Definiție.
Dreptunghi este un patrulater în care două laturi opuse sunt egale și toate cele patru unghiuri sunt egale.Dreptunghiurile diferă între ele doar în raportul dintre latura lungă și latura scurtă, dar toate cele patru colțuri sunt drepte, adică 90 de grade.
Latura lungă a unui dreptunghi se numește lungime dreptunghi, iar cel scurt - lățimea dreptunghiului.
Laturile unui dreptunghi sunt, de asemenea, înălțimile acestuia.
Proprietățile de bază ale unui dreptunghi
Un dreptunghi poate fi un paralelogram, un pătrat sau un romb.
1. Laturile opuse ale dreptunghiului au aceeași lungime, adică sunt egale:
AB = CD, BC = AD
2. Laturile opuse ale dreptunghiului sunt paralele:
3. Laturile adiacente ale unui dreptunghi sunt întotdeauna perpendiculare:
AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB
4. Toate cele patru colțuri ale dreptunghiului sunt drepte:
∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°
5. Suma unghiurilor unui dreptunghi este de 360 de grade:
∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°
6. Diagonalele unui dreptunghi au aceeași lungime:
7. Suma pătratelor diagonalei unui dreptunghi este egală cu suma pătratelor laturilor:
2d 2 = 2a 2 + 2b 2
8. Fiecare diagonală a unui dreptunghi împarte dreptunghiul în două figuri identice și anume triunghiuri dreptunghiulare.
9. Diagonalele dreptunghiului se intersectează și se împart la jumătate în punctul de intersecție:
| AO=BO=CO=DO= | d | ||
| 2 |
10. Punctul de intersecție al diagonalelor se numește centrul dreptunghiului și este și centrul cercului circumferitor
11. Diagonala unui dreptunghi este diametrul cercului circumferitor
12. Puteți descrie oricând un cerc în jurul unui dreptunghi, deoarece suma unghiurilor opuse este de 180 de grade:
∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°
13. Un cerc nu poate fi înscris într-un dreptunghi a cărui lungime nu este egală cu lățimea sa, deoarece sumele laturilor opuse nu sunt egale între ele (un cerc poate fi înscris doar într-un caz special de dreptunghi - un pătrat) .
Laturile unui dreptunghi
Definiție.
Lungime dreptunghi este lungimea perechii mai lungi de laturi. Lățimea dreptunghiului este lungimea perechii mai scurte de laturi.Formule pentru determinarea lungimilor laturilor unui dreptunghi
1. Formula pentru latura unui dreptunghi (lungimea și lățimea dreptunghiului) prin diagonală și cealaltă parte:
a = √ d 2 - b 2
b = √ d 2 - a 2
2. Formula pentru latura unui dreptunghi (lungimea și lățimea dreptunghiului) prin zonă și cealaltă parte:
| b = dcos | β |
| 2 |
Diagonala unui dreptunghi
Definiție.
Dreptunghi diagonal Se numește orice segment care leagă două vârfuri ale colțurilor opuse ale unui dreptunghi.Formule pentru determinarea lungimii diagonalei unui dreptunghi
1. Formula pentru diagonala unui dreptunghi folosind două laturi ale dreptunghiului (prin teorema lui Pitagora):
d = √ a 2 + b 2
2. Formula pentru diagonala unui dreptunghi folosind aria și orice latură:
4. Formula pentru diagonala unui dreptunghi în funcție de raza cercului circumscris:
d = 2R
5. Formula pentru diagonala unui dreptunghi în funcție de diametrul cercului circumferitor:
d = D o
6. Formula pentru diagonala unui dreptunghi folosind sinusul unghiului adiacent diagonalei și lungimea laturii opuse acestui unghi:
8. Formula pentru diagonala unui dreptunghi prin sinusul unghiului acut dintre diagonale și aria dreptunghiului
d = √2S: păcatul β
Perimetrul unui dreptunghi
Definiție.
Perimetrul unui dreptunghi este suma lungimilor tuturor laturilor unui dreptunghi.Formule pentru determinarea lungimii perimetrului unui dreptunghi
1. Formula pentru perimetrul unui dreptunghi folosind două laturi ale dreptunghiului:
P = 2a + 2b
P = 2(a + b)
2. Formula pentru perimetrul unui dreptunghi folosind aria și orice latură:
| P= | 2S + 2a 2 | = | 2S + 2b 2 |
| A | b |
3. Formula pentru perimetrul unui dreptunghi folosind diagonala și orice latură:
P = 2(a + √ d 2 - a 2) = 2(b + √ d 2 - b 2)
4. Formula pentru perimetrul unui dreptunghi folosind raza cercului circumferitor și orice latură:
P = 2(a + √4R 2 - a 2) = 2(b + √4R 2 - b 2)
5. Formula pentru perimetrul unui dreptunghi folosind diametrul cercului circumscris și orice latură:
P = 2(a + √D o 2 - a 2) = 2(b + √D o 2 - b 2)
Aria unui dreptunghi
Definiție.
Aria unui dreptunghi numit spațiu limitat de laturile dreptunghiului, adică în perimetrul dreptunghiului.Formule pentru determinarea ariei unui dreptunghi
1. Formula pentru aria unui dreptunghi folosind două laturi:
S = a b
2. Formula pentru aria unui dreptunghi folosind perimetrul și orice latură:
5. Formula pentru aria unui dreptunghi folosind raza cercului circumferitor și orice latură:
S = a √4R 2 - a 2= b √4R 2 - b 2
6. Formula pentru aria unui dreptunghi folosind diametrul cercului circumferitor și orice latură:
S = a √D o 2 - a 2= b √D o 2 - b 2
Cerc circumscris în jurul unui dreptunghi
Definiție.
Un cerc circumscris în jurul unui dreptunghi este un cerc care trece prin cele patru vârfuri ale unui dreptunghi, al cărui centru se află la intersecția diagonalelor dreptunghiului.Formule pentru determinarea razei unui cerc circumscris unui dreptunghi
1. Formula pentru raza unui cerc circumscris unui dreptunghi prin două laturi:
4. Formula pentru raza unui cerc, care este descrisă în jurul unui dreptunghi prin diagonala unui pătrat:
5. Formula pentru raza unui cerc, care este descrisă în jurul unui dreptunghi prin diametrul cercului (descris):
6. Formula pentru raza unui cerc, care este descrisă în jurul unui dreptunghi prin sinusul unghiului care este adiacent diagonalei și lungimea laturii opuse acestui unghi:
7. Formula pentru raza unui cerc, care este descrisă în jurul unui dreptunghi prin cosinusul unghiului care este adiacent diagonalei și lungimea laturii acestui unghi:
8. Formula pentru raza unui cerc, care este descrisă în jurul unui dreptunghi prin sinusul unghiului acut dintre diagonale și aria dreptunghiului:
Unghiul dintre latura și diagonala unui dreptunghi.
Formule pentru determinarea unghiului dintre latura și diagonala unui dreptunghi:
1. Formula pentru determinarea unghiului dintre latura și diagonala unui dreptunghi prin diagonală și latură:
2. Formula pentru determinarea unghiului dintre latura și diagonala unui dreptunghi prin unghiul dintre diagonale:
Unghiul dintre diagonalele unui dreptunghi.
Formule pentru determinarea unghiului dintre diagonalele unui dreptunghi:
1. Formula pentru determinarea unghiului dintre diagonalele unui dreptunghi prin unghiul dintre latură și diagonală:
β = 2α
2. Formula pentru determinarea unghiului dintre diagonalele unui dreptunghi prin arie și diagonală.
Problema găsirii diagonalei unui dreptunghi poate fi formulată în trei moduri diferite. Să aruncăm o privire mai atentă la fiecare dintre ele. Metodele depind de datele cunoscute, deci cum găsiți diagonala unui dreptunghi?
Dacă se cunosc două laturi
În cazul în care se cunosc două laturi ale dreptunghiului a și b, pentru a găsi diagonala este necesar să folosim teorema lui Pitagora: a 2 + b 2 =c 2, aici a și b sunt catetele triunghiului dreptunghic, c este ipotenuza triunghiului dreptunghic. Când o diagonală este desenată într-un dreptunghi, aceasta este împărțită în două triunghiuri dreptunghiulare. Cunoaștem două laturi ale acestui triunghi dreptunghic (a și b). Adică, pentru a găsi diagonala unui dreptunghi, este necesară următoarea formulă: c=√(a 2 +b 2), aici c este lungimea diagonalei dreptunghiului.
După latură și unghi cunoscute, între latură și diagonală
Fie cunoscute latura dreptunghiului a și unghiul pe care îl formează cu diagonala dreptunghiului α. Mai întâi, să ne amintim formula cosinus: cos α = a/c, aici c este diagonala dreptunghiului. Cum se calculează diagonala unui dreptunghi din această formulă: c = a/cos α.
De-a lungul unei laturi cunoscute, unghiul dintre latura adiacentă a dreptunghiului și diagonală.
Deoarece diagonala unui dreptunghi împarte dreptunghiul în sine în două triunghiuri dreptunghiulare, este logic să ne întoarcem la definiția sinusului. Sinus este raportul catetului opus acestui unghi față de ipotenuză.sin α = b/c. De aici derivăm formula pentru găsirea diagonalei unui dreptunghi, care este și ipotenuza unui triunghi dreptunghic: c = b/sin α.
Acum ești priceput în această chestiune. Îți poți face plăcere profesorului de geometrie mâine!
Dreptunghi este un patrulater în care fiecare unghi este drept.
Dovada
Proprietatea este explicată prin acțiunea caracteristicii 3 a paralelogramului (adică \angle A = \angle C , \angle B = \angle D )
2. Laturile opuse sunt egale.
AB = CD,\enspace BC = AD
3. Laturile opuse sunt paralele.
AB \parallel CD,\enspace BC \parallel AD
4. Laturile adiacente sunt perpendiculare între ele.
AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\enspace CD \perp AD,\enspace AD \perp AB
5. Diagonalele dreptunghiului sunt egale.
AC = BD
Dovada
Conform proprietatea 1 dreptunghiul este un paralelogram, ceea ce înseamnă AB = CD.
Prin urmare, \triangle ABD = \triangle DCA pe două catete (AB = CD și AD - articulație).
Dacă ambele figuri ABC și DCA sunt identice, atunci ipotenuzele lor BD și AC sunt de asemenea identice.
Deci AC = BD.
Dintre toate figurile (doar de paralelograme!), doar dreptunghiul are diagonale egale.
Să demonstrăm și asta.
ABCD este un paralelogram \Rightarrow AB = CD, AC = BD după condiție. \Rightarrow \triangle ABD = \triangle DCA deja pe trei laturi.
Se dovedește că \angle A = \angle D (ca unghiurile unui paralelogram). Și \angle A = \angle C , \angle B = \angle D .
Tragem concluzia că \angle A = \angle B = \angle C = \angle D. Toate sunt 90^(\circ) . În total - 360^(\circ) .
Dovedit!
6. Pătratul unei diagonale este egal cu suma pătratelor celor două laturi adiacente ale acesteia.
Această proprietate este adevărată datorită teoremei lui Pitagora.
AC^2=AD^2+CD^2
7. Diagonala împarte dreptunghiul în două triunghiuri dreptunghice identice.
\triangle ABC = \triangle ACD, \enspace \triangle ABD = \triangle BCD
8. Punctul de intersecție al diagonalelor le împarte la jumătate.
AO = BO = CO = DO
.png)
9. Punctul de intersecție al diagonalelor este centrul dreptunghiului și al cercului circumferitor.
10. Suma tuturor unghiurilor este de 360 de grade.
\angle ABC + \angle BCD + \angle CDA + \angle DAB = 360^(\circ)
11. Toate unghiurile unui dreptunghi sunt drepte.
\angle ABC = \angle BCD = \angle CDA = \angle DAB = 90^(\circ)
12. Diametrul unui cerc circumscris unui dreptunghi este egal cu diagonala dreptunghiului.
13. Puteți descrie oricând un cerc în jurul unui dreptunghi.
Această proprietate este adevărată datorită faptului că suma unghiurilor opuse ale unui dreptunghi este 180^(\circ)
\angle ABC = \angle CDA = 180^(\circ),\enspace \angle BCD = \angle DAB = 180^(\circ)
14. Un dreptunghi poate conține un cerc înscris și doar unul dacă are laturile de lungime egală (este un pătrat).
