Es notable que la propiedad especificada en el teorema de Pitágoras sea una propiedad característica de un triángulo rectángulo. Esto se desprende del teorema inverso al teorema de Pitágoras.
Teorema: si el cuadrado de un lado de un triángulo igual a la suma cuadrados de los otros dos lados, entonces el triángulo es rectángulo.
la fórmula de garza
Derivemos una fórmula que exprese el plano de un triángulo en términos de las longitudes de sus lados. Esta fórmula está asociada con el nombre de Garza de Alejandría. matemático griego antiguo y un mecánico que probablemente vivió en el siglo I d.C. Heron prestó mucha atención a las aplicaciones prácticas de la geometría.
Teorema. El área S de un triángulo cuyos lados son iguales a a, b, c se calcula mediante la fórmula S=, donde p es el semiperímetro del triángulo.
Prueba.
Dado: ?ABC, AB= c, BC= a, AC= b. Los ángulos A y B son agudos. CH - altura.
Probar:
Prueba:
Consideremos triangulo abc, en el que AB=c, BC=a, AC=b. Todo triángulo tiene al menos dos ángulos agudos. Sean A y B ángulos agudos del triángulo ABC. Entonces la base H de la altura CH del triángulo está en el lado AB. Introduzcamos la siguiente notación: CH = h, AH=y, HB=x. por el teorema de Pitágoras a 2 - x 2 = h 2 =b 2 -y 2, de donde
Y 2 - x 2 = b 2 - a 2, o (y - x) (y + x) = b 2 - a 2, y dado que y + x = c, entonces y- x = (b2 - a2).
Sumando las dos últimas igualdades obtenemos:
2y = +c, de donde
y=, y, por lo tanto, h 2 = b 2 -y 2 =(b - y)(b+y)=
Por tanto, h = .
Teorema de pitágoras- uno de los teoremas fundamentales de la geometría euclidiana, que establece la relación
entre los lados de un triángulo rectángulo.
Se cree que fue demostrado por el matemático griego Pitágoras, de quien recibió su nombre.
Formulación geométrica del teorema de Pitágoras.
El teorema se formuló originalmente de la siguiente manera:
En un triángulo rectángulo, el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados,
construido sobre piernas.
Formulación algebraica del teorema de Pitágoras.
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.
Es decir, denotar la longitud de la hipotenusa del triángulo por C, y las longitudes de las piernas a través de a Y b:
Ambas formulaciones Teorema de pitágoras son equivalentes, pero la segunda formulación es más elemental, no
Requiere el concepto de área. Es decir, la segunda afirmación se puede verificar sin saber nada sobre el área y
midiendo sólo las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo.
Teorema de Pitágoras inverso.
Si el cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, entonces
triángulo rectángulo.
O, en otras palabras:
Por cada triple de números positivos a, b Y C, tal que
hay un triangulo rectángulo con catetos a Y b y hipotenusa C.
Teorema de Pitágoras para un triángulo isósceles.
Teorema de Pitágoras para un triángulo equilátero.
Pruebas del teorema de Pitágoras.
Actualmente, se han registrado en la literatura científica 367 demostraciones de este teorema. Probablemente el teorema
Pitágoras es el único teorema con un número tan impresionante de demostraciones. Tal diversidad
Sólo puede explicarse por el significado fundamental del teorema para la geometría.
Por supuesto, conceptualmente todos ellos se pueden dividir en un pequeño número de clases. El más famoso de ellos:
prueba método de área, axiomático Y evidencia exótica(Por ejemplo,
mediante el uso ecuaciones diferenciales).
1. Demostración del teorema de Pitágoras utilizando triángulos semejantes.
La siguiente prueba de la formulación algebraica es la más simple de las pruebas construidas.
directamente de los axiomas. En particular, no utiliza el concepto de área de una figura.
Dejar A B C hay un triangulo rectángulo con un ángulo recto C. Dibujemos la altura de C y denotar
su fundación a través de h.
Triángulo ACH similar a un triangulo AB C en dos esquinas. Asimismo, el triángulo CBH similar A B C.
Introduciendo la notación:
obtenemos:
,
que corresponde a -
Doblada a 2 y b 2, obtenemos:
o , que es lo que había que demostrar.
2. Demostración del teorema de Pitágoras mediante el método del área.
Las pruebas siguientes, a pesar de su aparente simplicidad, no lo son en absoluto. Todos ellos
Utilice propiedades del área, cuyas pruebas son más complejas que la prueba del propio teorema de Pitágoras.
- Prueba por equicomplementariedad.
Organicemos cuatro rectangulares iguales.
triangulo como se muestra en la figura
a la derecha.
Cuadrilátero con lados C- cuadrado,
ya que la suma de dos ángulos agudos es 90°, y
ángulo desplegado - 180°.
El área de toda la figura es igual, por un lado,
área de un cuadrado con lado ( a+b), y por otro lado, la suma de áreas cuatro triangulos Y
Q.E.D.
3. Demostración del teorema de Pitágoras por el método infinitesimal.
Mirando el dibujo que se muestra en la figura y
viendo el cambio de ladoa, podemos
escribe la siguiente relación para infinitamente
pequeño incrementos lateralesCon Y a(usando similitud
triangulos):
Usando el método de separación de variables, encontramos:
Una expresión más general para el cambio en la hipotenusa en el caso de incrementos en ambos lados:
Integrando esta ecuación y usando las condiciones iniciales, obtenemos:
Así llegamos a la respuesta deseada:
Como es fácil de ver, la dependencia cuadrática en la fórmula final aparece debido a la relación lineal
proporcionalidad entre los lados del triángulo y los incrementos, mientras que la suma está relacionada con los independientes
contribuciones del incremento de diferentes tramos.
Se puede obtener una prueba más sencilla si asumimos que una de las piernas no experimenta un aumento.
(V en este caso pierna b). Entonces para la constante de integración obtenemos:
Consideración de temas. currículum escolar con la ayuda de video tutoriales es de una manera conveniente estudiar y dominar el material. El vídeo ayuda a concentrar la atención de los estudiantes en los principios teóricos fundamentales y a no perderlos. detalles importantes. Si es necesario, los estudiantes siempre pueden volver a escuchar la lección en video o retroceder varios temas.
Esta lección en video para octavo grado ayudará a los estudiantes a aprender nuevo tema en geometría.
En el tema anterior estudiamos el teorema de Pitágoras y analizamos su demostración.
También existe un teorema que se conoce como teorema de Pitágoras inverso. Echemos un vistazo más de cerca.
Teorema. Un triángulo es rectángulo si cumple la siguiente igualdad: el valor de un lado del triángulo al cuadrado es igual a la suma de los otros dos lados al cuadrado.
Prueba. Digamos que nos dan un triángulo ABC, en el que se cumple la igualdad AB 2 = CA 2 + CB 2. Es necesario demostrar que el ángulo C es igual a 90 grados. Considere un triángulo A 1 B 1 C 1 en el cual el ángulo C 1 es igual a 90 grados, el lado C 1 A 1 es igual a CA y el lado B 1 C 1 es igual a BC.
Aplicando el teorema de Pitágoras, escribimos la razón de los lados del triángulo A 1 C 1 B 1: A 1 B 1 2 = C 1 A 1 2 + C 1 B 1 2. Reemplazando la expresión con lados iguales, obtenemos A 1 B 1 2 = CA 2 + CB 2.
De las condiciones del teorema sabemos que AB 2 = CA 2 + CB 2. Entonces podemos escribir A 1 B 1 2 = AB 2, de lo cual se deduce que A 1 B 1 = AB.
Encontramos que en los triángulos ABC y A 1 B 1 C 1 tres lados son iguales: A 1 C 1 = AC, B 1 C 1 = BC, A 1 B 1 = AB. Entonces estos triángulos son iguales. De la igualdad de triángulos se deduce que el ángulo C igual al ángulo De 1 y respectivamente equivale a 90 grados. Hemos determinado que el triángulo ABC es rectángulo y su ángulo C mide 90 grados. Hemos demostrado este teorema.
A continuación, el autor da un ejemplo. Supongamos que nos dan un triángulo arbitrario. Se conocen los tamaños de sus lados: 5, 4 y 3 unidades. Comprobemos el enunciado del teorema inverso al teorema de Pitágoras: 5 2 = 3 2 + 4 2. La afirmación es verdadera, lo que significa que este triángulo es rectángulo.
En los siguientes ejemplos, los triángulos también serán triángulos rectángulos si sus lados son iguales:
5, 12, 13 unidades; la igualdad 13 2 = 5 2 + 12 2 es verdadera;
8, 15, 17 unidades; la igualdad 17 2 = 8 2 + 15 2 es verdadera;
7, 24, 25 unidades; la igualdad 25 2 = 7 2 + 24 2 es verdadera.
Se conoce el concepto de triángulo pitagórico. Este es un triángulo rectángulo cuyos lados son iguales a números enteros. Si los catetos del triángulo pitagórico se denotan por a y c, y la hipotenusa por b, entonces los valores de los lados de este triángulo se pueden escribir usando las siguientes fórmulas:
segundo = k x (metro 2 - norte 2)
c = k x (metro 2 + norte 2)
donde m, n, k son cualquiera números enteros, y el valor de m es mayor que el valor de n.
Dato interesante: un triángulo con lados 5, 4 y 3 también se llama triangulo egipcio, tal triángulo era conocido en el Antiguo Egipto.
En esta lección en video aprendimos el teorema inverso al teorema de Pitágoras. Examinamos la evidencia en detalle. Los estudiantes también aprendieron qué triángulos se llaman triángulos pitagóricos.
Los estudiantes pueden familiarizarse fácilmente con el tema "El teorema inverso de Pitágoras" por sí solos con la ayuda de esta lección en video.
Sujeto: El teorema es inverso al teorema de Pitágoras.
Objetivos de la lección: 1) considere el teorema inverso al teorema de Pitágoras; su aplicación en el proceso de resolución de problemas; consolidar el teorema de Pitágoras y mejorar las habilidades de resolución de problemas para su aplicación;
2) desarrollar pensamiento lógico, búsqueda creativa, interés cognitivo;
3) cultivar en los estudiantes una actitud responsable ante el aprendizaje y una cultura del habla matemática.
Tipo de lección. Una lección para aprender nuevos conocimientos.
durante las clases
ІІ. Actualizar conocimiento
Lección para miharíaquiseComience con una cuarteta.
Sí, el camino del conocimiento no es fácil.
Pero sabemos por nuestros años escolares,
Hay más misterios que respuestas,
¡Y no hay límite para la búsqueda!
Entonces, en la última lección aprendiste el teorema de Pitágoras. Preguntas:
¿Para qué figura es válido el teorema de Pitágoras?
¿Qué triángulo se llama triángulo rectángulo?
Enuncie el teorema de Pitágoras.
¿Cómo se puede escribir el teorema de Pitágoras para cada triángulo?
¿Qué triángulos se llaman iguales?
¿Formular los criterios para la igualdad de triángulos?
Ahora hagamos un poco Trabajo independiente:
Resolver problemas mediante dibujos.
№1
(1 b.) Hallar: AB.
№2
(1 b.) Encontrar: VS.
№3
( 2 b.)Encontrar: aire acondicionado
№4
(1 punto)Encontrar: aire acondicionado
№5 Dado por: ABCDrombo
(2 b.) AB = 13 cm
CA = 10 cm
Encontrar enD
Autoprueba nº 1. 5
№2. 5
№3. 16
№4. 13
№5. 24
ІІІ. Estudiando nuevo material.
Los antiguos egipcios construyeron ángulos rectos en el suelo de esta manera: dividieron la cuerda en 12 partes iguales con nudos, ataron sus extremos, después de lo cual la cuerda se estiró en el suelo de modo que se formó un triángulo con lados de 3, 4 y 5 divisiones. El ángulo del triángulo opuesto al lado de 5 divisiones era recto.
¿Puede usted explicar la exactitud de esta sentencia?
Como resultado de buscar una respuesta a la pregunta, los estudiantes deben comprender que desde un punto de vista matemático se plantea la pregunta: ¿será el triángulo rectángulo?
Nos planteamos un problema: cómo determinar, sin realizar mediciones, si un triángulo con unos lados dados será rectangular. Resolver este problema es el objetivo de la lección.
Escriba el tema de la lección.
Teorema. Si la suma de los cuadrados de dos lados de un triángulo es igual al cuadrado del tercer lado, entonces el triángulo es rectángulo.
Demuestre el teorema de forma independiente (haga un plan de demostración utilizando el libro de texto).
De este teorema se deduce que un triángulo con lados 3, 4, 5 es rectángulo (egipcio).
En general, los números para los cuales se cumple la igualdad , se llaman trillizos pitagóricos. Y los triángulos cuyas longitudes de lados se expresan mediante tripletes pitagóricos (6, 8, 10) son triángulos pitagóricos.
Consolidación.
Porque , entonces un triángulo con lados 12, 13, 5 no es rectángulo.
Porque , entonces un triángulo con lados 1, 5, 6 es rectángulo.
№ 430 (a, b, c)
( - no es)
