Teoreme locale și integrale ale lui Laplace
Acest articol este o continuare firească a lecției despre teste independente, unde ne-am întâlnit formula lui Bernoulli si a lucrat exemple tipice pe subiect. Teoremele locale și integrale ale lui Laplace (Moivre-Laplace) rezolvă o problemă similară cu diferența că sunt aplicabile unui număr suficient de mare de teste independente. Nu este nevoie să treceți peste cuvintele „local”, „integral”, „teoreme” - materialul este stăpânit cu aceeași ușurință cu care Laplace a bătut capul creț al lui Napoleon. Prin urmare, fără complexe și comentarii preliminare, să luăm imediat în considerare un exemplu demonstrativ:
Moneda este aruncată de 400 de ori. Găsiți probabilitatea ca capetele să apară de 200 de ori.
De trăsături caracteristice ar trebui aplicat aici formula lui Bernoulli 
. Să ne amintim semnificația acestor litere:
este probabilitatea ca în încercările independente eveniment aleatoriu va veni exact o dată;
– coeficient binomial;
– probabilitatea de apariție a unui eveniment în fiecare probă;
În legătură cu sarcina noastră:
– numărul total de teste;
– numărul de aruncări în care trebuie să cadă capete;
Astfel, probabilitatea ca în urma a 400 de aruncări de monede să apară capete exact de 200 de ori: ...Stop, ce să faci mai departe? Microcalculatorul (cel puțin al meu) nu a reușit să facă față gradului 400 și a capitulat în fața factoriale. Dar nu am vrut să calculez ceva printr-un produs =) Să folosim funcția standard Excel, care a reușit să prelucreze monstrul: .
Aș dori să vă atrag atenția asupra celor primite corect sens și o astfel de soluție pare a fi ideală. La prima vedere. Iată câteva contraargumente convingătoare:
- În primul rând, software poate să nu fie la îndemână;
– și în al doilea rând, soluția va arăta nestandard (cu o probabilitate considerabilă va trebui să vă răzgândiți);
Prin urmare, dragi cititori, în viitorul apropiat vom avea:
Teorema Laplace locală
Dacă probabilitatea ca un eveniment întâmplător să apară în fiecare probă este constantă, atunci probabilitatea ca evenimentul să se producă exact o dată în fiecare probă este aproximativ egală cu: 
, Unde .
Mai mult, cu cât este mai mare, cu atât probabilitatea calculată va aproxima mai bine valoarea exactă obținută (cel putin ipotetic) conform formulei lui Bernoulli. Numărul minim recomandat de teste este de aproximativ 50-100, altfel rezultatul poate fi departe de adevăr. În plus, teorema locală a lui Laplace funcționează mai bine cu cât probabilitatea este mai aproape de 0,5 și invers - dă o eroare semnificativă pentru valorile apropiate de zero sau unu. Din acest motiv, un alt criteriu utilizare eficientă formule 
este inegalitatea ()
.
Deci, de exemplu, dacă , atunci aplicarea teoremei lui Laplace pentru 50 de teste este justificată. Dar dacă și , atunci și o aproximare (la valoarea exacta) va fi rău.
Despre de ce și despre o funcție specială 
vom vorbi în clasă despre distribuția normală de probabilitate, dar deocamdată avem nevoie de partea computațională formală a problemei. În special, fapt important este paritate aceasta functie: 
.
Vom emite relatii oficiale cu exemplul nostru:
Problema 1
Moneda este aruncată de 400 de ori. Găsiți probabilitatea ca capetele să aterizeze exact:
a) de 200 de ori;
b) de 225 de ori.
De unde să încep soluţie? Mai întâi, să notăm cantitățile cunoscute, astfel încât să fie în fața ochilor noștri:
– numărul total de teste independente;
– probabilitatea de a obține cap la fiecare aruncare;
– probabilitatea capetelor de aterizare.
a) Să aflăm probabilitatea ca într-o serie de 400 de aruncări capete să iasă exact o dată. Datorită numărului mare de teste, folosim teorema locală a lui Laplace: 
, Unde 
.
La primul pas, calculăm valoarea necesară a argumentului:
În continuare găsim valoarea funcției corespunzătoare: . Acest lucru se poate face în mai multe moduri. În primul rând, desigur, calculele directe se sugerează:
Rotunjirea se face de obicei la 4 zecimale.
Dezavantajul calculului direct este că nu orice microcalculator poate digera exponentul în plus, calculele nu sunt deosebit de plăcute și necesită timp; De ce suferi atât de mult? Utilizare calculator terver (punctul 4)și obțineți valori instantaneu!
În plus, există tabelul cu valorile funcției, care se află în aproape orice carte despre teoria probabilității, în special, în manual V.E. Gmurman. Dacă nu l-ați descărcat încă, descărcați-l - există o mulțime de lucruri utile acolo ;-) Și asigurați-vă că învățați cum să utilizați tabelul (chiar acum!)– este posibil ca echipamentul de calcul adecvat să nu fie întotdeauna la îndemână!
Pe etapa finala aplica formula 
:
– probabilitatea ca în 400 de aruncări de monede, capete să aterizeze exact de 200 de ori.
După cum puteți vedea, rezultatul obținut este foarte aproape de valoarea exactă calculată de formula lui Bernoulli.
b) Aflați probabilitatea ca într-o serie de 400 de încercări capete să apară exact o dată. Folosim teorema locală a lui Laplace. Unu, doi, trei - și ați terminat:
– probabilitatea dorită.
Răspuns:
Următorul exemplu, după cum mulți au ghicit, este dedicat nașterii - și acesta este pentru tine decizie independentă:)
Problema 2
Probabilitatea de a avea un băiat este de 0,52. Aflați probabilitatea ca între 100 de nou-născuți să fie exact: a) 40 de băieți, b) 50 de băieți, c) 30 de fete.
Rotunjiți rezultatele la 4 zecimale.
...Expresia „teste independente” sună interesant aici =) Apropo, real probabilitate statistică rata natalității pentru un băiat în multe regiuni ale lumii variază de la 0,51 la 0,52.
Un exemplu aproximativ de sarcină la sfârșitul lecției.
Toată lumea a observat că numerele s-au dovedit a fi destul de mici, iar acest lucru nu ar trebui să inducă în eroare - la urma urmei, vorbim despre probabilități individuale, local valori (de unde și numele teoremei). Și există multe astfel de valori și, la figurat vorbind, probabilitatea „ar trebui să fie suficientă pentru toată lumea”. Adevărat, multe evenimente vor fi aproape imposibil.
Permiteți-mi să explic cele de mai sus folosind exemplul monedelor: într-o serie de patru sute de încercări, capetele pot cădea teoretic de la 0 la 400 de ori, iar aceste evenimente se formează grup complet:
Cu toate acestea, cele mai multe dintre aceste valori sunt doar minuscule, de exemplu, probabilitatea ca capete să apară de 250 de ori este deja una din zece milioane: . Despre valori ca 
Hai sa tacem cu tact =)
Pe de altă parte, rezultatele modeste nu trebuie subestimate: dacă este vorba doar despre , atunci probabilitatea de a ateriza capete, de exemplu, de la 220 la 250 de ori, va fi foarte vizibil.
Acum să ne gândim: cum să calculăm această probabilitate? Nu conta după teorema adunării probabilităților de evenimente incompatibile cantitate:
Aceste valori sunt mult mai simple combina. Și combinarea a ceva, după cum știți, se numește integrare:
Teorema integrală a lui Laplace
Dacă probabilitatea ca un eveniment întâmplător să apară în fiecare încercare este constantă, atunci probabilitatea 
că evenimentul va avea loc în procese nici mai puțin și nici de mai multe ori (de la ori inclusiv), este aproximativ egal cu:
În acest caz, numărul de teste, desigur, ar trebui să fie suficient de mare și probabilitatea să nu fie prea mică/mare (aproximativ), altfel aproximarea va fi neimportantă sau proastă.
Funcția este numită Funcția Laplace, iar valorile sale sunt din nou rezumate într-un tabel standard ( găsiți și învățați să lucrați cu el!!). Un microcalculator nu va ajuta aici, deoarece integrala este necombinabilă. Dar Excel are funcționalitatea corespunzătoare - utilizarea punctul 5 layout-ul de proiectare.
În practică, cel mai frecvent următoarele valori:
- Copiați-l în caiet.
Pornind de la , putem presupune că , sau, pentru a o scrie mai strict: 
În plus, funcția Laplace ciudat: 
, iar această proprietate este exploatată activ în sarcini de care ne-am săturat deja:
Problema 3
Probabilitatea ca trăgătorul să lovească ținta este de 0,7. Găsiți probabilitatea ca, cu 100 de lovituri, ținta să fie lovită de la 65 la 80 de ori.
Am ales cel mai realist exemplu, altfel am găsit aici câteva sarcini în care trăgătorul trage mii de focuri =)
Soluţie: în această problemă despre care vorbim teste independente repetate, iar numărul lor este destul de mare. În conformitate cu condiția, trebuie să găsiți probabilitatea ca ținta să fie lovită de cel puțin 65, dar nu mai mult de 80 de ori, ceea ce înseamnă că trebuie să utilizați teorema integrală a lui Laplace: , unde
Pentru comoditate, să rescriem datele originale într-o coloană:
– lovituri totale;
– numărul minim de accesări;
– numărul maxim de accesări;
– probabilitatea de a lovi ținta la fiecare lovitură;
- probabilitatea unei rateuri la fiecare lovitură.
Prin urmare, teorema lui Laplace va oferi o bună aproximare.
Să calculăm valorile argumentelor: 
Aș dori să vă atrag atenția asupra faptului că lucrarea nu trebuie extrasă complet din rădăcini. (deoarece autorilor de probleme le place să „ajusteze” numerele)– fără umbră de îndoială, extrageți rădăcina și rotunjiți rezultatul; Sunt obișnuit să las 4 zecimale. Dar valorile rezultate sunt de obicei rotunjite la 2 zecimale - de la care provine această tradiție tabelele de valori ale funcției, unde argumentele sunt prezentate exact în această formă.
Folosim tabelul de mai sus sau design layout pentru terver (punctul 5).
Ca comentariu scris, vă sfătuiesc să puneți următoarea frază: vom găsi valorile funcției folosind tabelul corespunzător:
– probabilitatea ca cu 100 de lovituri ținta să fie lovită de 65 până la 80 de ori.
Asigurați-vă că profitați de numărul impar al funcției! Pentru orice eventualitate, o voi scrie în detaliu:
Ideea este că tabelul cu valorile funcției conține doar „X” pozitive și lucrăm (cel puțin conform „legendei”) cu o masa!
Răspuns:
Rezultatul este cel mai adesea rotunjit la 4 zecimale (din nou conform formatului tabelului).
Pentru a o rezolva singur:
Problema 4
În clădire sunt 2500 de lămpi, probabilitatea de a aprinde fiecare dintre ele seara este de 0,5. Găsiți probabilitatea ca cel puțin 1250 și nu mai mult de 1275 de lămpi să fie aprinse seara.
O mostră aproximativă a designului final la sfârșitul lecției.
Trebuie remarcat faptul că sarcinile luate în considerare apar foarte des într-o formă „impersonală”, de exemplu:
Se efectuează un experiment în care poate apărea un eveniment aleatoriu cu o probabilitate de 0,5. Experimentul se repetă în condiții neschimbate de 2500 de ori. Determinați probabilitatea ca în 2500 de experimente evenimentul să se producă de la 1250 la 1275 de ori
Și formulări similare sunt prin acoperiș. Datorită naturii de clișeu a sarcinilor, ei încearcă adesea să acopere starea - aceasta este „singura șansă” de a diversifica și complica cumva soluția:
Problema 5
Sunt 1000 de studenți care studiază la institut. Sala de mese are 105 locuri. Fiecare elev merge la cantină în timpul pauzei mari cu probabilitatea 0,1. Care este probabilitatea ca într-o zi obișnuită de școală:
a) sala de mese nu va fi plină mai mult de două treimi;
b) nu există locuri suficiente pentru toată lumea.
Aș dori să vă atrag atenția asupra clauzei importante „într-o zi de școală REGULARE” - asigură că situația rămâne relativ neschimbată. După vacanță, la institut pot veni semnificativ mai puțini studenți, iar în „Ziua” ușile deschise„va sosi o delegație înfometată =) Adică într-o zi „neobișnuită” probabilitățile vor fi semnificativ diferite.
Soluţie: folosim teorema integrală a lui Laplace, unde
În această sarcină:
– total studenți la institut;
– probabilitatea ca un elev să meargă la cantină într-o pauză lungă;
– probabilitatea evenimentului opus.
a) Să calculăm câte locuri reprezintă două treimi din numărul total: locuri
Să aflăm probabilitatea ca, într-o zi normală de școală, cantina să fie plină pe mai mult de două treimi. Ce înseamnă? Asta înseamnă că în timpul pauzei mari vor veni de la 0 la 70 de persoane. Faptul că nu vine nimeni sau vin doar câțiva studenți – sunt evenimente practic imposibil, totuși, în scopul aplicării teoremei integrale a lui Laplace, aceste probabilități ar trebui totuși luate în considerare. Astfel: 
Să calculăm argumentele corespunzătoare: 
Ca urmare:
– probabilitatea ca într-o zi normală de școală cantina să nu fie plină mai mult de două treimi.
Memento : când funcţia Laplace este considerată egală cu .
Totuși, este o plăcere a mulțimii =)
b) Eveniment „Nu sunt suficiente locuri pentru toată lumea” este că de la 106 la 1000 de persoane vor veni în sala de mese pentru prânz în timpul pauzei mari (principalul este să-l compactezi bine =)). Este clar că prezența mare este incredibilă, dar totuși: 
.
Calculăm argumentele: 
Astfel, probabilitatea ca să nu fie suficiente locuri pentru toată lumea este:
Răspuns:
Acum să ne concentrăm pe unul nuanță importantă
metoda: când efectuam calcule pe un singur segment, atunci totul este „fără nori” - decideți în funcție de șablonul luat în considerare. Totuși, dacă luăm în considerare grup complet de evenimente ar trebui arătat o anumită precizie. Permiteți-mi să explic acest punct folosind exemplul problemei discutate. La punctul „fii” am găsit probabilitatea că nu vor fi suficiente locuri pentru toată lumea. Apoi, folosind aceeași schemă, calculăm:
– probabilitatea ca să fie suficiente locuri.
De la aceste evenimente opus, atunci suma probabilităților ar trebui să fie egală cu unu:
Ce s-a întâmplat? – totul pare să fie logic aici. Ideea este că funcția Laplace este continuu, dar nu am ținut cont interval de la 105 la 106. Aici a dispărut piesa de 0,0338. De aceea folosind aceeași formulă standard ar trebui calculat:
Ei bine, sau chiar mai simplu:
Se pune întrebarea: ce se întâmplă dacă am găsi ÎNTÂI? Apoi va exista o altă versiune a soluției:
Dar cum poate fi asta?! – cele două metode dau răspunsuri diferite! Este simplu: teorema integrală a lui Laplace este o metodă aproape calcule și, prin urmare, ambele moduri sunt acceptabile.
Pentru calcule mai precise ar trebui să utilizați formula lui Bernoulliși, de exemplu, funcția Excel BINOMIDST. Ca urmare aplicarea acestuia obținem:
Și îmi exprim recunoștința față de unul dintre vizitatorii site-ului care a atras atenția asupra acestei subtilități - a căzut din câmpul meu vizual, deoarece studiul unui grup complet de evenimente se găsește rar în practică. Cei interesați se pot familiariza cu
Teorema locală Moivre-Laplace(1730 Moivre și Laplace)
Dacă probabilitatea $p$ de apariție a evenimentului $A$ este constantă și $p\ne 0$ și $p\ne 1$, atunci probabilitatea $P_n (k)$ este ca evenimentul $A$ să apară $k$ ori în $n $ teste, este aproximativ egală (cu cât $n$ este mai mare, cu atât mai precisă) valoarea funcției $y=\frac ( 1 ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) \cdot \ frac ( 1 ) ( \sqrt ( 2 \pi ) ) \cdot e^ ( - ( x^2 ) / 2 ) =\frac ( 1 ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) \cdot \varphi (x)$
pentru $x=\frac ( k-n\cdot p ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) $. Există tabele care conțin valorile funcției $\varphi (x)=\frac ( 1 ) ( \sqrt ( 2\cdot \pi ) ) \cdot e^ ( - ( x^2 ) / 2 ) $
deci \begin(equation) \label ( eq2 ) P_n (k)\approx \frac ( 1 ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) \cdot \varphi (x)\,\,where\,x =\frac ( k-n\cdot p ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) \qquad (2) \end(equation)
funcția $\varphi (x)=\varphi (( -x ))$ este pară.
Exemplu. Găsiți probabilitatea ca evenimentul $A$ să apară exact de 80 de ori în 400 de încercări dacă probabilitatea ca acest eveniment să apară în fiecare încercare este $p=0,2$.
Soluţie. Dacă $p=0,2$ atunci $q=1-p=1-0,2=0,8$.
$P_ ( 400 ) (( 80 ))\aproximativ \frac ( 1 ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) \varphi (x)\,\,unde\,x=\frac ( k-n\cdot p ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) $
$ \begin(array) ( l ) x=\frac ( k-n\cdot p ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) =\frac ( 80-400\cdot 0,2 ) ( \sqrt ( 400 \cdot) 0,2\cdot 0,8 ) ) =\frac ( 80-80 ) ( \sqrt ( 400\cdot 0,16 ) ) =0 \\ \varphi (0)=0,3989\,\,P_ ( 400 ) (( 80 ))\aprox. \frac ( 0,3989 ) ( 20\cdot 0,4 ) =\frac ( 0,3989 ) ( 8 ) =0,0498 \\ \end(array) $
Teorema integrală Moivre-Laplace
Probabilitatea P de apariție a evenimentului $A$ în fiecare încercare este constantă și $p\ne 0$ și $p\ne 1$, apoi probabilitatea $P_n (( k_1 ,k_2 ))$ ca evenimentul $A$ va apărea de la $k_ ( 1 ) $ până la $k_ ( 2 ) $ ori în $n$ încercări, este egal cu $ P_n (( k_1 ,k_2 ))\aprox \frac ( 1 ) ( \sqrt ( 2\cdot \pi ) ) \int\limits_ ( x_1 ) ^ ( x_2 ) ( e^ ( - ( z^2 ) / 2 ) dz ) =\Phi (( x_2 ))-\Phi (( x_1 ))$
unde $x_1 =\frac ( k_1 -n\cdot p ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) ), x_2 =\frac ( k_2 -n\cdot p ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot) q ) ) $ ,unde
$\Phi (x)=\frac ( 1 ) ( \sqrt ( 2\cdot \pi ) ) \int ( e^ ( - ( z^2 ) / 2 ) dz ) $ -găsit din tabele
$\Phi (( -x ))=-\Phi (x)$-impar
Funcție ciudată. Valorile din tabel sunt date pentru $x=5$, pentru $x>5,\Phi (x)=0,5$
Exemplu. Se știe că 10% dintre produse sunt respinse în timpul inspecției. 625 de produse au fost selectate pentru control. Care este probabilitatea ca printre cei selectați să fie cel puțin 550 și cel mult 575 de produse standard?
Soluţie. Dacă există 10% defecte, atunci există 90% produse standard. Apoi, prin condiție, $n=625, p=0,9, q=0,1, k_1 =550, k_2 =575$. $n\cdot p=625\cdot 0,9=562,5$. Obținem $ \begin(array) ( l ) P_ ( 625 ) (550.575)\approx \Phi (( \frac ( 575-562.5 ) ( \sqrt ( 625\cdot 0.9\cdot 0.1 ) ) )- \Phi ( ( \frac ( 550-562,5 ) ( \sqrt ( 626\cdot 0,9\cdot 0,1 ) ) ))\aprox \Phi (1,67)- \Phi (-1, 67)=2 \Phi (1,67)=0,9052 \\ \end(matrice) $
Când este suficient de mare, formula lui Bernoulli produce calcule greoaie. Prin urmare, în astfel de cazuri, se utilizează teorema locală Laplace.
Teorema(teorema Laplace locală). Dacă probabilitatea p de apariție a evenimentului A în fiecare încercare este constantă și diferită de 0 și 1, atunci probabilitatea 
faptul că evenimentul A va apărea de exact de k ori în n încercări independente este aproximativ egal cu valoarea funcției:
,
.
Există tabele în care sunt situate valorile funcției 
, pentru valorile pozitive x.
Rețineți că funcția 
chiar
Deci, probabilitatea ca evenimentul A să apară în n încercări este exact de k ori aproximativ egală cu
, Unde 
.
Exemplu. Pe câmpul experimental au fost semănate 1500 de semințe. Găsiți probabilitatea ca răsadurile să producă 1200 de semințe dacă probabilitatea ca boabele să încolțească este de 0,9.
Soluţie. 
Teorema integrală a lui Laplace
Probabilitatea ca în nouă încercări independente evenimentul A să apară de cel puțin k1 ori și de cel mult k2 ori este calculată folosind teorema integrală a lui Laplace.
Teorema(teorema integrală a lui Laplace). Dacă probabilitatea p de apariție a evenimentului a în fiecare încercare este constantă și diferită de 0 și 1, atunci probabilitatea ca evenimentul A să apară de cel puțin k 1 dată și nu mai mult de k de 2 ori în n încercări este aproximativ egală cu valoarea unei anumite integrale:
.
Funcţie 
numită funcție integrală Laplace, este impară și valoarea sa se găsește în tabelul pentru valorile pozitive x.
Exemplu.În laborator, dintr-un lot de semințe cu o rată de germinare de 90%, au fost semănate 600 de semințe, care au germinat, nu mai puțin de 520 și nu mai mult de 570.
Soluţie.
formula lui Poisson
Fie efectuate n încercări independente, probabilitatea apariției evenimentului A în fiecare încercare este constantă și egală cu p. După cum am spus deja, probabilitatea apariției evenimentului A în încercări independente poate fi găsită de exact k ori folosind formula lui Bernoulli. Când n este suficient de mare, se folosește teorema locală a lui Laplace. Cu toate acestea, această formulă este nepotrivită atunci când probabilitatea ca un eveniment să apară în fiecare încercare este mică sau apropiată de 1. Și când p=0 sau p=1 nu este deloc aplicabilă. În astfel de cazuri, se utilizează teorema lui Poisson.
Teorema(teorema lui Poisson). Dacă probabilitatea p de apariție a evenimentului A în fiecare încercare este constantă și apropiată de 0 sau 1, iar numărul de încercări este suficient de mare, atunci probabilitatea ca în n încercări independente evenimentul A să apară exact de k ori este găsită de: formula:
.
Exemplu. Manuscrisul este o mie de pagini de text dactilografiat și conține o mie de greșeli de scriere. Găsiți probabilitatea ca o pagină selectată aleatoriu să conțină cel puțin o greșeală de scriere.
Soluţie.
Întrebări Pentru autotestări
Formulați definiția clasică a probabilității unui eveniment.
Teoreme de stare pentru adunarea și înmulțirea probabilităților.
Definiți un grup complet de evenimente.
Scrieți formula probabilității totale.
Notează formula lui Bayes.
Scrieți formula lui Bernoulli.
Scrieți formula lui Poisson.
Scrieți formula locală Laplace.
Scrieți formula integrală a lui Laplace.
Tema 13. Variabile aleatoare și caracteristicile sale numerice
Literatură: ,,,,,.
Unul dintre conceptele de bază în teoria probabilității este conceptul de variabilă aleatorie. Acesta este denumirea comună pentru o cantitate variabilă care își ia valorile în funcție de caz. Există două tipuri de variabile aleatoare: discrete și continue. Variabilele aleatoare sunt de obicei notate cu X,Y,Z.
O variabilă aleatoare X se numește continuă (discretă) dacă poate lua doar un număr finit sau numărabil de valori. O variabilă aleatoare discretă X este definită dacă toate valorile sale posibile x 1 , x 2 , x 3 , ... x n (al căror număr poate fi finit sau infinit) și probabilitățile corespunzătoare p 1 , p 2 , p 3 , ... p sunt date n.
Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete X este de obicei dată de tabelul:
Prima linie constă din valori posibile variabilă aleatoare X, iar a doua linie arată probabilitățile acestor valori. Suma probabilităților cu care variabila aleatoare X își ia toate valorile este egală cu unu, adică
р 1 +р 2 + р 3 +…+р n =1.
Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete X poate fi reprezentată grafic. Pentru a face acest lucru, punctele M 1 (x 1, p 1), M 2 (x 2, p 2), M 3 (x 3, p 3), ... M n (x n, p n) sunt construite într-un dreptunghi. sistem de coordonate și conectate prin segmente drepte Figura rezultată se numește poligonul de distribuție al variabilei aleatoare X.
Exemplu. Valoarea discretă X este dată de următoarea lege de distribuție:
Este necesar să se calculeze: a) așteptarea matematică M(X), b) varianța D(X), c) abaterea standard σ.
Soluţie . a) Așteptarea matematică M(X) a unei variabile aleatoare discrete X este suma produselor pe perechi a tuturor valorilor posibile ale variabilei aleatoare cu probabilitățile corespunzătoare acestor valori posibile. Dacă o variabilă aleatoare discretă X este specificată folosind tabelul (1), atunci așteptarea matematică M(X) este calculată folosind formula
M(X)=x 1 ∙p 1 +x 2 ∙p 2 +x 3 ∙p 3 +…+x n ∙p n. (2)
Așteptarea matematică M(X) se mai numește și valoarea medie a variabilei aleatoare X. Aplicând (2), obținem:
M(X)=48∙0.2+53∙0.4+57∙0.3 +61∙0.1=54.
b) Dacă M(X) este așteptarea matematică a unei variabile aleatoare X, atunci diferența X-M(X) se numește abatere variabila aleatoare X din valoarea medie. Această diferență caracterizează împrăștierea unei variabile aleatoare.
Varianta(împrăștierea) unei variabile aleatoare discrete X este așteptarea matematică (valoarea medie) a abaterii pătrate a variabilei aleatoare de la așteptarea ei matematică. Astfel, prin definiție avem:
D(X)=M2. (3)
Să calculăm toate valorile posibile ale abaterii pătrate.
2 =(48-54) 2 =36
2 =(53-54) 2 =1
2 =(57-54) 2 =9
2 =(61-54) 2 =49
Pentru a calcula dispersia D(X), întocmim legea de distribuție a abaterii la pătrat și apoi aplicăm formula (2).
D(X)= 36∙0,2+1∙0,4+9∙0,3 +49∙0,1=15,2.
Trebuie remarcat faptul că următoarea proprietate este adesea folosită pentru a calcula varianța: varianța D(X) este egală cu diferența dintre așteptarea matematică a pătratului variabilei aleatoare X și pătratul așteptării sale matematice, adică
D(X)-M(X2)-2. (4)
Pentru a calcula dispersia folosind formula (4), întocmim legea de distribuție a variabilei aleatoare X 2:
Acum să găsim așteptarea matematică M(X 2).
M(X 2)= (48) 2 ∙0.2+(53) 2 ∙0.4+(57) 2 ∙0.3 +(61) 2 ∙0.1=
460,8+1123,6+974,7+372,1=2931,2.
Aplicând (4), obținem:
D(X)=2931,2-(54) 2 =2931,2-2916=15,2.
După cum puteți vedea, avem același rezultat.
c) Dimensiunea varianței este egală cu pătratul dimensiunii variabilei aleatoare. Prin urmare, pentru a caracteriza dispersia valorilor posibile ale unei variabile aleatorii în jurul valorii sale medii, este mai convenabil să se ia în considerare o valoare care este egală cu valoarea aritmetică a rădăcinii pătrate a varianței, adică 
. Această valoare se numește abaterea standard a variabilei aleatoare X și se notează cu σ. Astfel
σ= 
. (5)
Aplicând (5), avem: σ= 
.
Exemplu. Variabila aleatoare X este distribuită conform legii normale. Aşteptări matematice M(X)=5; varianzaD(X)=0,64. Aflați probabilitatea ca în urma testului X să ia o valoare în intervalul (4;7).
Soluţie Se știe că dacă o variabilă aleatoare X este specificată de o funcție diferențială f(x), atunci probabilitatea ca X să ia o valoare aparținând intervalului (α, β) se calculează prin formula
. (1)
Dacă valoarea X este distribuită conform legii normale, atunci funcția diferențială
,
Unde O=M(X) și σ= 
. În acest caz, obținem din (1)
. (2)
Formula (2) poate fi transformată folosind funcția Laplace.
Să facem o înlocuire. Lasă 
. Apoi 
sau dx=σ∙
dt.
Prin urmare 
, unde t 1 și t 2 sunt limitele corespunzătoare pentru variabila t.
Reducand cu σ, avem
Din înlocuirea introdusă 
rezultă că 
Şi 
.
Astfel,
(3)
După condiţiile problemei avem: a=5; σ= 
=0,8; α=4; β=7. Înlocuind aceste date în (3), obținem:
=Ф(2,5)-Ф(-1,25)=
=F(2,5)+F(1,25)=0,4938+0,3944=0,8882.
Exemplu. Se crede că abaterea lungimii pieselor fabricate de la standard este o variabilă aleatorie distribuită conform unei legi normale. Lungime standard (așteptare matematică) a=40 cm, abaterea standard σ=0,4 cm Aflați probabilitatea ca abaterea lungimii de la standard să nu fie mai mare de 0,6 cm în valoare absolută.
Soluţie.Dacă X este lungimea piesei, atunci în funcție de condițiile problemei această valoare ar trebui să fie în intervalul (a-δ,a+δ), unde a=40 și δ=0,6.
Punând α= a-δ și β= a+δ în formula (3), obținem
. (4)
Înlocuind datele disponibile în (4), obținem:
Prin urmare, probabilitatea ca lungimea pieselor fabricate să fie în intervalul de la 39,4 la 40,6 cm este de 0,8664.
Exemplu. Diametrul pieselor fabricate de o fabrică este o variabilă aleatorie distribuită conform unei legi normale. Diametru standard Lungime a=2,5 cm, abaterea standard σ=0,01. În ce limite se poate garanta practic lungimea diametrului acestei piese dacă un eveniment cu o probabilitate de 0,9973 este considerat de încredere?
Soluţie.În funcție de condițiile de problemă avem:
a=2,5; σ=0,01; .
Aplicând formula (4), obținem egalitatea:
sau 
.
Din tabelul 2 aflăm că funcția Laplace are această valoare la x=3. Prin urmare, 
; de unde σ=0,03.
În acest fel, se poate garanta că lungimea diametrului va varia între 2,47 și 2,53 cm.
Teorema integrală a lui Laplace
Teorema. Dacă probabilitatea p de apariție a evenimentului A în fiecare încercare este constantă și diferită de zero și unu, atunci probabilitatea ca numărul m de apariție a evenimentului A în n încercări independente să fie în intervalul de la a la b (inclusiv) , cu suficient număr mare teste n este aproximativ egal cu
Formula integrală a lui Laplace, precum și formula locală a lui Moivre-Laplace, cu atât mai precise cu atât n iar valoarea este mai aproape de 0,5 pŞi q. Calculul folosind această formulă dă o eroare nesemnificativă dacă condiția este îndeplinită npq≥ 20, deși îndeplinirea condiției poate fi considerată acceptabilă npq > 10.
Funcția Ф( x) tabulate (vezi Anexa 2). Pentru a utiliza acest tabel trebuie să cunoașteți proprietățile funcției Ф( x):
1. Funcția Ф( x) – ciudat, adică F(– x) = – Ф( x).
2. Funcția Ф( x) – crescător monoton, iar ca x → +∞ Ф( x) → 0,5 (practic putem presupune că deja la x≥ 5 F( x) ≈ 0,5).
Exemplul 3.4. Folosind condițiile din Exemplul 3.3, calculați probabilitatea ca de la 300 la 360 de studenți (inclusiv) să treacă cu succes examenul prima dată.
Soluţie. Aplicăm teorema integrală a lui Laplace ( npq≥ 20). Calculam:
= –2,5; 
= 5,0;
P 400 (300 ≤ m≤ 360) = Ф(5,0) – Ф(–2,5).
Luând în considerare proprietățile funcției Ф( x) și folosind tabelul valorilor sale, găsim: Ф(5,0) = 0,5; Ф(–2,5) = – Ф(2,5) = – 0,4938.
Primim P 400 (300 ≤ m ≤ 360) = 0,5 – (– 0,4938) = 0,9938. ◄
Să notăm consecințele teoremei integrale a lui Laplace.
Corolarul 1. Dacă probabilitatea p de apariție a evenimentului A în fiecare încercare este constantă și diferită de zero și unu, atunci cu un număr suficient de mare n de încercări independente, probabilitatea ca numărul m de apariție a evenimentului A să difere de produsul np cu nu mai mult de ε > 0
 .
| (3.8) |
Exemplul 3.5.În condițiile exemplului 3.3, găsiți probabilitatea ca de la 280 la 360 de studenți să treacă cu succes prima dată examenul de teoria probabilității.
Soluţie. Calculați probabilitatea R 400 (280 ≤ m≤ 360) poate fi similar cu exemplul anterior pentru principal formula integrală Laplace. Dar este mai ușor să faci asta dacă observi că limitele intervalului 280 și 360 sunt simetrice în raport cu valoarea n.p.=320. Apoi, pe baza Corolarul 1, obținem
= = ≈
≈ 
= 2Ф(5,0) ≈ 2 0,5 ≈ 1,
aceste. Este aproape sigur că între 280 și 360 de studenți vor trece cu succes prima dată examenul. ◄
Corolarul 2. Dacă probabilitatea p de apariție a evenimentului A în fiecare încercare este constantă și diferită de zero și unu, atunci cu un număr suficient de mare n de încercări independente, probabilitatea ca frecvența m/n a evenimentului A să fie în intervalul de la α to β (inclusiv) este egal cu
 ,
| (3.9) |
| Unde | , . | (3.10) |
Exemplul 3.6. Potrivit statisticilor, în medie 87% dintre nou-născuți trăiesc până la 50 de ani. Găsiți probabilitatea ca din 1000 de nou-născuți proporția (frecvența) celor care supraviețuiesc până la 50 de ani să fie în intervalul de la 0,9 la 0,95.
Soluţie. Probabilitatea ca un nou-născut să trăiască până la 50 de ani este r= 0,87. Deoarece n= 1000 este mare (adică condiția npq= 1000·0,87·0,13 = 113,1 ≥ 20 satisfăcut), atunci folosim Corolarul 2 al teoremei integrale a lui Laplace. Găsim:
2,82, = 7,52.
= 0,5 – 0,4976 = 0,0024. ◄
Corolarul 3. Dacă probabilitatea p de apariție a evenimentului A în fiecare încercare este constantă și diferită de zero și unu, atunci cu un număr suficient de mare n de încercări independente, probabilitatea ca frecvența m/n a evenimentului A să difere de probabilitatea sa p prin nu mai mult deΔ > 0 (în valoare absolută) este egal
 .
| (3.11) |
Exemplul 3.7. Conform condițiilor problemei anterioare, găsiți probabilitatea ca din 1000 de nou-născuți, proporția (frecvența) celor care supraviețuiesc până la 50 de ani să difere de probabilitatea acestui eveniment cu cel mult 0,04 (în valoare absolută).
Soluţie. Folosind corolarul 3 al teoremei integrale a lui Laplace, găsim:
= 2F(3,76) = 2·0,4999 = 0,9998.
Deoarece inegalitatea este echivalentă cu inegalitatea, acest rezultat înseamnă că este aproape sigur că de la 83 la 91% dintre nou-născuți din 1000 vor trăi până la 50 de ani. ◄
Anterior, am stabilit că pentru studii independente probabilitatea numărului m aparițiile evenimentului O V n testul este găsit folosind formula lui Bernoulli. Dacă n este mare, apoi utilizați formula asimptotică a lui Laplace. Cu toate acestea, această formulă este nepotrivită dacă probabilitatea evenimentului este mică ( r≤ 0,1). În acest caz ( n mare, r putin) aplica teorema lui Poisson
formula lui Poisson
Teorema. Dacă probabilitatea p de apariție a evenimentului A în fiecare încercare tinde spre zero (p → 0) cu o creștere nelimitată a numărului n de încercări (n→ ∞), iar produsul np tinde către un număr constant λ (np → λ), atunci probabilitatea P n (m) ca evenimentul A să apară de m ori în n încercările independente satisfac egalitatea limită
