Por flexión nos referimos a un tipo de carga en la que se producen momentos flectores en las secciones transversales de la viga. Si el momento flector en la sección es el único factor de fuerza, entonces la flexión se llama pura. Si, junto con el momento flector, también surgen fuerzas transversales en las secciones transversales de la viga, entonces la flexión se llama transversal.
Se supone que el momento flector y la fuerza cortante se encuentran en uno de los planos principales de la viga (supongamos que este plano es ZOY). Este tipo de curvatura se llama plana.
En todos los casos considerados a continuación, se produce una flexión transversal plana de las vigas.
Para calcular la resistencia o rigidez de una viga es necesario conocer los factores de fuerzas internas que surgen en sus secciones. Para ello se construyen diagramas de fuerzas transversales (diagrama Q) y momentos flectores (M).
Al doblarse, el eje recto de la viga se dobla, el eje neutro pasa por el centro de gravedad de la sección. Con certeza, al construir diagramas de fuerzas transversales y momentos flectores, estableceremos reglas de signos para ellos. Supongamos que el momento flector se considerará positivo si el elemento de la viga se dobla convexamente hacia abajo, es decir, de tal forma que sus fibras comprimidas queden en la parte superior.
Si un momento dobla la viga de forma convexa hacia arriba, entonces este momento se considerará negativo.
Al construir un diagrama, los valores positivos de los momentos flectores se trazan, como de costumbre, en la dirección del eje Y, lo que corresponde a construir un diagrama sobre una fibra comprimida.
Por lo tanto, la regla de signos para el diagrama de momentos flectores se puede formular de la siguiente manera: las ordenadas de los momentos se trazan desde el lado de las capas de la viga.
Momento flector en la sección igual a la suma momentos relativos a esta sección de todas las fuerzas ubicadas en un lado (cualquiera) de la sección.
Para determinar las fuerzas transversales (Q), establecemos una regla de signos: la fuerza transversal se considera positiva si la fuerza externa tiende a girar la parte cortada de la viga cada hora. flecha relativa al punto del eje que corresponde a la sección dibujada.
La fuerza transversal (Q) en una sección transversal arbitraria de una viga es numéricamente igual a la suma de las proyecciones sobre el eje OU Fuerzas externas, adherido a su parte truncada.
Consideremos varios ejemplos de construcción de diagramas de fuerzas transversales y momentos flectores. Todas las fuerzas son perpendiculares al eje de las vigas, por lo que la componente horizontal de la reacción es cero. El eje deformado de la viga y las fuerzas se encuentran en el plano principal ZOY.
Una viga de longitud se sujeta por su extremo izquierdo y se carga con una fuerza concentrada F y un momento m=2F.
Construyamos diagramas de fuerzas transversales Q y momentos flectores M.
En nuestro caso, sobre una viga con lado derecho no se realizan conexiones. Por lo tanto, para no determinar reacciones de apoyo, es aconsejable considerar el equilibrio de la parte de corte derecha de la viga. La viga dada tiene dos secciones de carga. Límites de secciones de sección en las que se aplican fuerzas externas. 1er tramo - NE, 2do - VA.
Realizamos una sección arbitraria en la sección 1 y consideramos el equilibrio de la parte de corte derecha de la longitud Z 1.
De la condición de equilibrio se sigue:
Q=F ; M salida = -FZ 1 ()
La fuerza cortante es positiva porque La fuerza externa F tiende a girar la parte cortada en el sentido de las agujas del reloj. El momento flector se considera negativo porque dobla la parte de la viga en cuestión con su convexo hacia arriba.
Al elaborar ecuaciones de equilibrio, fijamos mentalmente la ubicación de la sección; De las ecuaciones () se deduce que la fuerza transversal en la sección I no depende de Z 1 y es un valor constante. fuerza positiva Q=F se traza en una escala hacia arriba desde la línea central de la viga, perpendicular a ella.
El momento flector depende de Z 1.
Cuando Z 1 =O M de =O cuando Z 1 = M de =
Ponemos el valor resultante (), es decir, El diagrama M de está construido sobre una fibra comprimida.
Pasemos a la segunda sección.
Cortamos la sección II a una distancia arbitraria Z 2 del extremo derecho libre de la viga y consideramos el equilibrio de la parte cortada de longitud Z 2 . El cambio en la fuerza cortante y el momento flector en función de las condiciones de equilibrio se puede expresar mediante las siguientes ecuaciones:
Q=FM de = - FZ 2 +2F
La magnitud y el signo de la fuerza cortante no han cambiado.
La magnitud del momento flector depende de Z 2 .
Cuando Z 2 = M de =, cuando Z 2 =
El momento flector resultó positivo, tanto al inicio del tramo II como al final del mismo. En la sección II, la viga se curva convexamente hacia abajo.
Trazamos en una escala la magnitud de los momentos a lo largo de la línea central de la viga (es decir, el diagrama está construido sobre una fibra comprimida). El mayor momento flector se produce en la sección donde se aplica un momento externo m y su valor absoluto es igual a
Tenga en cuenta que a lo largo de la viga, donde Q permanece constante, el momento flector M cambia linealmente y se representa en el diagrama mediante líneas rectas inclinadas. De los diagramas Q y M de se desprende claramente que en la sección donde se aplica una fuerza transversal externa, el diagrama Q tiene un salto en la magnitud de esta fuerza, y el diagrama M de tiene una torcedura. En la sección donde se aplica un momento flector externo, el diagrama de Miz tiene un salto por el valor de este momento. Esto no se refleja en el diagrama Q. Del diagrama M vemos que
máximo M de =
por eso, sección peligrosa extremadamente cerca en el lado izquierdo del llamado.
Para la viga que se muestra en la Fig. 13, a, construya diagramas de fuerzas transversales y momentos flectores. A lo largo de su longitud, la viga se carga con una carga uniformemente distribuida con intensidad q(KN/cm).
En el soporte A (bisagra fija), ocurrirá una reacción vertical R a (la reacción horizontal es cero), y en el soporte B (una bisagra móvil), ocurrirá una reacción vertical R v.
Determinemos las reacciones verticales de los apoyos componiendo una ecuación de momentos relativos a los apoyos A y B.
Comprobemos la exactitud de la definición de reacción:
aquellos. las reacciones en los soportes se determinan correctamente.
La viga dada tiene dos tramos de carga: Tramo I - AC.
Tramo II - NE.
En la primera sección a, en la sección actual Z 1, de la condición de equilibrio de la parte de corte tenemos
Ecuación de momentos flectores en 1 sección de la viga:
El momento de la reacción R a dobla la viga en la sección 1, con el lado convexo hacia abajo, por lo que el momento de flexión de la reacción Ra se ingresa en la ecuación con un signo más. La carga qZ 1 dobla la viga con su convexidad hacia arriba, por lo que el momento se ingresa en la ecuación con un signo menos. El momento flector varía según la ley de una parábola cuadrada.
Por tanto, es necesario averiguar si existe un extremo. Existe una relación diferencial entre la fuerza transversal Q y el momento flector, que analizaremos más a fondo.
Como sabes, una función tiene un extremo donde la derivada es cero. Por lo tanto, para determinar en qué valor de Z 1 el momento flector será extremo, es necesario igualar la ecuación de la fuerza transversal a cero.
Dado que la fuerza transversal en esta sección cambia de signo de más a menos, el momento flector en esta sección será máximo. Si Q cambia de signo de menos a más, entonces el momento flector en esta sección será mínimo.
Entonces, el momento flector en
es el máximo.
Por lo tanto, construimos una parábola usando tres puntos.
Cuando Z 1 =0 M desde =0
Cortamos la segunda sección a una distancia Z 2 del soporte B. De la condición de equilibrio de la parte cortada derecha de la viga tenemos:
Cuando el valor Q=const,
el momento flector será:
en, en, es decir SOY DE
varía según una ley lineal.
Una viga sobre dos soportes, que tiene una luz de 2 y una consola izquierda de longitud, se carga como se muestra en la Fig. 14, a., donde q(KN/cm) es la carga lineal. El soporte A es estacionario de forma articulada, el soporte B es un rodillo móvil. Construya diagramas de Q y M a partir de.
La solución del problema debe comenzar por determinar las reacciones de los soportes. De la condición de que la suma de las proyecciones de todas las fuerzas sobre el eje Z sea igual a cero, se deduce que la componente horizontal de la reacción en el soporte A es igual a 0.
Para comprobarlo utilizamos la ecuación.
La ecuación de equilibrio se satisface, por tanto, las reacciones se calculan correctamente. Pasemos a definir los factores de potencia internos. Una viga determinada tiene tres secciones de carga:
- 1ra sección - SA,
- Sección 2 - AD,
- Sección 3 - Lejano Oriente.
Cortemos 1 sección a una distancia Z 1 del extremo izquierdo de la viga.
en Z 1 =0 Q=0 M IZ =0
en Z 1 = Q= -q M DESDE =
Así, en el diagrama de fuerzas transversales se obtiene una recta inclinada, y en el diagrama de momentos flectores se obtiene una parábola, cuyo vértice se ubica en el extremo izquierdo de la viga.
En la sección II (a Z 2 2a), para determinar los factores de fuerza interna, consideramos el equilibrio de la parte cortada izquierda de la viga con longitud Z 2. De la condición de equilibrio tenemos:
La fuerza cortante en esta área es constante.
En la sección III()
En el diagrama vemos que el momento flector más grande ocurre en la sección bajo la fuerza F y es igual a. Esta sección será la más peligrosa.
En el diagrama M hay un choque en el soporte B, igual al momento externo aplicado en esta sección.
Al observar los diagramas construidos anteriormente, es fácil notar una cierta conexión natural entre los diagramas de momentos flectores y los diagramas de fuerzas transversales. Demostrémoslo.
La derivada de la fuerza cortante a lo largo de la viga es igual al módulo de intensidad de carga.
Descartando el valor orden superior obtenemos un poco:
aquellos. la fuerza cortante es la derivada del momento flector a lo largo de la viga.
Teniendo en cuenta las dependencias diferenciales obtenidas, se pueden sacar conclusiones generales. Si la viga se carga con una carga uniformemente distribuida de intensidad q=const, obviamente, la función Q será lineal y M será cuadrática.
Si la viga está cargada con fuerzas o momentos concentrados, entonces en los intervalos entre los puntos de su aplicación la intensidad q=0. En consecuencia, Q = constante, y M de es una función lineal de Z. En los puntos de aplicación de fuerzas concentradas, el diagrama Q sufre un salto por la magnitud de la fuerza externa, y en el diagrama M de un pliegue correspondiente (discontinuidad en la derivada) aparece.
En el punto donde se aplica el momento flector externo, se observa un espacio en el diagrama de momento, igual en magnitud al momento aplicado.
Si Q>0, entonces M crece, y si Q<0, то М из убывает.
Las dependencias diferenciales se utilizan para verificar las ecuaciones compiladas para construir los diagramas Q y M, así como para aclarar el tipo de estos diagramas.
El momento flector cambia según la ley de una parábola, cuya convexidad siempre está dirigida hacia la carga externa.
Flexión espacial (compleja)
La flexión espacial es un tipo de resistencia compleja en la que sólo actúan los momentos flectores y en la sección transversal de la viga. El momento flector total no actúa en ninguno de los principales planos de inercia. No hay fuerza longitudinal. La flexión espacial o compleja a menudo se denomina flexión no plana porque el eje doblado de la varilla no es una curva plana. Esta flexión es causada por fuerzas que actúan en diferentes planos perpendiculares al eje de la viga (Fig. 1.2.1).
Fig.1.2.1
Siguiendo el orden de resolución de problemas con resistencia compleja descrito anteriormente, presentamos el sistema espacial de fuerzas presentado en la Fig. 1.2.1, en dos de manera que cada uno de ellos actúe en uno de los planos principales. Como resultado, obtenemos dos curvas transversales planas, en los planos vertical y horizontal. De los cuatro factores de fuerza interna que surgen en la sección transversal de la viga, tendremos en cuenta únicamente la influencia de los momentos flectores. Construimos diagramas causados por las fuerzas correspondientes (Fig. 1.2.1).
Analizando los diagramas de momentos flectores, llegamos a la conclusión de que el tramo A es peligroso, ya que es en este tramo donde se producen los mayores momentos flectores y. Ahora es necesario establecer los puntos peligrosos del tramo A. Para ello construiremos una línea cero. La ecuación de la línea cero, teniendo en cuenta la regla de los signos para los términos incluidos en esta ecuación, tiene la forma:
Aquí se adopta el signo “” cerca del segundo término de la ecuación, ya que las tensiones en el primer trimestre provocadas por el momento serán negativas.
Determinemos el ángulo de inclinación de la línea cero con la dirección positiva del eje (Fig. 12.6):
Arroz. 1.2.2
De la ecuación (8) se deduce que la línea cero para la flexión espacial es una línea recta y pasa por el centro de gravedad de la sección.
De la Fig. 1.2.2 está claro que las mayores tensiones surgirán en los puntos de las secciones No. 2 y No. 4 más alejados de la línea cero. Por tamaño estrés normal en estos puntos serán iguales, pero de diferente signo: en el punto 4 los voltajes serán positivos, es decir tracción, en el punto No. 2 - negativo, es decir compresivo. Los signos de estas tensiones se establecieron a partir de consideraciones físicas.
Ahora que se han establecido los puntos peligrosos, calculemos las tensiones máximas en la sección A y verifiquemos la resistencia de la viga usando la expresión:
La condición de resistencia (10) permite no sólo comprobar la resistencia de la viga, sino también seleccionar las dimensiones de su sección transversal si se especifica la relación de aspecto de la sección transversal.
Introducción.
La flexión es un tipo de deformación caracterizada por la curvatura (cambio de curvatura) del eje o superficie media de un objeto deformable (viga, viga, losa, cáscara, etc.) bajo la influencia de fuerzas externas o temperatura. La flexión está asociada con la aparición de momentos flectores en las secciones transversales de la viga. Si de los seis factores de fuerza interna en la sección transversal de una viga, solo un momento flector es distinto de cero, la flexión se llama pura:
Si en las secciones transversales de una viga, además del momento flector, también existe una fuerza transversal, la flexión se llama transversal:
En la práctica de la ingeniería, también se considera un caso especial de flexión: longitudinal I. ( arroz. 1, c), caracterizado por el pandeo de la varilla bajo la acción de fuerzas de compresión longitudinales. La acción simultánea de fuerzas dirigidas a lo largo del eje de la varilla y perpendiculares a ella provoca una flexión longitudinal-transversal ( arroz. 1, G).
Arroz. 1. Doblado de la viga: a - limpio: b - transversal; c - longitudinal; g - longitudinal-transversal.
Una viga que se dobla se llama viga. La curva se llama plana si el eje de la viga sigue siendo una línea plana después de la deformación. El plano de ubicación del eje curvo de la viga se llama plano de flexión. El plano de acción de las fuerzas de carga se llama plano de fuerzas. Si el plano de fuerza coincide con uno de los principales planos de inercia de la sección transversal, la curva se llama recta. (De lo contrario, se produce una flexión oblicua). El plano principal de inercia de la sección transversal es el plano formado por uno de los ejes principales de la sección transversal con el eje longitudinal de la viga. En la flexión recta y plana, el plano de flexión y el plano de fuerza coinciden.
El problema de la torsión y flexión de una viga (problema de Saint-Venant) es de gran interés práctico. La aplicación de la teoría de la flexión, establecida por Navier, constituye una extensa rama de la mecánica estructural y es de enorme importancia práctica, ya que sirve de base para calcular las dimensiones y comprobar la resistencia de diversas partes de las estructuras: vigas, puentes, elementos de máquinas, etc.
ECUACIONES BÁSICAS Y PROBLEMAS DE LA TEORÍA DE LA ELASTICIDAD
§ 1. ecuaciones básicas
Primero, daremos un resumen general de las ecuaciones básicas para los problemas de equilibrio de un cuerpo elástico, que forman el contenido de la sección de la teoría de la elasticidad, generalmente llamada estática de un cuerpo elástico.
El estado deformado de un cuerpo está completamente determinado por el tensor del campo de deformación o el campo de desplazamiento Componentes del tensor de deformación están asociados con desplazamientos por dependencias diferenciales de Cauchy:
(1)
Los componentes del tensor de deformación deben satisfacer las dependencias diferenciales de Saint-Venant:
que son condiciones necesarias y suficientes para la integrabilidad de las ecuaciones (1).
El estado de estrés del cuerpo está determinado por el tensor del campo de estrés. 
Seis componentes independientes de un tensor simétrico ()
debe satisfacer tres ecuaciones de equilibrio diferencial:
Componentes del tensor de tensión. Y movimientos conectado por seis ecuaciones de la ley de Hooke:
En algunos casos, las ecuaciones de la ley de Hooke deben utilizarse en forma de fórmula.
,
(5)
Las ecuaciones (1) a (5) son las ecuaciones básicas de los problemas estáticos en la teoría de la elasticidad. A veces las ecuaciones (1) y (2) se llaman ecuaciones geométricas, ecuaciones ( 3) son ecuaciones estáticas y las ecuaciones (4) o (5) son ecuaciones físicas. A las ecuaciones básicas que determinan el estado de un cuerpo linealmente elástico en sus puntos internos de volumen, es necesario agregar condiciones en su superficie, estas condiciones se llaman condiciones de frontera. Están determinados por fuerzas superficiales externas dadas o movimientos específicos puntos en la superficie del cuerpo. En el primer caso, las condiciones de contorno se expresan mediante la igualdad:
¿Dónde están los componentes del vector? t fuerza superficial, - componentes del vector unitario PAG, Dirigido a lo largo de la normal exterior a la superficie. en el punto en cuestión.
En el segundo caso, las condiciones de contorno se expresan mediante la igualdad.
Dónde 
- funciones especificadas en la superficie.
Las condiciones de contorno también pueden ser de naturaleza mixta, cuando por una parte Las fuerzas superficiales externas se dan a la superficie del cuerpo. y por otra parte la superficie del cuerpo recibe desplazamientos:
También son posibles otros tipos de condiciones de contorno. Por ejemplo, en una determinada zona de la superficie del cuerpo, solo se especifican algunas componentes del vector de desplazamiento y, además, no se especifican todas las componentes del vector de fuerza superficial.
§ 2. Principales problemas de la estática de un cuerpo elástico.
Dependiendo del tipo de condiciones de contorno, se distinguen tres tipos de problemas estáticos básicos en la teoría de la elasticidad.
La tarea principal del primer tipo es determinar los componentes del tensor del campo de tensión. dentro del área , ocupado por el cuerpo, y la componente del vector de movimiento de puntos dentro del área y puntos de superficie cuerpos según fuerzas de masa dadas y fuerzas superficiales
Las nueve funciones requeridas deben satisfacer las ecuaciones básicas (3) y (4), así como las condiciones de contorno (6).
La tarea principal del segundo tipo es determinar los movimientos. puntos dentro del área y el componente tensor del campo de tensión. según las fuerzas de masa dadas y de acuerdo con movimientos específicos en la superficie del cuerpo.
Características que estás buscando Y debe satisfacer las ecuaciones básicas (3) y (4) y las condiciones de contorno (7).
Tenga en cuenta que las condiciones límite (7) reflejan el requisito de continuidad de las funciones definidas. en el borde cuerpo, es decir, cuando el punto interno tiende a algún punto de la superficie, la función debe tender a un valor dado en un punto dado de la superficie.
El principal problema del tercer tipo o problema mixto es que dadas las fuerzas superficiales sobre una parte de la superficie del cuerpo y según desplazamientos dados en otra parte de la superficie del cuerpo y también, en general, según fuerzas de masa dadas se requiere determinar las componentes del tensor de tensión y desplazamiento , satisfaciendo las ecuaciones básicas (3) y (4) cuando se cumplen las condiciones de contorno mixtas (8).
Habiendo obtenido la solución a este problema, es posible determinar, en particular, las fuerzas de las conexiones en , que debe aplicarse en puntos de la superficie para realizar desplazamientos específicos en esta superficie, y también es posible calcular los desplazamientos de puntos de la superficie . Trabajo de curso >> Industria, producción
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Breve información de la teoría.
La madera está sujeta a condiciones de resistencia compleja si varios factores de fuerza interna en las secciones transversales no son iguales a cero al mismo tiempo.
Los siguientes casos de carga compleja son de mayor interés práctico:
1. Curva oblicua.
2. Doblar con tensión o compresión cuando está en posición transversal.
surgen secciones transversales fuerza longitudinal y momentos flectores como
por ejemplo, durante la compresión excéntrica de una viga.
3. Curva con torsión, caracterizada por la presencia en la culata.
tramos de río de flexión (o dos flexión) y torsional
momentos.
Curva oblicua.
La flexión oblicua es un caso de flexión de viga en el que el plano de acción del momento flector total en la sección no coincide con ninguno de los ejes principales de inercia. Es más conveniente considerar la flexión oblicua como la flexión simultánea de una viga en dos planos principales zoy y zox, donde el eje z es el eje de la viga y los ejes xey son los ejes centrales principales de la sección transversal.
Consideremos una viga en voladizo de sección transversal rectangular cargada con fuerza P (Fig. 1).
Habiendo expandido la fuerza P a lo largo de los principales ejes centrales de la sección transversal, obtenemos:
P y =Pcos φ, P x =Psen φ
Los momentos flectores ocurren en la sección actual de la viga.
M x = - P y z = -P z cos φ,
M y = P x z = P z sen φ.
El signo del momento flector M x se determina de la misma forma que en el caso curva recta. Consideraremos el momento M y positivo si en puntos con valor positivo La coordenada x este momento provoca tensiones de tracción. Por cierto, el signo del momento M y se puede establecer fácilmente por analogía con la determinación del signo del momento flector M x, si gira mentalmente la sección para que el eje x coincida con la dirección original del eje y. .
La tensión en un punto arbitrario de la sección transversal de una viga se puede determinar utilizando fórmulas para determinar la tensión para el caso de flexión plana. Basándonos en el principio de acción independiente de fuerzas, resumimos las tensiones provocadas por cada uno de los momentos flectores.
(1)
En esta expresión se sustituyen los valores de los momentos flectores (con sus propios signos) y las coordenadas del punto en el que se calcula la tensión.
Para determinar los puntos peligrosos de la sección, es necesario determinar la posición de la línea cero o neutra (la ubicación geométrica de los puntos de la sección en los que las tensiones σ = 0). Las tensiones máximas ocurren en los puntos más alejados de la línea cero.
La ecuación de la línea cero se obtiene de la ecuación (1) en =0:
de donde se deduce que la línea cero pasa por el centro de gravedad de la sección transversal.
Las tensiones tangenciales que surgen en las secciones de la viga (en Q x ≠0 y Q y ≠0), por regla general, pueden despreciarse. Si es necesario determinarlos, primero se calculan los componentes de la tensión cortante total τ x y τ y de acuerdo con la fórmula de D.Ya. Zhuravsky, y luego estos últimos se resumen geométricamente:
Para evaluar la resistencia de una viga, es necesario determinar las tensiones normales máximas en la sección peligrosa. Dado que en los puntos más cargados el estado de tensión es uniaxial, la condición de resistencia al calcular utilizando el método de tensión permisible toma la forma
Para materiales plásticos,
Para materiales frágiles,
norte - factor de seguridad.
Si calculas usando el método estados límite, entonces la condición de resistencia tiene la forma:
donde R es la resistencia de diseño,
m – coeficiente de condiciones de trabajo.
En los casos en que el material de la viga tenga diferente resistencia a la tracción y a la compresión, es necesario determinar tanto las tensiones máximas de tracción como las de compresión máxima, y se llega a una conclusión sobre la resistencia de la viga a partir de las relaciones:
donde R p y R c - respectivamente resistencias calculadas material sometido a tensión y compresión.
Para determinar las deflexiones de una viga es conveniente encontrar primero los desplazamientos de la sección en los planos principales en la dirección de los ejes x e y.
El cálculo de estos desplazamientos ƒ x y ƒ y se puede realizar construyendo una ecuación universal para el eje curvo de la viga o mediante métodos energéticos.
La deflexión total se puede encontrar como una suma geométrica:
la condición de rigidez de la viga tiene la forma:
donde - es la deflexión permitida de la viga.
Compresión excéntrica
En este caso, la fuerza de compresión P sobre la viga se dirige paralela al eje de la viga y se aplica en un punto que no coincide con el centro de gravedad de la sección. Sean X p e Y p las coordenadas del punto de aplicación de la fuerza P, medidas con respecto a los ejes centrales principales (Fig. 2).
Carga efectiva provoca la aparición de los siguientes factores de fuerzas internas en las secciones transversales: N= -P, Mx= -Py p, My=-Px p
Los signos de los momentos flectores son negativos, ya que estos últimos provocan compresiones en puntos pertenecientes al primer cuarto. La tensión en un punto arbitrario de la sección está determinada por la expresión
(9)
Sustituyendo los valores de N, Mx y Mu, obtenemos
(10)
Dado que Ух= F, Уу= F (donde i x e i y son los radios de inercia principales), la última expresión se puede reducir a la forma
(11)
Obtenemos la ecuación de la línea cero estableciendo =0
1+ 
(12)
Los segmentos y cortados por la línea cero en los ejes de coordenadas se expresan de la siguiente manera:
Usando las dependencias (13), puede encontrar fácilmente la posición de la línea cero en la sección (Fig.3), después de lo cual se determinan los puntos más alejados de esta línea, que son peligrosos, ya que en ellos surgen tensiones máximas.
El estado de estrés en los puntos de la sección es uniaxial, por lo tanto, la condición para la resistencia de la viga es similar al caso considerado anteriormente de flexión oblicua de la viga: fórmulas (5), (6).
Durante la compresión excéntrica de vigas, cuyo material resiste débilmente la tensión, es conveniente evitar la aparición de tensiones de tracción en la sección transversal. En la sección surgirán tensiones del mismo signo si la línea cero pasa fuera de la sección o, en casos extremos, la toca.
Esta condición se cumple cuando la fuerza de compresión se aplica dentro de una región llamada núcleo de la sección. El núcleo de la sección es una zona que cubre el centro de gravedad de la sección y se caracteriza por el hecho de que cualquier fuerza longitudinal aplicada dentro de esta zona provoca tensiones del mismo signo en todos los puntos de la viga.
Para construir el núcleo de la sección, es necesario fijar la posición de la línea cero de manera que toque la sección sin cortarla en ningún lado, y encontrar el punto correspondiente de aplicación de la fuerza P. Trazando una familia de tangentes a la sección, obtenemos un conjunto de postes correspondientes a ellos, cuya ubicación geométrica dará el contorno (contorno) de las secciones centrales.
Consideremos, por ejemplo, la sección que se muestra en la Fig. 4, con los ejes centrales principales x e y.
Para construir el núcleo del tramo presentamos cinco tangentes, cuatro de las cuales coinciden con los lados AB, DE, EF y FA, y la quinta conecta los puntos B y D. Midiendo o calculando a partir del corte, cortado por el indicado tangentes I-I, . . . ., 5-5 en los ejes x, y y sustituyendo estos valores en dependencia (13), determinamos las coordenadas x p, y p de los cinco polos 1, 2....5, correspondientes a las cinco posiciones del línea cero. La tangente I-I se puede mover a la posición 2-2 girando alrededor del punto A, mientras que el polo I debe moverse en línea recta y, como resultado de la rotación de la tangente, moverse al punto 2. En consecuencia, todos los polos correspondientes a posiciones intermedias de la La tangente entre I-I y 2-2 se ubicará en la recta 1-2. Del mismo modo, se puede demostrar que los lados restantes del núcleo de la sección también serán rectangulares, es decir el núcleo de la sección es un polígono, para construirlo basta con conectar los polos 1, 2, ... 5 con rectas.
Doblar con torsión madera en rollo.
Al doblar con torsión en la sección transversal de una viga, en el caso general, cinco factores de fuerza interna no son iguales a cero: M x, M y, M k, Q x y Q y. Sin embargo, en la mayoría de los casos, la influencia de las fuerzas cortantes Q x y Q y puede despreciarse si la sección no tiene paredes delgadas.
Las tensiones normales en una sección transversal se pueden determinar a partir de la magnitud del momento flector resultante.
porque el eje neutro es perpendicular a la cavidad de acción del momento M u.
En la Fig. La Figura 5 muestra los momentos flectores M x y My en forma de vectores (las direcciones M x y My se eligen positivas, es decir, de modo que en los puntos del primer cuadrante las secciones tensadas sean de tracción).
La dirección de los vectores M x y My se elige de tal manera que un observador, mirando desde el final del vector, los vea dirigidos en sentido antihorario. En este caso, la línea neutra coincide con la dirección del vector de momento resultante M u, y los puntos más cargados de la sección A y B se encuentran en el plano de acción de este momento.
La combinación de flexión y torsión de vigas de sección circular se considera con mayor frecuencia al calcular los ejes. Los casos de flexión con torsión de vigas son mucho menos comunes. sección redonda.
En el § 1.9 se establece que en el caso de que los momentos de inercia de la sección con respecto a los ejes principales sean iguales entre sí, la flexión oblicua de la viga es imposible. En este sentido, la flexión oblicua de vigas redondas es imposible. Por tanto, en el caso general de fuerzas externas, una viga redonda experimenta una combinación de los siguientes tipos de deformación: flexión transversal directa, torsión y tracción central (o compresión).
Consideremos esto caso especial Cálculo de una viga redonda cuando la fuerza longitudinal en sus secciones transversales es cero. En este caso, la viga trabaja bajo la acción combinada de flexión y torsión. Para encontrar el punto peligroso de la viga, es necesario establecer cómo cambian los valores de los momentos flectores y de torsión a lo largo de la viga, es decir, construir diagramas de los momentos flectores totales M y pares. de estos diagramas en ejemplo específico eje mostrado en la Fig. 22.9, a. El eje descansa sobre los cojinetes A y B y es accionado por el motor C.
En el eje están montadas las poleas E y F, a través de las cuales pasan las correas de transmisión con tensión. Supongamos que el eje gira sobre cojinetes sin fricción; despreciamos el peso propio del eje y las poleas (en el caso de que su propio peso sea significativo, conviene tenerlo en cuenta). Dirijamos el eje de la sección transversal del eje verticalmente y el eje horizontalmente.
Las magnitudes de las fuerzas se pueden determinar mediante las fórmulas (1.6) y (2.6), si, por ejemplo, se conoce la potencia transmitida por cada polea, la velocidad angular del eje y las relaciones. estas fuerzas se transmiten paralelamente al eje longitudinal del eje. En este caso, los momentos de torsión se aplican al eje en las secciones en las que se ubican las poleas E y F y son iguales, respectivamente, estos momentos se equilibran con el momento transmitido desde el motor (Fig. 22.9, b). Luego, las fuerzas se descomponen en componentes verticales y horizontales. Las fuerzas verticales provocarán reacciones verticales en los apoyos y las fuerzas horizontales provocarán reacciones horizontales. Las magnitudes de estas reacciones se determinan como para una viga apoyada sobre dos soportes.
Diagrama de momentos flectores que actúan en plano vertical, se construye a partir de fuerzas verticales (figura 22.9, c). Se muestra en la Fig. 22.9, D. De manera similar, a partir de fuerzas horizontales (Fig. 22.9, e), se construye un diagrama de momentos flectores que actúan en el plano horizontal (Fig. 22.9, f).
A partir de los diagramas puede determinar (en cualquier sección transversal) el momento flector total M usando la fórmula
Utilizando los valores de M obtenidos mediante esta fórmula, se construye un diagrama de los momentos flectores totales (figura 22.9, g). En aquellas secciones del eje en las que los diagramas limitantes rectos cruzan los ejes de los diagramas en puntos ubicados en la misma vertical, el diagrama M está limitado por líneas rectas, y en otras áreas está limitado por curvas.
(ver escaneo)
Por ejemplo, en la sección del eje en cuestión, la longitud del diagrama M está limitada por una línea recta (Fig. 22.9, g), ya que los diagramas en esta sección están limitados por líneas rectas y que cruzan los ejes de los diagramas. en puntos situados en la misma vertical.
El punto O de la intersección de la recta con el eje del diagrama se ubica en la misma vertical. Una situación similar es típica para una sección de eje con una longitud
El diagrama de momentos flectores totales (totales) M caracteriza la magnitud de estos momentos en cada sección del eje. Los planos de acción de estos momentos en diferentes secciones del eje son diferentes, pero las ordenadas del diagrama para todas las secciones están alineadas convencionalmente con el plano del dibujo.
El diagrama de par se construye del mismo modo que para la torsión pura (ver § 1.6). Para el eje en cuestión, se muestra en la Fig. 22,9, z.
La sección peligrosa del eje se establece mediante diagramas de momentos flectores totales M y pares. Si en la sección de una viga de diámetro constante con mayor momento flector M también actúa el mayor par, entonces esta sección es peligrosa. En particular, el eje considerado tiene dicha sección ubicada a la derecha de la polea F a una distancia infinitesimal de ella.
Si el momento flector máximo M y el par máximo actúan en secciones transversales diferentes, entonces una sección en la que ninguno de los valores sea mayor puede resultar peligrosa. En vigas de diámetro variable, la sección más peligrosa puede ser aquella en la que actúan momentos de flexión y torsión significativamente menores que en otras secciones.
En los casos en que la sección peligrosa no pueda determinarse directamente a partir de los diagramas M y sea necesario comprobar la resistencia de la viga en varias de sus secciones y de esta forma establecer tensiones peligrosas.
Una vez establecida una sección peligrosa de la viga (o identificadas varias secciones, una de las cuales puede resultar peligrosa), es necesario encontrar puntos peligrosos en la misma. Para ello, consideremos las tensiones que surgen en la sección transversal de la viga cuando actúan simultáneamente en ella un momento flector M y un par.
En vigas de sección redonda, cuya longitud es muchas veces mayor que el diámetro, los valores de las tensiones tangenciales más altas debido a la fuerza transversal son pequeños y no se tienen en cuenta al calcular la resistencia de las vigas bajo la acción combinada. de flexión y torsión.
En la Fig. La figura 23.9 muestra la sección transversal de una viga redonda. En esta sección actúan un momento flector M y un par. El eje y se considera perpendicular al plano de acción del momento flector, por lo que el eje y es el eje neutro de la sección.
En la sección transversal de la viga, los esfuerzos normales surgen por flexión y los esfuerzos cortantes por torsión.
Las tensiones normales a están determinadas por la fórmula. El diagrama de estas tensiones se muestra en la Fig. 23.9. Las mayores tensiones normales en valor absoluto ocurren en los puntos A y B. Estas tensiones son iguales
donde es el momento axial de resistencia de la sección transversal de la viga.
Las tensiones tangenciales están determinadas por la fórmula. El diagrama de estas tensiones se muestra en la Fig. 23.9.
En cada punto de la sección se dirigen perpendicularmente al radio que conecta este punto con el centro de la sección. Los mayores esfuerzos cortantes ocurren en puntos ubicados a lo largo del perímetro de la sección; son iguales
¿Dónde está el momento polar de resistencia de la sección transversal de la viga?
Para un material plástico, los puntos A y B de la sección transversal, en los que tanto el esfuerzo normal como el de corte alcanzan simultáneamente valor más alto, son peligrosos. En material frágil El punto peligroso es aquel en el que surgen tensiones de tracción debido al momento flector M.
En la figura 1.3 se muestra el estado tensionado de un paralelepípedo elemental aislado en las proximidades del punto A. 24.9, a. A lo largo de las caras del paralelepípedo coincidiendo con secciones cruzadas En la madera actúan tensiones normales y tensiones tangenciales. Según la ley del emparejamiento de tensiones tangenciales, también surgen tensiones en las caras superior e inferior del paralelepípedo. Sus dos caras restantes están libres de estrés. Así, en en este caso disponible vista privada estado de tensión plano, discutido en detalle en el Cap. 3. Las tensiones principales amax y están determinadas por las fórmulas (12.3).
Después de sustituir los valores en ellos obtenemos
Los voltajes tienen diferentes signos y por lo tanto
En la figura 2 se muestra un paralelepípedo elemental, resaltado en las proximidades del punto A por las áreas principales. 24.9, b.
El cálculo de la resistencia de las vigas a la flexión y torsión, como ya se señaló (ver al comienzo del § 1.9), se lleva a cabo utilizando teorías de resistencia. En este caso, el cálculo de vigas de materiales plásticos generalmente se realiza sobre la base de la tercera o cuarta teoría de resistencia, y de las frágiles, según la teoría de Mohr.
Según la tercera teoría de la fuerza [ver. fórmula (6.8)], sustituyendo las expresiones en esta desigualdad [ver. fórmula (23.9)], obtenemos
