Primul nivel
Rădăcina și proprietățile sale. Teorie detaliată cu exemple (2019)
Să încercăm să ne dăm seama ce este acest concept de „rădăcină” și „cu ce se mănâncă”. Pentru a face acest lucru, să ne uităm la exemplele pe care le-ați întâlnit deja în clasă (ei bine, sau tocmai sunteți pe cale să întâlniți asta).
De exemplu, avem o ecuație. Care este soluția acestei ecuații? Ce numere pot fi pătrate și obținute? Amintindu-ți de tabla înmulțirii, poți da cu ușurință răspunsul: și (la urma urmei, când se înmulțesc două numere negative, se obține un număr pozitiv)! Pentru a simplifica, matematicienii au introdus conceptul special de rădăcină pătrată și i-au atribuit un simbol special.
Să definim rădăcina pătrată aritmetică.
De ce numărul trebuie să fie nenegativ? De exemplu, cu ce este egal? Ei bine, hai să încercăm să alegem unul. Poate trei? Să verificăm: , nu. Pot fi, ? Din nou, verificăm: . Ei bine, nu se potrivește? Acest lucru este de așteptat - pentru că nu există numere care, la pătrat, să dea un număr negativ!
Iată ceea ce trebuie să rețineți: numărul sau expresia de sub semnul rădăcinii trebuie să fie nenegativ!
Cu toate acestea, probabil că cei mai atenți au observat deja că definiția spune că soluția la rădăcina pătrată a „un număr se numește aceasta nenegativ număr al cărui pătrat este egal cu ". Unii dintre voi veți spune că la început am analizat exemplul, numere selectate care pot fi pătrate și obținute, răspunsul a fost și, dar aici vorbim despre un fel de „număr nenegativ”! Această remarcă este destul de potrivită. Aici trebuie doar să distingeți între conceptele de ecuații pătratice și rădăcina pătrată aritmetică a unui număr. De exemplu, nu este echivalent cu expresia.
Rezultă că, adică sau. (Citiți subiectul „”)
Și rezultă că.
Desigur, acest lucru este foarte confuz, dar este necesar să ne amintim că semnele sunt rezultatul rezolvării ecuației, deoarece atunci când rezolvăm ecuația trebuie să scriem toate x-urile, care, atunci când sunt înlocuite în ecuația originală, vor da rezultat corect. În a noastră ecuație pătratică potrivit pentru ambele.
Cu toate acestea, dacă luați doar rădăcina pătrată de la ceva, atunci întotdeauna obținem un rezultat nenegativ.
Acum încercați să rezolvați această ecuație. Totul nu mai este atât de simplu și de lin, nu-i așa? Încercați să parcurgeți cifrele, poate va funcționa ceva? Să începem de la început - de la zero: - nu se potrivește, mergi mai departe - mai puțin de trei, de asemenea, mătură deoparte, ce dacă. Să verificăm: - nici nu este potrivit, pentru că... adica mai mult de trei. Este aceeași poveste cu numerele negative. Deci ce ar trebui să facem acum? Căutarea chiar nu ne-a dat nimic? Deloc, acum știm sigur că răspunsul va fi un număr între și, precum și între și. De asemenea, evident că soluțiile nu vor fi numere întregi. În plus, nu sunt raționali. Deci, ce urmează? Să reprezentăm grafic funcția și să marchem soluțiile pe ea.
Să încercăm să păcălim sistemul și să obținem răspunsul folosind un calculator! Să scoatem rădăcina din ea! Oh-oh-oh, se dovedește că. Acest număr nu se termină niciodată. Cum să-ți amintești asta, deoarece nu va fi un calculator la examen!? Totul este foarte simplu, nu trebuie să vă amintiți, trebuie doar să vă amintiți (sau să puteți estima rapid) valoarea aproximativă. și răspunsurile în sine. Astfel de numere sunt numite iraționale; pentru a simplifica scrierea unor astfel de numere a fost introdus conceptul de rădăcină pătrată.
Să ne uităm la un alt exemplu pentru a consolida acest lucru. Să ne uităm la această problemă: trebuie să traversezi în diagonală câmp pătrat cu o latura de km, cati km ai de mers?
Cel mai evident lucru aici este să luați în considerare triunghiul separat și să folosiți teorema lui Pitagora: . Prin urmare, . Deci, care este distanța necesară aici? Evident, distanța nu poate fi negativă, obținem asta. Rădăcina lui doi este aproximativ egală, dar, așa cum am observat mai devreme, - este deja un răspuns complet.
Pentru a rezolva exemple cu rădăcini fără a cauza probleme, trebuie să le vedeți și să le recunoașteți. Pentru a face acest lucru, trebuie să cunoașteți cel puțin pătratele numerelor de la până la și, de asemenea, să le puteți recunoaște. De exemplu, trebuie să știți ce este egal cu un pătrat și, dimpotrivă, ce este egal cu un pătrat.
Ai prins ce este o rădăcină pătrată? Apoi rezolvă câteva exemple.
Exemple.
Ei bine, cum a ieșit? Acum să ne uităm la aceste exemple:
Raspunsuri:
Rădăcină cubă
Ei bine, se pare că am rezolvat conceptul de rădăcină pătrată, acum să încercăm să ne dăm seama ce este o rădăcină cubă și care este diferența lor.
Rădăcina cubă a unui număr este numărul al cărui cub este egal cu. Ai observat că aici totul este mult mai simplu? Nu există restricții cu privire la valorile posibile atât ale valorii de sub semnul rădăcinii cubice, cât și ale numărului care se extrage. Adică rădăcina cubă poate fi extrasă din orice număr: .
Înțelegi ce este o rădăcină cubă și cum să o extragi? Apoi mergeți mai departe și rezolvați exemplele.
Exemple.
Raspunsuri:
Rădăcină - oh grad
Ei bine, am înțeles conceptele de rădăcină pătrată și cubă. Acum să rezumăm cunoștințele acumulate cu conceptul prima rădăcină.
prima rădăcină al unui număr este un număr a cărui putere este egală, adică
echivalent.
Dacă – chiar, Acea:
- cu negativ, expresia nu are sens (rădăcinile par a numerelor negative nu poate fi eliminat!);
- pentru non-negativ() expresia are o rădăcină nenegativă.
Dacă - este impar, atunci expresia are o rădăcină unică pentru oricare.
Nu vă alarmați, aici se aplică aceleași principii ca și în cazul rădăcinilor pătrate și cubice. Adică principiile pe care le-am aplicat atunci când le-am luat în considerare rădăcini pătrate, se extind la toate rădăcinile de grad par.
Și proprietățile care au fost folosite pentru rădăcina cubică se aplică rădăcinilor de grad impar.
Ei bine, a devenit mai clar? Să ne uităm la exemple:
Aici totul este mai mult sau mai puțin clar: mai întâi ne uităm - da, gradul este par, numărul de sub rădăcină este pozitiv, ceea ce înseamnă că sarcina noastră este să găsim un număr a cărui putere ne va da a patra. Ei bine, vreo ghicire? Pot fi, ? Exact!
Deci, gradul este egal - impar, numărul de sub rădăcină este negativ. Sarcina noastră este să găsim un număr care, atunci când este ridicat la o putere, să producă. Este destul de dificil să observi imediat rădăcina. Cu toate acestea, puteți restrânge imediat căutarea, nu? În primul rând, numărul necesar este cu siguranță negativ, iar în al doilea rând, se poate observa că este impar și, prin urmare, numărul dorit este impar. Încercați să găsiți rădăcina. Desigur, îl puteți respinge în siguranță. Pot fi, ?
Da, asta cautam! Rețineți că pentru a simplifica calculul am folosit proprietățile gradelor: .
Proprietățile de bază ale rădăcinilor
Este clar? Dacă nu, atunci după ce te uiți la exemple, totul ar trebui să se încadreze la locul lor.
Înmulțirea rădăcinilor
Cum să înmulțim rădăcinile? Proprietatea cea mai simplă și de bază vă ajută să răspundeți la această întrebare:
Să începem cu ceva simplu:
Nu sunt extrase exact rădăcinile numerelor rezultate? Nicio problemă - iată câteva exemple:
Ce se întâmplă dacă nu există doi, ci mai mulți multiplicatori? Aceeași! Formula de înmulțire a rădăcinilor funcționează cu orice număr de factori:
Ce putem face cu el? Ei bine, bineînțeles, ascunde-i pe cei trei sub rădăcină, amintindu-ți că cei trei sunt rădăcina pătrată a!
De ce avem nevoie de asta? Da, doar pentru a ne extinde capacitățile atunci când rezolvăm exemple:
Cum vă place această proprietate a rădăcinilor? Îți face viața mult mai ușoară? Pentru mine, exact așa este! Trebuie doar să-ți amintești asta Putem introduce numere pozitive doar sub semnul rădăcinii unui grad par.
Să vedem unde mai poate fi util. De exemplu, problema necesită compararea a două numere:
Mai mult:
Nu poți spune imediat. Ei bine, să folosim proprietatea dezasamblată de a introduce un număr sub semnul rădăcină? Apoi mergeți mai departe:
Ei bine, știind ce număr mai mare sub semnul rădăcinii, cu atât rădăcina în sine este mai mare! Acestea. daca atunci, . De aici concluzionăm ferm că. Și nimeni nu ne va convinge de contrariul!
Înainte de aceasta, am introdus un multiplicator sub semnul rădăcinii, dar cum să-l eliminăm? Trebuie doar să-l factorizezi în factori și să extragi ceea ce extragi!
A fost posibil să luăm o cale diferită și să ne extindem în alți factori:
Nu-i rău, nu? Oricare dintre aceste abordări este corectă, decideți cum doriți.
De exemplu, iată o expresie:
În acest exemplu, gradul este par, dar dacă este impar? Din nou, aplicați proprietățile exponenților și factorizați totul:
Totul pare clar cu asta, dar cum se extrage rădăcina unui număr la o putere? Iată, de exemplu, aceasta:
Destul de simplu, nu? Ce se întâmplă dacă gradul este mai mare de doi? Urmăm aceeași logică folosind proprietățile gradelor:
Ei bine, totul este clar? Atunci iată un exemplu:
Acestea sunt capcanele, despre ele merită mereu amintit. Acest lucru se reflectă de fapt în exemplele de proprietate:
| pentru ciudat: pentru par și: |
Este clar? Consolidați cu exemple:
Da, vedem că rădăcina este la o putere pare, numărul negativ de sub rădăcină este, de asemenea, la o putere pare. Ei bine, merge la fel? Iată ce:
Asta e tot! Acum, iată câteva exemple:
Am înţeles? Apoi mergeți mai departe și rezolvați exemplele.
Exemple.
Răspunsuri.
Dacă ați primit răspunsuri, atunci puteți merge mai departe cu liniște sufletească. Dacă nu, atunci să înțelegem aceste exemple:
Să ne uităm la alte două proprietăți ale rădăcinilor:
Aceste proprietăți trebuie analizate în exemple. Ei bine, hai să facem asta?
Am înţeles? Să-l asigurăm.
Exemple.
Răspunsuri.
RĂDĂCINIILE ȘI PROPRIETĂȚILE LOR. NIVEL MEDIU
Rădăcina pătrată aritmetică
Ecuația are două soluții: și. Acestea sunt numere al căror pătrat este egal cu.
Luați în considerare ecuația. Să o rezolvăm grafic. Să desenăm un grafic al funcției și o linie la nivel. Punctele de intersecție ale acestor drepte vor fi soluțiile. Vedem că această ecuație are și două soluții - una pozitivă, cealaltă negativă:
Dar în în acest caz, soluțiile nu sunt numere întregi. În plus, nu sunt raționali. Pentru a nota aceste decizii iraționale, introducem un simbol special de rădăcină pătrată.
Rădăcina pătrată aritmetică este un număr nenegativ al cărui pătrat este egal cu. Când expresia nu este definită, deoarece Nu există un număr al cărui pătrat să fie egal cu un număr negativ.
Rădăcină pătrată: .
De exemplu, . Și rezultă că sau.
Permiteți-mi să vă atrag încă o dată atenția, acest lucru este foarte important: Rădăcină pătrată este întotdeauna un număr nenegativ: !
Rădăcină cubă a unui număr este un număr al cărui cub este egal cu. Rădăcina cubă este definită pentru toată lumea. Poate fi extras din orice număr: . După cum puteți vedea, poate lua și valori negative.
Rădăcina a treia a unui număr este un număr a cărui putere este egală, adică.
Dacă este par, atunci:
- dacă, atunci rădăcina a nu este definită.
- dacă, atunci rădăcina nenegativă a ecuației se numește rădăcina aritmetică a gradului al-lea de și se notează.
Dacă - este impar, atunci ecuația are o rădăcină unică pentru oricare.
Ați observat că în stânga deasupra semnului rădăcinii scriem gradul acesteia? Dar nu pentru rădăcina pătrată! Dacă vedeți o rădăcină fără grad, înseamnă că este pătrată (grade).
Exemple.
Proprietățile de bază ale rădăcinilor
RĂDĂCINIILE ȘI PROPRIETĂȚILE LOR. SCURT DESPRE LUCRURILE PRINCIPALE
Rădăcină pătrată (rădăcină pătrată aritmetică) dintr-un număr nenegativ se numește așa număr nenegativ al cărui pătrat este
Proprietățile rădăcinilor:
Gradul de rădăcină n dintr-un număr real A, Unde n - numar natural, se numește un astfel de număr real X, n al cărui grad este egal cu A.
Gradul de rădăcină n din număr A este indicat prin simbol. Conform acestei definitii.
Găsirea rădăcinii n-gradul din rând A numită extragerea rădăcinilor. Număr A se numește număr radical (expresie), n- indicator de rădăcină. Pentru ciudat n există o rădăcină n-a putere pentru orice număr real A. Când chiar n există o rădăcină n-a putere numai pentru numere nenegative A. Pentru a dezambigua rădăcina n-gradul din rând A, este introdus conceptul de rădăcină aritmetică n-gradul din rând A.
Conceptul de rădăcină aritmetică de gradul N
Dacă n- număr natural, mai mare 1 , atunci există și un singur număr nenegativ X, astfel încât egalitatea să fie satisfăcută. Acest număr X numită rădăcină aritmetică n a-a putere a unui număr nenegativ A si este desemnat . Număr A se numeste numar radical, n- indicator de rădăcină.
Deci, conform definiției, notația , unde , înseamnă, în primul rând, că și, în al doilea rând, că, i.e. .
Conceptul de grad cu exponent rațional
Gradul cu exponent natural: lat A este un număr real și n- un număr natural mai mare decât unu, n-a-a putere a numărului A sunați la lucru n factori, fiecare fiind egal A, adică . Număr A- baza diplomei, n- exponent. O putere cu exponent zero: prin definiție, dacă , atunci . Puterea zero a unui număr 0 nu are sens. Un grad cu un exponent întreg negativ: presupus prin definiție dacă și n este un număr natural, atunci . Un grad cu exponent fracționar: se presupune prin definiție dacă și n- numar natural, m este un număr întreg, atunci .
Operații cu rădăcini.
În toate formulele de mai jos, simbolul înseamnă o rădăcină aritmetică (expresia radicală este pozitivă).
1. Rădăcina produsului mai multor factori este egală cu produsul rădăcinilor acestor factori:
2. Rădăcina unui raport este egală cu raportul dintre rădăcinile dividendului și divizorul:
3. Când ridicați o rădăcină la o putere, este suficient să ridicați numărul radical la această putere: 
4. Dacă creșteți gradul rădăcinii de n ori și, în același timp, ridicați numărul radicalului la a n-a putere, atunci valoarea rădăcinii nu se va schimba: 
5. Dacă reduceți gradul rădăcinii de n ori și extrageți simultan rădăcina a n-a a numărului radical, atunci valoarea rădăcinii nu se va modifica:
Extinderea conceptului de grad. Până acum am considerat grade doar cu exponenți naturali; dar operațiile cu puteri și rădăcini pot duce și la exponenți negativi, zero și fracționari. Toți acești exponenți necesită o definiție suplimentară.
Un grad cu un exponent negativ. Puterea unui anumit număr cu un exponent negativ (întreg) este definită ca fiind una împărțită la puterea aceluiași număr cu un exponent egal cu valoarea absolută a exponentului negativ:
Acum formula a m: a n = a m - n poate fi folosită nu numai pentru m mai mare decât n, ci și pentru m mai mic decât n.
EXEMPLU a 4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.
Dacă dorim ca formula a m: a n = a m - n să fie valabilă pentru m = n, avem nevoie de o definiție a gradului zero.
Un grad cu un indice zero. Puterea oricărui număr diferit de zero cu exponent zero este 1.
EXEMPLE. 2 0 = 1, (– 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.
Gradul cu exponent fracționar. Pentru a ridica un număr real a la puterea m / n, trebuie să extrageți rădăcina a n-a a puterii a m a acestui număr a:
Despre expresii care nu au sens. Există mai multe astfel de expresii.
Cazul 1.
Unde a ≠ 0 nu există.
De fapt, dacă presupunem că x este un anumit număr, atunci în conformitate cu definiția operației de împărțire avem: a = 0 x, i.e. a = 0, ceea ce contrazice condiția: a ≠ 0
Cazul 2.
Orice număr.
De fapt, dacă presupunem că această expresie este egală cu un anumit număr x, atunci conform definiției operației de împărțire avem: 0 = 0 · x. Dar această egalitate este valabilă pentru orice număr x, care este ceea ce trebuia demonstrat.
Într-adevăr,
Soluție. Să luăm în considerare trei cazuri principale:
1) x = 0 – această valoare nu satisface această ecuație
2) pentru x > 0 obținem: x / x = 1, adică. 1 = 1, ceea ce înseamnă că x este orice număr; dar ținând cont că în cazul nostru x > 0, răspunsul este x > 0;
3) la x< 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,
in acest caz nu exista solutie. Astfel x > 0.
Rădăcina aritmetică de gradul doi
Definiția 1
A doua rădăcină (sau rădăcină pătrată) a lui $a$ numiți un număr care, la pătrat, devine egal cu $a$.
Exemplul 1
$7^2=7 \cdot 7=49$, ceea ce înseamnă că numărul $7$ este a doua rădăcină a numărului $49$;
$0,9^2=0,9 \cdot 0,9=0,81$, ceea ce înseamnă că numărul $0,9$ este a doua rădăcină a numărului $0,81$;
$1^2=1 \cdot 1=1$, ceea ce înseamnă că numărul $1$ este a doua rădăcină a numărului $1$.
Nota 2
Mai simplu spus, pentru orice număr $a
$a=b^2$ pentru $a$ negativ este incorect, deoarece $a=b^2$ nu poate fi negativ pentru nicio valoare de $b$.
Se poate concluziona că Pentru numere reale nu poate exista o a doua rădăcină a unui număr negativ.
Nota 3
Deoarece $0^2=0 \cdot 0=0$, apoi din definiție rezultă că zero este a 2-a rădăcină a lui zero.
Definiția 2
Rădăcina aritmetică a gradului 2 al numărului $a$($a \ge 0$) este un număr nenegativ care, la pătrat, este egal cu $a$.
Se mai numesc rădăcini de gradul 2 rădăcini pătrate.
Rădăcina aritmetică a gradului 2 al numărului $a$ se notează cu $\sqrt(a)$ sau puteți vedea notația $\sqrt(a)$. Dar cel mai adesea pentru rădăcina pătrată numărul $2$ este exponent rădăcină- nu este specificat. Semnul „$\sqrt( )$” este semnul rădăcinii aritmetice de gradul 2, care se mai numește și „ semn radical" Conceptele „rădăcină” și „radical” sunt nume ale aceluiași obiect.
Dacă există un număr sub semnul rădăcinii aritmetice, atunci acesta este numit număr radical, iar dacă expresia, atunci – expresie radicală.
Intrarea $\sqrt(8)$ este citită ca „rădăcină aritmetică a gradului 2 de opt”, iar cuvântul „aritmetică” nu este adesea folosit.
Definiția 3
Conform definiției rădăcina aritmetică de gradul II se poate scrie:
Pentru orice $a \ge 0$:
$(\sqrt(a))^2=a$,
$\sqrt(a)\ge 0$.
Am arătat diferența dintre o a doua rădăcină și o a doua rădăcină aritmetică. Mai departe vom lua în considerare numai rădăcinile numerelor și expresiilor nenegative, de exemplu. numai aritmetica.
Rădăcina aritmetică de gradul trei
Definiția 4
Rădăcina aritmetică a gradului 3 (sau rădăcină cubă) a numărului $a$($a \ge 0$) este un număr nenegativ care, atunci când este cubit, devine egal cu $a$.
Adesea, cuvântul aritmetică este omis și se spune „a treia rădăcină a numărului $a$”.
Rădăcina aritmetică a gradului al 3-lea de $a$ se notează cu $\sqrt(a)$, semnul „$\sqrt( )$” este semnul rădăcinii aritmetice de gradul 3, iar numărul $3$ în această notație se numește indicele de rădăcină. Numărul sau expresia care apare sub semnul rădăcinii este numită radical.
Exemplul 2
$\sqrt(3,5)$ – rădăcină aritmetică de gradul 3 de $3,5$ sau rădăcină cubă de $3,5$;
$\sqrt(x+5)$ – rădăcină aritmetică de gradul 3 a lui $x+5$ sau rădăcină cubă a lui $x+5$.
Rădăcina a n-a aritmetică
Definiția 5
Rădăcina aritmetică gradul al n-lea din numărul $a \ge 0$ se numește un număr nenegativ care, atunci când este ridicat la $n$a putere, devine egal cu $a$.
Notație pentru rădăcina aritmetică a gradului $n$ a lui $a \ge 0$:
unde $a$ este un număr radical sau o expresie,
