiilor
Operație de adăugare. Pentru orice numere raționale AȘi b există un așa-zis regula de însumare c. Mai mult decât atât, numărul în sine c numit Cantitate numere AȘi bși este notat cu , iar procesul de găsire a unui astfel de număr este numit însumare. Regula de însumare are următoarea formă: .
Operația de înmulțire. Pentru orice numere raționale AȘi b există un așa-zis regula înmulțirii, care le atribuie un număr rațional c. Mai mult decât atât, numărul în sine c numit muncă numere AȘi bși este notat cu , iar procesul de găsire a unui astfel de număr este numit și multiplicare. Regula înmulțirii arată astfel: .
Tranzitivitatea relației de ordine. Pentru orice triplu de numere raționale A , bȘi c Dacă A Mai puțin bȘi b Mai puțin c, Acea A Mai puțin c, si daca A egală bȘi b egală c, Acea A egală c. 6435">Comutativitatea adunării. Schimbarea locurilor termenilor raționali nu schimbă suma.
Asociativitatea adunării. Ordinea în care sunt adăugate trei numere raționale nu afectează rezultatul.
Prezența lui zero. Există un număr rațional 0 care păstrează orice alt număr rațional atunci când este adăugat.
Prezența numerelor opuse. Orice număr rațional are un număr rațional opus, care atunci când este adăugat la dă 0.
Comutativitatea înmulțirii. Schimbarea locurilor factorilor raționali nu schimbă produsul.
Asociativitatea înmulțirii. Ordinea în care sunt înmulțite trei numere raționale nu afectează rezultatul.
Disponibilitatea unității. Există un număr rațional 1 care păstrează orice alt număr rațional atunci când este înmulțit.
Prezența numerelor reciproce. Orice număr rațional are un număr rațional invers, care atunci când este înmulțit cu dă 1.
Distributivitatea înmulțirii în raport cu adunarea. Operația de înmulțire este coordonată cu operația de adunare prin legea distribuției:
Legătura relației de ordine cu operația de adunare. La părțile din stânga și din dreapta inegalitatea raţională puteți adăuga același număr rațional. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
Axioma lui Arhimede. Oricare ar fi numărul rațional A, puteți lua atât de multe unități încât suma lor depășește A. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Proprietăți suplimentare

Toate celelalte proprietăți inerente numerelor raționale nu se disting ca fiind de bază, deoarece, în general, ele nu se mai bazează direct pe proprietățile numerelor întregi, ci pot fi dovedite pe baza proprietăților de bază date sau direct prin definiția unui obiect matematic. . Astfel de proprietăți suplimentare asa de mult. Este logic să enumerați doar câteva dintre ele aici.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Numărabilitatea unui set

Numerotarea numerelor raționale

Pentru a estima numărul de numere raționale, trebuie să găsiți cardinalitatea mulțimii lor. Este ușor de demonstrat că mulțimea numerelor raționale este numărabilă. Pentru a face acest lucru, este suficient să dați un algoritm care enumeră numerele raționale, adică stabilește o bijecție între mulțimile de numere raționale și naturale.

Cel mai simplu dintre acești algoritmi arată așa. Se întocmește un tabel nesfârșit de fracții obișnuite, pe fiecare i-a linie din fiecare j a-a coloană din care se află fracția. Pentru certitudine, se presupune că rândurile și coloanele acestui tabel sunt numerotate începând de la unu. Celulele din tabel sunt notate cu , unde i- numărul rândului tabelului în care se află celula și j- numărul coloanei.

Tabelul rezultat este parcurs folosind un „șarpe” conform următorului algoritm formal.

Aceste reguli sunt căutate de sus în jos și următoarea poziție este selectată pe baza primei potriviri.

În procesul unei astfel de parcurgeri, fiecare număr rațional nou este asociat cu altul numar natural. Adică, fracția 1/1 este atribuită numărului 1, fracția 2/1 numărului 2 etc. Trebuie remarcat că sunt numerotate numai fracțiile ireductibile. Un semn formal de ireductibilitate este că cel mai mare divizor comun al numărătorului și numitorului fracției este egal cu unu.

Urmând acest algoritm, putem enumera toate numerele raționale pozitive. Aceasta înseamnă că mulțimea numerelor raționale pozitive este numărabilă. Este ușor să stabiliți o bijecție între mulțimile de numere raționale pozitive și negative prin simpla atribuire fiecărui număr rațional opusul său. Acea. mulţimea numerelor raţionale negative este de asemenea numărabilă. Unirea lor este de asemenea numărabilă prin proprietatea seturilor numărabile. Mulțimea numerelor raționale este, de asemenea, numărabilă ca unire a unei mulțimi numărabile cu una finită.

Afirmația despre numărabilitatea mulțimii numerelor raționale poate provoca o oarecare confuzie, deoarece la prima vedere pare că este mult mai extinsă decât mulțimea numerelor naturale. De fapt, nu este așa și există suficiente numere naturale pentru a le enumera pe toate raționale.

Lipsa numerelor raționale

Ipotenuza unui astfel de triunghi nu poate fi exprimată prin niciunul Numar rational

Numere raționale de forma 1 / nîn mare n pot fi măsurate cantități arbitrar mici. Acest fapt creează impresia înșelătoare că numerele raționale pot fi folosite pentru a măsura orice distanțe geometrice. Este ușor să arăți că acest lucru nu este adevărat.

Din teorema lui Pitagora știm că ipotenuza unui triunghi dreptunghic se exprimă ca rădăcina pătrată a sumei pătratelor catetelor sale. Acea. lungimea ipotenuzei unui triunghi dreptunghic isoscel cu cateta unitară este egală cu , adică numărul al cărui pătrat este 2.

Dacă presupunem că un număr poate fi reprezentat printr-un număr rațional, atunci există un astfel de număr întreg mși un astfel de număr natural n, că , iar fracția este ireductibilă, adică numere mȘi n- reciproc simplu.

Daca atunci , adică m 2 = 2n 2. Prin urmare, numărul m 2 este par, dar produsul a două numere impare este impar, ceea ce înseamnă că numărul în sine m de asemenea chiar. Deci există un număr natural k, astfel încât numărul m poate fi reprezentat sub formă m = 2k. Numărul pătrat m In acest sens m 2 = 4k 2, dar pe de altă parte m 2 = 2n 2 înseamnă 4 k 2 = 2n 2, sau n 2 = 2k 2. După cum am arătat mai devreme pentru număr m, asta înseamnă că numărul n- chiar ca m. Dar atunci nu sunt relativ prime, deoarece ambele sunt împărțite în două. Contradicția rezultată demonstrează că nu este un număr rațional.

Regulile și tehnicile matematice simple, dacă nu sunt folosite în mod constant, sunt uitate cel mai repede. Termenii dispar din memorie și mai repede.

Una dintre acestea actiuni simple– transformarea nu este Fracțiunea corespunzătoareîn cel corect sau, cu alte cuvinte, mixt.

Fracție improprie

O fracție improprie este una în care numărătorul (numărul de deasupra liniei) este mai mare sau egal cu numitorul (numărul de sub linie). Această fracție se obține prin adunarea fracțiilor sau înmulțirea unei fracții cu un număr întreg. Conform regulilor matematicii, o astfel de fracție trebuie convertită într-una adecvată.

Fracțiunea corespunzătoare

Este logic să presupunem că toate celelalte fracții sunt numite proprii. O definiție strictă este aceea că o fracție al cărei numărător este mai mic decât numitorul ei este numită proprie. O fracție care are o parte întreagă este uneori numită fracție mixtă.

Transformarea unei fracții improprie într-o fracție proprie

Primul caz: numărătorul și numitorul sunt egali unul cu celălalt. Rezultatul conversiei oricărei astfel de fracții este unul. Nu contează dacă sunt trei treimi sau o sută douăzeci și cinci de o sută douăzeci și cinci. În esență, o astfel de fracție denotă acțiunea de a împărți un număr la sine.

Al doilea caz: numărătorul este mai mare decât numitorul. Aici trebuie să vă amintiți metoda de împărțire a numerelor cu un rest.
Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți numărul cel mai apropiat de valoarea numărătorului, care este divizibil cu numitorul fără rest. De exemplu, aveți fracția nouăsprezece treimi. Cel mai apropiat număr care poate fi împărțit la trei este optsprezece. Sunt șase. Acum scade numărul rezultat din numărător. Primim unul. Acesta este restul. Notați rezultatul conversiei: șase întregi și o treime.

Dar înainte de a reduce fracția la genul potrivit, trebuie să verificați dacă poate fi scurtat.
Puteți reduce o fracție dacă numărătorul și numitorul au un factor comun. Adică un număr cu care ambele sunt divizibile fără rest. Dacă există mai mulți astfel de divizori, trebuie să-l găsiți pe cel mai mare.
De exemplu, toate numerele pare au un astfel de divizor comun - doi. Iar fracția șaisprezece-douăsprezecelea are încă un divizor comun - patru. Acesta este cel mai mare divizor. Împărțiți numărătorul și numitorul la patru. Rezultatul reducerii: patru treimi. Acum, ca practică, convertiți această fracție într-o fracție adecvată.

Fracțiuneîn matematică, un număr format din una sau mai multe părți (fracții) ale unei unități. Fracțiile fac parte din câmpul numerelor raționale. Pe baza modului în care sunt scrise, fracțiile sunt împărțite în 2 formate: comun tip și zecimal .

Numărătorul fracției- un număr care arată numărul de acțiuni luate (situat în partea de sus a fracției - deasupra liniei). Numitorul fracției- un număr care arată în câte acțiuni este împărțită unitatea (situat sub linie - în partea de jos). , la rândul lor, se împart în: corectȘi incorect, amestecatȘi compozit sunt strâns legate de unitățile de măsură. 1 metru conține 100 cm, ceea ce înseamnă că 1 m este împărțit în 100 de părți egale. Astfel, 1 cm = 1/100 m (un centimetru este egal cu o sutime de metru).

sau 3/5 (trei cincimi), aici 3 este numărătorul, 5 este numitorul. Dacă numărătorul este mai mic decât numitorul, atunci fracția este mai mică decât unu și se numește corect:

Dacă numărătorul este egal cu numitorul, fracția este egală cu unu. Dacă numărătorul este mai mare decât numitorul, fracția este mai mare decât unu. În ambele ultime cazuri se numește fracția gresit:

Pentru a izola cel mai mare număr întreg conținut într-o fracție improprie, împărțiți numărătorul la numitor. Dacă împărțirea se face fără rest, atunci fracția improprie luată este egală cu câtul:

Dacă împărțirea se face cu un rest, atunci câtul (incomplet) dă numărul întreg dorit, iar restul devine numărătorul părții fracționale; numitorul părții fracționale rămâne același.

Se numește un număr care conține un întreg și o parte fracțională amestecat. Fracțiune număr mixt pot fi fracție improprie. Apoi puteți selecta cel mai mare număr întreg din partea fracțională și puteți reprezenta numărul mixt în așa fel încât fracțiune a devenit o fracțiune adecvată (sau a dispărut cu totul).

Fracțiile comune sunt împărțite în fracții \textit (propriu) și \textit (improprii). Această împărțire se bazează pe o comparație a numărătorului și numitorului.

Fracții proprii

Fracțiunea corespunzătoare Se numește o fracție obișnuită $\frac(m)(n)$, în care numărătorul este mai mic decât numitorul, adică. $m

Exemplul 1

De exemplu, fracțiile $\frac(1)(3)$, $\frac(9)(123)$, $\frac(77)(78)$, $\frac(378567)(456298)$ sunt corecte , deci cum în fiecare dintre ele numărătorul este mai mic decât numitorul, ceea ce îndeplinește definiția unei fracții proprii.

Există o definiție a unei fracții adecvate, care se bazează pe compararea fracției cu una.

corect, dacă este mai mică de unu:

Exemplul 2

De exemplu, fracția comună $\frac(6)(13)$ este proprie deoarece condiția $\frac(6)(13) este îndeplinită

Fracții improprii

Fracție improprie Se numește o fracție obișnuită $\frac(m)(n)$, în care numărătorul este mai mare sau egal cu numitorul, adică. $m\ge n$.

Exemplul 3

De exemplu, fracțiile $\frac(5)(5)$, $\frac(24)(3)$, $\frac(567)(113)$, $\frac(100001)(100000)$ sunt neregulate , deci cum în fiecare dintre ele numărătorul este mai mare sau egal cu numitorul, ceea ce îndeplinește definiția unei fracții improprie.

Să dăm o definiție a unei fracții improprie, care se bazează pe compararea acesteia cu una.

Fracția comună $\frac(m)(n)$ este gresit, dacă este egală sau mai mare decât unu:

\[\frac(m)(n)\ge 1\]

Exemplul 4

De exemplu, fracția comună $\frac(21)(4)$ este improprie deoarece condiția $\frac(21)(4) >1$ este îndeplinită;

fracția comună $\frac(8)(8)$ este improprie deoarece condiția $\frac(8)(8)=1$ este îndeplinită.

Să aruncăm o privire mai atentă asupra conceptului de fracție improprie.

Să luăm ca exemplu fracția improprie $\frac(7)(7)$. Sensul acestei fracții este de a lua șapte părți ale unui obiect, care este împărțit în șapte părți egale. Astfel, din cele șapte acțiuni disponibile, se poate compune întregul obiect. Acestea. fracția improprie $\frac(7)(7)$ descrie întregul obiect și $\frac(7)(7)=1$. Deci, fracțiile improprii, în care numărătorul este egal cu numitorul, descriu un obiect întreg și o astfel de fracție poate fi înlocuită cu numărul natural $1$.

$\frac(5)(2)$ -- este destul de evident că din aceste cinci secunde puteți alcătui $2$ obiecte întregi (un obiect întreg va fi format din $2$ părți, iar pentru a compune două obiecte întregi nevoie de $2+2=4$ parts) și rămâne o a doua parte. Adică, fracția improprie $\frac(5)(2)$ descrie $2$ dintr-un obiect și $\frac(1)(2)$ cota acestui obiect.

$\frac(21)(7)$ -- din douăzeci și unu-șapte părți puteți face $3$ obiecte întregi ($3$ obiecte cu $7$ părți în fiecare). Acestea. fracția $\frac(21)(7)$ descrie $3$ obiecte întregi.

Din exemplele luate în considerare, putem trage următoarea concluzie: o fracție improprie poate fi înlocuită cu un număr natural dacă numărătorul este divizibil cu numitorul (de exemplu, $\frac(7)(7)=1$ și $\frac (21)(7)=3$) , sau suma unui număr natural și a unei fracții proprii, dacă numărătorul nu este complet divizibil cu numitor (de exemplu, $\ \frac(5)(2)=2+ \frac(1)(2)$). De aceea se numesc astfel de fracții gresit.

Definiția 1

Procesul de reprezentare a unei fracții improprie ca sumă a unui număr natural și a unei fracții proprii (de exemplu, $\frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$) se numește separând întreaga parte dintr-o fracție improprie.

Când lucrați cu fracții improprii, există o legătură strânsă între acestea și numerele mixte.

O fracție improprie este adesea scrisă ca un număr mixt - un număr care constă dintr-un număr întreg și o parte de fracție.

Pentru a scrie o fracție improprie ca număr mixt, trebuie să împărțiți numărătorul la numitorul cu rest. Coeficientul va fi partea întreagă a numărului mixt, restul va fi numărătorul părții fracționale, iar divizorul va fi numitorul părții fracționale.

Exemplul 5

Scrieți fracția improprie $\frac(37)(12)$ ca număr mixt.

Soluţie.

Împărțiți numărătorul la numitorul cu rest:

\[\frac(37)(12)=37:12=3\ (restul\ 1)\] \[\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)\]

Răspuns.$\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)$.

Pentru a scrie un număr mixt ca fracție improprie, trebuie să înmulțiți numitorul cu întreaga parte a numărului, să adăugați numărătorul părții fracționale la produsul rezultat și să scrieți suma rezultată în numărătorul fracției. Numitorul fracției improprie va fi egal cu numitorul părții fracționale a numărului mixt.

Exemplul 6

Scrieți numărul mixt $5\frac(3)(7)$ ca o fracție improprie.

Soluţie.

Răspuns.$5\frac(3)(7)=\frac(38)(7)$.

Adunarea numerelor mixte și a fracțiilor proprii

Adunare de numere mixte$a\frac(b)(c)$ și fracția adecvată$\frac(d)(e)$ se realizează prin adăugarea la o fracție dată a părții fracționale dintr-un număr mixt dat:

Exemplul 7

Adăugați fracția adecvată $\frac(4)(15)$ și numărul mixt $3\frac(2)(5)$.

Soluţie.

Să folosim formula pentru a adăuga un număr mixt și o fracție adecvată:

\[\frac(4)(15)+3\frac(2)(5)=3+\left(\frac(2)(5)+\frac(4)(15)\right)=3+\ stânga(\frac(2\cdot 3)(5\cdot 3)+\frac(4)(15)\right)=3+\frac(6+4)(15)=3+\frac(10)( 15)\]

Prin împărțirea la numărul \textit(5) putem determina că fracția $\frac(10)(15)$ este reductibilă. Să efectuăm reducerea și să găsim rezultatul adunării:

Deci, rezultatul adunării fracției proprii $\frac(4)(15)$ și a numărului mixt $3\frac(2)(5)$ este $3\frac(2)(3)$.

Răspuns:$3\frac(2)(3)$

Adunarea numerelor mixte și a fracțiilor improprii

Adunarea fracțiilor improprii și a numerelor mixte se reduce la adăugarea a două numere mixte, pentru care este suficient să izolați întreaga parte de fracția improprie.

Exemplul 8

Calculați suma numărului mixt $6\frac(2)(15)$ și a fracției improprie $\frac(13)(5)$.

Soluţie.

Mai întâi, să extragem întreaga parte din fracția improprie $\frac(13)(5)$:

Răspuns:$8\frac(11)(15)$.

Fracție improprie

Sferturi

Ordine. AȘi b există o regulă care permite cuiva să identifice în mod unic una și doar una dintre cele trei relații dintre ei: „< », « >" sau " = ". Această regulă se numește regula de ordonareși se formulează astfel: două numere nenegative și sunt legate prin aceeași relație ca două numere întregi și ; două numere nepozitive AȘi b sunt legate prin aceeași relație ca două numere nenegative și ; dacă deodată A nenegativ, dar b- negativ, atunci A > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
Adunarea fracțiilor
Operație de adăugare. Pentru orice numere raționale AȘi b există un așa-zis regula de însumare c. Mai mult decât atât, numărul în sine c numit Cantitate numere AȘi bși este notat cu , iar procesul de găsire a unui astfel de număr este numit însumare. Regula de însumare are următoarea formă: .
Operația de înmulțire. Pentru orice numere raționale AȘi b există un așa-zis regula înmulțirii, care le atribuie un număr rațional c. Mai mult decât atât, numărul în sine c numit muncă numere AȘi bși este notat cu , iar procesul de găsire a unui astfel de număr este numit și multiplicare. Regula înmulțirii arată astfel: .
Tranzitivitatea relației de ordine. Pentru orice triplu de numere raționale A , bȘi c Dacă A Mai puțin bȘi b Mai puțin c, Acea A Mai puțin c, si daca A egală bȘi b egală c, Acea A egală c. 6435">Comutativitatea adunării. Schimbarea locurilor termenilor raționali nu schimbă suma.
Asociativitatea adunării. Ordinea în care sunt adăugate trei numere raționale nu afectează rezultatul.
Prezența lui zero. Există un număr rațional 0 care păstrează orice alt număr rațional atunci când este adăugat.
Prezența numerelor opuse. Orice număr rațional are un număr rațional opus, care atunci când este adăugat la dă 0.
Comutativitatea înmulțirii. Schimbarea locurilor factorilor raționali nu schimbă produsul.
Asociativitatea înmulțirii. Ordinea în care sunt înmulțite trei numere raționale nu afectează rezultatul.
Disponibilitatea unității. Există un număr rațional 1 care păstrează orice alt număr rațional atunci când este înmulțit.
Prezența numerelor reciproce. Orice număr rațional are un număr rațional invers, care atunci când este înmulțit cu dă 1.
Distributivitatea înmulțirii în raport cu adunarea. Operația de înmulțire este coordonată cu operația de adunare prin legea distribuției:
Legătura relației de ordine cu operația de adunare. Același număr rațional poate fi adăugat la părțile din stânga și din dreapta unei inegalități raționale. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
Axioma lui Arhimede. Oricare ar fi numărul rațional A, puteți lua atât de multe unități încât suma lor depășește A. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Proprietăți suplimentare

Toate celelalte proprietăți inerente numerelor raționale nu se disting ca fiind de bază, deoarece, în general, ele nu se mai bazează direct pe proprietățile numerelor întregi, ci pot fi dovedite pe baza proprietăților de bază date sau direct prin definiția unui obiect matematic. . Există o mulțime de astfel de proprietăți suplimentare. Este logic să enumerați doar câteva dintre ele aici.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Numărabilitatea unui set

Numerotarea numerelor raționale

Tabelul rezultat este parcurs folosind un „șarpe” conform următorului algoritm formal.

Aceste reguli sunt căutate de sus în jos și următoarea poziție este selectată pe baza primei potriviri.

În procesul unei astfel de parcurgeri, fiecare număr rațional nou este asociat cu un alt număr natural. Adică, fracția 1/1 este atribuită numărului 1, fracția 2/1 numărului 2 etc. Trebuie remarcat că sunt numerotate numai fracțiile ireductibile. Un semn formal de ireductibilitate este că cel mai mare divizor comun al numărătorului și numitorului fracției este egal cu unu.

Lipsa numerelor raționale

Ipotenuza unui astfel de triunghi nu poate fi exprimată prin niciun număr rațional