사인(sin x) 및 코사인(cos x) – 속성, 그래프, 공식. 기본 삼각법 항등식, 공식 및 파생

나는 당신이 이보다 더 많은 자격이 있다고 생각합니다. 삼각법의 핵심은 다음과 같습니다.

• 돔, 벽, 천장 그리기
• 삼각함수는 이 세 가지 형태의 백분율에 지나지 않습니다.

사인과 코사인에 대한 은유: 돔

삼각형 자체만 보는 대신 구체적인 실제 사례를 찾아 삼각형이 실제로 작동하는 모습을 상상해 보세요.

당신이 돔 한가운데에 있고 영화 프로젝터 스크린을 걸고 싶다고 상상해보십시오. 특정 각도 "x"에서 돔을 손가락으로 가리키면 화면이 이 지점에 매달려 있어야 합니다.

가리키는 각도에 따라 다음이 결정됩니다.

• sine(x) = sin(x) = 스크린 높이(바닥에서 돔 장착 지점까지)
• cosine(x) = cos(x) = 사용자로부터 화면까지의 거리(층별)
• 빗변, 화면 상단까지의 거리. 항상 동일하며 돔의 반경과 같습니다.

화면을 최대한 크게 하시겠습니까? 바로 위에 걸어두세요.

화면을 가능한 한 멀리 떨어지게 하시겠습니까? 수직으로 똑바로 걸어주세요. 이 위치에서는 화면의 높이가 0이 되며 요청한 대로 가장 멀리 매달려 있게 됩니다.

높이와 화면으로부터의 거리는 반비례합니다. 화면이 가까울수록 높이가 커집니다.

사인과 코사인은 백분율입니다.

아쉽게도 제가 공부하는 동안 삼각 함수 사인과 코사인이 백분율에 지나지 않는다고 설명하는 사람은 아무도 없었습니다. 해당 값의 범위는 +100%에서 0~-100%까지이거나 양의 최대값에서 0, 음의 최대값까지입니다.

내가 14루블의 세금을 냈다고 가정해 보겠습니다. 당신은 그것이 얼마인지 모릅니다. 하지만 내가 세금의 95%를 냈다고 하면 내가 단순히 횡령을 당했다는 뜻이라는 것을 이해하실 것입니다.

절대적인 높이는 아무 의미가 없습니다. 하지만 사인값이 0.95라면 TV가 돔 꼭대기에 거의 걸려 있다는 뜻입니다. 곧 그는 도달할 것이다 최대 높이돔 중앙에 있다가 다시 쇠퇴하기 시작합니다.

이 비율을 어떻게 계산할 수 있나요? 매우 간단합니다. 현재 화면 높이를 가능한 최대값(빗변이라고도 하는 돔의 반경)으로 나눕니다.

그렇기 때문에"코사인 = 대변/빗변"이라고 들었습니다. 관심을 받는 것이 전부입니다! 사인을 "가능한 최대값에서 현재 높이의 백분율"로 정의하는 것이 가장 좋습니다. (귀하의 각도가 "지하"를 가리키면 사인은 음수가 됩니다. 각도가 뒤에 있는 돔 지점을 향하면 코사인은 음수가 됩니다.)

단위원의 중심(반지름 = 1)에 있다고 가정하여 계산을 단순화해 보겠습니다. 나눗셈을 건너뛰고 높이와 동일한 사인을 취하면 됩니다.

각 원은 본질적으로 크기가 확대되거나 축소된 하나의 단위입니다. 적당한 크기. 따라서 단위원 연결을 결정하고 그 결과를 특정 원 크기에 적용하십시오.

실험: 모서리를 잡고 너비에 대한 높이의 백분율이 표시되는지 확인하십시오.

사인값의 증가 그래프는 단순한 직선이 아닙니다. 처음 45도는 높이의 70%를 차지하지만 마지막 10도(80°에서 90°)는 2%만 차지합니다.

이렇게 하면 더 명확해집니다. 원을 그리며 걷는 경우 0°에서 거의 수직으로 올라가지만 돔 상단에 접근하면 높이가 점점 덜 변경됩니다.

탄젠트와 시컨트. 벽

어느 날 이웃이 벽을 쌓았습니다. 바로 옆에당신의 돔으로. 창밖으로 보이는 너의 모습에 울었고 좋은 가격재판매용!

하지만 이런 상황에서 어떻게든 승리할 수 있을까?

물론 예. 이웃집 벽에 영화 스크린을 걸면 어떨까요? 각도(x)를 목표로 하고 다음을 얻습니다.

• tan(x) = tan(x) = 벽의 화면 높이
• 당신으로부터 벽까지의 거리: 1 (이것은 돔의 반경입니다. 벽은 당신에게서 아무데도 움직이지 않습니다. 그렇죠?)
• secant(x) = sec(x) = 돔 중앙에 서 있는 사용자부터 매달린 스크린 상단까지의 "사다리의 길이"

접선 또는 화면 높이와 관련된 몇 가지 사항을 명확히 하겠습니다.

• 0부터 시작해서 무한히 높아질 수 있습니다. 벽에 화면을 점점 더 높이 늘려 좋아하는 영화를 볼 수 있는 무한한 캔버스를 만들 수 있습니다! (물론 이렇게 큰 규모의 경우 많은 돈을 지출해야 합니다.)
• 탄젠트는 사인의 더 큰 버전입니다! 그리고 돔의 꼭대기로 갈수록 사인의 증가는 느려지지만 접선은 계속해서 커집니다!

세칸수에게도 자랑거리가 있습니다.

• 시컨트는 1부터 시작하고(사다리는 바닥에 있고, 사용자에서 벽까지) 거기서부터 올라가기 시작합니다.
• 시컨트는 항상 접선보다 길다. 스크린을 걸 때 사용하는 기울어진 사다리는 스크린 자체보다 길어야겠죠? (비현실적인 크기의 경우 화면이 너무 길고 사다리를 거의 수직으로 배치해야 하는 경우 크기는 거의 동일합니다. 하지만 그래도 시컨트는 조금 더 길어집니다.)

값은 다음과 같습니다. 퍼센트. 스크린을 50도 각도로 걸기로 결정했다면 tan(50)=1.19입니다. 화면은 벽까지의 거리(돔 반경)보다 19% 더 큽니다.

(x=0을 입력하고 직관을 확인하십시오. tan(0) = 0 및 sec(0) = 1입니다.)

코탄젠트와 코시컨트. 천장

놀랍게도, 당신의 이웃이 이제 당신의 돔 위에 지붕을 짓기로 결정했습니다. (그 사람에게 무슨 문제가 있는 걸까요? 알몸으로 마당을 돌아다니는 동안 자신을 감시하는 것을 원하지 않는 것 같습니다...)

자, 이제 지붕에 출구를 만들고 이웃과 대화할 시간입니다. 경사각을 선택하고 공사를 시작합니다.

• 지붕 출구와 바닥 사이의 수직 거리는 항상 1(돔의 반경)입니다.
• cotangent(x) = cot(x) = 돔 상단과 출구 지점 사이의 거리
• cosecant(x) = csc(x) = 지붕까지의 경로 길이

접선과 시컨트는 벽을 나타내고, CO탄젠트와 COsecant는 천장을 나타냅니다.

이번 직관적인 결론은 이전 결론과 유사합니다.

• 각도를 0°로 설정하면 지붕으로의 출구는 천장에 도달하지 않기 때문에 영원히 지속됩니다. 문제.
• 바닥과 90도 각도로 지붕을 만들면 지붕까지 가장 짧은 "사다리"를 얻을 수 있습니다. 코탄젠트는 0(지붕을 따라 전혀 움직이지 않고 엄격하게 수직으로 종료)과 같고 코시컨트는 1과 같습니다(“사다리의 길이”는 최소화됩니다).

연결 시각화

세 가지 사례를 모두 돔-벽-천장 조합으로 그리는 경우 결과는 다음과 같습니다.

글쎄, 그것은 여전히 ​​​​같은 삼각형이지만 벽과 천장에 도달하도록 크기가 커졌습니다. 수직 변(사인, 탄젠트), 수평 변(코사인, 코탄젠트) 및 빗변(시컨트, 코시컨트)이 있습니다. (화살표를 통해 각 요소가 도달하는 위치를 확인할 수 있습니다. 코시컨트는 사용자로부터 지붕까지의 총 거리입니다.)

약간의 마술. 모든 삼각형은 동일한 동등성을 공유합니다.

피타고라스 정리(a 2 + b 2 = c 2)를 통해 각 삼각형의 변이 어떻게 연결되어 있는지 확인할 수 있습니다. 또한, "높이 대 너비" 비율도 모든 삼각형에 대해 동일해야 합니다. (가장 큰 삼각형에서 작은 삼각형으로 이동하면 됩니다. 예, 크기는 변경되었지만 변의 비율은 동일하게 유지됩니다.)

각 삼각형의 어느 쪽이 1(돔의 반지름)인지 알면 "sin/cos = tan/1"을 쉽게 계산할 수 있습니다.

나는 항상 단순한 시각화를 통해 이러한 사실을 기억하려고 노력해 왔습니다. 그림에서 이러한 종속성을 명확하게 확인하고 해당 종속성이 어디에서 왔는지 이해합니다. 이 기술은 건조한 공식을 암기하는 것보다 훨씬 낫습니다.

다른 각도를 잊지 마세요

잠깐... 탄젠트가 항상 1보다 작다고 생각하면서 하나의 그래프에 얽매이지 마세요. 각도를 늘리면 벽에 닿지 않고 천장에 도달할 수 있습니다.

피타고라스 연결은 항상 작동하지만 상대적인 크기는 다를 수 있습니다.

(사인과 코사인 비율은 돔 내에 포함되어 있기 때문에 항상 가장 작다는 것을 알 수 있습니다.)

요약하자면, 우리가 기억해야 할 것은 무엇입니까?

우리 대부분에게는 이것으로 충분하다고 생각합니다.

• 삼각법은 원 및 반복 간격과 같은 수학적 대상의 해부학을 설명합니다.
• 돔/벽/지붕 비유는 다양한 삼각 함수 간의 관계를 보여줍니다.
• 삼각함수는 백분율로 나타나며 이를 스크립트에 적용합니다.

1 2 + cot 2 = csc 2 와 같은 공식을 외울 필요는 없습니다. 이는 사실에 대한 지식을 이해하는 것으로 간주하는 어리석은 테스트에만 적합합니다. 잠시 시간을 내어 돔, 벽, 지붕 ​​형태로 반원을 그리고 요소에 라벨을 붙이면 모든 공식이 종이에 나타납니다.

응용: 역함수

모든 삼각 함수는 각도를 입력 매개변수로 사용하고 결과를 백분율로 반환합니다. 죄(30) = 0.5. 이는 30도 각도가 최대 높이의 50%를 차지한다는 의미입니다.

역삼각함수는 sin -1 또는 arcsin으로 표시됩니다. Asin은 다양한 프로그래밍 언어로도 작성되는 경우가 많습니다.

높이가 돔 높이의 25%라면 각도는 얼마입니까?

비율 표에서 시컨트를 1로 나눈 비율을 찾을 수 있습니다. 예를 들어 시컨트를 1로 나눈 값(가로에 대한 빗변)은 1을 코사인으로 나눈 값과 같습니다.

시컨트가 3.5라고 가정해 보겠습니다. 단위원 반지름의 350%입니다. 이 값은 벽에 대한 어떤 경사각에 해당합니까?

부록: 몇 가지 예

예: 각도 x의 사인을 구합니다.

지루한 작업입니다. 진부한 "사인 찾기"를 "최대값(빗변)에 대한 백분율로 나타낸 높이는 얼마입니까?"로 복잡하게 만들어 보겠습니다.

먼저 삼각형이 회전된 것을 확인하세요. 아무 문제가 없습니다. 삼각형에도 높이가 있으며 그림에서 녹색으로 표시됩니다.

빗변은 무엇과 같나요? 피타고라스의 정리에 따르면 우리는 다음을 알고 있습니다.

3 2 + 4 2 = 빗변 2 25 = 빗변 2 5 = 빗변

괜찮은! 사인은 삼각형의 가장 긴 변, 즉 빗변 높이의 백분율입니다. 이 예에서 사인은 3/5 또는 0.60입니다.

물론 우리는 여러 가지 방법으로 갈 수 있습니다. 이제 사인이 0.60이라는 것을 알았으므로 간단히 아크사인을 찾을 수 있습니다.

아신(0.6)=36.9

또 다른 접근 방식이 있습니다. 삼각형이 "벽을 향하고" 있으므로 사인 ​​대신 탄젠트를 사용할 수 있습니다. 높이는 3이고 벽까지의 거리는 4이므로 접선은 75%입니다. 아크탄젠트를 사용하여 백분율 값에서 각도로 다시 이동할 수 있습니다.

탄 = 3/4 = 0.75 atan(0.75) = 36.9 예: 해변까지 수영해서 갈 건가요?

당신은 보트에 있고 2km를 이동할 수 있는 충분한 연료가 있습니다. 이제 해안에서 0.25km 떨어져 있습니다. 충분한 연료를 확보하기 위해 해안까지 최대 몇도까지 헤엄쳐 갈 수 있습니까? 문제 설명에 추가: 우리는 아크 코사인 값 테이블만 가지고 있습니다.

우리가 가진 것? 해안선는 우리의 유명한 삼각형에서 "벽"으로 표현될 수 있으며, 벽에 부착된 "사다리의 길이"는 보트로 해안까지 이동할 수 있는 최대 거리(2km)입니다. 시컨트가 나타납니다.

먼저, 백분율로 이동해야 합니다. 2 / 0.25 = 8입니다. 즉, 해안(또는 벽)까지의 직선 거리의 8배에 해당하는 거리를 수영할 수 있습니다.

"8의 시컨트가 무엇입니까?"라는 질문이 생깁니다. 하지만 우리는 아크코사인만 가지고 있기 때문에 대답할 수 없습니다.

이전에 파생된 종속성을 사용하여 시컨트를 코사인과 연관시킵니다. "sec/1 = 1/cos"

8의 시컨트는 ⅛의 코사인과 같습니다. 코사인이 ⅛인 각도는 acos(1/8) = 82.8과 같습니다. 그리고 이것은 지정된 양의 연료를 사용하여 보트에서 감당할 수 있는 가장 큰 각도입니다.

나쁘지 않죠? 돔-벽-천장 비유가 없었다면 저는 수많은 공식과 계산에 빠져 헤매었을 것입니다. 문제를 시각화하면 솔루션 검색이 크게 단순화되며 어떤 삼각 함수가 궁극적으로 도움이 될지 확인하는 것도 흥미롭습니다.

각 문제에 대해 다음과 같이 생각하십시오. 돔(sin/cos), 벽(tan/sec) 또는 천장(cot/csc)에 관심이 있습니까?

그리고 삼각법은 훨씬 더 재미있어질 것입니다. 당신을 위한 쉬운 계산!

중요 사항!
1. 수식 대신 gobbledygook이 표시되면 캐시를 삭제하세요. 브라우저에서 이를 수행하는 방법은 다음과 같습니다.
2. 기사를 읽기 전에 우리의 네비게이터에서 가장 유용한 리소스를 확인하세요.

사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트

사인(), 코사인(), 탄젠트(), 코탄젠트()의 개념은 각도의 개념과 불가분의 관계가 있습니다. 언뜻보기에 이러한 복잡한 개념 (많은 학생들에게 공포 상태를 유발하는)을 잘 이해하고 "악마가 그려진 것만 큼 끔찍하지 않음"을 확인하기 위해 다음부터 시작하겠습니다. 각도의 개념을 이해하고 시작해보세요.

각도 개념: 라디안, 도

사진을 보자. 벡터는 점을 기준으로 일정량만큼 "회전"했습니다. 따라서 초기 위치에 대한 회전의 측정값은 다음과 같습니다. 모서리.

각도의 개념에 대해 또 무엇을 알아야 합니까? 물론, 각도 단위입니다!

기하학과 삼각법 모두에서 각도는 도와 라디안으로 측정할 수 있습니다.

각도(1도)는 원의 일부와 동일한 원호에 해당하는 원의 중심 각도입니다. 따라서 전체 원은 원호의 "조각"으로 구성됩니다. 즉 원이 나타내는 각도는 동일합니다.

즉, 위 그림은 다음과 같은 각도를 보여줍니다. 즉, 이 각도는 원주 크기의 원호에 있습니다.

라디안 단위의 각도는 길이가 원의 반지름과 같은 원호에 대응되는 원의 중심각입니다. 글쎄, 알아냈어? 그렇지 않다면 그림에서 알아 봅시다.

따라서 그림은 라디안과 같은 각도를 보여줍니다. 즉, 이 각도는 길이가 원의 반경과 같은 원호에 있습니다 (길이는 길이와 같거나 반경은 호의 길이). 따라서 호 길이는 다음 공식으로 계산됩니다.

라디안 단위의 중심각은 어디에 있습니까?

글쎄, 이것을 알면 원이 나타내는 각도에 몇 라디안이 포함되는지 답할 수 있습니까? 예, 이를 위해서는 원주 공식을 기억해야 합니다. 여기 그녀가 있습니다:

자, 이제 이 두 공식을 연관시키고 원이 나타내는 각도가 같다는 것을 알아봅시다. 즉, 도와 라디안 값을 연관시켜서 알 수 있습니다. 각각 . 보시다시피, "도"와 달리 "라디안"이라는 단어는 생략됩니다. 왜냐하면 일반적으로 측정 단위가 문맥에서 명확하기 때문입니다.

몇 라디안이 있나요? 좋아요!

알았어요? 그런 다음 계속해서 수정하세요.

어려움이 있나요? 그럼 봐 답변:

직각 삼각형: 사인, 코사인, 탄젠트, 각도의 코탄젠트

그래서 우리는 각도의 개념을 알아냈습니다. 그런데 각도의 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트는 무엇일까요? 그것을 알아 봅시다. 이를 위해서는 직각삼각형이 도움이 될 것입니다.

직각삼각형의 변을 뭐라고 부르나요? 맞습니다, 빗변과 다리: 빗변은 직각 반대편에 있는 변입니다(이 예에서는 이것이 변입니다). 다리는 나머지 두 측면이고 (인접한 측면은 직각) 그리고 각도를 기준으로 다리를 고려하면 다리는 인접한 다리이고 다리는 반대쪽입니다. 이제 각도의 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트가 무엇인지에 대한 질문에 답해 보겠습니다.

각도의 사인- 빗변에 대한 반대쪽(먼) 다리의 비율입니다.

우리 삼각형에서.

각도의 코사인- 빗변에 대한 인접한 (닫힌) 다리의 비율입니다.

우리 삼각형에서.

각도의 탄젠트- 반대쪽(먼 쪽)과 인접한 쪽(가까운 쪽)의 비율입니다.

우리 삼각형에서.

각도의 코탄젠트- 인접한(가까운) 다리와 반대쪽(먼) 다리의 비율입니다.

우리 삼각형에서.

이러한 정의가 필요합니다 기억하다! 어느 다리를 무엇으로 나누어야 할지 기억하기 쉽도록 하기 위해서는 접선그리고 코탄젠트다리만 앉고 빗변은 공동그리고 코사인. 그런 다음 일련의 연관을 생각해 낼 수 있습니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

코사인→터치→터치→인접;

코탄젠트→터치→터치→인접.

우선, 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트는 삼각형의 변의 비율이 (같은 각도에서) 이들 변의 길이에 의존하지 않는다는 것을 기억해야 합니다. 믿을 수 없어? 그런 다음 그림을 보고 확인하십시오.

예를 들어 각도의 코사인을 생각해 보세요. 정의에 따르면 삼각형에서: 이지만 삼각형에서 각도의 코사인을 계산할 수 있습니다: . 보시다시피, 변의 길이는 다르지만 한 각도의 코사인 값은 같습니다. 따라서 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 값은 각도의 크기에만 의존합니다.

정의를 이해했다면 계속해서 통합하세요!

아래 그림에 표시된 삼각형에 대해 우리는 찾습니다.

글쎄요, 이해하셨나요? 그런 다음 직접 시도해 보십시오. 각도에 대해서도 동일하게 계산하십시오.

단위(삼각) 원

각도와 라디안의 개념을 이해하면서 반지름이 다음과 같은 원을 고려했습니다. 그러한 원을 호출합니다. 하나의. 삼각법을 공부할 때 매우 유용할 것입니다. 그러므로 조금 더 자세히 살펴보겠습니다.

보시다시피 이 원은 데카르트 좌표계로 구성됩니다. 원의 반지름은 1과 같고 원의 중심은 좌표 원점에 있고 반지름 벡터의 초기 위치는 축의 양의 방향을 따라 고정됩니다(이 예에서는 반지름입니다).

원의 각 점은 축 ​​좌표와 축 좌표라는 두 숫자에 해당합니다. 이 좌표 번호는 무엇입니까? 그리고 일반적으로 그들은 당면한 주제와 어떤 관련이 있습니까? 이렇게 하려면 고려된 직각삼각형에 대해 기억해야 합니다. 위 그림에서 두 개의 완전한 직각삼각형을 볼 수 있습니다. 삼각형을 생각해 보세요. 축에 수직이므로 직사각형입니다.

삼각형은 무엇과 같나요? 좋아요. 또한, 우리는 이것이 단위원의 반지름이라는 것을 알고 있습니다. 이 값을 코사인 공식에 대입해 보겠습니다. 일어나는 일은 다음과 같습니다.

삼각형은 무엇과 같나요? 물론이죠! 이 공식에 반경 값을 대입하면 다음을 얻습니다.

그러면 원에 속한 점이 어떤 좌표를 가지고 있는지 알 수 있나요? 글쎄요? 그것을 깨닫고 단지 숫자일 뿐이라면 어떨까요? 어느 좌표에 해당합니까? 물론 좌표도요! 그리고 그것은 어떤 좌표에 해당합니까? 그렇죠, 좌표! 따라서 기간.

그렇다면 과 는 무엇입니까? 맞습니다. 탄젠트와 코탄젠트의 해당 정의를 사용하여 다음을 얻습니다.

각도가 더 크면 어떨까요? 예를 들어, 이 그림과 같습니다:

이 예에서는 무엇이 변경되었나요? 그것을 알아 봅시다. 이를 위해 다시 직각삼각형으로 돌아가 보겠습니다. 직각 삼각형을 생각해 보세요: 각도(각에 인접한 각도). 각도에 대한 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트 값은 무엇입니까? 그렇습니다. 우리는 삼각 함수의 해당 정의를 준수합니다.

보시다시피 각도의 사인 값은 여전히 ​​좌표와 일치합니다. 각도의 코사인 값 - 좌표; 해당 비율에 대한 탄젠트 및 코탄젠트 값. 따라서 이러한 관계는 반경 벡터의 모든 회전에 적용됩니다.

반경 벡터의 초기 위치는 축의 양의 방향을 따른다는 것이 이미 언급되었습니다. 지금까지 우리는 이 벡터를 시계 반대 방향으로 회전시켰습니다. 그러나 시계 방향으로 회전하면 어떻게 될까요? 특별한 것은 없습니다. 특정 값의 각도도 얻을 수 있지만 이는 음수일 뿐입니다. 따라서 반경 벡터를 시계 반대 방향으로 회전하면 다음을 얻습니다. 양의 각도, 그리고 시계방향으로 회전할 때 - 부정적인.

따라서 우리는 원 주위의 반지름 벡터의 전체 회전이 or라는 것을 알고 있습니다. 반경 벡터를 회전할 수 있나요? 물론 가능합니다! 따라서 첫 번째 경우에는 반경 벡터가 완전히 한 바퀴 회전하고 위치 또는 위치에서 정지합니다.

두 번째 경우, 즉 반경 벡터는 세 번 완전히 회전하고 위치 또는 위치에서 정지합니다.

따라서 위의 예에서 우리는 또는 (여기서 정수는 무엇입니까)만큼 다른 각도가 반경 벡터의 동일한 위치에 해당한다는 결론을 내릴 수 있습니다.

아래 그림은 각도를 보여줍니다. 같은 이미지가 모서리 등에 해당합니다. 이 목록은 무기한으로 계속될 수 있습니다. 이 모든 각도는 일반 공식 또는 (정수는 어디에 있습니까)로 쓸 수 있습니다

이제 기본 삼각 함수의 정의를 알고 단위원을 사용하여 값이 무엇인지 답해 보세요.

여기에 도움이 되는 단위원이 있습니다:

어려움이 있나요? 그럼 알아 봅시다. 그래서 우리는 다음을 알고 있습니다.

여기에서 특정 각도 측정에 해당하는 점의 좌표를 결정합니다. 음, 순서대로 시작하겠습니다. 각도는 좌표가 있는 점에 해당하므로 다음과 같습니다.

존재하지 않는다;

또한 동일한 논리를 사용하여 모서리가 각각 좌표가 있는 점에 해당한다는 것을 알 수 있습니다. 이를 알면 해당 지점의 삼각함수 값을 쉽게 결정할 수 있습니다. 먼저 직접 시도해보고 답을 확인해 보세요.

답변:

따라서 우리는 다음과 같은 표를 만들 수 있습니다.

이 값을 모두 기억할 필요는 없습니다. 단위원의 점 좌표와 삼각 함수 값 사이의 대응 관계를 기억하는 것으로 충분합니다.

그러나 아래 표에 주어진 각도의 삼각 함수 값은, 기억해야 한다:

겁내지 마세요. 이제 한 가지 예를 보여드리겠습니다. 해당 값을 기억하는 것은 매우 간단합니다.:

이 방법을 사용하려면 각도()의 세 가지 측정값 모두에 대한 사인 값과 각도의 탄젠트 값을 기억하는 것이 중요합니다. 이 값을 알면 전체 테이블을 복원하는 것이 매우 간단합니다. 코사인 값은 화살표에 따라 전송됩니다.

이를 알면 값을 복원할 수 있습니다. 분자 " "가 일치하고 분모 " "가 일치합니다. 코탄젠트 값은 그림에 표시된 화살표에 따라 전송됩니다. 이것을 이해하고 화살표가 있는 다이어그램을 기억한다면 표의 모든 값을 기억하는 것으로 충분할 것입니다.

원 위의 한 점의 좌표

원 위의 점(좌표)을 찾는 것이 가능합니까? 원의 중심 좌표, 반경 및 회전 각도를 아는 것?

물론 가능합니다! 그것을 꺼내자 점의 좌표를 찾는 일반 공식.

예를 들어, 여기 우리 앞에 원이 있습니다.

점이 원의 중심이라는 것을 알 수 있습니다. 원의 반지름은 같습니다. 점을 각도만큼 회전시켜 얻은 점의 좌표를 찾는 것이 필요합니다.

그림에서 볼 수 있듯이 점의 좌표는 세그먼트의 길이에 해당합니다. 세그먼트의 길이는 원 중심의 좌표에 해당합니다. 즉, 동일합니다. 세그먼트의 길이는 코사인의 정의를 사용하여 표현될 수 있습니다.

그런 다음 점 좌표에 대한 정보를 얻습니다.

동일한 논리를 사용하여 점의 y 좌표 값을 찾습니다. 따라서,

그래서, 일반적인 견해점의 좌표는 다음 공식에 의해 결정됩니다.

원의 중심 좌표,

원 반경,

벡터 반경의 회전 각도입니다.

보시다시피, 우리가 고려하고 있는 단위원의 경우 중심 좌표가 0이고 반경이 1이기 때문에 이러한 공식이 크게 줄어듭니다.

자, 원에서 점 찾기를 연습하면서 이 공식들을 시험해 볼까요?

1. 점을 회전시켜 얻은 단위원 위의 점의 좌표를 구합니다.

2. 점을 회전시켜 얻은 단위원 위의 점의 좌표를 구합니다.

3. 점을 회전시켜 얻은 단위원 위의 점의 좌표를 구합니다.

4. 점은 원의 중심입니다. 원의 반지름은 같습니다. 초기 반경 벡터를 회전시켜 얻은 점의 좌표를 찾는 것이 필요합니다.

5. 점은 원의 중심입니다. 원의 반지름은 같습니다. 초기 반경 벡터를 회전시켜 얻은 점의 좌표를 찾는 것이 필요합니다.

원 위의 한 점의 좌표를 찾는 데 문제가 있습니까?

다음 다섯 가지 예를 풀면(또는 잘 풀 수 있게 되면) 그 예를 찾는 방법을 배우게 될 것입니다!

요약 및 기본 공식

각도의 사인은 반대쪽(먼 쪽) 다리와 빗변의 비율입니다.

각도의 코사인은 빗변에 대한 인접한(닫힌) 다리의 비율입니다.

각도의 탄젠트는 반대쪽(먼 쪽)과 인접한(가까운) 쪽의 비율입니다.

각도의 코탄젠트는 인접한(가까운) 변과 반대(먼) 변의 비율입니다.

자, 주제는 끝났습니다. 이 글을 읽고 있다면 당신이 매우 멋지다는 뜻입니다.

왜냐하면 오직 5%의 사람들만이 스스로 무언가를 마스터할 수 있기 때문입니다. 그리고 끝까지 읽으시면 당신은 이 5% 안에 속합니다!

이제 가장 중요한 것입니다.

당신은 이 주제에 대한 이론을 이해했습니다. 그리고 반복합니다. 이건... 정말 최고예요! 당신은 이미 그보다 나아요 절대 다수당신의 동료.

문제는 이것만으로는 충분하지 않을 수 있다는 것입니다.

무엇을 위해?

성공을 위해 통합 국가 시험에 합격, 예산에 맞춰 대학에 입학하기 위해 그리고 가장 중요하게는 평생 동안.

아무것도 설득하지 않고 딱 하나만 말씀드리겠습니다...

받은 사람들 좋은 교육, 그것을받지 못한 사람들보다 훨씬 더 많은 것을 얻습니다. 이것은 통계입니다.

그러나 이것이 중요한 것은 아닙니다.

가장 중요한 것은 그들이 더 행복하다는 것입니다 (그런 연구가 있습니다). 아마도 그들 앞에 더 많은 기회가 열리고 삶이 더 밝아지기 때문일까요? 모른다...

하지만 스스로 생각해 보세요...

통합 상태 시험에서 다른 사람보다 더 뛰어나고 궁극적으로 더 행복해지려면 무엇이 필요합니까?

이 주제에 대한 문제를 해결하여 손을 잡으십시오.

시험 중에는 이론을 요구하지 않습니다.

필요할 것이예요 시간에 맞춰 문제를 해결하다.

그리고 문제를 많이 해결하지 못했다면(많이!) 어딘가에서 어리석은 실수를 저지르거나 시간이 없을 것입니다.

그것은 스포츠와 같습니다. 확실히 승리하려면 여러 번 반복해야 합니다.

원하는 곳 어디에서나 컬렉션을 찾아보세요. 반드시 솔루션, 상세한 분석으로결정하고 결정하고 결정하세요!

우리의 작업(선택 사항)을 사용할 수 있으며 물론 권장됩니다.

작업을 더 잘 활용하려면 현재 읽고 있는 YouClever 교과서의 수명을 연장하는 데 도움이 필요합니다.

어떻게? 두 가지 옵션이 있습니다:

1. 이 기사에 숨겨진 모든 작업을 잠금해제하세요 -
2. 교과서의 99개 기사 전체에 숨겨진 모든 작업에 대한 액세스를 잠금 해제하세요. 교과서 구매 - 499 RUR

예, 우리 교과서에는 그러한 기사가 99개 있으며 모든 작업에 접근하고 그 안에 숨겨진 모든 텍스트를 즉시 열 수 있습니다.

사이트의 전체 수명 동안 모든 숨겨진 작업에 대한 액세스가 제공됩니다.

결론적으로...

우리 작업이 마음에 들지 않으면 다른 작업을 찾으십시오. 이론에만 머물지 마세요.

'이해한다'와 '해결할 수 있다'는 완전히 다른 능력이다. 둘 다 필요합니다.

문제를 찾아 해결해보세요!

• 2. 값 범위: [-1;1]
• 3. 이상한 기능.
• 7. 함수가 양수인 구간: (2*pi*n; pi+2*pi*n)
• 8. 함수가 음수인 구간: (-pi + 2*pi*n; 2*pi*n)
• 9. 간격 증가: [-pi/2 +2*pi*n; 파이/2 +2*파이*n]
• 10. 간격 감소:
• 11. 최소 포인트: -pi/2 +2*pi*n
• 12. 최소 기능: -1
• 13. 최대 포인트: pi/2 +2*pi*n
• 14. 최대 기능: 1

코사인의 성질

• 1. 정의 영역: 전체 숫자 축
• 2. 값 범위: [-1;1]
• 3. 균일한 기능.
• 4. 최소 양수 기간: 2*pi
• 5. 함수 그래프와 Ox 축의 교차점 좌표: (pi/2 +pi*n; 0)
• 6. 함수 그래프와 Oy 축의 교차점 좌표: (0;1)
• 7. 함수가 양수인 간격: (-pi/2 +2*pi*n; pi/2 +2*pi*n)
• 8. 함수가 음수인 간격: (pi/2 +2*pi*n; 3*pi/2 +2*pi*n)
• 9. 간격 증가: [-pi + 2*pi*n; 2*핀*n]
• 10. 간격 감소:
• 11. 최소 포인트: pi+2*pi*n
• 12. 최소 기능: -1
• 13. 최대 포인트: 2*pi*n
• 14. 최대 기능: 1

접선의 속성

• 1. 정의 영역: (-pi/2 +pi*n; pi/2 +pi*n)
• 3. 이상한 기능.
• 5. 함수 그래프와 Ox 축의 교차점 좌표: (pi*n; 0)
• 6. 함수 그래프와 Oy 축의 교차점 좌표: (0;0)
• 9. 함수는 간격에 따라 증가합니다(-pi/2 + pi*n; pi/2 + pi*n).

코탄젠트의 성질

• 1. 도메인: (pi*n; pi +pi*n)
• 2. 값 범위: 전체 숫자 축
• 3. 이상한 기능.
• 4. 최소 양수 기간: pi
• 5. 함수 그래프와 Ox 축의 교차점 좌표: (pi/2 + pi*n; 0)
• 6. 함수 그래프와 Oy 축의 교차점 좌표: 아니요
• 7. 함수가 양수인 구간: (pi*n; pi/2 +pi*n)
• 8. 함수가 음수인 간격: (-pi/2 +pi*n; pi*n)
• 9. 함수는 간격(pi*n; pi +pi*n)에 따라 감소합니다.
• 10. 최대, 최소 포인트는 없습니다.

아래 그림은 다양한 좌표계에서 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트의 부호를 나타내는 여러 단위원을 보여줍니다.

삼각법은 삼각 함수와 기하학에서의 사용을 연구하는 수학 과학의 한 분야입니다. 삼각법의 발전은 고대 그리스에서 시작되었습니다. 중세 시대에는 중동과 인도의 과학자들이 이 과학의 발전에 중요한 공헌을 했습니다.

이 기사는 다음과 같습니다. 기본 개념그리고 삼각법의 정의. 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트 등 기본 삼각 함수의 정의에 대해 설명합니다. 그 의미는 기하학의 맥락에서 설명되고 예시됩니다.

Yandex.RTB R-A-339285-1

처음에 각도를 인수로 하는 삼각 함수의 정의는 직각삼각형의 변의 비율로 표현되었습니다.

삼각 함수의 정의

각도의 사인(sin α)은 빗변에 대한 이 각도 반대쪽 다리의 비율입니다.

각도의 코사인(cos α) - 인접한 다리와 빗변의 비율입니다.

각도 탄젠트(t g α) - 반대쪽과 인접한 쪽의 비율입니다.

각도 코탄젠트(c t g α) - 인접면과 반대면의 비율입니다.

이러한 정의는 직각 삼각형의 예각에 대해 제공됩니다!

예를 들어 보겠습니다.

안에 삼각형 ABC직각 C에서 각도 A의 사인은 다리 BC와 빗변 AB의 비율과 같습니다.

사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 정의를 사용하면 알려진 삼각형 변의 길이에서 이러한 함수의 값을 계산할 수 있습니다.

기억하는 것이 중요합니다!

사인과 코사인의 값 범위는 -1부터 1까지이다. 즉, 사인과 코사인은 -1부터 1까지의 값을 갖는다. 탄젠트와 코탄젠트의 값 범위는 수직선 전체이고, 즉, 이러한 함수는 어떤 값이라도 취할 수 있습니다.

위에 주어진 정의는 예각에 적용됩니다. 삼각법에서는 회전 각도의 개념이 도입되며 그 값은 예각과 달리 0도에서 90도까지 제한되지 않습니다.도 또는 라디안 단위의 회전 각도는 -무한대에서 +무한대까지의 실수로 표현됩니다. .

이러한 맥락에서 우리는 임의의 크기 각도의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트를 정의할 수 있습니다. 데카르트 좌표계의 원점을 중심으로 하는 단위원을 상상해 보겠습니다.

좌표가 (1, 0)인 초기 점 A는 단위원의 중심을 중심으로 특정 각도 α만큼 회전하여 점 A 1로 이동합니다. 정의는 점 A 1 (x, y)의 좌표로 제공됩니다.

회전 각도의 사인(sin)

회전 각도 α의 사인은 점 A 1(x, y)의 세로 좌표입니다. 죄 α = y

회전 각도의 코사인(cos)

회전 각도 α의 코사인은 점 A 1(x, y)의 가로좌표입니다. 왜냐하면 α = x

회전 각도의 탄젠트(tg)

회전 각도 α의 접선은 점 A 1 (x, y)의 세로 좌표와 가로 좌표의 비율입니다. t g α = y x

회전 각도의 코탄젠트(ctg)

회전 각도 α의 코탄젠트는 점 A 1 (x, y)의 가로 좌표와 세로 좌표의 비율입니다. ctgα = xy

사인과 코사인은 모든 회전 각도에 대해 정의됩니다. 회전 후 점의 가로 좌표와 세로 좌표는 어떤 각도에서도 결정될 수 있기 때문에 이는 논리적입니다. 탄젠트와 코탄젠트의 경우 상황이 다릅니다. 회전 후 점이 0 가로좌표(0, 1) 및 (0, - 1)인 점으로 이동하면 접선은 정의되지 않습니다. 이러한 경우 접선 t g α = y x에 대한 표현식은 0으로 나누기를 포함하므로 의미가 없습니다. 상황은 코탄젠트와 유사합니다. 차이점은 점의 세로 좌표가 0이 되는 경우에는 코탄젠트가 정의되지 않는다는 점입니다.

기억하는 것이 중요합니다!

사인과 코사인은 모든 각도 α에 대해 정의됩니다.

접선은 α = 90° + 180° k, k ∈ Z(α = π 2 + π k, k ∈ Z)를 제외한 모든 각도에 대해 정의됩니다.

코탄젠트는 α = 180° k, k ∈ Z(α = π k, k ∈ Z)를 제외한 모든 각도에 대해 정의됩니다.

결정할 때 실제 사례"회전 각도 α의 사인"이라고 말하지 마십시오. "회전 각도"라는 단어는 단순히 생략되었으며, 이는 논의 중인 내용이 문맥에서 이미 명확하다는 것을 의미합니다.

숫자

회전 각도가 아닌 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 정의는 어떻습니까?

사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트 숫자

숫자의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트 티는 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트와 각각 동일한 숫자입니다. 티라디안.

예를 들어, 숫자 10 π의 사인은 회전 각도 10 π rad의 사인과 같습니다.

숫자의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트를 결정하는 또 다른 접근법이 있습니다. 좀 더 자세히 살펴보겠습니다.

임의의 실수 티단위원 위의 한 점은 직사각형 직교 좌표계의 원점 중심과 연관되어 있습니다. 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트는 이 점의 좌표를 통해 결정됩니다.

원의 시작점은 좌표가 (1, 0)인 점 A입니다.

정수 티

음수 티원을 시계 반대 방향으로 움직일 때 시작점이 갈 지점에 해당하며 길을 갈 것이다티.

이제 숫자와 원 위의 점 사이의 연결이 설정되었으므로 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 정의로 넘어갑니다.

t의 사인(sin)

숫자의 사인 티- 숫자에 해당하는 단위원 위의 한 점의 세로좌표 티. 죄 t = y

t의 코사인(cos)

숫자의 코사인 티- 숫자에 해당하는 단위원 점의 가로좌표 티. 비용 t = x

t의 탄젠트(tg)

숫자의 탄젠트 티- 숫자에 해당하는 단위원 위의 한 점의 가로좌표와 세로좌표의 비율 티. t g t = y x = 죄 t 비용

최신 정의는 이 단락의 시작 부분에 제공된 정의와 일치하며 모순되지 않습니다. 숫자에 해당하는 원 위의 점 티, 각도만큼 회전하여 시작점이 가는 지점과 일치 티라디안.

각도 및 숫자 인수의 삼각 함수

각도 α의 각 값은 이 각도의 특정 사인 및 코사인 값에 해당합니다. α = 90 ° + 180 ° k 이외의 모든 각도 α와 마찬가지로 k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)는 특정 탄젠트 값에 해당합니다. 위에서 설명한 대로 코탄젠트는 α = 180° k, k ∈ Z(α = π k, k ∈ Z)를 제외한 모든 α에 대해 정의됩니다.

sin α, cos α, t g α, c t g α는 각도 알파의 함수이거나 각도 인수의 함수라고 말할 수 있습니다.

마찬가지로 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트를 수치 인수의 함수로 이야기할 수 있습니다. 모든 실수 티숫자의 사인 또는 코사인의 특정 값에 해당합니다. 티. π 2 + π · k, k ∈ Z 이외의 모든 숫자는 탄젠트 값에 해당합니다. 마찬가지로 코탄젠트는 π · k, k ∈ Z를 제외한 모든 숫자에 대해 정의됩니다.

삼각법의 기본 기능

사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트는 기본 삼각 함수입니다.

일반적으로 우리가 다루고 있는 삼각 함수의 인수(각 인수 또는 숫자 인수)가 무엇인지는 문맥을 통해 분명합니다.

처음에 주어진 정의와 0도에서 90도 범위에 있는 알파 각도로 돌아가 보겠습니다. 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 삼각법 정의는 다음과 완전히 일치합니다. 기하학적 정의, 직각 삼각형의 종횡비를 사용하여 제공됩니다. 보여드리겠습니다.

직사각형 직교 좌표계의 중심이 있는 단위원을 생각해 보겠습니다. 시작점 A(1,0)를 최대 90도 각도로 회전하고 결과 점 A1(x,y)에서 가로축에 수직인 선을 그립니다. 결과 직각 삼각형에서 각도 A 1 O H 각도와 같음α를 돌리면 다리 O H의 길이는 점 A 1 (x, y)의 가로좌표와 같습니다. 각도 반대쪽 다리의 길이는 점 A 1 (x, y)의 세로 좌표와 같고, 빗변의 길이는 단위원의 반지름이므로 1과 같습니다.

기하학의 정의에 따르면 각도 α의 사인은 빗변에 대한 반대쪽의 비율과 같습니다.

죄 α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

이는 종횡비를 통해 직각 삼각형의 예각의 사인을 결정하는 것이 회전 각도 α의 사인을 결정하는 것과 동일하며 알파는 0에서 90도 범위에 있음을 의미합니다.

마찬가지로, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트에 대한 정의의 일치성을 표시할 수 있습니다.

텍스트에 오류가 있으면 강조 표시하고 Ctrl+Enter를 누르세요.

직각삼각형부터 삼각법 공부를 시작하겠습니다. 사인과 코사인이 무엇인지, 예각의 탄젠트와 코탄젠트가 무엇인지 정의해 봅시다. 이것이 삼각법의 기본이다.

이를 상기시켜 드리겠습니다. 직각 90도와 같은 각도입니다. 즉, 반 회전 각도입니다.

날카로운 모서리- 90도 미만.

둔각- 90도 이상. 이러한 각도와 관련하여 "둔각"은 모욕이 아니라 수학 용어입니다. :-)

직각삼각형을 그려보자. 직각은 일반적으로 로 표시됩니다. 모서리 반대쪽도 동일한 문자로 표시되며 작습니다. 따라서 측면 반대 각도 A가 지정됩니다.

각도는 해당으로 표시됩니다. 그리스 문자.

빗변직각삼각형의 변은 직각의 반대편이다.

다리- 예각 반대편에 놓인 측면.

각도 반대편에 누워있는 다리를 호출합니다. 반대(각도에 비례). 각도의 측면 중 하나에 있는 다른 다리를 호출합니다. 인접한.

공동직각 삼각형의 예각은 빗변에 대한 대변의 비율입니다.

코사인직각 삼각형의 예각 - 빗변에 대한 인접한 다리의 비율:

접선직각 삼각형의 예각 - 반대쪽과 인접면의 비율:

또 다른 (동등한) 정의: 예각의 탄젠트는 각도의 사인 대 코사인의 비율입니다.

코탄젠트직각 삼각형의 예각 - 인접한 변과 반대쪽의 비율 (또는 동일하게 코사인 대 사인의 비율) :

아래에서 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트의 기본 관계를 확인하세요. 문제를 해결할 때 우리에게 유용할 것입니다.

그 중 일부를 증명해 봅시다.

좋아요, 정의를 내리고 공식을 적어 두었습니다. 그런데 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트가 여전히 필요한 이유는 무엇입니까?

우리는 그것을 알고 있습니다 모든 삼각형의 각도의 합은 다음과 같습니다..

우리는 사이의 관계를 알고 파티정삼각형. 이것은 피타고라스의 정리입니다: .

삼각형의 두 각도를 알면 세 번째 각도를 찾을 수 있다는 것이 밝혀졌습니다. 직각삼각형의 두 변을 알면 세 번째 변을 찾을 수 있습니다. 이는 각도에 자체 비율이 있고 측면에도 자체 비율이 있음을 의미합니다. 하지만 직각삼각형에서 한 각(직각 제외)과 한 변을 알고 있는데 다른 변을 찾아야 한다면 어떻게 해야 할까요?

이것은 과거 사람들이 지역과 별이 빛나는 하늘의 지도를 만들 때 접했던 것입니다. 결국 삼각형의 모든 변을 직접 측정하는 것이 항상 가능한 것은 아닙니다.

사인, 코사인 및 탄젠트 -라고도 합니다. 삼각 각도 함수- 사이의 관계를 제공 파티그리고 모서리삼각형. 각도를 알면 특수 테이블을 사용하여 모든 삼각 함수를 찾을 수 있습니다. 그리고 삼각형 각도와 그 변 중 하나의 사인, 코사인 및 탄젠트를 알면 나머지도 찾을 수 있습니다.

또한 "좋은" 각도에 대한 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트 값의 표를 그릴 것입니다.

표에 있는 두 개의 빨간색 대시를 참고하세요. 적절한 각도 값에서는 탄젠트와 코탄젠트가 존재하지 않습니다.

FIPI Task Bank의 몇 가지 삼각법 문제를 살펴보겠습니다.

1. 삼각형의 각도는 , 입니다. 찾다 .

문제는 4초만에 해결됩니다.

왜냐하면 , .

2. 삼각형의 각도는 , , 입니다. 찾다 .

피타고라스의 정리를 이용하여 구해 봅시다.

문제가 해결되었습니다.

종종 문제에는 각도가 있는 삼각형이 있거나 각도가 있는 삼각형이 있습니다. 기본 비율을 마음 속으로 기억하세요!

각도가 있는 삼각형의 경우 각도 반대쪽 다리는 다음과 같습니다. 빗변의 절반.

각도가 있고 이등변인 삼각형입니다. 그 안에서 빗변은 다리보다 몇 배 더 큽니다.

우리는 직각삼각형을 푸는 문제, 즉 알려지지 않은 변이나 각도를 찾는 문제를 살펴보았습니다. 하지만 그게 전부는 아닙니다! 안에 통합 상태 시험 옵션수학에는 삼각형의 외각의 사인, 코사인, 탄젠트 또는 코탄젠트가 나타나는 문제가 많이 있습니다. 이에 대한 자세한 내용은 다음 기사에서 확인하세요.