로그 거듭제곱의 속성과 관련된 9가지 공식. 로그란 무엇입니까? 로그 해결. 예. 로그의 속성

주요 속성.

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x:y).

동일한 근거

로그6 4 + 로그6 9.

이제 작업을 조금 복잡하게 만들어 보겠습니다.

로그 해결의 예

로그의 밑수 또는 인수가 거듭제곱이면 어떻게 되나요? 그런 다음 이 정도의 지수는 다음 규칙에 따라 로그 부호에서 제거될 수 있습니다.

물론 로그의 ODZ가 관찰되면 이러한 모든 규칙이 의미가 있습니다. a > 0, a ≠ 1, x >

일. 표현의 의미를 찾으십시오.

새로운 기반으로의 전환

로그 logax를 주어 보겠습니다. 그런 다음 c > 0이고 c ≠ 1인 임의의 숫자 c에 대해 동등성은 참입니다.

일. 표현의 의미를 찾으십시오.

또한보십시오:

로그의 기본 속성

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지수는 2.718281828… 지수를 기억하려면 규칙을 공부할 수 있습니다. 지수는 2.7과 같고 Leo Nikolaevich Tolstoy 탄생 연도의 두 배입니다.

로그의 기본 속성

이 규칙을 알면 지수의 정확한 값과 레오 톨스토이의 생년월일을 모두 알 수 있습니다.

로그의 예

로그 표현식

예시 1.
ㅏ). x=10ac^2(a>0,c>0).

속성 3.5를 사용하여 계산합니다.

4. 어디 .

예 2. 다음 경우 x 찾기

예 3. 로그 값을 제공합니다.

다음과 같은 경우 log(x)를 계산합니다.

로그의 기본 속성

다른 숫자와 마찬가지로 로그도 모든 방법으로 더하고, 빼고, 변환할 수 있습니다. 그러나 로그는 정확히 평범한 숫자가 아니기 때문에 여기에는 다음과 같은 규칙이 있습니다. 주요 속성.

이러한 규칙을 확실히 알아야 합니다. 규칙이 없으면 심각한 로그 문제 하나도 해결할 수 없습니다. 또한 그 중 거의 없습니다. 하루 만에 모든 것을 배울 수 있습니다. 그럼 시작해 보겠습니다.

로그 더하기 및 빼기

밑이 동일한 두 개의 로그(logax와 logay)를 생각해 보세요. 그런 다음 더하고 뺄 수 있으며 다음과 같습니다.

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x:y).

따라서 로그의 합은 곱의 로그와 같고 그 차이는 몫의 로그와 같습니다. 메모: 중요한 순간여기 - 동일한 근거. 이유가 다르면 이 규칙은 적용되지 않습니다!

이 공식은 개별 부분을 고려하지 않는 경우에도 로그 표현식을 계산하는 데 도움이 됩니다("로그란 무엇인가" 단원 참조). 예제를 살펴보고 다음을 확인하세요.

로그는 밑이 동일하므로 합계 공식을 사용합니다.
로그6 4 + 로그6 9 = 로그6 (4 9) = 로그6 36 = 2.

일. 다음 표현식의 값을 찾습니다: log2 48 − log2 3.

기본은 동일하므로 차이 공식을 사용합니다.
로그2 48 - 로그2 3 = 로그2(48:3) = 로그2 16 = 4.

일. 다음 표현식의 값을 찾습니다: log3 135 − log3 5.

이번에도 기본은 동일하므로 다음과 같습니다.
로그3 135 - 로그3 5 = 로그3(135:5) = 로그3 27 = 3.

보시다시피 원래 표현식은 별도로 계산되지 않는 "나쁜" 로그로 구성됩니다. 그러나 변환 후에는 완전히 정상적인 숫자가 얻어집니다. 많은 사람들이 이 사실을 토대로 만들어졌습니다. 시험지. 예, 통합 국가 시험에서는 시험과 같은 표현이 진지하게(때로는 거의 변경 없이) 제공됩니다.

로그에서 지수 추출하기

마지막 규칙이 처음 두 규칙을 따르는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 그러나 어쨌든 기억하는 것이 좋습니다. 어떤 경우에는 계산량이 크게 줄어들 것입니다.

물론 로그의 ODZ가 관찰되면(a > 0, a ≠ 1, x > 0) 이러한 모든 규칙이 의미가 있습니다. 그리고 한 가지 더: 모든 수식을 왼쪽에서 오른쪽으로 적용하는 방법뿐만 아니라 그 반대로도 적용하는 방법을 배우십시오. , 즉. 로그 자체에 로그 기호 앞에 숫자를 입력할 수 있습니다. 이것이 가장 자주 요구되는 것입니다.

일. 다음 표현식의 값을 찾으세요: log7 496.

첫 번째 공식을 사용하여 인수의 정도를 제거해 보겠습니다.
로그7 496 = 6 로그7 49 = 6 2 = 12

일. 표현의 의미를 찾으십시오.

분모에는 로그가 포함되어 있으며 밑과 인수는 정확한 거듭제곱입니다. 16 = 24; 49 = 72. 우리는 다음을 가집니다:

마지막 예에는 약간의 설명이 필요하다고 생각합니다. 로그는 어디로 갔나요? 마지막 순간까지 우리는 분모만을 가지고 작업합니다.

로그 수식. 로그 예제 솔루션.

우리는 거기에 있는 로그의 밑수와 인수를 거듭제곱의 형태로 제시하고 지수를 제거했습니다. 우리는 "3층" 분수를 얻었습니다.

이제 주요 분수를 살펴 보겠습니다. 분자와 분모에는 동일한 숫자인 log2 7이 포함됩니다. log2 7 ≠ 0이므로 분수를 줄일 수 있습니다. 2/4는 분모에 남아 있습니다. 산술 규칙에 따라 4개는 분자로 옮겨질 수 있으며, 이것이 이루어졌습니다. 그 결과는 2번이었습니다.

새로운 기반으로의 전환

로그의 덧셈과 뺄셈 규칙에 대해 말하면서 나는 로그가 동일한 밑수에서만 작동한다는 점을 특히 강조했습니다. 이유가 다르다면? 만약 같은 수의 정확한 거듭제곱이 아니라면 어떻게 될까요?

새로운 기반으로의 전환을 위한 공식이 구출되었습니다. 정리의 형태로 공식화합시다.

로그 logax를 주어 보겠습니다. 그런 다음 c > 0이고 c ≠ 1인 임의의 숫자 c에 대해 동등성은 참입니다.

특히 c = x로 설정하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

두 번째 공식에서는 로그의 밑과 인수를 바꿀 수 있지만 이 경우 전체 표현식이 "뒤집어집니다". 로그는 분모에 나타납니다.

이러한 공식은 일반적인 수치 표현에서는 거의 발견되지 않습니다. 결정을 통해서만 얼마나 편리한 지 평가할 수 있습니다. 대수 방정식그리고 불평등.

그러나 새로운 기반으로 이전하지 않으면 전혀 해결할 수 없는 문제가 있다. 다음 중 몇 가지를 살펴보겠습니다.

일. log5 16 log2 25 표현식의 값을 찾습니다.

두 로그의 인수에는 정확한 거듭제곱이 포함되어 있습니다. 표시기를 꺼내 보겠습니다. log5 16 = log5 24 = 4log5 2; 로그2 25 = 로그2 52 = 2로그2 5;

이제 두 번째 로그를 "역전"시켜 보겠습니다.

요소를 재배열해도 곱이 변하지 않기 때문에 차분하게 4와 2를 곱한 뒤 로그를 다루었습니다.

일. log9 100 lg 3 표현식의 값을 찾으세요.

첫 번째 로그의 밑수와 인수는 정확한 거듭제곱입니다. 이것을 기록하고 지표를 제거합시다.

이제 새로운 밑수로 이동하여 십진 로그를 제거해 보겠습니다.

기본 로그 항등식

풀이 과정에서 숫자를 주어진 밑수에 대한 로그로 표현해야 하는 경우가 종종 있습니다. 이 경우 다음 공식이 도움이 될 것입니다.

첫 번째 경우에는 숫자 n이 인수의 지수가 됩니다. 숫자 n은 단지 로그 값이기 때문에 무엇이든 될 수 있습니다.

두 번째 공식은 실제로 다른 말로 표현된 정의입니다. 그것이 바로 이름입니다: .

실제로 숫자 b를 이 거듭제곱하여 숫자 a를 제공하면 어떻게 될까요? 맞습니다. 결과는 같은 숫자 a입니다. 이 단락을 다시 주의 깊게 읽으십시오. 많은 사람들이 이 단락에서 막히게 됩니다.

새로운 진수로 이동하기 위한 공식과 마찬가지로, 기본 로그 항등식은 때때로 유일한 해법입니다.

일. 표현의 의미를 찾으십시오.

log25 64 = log5 8 - 단순히 로그의 밑과 인수에서 제곱을 취했다는 점에 유의하세요. 동일한 밑수로 거듭제곱을 곱하는 규칙을 고려하면 다음을 얻습니다.

모르는 사람이 있다면 이것은 통합 상태 시험의 실제 작업이었습니다 :)

로그 단위 및 로그 0

결론적으로 나는 속성이라고 부르기 어려운 두 가지 항등식을 제시할 것입니다. 오히려 그것은 로그 정의의 결과입니다. 그들은 끊임없이 문제에 나타나며 놀랍게도 "고급" 학생들에게도 문제를 일으킵니다.

logaa = 1 입니다. 한 번만 기억하세요. 밑수 자체의 밑수 a에 대한 로그는 1과 같습니다.
로그 1 = 0입니다. 밑수 a는 무엇이든 될 수 있지만 인수에 하나가 포함되어 있으면 로그는 0과 같습니다! a0 = 1은 정의의 직접적인 결과이기 때문입니다.

그것이 모든 속성입니다. 반드시 실천에 옮기는 연습을 하세요! 수업 시작 시 치트 시트를 다운로드하여 인쇄한 후 문제를 해결하세요.

또한보십시오:

밑수 a에 대한 b의 로그는 표현식을 나타냅니다. 로그를 계산한다는 것은 동등성이 충족되는 거듭제곱 x()를 찾는 것을 의미합니다.

로그의 기본 속성

로그와 관련된 거의 모든 문제와 예제가 이를 기반으로 해결되므로 위의 속성을 알아야 합니다. 나머지 이국적인 특성은 다음 공식을 사용한 수학적 조작을 통해 파생될 수 있습니다.

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로그의 합과 차이(3.4)에 대한 공식을 계산할 때 꽤 자주 접하게 됩니다. 나머지는 다소 복잡하지만 여러 작업에서 복잡한 표현식을 단순화하고 값을 계산하는 데 없어서는 안 될 요소입니다.

로그의 일반적인 경우

상용 로그 중 일부는 밑이 10, 지수 또는 2인 로그입니다.
밑이 10인 로그는 일반적으로 십진 로그라고 불리며 간단히 lg(x)로 표시됩니다.

녹음에 기본적인 내용이 적혀 있지 않다는 것은 녹음을 통해 분명합니다. 예를 들어

자연 로그는 밑이 지수(ln(x)로 표시됨)인 로그입니다.

지수는 2.718281828… 지수를 기억하려면 규칙을 공부할 수 있습니다. 지수는 2.7과 같고 Leo Nikolaevich Tolstoy 탄생 연도의 두 배입니다. 이 규칙을 알면 지수의 정확한 값과 레오 톨스토이의 생년월일을 모두 알 수 있습니다.

그리고 밑이 2인 또 다른 중요한 로그는 다음과 같이 표시됩니다.

함수 로그의 미분은 1을 변수로 나눈 값과 같습니다.

적분 또는 역도함수 로그는 다음 관계에 의해 결정됩니다.

주어진 자료는 로그 및 로그와 관련된 광범위한 문제를 해결하는 데 충분합니다. 자료의 이해를 돕기 위해 다음의 몇 가지 일반적인 예를 들어 보겠습니다. 학교 커리큘럼그리고 대학.

로그의 예

로그 표현식

예시 1.
ㅏ). x=10ac^2(a>0,c>0).

속성 3.5를 사용하여 계산합니다.

2.
로그의 차이의 성질에 의해 우리는

3.
속성 3.5를 사용하여 우리는 다음을 찾습니다.

4. 어디 .

겉보기에 복잡해 보이는 표현은 여러 규칙을 사용하여 단순화되어 형성됩니다.

로그 값 찾기

예 2. 다음 경우 x 찾기

해결책. 계산을 위해 마지막 항 5 및 13 속성에 적용됩니다.

기록에 남기고 애도한다

밑이 동일하므로 표현식을 동일시합니다.

로그. 첫 번째 수준.

로그의 값을 주어보자

다음과 같은 경우 log(x)를 계산합니다.

해결책: 변수의 로그를 취하여 항의 합을 통해 로그를 작성해 봅시다.

이것은 로그와 그 속성에 대한 우리의 지식의 시작일뿐입니다. 계산을 연습하고 실용적인 기술을 강화하세요. 곧 로그 방정식을 풀기 위해 얻는 지식이 필요할 것입니다. 그러한 방정식을 풀기 위한 기본 방법을 연구한 후, 우리는 대수 부등식이라는 또 다른 중요한 주제에 대한 지식을 확장할 것입니다...

로그의 기본 속성

로그 더하기 및 빼기

밑이 동일한 두 개의 로그(logax와 logay)를 생각해 보세요. 그런 다음 더하고 뺄 수 있으며 다음과 같습니다.

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x:y).

따라서 로그의 합은 곱의 로그와 같고 그 차이는 몫의 로그와 같습니다. 참고하세요: 여기서 핵심은 다음과 같습니다. 동일한 근거. 이유가 다르면 이 규칙은 적용되지 않습니다!

일. log6 4 + log6 9 표현식의 값을 찾습니다.

로그는 밑이 동일하므로 합계 공식을 사용합니다.
로그6 4 + 로그6 9 = 로그6 (4 9) = 로그6 36 = 2.

일. 다음 표현식의 값을 찾습니다: log2 48 − log2 3.

기본은 동일하므로 차이 공식을 사용합니다.
로그2 48 - 로그2 3 = 로그2(48:3) = 로그2 16 = 4.

일. 다음 표현식의 값을 찾습니다: log3 135 − log3 5.

이번에도 기본은 동일하므로 다음과 같습니다.
로그3 135 - 로그3 5 = 로그3(135:5) = 로그3 27 = 3.

보시다시피 원래 표현식은 별도로 계산되지 않는 "나쁜" 로그로 구성됩니다. 그러나 변환 후에는 완전히 정상적인 숫자가 얻어집니다. 많은 테스트가 이 사실을 기반으로 합니다. 예, 통합 국가 시험에서는 시험과 같은 표현이 진지하게(때로는 거의 변경 없이) 제공됩니다.

로그에서 지수 추출하기

이제 작업을 조금 복잡하게 만들어 보겠습니다. 로그의 밑수 또는 인수가 거듭제곱이면 어떻게 되나요? 그런 다음 이 정도의 지수는 다음 규칙에 따라 로그 부호에서 제거될 수 있습니다.

물론 로그의 ODZ가 관찰되면(a > 0, a ≠ 1, x > 0) 이러한 모든 규칙이 의미가 있습니다. 그리고 한 가지 더: 모든 수식을 왼쪽에서 오른쪽으로 적용하는 방법뿐만 아니라 그 반대로도 적용하는 방법을 배우십시오. , 즉. 로그 자체에 로그 기호 앞에 숫자를 입력할 수 있습니다.

로그를 푸는 방법

이것이 가장 자주 요구되는 것입니다.

일. 다음 표현식의 값을 찾으세요: log7 496.

첫 번째 공식을 사용하여 인수의 정도를 제거해 보겠습니다.
로그7 496 = 6 로그7 49 = 6 2 = 12

일. 표현의 의미를 찾으십시오.

분모에는 로그가 포함되어 있으며 밑과 인수는 정확한 거듭제곱입니다. 16 = 24; 49 = 72. 우리는 다음을 가집니다:

마지막 예에는 약간의 설명이 필요하다고 생각합니다. 로그는 어디로 갔나요? 마지막 순간까지 우리는 분모만을 가지고 작업합니다. 우리는 거기에 있는 로그의 밑수와 인수를 거듭제곱의 형태로 제시하고 지수를 제거했습니다. 우리는 "3층" 분수를 얻었습니다.

새로운 기반으로의 전환

새로운 기반으로의 전환을 위한 공식이 구출되었습니다. 정리의 형태로 공식화합시다.

로그 logax를 주어 보겠습니다. 그런 다음 c > 0이고 c ≠ 1인 임의의 숫자 c에 대해 동등성은 참입니다.

특히 c = x로 설정하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

두 번째 공식에서는 로그의 밑과 인수를 바꿀 수 있지만 이 경우 전체 표현식이 "뒤집어집니다". 로그는 분모에 나타납니다.

이러한 공식은 일반적인 수치 표현에서는 거의 발견되지 않습니다. 로그 방정식과 부등식을 풀 때만 얼마나 편리한지 평가할 수 있습니다.

그러나 새로운 기반으로 이전하지 않으면 전혀 해결할 수 없는 문제가 있다. 다음 중 몇 가지를 살펴보겠습니다.

일. log5 16 log2 25 표현식의 값을 찾습니다.

두 로그의 인수에는 정확한 거듭제곱이 포함되어 있습니다. 표시기를 꺼내 보겠습니다. log5 16 = log5 24 = 4log5 2; 로그2 25 = 로그2 52 = 2로그2 5;

이제 두 번째 로그를 "역전"시켜 보겠습니다.

요소를 재배열해도 곱이 변하지 않기 때문에 차분하게 4와 2를 곱한 뒤 로그를 다루었습니다.

일. log9 100 lg 3 표현식의 값을 찾으세요.

첫 번째 로그의 밑수와 인수는 정확한 거듭제곱입니다. 이것을 기록하고 지표를 제거합시다.

이제 새로운 밑수로 이동하여 십진 로그를 제거해 보겠습니다.

기본 로그 항등식

풀이 과정에서 숫자를 주어진 밑수에 대한 로그로 표현해야 하는 경우가 종종 있습니다. 이 경우 다음 공식이 도움이 될 것입니다.

첫 번째 경우에는 숫자 n이 인수의 지수가 됩니다. 숫자 n은 단지 로그 값이기 때문에 무엇이든 될 수 있습니다.

두 번째 공식은 실제로 다른 말로 표현된 정의입니다. 그것이 바로 이름입니다: .

새로운 진수로 이동하기 위한 공식과 마찬가지로, 기본 로그 항등식은 때때로 유일한 해법입니다.

일. 표현의 의미를 찾으십시오.

log25 64 = log5 8 - 단순히 로그의 밑과 인수에서 제곱을 취했다는 점에 유의하세요. 동일한 밑수로 거듭제곱을 곱하는 규칙을 고려하면 다음을 얻습니다.

모르는 사람이 있다면 이것은 통합 상태 시험의 실제 작업이었습니다 :)

로그 단위 및 로그 0

logaa = 1 입니다. 한 번만 기억하세요. 밑수 자체의 밑수 a에 대한 로그는 1과 같습니다.
로그 1 = 0입니다. 밑수 a는 무엇이든 될 수 있지만 인수에 하나가 포함되어 있으면 로그는 0과 같습니다! a0 = 1은 정의의 직접적인 결과이기 때문입니다.

그것이 모든 속성입니다. 반드시 실천에 옮기는 연습을 하세요! 수업 시작 시 치트 시트를 다운로드하여 인쇄한 후 문제를 해결하세요.

숫자의 로그 N 기반으로 ㅏ 지수라고 함 엑스 , 이를 구축해야 합니다. ㅏ 번호를 얻으려고 N

제공되는
,
,

로그의 정의로부터 다음과 같습니다:
, 즉.
- 이 평등은 기본 로그 항등식입니다.

밑이 10인 로그를 십진 로그라고 합니다. 대신에
쓰다
.

밑수에 대한 로그 이자형 자연이라고 불리며 지정되었습니다.
.

로그의 기본 속성.

1의 로그는 모든 밑수에 대해 0과 같습니다.

제품의 로그 합계와 동일요인의 로그.

3) 몫의 로그는 로그의 차이와 같습니다.

요인
로그에서 밑으로의 전환 계수라고 함 ㅏ 밑바닥의 로그에 비 .

속성 2-5를 사용하면 복잡한 표현식의 로그를 로그에 대한 간단한 산술 연산의 결과로 줄이는 것이 가능한 경우가 많습니다.

예를 들어,

이러한 로그 변환을 로그라고 합니다. 로그에 대한 역변환을 강화라고 합니다.

2 장. 고등 수학의 요소.

1. 한도

기능의 한계
다음과 같이 유한수 A는 다음과 같습니다. xx 0 미리 정해진 각각에 대해
, 그런 숫자가 있어요
그 즉시
, 저것
.

한계가 있는 함수는 극소량만큼 다릅니다.
, 여기서 - b.m.v., 즉
.

예. 기능을 고려하십시오
.

노력할 때
, 기능 와이 0이 되는 경향이 있습니다:

1.1. 극한에 관한 기본 정리.

상수 값의 극한은 이 상수 값과 같습니다.

유한한 수의 함수의 합(차)의 극한은 이러한 함수의 극한의 합(차)과 같습니다.

유한한 수의 함수의 곱의 극한은 이러한 함수의 극한의 곱과 같습니다.

두 함수의 몫의 극한은 분모의 극한이 0이 아닌 경우 이러한 함수의 극한의 몫과 같습니다.

놀라운 한계

,
, 어디

1.2. 한도 계산 예시

그러나 모든 한계가 그렇게 쉽게 계산되는 것은 아닙니다. 종종 한계를 계산하면 유형의 불확실성이 드러납니다. 또는 .

2. 함수의 파생

함수를 하나 가지자
, 세그먼트에서 연속
.

논쟁 좀 늘었어
. 그러면 함수는 증가분을 받게 됩니다.
.

인수 값 함수 값에 해당합니다.
.

인수 값
함수 값에 해당합니다.

따라서, .

이 비율의 극한을 다음에서 찾아보자.
. 이 극한이 존재하면 이를 주어진 함수의 도함수라고 합니다.

정의 3 주어진 함수의 파생
논쟁으로 인수의 증가가 임의로 0이 되는 경향이 있을 때 인수의 증가에 대한 함수의 증가 비율의 한계라고 합니다.

함수의 파생
다음과 같이 지정할 수 있습니다.

; ; ; .

정의 4함수의 미분을 찾는 작업을 다음과 같이 부릅니다. 분화.

2.1. 파생어의 기계적 의미.

일부 강체나 재료 점의 직선 운동을 생각해 봅시다.

어느 시점에 보자 이동점
멀리 떨어져 있었다 시작 위치에서
.

일정 시간이 지나면
그녀는 멀리 이사했다
. 태도 =- 재료 지점의 평균 속도
. 다음을 고려하여 이 비율의 극한을 찾아봅시다.
.

결과적으로, 물질 점의 순간 이동 속도를 결정하는 것은 시간에 대한 경로의 미분을 찾는 것으로 축소됩니다.

2.2. 도함수의 기하학적 값

그래픽으로 정의된 함수를 만들어 보겠습니다.
.

쌀. 1. 도함수의 기하학적 의미

만약에
, 다음을 가리킨다
, 곡선을 따라 이동하여 점에 접근합니다.
.

따라서
, 즉. 주어진 인수 값에 대한 도함수 값 주어진 점에서 축의 양의 방향과 접선이 이루는 각도의 접선과 수치적으로 같습니다.
.

2.3. 기본 차별화 공식 표.

전력 기능

지수 함수

로그 함수

삼각함수

역삼각함수

2.4. 차별화 규칙.

파생어

함수의 합(차)의 미분

두 함수의 곱의 파생

두 함수의 몫의 파생

2.5. 복잡한 함수의 파생물입니다.

기능을 부여하자
형태로 표현될 수 있도록

그리고
, 여기서 변수는 중간 논증이라면

복소 함수의 도함수는 중간 인수에 대한 주어진 함수의 도함수와 x에 대한 중간 인수의 도함수를 곱한 것과 같습니다.

예시 1.

예시 2.

3. 미분 기능.

있게 해주세요
, 어떤 간격으로 미분 가능
놔줘 ~에 이 함수에는 파생이 있습니다

그럼 우리 쓸 수 있어

(1),

어디 - 무한한 양,

언제부터

모든 평등 조건 (1)에 다음을 곱합니다.
우리는:

어디
- b.m.v. 더 높은 순서.

크기
함수의 미분이라고 함
지정되어 있으며

3.1. 미분의 기하학적 값입니다.

기능을 부여하자
.

그림 2. 미분의 기하학적 의미.

분명히 함수의 미분은
주어진 지점에서 접선의 세로좌표의 증분과 같습니다.

3.2. 다양한 주문의 파생 상품과 미분 상품.

만약 거기에
, 그 다음에
1차 파생상품이라고 합니다.

1차 도함수의 도함수를 2차 도함수라고 하며 다음과 같이 씁니다.
.

함수의 n차 도함수
는 (n-1)차 도함수라고 불리며 다음과 같이 쓰여집니다:

함수의 미분의 미분을 2차 미분 또는 2차 미분이라고 합니다.

.

.

3.3 분화를 이용하여 생물학적 문제를 해결합니다.

작업 1. 연구에 따르면 미생물 군집의 성장은 법을 준수하는 것으로 나타났습니다.
, 어디 N – 미생물 수(천 단위), 티 – 시간(일).

b) 이 기간 동안 식민지의 인구가 증가할 것인가, 감소할 것인가?

답변. 식민지의 크기가 증가합니다.

작업 2. 병원성 박테리아의 함량을 모니터링하기 위해 호수의 물을 주기적으로 테스트합니다. 을 통해 티 테스트 후 며칠 후 박테리아의 농도는 비율에 따라 결정됩니다.

호수의 박테리아 농도는 언제 최소가 되며 수영이 가능합니까?

해결 방법: 함수의 도함수가 0일 때 함수는 최대 또는 최소에 도달합니다.

최대값 또는 최소값이 6일 후인지 결정해 보겠습니다. 이를 위해 2차 미분을 살펴보겠습니다.

대답: 6일 후에는 박테리아 농도가 최소 수준이 됩니다.

이 글의 초점은 로그. 여기서 우리는 로그의 정의를 제시할 것입니다. 승인된 지정, 로그의 예를 제시하고 자연 로그와 십진 로그에 대해 이야기하겠습니다. 그 후에 우리는 기본 로그 항등식을 고려할 것입니다.

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로그의 정의

로그의 개념은 특정 역의 의미로 문제를 풀 때, 즉 지수를 찾아야 할 때 발생합니다. 알려진 값학위 및 알려진 기초.

하지만 서문이 충분하므로 이제 "로그란 무엇입니까?"라는 질문에 답할 시간입니다. 이에 상응하는 정의를 제시해 보겠습니다.

정의.

밑수 a에 대한 b의 로그여기서 a>0, a≠1 및 b>0은 결과적으로 b를 얻기 위해 숫자 a를 높여야 하는 지수입니다.

이 단계에서 우리는 "로그"라는 단어가 즉시 "어떤 수"와 "어떤 기준으로"라는 두 가지 후속 질문을 제기해야 한다는 점에 주목합니다. 즉, 단순히 로그가 없고 어떤 밑수에 대한 로그만 있습니다.

바로 들어가자 로그 표기법: 밑수 a에 대한 숫자 b의 로그는 일반적으로 log a b로 표시됩니다. 밑수 e에 대한 숫자 b의 로그와 밑수 10에 대한 로그는 각각 고유한 특수 지정인 lnb 및 logb를 갖습니다. 즉, log e b가 아닌 lnb, log 10 b가 아닌 lgb를 씁니다.

이제 우리는 다음을 제공할 수 있습니다: .
그리고 기록은 의미가 없습니다. 첫 번째에는 로그 기호 아래에 음수가 있고 두 번째에는 밑수에 음수가 있고 세 번째에는 로그 기호 아래에 음수가 있고 단위가 있기 때문입니다. 베이스.

이제 이야기 해 봅시다 로그를 읽는 규칙. log a b 표기법은 "b를 밑으로 하는 a의 로그"로 읽습니다. 예를 들어, log 2 3은 밑이 2인 3의 로그이고 밑이 2인 2.2/3의 로그입니다. 제곱근다섯 개 중. 밑수 e에 대한 로그는 다음과 같습니다. 자연로그, 표기법 lnb는 "b의 자연 로그"를 읽습니다. 예를 들어, ln7은 7의 자연로그이고 우리는 이를 pi의 자연로그로 읽습니다. 밑이 10인 로그에는 특별한 이름도 있습니다. 십진 로그, lgb는 "b의 십진 로그"로 읽습니다. 예를 들어, lg1은 1의 십진 로그이고, lg2.75는 2.75/100의 십진 로그입니다.

로그의 정의가 제공되는 조건 a>0, a≠1 및 b>0에 대해 별도로 설명할 가치가 있습니다. 이러한 제한이 어디서 오는지 설명하겠습니다. 위에 주어진 로그의 정의를 직접 따르는 이라는 형태의 상등은 우리가 이를 수행하는 데 도움이 될 것입니다.

a≠1부터 시작해 보겠습니다. 1의 거듭제곱은 1과 같기 때문에 b=1인 경우에만 동등성이 성립할 수 있지만 log 1 1 은 임의의 실수일 수 있습니다. 이러한 모호성을 피하기 위해 a≠1이 가정됩니다.

조건 a>0의 편의를 정당화해 보겠습니다. a=0이면 로그의 정의에 따라 동등성을 갖게 되며 이는 b=0에서만 가능합니다. 그러나 log 0 0 은 0이 아닌 실수일 수 있습니다. 0의 0이 아닌 거듭제곱은 0이기 때문입니다. 조건 a≠0을 사용하면 이러한 모호성을 피할 수 있습니다. 그리고 언제<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

마지막으로, 조건 b>0은 부등식 a>0으로부터 도출되며, 양의 밑수 a를 갖는 거듭제곱의 값은 항상 양수입니다.

이 점을 결론적으로 말하자면, 로그의 명시된 정의를 통해 로그 기호 아래의 숫자가 밑수의 특정 거듭제곱일 때 로그 값을 즉시 나타낼 수 있다고 가정해 보겠습니다. 실제로 로그의 정의를 통해 b=a p이면 밑수 a에 대한 숫자 b의 로그는 p와 같다고 말할 수 있습니다. 즉, 등호 로그 a a p =p가 참입니다. 예를 들어, 2 3 =8이면 log 2 8=3이라는 것을 알 수 있습니다. 이에 대해 기사에서 더 자세히 이야기하겠습니다.

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관련하여

주어진 다른 두 숫자에서 세 숫자 중 하나를 찾는 작업을 설정할 수 있습니다. a와 N이 주어지면 지수법으로 구합니다. N과 a가 x차의 근을 취하여(또는 이를 거듭제곱하여) 주어지는 경우. 이제 a와 N이 주어졌을 때 x를 찾아야 하는 경우를 생각해 보세요.

숫자 N을 양수로 설정합니다. 숫자 a는 양수이고 1과 같지 않습니다.

정의. 밑수 a에 대한 숫자 N의 로그는 숫자 N을 얻기 위해 a를 올려야 하는 지수입니다. 로그는 다음과 같이 표시됩니다.

따라서 등식(26.1)에서 지수는 밑수 a에 대한 N의 로그로 구됩니다. 게시물

같은 의미를 가지고 있습니다. 평등(26.1)은 때때로 로그 이론의 주요 정체성으로 불립니다. 실제로 이는 로그 개념의 정의를 표현합니다. 에 의해 이 정의로그 a의 밑은 항상 양수이고 1과 다릅니다. 로그 숫자 N은 양수입니다. 음수와 0에는 로그가 없습니다. 주어진 밑을 가진 모든 숫자는 잘 정의된 로그를 갖는다는 것을 증명할 수 있습니다. 그러므로 평등은 다음을 수반한다. 여기서 조건은 필수적입니다. 그렇지 않으면 x와 y의 모든 값에 대해 동일성이 적용되므로 결론이 정당화되지 않습니다.

예시 1. 찾기

해결책. 숫자를 얻으려면 밑수 2를 거듭제곱해야 합니다.

이러한 예를 풀 때 다음 형식으로 메모할 수 있습니다.

예 2. 찾기 .

해결책. 우리는

예제 1과 2에서는 로그 수를 유리수 지수로 거듭제곱하여 원하는 로그를 쉽게 찾았습니다. 예를 들어 일반적인 경우에는 로그가 비합리적인 값을 갖기 때문에 이를 수행할 수 없습니다. 이 진술과 관련된 한 가지 문제에 주목합시다. 단락 12에서 우리는 주어진 양수의 실수 거듭제곱을 결정할 가능성에 대한 개념을 제시했습니다. 이는 일반적으로 무리수일 수 있는 로그를 도입하는 데 필요했습니다.

로그의 몇 가지 속성을 살펴보겠습니다.

속성 1. 숫자와 밑이 같으면 로그는 1이고, 반대로 로그가 1이면 숫자와 밑은 같습니다.

증거. 우리가 가지고 있는 로그의 정의에 따라

반대로, 정의에 따라 Then

속성 2. 1의 밑수에 대한 로그는 0과 같습니다.

증거. 로그의 정의에 따르면(양수 밑의 0 거듭제곱은 1과 같습니다. (10.1)을 참조하세요). 여기에서

Q.E.D.

반대의 진술도 참입니다: if 이면 N = 1입니다. 실제로 우리는 입니다.

로그의 다음 속성을 공식화하기 전에 두 숫자 a와 b가 둘 다 c보다 크거나 c보다 작을 경우 세 번째 숫자 c의 같은 쪽에 있다고 가정하겠습니다. 이 숫자 중 하나가 c보다 크고 다른 숫자가 c보다 작으면 우리는 그 숫자가 c보다 크다고 말할 것입니다. 다른 측면마을에서

속성 3. 숫자와 밑이 1의 같은 쪽에 있으면 로그는 양수입니다. 숫자와 밑이 1의 반대쪽에 있으면 로그는 음수입니다.

속성 3의 증명은 밑이 1보다 크고 지수가 양수이거나 밑이 1보다 작고 지수가 음수인 경우 a의 거듭제곱이 1보다 크다는 사실에 기초합니다. 밑이 1보다 크고 지수가 음수이거나 밑이 1보다 작고 지수가 양수이면 거듭제곱은 1보다 작습니다.

고려해야 할 네 가지 경우가 있습니다.

우리는 그 중 첫 번째 부분만을 분석할 것이며, 나머지 부분은 독자가 스스로 고려할 것입니다.

그러면 등식에서 지수는 음수가 될 수도 없고 0과 같을 수도 없으므로 양수입니다. 즉, 증명이 필요합니다.

예 3. 아래 로그 중 양수와 음수를 알아보세요.

해결책, a) 숫자 15와 밑면 12가 하나의 같은 쪽에 위치하므로;

b) 1000과 2가 장치의 한쪽에 있기 때문입니다. 이 경우 밑이 로그 수보다 큰 것은 중요하지 않습니다.

c) 3.1과 0.8은 일치의 반대편에 있기 때문에;

G) ; 왜?

d) ; 왜?

다음 속성 4-6은 종종 로그 규칙이라고 불립니다. 일부 숫자의 로그를 알고 각 제품의 로그, 몫 및 차수를 찾을 수 있습니다.

속성 4(곱 로그 규칙). 주어진 밑수에 대한 여러 양수의 곱의 로그는 동일한 밑수에 대한 이들 숫자의 로그의 합과 같습니다.

증거. 주어진 숫자를 양수로 둡니다.

곱의 로그에 대해 로그를 정의하는 등식(26.1)을 작성합니다.

여기에서 우리는 찾을 것입니다

첫 번째 표현식과 마지막 표현식의 지수를 비교하여 필요한 동등성을 얻습니다.

조건은 필수입니다. 두 음수의 곱에 대한 로그는 의미가 있지만 이 경우에는 다음을 얻습니다.

일반적으로 여러 요소의 곱이 양수이면 해당 로그는 이러한 요소의 절대값에 대한 로그의 합과 같습니다.

속성 5(몫의 로그를 취하는 규칙). 양수 몫의 로그는 피제수와 제수를 동일한 밑수로 취한 로그 간의 차이와 같습니다. 증거. 우리는 꾸준히 찾아

Q.E.D.

속성 6(멱대수 법칙). 임의의 양수의 거듭제곱에 대한 로그는 해당 숫자의 로그에 지수를 곱한 것과 같습니다.

증거. 숫자의 주요 동일성(26.1)을 다시 작성해 보겠습니다.

Q.E.D.

결과. 양수의 근의 로그는 근의 지수로 나눈 근호의 로그와 같습니다.

이 결과의 타당성은 속성 6을 어떻게 사용하는지 상상함으로써 입증될 수 있습니다.

예 4. a를 밑으로 로그를 취합니다.

a) (b, c, d, e 값은 모두 양수라고 가정합니다)

b) (라고 가정합니다).

해결책, a) 다음 식에서 분수 거듭제곱으로 가는 것이 편리합니다.

등식 (26.5)-(26.7)을 기반으로 이제 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

우리는 숫자 자체보다 숫자의 로그에 대해 더 간단한 연산이 수행된다는 것을 알 수 있습니다. 숫자를 곱할 때 로그가 더해지고, 나눌 때 빼는 등의 작업이 수행됩니다.

이것이 컴퓨팅 실무에서 로그가 사용되는 이유입니다(문단 29 참조).

로그의 역작용을 강화라고 합니다. 즉, 강화는 숫자의 주어진 로그에서 숫자 자체를 찾는 작용입니다. 본질적으로 강화는 특별한 행동이 아닙니다. 밑을 거듭제곱(숫자의 로그와 동일)으로 높이는 것입니다. "강화"라는 용어는 "지수화"라는 용어와 동의어로 간주될 수 있습니다.

전위화할 때 로그 규칙과 반대되는 규칙을 사용해야 합니다. 즉, 로그의 합을 곱의 로그로 바꾸고, 로그의 차이를 몫의 로그로 바꾸는 등입니다. 특히 앞에 요소가 있는 경우 로그 부호의 경우, 강화 동안 로그 부호 아래의 지수 도로 변환되어야 합니다.

예 5. 다음이 알려진 경우 N을 찾습니다.

해결책. 방금 언급한 강화 규칙과 관련하여, 우리는 이 등식의 오른쪽에 있는 로그 기호 앞에 있는 인수 2/3과 1/3을 이러한 로그 기호 아래의 지수로 전환할 것입니다. 우리는 얻는다

이제 로그의 차이를 몫의 로그로 바꿉니다.

이 등식 사슬의 마지막 분수를 얻기 위해 우리는 분모의 비합리성에서 이전 분수를 해방했습니다(25절).

속성 7. 밑수가 1보다 크면 더 큰 숫자밑이 1보다 작으면 더 큰 숫자는 더 작은 로그를 갖습니다(그리고 더 작은 숫자는 더 큰 로그를 갖습니다).

이 속성은 또한 양쪽이 양수인 부등식의 로그를 취하는 규칙으로 공식화됩니다.

1보다 큰 밑수에 부등식을 로그하면 부등식의 부호가 유지되고, 1보다 작은 밑수에 로그하면 불평등의 부호가 반대 방향으로 변경됩니다(문단 80 참조).

증명은 속성 5와 3을 기반으로 합니다. If , then 및 로그를 사용하여 다음을 얻는 경우를 고려하십시오.

(a와 N/M은 단위의 같은 쪽에 위치합니다). 여기에서

다음의 경우는 독자가 스스로 알아낼 것입니다.