예를 들어, 삼항식 \(3x^2+2x-7\)의 경우 판별식은 \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\)과 같습니다. 그리고 삼항식 \(x^2-5x+11\)의 경우 \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\)와 같습니다.

판별식은 \(D\)로 표시되며 풀이에 자주 사용됩니다. 또한 판별식의 값을 통해 그래프가 대략적으로 어떻게 보이는지 이해할 수 있습니다(아래 참조).

방정식의 판별식과 근

판별 값은 2차 방정식의 수를 표시합니다.
- \(D\)가 양수이면 방정식은 두 개의 근을 갖게 됩니다.
- \(D\)가 0인 경우 – 루트는 하나만 있습니다.
- \(D\)가 음수이면 근이 없습니다.

이것은 가르칠 필요가 없으며, 방정식의 근을 계산하기 위한 공식에 판별식(즉, \(\sqrt(D)\)이 포함되어 있다는 것만 알면 그러한 결론에 도달하는 것은 어렵지 않습니다. : \(x_(1)=\)\(\ frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) 및 \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D ))(2a)\).각 사례를 더 자세히 살펴보겠습니다.

판별식이 양수인 경우

이 경우 루트는 양수이며, 이는 \(x_(1)\)과 \(x_(2)\)가 서로 다른 의미를 갖는다는 것을 의미합니다. 왜냐하면 첫 번째 공식 \(\sqrt(D)\에서 )이 추가되고 두 ​​번째에서는 뺍니다. 그리고 우리는 서로 다른 두 가지 뿌리를 가지고 있습니다.

예 : 방정식 \(x^2+2x-3=0\)의 근을 구합니다.
해결책 :

답변 : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)

판별식이 0인 경우

판별식이 0이면 근은 몇 개입니까? 추론해보자.

루트 공식은 다음과 같습니다: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) 및 \(x_(2)=\)\(\frac(- b- \sqrt(D))(2a)\) . 그리고 판별식이 0이면 근도 0입니다. 그런 다음 다음과 같이 밝혀졌습니다.

\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

즉, 0을 더하거나 빼도 아무 것도 바뀌지 않기 때문에 방정식의 근 값은 동일합니다.

예 : 방정식 \(x^2-4x+4=0\)의 근을 구합니다.
해결책 :

\(x^2-4x+4=0\)		계수를 작성합니다.
\(a=1;\) \(b=-4;\) \(c=4;\)		\(D=b^2-4ac\) 공식을 사용하여 판별식을 계산합니다.
\(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=\) \(=16-16=0\)		방정식의 근원 찾기
\(x_(1)=\) \(\frac(-(-4)+\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) \(x_(2)=\) \(\frac(-(-4)-\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\)		우리는 두 개의 동일한 뿌리를 가지고 있으므로 별도로 작성할 필요가 없습니다. 하나로 작성합니다.

답변 : \(x=2\)

이차 방정식 - 쉽게 풀 수 있습니다! *이하 'KU'라고 합니다.친구 여러분, 그러한 방정식을 푸는 것보다 수학에서 더 간단한 것은 없을 것 같습니다. 하지만 많은 사람들이 그에게 문제가 있다는 말을 들었습니다. 나는 Yandex가 한 달에 제공하는 주문형 노출 수를 확인하기로 결정했습니다. 무슨 일이 일어났는지 살펴보세요.

무슨 뜻이에요? 이는 한 달에 약 7만명이 이 정보를 찾고 있다는 뜻이며, 올 여름은 그것과 무슨 관련이 있으며, 이들 사이에는 어떤 일이 일어날 것인가? 학년— 요청이 두 배나 많아집니다. 오래 전에 학교를 졸업하고 통합 국가 시험을 준비하는 남학생과 여학생이이 정보를 찾고 있고 학생들도 기억을 되살리기 위해 노력하기 때문에 이는 놀라운 일이 아닙니다.

이 방정식을 푸는 방법을 알려주는 사이트가 많다는 사실에도 불구하고 저는 자료를 기고하고 게시하기로 결정했습니다. 첫째, 이 요청에 따라 방문자가 내 사이트를 방문하기를 원합니다. 둘째, 다른 글에서 'KU'라는 주제가 나오면 이 글의 링크를 걸어 놓겠습니다. 셋째, 다른 사이트에서 일반적으로 언급되는 것보다 그의 솔루션에 대해 조금 더 설명하겠습니다. 시작하자!기사 내용:

이차 방정식은 다음 형식의 방정식입니다.

여기서 계수 a,비c는 a≠0인 임의의 숫자입니다.

학교 과정에서 자료는 다음 형식으로 제공됩니다. 방정식은 세 가지 클래스로 나뉩니다.

1. 뿌리가 두 개 있다.

2. *루트가 하나만 있습니다.

3. 뿌리가 없습니다. 여기서는 실제 뿌리가 없다는 점에 특히 주목할 가치가 있습니다.

뿌리는 어떻게 계산되나요? 단지!

판별식을 계산합니다. 이 "끔찍한" 단어 밑에는 매우 간단한 공식이 숨어 있습니다.

루트 공식은 다음과 같습니다.

*이 공식을 외워야 합니다.

즉시 적어서 해결할 수 있습니다.

예:

1. D > 0이면 방정식에는 두 개의 근이 있습니다.

2. D = 0이면 방정식의 근은 하나입니다.

3. D인 경우< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

방정식을 살펴 보겠습니다.

이와 관련하여 판별자가 0과 같을 때 학교 과정에서는 하나의 근을 얻었고 여기서는 9와 같다고 말합니다. 모든 것이 정확하고 그렇습니다. 하지만 ...

이 생각은 다소 올바르지 않습니다. 사실 뿌리는 두 개입니다. 예, 예, 놀라지 마십시오. 두 개의 동일한 근을 얻고 수학적으로 정확하게 말하면 답은 두 개의 근을 써야 합니다.

엑스 1 = 3 엑스 2 = 3

그러나 이것은 그렇습니다-작은 여담입니다. 학교에서는 그것을 적어서 뿌리가 하나라고 말할 수 있습니다.

이제 다음 예는 다음과 같습니다.

우리가 알고 있듯이 음수의 근은 구할 수 없습니다. 이 경우아니요.

이것이 전체 결정 과정입니다.

이차 함수.

이는 솔루션이 기하학적으로 어떻게 보이는지 보여줍니다. 이는 이해하는 것이 매우 중요합니다(나중에 기사 중 하나에서 이차 부등식에 대한 솔루션을 자세히 분석할 것입니다).

이는 다음 형식의 함수입니다.

여기서 x와 y는 변수입니다.

가, 비, ㄷ – 주어진 숫자, 여기서 a ≠ 0

그래프는 포물선입니다.

즉, "y"가 0인 이차 방정식을 풀면 포물선과 x 축의 교차점을 찾는 것으로 나타났습니다. 이러한 점 중 두 개(판별자가 양수), 하나(판별자가 0) 및 없음(판별자가 음수)이 있을 수 있습니다. 에 대한 세부 정보 이차 함수 당신은 볼 수 있습니다 Inna Feldman의 기사.

예를 살펴보겠습니다:

예 1: 해결 2배 2 +8 엑스–192=0

a=2 b=8 c= -192

D=b 2 -4ac = 8 2 -4∙2∙(-192) = 64+1536 = 1600

답: x 1 = 8 x 2 = –12

*방정식의 좌변과 우변을 즉시 2로 나누는, 즉 단순화가 가능했습니다. 계산이 더 쉬울 것입니다.

예 2: 결정하다 x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

우리는 x 1 = 11 및 x 2 = 11임을 발견했습니다.

답에 x = 11을 쓰는 것이 허용됩니다.

답: x = 11

예시 3: 결정하다 x 2 -8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

판별식이 음수이므로 실수에는 해가 없습니다.

답: 해결책이 없다

판별자는 음수입니다. 해결책이 있습니다!

여기서는 음의 판별식이 얻어지는 경우 방정식을 푸는 방법에 대해 설명합니다. 에 대해 아는 게 있나요? 복소수? 나는 그들이 왜, 어디서 발생했는지, 그리고 수학에서 그들의 특정한 역할과 필요성이 무엇인지에 대해 여기서 자세히 다루지 않을 것입니다. 이것은 큰 별도의 기사의 주제입니다.

복소수의 개념.

약간의 이론.

복소수 z는 다음 형식의 숫자입니다.

z = a + bi

여기서 a와 b는 실수이고, i는 소위 허수 단위입니다.

a+bi – 이것은 추가가 아닌 단일 숫자입니다.

허수 단위는 마이너스 1의 루트와 같습니다.

이제 방정식을 고려하십시오.

우리는 두 개의 켤레근을 얻습니다.

불완전한 이차 방정식.

특별한 경우를 고려해 봅시다. 이는 계수 "b" 또는 "c"가 0과 같은 경우입니다(또는 둘 다 0과 같은 경우). 판별식 없이 쉽게 풀 수 있습니다.

사례 1. 계수 b = 0.

방정식은 다음과 같습니다.

변환해보자:

예:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

사례 2. 계수 c = 0.

방정식은 다음과 같습니다.

변환하고 인수분해해 보겠습니다.

*인수 중 하나 이상이 0인 경우 곱은 0과 같습니다.

예:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 또는 x–5 =0

엑스 1 = 0 엑스 2 = 5

사례 3. 계수 b = 0 및 c = 0.

여기서 방정식의 해는 항상 x = 0이라는 것이 분명합니다.

계수의 유용한 속성과 패턴.

계수가 큰 방정식을 풀 수 있는 속성이 있습니다.

ㅏ엑스 2 + bx+ 씨=0 평등이 유지된다

ㅏ + 비+c = 0,저것

- 방정식의 계수에 대한 경우 ㅏ엑스 2 + bx+ 씨=0 평등이 유지된다

ㅏ+ 씨 =비, 저것

이러한 속성은 특정 유형의 방정식을 푸는 데 도움이 됩니다.

예시 1: 5001 엑스 2 –4995 엑스 – 6=0

확률의 합은 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, 즉

예 2: 2501 엑스 2 +2507 엑스+6=0

평등이 유지됩니다 ㅏ+ 씨 =비, 수단

계수의 규칙성.

1. 방정식 ax 2 + bx + c = 0에서 계수 "b"가 (a 2 +1)과 같고 계수 "c"가 계수 "a"와 수치적으로 같으면 그 근은 같습니다.

도끼 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

예. 방정식 6x 2 + 37x + 6 = 0을 생각해 보세요.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. 방정식 ax 2 – bx + c = 0에서 계수 "b"가 (a 2 +1)과 같고 계수 "c"가 계수 "a"와 수치적으로 같으면 그 근은 같습니다.

도끼 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

예. 방정식 15x 2 –226x +15 = 0을 생각해 보세요.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. 방정식의 경우 ax 2 + bx – c = 0 계수 “b” (a 2 – 1) 및 계수 "c" 계수 "a"와 수치적으로 동일합니다., 그렇다면 그 뿌리는 같다

도끼 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

예. 방정식 17x 2 +288x – 17 = 0을 생각해 보세요.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. 방정식 ax 2 – bx – c = 0에서 계수 "b"가 (a 2 – 1)과 같고 계수 c가 수치적으로 계수 "a"와 같으면 그 근은 같습니다.

도끼 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

예. 방정식 10x 2 – 99x –10 = 0을 생각해 보세요.

x 1 = 10 x 2 = - 1/10

비에타의 정리.

비에타의 정리는 프랑스의 유명한 수학자 프랑수아 비에타(Francois Vieta)의 이름을 따서 명명되었습니다. Vieta의 정리를 사용하여 임의의 KU의 근의 합과 곱을 계수로 표현할 수 있습니다.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

전체적으로 숫자 14는 5와 9만 제공합니다. 이는 근입니다. 특정 기술을 사용하면 제시된 정리를 사용하여 많은 이차 방정식을 구두로 즉시 풀 수 있습니다.

게다가 비에타의 정리. 이차 방정식을 푼 후에 편리합니다. 평소대로(판별식을 통해) 결과 근을 확인할 수 있습니다. 나는 항상 이것을하는 것이 좋습니다.

운송 방법

이 방법을 사용하면 계수 "a"에 마치 "던져진" 것처럼 자유 항이 곱해집니다. 이것이 바로 호출되는 이유입니다. "이전" 방법.이 방법은 비에타의 정리(Vieta's theorem)를 사용하여 방정식의 근을 쉽게 찾을 수 있을 때, 그리고 가장 중요한 것은 판별식이 정제곱인 경우에 사용됩니다.

만약에 ㅏ± b+c≠ 0이면 전송 기술이 사용됩니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

2엑스 2 – 11엑스+ 5 = 0 (1) => 엑스 2 – 11엑스+ 10 = 0 (2)

방정식 (2)에서 Vieta의 정리를 사용하면 x 1 = 10 x 2 = 1임을 쉽게 결정할 수 있습니다.

방정식의 결과 근은 2로 나누어야 합니다(두 개가 x 2에서 "던져졌기" 때문에).

x 1 = 5 x 2 = 0.5.

근거는 무엇입니까? 무슨 일이 일어나고 있는지보세요.

방정식 (1)과 (2)의 판별식은 동일합니다.

방정식의 근을 보면 분모만 달라지고 결과는 정확하게 x 2의 계수에 따라 달라집니다.

두 번째(수정된) 것은 2배 더 큰 뿌리를 가지고 있습니다.

따라서 결과를 2로 나눕니다.

*3개를 다시 굴리면 결과가 3으로 나누어집니다.

답: x 1 = 5 x 2 = 0.5

평방 ur-ie 및 통합 국가 시험.

그 중요성에 대해 간략하게 말씀 드리겠습니다. 신속하게 결정할 수 있어야 하며 생각하지 않고 근과 판별식의 공식을 암기해야 합니다. 통합 상태 시험 과제에 포함된 많은 문제는 2차 방정식(기하 방정식 포함)을 푸는 것으로 요약됩니다.

주목할 만한 점!

1. 방정식을 작성하는 형식은 "암시적"일 수 있습니다. 예를 들어 다음 항목이 가능합니다.

15+ 9x 2 - 45x = 0 또는 15x+42+9x 2 - 45x=0 또는 15 -5x+10x 2 = 0.

그 사람을 데려와야 해 표준보기(결정할 때 혼란스럽지 않도록).

2. x는 알 수 없는 양이며 t, q, p, h 등의 다른 문자로 표시될 수 있다는 점을 기억하십시오.

첫 번째 수준

이차 방정식. 종합 가이드 (2019)

이차 방정식이라는 용어에서 핵심 단어는 '이차'입니다. 이는 방정식이 반드시 제곱된 변수(동일한 x)를 포함해야 하며, 3승(또는 그 이상)의 x가 있어서는 안 된다는 것을 의미합니다.

많은 방정식의 해는 정확히 풀이하는 것으로 귀결됩니다. 이차 방정식.

이것이 다른 방정식이 아니라 이차 방정식인지 확인하는 방법을 배워 보겠습니다.

예시 1.

분모를 제거하고 방정식의 각 항에 다음을 곱해 봅시다.

모든 것을 왼쪽으로 이동하고 X의 거듭제곱이 내림차순으로 항을 정렬해 보겠습니다.

이제 우리는 이 방정식이 이차 방정식이라고 자신있게 말할 수 있습니다!

예시 2.

왼쪽과 오른쪽에 다음을 곱합니다.

이 방정식은 원래 포함되어 있었지만 이차 방정식이 아닙니다!

예시 3.

모든 것에 다음을 곱해 봅시다:

무서운? 4도 및 2도... 그러나 대체하면 간단한 이차 방정식이 있음을 알 수 있습니다.

예시 4.

있는 것 같지만 좀 더 자세히 살펴보겠습니다. 모든 것을 왼쪽으로 이동해 보겠습니다.

보세요, 그것은 줄어들었고 이제 그것은 단순한 선형 방정식이 되었습니다!

이제 다음 방정식 중 어느 것이 2차 방정식이고 어느 방정식이 아닌지 스스로 결정해 보십시오.

예:

답변:

1. 정사각형;
2. 정사각형;
3. 정사각형이 아닙니다.
4. 정사각형이 아닙니다.
5. 정사각형이 아닙니다.
6. 정사각형;
7. 정사각형이 아닙니다.
8. 정사각형.

수학자들은 전통적으로 모든 이차 방정식을 다음 유형으로 나눕니다.

• 완전한 이차 방정식- 계수와 자유항 c가 0이 아닌 방정식(예제 참조). 또한, 완전한 이차 방정식 중에는 다음이 있습니다. 주어진- 이것은 계수가 있는 방정식입니다(예제 1의 방정식은 완전할 뿐만 아니라 축소되었습니다!).

• 불완전한 이차 방정식- 계수 및/또는 자유항 c가 0인 방정식:

  일부 요소가 누락되어 불완전합니다. 하지만 방정식에는 항상 x 제곱이 포함되어야 합니다!!! 그렇지 않으면 더 이상 이차 방정식이 아니라 다른 방정식이 됩니다.

그들은 왜 그런 구분을 생각해 냈습니까? X 제곱이 있는 것 같습니다. 괜찮습니다. 이 구분은 솔루션 방법에 따라 결정됩니다. 각각을 더 자세히 살펴보겠습니다.

불완전한 2차 방정식 풀기

먼저, 불완전한 이차 방정식을 푸는 데 집중하겠습니다. 훨씬 간단합니다!

불완전한 이차 방정식에는 다음과 같은 유형이 있습니다.

1. , 이 방정식에서 계수는 동일합니다.
2. , 이 방정식에서 자유항은 다음과 같습니다.
3. , 이 방정식에서 계수와 자유 항은 동일합니다.

1. 나. 추출하는 방법을 알고 있기 때문에 제곱근, 그러면 이 방정식으로 표현해보자

표현은 음수일 수도 있고 양수일 수도 있습니다. 두 개의 음수 또는 두 개의 양수를 곱할 때 결과는 항상 양수가 되기 때문에 제곱된 숫자는 음수가 될 수 없습니다. 즉, 그렇다면 방정식에는 해가 없습니다.

그리고 만약 그렇다면 우리는 두 개의 뿌리를 얻습니다. 이 공식을 외울 필요는 없습니다. 가장 중요한 것은 그것이 더 적을 수 없다는 것을 알고 항상 기억해야한다는 것입니다.

몇 가지 예를 해결해 봅시다.

예시 5:

방정식을 풀어보세요

이제 남은 것은 왼쪽과 오른쪽에서 루트를 추출하는 것뿐입니다. 결국 뿌리를 추출하는 방법을 기억하십니까?

답변:

음수 부호가 있는 뿌리를 절대 잊지 마세요!!!

예시 6:

방정식을 풀어보세요

답변:

예시 7:

방정식을 풀어보세요

오! 숫자의 제곱은 음수가 될 수 없습니다. 즉, 방정식은 다음과 같습니다.

뿌리가 없어!

뿌리가 없는 방정식의 경우 수학자들은 특별한 아이콘(빈 세트)을 생각해 냈습니다. 그리고 대답은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

답변:

따라서 이 이차 방정식에는 두 개의 근이 있습니다. 루트를 추출하지 않았으므로 여기에는 제한이 없습니다.
예시 8:

방정식을 풀어보세요

괄호에서 공통인수를 빼자:

따라서,

이 방정식에는 두 개의 근이 있습니다.

답변:

가장 간단한 유형의 불완전 이차 방정식입니다(비록 모두 간단하지만). 분명히 이 방정식에는 항상 단 하나의 근이 있습니다.

여기서는 예제를 생략하겠습니다.

완전한 2차 방정식 풀기

완전한 이차 방정식은 다음과 같은 형태의 방정식이라는 점을 상기시켜 드립니다.

완전한 이차 방정식을 푸는 것은 이것보다 조금 더 어렵습니다.

기억하다, 모든 이차 방정식은 판별식을 사용하여 풀 수 있습니다! 심지어 불완전합니다.

다른 방법을 사용하면 더 빨리 계산할 수 있지만, 2차 방정식에 문제가 있는 경우 먼저 판별식을 사용하여 해법을 익히십시오.

1. 판별식을 사용하여 이차방정식을 푼다.

이 방법을 사용하여 이차 방정식을 푸는 것은 매우 간단하며, 가장 중요한 것은 일련의 동작과 몇 가지 공식을 기억하는 것입니다.

그렇다면 방정식에는 근이 있습니다. 특별한 관심한 발짝 떼다. 판별식()은 방정식의 근 개수를 알려줍니다.

• 그렇다면 단계의 공식은 다음과 같이 축소됩니다. 따라서 방정식에는 근만 있습니다.
• 그렇다면 해당 단계에서는 판별식의 근을 추출할 수 없습니다. 이는 방정식에 근이 없음을 나타냅니다.

방정식으로 돌아가서 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

예시 9:

방정식을 풀어보세요

1 단계우리는 건너뜁니다.

2 단계.

우리는 판별식을 찾습니다:

이는 방정식에 두 개의 근이 있음을 의미합니다.

3단계.

답변:

예시 10:

방정식을 풀어보세요

방정식은 표준 형식으로 표시되므로 1 단계우리는 건너뜁니다.

2 단계.

우리는 판별식을 찾습니다:

이는 방정식의 근이 하나라는 것을 의미합니다.

답변:

예 11:

방정식을 풀어보세요

방정식은 표준 형식으로 표시되므로 1 단계우리는 건너뜁니다.

2 단계.

우리는 판별식을 찾습니다:

이는 판별식의 근을 추출할 수 없음을 의미합니다. 방정식의 뿌리는 없습니다.

이제 우리는 그러한 답변을 올바르게 작성하는 방법을 알고 있습니다.

답변:뿌리가 없다

2. Vieta의 정리를 사용하여 이차방정식을 푼다.

기억하신다면 축소(계수 a가 다음과 같을 때)라고 불리는 방정식 유형이 있습니다.

이러한 방정식은 Vieta의 정리를 사용하여 매우 쉽게 풀 수 있습니다.

뿌리의 합 주어진이차방정식은 같고, 근의 곱은 같습니다.

실시예 12:

방정식을 풀어보세요

이 방정식은 Vieta의 정리를 사용하여 풀 수 있습니다. .

방정식의 근의 합은 같습니다. 즉, 우리는 첫 번째 방정식을 얻습니다.

그리고 제품은 다음과 같습니다.

시스템을 구성하고 해결해 봅시다:

• 그리고. 금액은 다음과 같습니다.
• 그리고. 금액은 다음과 같습니다.
• 그리고. 금액은 동일합니다.

시스템에 대한 솔루션은 다음과 같습니다.

답변: ; .

실시예 13:

방정식을 풀어보세요

답변:

실시예 14:

방정식을 풀어보세요

방정식이 주어지며 이는 다음을 의미합니다.

답변:

이차 방정식. 평균 수준

이차 방정식이란 무엇입니까?

즉, 이차방정식은 다음과 같은 형태의 방정식입니다. 여기서 - 미지수, - 일부 숫자, 그리고.

그 숫자를 최고라고 부르거나 첫 번째 계수이차 방정식, - 두 번째 계수, ㅏ - 무료 회원.

왜? 왜냐하면 방정식이 즉시 선형이 된다면, 왜냐하면 사라질 것이다.

이 경우 및 는 0과 같을 수 있습니다. 이 의자 방정식에서는 불완전이라고 합니다. 모든 항이 제자리에 있으면 방정식이 완성됩니다.

다양한 유형의 이차 방정식에 대한 해법

불완전한 2차 방정식을 푸는 방법:

먼저, 불완전한 이차 방정식을 푸는 방법을 살펴보겠습니다. 이 방법은 더 간단합니다.

다음 유형의 방정식을 구별할 수 있습니다.

I., 이 방정식에서 계수와 자유 항은 동일합니다.

II. , 이 방정식에서 계수는 동일합니다.

III. , 이 방정식에서 자유항은 다음과 같습니다.

이제 이러한 각 하위 유형에 대한 솔루션을 살펴보겠습니다.

분명히 이 방정식에는 항상 단 하나의 근이 있습니다.

두 개의 음수 또는 두 개의 양수를 곱하면 결과는 항상 양수가 되기 때문에 제곱된 숫자는 음수가 될 수 없습니다. 그 이유는 다음과 같습니다.

그렇다면 방정식에는 해가 없습니다.

뿌리가 두 개라면

이 공식을 외울 필요는 없습니다. 기억해야 할 가장 중요한 것은 그보다 적을 수 없다는 것입니다.

예:

솔루션:

답변:

음수 기호가 있는 뿌리를 잊지 마세요!

숫자의 제곱은 음수가 될 수 없습니다. 즉, 방정식은 다음과 같습니다.

뿌리가 없습니다.

문제에 해결책이 없다는 것을 간단히 기록하려면 빈 세트 아이콘을 사용합니다.

답변:

따라서 이 방정식에는 두 가지 근이 있습니다.

답변:

괄호에서 공통인수를 빼자:

요소 중 하나 이상이 0이면 곱은 0과 같습니다. 이는 다음과 같은 경우 방정식에 해가 있음을 의미합니다.

따라서 이 이차 방정식에는 두 개의 근이 있습니다.

예:

방정식을 푼다.

해결책:

방정식의 좌변을 인수분해하고 근을 찾아보겠습니다.

답변:

완전한 2차 방정식을 푸는 방법:

1. 판별식

이 방법으로 이차 방정식을 푸는 것은 쉽습니다. 가장 중요한 것은 일련의 동작과 몇 가지 공식을 기억하는 것입니다. 모든 이차방정식은 판별식을 사용하여 풀 수 있다는 점을 기억하세요! 심지어 불완전합니다.

근에 대한 공식에서 판별식에서 근이 나오는 것을 보셨나요? 그러나 판별자는 음수가 될 수 있습니다. 무엇을 해야 할까요? 우리는 2단계에 특별한 주의를 기울여야 합니다. 판별식은 방정식의 근의 수를 알려줍니다.

• 그렇다면 방정식에는 뿌리가 있습니다.
• 그렇다면 방정식의 근은 동일하고 실제로는 하나의 근을 갖습니다.

  이러한 뿌리를 이중뿌리라고 합니다.

• 그렇다면 판별식의 근은 추출되지 않습니다. 이는 방정식에 근이 없음을 나타냅니다.

왜 뿌리의 개수가 다를 수 있나요? 이차 방정식의 기하학적 의미를 살펴보겠습니다. 함수 그래프는 포물선입니다.

이차방정식인 특별한 경우에는 . 이는 이차 방정식의 근이 가로축(축)과의 교차점임을 의미합니다. 포물선은 축과 전혀 교차하지 않을 수도 있고, 한 점(포물선의 정점이 축 위에 있는 경우) 또는 두 점에서 교차할 수도 있습니다.

또한 계수는 포물선 가지의 방향을 담당합니다. 그렇다면 포물선의 가지는 위쪽으로 향하고, 그렇다면 아래쪽으로 향합니다.

예:

솔루션:

답변:

답변: .

답변:

즉, 해결책이 없습니다.

답변: .

2. 비에타의 정리

Vieta의 정리를 사용하는 것은 매우 쉽습니다. 곱이 방정식의 자유 항과 같고 그 합이 반대 부호를 사용하여 취한 두 번째 계수와 같은 숫자 쌍을 선택하기만 하면 됩니다.

Vieta의 정리는 다음에만 적용될 수 있다는 점을 기억하는 것이 중요합니다. 축소된 2차 방정식().

몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

예시 #1:

방정식을 푼다.

해결책:

이 방정식은 Vieta의 정리를 사용하여 풀 수 있습니다. . 기타 계수: ; .

방정식의 근의 합은 다음과 같습니다.

그리고 제품은 다음과 같습니다.

곱이 같은 숫자 쌍을 선택하고 그 합이 같은지 확인해 보겠습니다.

• 그리고. 금액은 다음과 같습니다.
• 그리고. 금액은 다음과 같습니다.
• 그리고. 금액은 동일합니다.

시스템에 대한 솔루션은 다음과 같습니다.

따라서 와 는 우리 방정식의 뿌리입니다.

답변: ; .

예시 #2:

해결책:

제품에 제공되는 숫자 쌍을 선택한 다음 그 합계가 같은지 확인하겠습니다.

그리고 : 그들은 전체적으로 제공합니다.

그리고 : 그들은 전체적으로 제공합니다. 얻으려면 가정된 뿌리와 결국 제품의 표시를 간단히 변경하는 것으로 충분합니다.

답변:

예시 #3:

해결책:

방정식의 자유 항은 음수이므로 근의 곱은 음수입니다. 이는 근 중 하나가 음수이고 다른 하나가 양수인 경우에만 가능합니다. 따라서 근의 합은 다음과 같습니다. 모듈의 차이점.

제품에 제공되는 숫자 쌍을 선택하고 그 차이는 다음과 같습니다.

그리고: 그들의 차이는 동일합니다 - 맞지 않습니다.

그리고: - 적합하지 않음;

그리고: - 적합하지 않음;

그리고: - 적합합니다. 남은 것은 뿌리 중 하나가 음수라는 것을 기억하는 것입니다. 그 합은 동일해야 하므로 모듈러스가 더 작은 근은 음수여야 합니다. 우리는 다음을 확인합니다:

답변:

예시 #4:

방정식을 푼다.

해결책:

방정식이 주어지며 이는 다음을 의미합니다.

자유 항은 음수이므로 근의 곱은 음수입니다. 그리고 이는 방정식의 한 근이 음수이고 다른 근이 양수인 경우에만 가능합니다.

곱이 동일한 숫자 쌍을 선택한 다음 음수 부호를 가져야 하는 근을 결정해 보겠습니다.

분명히 뿌리만 첫 번째 조건에 적합합니다.

답변:

예시 #5:

방정식을 푼다.

해결책:

방정식이 주어지며 이는 다음을 의미합니다.

근의 합은 음수입니다. 이는 근 중 적어도 하나가 음수임을 의미합니다. 그러나 그들의 곱이 양수이므로 두 뿌리 모두 마이너스 기호가 있음을 의미합니다.

곱이 다음과 같은 숫자 쌍을 선택해 보겠습니다.

분명히 뿌리는 숫자와입니다.

답변:

이 불쾌한 판별식을 세는 대신 구두로 뿌리를 찾는 것이 매우 편리합니다. 가능한 한 자주 비에타의 정리를 사용해 보십시오.

그러나 근을 찾는 것을 촉진하고 속도를 높이려면 비에타의 정리가 필요합니다. 이를 사용하여 이익을 얻으려면 작업을 자동으로 수행해야 합니다. 이를 위해 다섯 가지 예를 더 풀어보세요. 하지만 속이지 마세요. 판별식을 사용할 수 없습니다! 비에타의 정리만:

독립적인 작업을 위한 작업 솔루션:

작업 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Vieta의 정리에 따르면:

평소와 같이 작품 선택을 시작합니다.

금액이 적당하지 않습니다.

: 딱 필요한 금액입니다.

답변: ; .

작업 2.

그리고 다시 우리가 가장 좋아하는 비에타 정리: 합은 동일해야 하고 곱도 동일해야 합니다.

그러나 그렇지 않아야 하기 때문에 뿌리의 부호를 변경합니다: 그리고 (전체적으로).

답변: ; .

작업 3.

흠... 그게 어디죠?

모든 용어를 하나의 부분으로 이동해야 합니다.

근의 합은 곱과 같습니다.

알았어, 그만해! 방정식은 제공되지 않습니다. 그러나 Vieta의 정리는 주어진 방정식에만 적용 가능합니다. 따라서 먼저 방정식을 제시해야 합니다. 이끌 수 없다면 이 아이디어를 포기하고 다른 방법(예를 들어 판별식을 통해)으로 해결하세요. 이차 방정식을 제공한다는 것은 주요 계수를 동일하게 만드는 것을 의미한다는 것을 상기시켜 드리겠습니다.

엄청난. 그러면 근의 합은 와 곱이 됩니다.

여기서 선택하는 것은 배 껍질을 벗기는 것만큼 쉽습니다. 결국 그것은 소수입니다(동어어가 같아 죄송합니다).

답변: ; .

작업 4.

무료 회원은 부정적입니다. 이것의 특별한 점은 무엇입니까? 그리고 사실 뿌리는 다른 징후를 가질 것입니다. 이제 선택하는 동안 루트의 합이 아니라 모듈의 차이점을 확인합니다. 이 차이는 동일하지만 제품입니다.

따라서 근은 and와 같지만 그 중 하나는 마이너스입니다. 비에타의 정리는 근의 합이 반대 부호를 갖는 두 번째 계수와 같다는 것을 말해줍니다. 이는 더 작은 루트에 마이너스가 있음을 의미합니다.

답변: ; .

작업 5.

먼저 무엇을 해야 할까요? 맞습니다. 방정식을 제시하십시오.

다시 말하지만, 숫자의 요소를 선택하고 그 차이는 다음과 같아야 합니다.

근은 and와 같지만 그 중 하나는 마이너스입니다. 어느? 그 합은 같아야 합니다. 즉, 마이너스의 근이 더 커집니다.

답변: ; .

요약하자면:

1. 비에타의 정리는 주어진 이차 방정식에만 사용됩니다.
2. Vieta의 정리를 사용하면 구두로 선택하여 근을 찾을 수 있습니다.
3. 방정식이 제공되지 않거나 자유 항의 적합한 인수 쌍이 발견되지 않으면 전체 근이 없으므로 다른 방법(예: 판별식을 통해)을 풀어야 합니다.

3. 완전한 정사각형을 선택하는 방법

미지수를 포함하는 모든 항이 약식 곱셈 공식(합 또는 차이의 제곱)의 항 형식으로 표시되는 경우 변수를 대체한 후 방정식은 해당 유형의 불완전한 이차 방정식 형식으로 표시될 수 있습니다.

예를 들어:

예시 1:

방정식을 푼다: .

해결책:

답변:

예 2:

방정식을 푼다: .

해결책:

답변:

안에 일반적인 견해변환은 다음과 같습니다.

이는 다음을 의미합니다.

아무것도 생각나지 않나요? 이건 차별적인 일이에요! 이것이 바로 우리가 판별 공식을 얻은 방법입니다.

이차 방정식. 주요 사항에 대해 간략하게

이차 방정식- 이것은 다음 형식의 방정식입니다. - 미지수 - 이차 방정식의 계수 - 자유항.

완전한 이차 방정식- 계수가 0이 아닌 방정식.

축소된 이차 방정식- 계수가 다음과 같은 방정식: .

불완전한 이차 방정식- 계수 및/또는 자유항 c가 0인 방정식:

• 계수인 경우 방정식은 다음과 같습니다.
• 자유 항이 있는 경우 방정식의 형식은 다음과 같습니다.
• 만약 그렇다면 방정식은 다음과 같습니다: .

1. 불완전한 2차 방정식을 풀기 위한 알고리즘

1.1. 다음 형식의 불완전한 2차 방정식:

1) 미지수를 표현해보자: ,

2) 표현식의 부호를 확인하십시오.

• 그렇다면 방정식에는 해가 없습니다.
• 그렇다면 방정식에는 두 개의 근이 있습니다.

1.2. 다음 형식의 불완전한 2차 방정식:

1) 괄호 안의 공통인수를 빼자: ,

2) 요소 중 하나 이상이 0이면 곱은 0과 같습니다. 따라서 방정식에는 두 가지 근이 있습니다.

1.3. 다음 형식의 불완전한 2차 방정식입니다.

이 방정식에는 항상 단 하나의 근만 있습니다: .

2. 다음 형식의 완전한 2차 방정식을 풀기 위한 알고리즘

2.1. 판별식을 이용한 해

1) 방정식을 표준 형식으로 바꾸자: ,

2) 공식을 사용하여 판별식을 계산해 보겠습니다. , 이는 방정식의 근 수를 나타냅니다.

3) 방정식의 근을 찾으십시오.

• 그렇다면 방정식에는 다음 공식으로 찾을 수 있는 근이 있습니다.
• 그렇다면 방정식에는 다음 공식으로 구되는 근이 있습니다.
• 그렇다면 방정식에는 근이 없습니다.

2.2. 비에타의 정리를 이용한 해

축소된 이차 방정식(형태의 방정식)의 근의 합은 같고 근의 곱은 같습니다. 즉 , ㅏ.

2.3. 완전한 정사각형을 선택하는 방법에 의한 해법

형식의 이차 방정식에 근이 있는 경우 다음 형식으로 작성할 수 있습니다.

자, 주제는 끝났습니다. 이 글을 읽고 있다면 당신이 매우 멋지다는 뜻입니다.

왜냐하면 오직 5%의 사람들만이 스스로 무언가를 마스터할 수 있기 때문입니다. 그리고 끝까지 읽으시면 당신은 이 5% 안에 속합니다!

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안에 현대 사회변수 제곱이 포함된 방정식으로 연산을 수행하는 기능은 다양한 활동 영역에서 유용할 수 있으며 실제로 과학 및 기술 개발에서 널리 사용됩니다. 이에 대한 증거는 해상 및 강 선박, 항공기 및 미사일의 설계에서 찾을 수 있습니다. 이러한 계산을 사용하여 우주 물체를 포함한 다양한 물체의 이동 궤적이 결정됩니다. 2차 방정식의 해법이 포함된 예는 경제 예측, 건물 설계 및 건설뿐만 아니라 가장 일반적인 일상 상황에서도 사용됩니다. 하이킹 여행, 스포츠 행사, 매장에서 물건을 구매할 때 및 기타 매우 일반적인 상황에서 필요할 수 있습니다.

표현식을 구성요소 요소로 나누어 보겠습니다.

방정식의 차수는 표현식에 포함된 변수 차수의 최대값에 의해 결정됩니다. 2와 같으면 그러한 방정식을 이차 방정식이라고 합니다.

공식 언어로 말하면 표시된 표현은 모양에 관계없이 표현의 왼쪽이 세 개의 용어로 구성되면 항상 형식으로 표시될 수 있습니다. 그중에는 ax 2(즉, 계수를 제곱한 변수), bx(계수를 제곱하지 않은 미지수) 및 c(자유 구성 요소, 즉 일반 숫자)가 있습니다. 오른쪽에 있는 이 모든 것은 0과 같습니다. 이러한 다항식에 도끼 2를 제외하고 구성 항 중 하나가 부족한 경우 이를 불완전 이차 방정식이라고 합니다. 이러한 문제를 해결하는 예로서, 쉽게 찾을 수 있는 변수의 값을 먼저 고려해야 합니다.

표현식의 오른쪽에 두 개의 항, 보다 정확하게는 ax 2와 bx가 있는 것처럼 보이면 x를 찾는 가장 쉬운 방법은 변수를 대괄호 안에 넣는 것입니다. 이제 방정식은 다음과 같습니다: x(ax+b). 다음으로 x=0이거나 ax+b=0 표현식에서 변수를 찾는 것이 문제라는 것이 분명해집니다. 이것은 곱셈의 속성 중 하나에 의해 결정됩니다. 이 규칙에 따르면 두 요소의 곱은 그 중 하나가 0인 경우에만 0이 됩니다.

예

x=0 또는 8x - 3 = 0

결과적으로 우리는 방정식의 두 가지 근, 즉 0과 0.375를 얻습니다.

이런 종류의 방정식은 좌표의 원점으로 간주되는 특정 지점에서 움직이기 시작한 중력의 영향을 받는 물체의 움직임을 설명할 수 있습니다. 여기서 수학적 표기법은 다음과 같은 형식을 취합니다: y = v 0 t + gt 2 /2. 필요한 값을 대입하고 우변을 0으로 동일시하고 가능한 미지수를 찾아냄으로써 신체가 상승하는 순간부터 떨어지는 순간까지의 시간과 기타 많은 양을 알아낼 수 있습니다. 하지만 이에 대해서는 나중에 이야기하겠습니다.

표현식 인수분해하기

위에서 설명한 규칙을 사용하면 이러한 문제를 더 많이 해결할 수 있습니다. 어려운 경우. 이 유형의 이차 방정식을 푸는 예를 살펴보겠습니다.

X 2 - 33x + 200 = 0

이 이차 삼항식이 완성되었습니다. 먼저 식을 변형하고 인수분해해 보겠습니다. (x-8)과 (x-25) = 0이라는 두 가지가 있습니다. 결과적으로 두 개의 근 8과 25가 있습니다.

9학년의 이차 방정식을 푸는 예를 통해 이 방법을 사용하면 2차뿐만 아니라 3차 및 4차 표현식에서도 변수를 찾을 수 있습니다.

예: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. 우변을 변수가 있는 인수분해하면 (x+1), (x-3), (x+) 세 가지가 있습니다. 삼).

결과적으로 이 방정식에는 세 가지 근이 있다는 것이 분명해집니다. -3; -1; 삼.

제곱근

불완전한 2계 방정식의 또 다른 경우는 우변이 ax 2 및 c 성분으로 구성되는 방식으로 문자 언어로 표현되는 표현식입니다. 여기서 변수의 값을 얻기 위해 자유 항이 다음으로 전달됩니다. 오른쪽, 그 후 등식의 양쪽에서 제곱근을 취합니다. 이 경우 방정식에는 일반적으로 두 개의 근이 있다는 점에 유의해야 합니다. 유일한 예외는 변수가 0과 같은 항을 전혀 포함하지 않는 등식과 오른쪽이 음수로 판명되는 표현식의 변형일 수 있습니다. 후자의 경우 위의 작업을 루트로 수행할 수 없기 때문에 전혀 해결책이 없습니다. 이러한 유형의 이차 방정식에 대한 해법의 예를 고려해야 합니다.

이 경우 방정식의 근은 숫자 -4와 4가 됩니다.

토지 면적 계산

이러한 종류의 계산에 대한 필요성은 고대에 나타났습니다. 왜냐하면 그 먼 시대의 수학 발전은 토지의 면적과 둘레를 가장 정확하게 결정해야 할 필요성에 의해 크게 결정되었기 때문입니다.

우리는 또한 이런 종류의 문제를 기반으로 이차방정식을 푸는 예를 고려해야 합니다.

따라서 길이가 너비보다 16미터 더 큰 직사각형 토지가 있다고 가정해 보겠습니다. 면적이 612m2라는 것을 알고 있다면 부지의 길이, 너비 및 둘레를 찾아야 합니다.

시작하려면 먼저 필요한 방정식을 만들어 보겠습니다. 영역의 너비를 x로 표시하면 길이는 (x+16)이 됩니다. 작성된 내용에 따르면 면적은 x(x+16) 표현식에 의해 결정되며 문제의 조건에 따라 612입니다. 이는 x(x+16) = 612를 의미합니다.

완전한 이차 방정식을 푸는 것과 이 표현은 정확히 같은 방식으로 수행될 수 없습니다. 왜? 왼쪽에는 여전히 두 개의 요소가 포함되어 있지만 해당 제품의 곱은 전혀 0이 아니므로 여기서는 다른 방법이 사용됩니다.

판별식

우선 필요한 변환을 해보자. 모습이 표현식은 다음과 같습니다: x 2 + 16x - 612 = 0. 이는 이전에 지정된 표준에 해당하는 형식(a=1, b=16, c=-612)으로 표현식을 수신했음을 의미합니다.

이는 판별식을 사용하여 이차 방정식을 푸는 예일 수 있습니다. 여기에서는 D = b 2 - 4ac 구성표에 따라 필요한 계산이 이루어집니다. 이 보조 수량은 2차 방정식에서 필요한 수량을 찾는 것을 가능하게 할 뿐만 아니라 수량을 결정합니다. 가능한 옵션. D>0이면 두 개가 있습니다. D=0이면 루트가 하나 있습니다. D의 경우<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

뿌리와 공식에 대하여

우리의 경우 판별식은 256 - 4(-612) = 2704와 같습니다. 이는 문제에 답이 있다는 것을 의미합니다. k를 알고 있다면 이차 방정식의 해는 아래 공식을 사용하여 계속되어야 합니다. 이를 통해 근을 계산할 수 있습니다.

이는 제시된 사례에서 x 1 =18, x 2 =-34를 의미합니다. 이 딜레마의 두 번째 옵션은 토지의 크기를 음수로 측정할 수 없기 때문에 해결책이 될 수 없습니다. 이는 x(즉, 토지의 너비)가 18m임을 의미합니다. 여기에서 길이를 계산합니다: 18 +16=34, 둘레 2(34+18)=104(m2)입니다.

예시 및 작업

우리는 이차 방정식에 대한 연구를 계속합니다. 그 중 몇 가지 예와 자세한 솔루션이 아래에 제공됩니다.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

모든 것을 평등의 왼쪽으로 이동하고 변환을 수행합니다. 즉, 일반적으로 표준이라고 불리는 방정식 유형을 가져와 0과 동일시합니다.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

유사한 것을 추가하여 판별식을 결정합니다: D = 49 - 48 = 1. 이는 방정식에 두 개의 근이 있음을 의미합니다. 위의 공식에 따라 계산해 보겠습니다. 즉, 첫 번째는 4/3이고 두 번째는 1입니다.

2) 이제 다른 종류의 미스터리를 풀어봅시다.

x 2 - 4x + 5 = 1? 여기에 근이 있는지 알아봅시다. 포괄적인 답을 얻기 위해 다항식을 해당하는 일반적인 형태로 줄이고 판별식을 계산해 보겠습니다. 위의 예에서는 이차 방정식을 풀 필요가 없습니다. 왜냐하면 이것이 문제의 본질이 아니기 때문입니다. 이 경우 D = 16 - 20 = -4입니다. 이는 실제로 근이 없음을 의미합니다.

비에타의 정리

후자의 값에서 제곱근을 구할 때 위의 공식과 판별식을 사용하여 이차방정식을 푸는 것이 편리합니다. 그러나 이것이 항상 일어나는 것은 아닙니다. 그러나 이 경우 변수의 값을 구하는 방법은 여러 가지가 있습니다. 예: Vieta의 정리를 사용하여 2차 방정식 풀기. 그녀의 이름은 16세기 프랑스에 살았던 그의 수학적 재능과 궁정에서의 인맥 덕분에 눈부신 경력을 쌓은 사람의 이름을 따서 명명되었습니다. 그의 초상화는 기사에서 볼 수 있습니다.

그 유명한 프랑스인이 주목한 패턴은 다음과 같았다. 그는 방정식의 근이 수치적으로 더해지면 -p=b/a에 해당하고 그 곱은 q=c/a에 해당한다는 것을 증명했습니다.

이제 구체적인 작업을 살펴보겠습니다.

3x 2 + 21x - 54 = 0

단순화를 위해 표현식을 변형해 보겠습니다.

x 2 + 7x - 18 = 0

Vieta의 정리를 사용하면 다음과 같은 결과가 나옵니다. 근의 합은 -7이고 그 곱은 -18입니다. 여기에서 방정식의 근본은 숫자 -9와 2라는 것을 알 수 있습니다. 확인한 후 이러한 변수 값이 실제로 표현식에 맞는지 확인합니다.

포물선 그래프 및 방정식

이차 함수와 이차 방정식의 개념은 밀접하게 관련되어 있습니다. 이에 대한 예는 이미 이전에 제시되었습니다. 이제 몇 가지 수학적 수수께끼를 좀 더 자세히 살펴보겠습니다. 설명된 유형의 모든 방정식은 시각적으로 표현될 수 있습니다. 그래프로 그려진 이러한 관계를 포물선이라고 합니다. 다양한 유형이 아래 그림에 나와 있습니다.

모든 포물선에는 정점, 즉 가지가 나오는 지점이 있습니다. a>0이면 무한대로 높아지고, a이면<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

함수의 시각적 표현은 2차 방정식을 포함한 모든 방정식을 푸는 데 도움이 됩니다. 이 방법을 그래픽이라고 합니다. 그리고 x 변수의 값은 그래프 선이 0x와 교차하는 지점의 가로 좌표입니다. 정점의 좌표는 주어진 x 0 = -b/2a 공식을 사용하여 찾을 수 있습니다. 그리고 그 결과 값을 함수의 원래 방정식에 대입하면 y 0, 즉 세로축에 속하는 포물선 꼭지점의 두 번째 좌표를 알 수 있습니다.

가로좌표 축과 포물선 가지의 교차점

이차방정식을 푸는 예는 많지만 일반적인 패턴도 있습니다. 그들을 살펴보자. a>0에 대한 그래프와 0x 축의 교차는 0이 음수 값을 갖는 경우에만 가능하다는 것이 분명합니다. 그리고<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. 그렇지 않으면 D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

포물선 그래프를 통해 근을 결정할 수도 있습니다. 그 반대도 마찬가지입니다. 즉, 이차 함수의 시각적 표현을 얻는 것이 쉽지 않은 경우, 수식의 우변을 0으로 대입하고 결과 방정식을 풀 수 있습니다. 그리고 0x축과의 교차점을 알면 그래프를 구성하는 것이 더 쉽습니다.

역사에서

예전에는 제곱변수가 포함된 방정식을 사용하여 수학적 계산을 수행하고 기하학적 도형의 면적을 결정했습니다. 고대인들은 물리학과 천문학 분야의 거대한 발견과 점성술 예측을 위해 그러한 계산이 필요했습니다.

현대 과학자들이 시사하는 것처럼, 바빌론 주민들은 이차 방정식을 최초로 푼 사람들 중 하나였습니다. 이것은 우리 시대보다 4세기 전에 일어났습니다. 물론 그들의 계산은 현재 허용되는 계산과 근본적으로 달랐으며 훨씬 더 원시적인 것으로 판명되었습니다. 예를 들어, 메소포타미아 수학자들은 음수의 존재에 대해 전혀 몰랐습니다. 그들은 또한 현대의 학생들이 알고 있는 다른 미묘함에도 익숙하지 않았습니다.

아마도 바빌론의 과학자들보다 훨씬 일찍 인도의 현자 Baudhayama가 이차 방정식을 풀기 시작했습니다. 이 일은 그리스도 시대보다 약 8세기 전에 일어났습니다. 사실, 그가 제시한 해결 방법인 2차 방정식이 가장 간단했습니다. 그 외에도 옛날 중국 수학자들도 비슷한 질문에 관심을 가졌습니다. 유럽에서는 2차 방정식이 13세기 초에 풀기 시작했지만 나중에는 뉴턴, 데카르트 등 많은 위대한 과학자들이 작업에 사용했습니다.

이차 방정식의 근에 대한 공식. 실수근, 다중근, 복소근의 경우가 고려됩니다. 이차 삼항식을 인수분해합니다. 기하학적 해석. 근을 결정하고 인수분해하는 예.

기본 공식

이차 방정식을 고려하십시오.
(1) .
이차 방정식의 근(1)은 다음 공식에 의해 결정됩니다.
; .
이러한 공식은 다음과 같이 결합될 수 있습니다.
.
이차 방정식의 근이 알려지면 2차 다항식은 인수(인수분해)의 곱으로 표현될 수 있습니다.
.

다음으로 우리는 그것이 실수라고 가정합니다.
고려해 봅시다 이차 방정식의 판별식:
.
판별식이 양수이면 이차 방정식 (1)은 두 개의 서로 다른 실근을 갖습니다.
; .
그런 다음 이차 삼항식의 인수분해는 다음과 같은 형식을 갖습니다.
.
판별식이 0이면 이차 방정식 (1)에는 두 개의 배수(동일) 실수근이 있습니다.
.
채권 차압 통고:
.
판별식이 음수이면 이차 방정식 (1)에는 두 개의 복소수 켤레 근이 있습니다.
;
.
다음은 허수단위 ;
그리고 근의 실수 부분과 허수 부분은 다음과 같습니다.
; .
그 다음에

.

그래픽 해석

함수를 플롯하면
,
포물선인 경우 그래프와 축의 교차점이 방정식의 근이 됩니다.
.
에서 그래프는 두 지점에서 x축(축)과 교차합니다.
이면 그래프가 x축의 한 지점에 닿습니다.
이면 그래프가 x축을 교차하지 않습니다.

다음은 그러한 그래프의 예입니다.

이차 방정식과 관련된 유용한 공식

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

이차 방정식의 근에 대한 공식 유도

변환을 수행하고 공식 (f.1) 및 (f.3)을 적용합니다.




,
어디
; .

따라서 우리는 다음과 같은 형식으로 2차 다항식에 대한 공식을 얻었습니다.
.
이는 방정식이 다음과 같다는 것을 보여줍니다.

에서 수행
그리고 .
즉, 와 는 이차 방정식의 근입니다.
.

이차 방정식의 근을 결정하는 예

실시예 1

(1.1) .

해결책

.
방정식 (1.1)과 비교하여 계수 값을 찾습니다.
.
우리는 판별식을 찾습니다:
.
판별식이 양수이므로 방정식에는 두 개의 실수근이 있습니다.
;
;
.

여기에서 우리는 이차 삼항식의 인수분해를 얻습니다:

.

함수 그래프 y = 2×2 + 7×+3두 점에서 x축과 교차합니다.

함수를 그려보자
.
이 함수의 그래프는 포물선입니다. 두 지점에서 가로축(축)과 교차합니다.
그리고 .
이 점은 원래 방정식(1.1)의 근입니다.

답변

;
;
.

실시예 2

이차 방정식의 근을 구합니다:
(2.1) .

해결책

이차 방정식을 일반 형식으로 작성해 보겠습니다.
.
원래 방정식 (2.1)과 비교하여 계수 값을 찾습니다.
.
우리는 판별식을 찾습니다:
.
판별식이 0이므로 방정식에는 두 개의 배수(동일) 근이 있습니다.
;
.

그런 다음 삼항식의 인수분해는 다음과 같은 형식을 갖습니다.
.

함수 y = x의 그래프 2 - 4 x + 4 x축의 한 지점에 닿습니다.

함수를 그려보자
.
이 함수의 그래프는 포물선입니다. 한 지점에서 x축(축)과 접촉합니다.
.
이 점은 원래 방정식(2.1)의 근본입니다. 이 근은 두 번 인수분해되기 때문입니다.
,
그런 근은 일반적으로 배수라고 불립니다. 즉, 그들은 두 개의 동일한 뿌리가 있다고 믿습니다.
.

답변

;
.

실시예 3

이차 방정식의 근을 구합니다:
(3.1) .

해결책

이차 방정식을 일반 형식으로 작성해 보겠습니다.
(1) .
원래 방정식(3.1)을 다시 작성해 보겠습니다.
.
(1)과 비교하여 계수 값을 찾습니다.
.
우리는 판별식을 찾습니다:
.
판별식은 음수입니다. 그러므로 실제 뿌리가 없습니다.

복잡한 뿌리를 찾을 수 있습니다.
;
;
.

그 다음에


.

함수의 그래프는 x축을 교차하지 않습니다. 실제 뿌리는 없습니다.

함수를 그려보자
.
이 함수의 그래프는 포물선입니다. x축(축)과 교차하지 않습니다. 그러므로 실제 뿌리가 없습니다.

답변

실제 뿌리는 없습니다. 복잡한 뿌리:
;
;
.