como insertar fórmulas matemáticas al sitio web?
Si alguna vez necesita agregar una o dos fórmulas matemáticas a una página web, la forma más sencilla de hacerlo es como se describe en el artículo: las fórmulas matemáticas se insertan fácilmente en el sitio en forma de imágenes que Wolfram Alpha genera automáticamente. . Además de la simplicidad, este método universal ayudará a mejorar la visibilidad del sitio en los motores de búsqueda. Ha estado funcionando durante mucho tiempo (y creo que funcionará para siempre), pero ya está moralmente desactualizado.
Si utiliza fórmulas matemáticas con regularidad en su sitio, le recomiendo que utilice MathJax, una biblioteca especial de JavaScript que muestra notación matemática en navegadores web utilizando el marcado MathML, LaTeX o ASCIIMathML.
Hay dos formas de comenzar a usar MathJax: (1) usando un código simple, puede conectar rápidamente un script MathJax a su sitio web, que se cargará automáticamente desde un servidor remoto en el momento adecuado (lista de servidores); (2) descargue el script MathJax desde un servidor remoto a su servidor y conéctelo a todas las páginas de su sitio. El segundo método, más complejo y que requiere más tiempo, acelerará la carga de las páginas de su sitio, y si el servidor principal MathJax deja de estar disponible temporalmente por algún motivo, esto no afectará su propio sitio de ninguna manera. A pesar de estas ventajas, elegí el primer método porque es más sencillo, más rápido y no requiere conocimientos técnicos. Siga mi ejemplo y en solo 5 minutos podrá utilizar todas las funciones de MathJax en su sitio.
Puede conectar el script de la biblioteca MathJax desde un servidor remoto usando dos opciones de código tomadas del sitio web principal de MathJax o de la página de documentación:
Una de estas opciones de código debe copiarse y pegarse en el código de su página web, preferiblemente entre etiquetas o inmediatamente después de la etiqueta. Según la primera opción, MathJax se carga más rápido y ralentiza menos la página. Pero la segunda opción monitorea y carga automáticamente las últimas versiones de MathJax. Si inserta el primer código, deberá actualizarlo periódicamente. Si inserta el segundo código, las páginas se cargarán más lentamente, pero no necesitará monitorear constantemente las actualizaciones de MathJax.
La forma más sencilla de conectar MathJax es en Blogger o WordPress: en el panel de control del sitio, agregue un widget diseñado para insertar código JavaScript de terceros, copie la primera o segunda versión del código de descarga presentado anteriormente y coloque el widget más cerca. al principio de la plantilla (por cierto, esto no es necesario en absoluto, ya que el script MathJax se carga de forma asincrónica). Eso es todo. Ahora aprenda la sintaxis de marcado de MathML, LaTeX y ASCIIMathML y estará listo para insertar fórmulas matemáticas en las páginas web de su sitio.
Cualquier fractal se construye según una determinada regla, que se aplica de forma coherente. cantidad ilimitada una vez. Cada uno de esos momentos se denomina iteración.
El algoritmo iterativo para construir una esponja de Menger es bastante simple: el cubo original de lado 1 se divide por planos paralelos a sus caras en 27 cubos iguales. Se eliminan un cubo central y 6 cubos adyacentes a lo largo de las caras. El resultado es un conjunto formado por los 20 cubos más pequeños restantes. Haciendo lo mismo con cada uno de estos cubos, obtenemos un conjunto formado por 400 cubos más pequeños. Siguiendo este proceso hasta el infinito, obtenemos una esponja de Menger.
En la teoría de series funcionales, el lugar central lo ocupa la sección dedicada a la expansión de una función en una serie.
Por tanto, la tarea queda establecida: para una función determinada Necesitamos encontrar tal serie de potencias.
que convergía en un cierto intervalo y su suma era igual a 
,
aquellos.
=
..
Esta tarea se llama el problema de expandir una función en una serie de potencias.
Una condición necesaria para la descomponibilidad de una función en una serie de potencias es su diferenciabilidad un número infinito de veces; esto se desprende de las propiedades de las series de potencias convergentes. Esta condición se cumple, por regla general, para funciones elementales en su dominio de definición.
Entonces supongamos que la función 
tiene derivadas de cualquier orden. ¿Es posible expandirla a una serie de potencias? Si es así, ¿cómo podemos encontrar esta serie? La segunda parte del problema es más fácil de resolver, así que comencemos por ella.
Supongamos que la función 
se puede representar como la suma de una serie de potencias que converge en el intervalo que contiene el punto X 0 :
=
..
(*)
Dónde A 0 ,A 1 ,A 2 ,...,A PAG ,... – coeficientes desconocidos (aún).
Pongamos en igualdad (*) el valor x = x 0 , entonces obtenemos
.
Diferenciamos la serie de potencias (*) término a término
=
..
y creyendo aquí x = x 0 , obtenemos
.
Con la siguiente diferenciación obtenemos la serie
=
..
creyendo x = x 0 ,
obtenemos 
, dónde 
.
Después PAG-diferenciación múltiple que obtenemos
Suponiendo en la última igualdad x = x 0 ,
obtenemos 
, dónde
Entonces, se encuentran los coeficientes.
,
,
,
…,
,….,
sustituyendo cuál en la serie (*), obtenemos
La serie resultante se llama junto a taylorpara función
.
Así, hemos establecido que si la función se puede expandir a una serie de potencias en potencias (x - x 0 ), entonces esta expansión es única y la serie resultante es necesariamente una serie de Taylor.
Tenga en cuenta que la serie de Taylor se puede obtener para cualquier función que tenga derivadas de cualquier orden en el punto x = x 0 . Pero esto no significa que se pueda colocar un signo igual entre la función y la serie resultante, es decir que la suma de la serie es igual a la función original. En primer lugar, tal igualdad sólo puede tener sentido en la región de convergencia, y la serie de Taylor obtenida para la función puede divergir y, en segundo lugar, si la serie de Taylor converge, entonces su suma puede no coincidir con la función original.
3.2. Condiciones suficientes para la descomponibilidad de una función en una serie de TaylorFormulemos una declaración con la ayuda de la cual se resolverá la tarea.
Si la función
en algún barrio del punto x 0 tiene derivados hasta (norte+
1) de orden inclusive, entonces en este vecindario tenemosfórmulataylor
DóndeR norte (X)-el término restante de la fórmula de Taylor – tiene la forma (forma de Lagrange)
Dónde puntoξ se encuentra entre x y x 0 .
Tenga en cuenta que existe una diferencia entre la serie de Taylor y la fórmula de Taylor: la fórmula de Taylor es una suma finita, es decir PAG - numero reparado.
Recuerde que la suma de la serie S(X) puede definirse como el límite de una secuencia funcional de sumas parciales S PAG (X) en algún intervalo X:
.
De acuerdo con esto, expandir una función a una serie de Taylor significa encontrar una serie tal que para cualquier XX
Escribamos la fórmula de Taylor en la forma donde
Darse cuenta de 
define el error que obtenemos, reemplaza la función F(X)
polinomio S norte (X).
Si 
, Eso 
,aquellos. la función se expande a una serie de Taylor. Viceversa, si 
, Eso 
.
Así demostramos Criterio para la descomponibilidad de una función en una serie de Taylor.
Para que la funciónF(x) se expande en una serie de Taylor, es necesario y suficiente que en este intervalo
, DóndeR norte (X) es el término restante de la serie de Taylor.
Utilizando el criterio formulado, se puede obtener suficienteCondiciones para la descomponibilidad de una función en una serie de Taylor.
si enalguna vecindad del punto x 0 los valores absolutos de todas las derivadas de la función están limitados al mismo número M≥ 0, es decir
, to en esta vecindad la función se expande a una serie de Taylor.
De lo anterior se sigue algoritmoexpansión de funcionesF(X) en la serie de Taylor en las proximidades de un punto X 0 :
1. Encontrar derivadas de funciones. F(X):
f(x), f’(x), f”(x), f’”(x), f (norte) (X),…
2. Calcula el valor de la función y los valores de sus derivadas en el punto X 0
f(x) 0 ), f’(x 0 ), f”(x 0 ), f’”(x 0 ), f (norte) (X 0 ),…
3. Escribimos formalmente la serie de Taylor y encontramos la región de convergencia de la serie de potencias resultante.
4. Comprobamos el cumplimiento de condiciones suficientes, es decir. establecemos para cual X de la región de convergencia, término restante R norte (X)
tiende a cero como 
o
.
La expansión de funciones en una serie de Taylor usando este algoritmo se llama expansión de una función en una serie de Taylor por definición o descomposición directa.
Ampliación de una función a una serie de Taylor, Maclaurin y Laurent en un sitio para la formación de habilidades prácticas. Esta expansión en serie de una función permite a los matemáticos estimar el valor aproximado de la función en algún punto de su dominio de definición. Es mucho más fácil calcular el valor de una función de este tipo que utilizar la tabla de Bredis, que es tan irrelevante en la era de la tecnología informática. Desarrollar una función en una serie de Taylor significa calcular los coeficientes de las funciones lineales de esta serie y escribir esto en forma correcta. Los estudiantes confunden estas dos series, sin entender cuál es el caso general y cuál es el caso especial de la segunda. Recordemos de una vez por todas que la serie de Maclaurin es un caso especial de la serie de Taylor, es decir, esta es la serie de Taylor, pero en el punto x = 0. Todas breves entradas para el desarrollo de funciones conocidas, como e^x, Sin(x), Cos(x) y otras, son expansiones en serie de Taylor, pero en el punto 0 del argumento. Para funciones de argumento complejo, la serie de Laurent es el problema más común en TFCT, ya que representa una serie infinita de dos lados. Es la suma de dos series. Le sugerimos que mire un ejemplo de descomposición directamente en el sitio web; esto es muy fácil de hacer haciendo clic en "Ejemplo" con cualquier número y luego en el botón "Solución". Es precisamente esta expansión de una función en una serie asociada con una serie mayorizadora la que limita la función original en una determinada región a lo largo del eje de ordenadas si la variable pertenece a la región de abscisas. El análisis vectorial se compara con otra disciplina interesante de las matemáticas. Dado que es necesario examinar cada término, el proceso requiere bastante tiempo. Cualquier serie de Taylor puede asociarse con una serie de Maclaurin reemplazando x0 por cero, pero para una serie de Maclaurin a veces no es obvio representar la serie de Taylor al revés. No importa cuánto sea necesario hacer esto en forma pura, pero interesante para el autodesarrollo general. Cada serie de Laurent corresponde a una serie de potencias infinitas de dos lados en números enteros poderes z-a, es decir, una serie del mismo tipo de Taylor, pero ligeramente diferente en el cálculo de coeficientes. Hablaremos de la región de convergencia de la serie de Laurent un poco más adelante, después de varios cálculos teóricos. Como en el siglo pasado, es difícil lograr una expansión paso a paso de una función en una serie simplemente llevando los términos a un denominador común, ya que las funciones en los denominadores no son lineales. La formulación de problemas requiere un cálculo aproximado del valor funcional. Piense en el hecho de que cuando el argumento de una serie de Taylor es una variable lineal, entonces la expansión ocurre en varios pasos, pero la imagen es completamente diferente cuando el argumento de la función que se está expandiendo es una función compleja o no lineal, entonces el proceso de representar tal función en una serie de potencias es obvio, ya que, de esta manera, es fácil de calcular, aunque sea un valor aproximado, en cualquier punto de la región de definición, con un error mínimo que tiene poco efecto en cálculos posteriores. Esto también se aplica a la serie Maclaurin. cuando es necesario calcular la función en el punto cero. Sin embargo, la propia serie de Laurent está representada aquí mediante una ampliación en el plano con unidades imaginarias. Tampoco será sin éxito. solución correcta tareas durante proceso general. Este enfoque no se conoce en matemáticas, pero existe objetivamente. Como resultado, se puede llegar a la conclusión de los llamados subconjuntos puntuales, y al desarrollar una función en serie es necesario utilizar métodos conocidos para este proceso, como la aplicación de la teoría de las derivadas. Una vez más estamos convencidos de que tenía razón el profesor que hizo sus suposiciones sobre los resultados de los cálculos poscomputacionales. Tenga en cuenta que la serie de Taylor, obtenida según todos los cánones de las matemáticas, existe y está definida en todo el eje numérico, sin embargo, queridos usuarios del servicio del sitio, no olviden el tipo de función original, porque puede resultar que inicialmente es necesario establecer el dominio de definición de la función, es decir, escribir y excluir de mayor consideración aquellos puntos en los que la función no está definida en el dominio de los números reales. Por así decirlo, esto demostrará su eficacia a la hora de resolver el problema. La construcción de una serie de Maclaurin con valor de argumento cero no será una excepción a lo dicho. El proceso de encontrar el dominio de definición de una función no ha sido cancelado y debes abordar esta operación matemática con toda seriedad. En el caso de una serie de Laurent que contiene la parte principal, el parámetro "a" se llamará punto singular aislado, y la serie de Laurent se expandirá en un anillo; esta es la intersección de las áreas de convergencia de sus partes, por lo tanto El teorema correspondiente seguirá. Pero no todo es tan complicado como podría parecerle a primera vista a un estudiante inexperto. Habiendo estudiado la serie de Taylor, podrá comprender fácilmente la serie de Laurent, un caso generalizado de expansión del espacio de números. Cualquier expansión en serie de una función sólo se puede realizar en un punto en el dominio de definición de la función. Se deben tener en cuenta propiedades de funciones como la periodicidad o la diferenciabilidad infinita. También le sugerimos que utilice la tabla de expansiones de funciones elementales en series de Taylor ya preparadas, ya que una función puede representarse hasta con docenas de series de potencias diferentes, como se puede ver al usar nuestra calculadora en línea. Serie en línea Maclaurin es fácil de determinar si utiliza el servicio exclusivo del sitio web, solo necesita ingresar la función escrita correcta y recibirá la respuesta presentada en cuestión de segundos, se garantizará que sea precisa y en un formato escrito estándar. Puede copiar el resultado directamente en una copia limpia para enviársela al profesor. Sería correcto determinar primero la analiticidad de la función en cuestión en anillos y luego afirmar sin ambigüedades que es expandible en una serie de Laurent en todos esos anillos. Es importante no perder de vista los términos de la serie de Laurent que contienen poderes negativos. Concéntrate en esto tanto como sea posible. Haz buen uso del teorema de Laurent sobre la expansión de una función en potencias enteras.
Los estudiantes de matemáticas superiores deben saber que la suma de una determinada serie de potencias perteneciente al intervalo de convergencia de la serie que nos ha dado resulta ser una función continua e ilimitada de veces diferenciada. Surge la pregunta: ¿es posible decir que una función arbitraria dada f(x) es la suma de una determinada serie de potencias? Es decir, ¿bajo qué condiciones se puede representar la función f(x)? serie de potencias? La importancia de esta pregunta radica en el hecho de que es posible reemplazar aproximadamente la función f(x) con la suma de los primeros términos de una serie de potencias, es decir, un polinomio. Esta sustitución de una función por una expresión bastante simple, un polinomio, también es conveniente al resolver ciertos problemas, a saber: al resolver integrales, al calcular, etc.
Se ha demostrado que para una determinada función f(x), en la que es posible calcular derivadas hasta el orden (n+1), incluida la última, en la vecindad de (α - R; x 0 + R ) algún punto x = α, es cierto que la fórmula:
Esta fórmula lleva el nombre de la famosa científica Brooke Taylor. La serie que se obtiene de la anterior se llama serie de Maclaurin:
La regla que permite realizar una expansión en una serie de Maclaurin:
R n (x) -> 0 en n -> infinito. Si existe, la función f(x) debe coincidir con la suma de la serie de Maclaurin.
Consideremos ahora la serie Maclaurin para funciones individuales.
1. Entonces, el primero será f(x) = e x. Por supuesto, por sus características, tal función tiene derivadas de órdenes muy diferentes, y f (k) (x) = e x , donde k es igual a todo. Sustituya x = 0. Obtenemos f (k) (0) = e 0 =1, k = 1,2... Con base en lo anterior, la serie e x se verá así:
2. Serie de Maclaurin para la función f(x) = sen x. Aclaremos de inmediato que la función para todas las incógnitas tendrá derivadas, además, f "(x) = cos x = sin(x+n/2), f "" (x) = -sin x = sin(x + 2*n/2)..., f (k) (x) = sin(x+k*n/2), donde k es igual a cualquier número natural. Es decir, habiendo realizado cálculos sencillos, podemos llegar a la conclusión de que la serie para f(x) = sen x tendrá la siguiente forma:
3. Ahora intentemos considerar la función f(x) = cos x. Para todas las incógnitas tiene derivadas de orden arbitrario, y |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|
