Funcion exponencial
Función de la forma y = a X , donde a es mayor que cero y a no es igual a uno se llama función exponencial. Propiedades básicas funcion exponencial:
1. El dominio de definición de la función exponencial será el conjunto de los números reales.
2. El rango de valores de la función exponencial será el conjunto de todos los números reales positivos. A veces, este conjunto se denomina R+ por brevedad.
3. Si en una función exponencial la base a es mayor que uno, entonces la función será creciente en todo el dominio de definición. Si en la función exponencial para la base a se cumple siguiente condición 0
4. Serán válidas todas las propiedades básicas de las titulaciones. Las principales propiedades de los grados están representadas por las siguientes igualdades:
a X *a y = un (x+y) ;
(a X )/(a y ) = un (xy) ;
(a*b) X = (un X )*(a y );
(a/b) X = un X /b X ;
(a X ) y = un (x*y) .
Estas igualdades serán válidas para todos los valores reales de x e y.
5. La gráfica de una función exponencial siempre pasa por el punto de coordenadas (0;1)
6. Dependiendo de si la función exponencial aumenta o disminuye, su gráfica tendrá una de dos formas.
La siguiente figura muestra una gráfica de una función exponencial creciente: a>0.
La siguiente figura muestra la gráfica de una función exponencial decreciente: 0
Tanto la gráfica de una función exponencial creciente como la gráfica de una función exponencial decreciente, según la propiedad descrita en el quinto párrafo, pasan por el punto (0;1).
7. Una función exponencial no tiene puntos extremos, es decir, no tiene puntos mínimo y máximo de la función. Si consideramos una función en cualquier segmento específico, entonces la función tomará los valores mínimo y máximo al final de este intervalo.
8. La función no es par ni impar. Una función exponencial es una función de forma general. Esto se puede ver en los gráficos, ninguno de ellos es simétrico ni con respecto al eje Oy ni con respecto al origen de coordenadas.
Logaritmo
Los logaritmos siempre se han considerado un tema difícil en los cursos de matemáticas escolares. Hay muchos diferentes definiciones logaritmo, pero por alguna razón la mayoría de los libros de texto utilizan el más complejo y fallido de ellos.
Definiremos el logaritmo de forma sencilla y clara. Para hacer esto, creemos una tabla:
Entonces, tenemos potencias de dos. Si tomas el número de la línea inferior, podrás encontrar fácilmente la potencia a la que tendrás que elevar dos para obtener este número. Por ejemplo, para obtener 16, debes elevar dos a la cuarta potencia. Y para obtener 64, debes elevar dos a la sexta potencia. Esto se puede ver en la tabla.
Y ahora, en realidad, la definición del logaritmo:
Definición
Logaritmo para basar a del argumento x es la potencia a la que se debe elevar el número a para obtener el numero X.
Designación
iniciar sesión x = b
donde a es la base, x es el argumento, b - en realidad, a qué es igual el logaritmo.
Por ejemplo, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (el logaritmo en base 2 de 8 es tres porque 2 3 = 8). Con el mismo éxito, log 2 64 = 6, ya que 2 6 = 64.
La operación de encontrar el logaritmo de un número en una base dada se llamalogaritmo . Entonces, agreguemos una nueva línea a nuestra tabla:
Desafortunadamente, no todos los logaritmos se calculan tan fácilmente. Por ejemplo, intenta encontrar log 2 5. El número 5 no está en la tabla, pero la lógica dicta que el logaritmo estará en algún lugar del intervalo. porque 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
Estos números se llaman irracionales: los números después del punto decimal se pueden escribir hasta el infinito y nunca se repiten. Si el logaritmo resulta irracional, es mejor dejarlo así: log 2 5, log 3 8, log 5 100.
Es importante entender que un logaritmo es una expresión con dos variables (la base y el argumento). Al principio, mucha gente confunde dónde está la base y dónde está el argumento. Para evitar molestos malentendidos, basta con mirar la imagen:
Ante nosotros no hay más que la definición de logaritmo. Recuerda: el logaritmo es una potencia. , en el que se debe construir la base para obtener un argumento. Es la base la que está elevada a una potencia; está resaltada en rojo en la imagen. ¡Resulta que la base siempre está abajo! Les digo a mis alumnos esta maravillosa regla desde la primera lección, y no surge ninguna confusión.
Hemos descubierto la definición; solo queda aprender a contar logaritmos, es decir. deshazte del signo "registro". Para empezar, observamos que De la definición se siguen dos cosas hechos importantes:
El argumento y la base siempre deben ser mayores que cero. Esto se desprende de la definición de grado mediante un exponente racional, al que se reduce la definición de logaritmo.
La base debe ser diferente de uno, ya que uno, en cualquier grado, sigue siendo uno. Debido a esto, la pregunta “¿a qué potencia hay que elevar uno para obtener dos” no tiene sentido. ¡No existe tal grado!
Tales restricciones son llamados rango de valores aceptables(ODZ). Resulta que la ODZ del logaritmo se ve así: log ax = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.
Tenga en cuenta que sin restricciones de número b (valor logarítmico) no se superpone. Por ejemplo, el logaritmo bien puede ser negativo: log 2 0,5 = −1, porque 0,5 = 2-1.
Sin embargo, ahora consideraremos sólo expresiones numéricas, donde no es necesario conocer el VA del logaritmo. Los autores de los problemas ya han tenido en cuenta todas las restricciones. Pero cuando entren en juego las ecuaciones y desigualdades logarítmicas, los requisitos de la licencia de conducir serán obligatorios. Después de todo, la base y el argumento pueden contener construcciones muy sólidas que no necesariamente corresponden a las restricciones anteriores.
Ahora considerar lo general esquema para calcular logaritmos. Consta de tres pasos:
Proporcionar una razón a y argumento x en forma de una potencia con la mínima base posible mayor que uno. En el camino, es mejor deshacerse de los decimales;
Resolver con respecto a una variable b ecuación: x = a b ;
El número resultante b será la respuesta.
¡Eso es todo! Si el logaritmo resulta irracional, esto ya será visible en el primer paso. El requisito de que la base sea mayor que uno es muy importante: esto reduce la probabilidad de error y simplifica enormemente los cálculos. Lo mismo con decimales: si los convierte inmediatamente en normales, habrá muchos menos errores.
Veamos cómo funciona este esquema. ejemplos específicos:
Calcula el logaritmo: log 5 25
Imaginemos la base y el argumento como una potencia de cinco: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;
Creemos y resolvamos la ecuación:
iniciar sesión 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
Recibimos la respuesta: 2.
Calcula el logaritmo:
Imaginemos la base y el argumento como una potencia de tres: 3 = 3 1 ; 1/81 = 81 −1 = (3 4) −1 = 3 −4 ;
Creemos y resolvamos la ecuación:
Recibimos la respuesta: −4.
−4
Calcula el logaritmo: log 4 64
Imaginemos la base y el argumento como una potencia de dos: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
Creemos y resolvamos la ecuación:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2 b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
Recibimos la respuesta: 3.
Calcula el logaritmo: log 16 1
Imaginemos la base y el argumento como una potencia de dos: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
Creemos y resolvamos la ecuación:
iniciar sesión 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4 b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
Recibimos la respuesta: 0.
Calcula el logaritmo: log 7 14
Imaginemos la base y el argumento como una potencia de siete: 7 = 7 1 ; 14 no se puede representar como una potencia de siete, ya que 7 1< 14 < 7 2 ;
Del párrafo anterior se desprende que el logaritmo no cuenta;
La respuesta es ningún cambio: log 7 14.
iniciar sesión 7 14
Una pequeña nota sobre el último ejemplo. ¿Cómo puedes estar seguro de que un número no es una potencia exacta de otro número? Es muy simple: simplemente factorízalo en factores primos. Si la expansión tiene al menos dos factores diferentes, el número no es una potencia exacta.
Descubra si los números son potencias exactas: 8; 48; 81; 35; 14.
8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - grado exacto, porque sólo hay un multiplicador;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - no es una potencia exacta, ya que existen dos factores: 3 y 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - grado exacto;
35 = 7 · 5 - nuevamente no es una potencia exacta;
14 = 7 · 2 - nuevamente no es un grado exacto;
8, 81 - grado exacto; 48, 35, 14 - núm.
Tenga en cuenta también que los números primos en sí son siempre potencias exactas de sí mismos.
logaritmo decimal
Algunos logaritmos son tan comunes que tienen un nombre y símbolo especiales.
Definición
logaritmo decimal del argumento x es el logaritmo en base 10, es decir la potencia a la que se debe elevar el número 10 para obtener el número X.
Designación
lgx
Por ejemplo, registro 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3-etc.
De ahora en adelante, cuando aparezca una frase como “Buscar lg 0.01” en un libro de texto, sepa que no se trata de un error tipográfico. Este es un logaritmo decimal. Sin embargo, si no estás familiarizado con esta notación, siempre puedes reescribirla:
registro x = registro 10 x
Todo lo que es cierto para los logaritmos ordinarios también lo es para los logaritmos decimales.
Logaritmo natural
Hay otro logaritmo que tiene su propia designación. En cierto modo, es incluso más importante que el decimal. Se trata de sobre el logaritmo natural.
Definición
Logaritmo natural del argumento x es el logaritmo a la base mi , es decir. la potencia a la que se debe elevar un número mi para obtener el numero X.
Designación
en x
Mucha gente se preguntará: ¿cuál es el número e? esto es número racional, su valor exacto es imposible de encontrar y anotar. Daré sólo las primeras cifras:
mi = 2,718281828459...
No entraremos en detalles sobre qué es este número y por qué es necesario. Sólo recuerda que e - base del logaritmo natural:
en x = log e x
Así, ln e = 1; En e 2 = 2; en e 16 = 16-etc. Por otra parte, ln 2 es un número irracional. En general, el logaritmo natural de cualquier número racional es irracional. Excepto, por supuesto, uno: ln 1 = 0.
Para los logaritmos naturales, son válidas todas las reglas que son verdaderas para los logaritmos ordinarios.
Propiedades básicas de los logaritmos.
Los logaritmos, como cualquier número, se pueden sumar, restar y transformar de todas las formas posibles. Pero como los logaritmos no son exactamente números ordinarios, tienen sus propias reglas, que se denominan propiedades básicas.
Definitivamente necesitas conocer estas reglas; sin ellas no se puede resolver ni un solo problema logarítmico serio. Además, hay muy pocos: puedes aprender todo en un día. Entonces empecemos.
Sumar y restar logaritmos
Considere dos logaritmos con las mismas bases: log a x y log a y . Luego se pueden sumar y restar, y:
registro una x + iniciar sesión sí = iniciar sesión a ( X · y );
registro una x − iniciar sesión sí = iniciar sesión a ( X : y ).
Entonces, la suma de logaritmos es igual al logaritmo del producto y la diferencia es igual al logaritmo del cociente. Nota: momento clave Aquí están las mismas razones. Si los motivos son diferentes, ¡estas reglas no funcionan!
Estas fórmulas te ayudarán a calcular una expresión logarítmica incluso cuando no se consideran sus partes individuales (ver lección " "). Eche un vistazo a los ejemplos y vea:
Encuentra el valor de la expresión: log 6 4 + log 6 9.
Como los logaritmos tienen las mismas bases, usamos la fórmula de suma:
registro 6 4 + registro 6 9 = registro 6 (4 9) = registro 6 36 = 2.
Encuentra el valor de la expresión: log 2 48 − log 2 3.
Las bases son las mismas, utilizamos la fórmula de diferencia:
registro 2 48 − registro 2 3 = registro 2 (48: 3) = registro 2 16 = 4.
Encuentra el valor de la expresión: log 3 135 − log 3 5.
Nuevamente las bases son las mismas, entonces tenemos:
registro 3 135 − registro 3 5 = registro 3 (135: 5) = registro 3 27 = 3.
Como puedes ver, las expresiones originales se componen de logaritmos "malos", que no se calculan por separado. Pero después de las transformaciones se obtienen números completamente normales. Muchos se basan en este hecho. papeles de prueba. Sí, en el Examen Estatal Unificado se ofrecen expresiones tipo test con toda seriedad (a veces prácticamente sin cambios).
Extrayendo el exponente del logaritmo
Ahora compliquemos un poco la tarea. ¿Qué pasa si la base o argumento de un logaritmo es una potencia? Entonces el exponente de este grado se puede sacar del signo del logaritmo según las siguientes reglas:
Es fácil ver que la última regla sigue a las dos primeras. Pero es mejor recordarlo de todos modos; en algunos casos, esto reducirá significativamente la cantidad de cálculos.
Por supuesto Todas estas reglas tienen sentido si se observa la ODZ del logaritmo: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Y una cosa más: aprende a aplicar todas las fórmulas no sólo de izquierda a derecha, sino también viceversa, es decir. Puede ingresar los números antes del signo del logaritmo en el propio logaritmo. Esto es lo que más a menudo se requiere.
Encuentra el valor de la expresión: log 7 49 6 .
Eliminemos el grado en el argumento usando la primera fórmula:
registro 7 49 6 = 6 registro 7 49 = 6 2 = 12
Encuentra el significado de la expresión:
Tenga en cuenta que el denominador contiene un logaritmo, cuya base y argumento son potencias exactas: 16 = 2 4; 49 = 7 2. Tenemos:
Creo que el último ejemplo requiere alguna aclaración. ¿A dónde se han ido los logaritmos? Hasta el último momento trabajamos sólo con el denominador. Presentamos la base y el argumento del logaritmo allí en forma de potencias y eliminamos los exponentes: obtuvimos una fracción de "tres pisos".
Ahora veamos la fracción principal. El numerador y el denominador contienen el mismo número: log 2 7. Como log 2 7 ≠ 0, podemos reducir la fracción: 2/4 permanecerá en el denominador. Según las reglas de la aritmética, el cuatro se puede trasladar al numerador, que es lo que se hizo. El resultado fue la respuesta: 2.
Transición a una nueva fundación.
Hablando de las reglas para sumar y restar logaritmos, enfaticé específicamente que solo funcionan con las mismas bases. ¿Qué pasa si las razones son diferentes? ¿Y si no son potencias exactas del mismo número?
Las fórmulas para la transición a una nueva base vienen al rescate. Formulémoslos en forma de teorema:
Teorema
Sea el registro del logaritmo una x . Entonces para cualquier número c tal que c > 0 y c ≠ 1, la igualdad es verdadera:
En particular, si ponemos c = x, obtenemos:
De la segunda fórmula se deduce que la base y el argumento del logaritmo se pueden intercambiar, pero en este caso se “da la vuelta” a toda la expresión, es decir el logaritmo aparece en el denominador.
Estas fórmulas rara vez se encuentran en expresiones numéricas ordinarias. Es posible evaluar cuán convenientes son solo decidiendo ecuaciones logarítmicas y desigualdades.
Sin embargo, hay problemas que no pueden resolverse en absoluto excepto trasladándose a una nueva fundación. Veamos un par de estos:
Encuentra el valor de la expresión: log 5 16 log 2 25.
Tenga en cuenta que los argumentos de ambos logaritmos contienen potencias exactas. Saquemos los indicadores: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; registro 2 25 = registro 2 5 2 = 2 registro 2 5;
Ahora “invirtamos” el segundo logaritmo:
Como el producto no cambia al reorganizar los factores, multiplicamos tranquilamente cuatro por dos y luego nos ocupamos de los logaritmos.
Encuentra el valor de la expresión: log 9 100 lg 3.
La base y el argumento del primer logaritmo son potencias exactas. Anotemos esto y eliminemos los indicadores:
Ahora eliminemos el logaritmo decimal moviéndolo a una nueva base:
Identidad logarítmica básica
A menudo, en el proceso de solución es necesario representar un número como un logaritmo con respecto a una base determinada. En este caso nos ayudarán las siguientes fórmulas:
En el primer caso, el número norte se convierte en un indicador del grado que ocupa el argumento. Número norte puede ser absolutamente cualquier cosa, porque es solo un valor logarítmico.
La segunda fórmula es en realidad una definición parafraseada. Así se llama:identidad logarítmica básica.
De hecho, ¿qué sucede si el número b se eleva a tal potencia que el número b elevado a esta potencia da el número a? Así es: el resultado es el mismo número a. Lea este párrafo con atención nuevamente; muchas personas se quedan estancadas en él.
Al igual que las fórmulas para pasar a una nueva base, la identidad logarítmica básica es a veces la única solución posible.
Tarea
Encuentra el significado de la expresión:
Solución
Tenga en cuenta que log 25 64 = log 5 8 - simplemente tomamos el cuadrado de la base y el argumento del logaritmo. Teniendo en cuenta las reglas para multiplicar potencias con la misma base, obtenemos:
200
Si alguien no lo sabe, esta fue una tarea real del Examen Estatal Unificado :)
Unidad logarítmica y cero logarítmico
En conclusión, daré dos identidades que difícilmente pueden llamarse propiedades; más bien, son consecuencias de la definición del logaritmo. Aparecen constantemente en los problemas y, sorprendentemente, crean problemas incluso para los estudiantes "avanzados".
log a a = 1 es unidad logarítmica. Recuerda de una vez por todas: logaritmo en cualquier base a desde esta misma base es igual a uno.
log a 1 = 0 es cero logarítmico. base una puede ser cualquier cosa, pero si el argumento contiene uno, ¡el logaritmo es igual a cero! Porque un 0 = 1 es una consecuencia directa de la definición.
Esas son todas las propiedades. ¡Asegúrate de practicar poniéndolos en práctica!
Encontremos el valor de la expresión para varios valores racionales de la variable x=2; 0; -3; -
Tenga en cuenta que no importa qué número sustituyamos por la variable x, siempre podemos encontrar el valor de esta expresión. Esto significa que estamos considerando una función exponencial (E es igual a tres elevado a x), definida sobre el conjunto de los números racionales: .
Construyamos una gráfica de esta función compilando una tabla de sus valores.
Dibujemos una línea suave que pase por estos puntos (Figura 1)
Usando la gráfica de esta función, consideremos sus propiedades:
3.Aumenta en toda el área de definición.
- rango de valores desde cero hasta más infinito.
8. La función es convexa hacia abajo.
Si construimos gráficas de funciones en un sistema de coordenadas; y=(y es igual a dos elevado a x, y es igual a cinco elevado a x, y es igual a siete elevado a x), entonces puedes ver que tienen las mismas propiedades que y= (y es igual a tres elevado a x) (Fig. .2), es decir, todas las funciones de la forma y = (y es igual a a elevado a x, para mayor que uno) tendrán tal propiedades.
Tracemos la función:
1. Elaborar una tabla de sus valores.
Marquemos los puntos obtenidos en el plano de coordenadas.
Dibujemos una línea suave que pase por estos puntos (Figura 3).
Utilizando la gráfica de esta función, indicamos sus propiedades:
1. El dominio de definición es el conjunto de todos los números reales.
2. No es ni par ni impar.
3.Disminuciones en todo el dominio de definición.
4. No tiene ni los valores más grandes ni los más pequeños.
5.Limitado a continuación, pero no limitado a lo anterior.
6.Continuo en todo el dominio de definición.
7. rango de valores desde cero hasta más infinito.
8. La función es convexa hacia abajo.
De manera similar, si trazamos gráficas de funciones en un sistema de coordenadas; y = (y es igual a la mitad elevado a x, y es igual a un quinto elevado a x, y es igual a un séptimo elevado a x), entonces puedes notar que tienen las mismas propiedades que y = (y es igual a un tercio elevado a x (Fig. 4), es decir, todas las funciones de la forma y = tendrán tales propiedades (y es igual a uno dividido por a a la potencia x, con mayor que cero pero menor que uno)
Construyamos gráficas de funciones en un sistema de coordenadas.
Esto significa que las gráficas de las funciones y=y= también serán simétricas (y es igual a a elevado a x e y es igual a uno dividido por a elevado a x) para el mismo valor de a.
Resumamos lo dicho definiendo la función exponencial e indicando sus principales propiedades:
Definición: Una función de la forma y=, donde (a es igual a a elevada a x, donde a es positiva y diferente de uno), se llama función exponencial.
Es necesario recordar las diferencias entre la función exponencial y= y la función potencia y=, a=2,3,4,…. tanto audible como visualmente. La función exponencial X es un título, y función de potencia X es la base.
Ejemplo 1: resolver la ecuación (tres elevado a x es igual a nueve)
(Y es igual a tres elevado a X e Y es igual a nueve) Fig. 7
Tenga en cuenta que tienen uno punto común M (2;9) (em con coordenadas dos; nueve), lo que significa que la abscisa del punto será la raíz de esta ecuación. Es decir, la ecuación tiene una única raíz x = 2.
Ejemplo 2: resolver la ecuación
En un sistema de coordenadas, construiremos dos gráficas de la función y= (y es igual a cinco elevado a x y y es igual a un vigésimo quinto) Fig. 8. Las gráficas se cruzan en un punto T (-2; (te con coordenadas menos dos; uno veinticinco). Esto significa que la raíz de la ecuación es x = -2 (el número menos dos).
Ejemplo 3: resolver la desigualdad
En un sistema de coordenadas construiremos dos gráficas de la función y=
(Y es igual a tres elevado a X e Y es igual a veintisiete).
Fig.9 La gráfica de la función se encuentra encima de la gráfica de la función y=at
x Por lo tanto, la solución a la desigualdad es el intervalo (desde menos infinito hasta tres)
Ejemplo 4: resolver la desigualdad
En un sistema de coordenadas, construiremos dos gráficas de la función y= (y es igual a un cuarto elevado a x y y es igual a dieciséis). (Figura 10). Las gráficas se cruzan en un punto K (-2;16). Esto significa que la solución a la desigualdad es el intervalo (-2; (de menos dos a más infinito), ya que la gráfica de la función y= se encuentra debajo de la gráfica de la función en x
Nuestro razonamiento nos permite verificar la validez de los siguientes teoremas:
Tema 1: Si es cierto si y sólo si m=n.
Teorema 2: Si es cierto si y solo si, la desigualdad es verdadera si y solo si (Fig. *)
Teorema 4: Si es verdadera si y solo si (Fig.**), la desigualdad es verdadera si y solo si Teorema 3: Si es verdadera si y solo si m=n.
Ejemplo 5: Graficar la función y=
Modifiquemos la función aplicando la propiedad de grado y=
Construyamos un sistema de coordenadas adicional y en nuevo sistema coordenadas, construiremos una gráfica de la función y = (y es igual a dos elevado a x) Fig. 11.
Ejemplo 6: resolver la ecuación
En un sistema de coordenadas construiremos dos gráficas de la función y=
(Y es igual a siete elevado a X e Y es igual a ocho menos X) Fig. 12.
Las gráficas se cruzan en un punto E (1; (e con coordenadas uno; siete). Esto significa que la raíz de la ecuación es x = 1 (x igual a uno).
Ejemplo 7: resolver la desigualdad
En un sistema de coordenadas construiremos dos gráficas de la función y=
(Y es igual a un cuarto elevado a X e Y es igual a X más cinco). La gráfica de la función y= se encuentra debajo de la gráfica de la función y=x+5 cuando la solución a la desigualdad es el intervalo x (de menos uno a más infinito).
Proporciona datos de referencia sobre la función exponencial: propiedades básicas, gráficos y fórmulas. Se consideran las siguientes cuestiones: dominio de definición, conjunto de valores, monotonicidad, función inversa, derivada, integral, expansión en serie de potencias y representación mediante números complejos.
Definición
Funcion exponencial es una generalización del producto de n números iguales a a:
y (n) = a n = a·a·a···a,
al conjunto de los números reales x:
y (x) = hacha.
Aquí a es un número real fijo, que se llama base de la función exponencial.
Una función exponencial con base a también se llama exponente a base a.
La generalización se realiza de la siguiente manera.
Para x naturales = 1, 2, 3,...
, la función exponencial es el producto de x factores:
.
Además, tiene propiedades (1.5-8) (), que se derivan de las reglas para multiplicar números. Para valores cero y negativos de números enteros, la función exponencial se determina mediante las fórmulas (1.9-10). Para valores fraccionarios x = m/n números racionales, se determina mediante la fórmula (1.11). De verdad, la función exponencial se define como el límite de la secuencia:
,
donde es una secuencia arbitraria de números racionales que convergen a x: .
Con esta definición, la función exponencial está definida para todo , y satisface las propiedades (1.5-8), como para x natural.
En la página “Definición y prueba de las propiedades de una función exponencial” se ofrece una formulación matemática rigurosa de la definición de una función exponencial y la prueba de sus propiedades.
Propiedades de la función exponencial
La función exponencial y = a x tiene las siguientes propiedades sobre el conjunto de los números reales ():
(1.1)
definido y continuo, para , para todos ;
(1.2)
por un ≠ 1
tiene muchos significados;
(1.3)
aumenta estrictamente en , disminuye estrictamente en ,
es constante en ;
(1.4)
en ;
en ;
(1.5)
;
(1.6)
;
(1.7)
;
(1.8)
;
(1.9)
;
(1.10)
;
(1.11)
,
.
Otras fórmulas útiles.
.
Fórmula para convertir a una función exponencial con una base de exponente diferente:
Cuando b = e, obtenemos la expresión de la función exponencial mediante la exponencial:
Valores privados
, , , , .
La figura muestra gráficas de la función exponencial.
y (x) = hacha
por cuatro valores bases de grado: un = 2
, un = 8
, un = 1/2
y un = 1/8
. Se puede observar que para un > 1
la función exponencial aumenta monótonamente. Cuanto mayor sea la base del grado a, más fuerte crecimiento. En 0
< a < 1
la función exponencial disminuye monótonamente. Cuanto menor sea el exponente a, más fuerte será la disminución.
Ascendiendo descendiendo
La función exponencial for es estrictamente monótona y por tanto no tiene extremos. Sus principales propiedades se presentan en la tabla.
| y = a x , a > 1 | y = hacha, 0 < a < 1 | |
| Dominio | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Rango de valores | 0 < y < + ∞ | 0 < y < + ∞ |
| Monótono | aumenta monótonamente | disminuye monótonamente |
| Ceros, y = 0 | No | No |
| Puntos de intersección con el eje de ordenadas, x = 0 | y = 1 | y = 1 |
| + ∞ | 0 | |
| 0 | + ∞ |
Función inversa
La inversa de una función exponencial con base a es el logaritmo en base a.
Si entonces
.
Si entonces
.
Derivación de una función exponencial
Para diferenciar una función exponencial se debe reducir su base al número e, aplicar la tabla de derivadas y la regla para derivar una función compleja.
Para hacer esto necesitas usar la propiedad de los logaritmos.
y la fórmula de la tabla de derivadas:
.
Sea una función exponencial:
.
Lo llevamos a la base e:
Apliquemos la regla de diferenciación de funciones complejas. Para ello introduzca la variable
Entonces
De la tabla de derivadas tenemos (reemplace la variable x con z):
.
Como es una constante, la derivada de z con respecto a x es igual a
.
Según la regla de derivación de una función compleja:
.
Derivada de una función exponencial
.
Derivada de enésimo orden:
.
Derivando fórmulas > > >
Un ejemplo de derivación de una función exponencial.
Encuentra la derivada de una función.
y = 3 5x
Solución
Expresemos la base de la función exponencial a través del número e.
3 = e en 3
Entonces
.
Introduce una variable
.
Entonces
De la tabla de derivadas encontramos:
.
Porque el 5ln 3 es una constante, entonces la derivada de z con respecto a x es igual a:
.
Según la regla de derivación de una función compleja, tenemos:
.
Respuesta
Integral
Expresiones usando números complejos
Considere la función Número complejo z:
F (z) = a z
donde z = x + iy; i 2 = - 1
.
Expresemos la constante compleja a en términos de módulo r y argumento φ:
a = r mi yo φ
Entonces
.
El argumento φ no está definido de forma única. EN vista general
φ = φ 0 + 2 πn,
donde n es un número entero. Por lo tanto la función f (z) Tampoco está claro. Su significado principal a menudo se considera
.
Expansión de la serie
.
Referencias:
EN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes universitarios, “Lan”, 2009.
Primero introduzcamos la definición de función exponencial.
Función exponencial $f\left(x\right)=a^x$, donde $a >1$.
Introduzcamos las propiedades de la función exponencial para $a >1$.
\ \[sin raíces\] \
Intersección con ejes de coordenadas. La función no intersecta el eje $Ox$, pero sí intersecta el eje $Oy$ en el punto $(0,1)$.
$f""\left(x\right)=(\left(a^xlna\right))"=a^x(ln)^2a$
\ \[sin raíces\] \
Gráfico (Fig. 1).
Figura 1. Gráfica de la función $f\left(x\right)=a^x,\ for\ a >1$.
Función exponencial $f\left(x\right)=a^x$, donde $0
Introduzcamos las propiedades de la función exponencial, en $0
El dominio de definición son todos los números reales.
$f\left(-x\right)=a^(-x)=\frac(1)(a^x)$ -- la función no es ni par ni impar.
$f(x)$ es continua en todo el dominio de definición.
El rango de valores es el intervalo $(0,+\infty)$.
$f"(x)=\left(a^x\right)"=a^xlna$
\ \[sin raíces\] \ \[sin raíces\] \
La función es convexa en todo el dominio de definición.
Comportamiento en los extremos del dominio:
\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) a^x\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) a^x\ ) =0\]
Gráfico (Fig. 2).
Un ejemplo de un problema para construir una función exponencial.
Explora y traza la función $y=2^x+3$.
Solución.
Realicemos un estudio utilizando el diagrama de ejemplo anterior:
El dominio de definición son todos los números reales.
$f\left(-x\right)=2^(-x)+3$ -- la función no es ni par ni impar.
$f(x)$ es continua en todo el dominio de definición.
El rango de valores es el intervalo $(3,+\infty)$.
$f"\left(x\right)=(\left(2^x+3\right))"=2^xln2>0$
La función aumenta en todo el dominio de definición.
$f(x)\ge 0$ en todo el dominio de definición.
Intersección con ejes de coordenadas. La función no interseca el eje $Ox$, pero sí interseca el eje $Oy$ en el punto ($0,4)$
$f""\left(x\right)=(\left(2^xln2\right))"=2^x(ln)^22>0$
La función es convexa en todo el dominio de definición.
Comportamiento en los extremos del dominio:
\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) a^x\ )=0\] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) a^x\ )=+ \infty\]
Gráfico (Fig. 3).
Figura 3. Gráfica de la función $f\left(x\right)=2^x+3$
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Función exponencial, sus propiedades y gráfica.
Consideremos la expresión 2x y encontremos sus valores para varios valores racionales de la variable x, por ejemplo, para x = 2;
En general, no importa qué significado racional le asignemos a la variable x, siempre podemos calcular el valor numérico correspondiente de la expresión 2 x. Por tanto, podemos hablar de exponencial. funciones y=2 x, definido sobre el conjunto Q de números racionales:
Veamos algunas propiedades de esta función.
Propiedad 1.- función creciente. Realizamos la prueba en dos etapas.
Primera etapa. Demostremos que si r es un número racional positivo, entonces 2 r >1.
Son posibles dos casos: 1) r - número natural, r = norte; 2) irreducible ordinario fracción,
En el lado izquierdo de la última desigualdad tenemos y en el lado derecho 1. Esto significa que la última desigualdad se puede reescribir en la forma
Entonces, en cualquier caso, se cumple la desigualdad 2 r > 1, que es lo que había que demostrar.
Segunda fase. Sean x 1 y x 2 números, y x 1 y x 2< х2. Составим разность 2 х2 -2 х1 и выполним некоторые ее преобразования:
(la diferencia x 2 - x 1 la denotamos con la letra r).
Dado que r es un número racional positivo, entonces, según lo demostrado en la primera etapa, 2 r > 1, es decir 2 r -1 >0. El número 2x" también es positivo, lo que significa que el producto 2 x-1 (2 Г -1) también es positivo. Así, hemos demostrado que desigualdad 2 Xg -2x" >0.
Entonces, de la desigualdad x 1< х 2 следует, что 2х" <2 x2 , а это и означает, что функция у -2х - возрастающая.
Propiedad 2. limitado desde abajo y no limitado desde arriba.
La acotación de la función desde abajo se deriva de la desigualdad 2 x >0, que es válida para cualquier valor de x del dominio de definición de la función. Al mismo tiempo, no importa qué número positivo M tomes, siempre puedes elegir un exponente x tal que se cumpla la desigualdad 2 x >M, que caracteriza la ilimitación de la función desde arriba. Pongamos una serie de ejemplos.
Propiedad 3. no tiene ni el valor más pequeño ni el más grande.
Lo que no tiene esta función valor más alto, obviamente, ya que, como acabamos de ver, no está acotado por encima. Pero está limitado desde abajo, ¿por qué no tiene un valor mínimo?
Supongamos que 2 r es el valor más pequeño de la función (r es algún indicador racional). Tomemos un número racional q<г. Тогда в силу возрастания функции у=2 х будем иметь 2 x <2г. А это значит, что 2 r не может служить наименьшим значением функции.
Todo esto está bien, dirás, pero ¿por qué consideramos la función y-2 x sólo en el conjunto de números racionales, por qué no la consideramos como otras funciones conocidas en toda la recta numérica o en algún intervalo continuo de la ¿numero de linea? ¿Qué nos detiene? Pensemos en la situación.
La recta numérica contiene no solo números racionales, sino también irracionales. Para las funciones estudiadas anteriormente esto no nos molestó. Por ejemplo, encontramos los valores de la función y = x2 con la misma facilidad para los valores racionales e irracionales de x: bastaba con elevar al cuadrado el valor dado de x.
Pero con la función y=2 x la situación es más complicada. Si al argumento x se le da un significado racional, entonces, en principio, x se puede calcular (regrese al principio del párrafo, donde hicimos exactamente esto). ¿Qué pasa si al argumento x se le da un significado irracional? ¿Cómo, por ejemplo, calcular? No lo sabemos todavía.
Los matemáticos han encontrado una salida; así razonaron.
Se sabe que 
Considere una secuencia de números racionales: aproximaciones decimales de un número por desventaja:
1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205; 1,732050; 1,7320508;... .
Está claro que 1,732 = 1,7320 y 1,732050 = 1,73205. Para evitar este tipo de repeticiones, descartamos aquellos miembros de la secuencia que terminan en el número 0.
Luego obtenemos una secuencia creciente:
1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,73205; 1,7320508;... .
En consecuencia, la secuencia aumenta.
Todos los términos de esta secuencia son números positivos menores que 22, es decir esta secuencia es limitada. Según el teorema de Weierstrass (ver § 30), si una secuencia es creciente y acotada, entonces converge. Además, del § 30 sabemos que si una sucesión converge, lo hace sólo hasta un límite. Se acordó que este límite único debería considerarse el valor de una expresión numérica. Y no importa que sea muy difícil encontrar incluso un valor aproximado de la expresión numérica 2; es importante que sea un número específico (después de todo, no teníamos miedo de decir que, por ejemplo, es la raíz de una ecuación racional, 
la raíz de una ecuación trigonométrica, sin pensar realmente en qué son exactamente estos números: 
Entonces, hemos descubierto qué significado le dan los matemáticos al símbolo 2^. De manera similar, puedes determinar qué y en general qué es a, donde a es un número irracional y a > 1.
Pero ¿y si 0?<а <1? Как вычислить, например, ? Самым естественным способом: считать, что свести вычисления к случаю, когда основание степени больше 1.
Ahora podemos hablar no sólo de potencias con exponentes racionales arbitrarios, sino también de potencias con exponentes reales arbitrarios. Se ha demostrado que los grados con exponentes reales tienen todas las propiedades habituales de los grados: al multiplicar potencias con las mismas bases se suman los exponentes, al dividir se restan, al elevar un grado a una potencia se multiplican, etc. Pero lo más importante es que ahora podemos hablar de la función y-ax definida sobre el conjunto de todos los números reales.
Volvamos a la función y = 2 x y construyamos su gráfica. Para hacer esto, creemos una tabla de valores de función y=2x:
Marquemos los puntos en el plano de coordenadas (Fig. 194), marquen una línea determinada, dibujémosla (Fig. 195).
Propiedades de la función y - 2 x:
1)
2) no es ni par ni impar; 248
3) aumentos;
5) no tiene ni el valor mayor ni el menor;
6) continuo;
7)
8) convexo hacia abajo.
En el curso de matemáticas superiores se dan demostraciones rigurosas de las propiedades enumeradas de la función y-2 x. Algunas de estas propiedades, en un grado u otro, las discutimos anteriormente, algunas de ellas están claramente demostradas por el gráfico construido (ver Fig. 195). Por ejemplo, la falta de paridad o imparidad de una función está relacionada geométricamente con la falta de simetría de la gráfica, respectivamente, con respecto al eje y o con respecto al origen.
Cualquier función de la forma y = a x, donde a > 1, tiene propiedades similares. En la Fig. Se construyeron 196 gráficas de funciones en un sistema de coordenadas y=2 x, y=3 x, y=5 x.
Consideremos ahora la función y creemos una tabla de valores para ella:
Marquemos los puntos en el plano de coordenadas (Fig. 197), marquen una línea determinada, dibujémosla (Fig. 198).
Propiedades de función
1)
2) no es ni par ni impar;
3) disminuye;
4) no limitado desde arriba, limitado desde abajo;
5) no existe ni el valor mayor ni el menor;
6) continuo;
7)
8) convexo hacia abajo.
Cualquier función de la forma y = a x tiene propiedades similares, donde O<а <1. На рис. 200 в одной системе координат построены графики функций 
Tenga en cuenta: gráficos de funciones 
aquellos. y=2 x, simétrico con respecto al eje y (Fig. 201). Esto es una consecuencia de la afirmación general (ver § 13): las gráficas de las funciones y = f(x) e y = f(-x) son simétricas con respecto al eje y. De manera similar, las gráficas de las funciones y = 3 x y
Para resumir lo dicho, daremos una definición de función exponencial y resaltaremos sus propiedades más importantes.
Definición. Una función de la forma se llama función exponencial.
Propiedades básicas de la función exponencial y = a x
La gráfica de la función y=a x para a> 1 se muestra en la Fig. 201, y para 0<а < 1 - на рис. 202.
La curva que se muestra en la Fig. 201 o 202 se llama exponente. De hecho, los matemáticos suelen llamar a la función exponencial y = a x. Entonces, el término "exponente" se usa en dos sentidos: tanto para nombrar la función exponencial como para nombrar la gráfica de la función exponencial. Por lo general, el significado es claro ya sea que estemos hablando de una función exponencial o de su gráfica.
Preste atención a la característica geométrica de la gráfica de la función exponencial y=ax: el eje x es la asíntota horizontal de la gráfica. Es cierto que esta afirmación suele aclararse de la siguiente manera.
El eje x es la asíntota horizontal de la gráfica de la función.
En otras palabras
Primera nota importante. Los escolares a menudo confunden los términos: función de potencia, función exponencial. Comparar:
Estos son ejemplos de funciones de potencia; 
Estos son ejemplos de funciones exponenciales.
En general, y = x r, donde r es un número específico, es una función potencia (el argumento x está contenido en la base del grado);
y = a", donde a es un número específico (positivo y diferente de 1), es una función exponencial (el argumento x está contenido en el exponente).
Una función "exótica" como y = x" no se considera exponencial ni potencia (a veces se la llama exponencial).
Segunda nota importante. Generalmente no se considera una función exponencial con base a = 1 o con base a que satisfaga la desigualdad a<0 (вы, конечно, помните, что выше, в определении показательной функции, оговорены условия: а >0 y a El hecho es que si a = 1, entonces para cualquier valor de x se cumple la igualdad Ix = 1. Por lo tanto, la función exponencial y = a" con a = 1 "degenera" en una función constante y = 1 - esto no es interesante. Si a = 0, entonces 0x = 0 para cualquier valor positivo de x, es decir, obtenemos la función y = 0, definida para x > 0, esto tampoco es interesante. Si, finalmente, a<0, то выражение а" имеет смысл лишь при целых значениях х, а мы все-таки предпочитаем рассматривать функции, определенные на сплошных промежутках.
Antes de pasar a resolver los ejemplos, observa que la función exponencial es significativamente diferente de todas las funciones que has estudiado hasta ahora. Para estudiar a fondo un nuevo objeto, es necesario considerarlo desde diferentes ángulos, en diferentes situaciones, por lo que habrá muchos ejemplos.
Ejemplo 1.
Solución, a) Habiendo construido gráficas de las funciones y = 2 x e y = 1 en un sistema de coordenadas, notamos (Fig. 203) que tienen un punto común (0; 1). Esto significa que la ecuación 2x = 1 tiene una única raíz x =0.
Entonces, de la ecuación 2x = 2° obtenemos x = 0.
b) Habiendo construido gráficas de las funciones y = 2 x e y = 4 en un sistema de coordenadas, notamos (Fig. 203) que tienen un punto común (2; 4). Esto significa que la ecuación 2x = 4 tiene una raíz única x = 2.
Entonces, de la ecuación 2 x = 2 2 obtenemos x = 2.
c) y d) Con base en las mismas consideraciones, concluimos que la ecuación 2 x = 8 tiene una raíz única, y para encontrarla no es necesario construir gráficas de las funciones correspondientes;
está claro que x = 3, ya que 2 3 = 8. De manera similar, encontramos la única raíz de la ecuación.
Entonces, de la ecuación 2x = 2 3 obtuvimos x = 3, y de la ecuación 2 x = 2 x obtuvimos x = -4.
e) La gráfica de la función y = 2 x se encuentra encima de la gráfica de la función y = 1 para x > 0; esto se puede leer claramente en la Fig. 203. Esto significa que la solución a la desigualdad 2x > 1 es el intervalo
f) La gráfica de la función y = 2 x se ubica debajo de la gráfica de la función y = 4 en x<2 - это хорошо читается по рис. 203. Значит, решением неравенства 2х <4служит промежуток
Probablemente hayas notado que la base de todas las conclusiones extraídas al resolver el ejemplo 1 fue la propiedad de monotonicidad (aumento) de la función y = 2 x. Un razonamiento similar nos permite verificar la validez de los dos teoremas siguientes.
Solución. Puedes proceder así: construye una gráfica de la función y-3 x, luego estírala desde el eje x en un factor de 3 y luego eleva la gráfica resultante en 2 unidades de escala. Pero es más conveniente utilizar el hecho de que 3- 3* = 3 * + 1 y, por lo tanto, construir una gráfica de la función y = 3 x * 1 + 2.
Pasemos, como hemos hecho muchas veces en tales casos, a un sistema de coordenadas auxiliar con el origen en el punto (-1; 2) - líneas de puntos x = - 1 y 1x = 2 en la Fig. 207. “Vinculamos” la función y=3* al nuevo sistema de coordenadas. Para hacer esto, seleccione los puntos de control para la función. 
, pero no los construiremos en el antiguo, sino en el nuevo sistema de coordenadas (estos puntos están marcados en la Fig. 207). Luego construiremos un exponente a partir de los puntos; esta será la gráfica requerida (ver Fig. 207).
Para encontrar los valores mayor y menor de una función dada en el segmento [-2, 2], aprovechamos que la función dada es creciente, y por lo tanto toma sus valores menor y mayor, respectivamente, en el extremos izquierdo y derecho del segmento.
Entonces:
Ejemplo 4. Resolver ecuaciones y desigualdades:
Solución, a) Construyamos gráficas de las funciones y=5* e y=6-x en un sistema de coordenadas (Fig. 208). Se cruzan en un punto; a juzgar por el dibujo, este es el punto (1; 5). La verificación muestra que, de hecho, el punto (1; 5) satisface tanto la ecuación y = 5* como la ecuación y = 6-x. La abscisa de este punto sirve como única raíz de la ecuación dada.
Entonces, la ecuación 5 x = 6 - x tiene una única raíz x = 1.
b) yc) El exponente y-5x se encuentra por encima de la recta y=6-x, si x>1, esto se ve claramente en la Fig. 208. Esto significa que la solución a la desigualdad 5*>6 se puede escribir de la siguiente manera: x>1. Y la solución a la desigualdad 5x.<6 - х можно записать так: х < 1.
Respuesta: a)x = 1; b)x>1; c)x<1.
Ejemplo 5. Dada una función 
Pruebalo 
Solución. Según la condición que tenemos.
