Olkoon funktio annettu parametrisesti:
(1)
jossa on jokin muuttuja, jota kutsutaan parametriksi. Ja anna funktioilla olla derivaatat tietyllä muuttujan arvolla. Lisäksi funktiolla on myös käänteisfunktio tietyssä pisteen ympäristössä. Tällöin funktiolla (1) on pisteessä derivaatta, joka parametrimuodossa määritetään kaavoilla:
(2)

Tässä ja ovat funktioiden ja muuttujan (parametrin) johdannaiset. Ne kirjoitetaan usein seuraavasti:
;
.

Sitten järjestelmä (2) voidaan kirjoittaa seuraavasti:

Todiste

Ehdon mukaan funktiolla on käänteisfunktio. Merkitään se nimellä
.
Sitten alkuperäinen funktio voidaan esittää monimutkaisena funktiona:
.
Etsitään sen derivaatta käyttämällä monimutkaisten ja käänteisten funktioiden erottamissääntöjä:
.

Sääntö on todistettu.

Todistus toisella tavalla

Etsitään derivaatta toisella tavalla funktion derivaatan määritelmän perusteella pisteessä:
.
Otetaan käyttöön merkintä:
.
Sitten edellinen kaava saa muodon:
.

Hyödynnetään sitä, että funktiolla on käänteisfunktio pisteen läheisyydessä.
Otetaan käyttöön seuraava merkintä:
; ;
; .
Jaa murtoluvun osoittaja ja nimittäjä:
.
klo , .
.

Sääntö on todistettu.

Sitten

Korkeamman asteen johdannaiset
(1)

Korkeamman asteen johdannaisten löytämiseksi on välttämätöntä suorittaa differentiointi useita kertoja. Oletetaan, että meidän on löydettävä parametrisesti määritellyn funktion toisen asteen derivaatta seuraavassa muodossa:
(2)

Kaavan (2) avulla löydämme ensimmäisen derivaatan, joka myös määritetään parametrisesti:
.
Merkitään ensimmäinen derivaatta muuttujalla:
(3)
Sitten, jotta voit löytää funktion toisen derivaatan muuttujan suhteen, sinun on löydettävä funktion ensimmäinen derivaatta muuttujan suhteen. Muuttujan riippuvuus muuttujasta määritellään myös parametrisesti:

Vertaamalla (3) kaavoihin (1) ja (2), löydämme:
.
Ilmaistaan nyt tulos funktioiden ja . Tehdään tämä korvaamalla ja soveltamalla johdannaisen murtolukukaavaa:
.

Sitten

Tästä saamme funktion toisen derivaatan muuttujan suhteen:
.

Se annetaan myös parametrimuodossa. Huomaa, että ensimmäinen rivi voidaan kirjoittaa myös seuraavasti:

Huomaa, että meidän ei tarvitse ottaa käyttöön merkintää derivaatalle. Voit kirjoittaa sen näin:
;
.

Esimerkki 1

Etsi parametrisesti määritellyn funktion derivaatta:

Ratkaisu

Löydämme johdannaisia suhteessa .
Johdannaisten taulukosta löydämme:
;
.
Haemme:

.
täällä .

.
täällä .

Vaadittu johdannainen:
.

Vastaus

Esimerkki 2

Etsi parametrin kautta ilmaistu funktion derivaatta:

Ratkaisu

Laajennamme sulkuja potenssifunktioiden ja juurien kaavoilla:
.

Johdannan löytäminen:

.

Johdannan löytäminen. Tätä varten otamme käyttöön muuttujan ja soveltamme kompleksisen funktion derivaatan kaavaa.

.

Löydämme halutun johdannaisen:
.

Vastaus

Esimerkki 3

Etsi esimerkissä 1 parametrisesti määritellyn funktion toisen ja kolmannen asteen derivaatat:

Ratkaisu

Esimerkissä 1 löysimme ensimmäisen kertaluvun derivaatan:

Esittelemme nimityksen. Silloin funktio on johdannainen suhteessa . Se määritetään parametrisesti:

Löytääksemme toisen derivaatan suhteessa , meidän on löydettävä ensimmäinen derivaatta suhteessa .

Tehdään ero .
.
Löysimme esimerkissä 1 johdannaisen:
.
Toisen kertaluvun johdannainen suhteessa on yhtä suuri kuin ensimmäisen kertaluvun johdannainen suhteessa:
.

Joten löysimme toisen asteen derivaatan parametrisen muodon suhteen:

Nyt löydämme kolmannen asteen derivaatan. Esittelemme nimityksen. Sitten meidän on löydettävä funktion ensimmäisen kertaluvun derivaatta, joka määritellään parametrisesti:

Etsi johdannainen suhteessa . Tätä varten kirjoitamme sen uudelleen vastaavaan muotoon:
.
From
.

Kolmannen kertaluvun johdannainen suhteessa on yhtä suuri kuin ensimmäisen kertaluvun johdannainen suhteessa:
.

Kommentti

Sinun ei tarvitse syöttää muuttujia ja , jotka ovat ja johdannaisia, vastaavasti. Sitten voit kirjoittaa sen näin:
;
;
;
;
;
;
;
;
.

Vastaus

Parametrisessa esityksessä toisen asteen derivaatalla on seuraava muoto:

Kolmannen asteen johdannainen.

Tähän asti olemme tarkastelleet tasossa olevia suorien yhtälöitä, jotka yhdistävät suoraan näiden suorien pisteiden nykyiset koordinaatit. Usein käytetään kuitenkin toista suoran määrittelytapaa, jossa nykyiset koordinaatit katsotaan kolmannen muuttujan funktioiksi.

Olkoon muuttujan kaksi funktiota annettu

otetaan huomioon samoilla t:n arvoilla. Sitten mikä tahansa näistä t:n arvoista vastaa tiettyä arvoa ja tiettyä y:n arvoa ja siten tiettyä pistettä. Kun muuttuja t kulkee kaikkien funktioiden määrittelyalueen (73) arvojen läpi, piste kuvaa tietyn tason C Yhtälöjä (73) kutsutaan tämän suoran parametriyhtälöiksi ja muuttujaa kutsutaan parametri.

Oletetaan, että funktiolla on käänteisfunktio, kun tämä funktio korvataan yhtälöstä (73), saadaan yhtälö

ilmaisemalla y:n funktiona

Sovitaan, että tämä funktio on parametrisesti annettu yhtälöillä (73). Siirtymää näistä yhtälöistä yhtälöön (74) kutsutaan parametrien eliminoimiseksi. Kun tarkastellaan parametrisesti määriteltyjä toimintoja, parametrin poissulkeminen ei ole vain välttämätöntä, mutta ei myöskään aina käytännössä mahdollista.

Monissa tapauksissa on paljon helpompaa kysyä erilaisia merkityksiä parametri, laske sitten argumentin ja funktion y vastaavat arvot kaavoilla (73).

Katsotaanpa esimerkkejä.

Esimerkki 1. Olkoon mielivaltainen piste ympyrällä, jonka keskipiste on origossa ja säde R. Tämän pisteen suorakulmaiset koordinaatit x ja y ilmaistaan sen napasäteen ja napakulman kautta, jota tässä merkitään t:llä seuraavasti ( katso I luku, 3 §, 3 kohta):

Yhtälöitä (75) kutsutaan ympyrän parametrisiksi yhtälöiksi. Parametri niissä on napakulma, joka vaihtelee välillä 0 - .

Jos yhtälöt (75) neliötetään termi kerrallaan ja lisätään yhteen, parametri identiteetin perusteella eliminoidaan ja saadaan karteesisen koordinaatiston ympyrän yhtälö, joka määrittelee kaksi perusfunktiota:

Jokainen näistä funktioista on määritelty parametrisesti yhtälöillä (75), mutta näiden funktioiden parametrialueet ovat erilaisia. Heistä ensimmäiselle; Tämän funktion kuvaaja on ylempi puoliympyrä. Toisen funktion kaavio on alempi puoliympyrä.

Esimerkki 2. Tarkastellaan samanaikaisesti ellipsiä

ja ympyrä, jonka keskipiste on origossa ja säde a (kuva 138).

Jokaiseen ellipsin pisteeseen M liitetään ympyrän piste N, jolla on sama abskissa kuin pisteellä M ja joka sijaitsee sen kanssa samalla puolella Ox-akselia. Pisteen N ja siten pisteen M asema määräytyy täysin pisteen napakulman t mukaan. Tässä tapauksessa niiden yhteiselle abskissalle saadaan seuraava lauseke: x = a. Löydämme pisteen M ordinaatin ellipsin yhtälöstä:

Merkki valittiin, koska pisteen M ordinaatilla ja pisteen N ordinaatalla on oltava samat merkit.

Siten ellipsille saadaan seuraavat parametriyhtälöt:

Tässä parametri t vaihtelee välillä 0 - .

Esimerkki 3. Tarkastellaan ympyrää, jonka keskipiste on pisteessä a) ja säde a ja joka selvästi koskettaa x-akselia origossa (kuva 139). Oletetaan, että tämä ympyrä vierii liukumatta x-akselia pitkin. Sitten ympyrän piste M, joka alkuhetkellä osui yhteen koordinaattien origon kanssa, kuvaa suoraa, jota kutsutaan sykloidiksi.

Johdetaan sykloidin parametriyhtälöt ottamalla parametriksi t ympyrän pyörimiskulma MSV siirrettäessä sen kiinteää pistettä paikasta O paikkaan M. Sitten pisteen M koordinaateille ja y:lle saadaan seuraavat lausekkeet:

Koska ympyrä vierii akselia pitkin liukumatta, segmentin OB pituus on yhtä suuri kuin kaaren BM pituus. Koska kaaren BM pituus on yhtä suuri kuin säteen a ja keskikulman t tulo, niin . Siksi . Mutta siksi,

Nämä yhtälöt ovat sykloidin parametriyhtälöitä. Kun parametri t muuttuu 0:sta ympyrään, tekee yhden täyden kierroksen. Piste M kuvaa sykloidin yhtä kaaria.

Parametrin t jättäminen pois tästä johtaa hankalia lausekkeisiin ja on käytännössä epäkäytännöllistä.

Linjojen parametrimäärittelyä käytetään erityisen usein mekaniikassa, ja parametrin roolissa on aika.

Esimerkki 4. Määritetään aseesta ammutun ammuksen lentorata, jonka alkunopeus on kulmassa a vaakatasoon nähden. Ilmanvastus ja ammuksen mitat huomioon ottaen aineellinen kohta, jätämme huomiotta.

Valitaan koordinaattijärjestelmä. Otetaan koordinaattien origoksi ammuksen lähtöpiste suosta. Ohjataan Ox-akseli vaakasuoraan ja Oy-akseli pystysuoraan asettamalla ne samaan tasoon aseen suuosan kanssa. Jos painovoimaa ei olisi, niin ammus liikkuisi suorassa linjassa muodostaen kulman a Ox-akselin kanssa, ja ajan t mukaan se olisi kulkenut etäisyyden ajan t ammuksen koordinaatit olisivat vastaavasti yhtä suuret vastaanottajalle: . Painovoiman vuoksi ammuksen on tähän hetkeen mennessä laskeuduttava pystysuunnassa tietyn verran. Siksi todellisuudessa ajankohtana t ammuksen koordinaatit määritetään kaavoilla:

Nämä yhtälöt sisältävät vakiosuureita. Kun t muuttuu, myös ammuksen lentoratapisteen koordinaatit muuttuvat. Yhtälöt ovat ammuksen liikeradan parametriyhtälöitä, joissa parametrina on aika

Ilmaiseminen ensimmäisestä yhtälöstä ja korvaamalla sen

toinen yhtälö, saamme ammuksen liikeradan yhtälön muodossa Tämä on paraabelin yhtälö.

Älä stressaa, kaikki tässä kappaleessa on myös melko yksinkertaista. Voit kirjoittaa yleisen kaavan parametrisesti annettu toiminto, mutta selkeyttääkseni kirjoitan sen heti ylös konkreettinen esimerkki. Parametrisessa muodossa funktio annetaan kahdella yhtälöllä: . Usein yhtälöt kirjoitetaan ei kiharasuluissa, vaan peräkkäin: , .

Muuttujaa kutsutaan parametriksi ja se voi ottaa arvoja "miinus äärettömyydestä" "plus äärettömyyteen". Harkitse esimerkiksi arvoa ja korvaa se molemmilla yhtälöillä: . Tai inhimillisesti sanottuna: "jos x on neljä, niin y on yhtä." Voit merkitä pisteen koordinaattitasolle, ja tämä piste vastaa parametrin arvoa. Vastaavasti voit löytää pisteen mille tahansa parametrin "te" arvolle. Mitä tulee "tavalliseen" funktioon, parametrisesti määritellyn funktion Amerikan intiaanien oikeuksia kunnioitetaan myös: voit rakentaa kaavion, löytää johdannaisia jne. Muuten, jos haluat piirtää parametrisesti määritellyn funktion kaavion, lataa geometrinen ohjelmani sivulta Matemaattiset kaavat ja pöydät.

Yksinkertaisimmissa tapauksissa funktio on mahdollista esittää eksplisiittisesti. Ilmaistaan parametri ensimmäisestä yhtälöstä: – ja korvaa se toiseen yhtälöön: . Tuloksena on tavallinen kuutiofunktio.

"Vakavammissa" tapauksissa tämä temppu ei toimi. Mutta sillä ei ole väliä, koska parametrisen funktion derivaatan löytämiseksi on kaava:

Löydämme johdannaisen "pelistä suhteessa muuttujaan te":

Kaikki differentiointisäännöt ja johdannaistaulukko pätevät luonnollisesti kirjaimelle , joten johdannaisten etsintäprosessissa ei ole mitään uutta. Korvaa vain henkisesti kaikki taulukon "X" kirjaimella "Te".

Löydämme "x:n" derivaatan muuttujan te suhteen:

Nyt ei jää muuta kuin korvata löydetyt johdannaiset kaavaamme:

Valmis. Derivaata, kuten itse funktio, riippuu myös parametrista.

Mitä tulee merkintään, sen sijaan, että kirjoittaisit sen kaavaan, se voitaisiin kirjoittaa ilman alaindeksiä, koska tämä on "säännöllinen" johdannainen "suhteessa X". Mutta kirjallisuudessa on aina vaihtoehto, joten en poikkea standardista.

Esimerkki 6

Käytämme kaavaa

SISÄÄN tässä tapauksessa:

Täten:

Erikoispiirre parametrisen funktion derivaatan löytämisessä on se, että jokaisessa vaiheessa on hyödyllistä yksinkertaistaa tulosta niin paljon kuin mahdollista. Joten tarkasteltavassa esimerkissä, kun löysin sen, avasin sulkeet juuren alle (vaikka en ehkä tehnyt tätä). On hyvä mahdollisuus, että kun korvataan kaavaan, monet asiat vähenevät hyvin. Vaikka tietysti on esimerkkejä, joissa on kömpelöitä vastauksia.

Esimerkki 7

Etsi parametrisesti määritellyn funktion derivaatta

Tämä on esimerkki itsenäinen päätös.

Artikkelissa Alkueläimet tyypillisiä tehtäviä johdannaisen kanssa tarkastelimme esimerkkejä, joissa meidän piti löytää funktion toinen derivaatta. Parametrisesti määritellylle funktiolle voit löytää myös toisen derivaatan, ja se löytyy seuraavalla kaavalla: . On aivan selvää, että toisen derivaatan löytämiseksi sinun on ensin löydettävä ensimmäinen derivaatta.

Esimerkki 8

Etsi parametrisesti annetun funktion ensimmäinen ja toinen derivaatta

Etsitään ensin ensimmäinen johdannainen.
Käytämme kaavaa

Tässä tapauksessa:

Korvaa löydetyt johdannaiset kaavaan. Yksinkertaistamiseksi käytämme trigonometristä kaavaa:

Huomasin, että parametrisen funktion derivaatan löytämisongelmassa on melko usein yksinkertaistamisen vuoksi tarpeen käyttää trigonometriset kaavat . Muista ne tai pidä ne käsillä, äläkä missaa mahdollisuutta yksinkertaistaa jokaista välitulosta ja vastauksia. Minkä vuoksi? Nyt meidän on otettava johdannainen , ja tämä on selvästi parempi kuin derivaatan löytäminen.

Etsitään toinen derivaatta.
Käytämme kaavaa: .

Katsotaanpa kaavaamme. Nimittäjä on jo löydetty edellisessä vaiheessa. On vielä löydettävä osoittaja - ensimmäisen derivaatan johdannainen muuttujan "te" suhteen:

Jää käyttää kaavaa:

Materiaalin vahvistamiseksi tarjoan vielä pari esimerkkiä, jotka voit ratkaista itse.

Esimerkki 9

Esimerkki 10

Etsi ja parametrisesti määritetylle funktiolle

Toivon sinulle menestystä!

Toivon, että tämä oppitunti oli hyödyllinen ja voit nyt helposti löytää johdannaisia implisiittisistä funktioista ja parametrisista funktioista

Ratkaisut ja vastaukset:

Esimerkki 3: Ratkaisu:

Täten:

Johdannainen implisiittisesti määritellystä funktiosta.
Johdannainen parametrisesti määritellystä funktiosta

Tässä artikkelissa tarkastellaan kahta tyypillisempää tehtävää, joita usein esiintyy testit korkeammassa matematiikassa. Materiaalin hallitsemiseksi onnistuneesti sinun on kyettävä löytämään johdannaisia vähintään keskitasolla. Voit oppia löytämään johdannaisia käytännössä tyhjästä kahdella perustunnilla ja Monimutkaisen funktion johdannainen. Jos erottautumiskykysi ovat kunnossa, niin mennään.

Johdannainen implisiittisesti määritellystä funktiosta

Tai lyhyesti sanottuna implisiittisen funktion johdannainen. Mikä on implisiittinen funktio? Muistakaamme ensin yhden muuttujan funktion määritelmä:

Yhden muuttujan funktio on sääntö, jonka mukaan jokainen riippumattoman muuttujan arvo vastaa yhtä ja vain yhtä funktion arvoa.

Muuttujaa kutsutaan itsenäinen muuttuja tai Perustelu.
Muuttujaa kutsutaan riippuva muuttuja tai toiminto .

Toistaiseksi olemme tarkastelleet kohdassa määriteltyjä toimintoja selkeää muodossa. Mitä se tarkoittaa? Tehdään selvitys tiettyjen esimerkkien avulla.

Harkitse toimintoa

Näemme, että vasemmalla meillä on yksinäinen "pelaaja" ja oikealla - vain "X". Eli funktio nimenomaisesti ilmaistaan riippumattoman muuttujan kautta.

Katsotaanpa toista toimintoa:

Tässä muuttujat sekoittuvat. Lisäksi mahdotonta millään tavalla ilmaista "Y" vain "X":n kautta. Mitä nämä menetelmät ovat? Termien siirtäminen osasta osaan etumerkin vaihdolla, sulkeiden jättäminen pois, kertoimien heittäminen suhteellisuussäännön mukaan jne. Kirjoita yhtälö uudelleen ja yritä ilmaista "y" selkeästi: . Voit vääntää ja kääntää yhtälöä tuntikausia, mutta et onnistu.

Esittelen teille: – esimerkki implisiittinen toiminto.

Matemaattisen analyysin aikana osoitettiin, että implisiittinen funktio olemassa(ei kuitenkaan aina), siinä on kaavio (kuten "normaali" funktio). Implisiittifunktio on täsmälleen sama olemassa ensimmäinen johdannainen, toinen derivaatta jne. Kuten he sanovat, kaikkia seksuaalivähemmistöjen oikeuksia kunnioitetaan.

Ja tällä oppitunnilla opimme löytämään implisiittisesti määritellyn funktion derivaatan. Ei se niin vaikeaa ole! Kaikki differentiaatiosäännöt ja alkeisfunktioiden derivaattataulukko pysyvät voimassa. Ero on yhdessä erikoisessa hetkessä, jota tarkastelemme nyt.

Kyllä, ja kerron sinulle hyvät uutiset - alla käsitellyt tehtävät suoritetaan melko tiukan ja selkeän algoritmin mukaan ilman kiveä kolmen kappaleen edessä.

Esimerkki 1

1) Ensimmäisessä vaiheessa kiinnitämme vedot molempiin osiin:

2) Käytämme derivaatan lineaarisuuden sääntöjä (oppitunnin kaksi ensimmäistä sääntöä Kuinka löytää johdannainen? Esimerkkejä ratkaisuista):

3) Suora erottelu.
Erottaminen on täysin selvää. Mitä tehdä, jos lyöntien alla on "pelejä"?

- häpeäksi asti, funktion derivaatta on yhtä suuri kuin sen derivaatta: .

Kuinka erottaa
Tässä meillä on monimutkainen toiminto. Miksi? Näyttää siltä, että sinin alla on vain yksi kirjain "Y". Mutta tosiasia on, että on vain yksi kirjain "y" - ON ITSE TOIMINTO(katso määritelmä oppitunnin alussa). Siten sini on ulkoinen funktio ja sisäinen funktio. Käytämme sääntöä monimutkaisen funktion erottamiseen :

Erottelemme tuotteen tavallisen säännön mukaan :

Huomaa, että - on myös monimutkainen toiminto, mikä tahansa "peli kelloilla ja pillillä" on monimutkainen toiminto:

Itse ratkaisun pitäisi näyttää tältä:

Jos suluissa on, laajenna ne:

4) Vasemmalle puolelle keräämme termit, jotka sisältävät "Y":n alkuluvulla. Siirrä kaikki muu oikealle puolelle:

5) Vasemmalla puolella otamme derivaatan pois suluista:

6) Ja suhteellisuussäännön mukaisesti pudotamme nämä sulut oikean puolen nimittäjään:

Johdannainen on löydetty. Valmis.

On mielenkiintoista huomata, että mikä tahansa funktio voidaan kirjoittaa uudelleen implisiittisesti. Esimerkiksi funktio voidaan kirjoittaa uudelleen näin: . Ja erottele se juuri käsitellyn algoritmin avulla. Itse asiassa lauseet "implisiittinen toiminto" ja "implisiittinen toiminto" eroavat yhdellä semanttisella vivahteella. Ilmaus "implisiittisesti määritelty toiminto" on yleisempi ja oikea, – tämä toiminto on määritetty implisiittisesti, mutta tässä voit ilmaista "pelin" ja esittää toiminnon eksplisiittisesti. Ilmaisu "implisiittinen funktio" viittaa "klassiseen" implisiittiseen funktioon, kun "y" ei voi ilmaista.

Toinen ratkaisu

Huomio! Voit tutustua toiseen menetelmään vain, jos osaat löytää luottavaisesti osittaiset johdannaiset. Calculus-aloittelijat ja nuket, kiitos älä lue ja ohita tämä kohta, muuten pääsi on täysin sekaisin.

Etsitään implisiittisen funktion derivaatta käyttämällä toista menetelmää.

Siirrämme kaikki ehdot vasemmalle puolelle:

Ja harkitse kahden muuttujan funktiota:

Sitten johdannaisemme voidaan löytää käyttämällä kaavaa
Etsitään osittaiset derivaatat:

Täten:

Toinen ratkaisu mahdollistaa tarkastuksen. Mutta heidän ei ole suositeltavaa kirjoittaa tehtävän lopullista versiota, koska osaderivaatat hallitaan myöhemmin, eikä aihetta ”Yhden muuttujan funktion derivaatta” opiskelevan opiskelijan pitäisi vielä tietää osaderivaatat.

Katsotaanpa vielä muutama esimerkki.

Esimerkki 2

Etsi implisiittisesti annetun funktion derivaatta

Lisää vedot molempiin osiin:

Käytämme lineaarisuussääntöjä:

Johdannaisten löytäminen:

Kaikkien kiinnikkeiden avaaminen:

Siirrämme kaikki termit vasemmalle puolelle, loput oikealle puolelle:

Lopullinen vastaus:

Esimerkki 3

Etsi implisiittisesti annetun funktion derivaatta

Täydellinen ratkaisu ja malliesimerkki oppitunnin lopussa.

Ei ole harvinaista, että erottelun jälkeen syntyy murtolukuja. Tällaisissa tapauksissa sinun on päästävä eroon murto-osista. Katsotaanpa vielä kaksi esimerkkiä.

Esimerkki 4

Etsi implisiittisesti annetun funktion derivaatta

Suljemme molemmat osat viivojen alle ja käytämme lineaarisuussääntöä:

Erota monimutkaisen funktion erottamissääntöä käyttäen ja osamäärän differentiaatiosääntö :

Hakasulkeiden laajentaminen:

Nyt meidän on päästävä eroon murto-osasta. Tämä voidaan tehdä myöhemmin, mutta on järkevämpää tehdä se heti. Murtoluvun nimittäjä sisältää . Kerro päällä . Yksityiskohtaisesti se näyttää tältä:

Joskus erilaistumisen jälkeen ilmestyy 2-3 fraktiota. Jos meillä olisi esimerkiksi toinen murto-osa, toimenpide olisi toistettava - kerrotaan kunkin osan jokainen termi päällä

Laitamme sen vasemmalle puolelle suluista:

Lopullinen vastaus:

Esimerkki 5

Etsi implisiittisesti annetun funktion derivaatta

Tämä on esimerkki, jonka voit ratkaista itse. Ainoa asia on, että ennen kuin pääset eroon murto-osasta, sinun on ensin päästävä eroon itse murto-osan kolmikerroksisesta rakenteesta. Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Johdannainen parametrisesti määritellystä funktiosta

Älä stressaa, kaikki tässä kappaleessa on myös melko yksinkertaista. Voit kirjoittaa ylös parametrisesti määritellyn funktion yleisen kaavan, mutta sen selventämiseksi kirjoitan heti tietyn esimerkin. Parametrisessa muodossa funktio annetaan kahdella yhtälöllä: . Usein yhtälöt kirjoitetaan ei kiharasuluissa, vaan peräkkäin: , .

Muuttujaa kutsutaan parametriksi ja voi ottaa arvot "miinus äärettömyydestä" "plus äärettömyyteen". Harkitse esimerkiksi arvoa ja korvaa se molemmilla yhtälöillä: . Tai inhimillisesti sanottuna: "jos x on neljä, niin y on yhtä." Voit merkitä pisteen koordinaattitasolle, ja tämä piste vastaa parametrin arvoa. Vastaavasti voit löytää pisteen mille tahansa parametrin "te" arvolle. Mitä tulee "tavalliseen" funktioon, parametrisesti määritellyn funktion Amerikan intiaanien osalta myös kaikkia oikeuksia kunnioitetaan: voit rakentaa kaavion, löytää johdannaisia jne. Muuten, jos sinun on piirrettävä parametrisesti määritellyn funktion kaavio, voit käyttää ohjelmaani.

"Vakavammissa" tapauksissa tämä temppu ei toimi. Mutta sillä ei ole väliä, koska parametrisen funktion derivaatan löytämiseksi on kaava:

Löydämme johdannaisen "pelistä suhteessa muuttujaan te":

Löydämme "x:n" derivaatan muuttujan te suhteen:

Nyt ei jää muuta kuin korvata löydetyt johdannaiset kaavaamme:

Valmis. Derivaata, kuten itse funktio, riippuu myös parametrista.

Esimerkki 6

Käytämme kaavaa

Tässä tapauksessa:

Täten:

Esimerkki 7

Etsi parametrisesti määritellyn funktion derivaatta

Tämä on esimerkki, jonka voit ratkaista itse.

Artikkelissa Yksinkertaisimmat tyypilliset johdannaisten ongelmat tarkastelimme esimerkkejä, joissa meidän piti löytää funktion toinen derivaatta. Parametrisesti määritellylle funktiolle voit löytää myös toisen derivaatan, ja se löytyy seuraavalla kaavalla: . On aivan selvää, että toisen derivaatan löytämiseksi sinun on ensin löydettävä ensimmäinen derivaatta.

Esimerkki 8

Etsi parametrisesti annetun funktion ensimmäinen ja toinen derivaatta

Etsitään ensin ensimmäinen johdannainen.
Käytämme kaavaa

Tässä tapauksessa:

Korvaamme löydetyt johdannaiset kaavaan. Yksinkertaistamiseksi käytämme trigonometristä kaavaa:

Harkitse suoran määrittämistä tasolle, jossa muuttujat x, y ovat kolmannen muuttujan t funktioita (kutsutaan parametriksi):

Jokaiselle arvolle t tietyltä aikaväliltä tietyt arvot vastaavat x Ja y, a, siis tietty tason piste M (x, y). Kun t kulkee läpi kaikki arvot tietyltä aikaväliltä, sitten pisteen M (x, y) kuvaa jotain riviä L. Yhtälöitä (2.2) kutsutaan parametrisiksi suorayhtälöiksi L.

Jos funktiolla x = φ(t) on käänteisarvo t = Ф(x), niin korvaamalla tämä lauseke yhtälöllä y = g(t), saadaan y = g(Ф(x)), joka määrittää y funktiona x. Tässä tapauksessa sanomme, että yhtälöt (2.2) määrittelevät funktion y parametrisesti.

Esimerkki 1. Antaa M(x,y)– mielivaltainen piste sädeympyrällä R ja keskitetty alkupisteeseen. Antaa t– akselien välinen kulma Härkä ja säde OM(katso kuva 2.3). Sitten x, y ilmaistaan kautta t:

Yhtälöt (2.3) ovat ympyrän parametriyhtälöitä. Jätetään parametri t pois yhtälöistä (2.3). Tätä varten neliöimme jokaisen yhtälön ja lisäämme sen, saamme: x 2 + y 2 = R 2 (cos 2 t + sin 2 t) tai x 2 + y 2 = R 2 – ympyrän yhtälö karteesisessa kielessä koordinaattijärjestelmä. Se määrittelee kaksi funktiota: Kukin näistä funktioista on annettu parametriyhtälöillä (2.3), mutta ensimmäiselle funktiolle ja toiselle .

Esimerkki 2. Parametriset yhtälöt

määrittele ellipsi puoliakseleilla a, b(Kuva 2.4). Parametrin poissulkeminen yhtälöistä t, saamme ellipsin kanonisen yhtälön:

Esimerkki 3. Sykloidi on viiva, jota kuvaa ympyrän päällä oleva piste, jos tämä ympyrä pyörii liukumatta suorassa linjassa (kuva 2.5). Esitetään sykloidin parametriset yhtälöt. Olkoon vierintäympyrän säde a, piste M, joka kuvaa sykloidia, liikkeen alussa osui yhteen koordinaattien origon kanssa.

Määritetään koordinaatit x, y pistettä M sen jälkeen, kun ympyrä on kiertynyt kulman läpi t
(Kuva 2.5), t = ÐMCB. Kaaren pituus M.B. yhtä suuri kuin segmentin pituus O.B. koska ympyrä rullaa luistamatta, siis

OB = at, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB – AB = at – asint = a(t – sint),

y = AM = CB – CD = a – hinta = a(1 – hinta).

Joten saadaan sykloidin parametriset yhtälöt:

Kun muutat parametria t 0 - 2π ympyrä pyörii yhden kierroksen, ja piste M kuvaa sykloidin yhtä kaaria. Yhtälöt (2.5) antavat y funktiona x. Vaikka toiminto x = a(t – sint) on käänteinen funktio, mutta sitä ei ilmaista alkeisfunktioina, joten funktio y = f(x) ei ilmaista perusfunktioiden kautta.

Tarkastellaan parametrisesti yhtälöillä (2.2) määritellyn funktion differentiaatiota. Funktiolla x = φ(t) tietyllä muutosvälillä t on käänteisfunktio t = Ф(x), Sitten y = g(Ф(x)). Antaa x = φ(t), y = g(t) on johdannaisia ja x"t≠0. Monimutkaisten funktioiden eriyttämissäännön mukaan y"x=y"t×t"x. Perustuu erottelusääntöön käänteinen funktio, Siksi:

Tuloksena oleva kaava (2.6) mahdollistaa parametrisesti määritellyn funktion derivaatan löytämisen.

Esimerkki 4. Olkoon funktio y, riippuen x, määritetään parametrisesti:

Ratkaisu. .
Esimerkki 5. Etsi rinne k sykloidin tangentti pisteessä M 0, joka vastaa parametrin arvoa.
Ratkaisu. Sykloidiyhtälöistä: y" t = asint, x" t = a(1 – hinta), Siksi

Kaltevuustekijä tangentti jossain pisteessä M0 yhtä suuri kuin arvo at t 0 = π/4:

DIFFERENTIAALITOIMINTO

Olkoon funktio pisteessä x 0 on johdannainen. A-priory:
siis rajan ominaisuuksien mukaan (kohta 1.8), missä a– äärettömän pieni Δx → 0. Täältä

Δy = f "(x0)Δx + α × Δx. (2.7)

Koska Δx → 0, yhtälön (2.7) toinen termi on korkeamman asteen ääretön summa verrattuna , siksi Δy ja f " (x 0) × Δx ovat ekvivalentteja, äärettömän pieniä (jos f "(x 0) ≠ 0).

Siten funktion Δy inkrementti koostuu kahdesta termistä, joista ensimmäinen f "(x 0) × Δx on pääosa lisäys Δy, lineaarinen suhteessa Δx:ään (f "(x 0)≠ 0).

Ero funktiota f(x) pisteessä x 0 kutsutaan funktion inkrementin pääosiksi ja merkitään seuraavasti: dy tai df(x0). Siten,

df (x0) =f "(x0) × Δx. (2.8)

Esimerkki 1. Etsi funktion differentiaali dy ja funktion Δy lisäys funktiolle y = x 2, kun:
1) mielivaltainen x ja Δ x; 2) x 0 = 20, Δx = 0,1.

Ratkaisu

1) Δy = (x + Δx) 2 – x 2 = x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 – x 2 = 2xΔx + (Δx) 2, dy = 2xΔx.

2) Jos x 0 = 20, Δx = 0,1, niin Δy = 40 × 0,1 + (0,1) 2 = 4,01; dy = 40 × 0,1 = 4.

Kirjoitetaan yhtäläisyys (2.7) muodossa:

Δy = dy + a × Δx. (2.9)

Lisäys Δy on eri kuin differentiaali dy korkeamman kertaluvun äärettömään pieneen summaan verrattuna Δx:ään, joten likimääräisissä laskelmissa käytetään likimääräistä yhtälöä Δy ≈ dy, jos Δx on tarpeeksi pieni.

Ottaen huomioon, että Δy = f(x 0 + Δx) – f(x 0), saadaan likimääräinen kaava:

f(x 0 + Δx) ≈ f(x 0) + dy. (2.10)

Esimerkki 2. Laske suunnilleen.

Ratkaisu. Harkitse:

Kaavan (2.10) avulla saamme:

Joten ≈ 2,025.

Tarkastellaanpa differentiaalin geometrista merkitystä df(x 0)(Kuva 2.6).

Piirretään tangentti funktion y = f(x) kuvaajalle pisteessä M 0 (x0, f(x 0)), olkoon φ tangentin KM0 ja Ox-akselin välinen kulma, niin f"( x 0) = tanφ alkaen ΔM0NP:
PN = tgφ×Δx = f "(x 0) × Δx = df(x 0). Mutta PN on tangenttiordinaatin inkrementti, kun x muuttuu x 0:sta x 0 + Δx.

Näin ollen funktion f(x) differentiaali pisteessä x 0 on yhtä suuri kuin tangentin ordinaatan inkrementti.

Etsitään funktion differentiaali
y = x. Koska (x)" = 1, niin dx = 1×Δx = Δx. Oletetaan, että riippumattoman muuttujan x differentiaali on yhtä suuri kuin sen inkrementti, eli dx = Δx.

Jos x on mielivaltainen luku, niin yhtälöstä (2.8) saadaan df(x) = f "(x)dx, mistä .
Siten funktion y = f(x) derivaatta on yhtä suuri kuin sen differentiaalin suhde argumentin differentiaaliin.

Tarkastellaan funktion differentiaalin ominaisuuksia.

Jos u(x), v(x) ovat differentioituvia funktioita, seuraavat kaavat ovat voimassa:

Näiden kaavojen todistamiseen käytetään funktion summan, tulon ja osamäärän derivaattakaavoja. Todistakaamme esimerkiksi kaava (2.12):

d(u×v) = (u×v)"Δx = (u×v" + u"×v)Δx = u × v"Δx + u"Δx×v = u×dv + v×du.

Tarkastellaan kompleksisen funktion differentiaalia: y = f(x), x = φ(t), ts. y = f(φ(t)).

Silloin dy = y" t dt, mutta y" t = y" x × x" t, joten dy = y" x x" t dt. Ottaen huomioon,

että x" t = dx, saamme dy = y" x dx =f "(x)dx.

Siten kompleksisen funktion differentiaali y = f(x), jossa x =φ(t), on muotoa dy = f "(x)dx, sama kuin siinä tapauksessa, että x on riippumaton muuttuja. Tämä ominaisuus kutsutaan differentiaalin muodon muuttumattomuus A.