Exponentiația este o operație strâns legată de înmulțire; această operație este rezultatul înmulțirii repetate a unui număr cu el însuși. Să o reprezentăm cu formula: a1 * a2 * … * an = an.
De exemplu, a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .
În general, exponentiația este adesea folosită în diverse formule din matematică și fizică. Această funcție are un scop mai științific decât cele patru principale: Adunare, Scădere, Înmulțire, Împărțire.
Ridicarea unui număr la o putere
Ridicarea unui număr la o putere nu este o operație complicată. Este legat de înmulțire într-un mod similar cu relația dintre înmulțire și adunare. Notația an este o notație scurtă a celui de-al n-lea număr de numere „a” înmulțite între ele.
Luați în considerare exponențiarea folosind cele mai simple exemple, trecând la cele complexe.
De exemplu, 42. 42 = 4 * 4 = 16. Patru pătrat (la a doua putere) este egal cu șaisprezece. Dacă nu înțelegeți înmulțirea 4 * 4, atunci citiți articolul nostru despre înmulțire.
Să ne uităm la un alt exemplu: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Cinci cubi (la a treia putere) este egal cu o sută douăzeci și cinci.
Un alt exemplu: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Nouă cuburi este egal cu șapte sute douăzeci și nouă.
Formule de exponentiare
Pentru a ridica corect la o putere, trebuie să vă amintiți și să cunoașteți formulele prezentate mai jos. Nu există nimic în plus natural în asta, principalul lucru este să înțelegeți esența și atunci nu numai că vor fi amintite, ci vor părea și ușoare.
Ridicarea unui monom la putere
Ce este un monom? Acesta este un produs de numere și variabile în orice cantitate. De exemplu, doi este un monom. Și acest articol este tocmai despre ridicarea unor astfel de monomii la puteri.
Folosind formulele de exponențiere, nu va fi dificil să se calculeze exponențiația unui monom.
De exemplu, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Dacă ridicați un monom la o putere, atunci fiecare componentă a monomului este ridicată la o putere.
Prin ridicarea unei variabile care are deja o putere la o putere, puterile sunt înmulțite. De exemplu, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;
Ridicarea la o putere negativă
O putere negativă este reciproca unui număr. Care este numărul reciproc? Reciproca oricărui număr X este 1/X. Adică X-1=1/X. Aceasta este esența gradului negativ.
Luați în considerare exemplul (3Y)^-3:
(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).
De ce este asta? Deoarece există un minus în grad, pur și simplu transferăm această expresie la numitor și apoi o ridicăm la a treia putere. Simplu nu?
Ridicarea la o putere fracționată
Să începem prin a privi problema cu un exemplu specific. 43/2. Ce înseamnă gradul 3/2? 3 – numărător, înseamnă ridicarea unui număr (în acest caz 4) la un cub. Numărul 2 este numitorul; este extragerea celei de-a doua rădăcini a unui număr (în acest caz, 4).
Apoi obținem rădăcina pătrată a lui 43 = 2^3 = 8. Raspuns: 8.
Deci, numitorul unei puteri fracționale poate fi fie 3, fie 4 și până la infinit orice număr, iar acest număr determină gradul rădăcinii pătrate luate dintr-un număr dat. Desigur, numitorul nu poate fi zero.
Ridicarea unei rădăcini la o putere
Dacă rădăcina este ridicată la un grad egal cu gradul rădăcinii însăși, atunci răspunsul va fi o expresie radicală. De exemplu, (√x)2 = x. Și astfel, în orice caz, gradul rădăcinii și gradul de ridicare a rădăcinii sunt egale.
Dacă (√x)^4. Atunci (√x)^4=x^2. Pentru a verifica soluția, convertim expresia într-o expresie cu o putere fracțională. Deoarece rădăcina este pătrată, numitorul este 2. Și dacă rădăcina este ridicată la a patra putere, atunci numărătorul este 4. Obținem 4/2=2. Răspuns: x = 2.
În orice caz, cea mai bună opțiune este să convertiți pur și simplu expresia într-o expresie cu o putere fracțională. Dacă fracția nu se anulează, atunci acesta este răspunsul, cu condiția ca rădăcina numărului dat să nu fie izolată.
Ridicarea unui număr complex la putere
Ce este un număr complex? Un număr complex este o expresie care are formula a + b * i; a, b sunt numere reale. i este un număr care, la pătrat, dă numărul -1.
Să ne uităm la un exemplu. (2 + 3i)^2.
(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.
Înscrieți-vă la cursul „Accelerați aritmetica mentală, NU aritmetica mentală” pentru a învăța cum să adăugați, să scădeți, să înmulțiți, să împărțiți, să pătrați și chiar să extrageți rădăcini rapid și corect. În 30 de zile, vei învăța cum să folosești trucuri simple pentru a simplifica operațiile aritmetice. Fiecare lecție conține tehnici noi, exemple clare și sarcini utile.
Exponentiație online
Folosind calculatorul nostru, puteți calcula ridicarea unui număr la o putere:
Exponentiatie clasa a VII-a
Elevii încep să se ridice la putere abia în clasa a șaptea.
Exponentiația este o operație strâns legată de înmulțire; această operație este rezultatul înmulțirii repetate a unui număr cu el însuși. Să o reprezentăm cu formula: a1 * a2 * … * an=an.
De exemplu, a=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.
Exemple de rezolvare:
Prezentarea exponentiatiei
Prezentare despre ridicarea la puteri, destinată elevilor de clasa a VII-a. Prezentarea poate clarifica unele puncte neclare, dar aceste puncte probabil nu vor fi clarificate datorită articolului nostru.
Concluzie
Ne-am uitat doar la vârful aisbergului, pentru a înțelege mai bine matematica - înscrieți-vă la cursul nostru: Accelerarea aritmetică mentală - NU aritmetica mentală.
Din curs nu numai că vei învăța zeci de tehnici de înmulțire simplificată și rapidă, adunare, înmulțire, împărțire și calculare a procentelor, dar le vei exersa și în sarcini speciale și jocuri educative! Aritmetica mentală necesită, de asemenea, multă atenție și concentrare, care sunt antrenate activ atunci când rezolvă probleme interesante.
Formulele sau regulile de înmulțire prescurtate sunt folosite în aritmetică, mai precis algebră, pentru a accelera procesul de evaluare a expresiilor algebrice mari. Formulele în sine sunt derivate din regulile existente în algebră pentru înmulțirea mai multor polinoame.
Utilizarea acestor formule oferă o soluție destul de rapidă la diferite probleme matematice și, de asemenea, ajută la simplificarea expresiilor. Regulile transformărilor algebrice vă permit să efectuați niște manipulări cu expresii, în urma cărora puteți obține în partea stângă a egalității expresia din partea dreaptă, sau transforma partea dreaptă a egalității (pentru a obține expresia în partea stângă). după semnul egal).
Este convenabil să cunoașteți din memorie formulele folosite pentru înmulțirea prescurtată, deoarece acestea sunt adesea folosite în rezolvarea problemelor și ecuațiilor. Mai jos sunt principalele formule incluse în această listă și numele acestora.
Patratul sumei
Pentru a calcula pătratul sumei, trebuie să găsiți suma constând din pătratul primului termen, de două ori produsul primului termen și al doilea și pătratul celui de-al doilea. Sub forma unei expresii, această regulă se scrie după cum urmează: (a + c)² = a² + 2ac + c².
Diferența pătrată
Pentru a calcula pătratul diferenței, trebuie să calculați suma constând din pătratul primului număr, de două ori produsul primului număr și al doilea (luat cu semnul opus) și pătratul celui de-al doilea număr. Sub forma unei expresii, această regulă arată astfel: (a - c)² = a² - 2ac + c².
Diferența de pătrate
Formula pentru diferența a două numere la pătrat este egală cu produsul dintre suma acestor numere și diferența lor. Sub forma unei expresii, această regulă arată astfel: a² - с² = (a + с)·(a - с).
Cubul sumei
Pentru a calcula cubul sumei a doi termeni, trebuie să calculați suma constând din cubul primului termen, triplu produsul pătratului primului termen și al doilea, triplu produsul primului termen și al doilea. pătrat, iar cubul celui de-al doilea termen. Sub forma unei expresii, această regulă arată astfel: (a + c)³ = a³ + 3a²c + 3ac² + c³.
Suma de cuburi
Conform formulei, este egal cu produsul dintre suma acestor termeni și pătratul lor incomplet al diferenței. Sub forma unei expresii, această regulă arată astfel: a³ + c³ = (a + c)·(a² - ac + c²).
Exemplu. Este necesar să se calculeze volumul unei figuri formate prin adăugarea a două cuburi. Se cunosc doar dimensiunile laturilor lor.
Dacă valorile laterale sunt mici, atunci calculele sunt simple.
Dacă lungimile laturilor sunt exprimate în numere greoaie, atunci în acest caz este mai ușor să utilizați formula „Suma cuburilor”, care va simplifica foarte mult calculele.
Cub de diferență
Expresia pentru diferența cubică sună astfel: ca sumă a treia puteri a primului termen, se triplează produsul negativ al pătratului primului termen cu al doilea, se triplă produsul primului termen cu pătratul celui de-al doilea. iar cubul negativ al celui de-al doilea termen. Sub forma unei expresii matematice, cubul diferenței arată astfel: (a - c)³ = a³ - 3a²c + 3ac² - c³.
Diferența de cuburi
Formula diferenței cuburilor diferă de suma cuburilor printr-un singur semn. Astfel, diferența de cuburi este o formulă egală cu produsul dintre diferența acestor numere și pătratul lor incomplet al sumei. În formă, diferența de cuburi arată astfel: a 3 - c 3 = (a - c)(a 2 + ac + c 2).
Exemplu. Este necesar să se calculeze volumul figurii care va rămâne după scăderea cifrei volumetrice galbene, care este tot un cub, din volumul cubului albastru. Se cunoaște doar dimensiunea laterală a cubului mic și mare.
Dacă valorile laterale sunt mici, atunci calculele sunt destul de simple. Și dacă lungimile laturilor sunt exprimate în numere semnificative, atunci merită să aplicați formula intitulată „Diferența cuburilor” (sau „Cubul diferenței”), care va simplifica foarte mult calculele.
Formule de înmulțire prescurtate. Instruire.
Încercați să evaluați următoarele expresii în acest fel:
Raspunsuri:
Sau, dacă cunoașteți pătratele numerelor de bază din două cifre, amintiți-vă cât este? Vă amintiți? . Grozav! Din moment ce facem la pătrat, trebuie să înmulțim cu. Se pare că.
Rețineți că formulele sumei pătrate și diferențelor pătrate sunt valabile nu numai pentru expresii numerice:
Calculați singur următoarele expresii:
Raspunsuri:
Formule de înmulțire prescurtate. Concluzie.
Să rezumam puțin și să scriem formulele pentru pătratul sumei și diferenței într-o singură linie:
Acum să exersăm „asamblarea” formulei din vedere descompusă în vedere. Vom avea nevoie de această abilitate mai târziu când convertim expresii mari.
Să presupunem că avem următoarea expresie:
Știm că pătratul sumei (sau al diferenței) este pătratul unui număr pătratul altui numărȘi de două ori produsul acestor numere.
În această problemă, este ușor să vezi pătratul unui număr - acesta. În consecință, unul dintre numerele incluse în paranteză este rădăcina pătrată a, adică
Deoarece al doilea termen conține, înseamnă că acesta este produsul dublu al unui număr, respectiv al altui număr:
Unde este al doilea număr inclus în paranteză.
Al doilea număr din paranteză este egal cu.
Sa verificam. ar trebui să fie egal. Într-adevăr, așa este, ceea ce înseamnă că am găsit ambele numere prezente între paranteze: și. Rămâne să se determine semnul care se află între ei. Ce fel de semn crezi că va fi acolo?
Dreapta! De cand noi adăuga Dacă produsul este dublat, va exista un semn de adunare între numere. Acum notează expresia transformată. Ai reușit? Ar trebui să obțineți următoarele:
Notă: schimbarea locurilor termenilor nu afectează rezultatul (nu contează dacă adunarea sau scăderea este plasată între și).
Nu este absolut necesar ca termenii din expresia convertită să fie așa cum sunt scrisi în formulă. Uită-te la această expresie: . Încercați să îl convertiți singur. S-a întâmplat?
Practică - transformați următoarele expresii:
Raspunsuri: Ai reușit? Să reparăm subiectul. Alegeți dintre expresiile de mai jos pe cele care pot fi reprezentate ca pătratul sumei sau al diferenței.
- - dovediți că este echivalent.
- - nu poate fi reprezentat ca un pătrat; s-ar putea imagina dacă în schimb ar exista.
Diferența de pătrate
O altă formulă de înmulțire prescurtată este diferența de pătrate.
Diferența de pătrate nu este pătratul diferenței!
Diferența dintre pătratele a două numere este egală cu produsul dintre suma acestor numere și diferența lor:
Să verificăm dacă această formulă este corectă. Pentru a face acest lucru, să înmulțim, așa cum am făcut când am obținut formulele pentru pătratul sumei și diferenței:
Deci tocmai am verificat că formula este într-adevăr corectă. Această formulă simplifică, de asemenea, operațiile de calcul complexe. Iată un exemplu:
Este necesar să se calculeze: . Desigur, putem pătra, apoi pătrați și scădem unul din celălalt, dar formula ne face mai ușor:
S-a întâmplat? Să comparăm rezultatele:
La fel ca pătratul unei sume (diferență), formula diferenței de pătrate poate fi folosită nu numai cu numere:
Știind cum să calculăm diferența de pătrate ne va ajuta să transformăm expresii matematice complexe.
Fiţi atenți:
Deoarece, la descompunerea diferenței expresiei corecte prin pătrat, obținem
Fiți atenți și vedeți ce termen specific este pătrat! Pentru a consolida subiectul, transformați următoarele expresii:
L-ai notat? Să comparăm expresiile rezultate:
Acum că ați stăpânit pătratul sumei și pătratul diferenței, precum și diferența de pătrate, să încercăm să rezolvăm exemple pentru o combinație a acestor trei formule.
Conversia expresiilor elementare (suma pătratului, diferența pătratului, diferența de pătrate)
Să presupunem că ni se dă un exemplu
Această expresie trebuie simplificată. Uită-te cu atenție, ce vezi la numărător? Așa este, numărătorul este un pătrat perfect:
Când simplificați o expresie, amintiți-vă că indiciul în care direcție să mergeți în simplificare este în numitor (sau numărător). În cazul nostru, când numitorul este extins și nu se mai poate face nimic, putem înțelege că numărătorul va fi fie pătratul sumei, fie pătratul diferenței. Din moment ce adăugăm, devine clar că numărătorul este pătratul sumei.
Încercați să convertiți singur următoarele expresii:
S-a întâmplat? Comparați răspunsurile și mergeți mai departe!
Cubul sumei și cubul diferenței
Formulele cubului sumă și al cubului diferență sunt derivate în același mod ca pătratul sumeiȘi diferenta la patrat: deschiderea parantezei la înmulțirea termenilor între ei.
Dacă pătratul sumei și pătratul diferenței sunt foarte ușor de reținut, atunci apare întrebarea: „cum să ne amintim cuburile?”
Priviți cu atenție cele două formule descrise în comparație cu termeni similari la pătrat:
Ce model vezi?
1. Când este ridicat în pătrat avem pătrat prima zi si pătrat al doilea; când este ridicat la un cub - da cub același număr și cub alt număr.
2. Când este ridicat în pătrat, avem dublat produsul numerelor (numerele ridicate la puterea 1, care este cu o putere mai mică decât cea la care ridicăm expresia); în timpul construcției în cub - triplat un produs în care unul dintre numere este pătrat (care este, de asemenea, cu 1 putere mai mică decât puterea la care ridicăm expresia).
3. La pătrat, semnul dintre paranteze în expresia deschisă se reflectă la adăugarea (sau scăderea) produsului dublu - dacă există o adunare între paranteze, atunci adunăm, dacă există o scădere, scădem; atunci când ridicăm un cub, regula este următoarea: dacă avem un cub sumă, atunci toate semnele sunt „+”, iar dacă avem un cub diferență, atunci semnele alternează: „ ” - “ ” - “ ” - “ “ .
Toate cele de mai sus, cu excepția dependenței puterilor la înmulțirea termenilor, sunt prezentate în figură.
Să exersăm? Deschideți parantezele în următoarele expresii:
Comparați expresiile rezultate:
Diferența și suma cuburilor
Să ne uităm la ultima pereche de formule: diferența și suma de cuburi.
După cum ne amintim, în diferența de pătrate înmulțim diferența și suma acestor numere unele cu altele. Există, de asemenea, două paranteze în diferența de cuburi și suma de cuburi:
1 paranteză - diferența (sau suma) numerelor față de prima putere (în funcție de faptul că relevăm diferența sau suma cuburilor);
A doua paranteză este un pătrat incomplet (uitați-vă cu atenție: dacă am scădea (sau adunam) produsul dublu al numerelor, ar fi un pătrat), semnul la înmulțirea numerelor este opus semnului expresiei inițiale.
Pentru a consolida subiectul, să rezolvăm câteva exemple:
Comparați expresiile rezultate:
Instruire
Raspunsuri:
Să rezumăm:
Există 7 formule de înmulțire abreviate:
NIVEL AVANSAT
Formulele de înmulțire prescurtate sunt formule care, știind care pot evita efectuarea unor acțiuni standard la simplificarea expresiilor sau la factorizarea polinoamelor. Formulele de înmulțire prescurtate trebuie cunoscute pe de rost!
- Patratul sumei două expresii este egal cu pătratul primei expresii plus de două ori produsul primei expresii și al doilea plus pătratul celei de-a doua expresii:
- Diferența pătrată două expresii este egal cu pătratul primei expresii minus de două ori produsul primei expresii și al doilea plus pătratul celei de-a doua expresii:
- Diferența de pătrate două expresii este egală cu produsul dintre diferența acestor expresii și suma lor:
- Cubul sumei două expresii este egal cu cubul primei expresii plus triplul produsului pătratului primei expresii și al doilea plus triplul produsului primei expresii și pătratul celei de-a doua plus cubul celei de-a doua expresii:
- Cub de diferență două expresii este egală cu cubul primei expresii minus triplu produsul pătratului primei expresii și a doua plus triplul produsului primei expresii și pătratul celei de-a doua minus cubul celei de-a doua expresii:
- Suma de cuburi două expresii este egală cu produsul dintre suma primei și a doua expresii și pătratul incomplet al diferenței acestor expresii:
- Diferența de cuburi două expresii este egal cu produsul diferenței primei și celei de-a doua expresii cu pătratul incomplet al sumei acestor expresii:
Acum să demonstrăm toate aceste formule.
Formule de înmulțire prescurtate. Dovada.
1. .
A pătra o expresie înseamnă a o înmulți cu ea însăși:
.
Să deschidem parantezele și să dăm altele asemănătoare:
2. .
Facem același lucru: înmulțim diferența de la sine, deschidem parantezele și dăm altele similare:
.
3. .
Să luăm expresia din partea dreaptă și să deschidem parantezele:
.
4. .
Un număr cub poate fi reprezentat ca acest număr înmulțit cu pătratul său:
De asemenea:
În diferența de cuburi semnele alternează.
6. .
.
7. .
Să deschidem parantezele din partea dreaptă:
.
Folosind formule de înmulțire prescurtate pentru a rezolva exemple
Exemplul 1:
Găsiți semnificația expresiilor:
Soluţie:
- Folosim formula pătratului sumei: .
- Să ne imaginăm acest număr ca o diferență și să folosim formula pentru pătratul diferenței: .
Exemplul 2:
Găsiți sensul expresiei: .
Soluţie:
Folosind formula pentru diferența pătratelor a două expresii, obținem:
Exemplul 3:
Simplificați expresia:
Rezolvare in doua moduri:
Să folosim formulele: pătratul sumei și pătratul diferenței:
Metoda II.
Să folosim formula pentru diferența pătratelor a două expresii:
ACUM CUVINTUL TAU...
Ți-am spus tot ce știu despre formulele de înmulțire abreviate.
Spune-mi acum, le vei folosi? Dacă nu, de ce nu?
Ce parere aveti de acest articol?
Poate ai intrebari. Sau sugestii.
Scrieți în comentarii. Citim toate comentariile și răspundem tuturor.
Și mult succes la examene!
În lecția anterioară ne-am ocupat de factorizare. Am stăpânit două metode: scoaterea din paranteze a factorului comun și gruparea. În această lecție - următoarea metodă puternică: formule de înmulțire prescurtate. Pe scurt - FSU.
Formulele de înmulțire prescurtate (suma și diferența pătratului, suma și diferența cub, diferența de pătrate, suma și diferența de cuburi) sunt extrem de necesare în toate ramurile matematicii. Sunt folosite în simplificarea expresiilor, rezolvarea ecuațiilor, înmulțirea polinoamelor, reducerea fracțiilor, rezolvarea integralelor etc. și așa mai departe. Pe scurt, există toate motivele să ne ocupăm de ei. Înțelegeți de unde provin, de ce sunt necesare, cum să le amintiți și cum să le folosiți.
înțelegem?)
De unde provin formulele de înmulțire abreviate?
Egalitățile 6 și 7 nu sunt scrise într-un mod foarte familiar. Este cam invers. Acest lucru este intenționat.) Orice egalitate funcționează atât de la stânga la dreapta, cât și de la dreapta la stânga. Această intrare arată mai clar de unde provin FSU-urile.
Sunt luate din înmulțire.) De exemplu:
(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2
Asta e, fără trucuri științifice. Pur și simplu înmulțim parantezele și dăm altele similare. Așa se dovedește toate formulele de înmulțire prescurtate. Abreviatînmulțirea se datorează faptului că în formulele în sine nu există înmulțirea parantezelor și reducerea celor similare. Abreviat.) Rezultatul este dat imediat.
FSU trebuie cunoscut pe de rost. Fără primele trei, nu poți visa la un C; fără restul, nu poți visa la un B sau A.)
De ce avem nevoie de formule de înmulțire prescurtate?
Există două motive pentru a învăța, chiar și a memora aceste formule. Primul este că un răspuns gata făcut reduce automat numărul de erori. Dar nu acesta este motivul principal. Dar al doilea...
Daca va place acest site...
Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)
Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)
Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.
Formule de înmulțire prescurtate.
Studierea formulelor de înmulțire prescurtate: pătratul sumei și pătratul diferenței a două expresii; diferența de pătrate a două expresii; cubul sumei și cubul diferenței a două expresii; sume și diferențe de cuburi a două expresii.
Aplicarea formulelor de înmulțire prescurtate la rezolvarea exemplelor.
Pentru a simplifica expresiile, a factoriza polinoamele și a reduce polinoamele la forma standard, se folosesc formule de înmulțire abreviate. Formulele de multiplicare abreviate trebuie cunoscute pe de rost.
Fie a, b R. Atunci:
1. Pătratul sumei a două expresii este egal cu pătratul primei expresii plus de două ori produsul primei expresii și al doilea plus pătratul celei de-a doua expresii.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2. Pătratul diferenței a două expresii este egal cu pătratul primei expresii minus de două ori produsul primei expresii și al doilea plus pătratul celei de-a doua expresii.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
3. Diferența de pătrate două expresii este egală cu produsul dintre diferența acestor expresii și suma lor.
a 2 - b 2 = (a -b) (a+b)
4. Cubul sumei două expresii este egal cu cubul primei expresii plus triplul produsului pătratului primei expresii și al doilea plus triplul produsului primei expresii și pătratul celei de-a doua plus cubul celei de-a doua expresii.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. Cub de diferență două expresii este egală cu cubul primei expresii minus triplul produsului pătratului primei expresii și al doilea plus triplul produsului primei expresii și pătratul celei de-a doua minus cubul celei de-a doua expresii.
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. Suma de cuburi două expresii este egal cu produsul dintre suma primei și a doua expresii și pătratul incomplet al diferenței acestor expresii.
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
7. Diferența de cuburi două expresii este egal cu produsul diferenței primei și celei de-a doua expresii prin pătratul incomplet al sumei acestor expresii.
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Aplicarea formulelor de înmulțire prescurtate la rezolvarea exemplelor.
Exemplul 1.
calculati
a) Folosind formula pentru pătratul sumei a două expresii, avem
(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
b) Folosind formula pentru pătratul diferenței a două expresii, obținem
98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604
Exemplul 2.
calculati
Folosind formula pentru diferența pătratelor a două expresii, obținem
Exemplul 3.
Simplificați o expresie
(x - y) 2 + (x + y) 2
Să folosim formulele pentru pătratul sumei și pătratul diferenței a două expresii
(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2
Formule de înmulțire prescurtate într-un singur tabel:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
