놀라운 한계를 계산합니다. 놀라운 한계. 솔루션의 예

증거:

먼저 수열의 경우에 대한 정리를 증명해보자

뉴턴의 이항식에 따르면:

우리가 얻는다고 가정하면

이 등식(1)으로부터 n이 증가함에 따라 우변의 양수 항의 수가 증가한다는 결론이 나옵니다. 또한 n이 증가할수록 숫자는 감소하므로 값은 증가하고 있습니다. 따라서 시퀀스 증가하고, (2)*우리는 그것이 유계됨을 보여줍니다. 등식의 오른쪽에 있는 각 괄호를 1로 바꾸면 오른쪽이 증가하여 부등식을 얻습니다.

결과적인 불평등을 강화하고 분수의 분모에 있는 3,4,5, ...를 숫자 2로 바꾸겠습니다. 기하급수 항의 합에 대한 공식을 사용하여 괄호 안의 합을 찾습니다. 그러므로 (3)*

따라서 수열은 위에서 제한되며 부등식 (2)와 (3)이 충족됩니다. 따라서 Weierstrass 정리(수열의 수렴 기준)에 기초하여 수열은 다음과 같습니다. 단조롭게 증가하고 제한됩니다. 이는 문자 e로 표시되는 한계가 있음을 의미합니다. 저것들.

두 번째 놀라운 극한은 x의 자연값에 대해 참임을 알면서 실수 x에 대한 두 번째 놀라운 극한, 즉 다음을 증명합니다. . 두 가지 경우를 고려해 보겠습니다.

1. x의 각 값이 두 개의 양의 정수 사이에 있다고 가정합니다. 전체 부분엑스. => =>

그렇다면 한도에 따라 우리는

한계의 존재 기준(중간 함수의 한계에 관한)에 기초

2. 하자. 치환을 해보자 - x = t, 그러면

이 두 가지 경우로부터 다음과 같은 결론이 나옵니다. 진짜로 x.

결과:

9 .) 무한소의 비교. 무한소를 극한에서 동등한 것으로 대체하는 정리와 무한소의 주요 부분에 대한 정리.

함수를 a( 엑스) 및 b( 엑스) – b.m. ~에 엑스 ® 엑스 0 .

정의.

1)아( 엑스) ~라고 불리는 극소량 이상 높은 순서어떻게 비 (엑스) 만약에

적어보세요: 엑스) = 오(비( 엑스)) .

2)아( 엑스) 그리고비( 엑스)호출된다 같은 순서의 무한소, 만약에

여기서 CÎℝ 그리고 씨¹ 0 .

적어보세요: 엑스) = 영형(비( 엑스)) .

3)아( 엑스) 그리고비( 엑스) 호출된다 동등한 , 만약에

적어보세요: 엑스) ~ b( 엑스).

4)아( 엑스) k차의 무한소라고 불립니다.
절대적으로 극소량비( 엑스), 극미한 경우ㅏ( 엑스)그리고(비( 엑스))케이 동일한 순서를 갖습니다. 만약에

여기서 CÎℝ 그리고 씨¹ 0 .

정리 6(무한소를 동등한 것으로 대체하는 경우).

허락하다ㅏ( 엑스), 비( 엑스), 1 ( 엑스), b 1 ( 엑스)– 오후 x에 ® 엑스 0 . 만약에ㅏ( 엑스) ~ 1 ( 엑스), 비( 엑스) ~ b 1 ( 엑스),

저것

증명: 하자 a( 엑스) ~ 1 ( 엑스), 비( 엑스) ~ b 1 ( 엑스), 그 다음에

정리 7 (무한대의 주요 부분에 대해).

허락하다ㅏ( 엑스)그리고비( 엑스)– 오후 x에 ® 엑스 0 , 그리고비( 엑스)– 오후 보다 높은 순서ㅏ( 엑스).

=, a 이후 b( 엑스) – a(보다 높은 차수 엑스), 즉, ~에서 그것은 분명하다 a( 엑스) + 비( 엑스) ~ 에( 엑스)

10) 한 점에서 함수의 연속성(엡실론-델타 언어, 기하학적 한계) 단방향 연속성. 간격, 세그먼트의 연속성입니다. 연속 함수의 속성.

1. 기본 정의

허락하다 에프(엑스)는 포인트의 일부 인근에 정의되어 있습니다. 엑스 0 .

정의 1. 기능 f(엑스) ~라고 불리는 한 지점에서 연속 엑스 0 평등이 사실이라면

노트.

1) 정리 5 §3에 따라 평등 (1)은 다음과 같은 형식으로 작성될 수 있습니다.

조건 (2) – 단측 극한의 언어로 한 점에서 함수의 연속성의 정의.

2) 평등(1)은 다음과 같이 쓸 수도 있습니다.

그들은 말합니다: “함수가 한 점에서 연속이라면 엑스 0이면 극한의 부호와 함수가 바뀔 수 있습니다."

정의 2(e-d 언어).

기능 f(엑스) ~라고 불리는 한 지점에서 연속 엑스 0 만약에"e>0 $d>0 그런, 무엇

만약 x라면ОU( 엑스 0, d) (예: | 엑스 – 엑스 0 | < d),

그럼 에프(엑스)ÎU( 에프(엑스 0), e) (예: | 에프(엑스) – 에프(엑스 0) | < e).

허락하다 엑스, 엑스 0 Î 디(에프) (엑스 0 – 고정, 엑스 –임의)

다음을 나타내자: D 엑스= 엑스 - 엑스 0 – 인수 증가

디 에프(엑스 0) = 에프(엑스) – 에프(엑스 0) – pointx에서 함수의 증가 0

정의 3(기하학적).

기능 f(엑스) 에 ~라고 불리는 한 지점에서 연속 엑스 0 이 시점에서 인수의 극소 증가가 함수의 극소 증가에 해당하는 경우, 즉.

기능을 보자 에프(엑스)은 간격 [ 엑스 0 ; 엑스 0 + d) (구간( 엑스 0 – d; 엑스 0 ]).

정의. 기능 f(엑스) ~라고 불리는 한 지점에서 연속 엑스 0 오른쪽에 (왼쪽 ), 평등이 사실이라면

그것은 분명하다 에프(엑스)는 점에서 연속이다 엑스 0 Û 에프(엑스)는 점에서 연속이다 엑스좌우 0개.

정의. 기능 f(엑스) ~라고 불리는 일정 간격 동안 계속 전자 ( ㅏ; 비) 이 구간의 모든 지점에서 연속인 경우.

기능 f(엑스) 세그먼트에서 연속이라고 불립니다. [ㅏ; 비] 간격으로 연속되는 경우 (ㅏ; 비) 경계점에서는 단방향 연속성을 갖습니다.(즉, 해당 지점에서 연속적입니다. ㅏ오른쪽, 그 지점에서 비- 왼쪽).

11) 중단점, 분류

정의. 함수 f라면(엑스) x 지점 근처에서 정의됨 0 , 하지만 이 시점에서는 연속적이지 않습니다. 에프(엑스) 점 x에서 불연속이라고 함 0 , 그리고 요점 자체 엑스 0 브레이크 포인트라고 불리는 함수 f(엑스) .

노트.

1) 에프(엑스)는 점의 불완전한 이웃에서 정의될 수 있습니다. 엑스 0 .

그런 다음 함수의 해당 단측 연속성을 고려하십시오.

2) Þ 점의 정의로부터 엑스 0은 함수의 중단점입니다. 에프(엑스) 두 가지 경우:

가) 너( 엑스 0 , d)О 디(에프) , 이 아니라면 에프(엑스) 평등은 유지되지 않습니다

b) 유 * ( 엑스 0 , d)О 디(에프) .

기본 기능의 경우 b)의 경우만 가능합니다.

허락하다 엑스 0 – 함수 중단점 에프(엑스) .

정의. 포인트 x 0 ~라고 불리는 중단점 나 일종의 함수 f라면(엑스)이 시점에서 왼쪽과 오른쪽에는 유한한 제한이 있습니다..

이 한계가 동일하면 점 x 0 ~라고 불리는 제거 가능한 중단점 , 그렇지 않으면 - 점프 포인트 .

정의. 포인트 x 0 ~라고 불리는 중단점 II 일종의 함수 f의 단측 극한 중 하나 이상이면(엑스)이 시점에서는 동등하다¥ 아니면 존재하지 않습니다.

12) 일정 구간에서 연속적인 함수의 속성(Weierstrass 정리(증명 없음) 및 Cauchy 정리)

바이어슈트라스의 정리

함수 f(x)가 구간에서 연속이라고 하면,

1)f(x)는 다음으로 제한됩니다.

2)f(x)는 구간에서 가장 작은 값을 취하고 가장 높은 가치

정의: 임의의 x€ D(f)에 대해 m≤f(x)인 경우 함수 m=f의 값을 가장 작은 값이라고 합니다.

함수 m=f의 값은 임의의 x € D(f)에 대해 m≥f(x)인 경우 가장 크다고 합니다.

이 함수는 세그먼트의 여러 지점에서 가장 작은/가장 큰 값을 취할 수 있습니다.

에프(엑스 3)=에프(엑스 4)=최대

코시의 정리.

함수 f(x)가 세그먼트에서 연속이고 x가 f(a)와 f(b) 사이에 포함된 숫자라고 가정하면 f(x 0)= g가 되는 점 x 0 €가 하나 이상 있습니다.

"현저한 한계"라는 용어는 교과서와 책에서 널리 사용됩니다. 방법론 매뉴얼크게 도움이 되는 중요한 정체성을 나타냄 작업을 단순화하세요한계를 찾는 데.

하지만 가져올 수 있다놀라운 것에 대한 당신의 한계는 그것을 잘 살펴봐야 합니다. 직접적인 형태, 종종 추가 조건 및 요소를 갖춘 결과의 형태로 나타납니다. 그러나 이론이 먼저이고 예시가 그 다음이면 성공할 것입니다!

첫 번째 놀라운 한계

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첫 번째 주목할 만한 한계는 다음과 같이 기록됩니다($0/0$ 형식의 불확실성).

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin x)(x)=1. $$

첫 번째 주목할만한 한계의 추론

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(x)(\sin x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (ax))(\sin (bx))=\frac(a)(b). $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\tan x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arcsin x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arctan x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos x)(x^2/2)=1. $$

해결 방법 예시: 멋진 한도 1개

예시 1. 한계 $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x).$$를 계산합니다.

해결책.첫 번째 단계는 항상 동일합니다. 한계 값 $x=0$을 함수에 대체하고 다음을 얻습니다.

$$\왼쪽[\frac(\sin 0)(0) \right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$

우리는 공개되어야 하는 $\left[\frac(0)(0)\right]$ 형식의 불확실성을 얻었습니다. 자세히 살펴보면 원래의 한계는 첫 번째 주목할만한 한계와 매우 유사하지만 동일하지는 않습니다. 우리의 임무는 그것을 유사하게 만드는 것입니다. 다음과 같이 변환해 보겠습니다. 사인 아래의 표현식을 살펴보고 분모에서도 동일한 작업을 수행한 다음(상대적으로 $3x$를 곱하고 나누기) 축소하고 단순화합니다.

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(3x)\frac(3x)(8x )=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x)\frac(3)(8)=\frac(3)(8). $$

위는 정확히 첫 번째 놀라운 제한입니다: $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x) = \lim\limits_(y\to 0)\frac(\sin ( y ))(y)=1, \text( 조건부 대체 ) y=3x. $$ 답변: $3/8$.

예시 2. 한계 $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x).$$를 계산합니다.

해결책.함수에 한계값 $x=0$을 대입하면 다음을 얻습니다.

$$\left[ \frac(1-\cos 0)(\tan 0\cdot \sin 0)\right] =\left[ \frac(1-1)( 0\cdot 0)\right] = \left [\frac(0)(0)\right].$$

$\left[\frac(0)(0)\right]$ 형식의 불확실성을 얻었습니다. 단순화를 위해 첫 번째 멋진 극한(3번!)을 사용하여 극한을 변환해 보겠습니다.

$$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac( 2 \sin^2 (3x/2))(\sin 2x\cdot \sin 4x)\cdot \cos 2x = $$ $$ = 2\lim\limits_(x\to 0)\frac( \sin^2 (3x/2) )((3x/2)^2) \cdot \frac( 2x)(\sin 2x) \cdot \frac( 4x)( \sin 4x)\cdot \frac( (3x/2)^2)( 2x \ cdot 4x) \cdot \cos 2x = $$ $$ =2\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac( (9/4)x^2)( 8x^2 ) \cdot \cos 2x= 2 \cdot \frac( 9)( 32) \lim\limits_(x\to 0) \cos 2x=\frac(9)(16). $$

답변: $9/16$.

예시 3. 극한 $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5).$$를 구합니다.

해결책.삼각함수 아래에 복잡한 표현이 있으면 어떻게 될까요? 상관없습니다. 여기서도 같은 방식으로 진행합니다. 먼저 불확실성의 유형을 확인하고 $x=0$을 함수에 대입하여 다음을 얻습니다.

$$\left[ \frac(\sin (0+0))(0-0)\right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$

$\left[\frac(0)(0)\right]$ 형식의 불확실성을 얻었습니다. $2x^3+3x$를 곱하고 나눕니다.

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x) ^3+3x))((2x^3+3x)) \cdot \frac(2x^3+3x)(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot \frac( 2x^3+3x)(5x-x^5)= \left[\frac(0)(0)\right] = $$

이번에도 불확실성이 생겼지만 이 경우에는 극히 일부에 불과합니다. 분자와 분모를 $x$만큼 줄여보겠습니다.

$$ =\lim\limits_(x\to 0) \frac(2x^2+3)(5-x^4)= \left[\frac(0+3)(5-0)\right] =\ frac(3)(5). $$

답변: $3/5$.

두 번째 놀라운 한계

두 번째 주목할만한 한계는 다음과 같습니다($1^\infty$ 형식의 불확실성).

$$ \lim\limits_(x\to \infty) \left(1+\frac(1)(x)\right)^(x)=e, \quad \text(or) \quad \lim\limits_( x\에서 0) \왼쪽(1+x\오른쪽)^(1/x)=e. $$

두 번째로 놀라운 한계의 결과

$$ \lim\limits_(x\to \infty) \left(1+\frac(a)(x)\right)^(bx)=e^(ab). $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\ln (1+x))(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(e^x -1)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(a^x-1)(x \ln a)=1, a>0, a \ne 1. $$ $$ \lim\limits_( x\to 0)\frac((1+x)^(a)-1)(ax)=1. $$

해결 방법의 예: 2개의 멋진 제한

예시 4. 극한 $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3).$$를 구합니다.

해결책.불확실성의 유형을 확인하고 $x=\infty$를 함수에 대체하여 다음을 얻습니다.

$$\left[ \left(1-\frac(2)(\infty)\right)^(\infty) \right] = \left.$$

우리는 $\left$ 형식의 불확실성을 얻었습니다. 한도는 두 번째로 놀라운 것으로 줄어들 수 있습니다. 변환해보자:

$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3) = \lim\limits_(x\to \infty)\left( 1+\frac(1)((-3x/2))\right)^(\frac(-3x/2)(-3x/2)(x+3))= $$ $$ = \lim\limits_ (x\to \infty)\left(\left(1+\frac(1)((-3x/2))\right)^((-3x/2))\right)^\frac(x+3 )(-3x/2)= $$

괄호 안의 표현은 실제로 두 번째로 놀라운 한계 $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, only $t= - 3x/2$, 그러니까

$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^\frac(x+3)(-3x/2)= \lim\limits_(x\to \infty)e^\ frac(1+3/x)(-3/2)=e^(-2/3). $$

답변:$e^(-2/3)$.

실시예 5. 극한 $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x).$를 구합니다. $

해결책.$x=\infty$를 함수에 대체하고 $\left[ \frac(\infty)(\infty)\right]$ 형식의 불확실성을 얻습니다. 그리고 $\left$가 필요합니다. 그럼 먼저 괄호 안의 표현식을 변환해 보겠습니다.

$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x) = \lim\limits_ (x\to \infty)\left(\frac(x^3+(x-7)-(x-7)+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x ) = \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac((x^3+x-7)+(-x+7+2x^2+1))(x^3+x-7 )\right)^(x) = $$ $$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7) \right)^(x) = \lim\limits_(x\to \infty)\left(\left(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)\right) ^(\frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8))\right)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)) = $$

괄호 안의 표현은 실제로 두 번째로 놀라운 한계 $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, only $t= \ frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8) \to \infty$, 그러므로

$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7))= \lim\limits_ (x\to \infty)e^( \frac(2x^2-x+8)(x^2+1-7/x))= \lim\limits_(x\to \infty)e^( \frac (2-1/x+8/x^2)(1+1/x^2-7/x^3))=e^(2). $$

이 기사: "두 번째로 놀라운 한계"는 다음 형식의 불확실성 한계 내에서 공개에 대해 다룹니다.

$ \bigg[\frac(\infty)(\infty)\bigg]^\infty $ 및 $ ^\infty $.

또한 이러한 불확실성은 로그 지수를 사용하여 드러날 수 있습니다. 전력 함수, 그러나 이는 다른 해결 방법이므로 다른 문서에서 다루겠습니다.

공식과 결과

공식두 번째 놀라운 한계는 다음과 같습니다: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1+\frac(1)(x)\bigg)^x = e, \text( where ) e \about 2.718 $$

그것은 공식에서 따릅니다 결과, 이는 제한이 있는 예제를 해결하는 데 매우 편리합니다: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(k)(x) \bigg)^x = e^k, \text( 여기서 ) k \in \mathbb(R) $$ $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(1)(f(x)) \bigg)^(f(x)) = e $ $ $$ \lim_(x \to 0) \bigg (1 + x \bigg)^\frac(1)(x) = e $$

두 번째 주목할만한 극한은 항상 지수 함수에 적용할 수 있는 것이 아니라 밑이 1이 되는 경향이 있는 경우에만 적용할 수 있다는 점은 주목할 가치가 있습니다. 이렇게 하려면 먼저 베이스의 한계를 정신적으로 계산한 다음 결론을 도출합니다. 이 모든 내용은 예제 솔루션에서 논의됩니다.

솔루션의 예

직접 공식과 그 결과를 사용한 솔루션의 예를 살펴보겠습니다. 공식이 필요하지 않은 경우도 분석해보겠습니다. 준비된 답변만을 적는 것으로 충분합니다.

실시예 1
극한 찾기 $ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) $
해결책
극한에 무한대를 대입하고 불확실성을 살펴보겠습니다. $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) = \bigg (\frac (\infty)(\infty)\bigg)^\infty $$ 밑의 극한을 구해 봅시다: $$ \lim_(x\to\infty) \frac(x+4)(x+3)= \lim_(x\to\infty) \frac(x(1+\frac) (4)() x)))(x(1+\frac(3)(x))) = 1 $$ 우리는 1과 같은 밑수를 얻었습니다. 이는 이미 두 번째 놀라운 한계를 적용할 수 있음을 의미합니다. 이를 위해 함수의 밑수를 빼거나 더하여 수식에 맞게 조정해 보겠습니다. $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(x+4)(x+3) - 1 \bigg)^(x+3) = \lim_(x\to\infty) \ bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = $$ 두 번째 결과를 살펴보고 답을 적어 보겠습니다. $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ 문제를 해결할 수 없다면 저희에게 보내주세요. 우리는 제공할 것입니다 상세한 솔루션. 계산 진행 상황과 이득 정보를 볼 수 있습니다. 이렇게 하면 적시에 선생님으로부터 성적을 받는 데 도움이 될 것입니다!
답변
$$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$

실시예 4
극한을 푼다 $ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) $
해결책
밑의 극한을 구하고 $ \lim_(x\to\infty) \frac(3x^2+4)(3x^2-2) = 1 $임을 확인합니다. 이는 두 번째 놀라운 극한을 적용할 수 있음을 의미합니다. 표준 계획에 따르면 학위 기준에서 하나를 더하고 뺍니다. $$ \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(3x^2+4)(3x^2-2)-1 \bigg) ^(3x) = \lim_(x\to \infty ) \bigg (1+\frac(6)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = $$ 두 번째 음표의 공식에 맞게 분수를 조정합니다. 한계: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(3x) = $$ 이제 정도를 조정해 보겠습니다. 거듭제곱은 밑 $ \frac(3x^2-2)(6) $의 분모와 동일한 분수를 포함해야 합니다. 이렇게 하려면 차수를 곱하고 나누어서 계속해서 풀어보세요. $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(\frac(3x^2-2) (6) \cdot \frac(6)(3x^2-2)\cdot 3x) = \lim_(x\to \infty) e^(\frac(18x)(3x^2-2)) = $$ $ e $의 거듭제곱에 있는 극한은 $ \lim_(x\to \infty) \frac(18x)(3x^2-2) = 0 $와 같습니다. 따라서 우리가 가지고 있는 솔루션을 계속 진행합니다.
답변
$$ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = 1 $$

두 번째 주목할만한 한계와 유사하지만 그것 없이도 문제가 해결될 수 있는 사례를 살펴보겠습니다.

기사: "두 번째 놀라운 한계: 솔루션의 예" 공식과 그 결과가 분석되었으며 이 주제에 대한 일반적인 유형의 문제가 제공되었습니다.

두 번째 주목할만한 극한의 공식은 lim x → 1 + 1 x x = e입니다. 또 다른 형태의 쓰기는 다음과 같습니다: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e.

두 번째 주목할만한 극한에 관해 이야기할 때 우리는 1 형태의 불확실성을 다루어야 합니다. 무한한 통일성.

Yandex.RTB R-A-339285-1

두 번째 놀라운 한계를 계산하는 능력이 유용한 문제를 고려해 보겠습니다.

실시예 1

극한 lim x → 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 을 구합니다.

해결책

대체하자 필요한 공식그리고 계산을 수행합니다.

림 x → π 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∨ 2 + 1 ∨ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∨ = 1 ∨

우리의 대답은 무한의 힘에 대한 것임이 밝혀졌습니다. 해결 방법을 결정하기 위해 불확실성 표를 사용합니다. 두 번째로 놀라운 한계를 선택하고 변수를 변경해 보겠습니다.

t = - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 = - t 2

x → 무한이면 t → - 무한이 됩니다.

교체 후 얻은 결과를 살펴보겠습니다.

lim x → 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 find = lim x → 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2

답변: lim x → 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2 .

실시예 2

극한 lim x → x - 1 x + 1 x 를 계산합니다.

해결책

무한대를 대입하고 다음을 얻습니다.

한계 x → x - 1 x + 1 x = 한계 x → 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 무한대 = 1

답에서는 다시 이전 문제와 동일한 결과를 얻었으므로 두 번째 놀라운 극한을 다시 사용할 수 있습니다. 다음으로, 거듭제곱 함수의 기반에서 전체 부분을 선택해야 합니다.

x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1

그 후 한도는 다음과 같은 형태를 취합니다.

한계 x → x - 1 x + 1 x = 1 = 한계 x → 1 - 2 x + 1 x

변수를 바꿉니다. t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 ; x → 무엇이면 t → 무음.

그런 다음 원래 한도에서 얻은 내용을 기록합니다.

한계 x → x - 1 x + 1 x = 1 = = 한계 x → 1 - 2 x + 1 x = 한계 x → 1 + 1 t - 2 t - 1 = = 한계 x → 1 + 1 t - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → 1 + 1 t - 2 t lim x → 1 + 1 t - 1 = = lim x → 1 + 1 t t - 2 1 + 1 = e - 2 · (1 + 0) - 1 = e - 2

이 변환을 수행하기 위해 우리는 극한과 거듭제곱의 기본 속성을 사용했습니다.

답변: lim x → x - 1 x + 1 x = e - 2 .

실시예 3

극한 lim x → x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 를 계산합니다.

해결책

최소 x → x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 최소 x → 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1

그 다음에는 두 번째 큰 극한을 적용하도록 함수를 변환해야 합니다. 우리는 다음을 얻었습니다:

최소 x → x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 = = 최소 x → x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = 최소 x → 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

최소 x → π 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 최소 x → π 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = 극 x → π 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2x2 - 1x3 + 2x2 - 1 - 2x2 + 2 - 2x2 + 2x3 + 2x2 - 1 3x4 2x3 - 5

이제 분수의 분자와 분모에 동일한 지수(6과 같음)가 있으므로 무한대에서 분수의 극한은 더 높은 거듭제곱에서 이러한 계수의 비율과 같습니다.

최소 x → 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = 한계 x → 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = 한계 x → 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3

t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2를 대입하면 두 번째 놀라운 한계를 얻을 수 있습니다. 의미:

극한 x → π 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = 극한 x → π 1 + 1 t t - 3 = e - 삼

답변:림 x → x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3 .

결론

불확실성 1 , 즉 무한 거듭제곱에 대한 통일성은 거듭제곱 법칙의 불확실성이므로 지수 거듭제곱 함수의 극한을 찾는 규칙을 사용하여 드러날 수 있습니다.

텍스트에 오류가 있으면 강조 표시하고 Ctrl+Enter를 누르세요.

몇 가지 놀라운 한계가 있지만 가장 유명한 것은 첫 번째와 두 번째 놀라운 한계입니다. 이러한 제한의 놀라운 점은 이 제한이 널리 사용되며 이를 사용하여 다음에서 찾을 수 있는 다른 제한을 찾을 수 있다는 것입니다. 수많은 작업. 이것이 이번 강의의 실제 부분에서 우리가 할 일입니다. 문제를 첫 번째 또는 두 번째 놀라운 한계로 줄여 문제를 해결하기 위해 문제에 포함된 불확실성을 밝힐 필요가 없습니다. 이러한 한계의 값은 오랫동안 위대한 수학자에 의해 추론되었기 때문입니다.

첫 번째 놀라운 한계라디안 단위로 표현되는 동일한 호에 대한 무한소 호의 사인 비율의 한계라고 합니다.

첫 번째 놀라운 한계에서 문제 해결로 넘어 갑시다. 참고: 극한 기호 아래에 삼각 함수가 있는 경우 이는 이 표현식이 첫 번째 주목할만한 극한으로 축소될 수 있다는 거의 확실한 신호입니다.

예시 1.한계를 찾아보세요.

해결책. 대신 대체 엑스 0은 불확실성을 초래합니다.

분모는 사인이므로 표현은 첫 번째 놀라운 한계에 도달할 수 있습니다. 변환을 시작해 보겠습니다.

분모는 X 3개의 사인이지만 분자에는 X가 하나만 있으므로 분자에 X가 3개 있어야 합니다. 무엇을 위해? 3개를 소개합니다 엑스 = ㅏ그리고 표현식을 얻으세요.

그리고 우리는 첫 번째 놀라운 한계의 변형에 도달했습니다.

왜냐하면 이 공식에서 X 대신 어떤 문자(변수)가 사용되는지는 중요하지 않기 때문입니다.

X에 3을 곱하고 즉시 나눕니다.

발견된 첫 번째 놀라운 한계에 따라 분수 표현을 다음과 같이 대체합니다.

이제 마침내 이 한계를 해결할 수 있습니다.

예시 2.한계를 찾아보세요.

해결책. 직접 대체는 다시 "0을 0으로 나눈다"라는 불확실성으로 이어집니다.

첫 번째 놀라운 극한을 얻으려면 분자의 사인 기호 아래의 x와 분모의 x만 동일한 계수를 가져야 합니다. 이 계수를 2로 설정합니다. 이를 위해 x에 대한 현재 계수를 아래와 같이 상상하고 분수로 연산을 수행하면 다음을 얻습니다.

예시 3.한계를 찾아보세요.

해결책. 대체하면 다시 "0을 0으로 나눈 값"이라는 불확실성을 얻게 됩니다.

당신은 아마도 원래 표현에서 첫 번째 멋진 한계에 첫 번째 멋진 한계를 곱한 값을 얻을 수 있다는 것을 이미 이해했을 것입니다. 이를 위해 분자의 x와 분모의 사인의 제곱을 동일한 인수로 분해하고 x와 사인에 대해 동일한 계수를 얻기 위해 분자의 x를 3으로 나누고 즉시 곱합니다. 3. 우리는 다음을 얻습니다: