La función se puede especificar de varias maneras. Depende de la regla que se utilice para especificarlo. La forma explícita de especificar la función es y = f (x). Hay ocasiones en las que su descripción resulta imposible o inconveniente. Si hay muchos pares (x; y) que deben calcularse para el parámetro t durante el intervalo (a; b). Resolver el sistema x = 3 cos t y = 3 sen t con 0 ≤ t< 2 π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3 .
Definición de una función paramétrica
De aquí tenemos que x = φ (t) , y = ψ (t) están definidos para el valor t ∈ (a ; b) y tienen función inversa t = Θ (x) para x = φ (t), entonces estamos hablando acerca de sobre especificar una ecuación paramétrica de una función de la forma y = ψ (Θ (x)).
Hay casos en los que, para estudiar una función, es necesario buscar la derivada con respecto a x. Consideremos la fórmula derivada paramétricamente. función dada de la forma y x " = ψ " (t) φ " (t), hablemos de la derivada de segundo y enésimo orden.
Derivación de la fórmula para la derivada de una función definida paramétricamente
Tenemos que x = φ (t), y = ψ (t), definido y diferenciable para t ∈ a; b, donde x t " = φ " (t) ≠ 0 y x = φ (t), entonces existe una función inversa de la forma t = Θ (x).
Para empezar, debes pasar de una tarea paramétrica a una explícita. Para hacer esto, necesita obtener una función compleja de la forma y = ψ (t) = ψ (Θ (x)), donde hay un argumento x.
Con base en la regla para encontrar la derivada de una función compleja, obtenemos que y " x = ψ Θ (x) = ψ " Θ x · Θ " x .
Esto muestra que t = Θ (x) y x = φ (t) son funciones inversas de la fórmula de la función inversa Θ " (x) = 1 φ " (t), entonces y " x = ψ " Θ (x) Θ " (x) = ψ " (t) φ " (t) .
Pasemos a considerar la resolución de varios ejemplos utilizando una tabla de derivadas según la regla de diferenciación.
Ejemplo 1
Encuentra la derivada de la función x = t 2 + 1 y = t.
Solución
Por condición tenemos que φ (t) = t 2 + 1, ψ (t) = t, de aquí obtenemos que φ "(t) = t 2 + 1", ψ "(t) = t " = 1. Debes utilizar la fórmula derivada y escribir la respuesta en la forma:
y " x = ψ " (t) φ " (t) = 1 2 t
Respuesta: y x " = 1 2 t x = t 2 + 1 .
Cuando se trabaja con la derivada de una función h, el parámetro t especifica la expresión del argumento x a través del mismo parámetro t, para no perder la conexión entre los valores de la derivada y la función definida paramétricamente con el argumento a al que corresponden estos valores.
Para determinar la derivada de segundo orden de una función dada paramétricamente, es necesario usar la fórmula para la derivada de primer orden en la función resultante, luego obtenemos que
y "" x = ψ " (t) φ " (t) " φ " (t) = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " (t) 2 φ " (t) = ψ "" (t) · φ " (t) - ψ " (t) · φ "" (t) φ " (t) 3 .
Ejemplo 2
Encuentre las derivadas de segundo y segundo orden de la función dada x = cos (2 t) y = t 2.
Solución
Por condición, encontramos que φ (t) = cos (2 t), ψ (t) = t 2.
Luego de la transformación
φ " (t) = cos (2 t) " = - sen (2 t) 2 t " = - 2 sen (2 t) ψ (t) = t 2 " = 2 t
Se deduce que y x " = ψ " (t) φ " (t) = 2 t - 2 sin 2 t = - t sin (2 t) .
Obtenemos que la forma de la derivada de 1er orden es x = cos (2 t) y x " = - t sin (2 t) .
Para resolverlo, debes aplicar la fórmula derivada de segundo orden. Obtenemos una expresión de la forma.
y x "" = - t sin (2 t) φ " t = - t " · sin (2 t) - t · (sin (2 t)) " sin 2 (2 t) - 2 sin (2 t) = = 1 sen (2 t) - t cos (2 t) (2 t) " 2 sen 3 (2 t) = sen (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sen 3 (2 t)
Luego especificando la derivada de segundo orden usando función paramétrica
x = cos (2 t) y x "" = sen (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sen 3 (2 t)
Una solución similar se puede resolver utilizando otro método. Entonces
φ " t = (cos (2 t)) " = - sen (2 t) 2 t " = - 2 sen (2 t) ⇒ φ "" t = - 2 sen (2 t) " = - 2 sen (2 t) " = - 2 cos (2 t) · (2 t) " = - 4 cos (2 t) ψ " (t) = (t 2) " = 2 t ⇒ ψ "" (t) = ( 2 t) " = 2
De aquí entendemos eso
y "" x = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " (t) 3 = 2 - 2 sen (2 t) - 2 t (- 4 cos (2 t)) - 2 sen 2 t 3 = = sen (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sen 3 (2 t)
Respuesta: y "" x = sen (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sen 3 (2 t)
Las derivadas de orden superior con funciones definidas paramétricamente se encuentran de manera similar.
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Diferenciación logarítmica
Derivadas de funciones elementales
Reglas básicas de diferenciación.
Función diferencial
Parte lineal principal del incremento de la función. A D X para determinar la diferenciabilidad de una función
D f=f(X)-F(X 0)=Un(x-x 0)+o(x-x 0), x®x 0
llamado diferencial de la función F(X) en el punto X 0 y se denota
df(X 0)=f¢(X 0)D x=A D X.
El diferencial depende del punto. X 0 y del incremento D X. en re X al mismo tiempo la ven como una variable independiente, por lo que en cada punto el diferencial es una función lineal del incremento D X.
Si consideramos como una función F(X)=x, entonces obtenemos dx= D x,dy=Adx. Esto es consistente con la notación de Leibniz.
Interpretación geométrica del diferencial como incremento de la ordenada de una tangente.
Arroz. 4.3
1) f= constante , f¢= 0,gl= 0D x= 0.
2) f=u+v, f¢=u¢+v¢, df = du+dv.
3) f=uv, f¢=u¢v+v¢u, df = u dv + v du.
Consecuencia. (cf(X))¢=cf¢(X), (C 1 F 1 (X)+…+c n f n(X))¢=c 1 f¢ 1 (X)+…+ c n f¢ n(X)
4) f=u/v,v(X 0)¹0 y la derivada existe, entonces f¢=(u¢v-v¢ tu)/v 2 .
Por brevedad denotaremos tu=tu(X), tu 0 =tu(X 0), entonces
Pasando al límite en D x® 0 obtenemos la igualdad requerida.
5) Derivada de una función compleja.
Teorema. Si hay f¢(X 0), g¢(X 0)yx 0 = g(t 0), entonces en algún barrio t 0 la función compleja f está definida(gramo(t)), es diferenciable en el punto t 0 Y
Prueba.
F(X)-F(X 0)=f¢(X 0)(xx 0)+ a( X)(xx 0), XÎ Ud.(X 0).
F(gramo(t))-F(gramo(t 0))= f¢(X 0)(gramo(t)-gramo(t 0))+ a( gramo(t))(gramo(t)-gramo(t 0)).
Dividamos ambos lados de esta igualdad por ( t-t 0) y vayamos al límite en t®t 0 .
6) Cálculo de la derivada de la función inversa.
Teorema. Sea f continua y estrictamente monótona en[a,b]. Sea en el punto x 0 Î( a,b)hay f¢(X 0)¹ 0 , entonces la función inversa x=f -1 (y)tiene en el punto y 0 derivada igual a
Prueba. Nosotros contamos F estrictamente monótonamente creciente, entonces F -1 (y) es continuo, aumenta monótonamente en [ F(a),F(b)]. Pongamos y 0 = f(X 0), y=f(X), x - x 0 =D X,
y - y 0 =D y. Debido a la continuidad de la función inversa D y®0 ÞD X®0, tenemos
Pasando al límite, obtenemos la igualdad requerida.
7) Derivado incluso función es impar, la derivada de una función impar es par.
De hecho, si x® - x 0 , Eso - x®x 0 , Es por eso
Para función par para función impar
1) f= constante, f¢(X)=0.
2) F(X)=x,f¢(X)=1.
3) F(X)=ex, f¢(X)= e x ,
4) F(X)=a x ,(una x)¢ = hacha en a.
5) en a.
6) F(X)=ln X,
Consecuencia. (la derivada de una función par es impar)
7) (X metro )¢= metro X-1 , X>0, X metro =e metro en X .
8) (pecado X)¢= porque X,
9) (porque X)¢=- pecado X,(porque X)¢= (pecado( x+ p/2)) ¢= porque( x+ p/2)=-pecado X.
10) (tg X)¢= 1/cos 2 X.
11) (ctg X)¢= -1/pecado 2 X.
16)sh X, ch X.
f(x),, de lo que se deduce que f¢(X)= f(X)(en F(X))¢ .
La misma fórmula se puede obtener de diferentes maneras. F(X)=e en F(X) , f¢=e en F(X) (en F(X))¢.
Ejemplo. Calcular la derivada de una función. f=xx.
=x x = x x = x x = x x(en x+ 1).
Ubicación geométrica de puntos en un plano.
lo llamaremos gráfica de una función, dado paramétricamente. También hablan de especificación paramétrica de una función.
Nota 1. Si x,y continuo para [a,b] Y X(t) estrictamente monótono en el segmento (por ejemplo, aumenta estrictamente monótonamente), luego en [ a,b], a=x(a) , b=x(b) función definida F(X)=y(t(X)), donde T(X) – función inversa a x(t). La gráfica de esta función coincide con la gráfica de la función.
Si el dominio de definición una función dada paramétricamente se puede dividir en un número finito de segmentos ,k= 1,2,...,norte, en cada uno de los cuales hay una función X(t) es estrictamente monótona, entonces la función definida paramétricamente se descompone en un número finito de funciones ordinarias joder(X)=y(t -1 (X)) con dominios [ X(a k), X(b k)] para secciones crecientes X(t) y con dominios [ X(b k), X(a k)] para áreas de función decreciente X(t). Las funciones obtenidas de esta manera se denominan ramas univaluadas de una función definida paramétricamente.
La figura muestra una gráfica de una función definida paramétricamente.
Con la parametrización seleccionada, el área de definición se divide en cinco secciones de estricta monotonicidad de la función sin(2 t), exactamente: tÎ tÎ ,tÎ ,tÎ , y, en consecuencia, el gráfico se dividirá en cinco ramas inequívocas correspondientes a estas secciones.
Arroz. 4.4
Arroz. 4.5
Puedes elegir una parametrización diferente de la misma ubicación geométrica de puntos.
En este caso sólo habrá cuatro sucursales de este tipo. Corresponderán a zonas de estricta monotonía. tÎ ,tÎ ,tÎ ,tÎ funciones pecado(2 t).
Arroz. 4.6
Cuatro secciones de monotonicidad de la función sin(2 t) en un segmento largo.
Arroz. 4.7
La representación de ambas gráficas en una figura le permite representar aproximadamente la gráfica de una función especificada paramétricamente, utilizando las áreas de monotonicidad de ambas funciones.
Como ejemplo, considere la primera rama correspondiente al segmento tÎ . Al final de esta sección la función x= pecado(2 t) toma valores -1 y 1 , por lo que esta rama se definirá en [-1,1] . Después de esto, debes observar las áreas de monotonía de la segunda función. y= porque( t), ella tiene puesto dos secciones de monotonía . Esto nos permite decir que la primera rama tiene dos tramos de monotonicidad. Habiendo encontrado los puntos finales del gráfico, puede conectarlos con líneas rectas para indicar la naturaleza de la monotonía del gráfico. Habiendo hecho esto con cada rama, obtenemos áreas de monotonicidad de ramas inequívocas del gráfico (están resaltadas en rojo en la figura)
Arroz. 4.8
Primera rama de valor único F 1 (X)=y(t(X)) , correspondiente al sitio será determinado para XО[-1,1] . Primera rama de valor único tÎ , XО[-1,1].
Las otras tres ramas también tendrán un dominio de definición [-1,1] .
Arroz. 4.9
Segunda sucursal tÎ XО[-1,1].
Arroz. 4.10
Tercera rama tÎ XО[-1,1]
Arroz. 4.11
Cuarta rama tÎ XО[-1,1]
Arroz. 4.12
Comentario 2. Una misma función puede tener diferentes configuraciones paramétricas. Las diferencias pueden afectar tanto a las funciones mismas X(t), y(t) , y el dominio de la definición estas funciones.
Ejemplo de diferentes asignaciones de parámetros para la misma función
Y tО[-1, 1] .
Nota 3. Si x,y son continuos en , X(t)- estrictamente monótono en el segmento y hay derivados y¢(t 0),x¢(t 0)¹0, entonces hay f¢(X 0)= .
En realidad, .
La última afirmación también se aplica a ramas de un solo valor de una función definida paramétricamente.
4.2 Derivados y diferenciales de orden superior
Mayores derivados y diferenciales. Diferenciación de funciones especificadas paramétricamente. La fórmula de Leibniz.
No nos estresemos, todo lo que hay en este párrafo también es bastante sencillo. Puedes escribir la fórmula general de una función definida paramétricamente, pero, para que quede claro, escribiré inmediatamente ejemplo específico. En forma paramétrica, la función viene dada por dos ecuaciones: . A menudo, las ecuaciones no se escriben entre llaves, sino de forma secuencial: , .
La variable se llama parámetro y puede tomar valores desde “menos infinito” hasta “más infinito”. Considere, por ejemplo, el valor y sustitúyalo en ambas ecuaciones: 
. O en términos humanos: “si x es igual a cuatro, entonces y es igual a uno”. Puede marcar un punto en el plano de coordenadas, y este punto corresponderá al valor del parámetro. De manera similar, puedes encontrar un punto para cualquier valor del parámetro “te”. En cuanto a una función "regular", para los indios americanos de una función definida paramétricamente también se respetan todos los derechos: se puede construir una gráfica, encontrar derivadas, etc. Por cierto, si necesita trazar una gráfica de una función especificada paramétricamente, descargue mi programa geométrico en la página Fórmulas matemáticas y mesas.
En los casos más simples, es posible representar la función explícitamente. Expresemos el parámetro de la primera ecuación: 
– y sustitúyelo en la segunda ecuación: 
. El resultado es una función cúbica ordinaria.
En casos más “graves”, este truco no funciona. Pero no importa, porque existe una fórmula para encontrar la derivada de una función paramétrica:
Encontramos la derivada del “juego con respecto a la variable te”:
Todas las reglas de diferenciación y la tabla de derivadas son válidas, naturalmente, para la letra , por tanto, no hay novedad en el proceso de búsqueda de derivados. Simplemente reemplace mentalmente todas las "X" de la tabla con la letra "Te".
Encontramos la derivada de “x con respecto a la variable te”: 
Ahora solo queda sustituir las derivadas encontradas en nuestra fórmula: 
Listo. La derivada, como la función misma, también depende del parámetro.
En cuanto a la notación, en lugar de escribirla en la fórmula, se podría simplemente escribirla sin subíndice, ya que se trata de una derivada “regular” “con respecto a X”. Pero en la literatura siempre hay una opción, por lo que no me desviaré del estándar.
Ejemplo 6
Usamos la fórmula
EN en este caso:
De este modo: 
Una característica especial de encontrar la derivada de una función paramétrica es el hecho de que En cada paso es beneficioso simplificar el resultado tanto como sea posible.. Entonces, en el ejemplo considerado, cuando lo encontré, abrí los paréntesis debajo de la raíz (aunque es posible que no lo haya hecho). Existe una buena posibilidad de que al sustituir en la fórmula, muchas cosas se reduzcan bien. Aunque, por supuesto, hay ejemplos con respuestas torpes.
Ejemplo 7
Encuentra la derivada de una función especificada paramétricamente. 
Este es un ejemplo para decisión independiente.
En el artículo Protozoos tareas tipicas con derivada Miramos ejemplos en los que necesitábamos encontrar la segunda derivada de una función. Para una función definida paramétricamente, también puedes encontrar la segunda derivada, y se encuentra usando la siguiente fórmula: . Es bastante obvio que para encontrar la segunda derivada, primero debes encontrar la primera derivada.
Ejemplo 8
Encuentra la primera y segunda derivada de una función dada paramétricamente.
Primero, encontremos la primera derivada.
Usamos la fórmula
En este caso: 
Sustituye los derivados encontrados en la fórmula. Para simplificar, utilizamos la fórmula trigonométrica: 
Me di cuenta de que en el problema de encontrar la derivada de una función paramétrica, muy a menudo, para simplificar, es necesario utilizar fórmulas trigonométricas . Recuérdalos o tenlos a mano y no pierdas la oportunidad de simplificar cada resultado intermedio y cada respuesta. ¿Para qué? Ahora tenemos que tomar la derivada de , y esto es claramente mejor que encontrar la derivada de .
Encontremos la segunda derivada.
Usamos la fórmula: .
Veamos nuestra fórmula. El denominador ya se encontró en el paso anterior. Queda por encontrar el numerador, la derivada de la primera derivada con respecto a la variable "te":
Queda por usar la fórmula: 
Para reforzar el material, te ofrezco un par de ejemplos más para que los resuelvas por tu cuenta.
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Encuentre y para una función especificada paramétricamente 
¡Te deseo éxito!
Espero que esta lección haya sido útil y que ahora pueda encontrar fácilmente derivadas de funciones especificadas implícitamente y de funciones paramétricas.
Soluciones y respuestas:
Ejemplo 3: Solución:
De este modo:
Derivada de una función especificada implícitamente.
Derivada de una función definida paramétricamente
En este artículo veremos dos tareas más típicas que se encuentran a menudo en pruebas en matemáticas superiores. Para dominar con éxito el material, debes poder encontrar derivados al menos en un nivel intermedio. Podrás aprender a encontrar derivadas prácticamente desde cero en dos lecciones básicas y Derivada de una función compleja. Si tus habilidades de diferenciación están bien, entonces vámonos.
Derivada de una función especificada implícitamente
O, en definitiva, la derivada de una función implícita. ¿Qué es una función implícita? Primero recordemos la definición misma de función de una variable:
Función de variable única es una regla según la cual cada valor de la variable independiente corresponde a uno y sólo un valor de la función.
La variable se llama variable independiente o argumento.
La variable se llama variable dependiente o función
.
Hasta ahora hemos visto funciones definidas en explícito forma. ¿Qué significa? Realicemos un informe utilizando ejemplos específicos.
Considere la función 
Vemos que a la izquierda tenemos un "jugador" solitario, y a la derecha - solo "X". Es decir, la función explícitamente expresado a través de la variable independiente.
Veamos otra función:
Aquí es donde se mezclan las variables. Además imposible por cualquier medio exprese “Y” sólo hasta “X”. ¿Cuáles son estos métodos? Transferir términos de una parte a otra con cambio de signo, sacarlos de paréntesis, arrojar factores según la regla de proporción, etc. Reescribir la igualdad e intentar expresar la “y” explícitamente: . Puedes darle vueltas y vueltas a la ecuación durante horas, pero no lo conseguirás.
Déjame presentarte: – ejemplo función implícita.
En el curso del análisis matemático se demostró que la función implícita existe(sin embargo, no siempre), tiene una gráfica (como una función “normal”). La función implícita es exactamente la misma. existe primera derivada, segunda derivada, etc. Como dicen, se respetan todos los derechos de las minorías sexuales.
Y en esta lección aprenderemos cómo encontrar la derivada de una función especificada implícitamente. ¡No es tan difícil! Todas las reglas de diferenciación y la tabla de derivadas de funciones elementales siguen vigentes. La diferencia está en un momento peculiar, que veremos ahora mismo.
Sí, y te diré una buena noticia: las tareas que se analizan a continuación se realizan de acuerdo con un algoritmo bastante estricto y claro, sin una piedra delante de tres pistas.
Ejemplo 1
1) En la primera etapa, adjuntamos trazos a ambas partes:
2) Usamos las reglas de linealidad de la derivada (las dos primeras reglas de la lección ¿Cómo encontrar la derivada? Ejemplos de soluciones):
3) Diferenciación directa.
Cómo diferenciarlo está completamente claro. ¿Qué hacer cuando hay "juegos" debajo de los trazos?
- hasta el punto de la desgracia, la derivada de una función es igual a su derivada: .
como diferenciar
Aquí tenemos función compleja. ¿Por qué? Parece que debajo del seno solo hay una letra “Y”. Pero el hecho es que solo hay una letra "y" - ES EN MISMA UNA FUNCIÓN(ver definición al inicio de la lección). Por tanto, el seno es una función externa y es una función interna. Usamos la regla para derivar una función compleja. 
:
Diferenciamos el producto según la regla habitual 
:
Tenga en cuenta que – también es una función compleja, cualquier “juego con campanas y silbatos” es una función compleja:
La solución en sí debería verse así:
Si hay corchetes, amplíelos:
4) En el lado izquierdo recogemos los términos que contienen una “Y” con un número primo. Mueve todo lo demás al lado derecho:
5) Del lado izquierdo sacamos la derivada de paréntesis:
6) Y según la regla de proporción, colocamos estos paréntesis en el denominador del lado derecho:
Se ha encontrado el derivado. Listo.
Es interesante observar que cualquier función se puede reescribir implícitamente. Por ejemplo, la función 
se puede reescribir así: 
. Y diferenciarlo usando el algoritmo que acabamos de comentar. De hecho, las frases "función implícita" y "función implícita" difieren en un matiz semántico. La frase “función implícitamente especificada” es más general y correcta, 
– esta función se especifica implícitamente, pero aquí puedes expresar el “juego” y presentar la función explícitamente. La frase "función implícita" se refiere a la función implícita "clásica" cuando la "y" no se puede expresar.
Segunda solución
¡Atención! Puede familiarizarse con el segundo método solo si sabe cómo encontrar con confianza Derivadas parciales. Principiantes de cálculo y tontos, por favor. no leas y te saltes este punto, de lo contrario tu cabeza será un completo desastre.
Encontremos la derivada de la función implícita usando el segundo método.
Movemos todos los términos al lado izquierdo:
Y considere una función de dos variables:
Entonces nuestra derivada se puede encontrar usando la fórmula
Encontremos las derivadas parciales:
De este modo:
La segunda solución le permite realizar una verificación. Pero no es aconsejable que escriban la versión final de la tarea, ya que las derivadas parciales se dominan más tarde y un estudiante que estudia el tema "Derivada de una función de una variable" aún no debería conocer las derivadas parciales.
Veamos algunos ejemplos más.
Ejemplo 2
Encuentra la derivada de una función dada implícitamente.
Agrega trazos a ambas partes:
Usamos reglas de linealidad:
Encontrar derivadas:
Abriendo todos los corchetes:
Movemos todos los términos con hacia el lado izquierdo, el resto hacia el lado derecho:
Respuesta final: 
Ejemplo 3
Encuentra la derivada de una función dada implícitamente. 
Solución completa y un diseño de muestra al final de la lección.
No es raro que surjan fracciones después de la diferenciación. En tales casos, es necesario deshacerse de las fracciones. Veamos dos ejemplos más.
Ejemplo 4
Encuentra la derivada de una función dada implícitamente. 
Encerramos ambas partes bajo trazos y usamos la regla de linealidad: 
Diferenciar usando la regla para derivar una función compleja 
y la regla de diferenciación de cocientes 
:
Ampliando los corchetes: 
Ahora necesitamos deshacernos de la fracción. Esto se puede hacer más tarde, pero es más racional hacerlo de inmediato. El denominador de la fracción contiene . Multiplicar en . En detalle, se verá así:
A veces, después de la diferenciación aparecen 2-3 fracciones. Si tuviéramos otra fracción, por ejemplo, entonces sería necesario repetir la operación: multiplicar cada término de cada parte en
En el lado izquierdo lo ponemos entre paréntesis:
Respuesta final: 
Ejemplo 5
Encuentra la derivada de una función dada implícitamente.
Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. Lo único es que antes de deshacerse de la fracción, primero deberá deshacerse de la estructura de tres pisos de la fracción misma. Solución completa y respuesta al final de la lección.
Derivada de una función definida paramétricamente
No nos estresemos, todo lo que hay en este párrafo también es bastante sencillo. Puedes escribir la fórmula general para una función definida paramétricamente, pero para que quede claro, escribiré inmediatamente un ejemplo específico. En forma paramétrica, la función viene dada por dos ecuaciones: . A menudo, las ecuaciones no se escriben entre llaves, sino de forma secuencial: , .
La variable se llama parámetro. y puede tomar valores desde “menos infinito” hasta “más infinito”. Considere, por ejemplo, el valor y sustitúyalo en ambas ecuaciones: 
. O en términos humanos: “si x es igual a cuatro, entonces y es igual a uno”. Puede marcar un punto en el plano de coordenadas, y este punto corresponderá al valor del parámetro. De manera similar, puedes encontrar un punto para cualquier valor del parámetro “te”. En cuanto a una función "regular", para los indios americanos de una función definida paramétricamente también se respetan todos los derechos: se puede construir una gráfica, encontrar derivadas, etc. Por cierto, si necesitas trazar una gráfica de una función definida paramétricamente, puedes usar mi programa.
En los casos más simples, es posible representar la función explícitamente. Expresemos el parámetro de la primera ecuación: 
– y sustitúyelo en la segunda ecuación: 
. El resultado es una función cúbica ordinaria.
En casos más “graves”, este truco no funciona. Pero no importa, porque existe una fórmula para encontrar la derivada de una función paramétrica:
Encontramos la derivada del “juego con respecto a la variable te”:
Todas las reglas de diferenciación y la tabla de derivadas son válidas, naturalmente, para la letra , por tanto, no hay novedad en el proceso de búsqueda de derivados. Simplemente reemplace mentalmente todas las "X" de la tabla con la letra "Te".
Encontramos la derivada de “x con respecto a la variable te”: 
Ahora solo queda sustituir las derivadas encontradas en nuestra fórmula: 
Listo. La derivada, como la función misma, también depende del parámetro.
En cuanto a la notación, en lugar de escribirla en la fórmula, se podría simplemente escribirla sin subíndice, ya que se trata de una derivada “regular” “con respecto a X”. Pero en la literatura siempre hay una opción, por lo que no me desviaré del estándar.
Ejemplo 6
Usamos la fórmula
En este caso:
De este modo: 
Una característica especial de encontrar la derivada de una función paramétrica es el hecho de que En cada paso es beneficioso simplificar el resultado tanto como sea posible.. Entonces, en el ejemplo considerado, cuando lo encontré, abrí los paréntesis debajo de la raíz (aunque es posible que no lo haya hecho). Existe una buena posibilidad de que al sustituir en la fórmula, muchas cosas se reduzcan bien. Aunque, por supuesto, hay ejemplos con respuestas torpes.
Ejemplo 7
Encuentra la derivada de una función especificada paramétricamente. 
Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta.
En el artículo Los problemas típicos más simples con derivadas. Miramos ejemplos en los que necesitábamos encontrar la segunda derivada de una función. Para una función definida paramétricamente, también puedes encontrar la segunda derivada, y se encuentra usando la siguiente fórmula: . Es bastante obvio que para encontrar la segunda derivada, primero debes encontrar la primera derivada.
Ejemplo 8
Encuentra la primera y segunda derivada de una función dada paramétricamente.
Primero, encontremos la primera derivada.
Usamos la fórmula
En este caso: 
Sustituimos las derivadas encontradas en la fórmula. Para simplificar, utilizamos la fórmula trigonométrica: 
Hasta ahora, hemos considerado ecuaciones de rectas en un plano que conectan directamente las coordenadas actuales de los puntos de estas rectas. Sin embargo, a menudo se utiliza otro método para definir una línea, en el que las coordenadas actuales se consideran funciones de una tercera variable.
Sean dadas dos funciones de una variable.
considerado para los mismos valores de t. Entonces cualquiera de estos valores de t corresponde a un determinado valor y a un determinado valor de y, y por tanto a un determinado punto. Cuando la variable t recorre todos los valores del dominio de definición de funciones (73), el punto describe una determinada recta C en el plano. Las ecuaciones (73) se denominan ecuaciones paramétricas de esta recta y la variable se llama un parámetro.
Supongamos que la función tiene una función inversa, sustituyendo esta función en la segunda de las ecuaciones (73), obtenemos la ecuación
expresando y como una función
Convengamos en decir que esta función viene dada paramétricamente por las ecuaciones (73). La transición de estas ecuaciones a la ecuación (74) se llama eliminación de parámetros. Al considerar funciones definidas paramétricamente, excluir el parámetro no sólo no es necesario, sino que tampoco siempre es posible en la práctica.
En muchos casos es mucho más conveniente preguntar diferentes significados parámetro, luego calcule los valores correspondientes del argumento y la función y usando las fórmulas (73).
Veamos ejemplos.
Ejemplo 1. Sea un punto arbitrario en un círculo con centro en el origen y radio R. Las coordenadas cartesianas xey de este punto se expresan a través de su radio polar y ángulo polar, que denotamos aquí por t, de la siguiente manera ( véase el capítulo I, artículo 3, apartado 3):
Las ecuaciones (75) se denominan ecuaciones paramétricas de un círculo. El parámetro en ellos es el ángulo polar, que varía de 0 a .
Si las ecuaciones (75) se elevan al cuadrado término por término y se suman, entonces en virtud de la identidad se elimina el parámetro y se obtiene la ecuación de un círculo en el sistema de coordenadas cartesiano, que define dos funciones elementales:
Cada una de estas funciones se especifica paramétricamente mediante las ecuaciones (75), pero los rangos de parámetros para estas funciones son diferentes. Para el primero de ellos; La gráfica de esta función es el semicírculo superior. Para la segunda función, su gráfica es el semicírculo inferior.
Ejemplo 2. Considere simultáneamente una elipse.
y un círculo con centro en el origen y radio a (Fig. 138).
A cada punto M de la elipse le asociamos un punto N del círculo, que tiene la misma abscisa que el punto M y se sitúa con éste en el mismo lado del eje Ox. La posición del punto N, y por tanto del punto M, está completamente determinada por el ángulo polar t del punto, en este caso, para su abscisa común obtenemos la siguiente expresión: x = a. Encontramos la ordenada en el punto M a partir de la ecuación de la elipse:
Se eligió el signo porque la ordenada del punto M y la ordenada del punto N deben tener el mismo signo.
Así, se obtienen las siguientes ecuaciones paramétricas para la elipse:
Aquí el parámetro t varía de 0 a .
Ejemplo 3. Considere un círculo con centro en el punto a) y radio a, que obviamente toca el eje x en el origen (Fig. 139). Supongamos que este círculo rueda sin deslizarse a lo largo del eje x. Entonces el punto M del círculo, que en el momento inicial coincidía con el origen de coordenadas, describe una recta llamada cicloide.
Derivemos las ecuaciones paramétricas de la cicloide, tomando como parámetro t el ángulo MSV de rotación del círculo al mover su punto fijo desde la posición O a la posición M. Luego para las coordenadas e y del punto M obtenemos las siguientes expresiones:
Debido a que el círculo rueda a lo largo del eje sin deslizarse, la longitud del segmento OB es igual a la longitud del arco BM. Dado que la longitud del arco BM es igual al producto del radio a y el ángulo central t, entonces . Es por eso . Pero por lo tanto,
Estas ecuaciones son las ecuaciones paramétricas de la cicloide. Cuando el parámetro t cambia de 0 al círculo hará una revolución completa. El punto M describirá un arco de la cicloide.
Excluir aquí el parámetro t conduce a expresiones engorrosas y es prácticamente poco práctico.
La definición paramétrica de líneas se utiliza especialmente en mecánica, y el papel del parámetro lo desempeña el tiempo.
Ejemplo 4. Determinemos la trayectoria de un proyectil disparado con una velocidad inicial en un ángulo a con la horizontal. Resistencia del aire y dimensiones del proyectil, considerándolo. punto material, lo descuidamos.
Elijamos un sistema de coordenadas. Tomemos como origen de coordenadas el punto de partida del proyectil desde la boca. Dirijamos el eje Ox horizontalmente y el eje Oy verticalmente, colocándolos en el mismo plano que la boca del arma. Si no hubiera fuerza de gravedad, entonces el proyectil se movería en línea recta, formando un ángulo a con el eje Ox, y en el tiempo t habría recorrido la distancia. Las coordenadas del proyectil en el tiempo t serían respectivamente iguales a: . Debido a la gravedad, el proyectil en este momento debe descender verticalmente una cantidad, por lo tanto, en realidad, en el tiempo t, las coordenadas del proyectil están determinadas por las fórmulas:
Estas ecuaciones contienen cantidades constantes. Cuando t cambia, las coordenadas en el punto de la trayectoria del proyectil también cambiarán. Las ecuaciones son ecuaciones paramétricas de la trayectoria del proyectil, en las que el parámetro es el tiempo.
Expresando a partir de la primera ecuación y sustituyéndola en
la segunda ecuación, obtenemos la ecuación de la trayectoria del proyectil en la forma Esta es la ecuación de una parábola.
