1. 선형성. 푸리에 변환은 선형 적분 연산 중 하나입니다. 신호 합계 스펙트럼 합계와 동일이 신호의 스펙트럼.
an n n (t) ? n Sn (n)
2. 패리티 속성
변환은 전개의 코사인(짝수, 실수) 및 사인(홀수, 허수) 부분과 직접 및 역변환의 유사성에 의해 결정됩니다.
- 3. 함수 인수(신호의 압축 또는 확장)를 변경하면 푸리에 변환 인수가 역으로 변경되고 모듈에서 반비례 변경이 발생합니다.
- 4. 지연 정리. 간격 to o만큼 함수 인수에서 신호의 지연(이동, 이동)은 모듈러스를 변경하지 않고 스펙트럼의 위상-주파수 함수(모든 고조파의 위상 각도)를 - št o만큼 변경합니다. (진폭 함수) 스펙트럼의.
5. 미분 변환(신호 차별화):
s(t) = d/dt = d/dt =Y(уж) dш= = jш Y(уж) exp(jшt) dш jш Y(уж).
따라서 신호 스펙트럼에 단순히 다음을 곱하면 신호 차별화가 스펙트럼 영역에 표시됩니다. 주파수 영역의 신호 미분 연산자 jш는 스펙트럼의 각 고조파를 구별하는 것과 같습니다. jn을 곱하면 고주파 성분(원래 신호와 비교하여)으로 파생 신호의 스펙트럼이 강화되고 주파수가 0인 성분이 파괴됩니다.
6. 적분의 변환 알려진 신호 스펙트럼을 갖는 주파수 영역의 신호는 다음과 같은 간단한 고려 사항을 통해 얻을 수 있습니다. s(t) = d/dt jшY(у) = S(у)이면 역연산도 수행되어야 합니다: y(t) = s(t) dt Y(у) = S(у)/jш. 이는 다음을 의미합니다.
s(t)dt ? (1/jw)S(w).
주파수 영역의 적분 연산자 (1/j w) w >1은 진폭 스펙트럼의 고주파수를 약화시키고 w<1 усиливает низкие. Фазовый спектр сигнала смещается на -90 0 для положительных частот и на 90 0 для отрицательных.
7. 신호 컨벌루션 변환 y(t) = s(t) * h(t):
Y(у) =y(t) exp(-jшt) dt =s(ф) h(t- ф) exp(-jшt) dфdt
Y(Φ) =s(Φ) dΦ h(t-Φ) exp(-jΦt) dt.
지연 정리에 따르면:
h(t-ph) exp(-jscht) dt = H(t-ph) exp(-jscht).
Y(제곱) =H(s) s(f) exp(-js f) df= H(s)·S(s).
s(t) * h(t)?S(w)H(w).
따라서, 좌표 형태의 함수 컨볼루션은 이러한 함수의 푸리에 이미지의 곱으로 주파수 표현으로 표시됩니다.
8. 신호 곱의 변환 y(t) = s(t) h(t):
Y(?) =s(t) h(t) exp(-j?t) dt =s(t) [(1/2?)H(?") exp(j?"t) d?"] dt = (1/2?)s(t)H(?") exp(-j(?-?")t) d?"dt = (1/2?)H(?") d?"s(t ) exp(-j(?-?")t) dt = (1/2?)H(?") S(?-?") d?" = (1/2?) H(?) * S(?).
좌표 형식의 함수 곱은 해당 함수의 푸리에 이미지 컨볼루션을 통해 주파수 표현으로 표시됩니다.
9. 신호에 고조파 함수를 곱하면 신호가 고조파 주파수로 채워지고 무선 펄스가 생성됩니다.
10. 전력 스펙트럼. 함수 s(t)에 푸리에 변환 S(?)가 있는 경우 이 함수의 전력 스펙트럼 밀도는 다음 식으로 결정됩니다.
w(t) = s(t) s*(t) = |s(t)| 2 |에스(?)| 2 = S(?) S*(?) = W(?).
전력 스펙트럼은 음이 아닌 실제 짝수 함수이며, 에너지 스펙트럼이라고도 합니다. 신호 스펙트럼 모듈러스의 제곱인 파워 스펙트럼에는 주파수 성분에 대한 위상 정보가 포함되어 있지 않으므로 파워 스펙트럼에서 신호를 재구성하는 것이 불가능합니다. 이는 또한 서로 다른 위상 특성을 가진 신호가 동일한 전력 스펙트럼을 가질 수 있음을 의미합니다. 특히, 신호 이동은 전력 스펙트럼에 영향을 미치지 않습니다. 수학적 방법 푸리에 변환
11. Parseval의 평등. 총 신호 스펙트럼 에너지:
E s =W(f)df=|S(f)| 2df.
좌표와 주파수 표현은 본질적으로 동일한 신호에 대한 서로 다른 수학적 표현이므로 두 표현의 신호 에너지도 동일해야 하며 이는 Parseval의 동등성을 의미합니다.
|s(t)| 2dt =|S(f)| 2df,
저것들. 신호의 에너지는 주파수 스펙트럼 모듈러스의 적분, 즉 신호의 모든 주파수 구성 요소의 에너지 합계와 같습니다.
매우 간단하지만 자주 발생하는 펄스 신호의 스펙트럼 밀도를 계산하는 방법을 배웠으므로 이제 푸리에 변환의 특성에 대한 체계적인 연구로 넘어갑니다.
푸리에 변환의 선형성.
이 가장 중요한 속성은 다음과 같이 공식화됩니다. 특정 신호 세트가 있는 경우 신호의 가중 합계는 다음과 같이 푸리에 변환됩니다.
다음은 임의의 수치 계수입니다.
공식(2.26)을 증명하려면 신호의 합을 푸리에 변환(2.16)으로 대체해야 합니다.
스펙트럼 밀도의 실수부와 허수부의 속성입니다.
실제 값을 취하는 신호라고 하자. 일반적인 경우 스펙트럼 밀도는 복잡합니다.
이 표현식을 역 푸리에 변환 공식(2.18)으로 대체합니다.
이러한 이중 변환으로 얻은 신호가 실제 상태로 유지되려면 다음이 필요합니다.
이는 신호 스펙트럼 밀도의 실수 부분이 짝수이고 허수 부분이 주파수의 홀수 함수인 경우에만 가능합니다.
시간 이동 신호의 스펙트럼 밀도.
신호에 대한 대응 관계가 알려져 있다고 가정하고 동일한 신호가 몇 초 후에 발생한다고 가정해 보겠습니다. 이 점을 시간의 새로운 원점으로 삼아 이 변위된 신호를 다음과 같이 표시합니다.
증명은 매우 간단합니다. 정말,
복소수의 계수는 모든 값에 대해 1과 동일하므로 신호를 구성하는 기본 고조파 구성 요소의 진폭은 시간 축의 위치에 의존하지 않습니다. 신호의 이러한 특성에 대한 정보는 스펙트럼 밀도(위상 스펙트럼) 인수의 주파수 의존성에 포함되어 있습니다.
시간 측정 척도 선택에 따른 신호의 스펙트럼 밀도의 의존성.
원래 신호가 시간 척도 변경에 영향을 받는다고 가정해 보겠습니다. 이는 시간 t의 역할이 새로운 독립 변수에 의해 수행됨을 의미합니다(k는 실수임). 이런 일이 발생하면 원래 신호의 "압축"이 발생합니다. 신호가 시간에 따라 "확장"된 경우.
그렇다면
정말,
공식 (2.29)은 다음과 같습니다.
따라서 예를 들어 신호의 모양을 유지하면서 시간에 맞춰 신호를 압축하려면 진폭이 비례적으로 감소하면서 더 넓은 주파수 범위에 걸쳐 동일한 스펙트럼 구성 요소를 배포해야 합니다.
다음 문제는 여기서 고려한 문제와 밀접한 관련이 있습니다.
세그먼트에서 0과 다른 펄스가 주어지고 스펙트럼 밀도를 특징으로 하는 경우 원래 펄스 발진의 "거울 복사본"인 "시간 역전" 신호의 스펙트럼 밀도를 찾아야 합니다. 왜냐면 그건 분명해
변수 변경을 수행한 후 다음을 발견했습니다.
미분 및 부정 적분의 스펙트럼 밀도.
신호 s(t)와 그 스펙트럼 밀도가 주어집니다. 우리는 새로운 신호를 연구하고 스펙트럼 밀도를 찾는 목표를 설정할 것입니다.
우선순위,
푸리에 변환은 선형 연산입니다. 이는 스펙트럼 밀도와 관련하여 동일성(2.31)이 성립함을 의미합니다. (2.28)을 고려하면,
Taylor 급수로 지수 함수를 표현하면: 이 급수를 (2.32)에 대입하고 처음 두 항으로 제한하면 다음을 알 수 있습니다.
미분을 통해 시간에 따른 신호 변화율이 증가합니다. 결과적으로, 미분의 스펙트럼 계수는 원래 신호의 스펙트럼 계수에 비해 고주파수 영역에서 더 큰 값을 갖게 됩니다.
식 (2.33)은 차수 도함수 스펙트럼의 경우로 일반화됩니다. 이면 증명하는 것은 쉽다.
따라서 신호를 시간에 따라 미분하는 것은 스펙트럼 밀도에 인수를 곱하는 간단한 대수 연산과 동일하므로 허수는 주파수 영역에서 작동하는 미분 연산자라고 말하는 것이 관례입니다.
고려된 함수는 함수에 대한 역도함수(무한 적분)입니다. (2.33)에서 공식적으로 역도함수의 스펙트럼은 다음과 같습니다.
따라서 승수는 주파수 영역에서 적분 연산자 역할을 합니다.
적분기 출력에서 신호의 스펙트럼 밀도입니다.
많은 무선 엔지니어링 장치에서는 출력 신호가 입력 동작의 적분에 비례하는 물리적 시스템인 소위 적분기가 사용됩니다. 다음 법칙에 따라 입력 신호를 출력 신호로 변환하는 적분기를 구체적으로 고려해 보겠습니다.
여기에 고정 매개변수가 있습니다.
(2.36)에 포함된 정적분은 신호의 역도함수 두 값 사이의 차이와 분명히 동일하며, 그 중 하나는 인수 t로 계산되고 다른 하나는 인수 로 계산됩니다. 관계식 (2.28)과 (2.35)를 사용하여 입력과 출력에서 신호의 스펙트럼 밀도 간의 관계에 대한 공식을 얻습니다.
괄호 안의 요소는 모든 주파수에서 제한되는 반면, 분모의 크기는 주파수가 증가함에 따라 선형적으로 증가합니다. 이는 문제의 적분기가 저역 통과 필터처럼 작동하여 입력 신호의 고주파수 스펙트럼 구성 요소를 감쇠한다는 것을 나타냅니다.
푸리에 급수의 이론에 따르면, 주기함수와 독립변수의 변화구간이 제한된 함수(함수를 주기적으로 확장하면 이 구간을 축 전체로 확장할 수 있으므로)를 다룰 때 적용 가능하다. 그러나 주기 함수는 실제로는 상대적으로 드뭅니다. 이러한 상황에서는 비주기 함수를 처리하기 위한 보다 일반적인 수학적 장치, 즉 푸리에 적분과 그에 기초한 푸리에 변환의 생성이 필요합니다.
l®?에 대해 주기 T=2l를 갖는 주기 함수의 극한으로 비주기 함수 f(t)를 고려해 보겠습니다.
주기가 2l인 주기함수는 푸리에 급수 전개로 표현될 수 있습니다(복소 형식을 사용하겠습니다).
여기서 계수에 대한 표현식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.
주파수에 대한 다음 표기법을 소개하겠습니다.
(1)에서 계수 (2)와 주파수 (3)에 대한 표현을 대체하여 하나의 공식 형태로 푸리에 급수의 전개를 작성해 보겠습니다.
주기가 2l인 주기 함수의 이산 스펙트럼
진동의 기본 주파수와 동일한 스펙트럼 점 사이의 최소 거리를 나타냅니다.
(4)에 이 표기법을 도입합니다.
이 표기법에서 푸리에 급수는 함수의 적분합과 유사합니다.
T=2l®의 한계에 도달하시겠습니까? 비주기적 함수에 대해 주파수 간격은 극소화되고(dw로 나타냄) 스펙트럼은 연속적이 된다는 것을 알 수 있습니다. 수학적 관점에서 이는 이산 세트에 대한 합산을 무한 한계에 대한 해당 변수에 대한 통합으로 대체하는 것에 해당합니다.
이 식은 푸리에 적분 공식입니다.
2.2 푸리에 변환 공식.
푸리에 적분을 두 공식의 중첩으로 표현하는 것이 편리합니다.
함수 f(t)의 첫 번째 공식에 따라 비교 가능한 함수 F(w)를 다음과 같이 부릅니다. 푸리에 변환. 그러면 이미지에서 원래 함수를 찾을 수 있는 두 번째 공식이 호출됩니다. 역 푸리에 변환. 1/2p의 상수 인자와 지수 부호의 정확도까지 직접 및 역 푸리에 변환에 대한 공식의 대칭성에 주목해 보겠습니다.
기호적으로 직접 및 역 푸리에 변환은 f(t)~F(w)로 표시됩니다.
삼각법 푸리에 급수와 유사점을 그리면 푸리에 이미지(6)가 푸리에 계수((2) 참조)와 유사하고 역 푸리에 변환(7)이 확장과 유사하다는 결론에 도달할 수 있습니다. 함수를 삼각 푸리에 급수로 변환합니다((1) 참조).
역변환 대신 승수는 직접 푸리에 변환에 기인하거나 직접 및 역변환에 대해 대칭 요소를 만들 수 있습니다. 가장 중요한 것은 두 변환이 함께 푸리에 적분 공식(5)을 형성한다는 것입니다. 직접변환과 역변환 중 상수 인자의 곱은 동일해야 합니다.
적용 목적상 더 편리한 것은 각주파수 w가 아니라 w = 2pn 관계에 의해 첫 번째 주파수와 연관된 주파수 n입니다. 헤르츠(Hz) 단위로 측정됩니다. 이 주파수 측면에서 푸리에 변환 공식은 다음과 같습니다.
푸리에 변환이 존재하기 위한 충분한 조건을 증명 없이 공식화해 보겠습니다.
- 1) f(t) - t?(-?,?)로 제한됨;
- 2) f(t) - t?(-?,?)에서 절대적으로 적분 가능합니다.
- 3) 불연속점의 수, 함수 f(t)의 최대값과 최소값은 유한합니다.
또 다른 충분 조건은 함수가 실제 축에서 2차 적분 가능해야 한다는 요구 사항이며, 이는 유한한 신호 전력 요구 사항에 물리적으로 해당합니다.
따라서 푸리에 변환을 사용하면 신호를 표현하는 두 가지 방법, 즉 시간 f(t)와 주파수 F(w)가 있습니다.
- 2.3 푸리에 변환의 속성.
- 1. 선형성.
f(t)~F(w),g(t)~G(w)이면,
그런 다음 аf(t)+bg(t) ~aF(w)+bG(w).
증명은 적분의 선형 속성을 기반으로 합니다.
- 2. 동등.
- 2.1 f(t)가 실수 짝수 함수이고 f(t)~F(w)이면 F(w)도 실수 짝수 함수입니다.
증거:
정의 (6)과 오일러 공식을 사용하여 다음을 얻습니다.
- -짝수 기능.
- 2.2 f(t)가 홀수 실수 함수이면 F(w)는 홀수 허수 함수입니다.
2.3 f(t)가 임의의 실수 함수인 경우 F(w)는 짝수 실수 부분과 홀수 허수 부분을 갖습니다.
증거:
패리티 2의 속성은 다음 공식으로 요약될 수 있습니다.
3. 유사성
f(t)~F(w)이면 f(at)~입니다.
- 4. 편견.
- 4.1 f(t)~F(w)이면 f(t-a)~.
저것들. 시간 지연은 주파수 영역에서 복소 지수의 곱셈에 해당합니다.
4.2 f(t)~F(w)이면~.
저것들. 주파수 편이는 시간 영역에서 복소 지수를 곱하는 것에 해당합니다.
- 5. f(t)~F(w)이면
- 5.1 f'(t)~iwF(w),~
f(t)에 n개의 연속 도함수가 있는 경우.
증거:
F(w)에 n개의 연속 도함수가 있는 경우.
증거:
- 2.4 푸리에 변환을 찾는 가장 중요한 예.
직사각형 임펄스는 어디에 있습니까?
동시에 우리는 포아송 적분을 고려했습니다.
마지막 적분을 구하는 것은 다음과 같이 설명할 수 있습니다. 적분 윤곽선 C는 복소 평면(t,w)에서 실수 축(w는 상수)에 평행한 직선입니다. 닫힌 루프에 대한 스칼라 함수의 적분은 0입니다. 직선 C와 실수 축 t로 구성된 폐루프를 형성하고 무한대에서 닫힙니다. 왜냐하면 무한대에서 피적분 함수는 0이 되는 경향이 있으며 닫는 곡선을 따른 적분은 0과 같습니다. 이는 직선 C를 따른 적분은 양의 방향으로 지나가는 실제 실수 축을 따라 취한 적분과 동일하다는 것을 의미합니다.
2 .5 신호의 시간-주파수 표현에 대한 불확정성 원리.
직사각형 펄스의 예를 사용하여 유효성을 보여줍니다. 불확정성 원리펄스를 시간에 맞춰 동시에 위치화하고 주파수 선택성을 향상시키는 것이 불가능하다는 사실로 구성됩니다.
5)에 따르면 시간 영역 DT에서 직사각형 펄스의 폭은 2T와 같습니다. 주파수 영역에서 중앙 혹의 인접한 영점 사이의 거리를 직사각형 펄스의 푸리에 이미지 폭으로 사용합니다. 함수의 첫 번째 0은 at입니다.
따라서 우리는 얻는다
따라서 펄스가 시간에 따라 더 많이 국한될수록 스펙트럼이 더 많이 번집니다. 반대로 스펙트럼을 줄이려면 시간에 맞춰 펄스를 늘려야 합니다. 이 원리는 모든 형태의 충동에 유효하며 보편적입니다.
2.6 컨볼루션과 그 속성
컨볼루션(Convolution)은 신호를 필터링할 때 주요 절차입니다.
다음 적분으로 정의된 경우 함수 h(t)를 비주기 함수 f(t)와 h(t)의 컨볼루션이라고 부르겠습니다.
우리는 이 사실을 상징적으로 다음과 같이 표시할 것입니다.
컨볼루션 작업에는 다음과 같은 속성이 있습니다.
- 1. 교환성.
교환성 증명은 변수 t-t=t'를 변경하여 얻을 수 있습니다.
- 2. 연관성
증거:
- 3. 분배성
이 속성의 증명은 적분의 선형 속성에서 직접 따릅니다.
신호 처리에 있어 푸리에 방법(푸리에 변환 공식 다음으로)에서 가장 중요한 것은 컨볼루션 정리입니다. w 대신에 주파수 n을 사용하겠습니다. 왜냐하면 이 표현의 컨볼루션 정리는 상호 역전이 가능합니다.
2.7 컨벌루션 정리
첫 번째 컨볼루션 정리.
함수의 직접 곱의 푸리에 변환은 변환의 컨볼루션과 같습니다.
증거:
그럼 그렇게 놔두세요. 역 푸리에 변환의 정의를 사용하고 적분 순서를 변경하면 다음을 얻을 수 있습니다.
각주파수 w 측면에서 이 정리는 덜 보편적인 형식을 갖습니다.
두 번째 컨볼루션 정리.
함수 컨볼루션의 푸리에 변환은 변환의 직접 곱과 같습니다.
증거:
예를 들어 직사각형 펄스의 컨볼루션을 생각해 보세요.
t에서 f(t)=0 조건에 따라<-T и приt>T. 유사하게, f(t-t)=0에 대해
으-티<-T и при t-t>묶다. att>t+T 및 att -2T에서 두 경우를 결합하여 컨볼루션에 대한 표현식을 얻습니다. 따라서 직사각형 펄스 자체의 컨볼루션은 삼각형 펄스가 됩니다(때때로 이 함수를 L 함수라고 함). 컨볼루션 정리를 사용하면 L 함수의 푸리에 변환을 쉽게 얻을 수 있습니다. 실제로 물리적 상황은 t에서 0과 같은 함수에 해당합니다.<0. Это приводит к тому, что бесконечные пределы заменяются конечными. 함수 f(t)와 g(t)의 컨볼루션을 구합니다. 왜냐하면 f(t)=0 att<0 и g(t-t)=0 при t-t<0,т.е. приt>티. 두 함수 f(t)와 g(t)의 상호 상관 개념을 소개하겠습니다. 여기서 t는 간격(-?,?)에서 연속적으로 변하는 시간 이동입니다. 중요한 개념은 자기상관(autocorrelation)이라고 불리는 함수 자체와의 상관관계입니다. 신호 전력과 에너지의 개념을 고려해 보겠습니다. 이러한 개념의 중요성은 모든 정보 전송이 실제로 에너지 전송이라는 사실로 설명됩니다. 임의의 복소 신호 f(t)를 생각해 보세요. 순간 신호 전력 p(t)는 등식에 의해 결정됩니다. 총 에너지는 신호가 존재하는 전체 기간 동안의 순간 전력을 적분한 것과 같습니다. 신호 전력은 주파수의 함수로 간주될 수도 있습니다. 이 경우 순간 주파수 전력은 다음과 같이 표시됩니다. 총 신호 에너지는 다음 공식으로 계산됩니다. 총 신호 에너지는 선택한 표현에 따라 달라져서는 안 됩니다. 시간과 주파수 표현에서 계산된 총 에너지 값은 일치해야 합니다. 따라서 오른쪽을 동일시하면 평등을 얻습니다. 이러한 동등성은 비주기 신호에 대한 Parseval 정리의 내용을 구성합니다. 이 정리에 대한 엄격한 증명은 "일반화된 함수" 주제를 연구할 때 제공됩니다. 마찬가지로 두 개의 서로 다른 신호 f(t)와 g(t)의 상호 작용 에너지를 시간 및 주파수 표현으로 표현하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다. 파세발 정리의 수학적 의미를 알아봅시다. 수학적 관점에서 적분은 (f,g)로 표시되는 함수 f(t)와 g(t)의 스칼라 곱입니다. 양은 함수 f(t)의 놈(norm)이라고 불리며 다음과 같이 표시됩니다. 따라서 Parseval의 정리에 따르면 스칼라 곱은 푸리에 변환에서 불변입니다. 즉, 주파수의 함수로 간주되는 순간 신호 전력, 즉 , 일반적으로 허용되는 또 다른 이름 인 전력 스펙트럼이 있습니다. 파워 스펙트럼은 스펙트럼 분석의 주요 수학적 도구로, 이를 통해 신호의 주파수 구성을 결정할 수 있습니다. 신호 전력 스펙트럼 외에도 실제로 진폭 및 위상 스펙트럼이 사용되며 각각 다음과 같이 정의됩니다. 신호 전력 스펙트럼 밀도 f(t)는 자기상관 함수의 푸리에 변환과 같습니다. 교차 스펙트럼 신호 f(t) 및 g(t)의 밀도는 상관 함수의 푸리에 변환과 같습니다. 두 진술을 하나로 결합할 수 있습니다. 스펙트럼 밀도는 상관 함수의 푸리에 변환과 같습니다. 증명은 나중에 일반화된 함수의 개념을 소개한 후에 제공될 것입니다. 나는 일반적으로 푸리에 변환과 같은 훌륭한 수학적 도구의 존재를 모든 사람이 알고 있다고 믿습니다. 그러나 어떤 이유로 대학에서는 이러한 변환이 어떻게 작동하고 올바르게 사용되어야 하는지를 이해하는 사람이 상대적으로 거의 없기 때문에 교육이 너무 부족합니다. 한편, 이 변환의 수학은 놀랍도록 아름답고 단순하며 우아합니다. 푸리에 변환과 계산 처리를 위해 아날로그 신호를 디지털 신호로 효과적으로 변환하는 방법에 대한 관련 주제에 대해 좀 더 자세히 알아보시기 바랍니다. 복잡한 공식과 Matlab을 사용하지 않고 다음 질문에 대답하려고 노력할 것입니다. 나는 독자가 적분, 복소수(계수 및 인수 포함), 함수의 컨볼루션, 그리고 적어도 Dirac 델타 함수가 무엇인지에 대한 "실습" 아이디어가 무엇인지 이해하고 있다는 가정을 바탕으로 진행하겠습니다. 이다. 모르신다면 문제 없습니다. 위의 링크를 읽어보세요. 이 텍스트 전체에서 "함수 곱"이란 "점별 곱셈"을 의미합니다. 우리는 아마도 일반적인 푸리에 변환이 이름에서 짐작할 수 있듯이 하나의 함수를 다른 함수로 변환하는 일종의 것이라는 사실부터 시작해야 할 것입니다. 즉, 실제 변수 x(t)의 각 함수를 해당 함수와 연관시킵니다. 스펙트럼 또는 푸리에 이미지 y(w): 비유를 제공하면 의미가 유사한 변환의 예는 예를 들어 함수를 파생물로 바꾸는 차별화일 수 있습니다. 즉, 푸리에 변환은 본질적으로 도함수를 취하는 것과 동일한 연산이며, 함수 위에 삼각형 "모자"를 그리는 방식으로 유사한 방식으로 표시되는 경우가 많습니다. 실수에 대해서도 정의할 수 있는 미분과 달리 푸리에 변환은 항상 보다 일반적인 복소수에 대해 "작동"합니다. 이 때문에 이 변환 결과를 표시하는 데 문제가 지속적으로 발생합니다. 왜냐하면 복소수는 실수로 작동하는 그래프에서 하나가 아니라 두 개의 좌표로 결정되기 때문입니다. 일반적으로 가장 편리한 방법은 모듈러스와 인수의 형태로 복소수를 표현하고 이를 두 개의 개별 그래프로 별도로 그리는 것입니다. 이 경우 복소수 값의 인수 그래프를 "위상 스펙트럼"이라고 하며, 모듈러스 그래프를 "진폭 스펙트럼"이라고 하는 경우가 많습니다. 일반적으로 진폭 스펙트럼이 훨씬 더 중요하므로 스펙트럼의 "위상" 부분을 건너뛰는 경우가 많습니다. 이 기사에서는 "진폭"에 대해서도 초점을 맞추겠지만, 그래프에서 누락된 위상 부분의 존재를 잊어서는 안 됩니다. 또한 복소수 값의 일반적인 모듈 대신 10을 곱한 십진 로그를 그리는 경우가 많으며 그 결과는 로그 그래프가 되며 그 값은 데시벨(dB)로 표시됩니다. 로그 그래프에서 매우 음수가 아닌(-20dB 이하) 숫자는 "일반" 그래프에서 거의 0에 해당합니다. 따라서 이러한 그래프에서 다양한 스펙트럼의 길고 넓은 "꼬리"는 일반적으로 "일반적인" 좌표로 표시될 때 실제로 사라집니다. 언뜻보기에 이러한 이상한 표현의 편리함은 다양한 기능의 푸리에 이미지가 종종 서로 곱해질 필요가 있다는 사실에서 발생합니다. 복소수 푸리에 이미지의 점별 곱셈을 통해 위상 스펙트럼이 추가되고 진폭 스펙트럼이 곱해집니다. 첫 번째는 쉽게 할 수 있지만 두 번째는 상대적으로 어렵습니다. 그러나 진폭을 곱하면 진폭의 로그가 합산되므로 로그 진폭 그래프는 위상 그래프처럼 간단히 점별로 추가할 수 있습니다. 또한 실제 문제에서는 신호의 "진폭"이 아닌 "전력"(진폭의 제곱)을 사용하여 작동하는 것이 더 편리한 경우가 많습니다. 로그 눈금에서 두 그래프(진폭 및 전력)는 동일하게 보이고 계수만 다릅니다. 전력 그래프의 모든 값은 진폭 눈금의 정확히 두 배입니다. 따라서 주파수(데시벨 단위)별로 전력 분포를 플롯하려면 아무것도 제곱할 수 없지만 십진수 로그를 계산하고 20을 곱합니다. 지루합니까? 조금만 더 기다리시면 그래프를 해석하는 방법을 설명하는 지루한 기사 부분이 곧 끝날 것입니다 :). 하지만 그 전에 이해해야 할 매우 중요한 사항이 하나 있습니다. 위의 스펙트럼 그래프는 모두 일부 제한된 범위의 값(특히 양수)에 대해 그려졌지만 실제로는 이 모든 그래프가 플러스 마이너스 무한대로 계속됩니다. 그래프는 단순히 그래프의 "가장 의미 있는" 부분을 묘사하는데, 이는 일반적으로 매개변수의 음수 값에 대해 미러링되며 더 큰 규모로 볼 때 특정 단계에서 주기적으로 반복되는 경우가 많습니다. 그래프에 무엇을 그릴지 결정한 후 푸리에 변환 자체와 해당 속성으로 돌아가 보겠습니다. 이 변환을 정의하는 방법에는 여러 가지가 있으며, 작은 세부 사항(다른 정규화)이 다릅니다. 예를 들어, 우리 대학에서는 어떤 이유로든 각주파수(초당 라디안)로 스펙트럼을 정의하는 푸리에 변환의 정규화를 자주 사용합니다. 나는 일반적인 주파수(헤르츠)로 스펙트럼을 정의하는 보다 편리한 서양 공식을 사용하겠습니다. 이 경우 직접 및 역 푸리에 변환은 왼쪽의 공식에 의해 결정되며, 우리에게 필요한 이 변환의 일부 속성은 오른쪽의 7개 점 목록에 의해 결정됩니다. 이러한 속성 중 첫 번째는 선형성입니다. 함수의 선형 조합을 취하면 이 조합의 푸리에 변환은 이러한 함수의 푸리에 이미지의 동일한 선형 조합이 됩니다. 이 속성을 사용하면 복잡한 함수와 푸리에 이미지를 더 간단한 함수로 줄일 수 있습니다. 예를 들어, 주파수 f와 진폭 a를 갖는 정현파 함수의 푸리에 변환은 점 f와 -f에 위치한 두 델타 함수와 계수 a/2의 조합입니다. 서로 다른 주파수를 갖는 정현파 집합의 합으로 구성된 함수를 취하면 선형성 속성에 따라 이 함수의 푸리에 변환은 해당 델타 함수 집합으로 구성됩니다. 이를 통해 "함수의 스펙트럼에서 주파수 f가 진폭 a에 해당하면 원래 함수는 정현파의 합으로 표현될 수 있으며 그 중 하나는 다음과 같습니다"라는 원칙에 따라 스펙트럼에 대한 순진하지만 시각적인 해석을 제공할 수 있습니다. 주파수 f와 진폭 2a를 갖는 정현파.” 엄밀히 말하면 델타 함수와 그래프의 점은 완전히 다른 것이기 때문에 이 해석은 올바르지 않습니다. 그러나 나중에 보게 되겠지만 이산 푸리에 변환의 경우 진실과 크게 다르지 않습니다. 푸리에 변환의 두 번째 속성은 신호의 시간 이동으로부터 진폭 스펙트럼의 독립성입니다. x축을 따라 함수를 왼쪽이나 오른쪽으로 이동하면 해당 위상 스펙트럼만 변경됩니다. 세 번째 속성은 원래 함수를 시간 축(x)을 따라 늘리는(압축) 것이 주파수 스케일(w)을 따라 푸리에 이미지를 비례적으로 압축(늘리는)한다는 것입니다. 특히, 유한한 지속 시간의 신호 스펙트럼은 항상 무한히 넓으며, 반대로 유한한 폭의 스펙트럼은 항상 지속 시간이 무제한인 신호에 해당합니다. 네 번째와 다섯 번째 속성이 아마도 가장 유용할 것입니다. 이는 함수의 컨볼루션을 푸리에 이미지의 점별 곱셈으로 줄이는 것을 가능하게 하며, 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 즉, 푸리에 이미지의 컨볼루션에 대한 함수의 점별 곱셈입니다. 조금 더 나아가 이것이 얼마나 편리한지 보여드리겠습니다. 여섯 번째 속성은 푸리에 이미지의 대칭성을 나타냅니다. 특히, 이 속성으로부터 실수 값 함수(즉, "실수" 신호)의 푸리에 변환에서 진폭 스펙트럼은 항상 짝수 함수이고 위상 스펙트럼(범위 -pi에 도달하는 경우)이 발생합니다. ...pi)는 이상한 것입니다. 이러한 이유로 스펙트럼의 음수 부분은 스펙트럼 그래프에 거의 그려지지 않습니다. 실제 값 신호의 경우 새로운 정보를 제공하지 않습니다(그러나 반복하지만 0도 아닙니다). 마지막으로, 마지막 일곱 번째 속성은 푸리에 변환이 신호의 "에너지"를 보존한다는 것입니다. 이는 에너지가 유한한 유한 지속 시간의 신호에만 의미가 있으며, 무한대에서 그러한 신호의 스펙트럼이 빠르게 0에 가까워진다는 것을 의미합니다. 스펙트럼 그래프가 일반적으로 에너지의 가장 큰 몫을 전달하는 신호의 "주요" 부분만 표시하는 것은 바로 이 속성 때문입니다. 그래프의 나머지 부분은 단순히 0이 되는 경향이 있습니다(그러나 다시 0이 아닙니다). 이러한 7가지 속성을 갖춘 신호 "디지털화"의 수학을 살펴보겠습니다. 이를 통해 연속 신호를 일련의 숫자로 변환할 수 있습니다. 이렇게 하려면 "Dirac 빗"이라는 기능을 사용해야 합니다. Dirac 빗은 단순히 0에서 시작하여 단계 T로 진행되는 단일 계수를 갖는 델타 함수의 주기적인 시퀀스입니다. 디지털화 신호의 경우 T는 가능한 작은 수인 T로 선택됩니다.<<1. Фурье-образ этой функции - тоже гребенка Дирака, только с гораздо большим шагом 1/T и несколько меньшим коэффициентом (1/T). С математической точки зрения, дискретизация сигнала по времени - это просто поточечное умножение исходного сигнала на гребенку Дирака. Значение 1/T при этом называют частотой дискретизации: 연속 함수 대신 이러한 곱셈 후에 특정 높이의 일련의 델타 펄스가 얻어집니다. 더욱이, 푸리에 변환의 속성 5에 따르면, 결과 이산 신호의 스펙트럼은 해당 Dirac 빗을 사용한 원래 스펙트럼의 컨볼루션입니다. 컨볼루션의 특성에 따라 원래 신호의 스펙트럼이 1/T 간격으로 주파수 축을 따라 무한 횟수 "복사"된 후 합산된다는 것을 이해하기 쉽습니다. 원래 스펙트럼의 너비가 유한하고 충분히 높은 샘플링 주파수를 사용한 경우 원래 스펙트럼의 복사본은 겹치지 않으므로 서로 합산되지 않습니다. 이러한 "접힌" 스펙트럼에서 원래 스펙트럼을 복원하는 것이 쉬울 것이라는 것을 이해하기 쉽습니다. 단순히 0 영역의 스펙트럼 구성 요소를 가져 와서 무한대로 이동하는 추가 복사본을 "절단"하는 것만으로도 충분합니다. 이를 수행하는 가장 간단한 방법은 스펙트럼에 -1/2T...1/2T 범위의 T와 이 범위 밖의 0과 동일한 직사각형 함수를 곱하는 것입니다. 이러한 푸리에 변환은 함수 sinc(Tx)에 해당하며 속성 4에 따르면 이러한 곱셈은 원래 델타 함수 시퀀스를 함수 sinc(Tx)와 컨볼루션하는 것과 동일합니다. 즉, 푸리에 변환을 사용하면 시간 샘플링된 신호에서 원래 신호를 쉽게 재구성할 수 있는 방법이 있습니다. 이는 (스펙트럼에 음의 주파수가 존재하기 때문에) 최소 두 배의 샘플링 주파수를 사용하는 경우에 작동합니다. 원래 신호에 존재하는 최대 주파수보다 높습니다. 이 결과는 널리 알려져 있으며 "Kotelnikov/Shannon-Nyquist 정리"라고 불립니다. 그러나 지금은 (증거를 이해하면서) 쉽게 알 수 있듯이 널리 퍼져 있는 오해와는 달리 이 결과는 다음을 결정합니다. 충분한, 하지만 필요한원래 신호를 복원하기 위한 조건. 우리에게 필요한 것은 신호를 샘플링한 후 관심 있는 스펙트럼 부분이 서로 겹치지 않는지 확인하고 신호가 충분히 협대역인 경우(스펙트럼의 0이 아닌 부분의 작은 "폭"을 가짐), 그러면 이 결과는 종종 신호의 최대 주파수의 두 배보다 훨씬 낮은 샘플링 주파수에서 달성될 수 있습니다. 이 기술을 "언더샘플링"(서브샘플링, 대역통과 샘플링)이라고 하며 모든 종류의 무선 신호를 처리하는 데 널리 사용됩니다. 예를 들어, 88~108MHz 주파수 대역에서 작동하는 FM 라디오를 디지털화하려면 코텔니코프 정리에서 가정하는 216MHz 대신 43.5MHz 주파수의 ADC를 사용할 수 있습니다. 하지만 이 경우에는 고품질 ADC와 좋은 필터가 필요합니다. 더 낮은 차수의 주파수(앨리어싱)와 높은 주파수의 "중복"은 결과를 돌이킬 수 없게 "망칠" 수 있는 신호 샘플링의 즉각적인 속성이라는 점에 주목하겠습니다. 따라서 원칙적으로 신호에 고차 주파수가 포함될 수 있는 경우(즉, 거의 항상) 아날로그 필터가 ADC 앞에 배치되어 원래 신호에서 불필요한 모든 것을 직접 "차단"합니다(샘플링 이후). 이렇게 하기에는 너무 늦을 것입니다.) 아날로그 장치로서 이러한 필터의 특성은 이상적이지 않으므로 신호에 대한 일부 "손상"이 여전히 발생하며 실제로 스펙트럼의 가장 높은 주파수는 일반적으로 신뢰할 수 없습니다. 이 문제를 줄이기 위해 입력 아날로그 필터를 더 낮은 대역폭으로 설정하고 이론적으로 사용 가능한 ADC의 주파수 범위 중 더 낮은 부분만 사용하여 신호를 오버샘플링하는 경우가 많습니다. 그런데 또 다른 일반적인 오해는 DAC 출력의 신호가 "단계"로 그려지는 경우입니다. "단계"는 너비 T와 높이 1의 직사각형 함수를 사용하여 샘플링된 신호 시퀀스의 컨볼루션에 해당합니다. 이 변환이 포함된 신호 스펙트럼에는 이 직사각형 함수의 푸리에 이미지가 곱해지며 유사한 직사각형 함수의 경우 다시 sinc(w)로 "늘어나며" 더 많이 늘어날수록 해당 직사각형의 너비는 작아집니다. 이러한 "DAC"를 사용하여 샘플링된 신호의 스펙트럼은 이 스펙트럼에 의해 점별로 곱해집니다. 이 경우 스펙트럼의 "추가 복사본"이 있는 불필요한 고주파수는 완전히 차단되지 않지만 반대로 스펙트럼의 "유용한" 부분의 위쪽 부분은 감쇠됩니다. 물론 실제로는 아무도 이렇게 하지 않습니다. DAC를 구성하는 방법에는 여러 가지가 있지만 가장 가까운 가중치 유형 DAC에서도 DAC의 직사각형 펄스는 반대로 가능한 한 짧게 선택됩니다(델타 함수의 실제 시퀀스에 접근). 스펙트럼의 유용한 부분이 과도하게 억제되는 것을 방지합니다. 결과 광대역 신호의 "추가" 주파수는 아날로그 저역 통과 필터를 통해 신호를 통과시켜 거의 항상 상쇄되므로 변환기 "내부" 또는 특히 출력에 "디지털 단계"가 없습니다. 그러나 푸리에 변환으로 돌아가 보겠습니다. 미리 샘플링된 신호 시퀀스에 적용된 위에서 설명한 푸리에 변환을 이산 시간 푸리에 변환(DTFT)이라고 합니다. 이러한 변환을 통해 얻은 스펙트럼은 항상 1/T 주기이므로 DTFT 스펙트럼은 세그먼트의 값에 의해 완전히 결정됩니다.
