2.1. Función de Laplace (integral de probabilidad) tiene la forma:
La gráfica de la función de Laplace se muestra en la Fig. 5.
Función F(X) tabulados (ver Tabla 1 de los apéndices). Para utilizar esta tabla necesitas saber propiedades de la función de Laplace:
1) Función Ф( X) extraño: F(-X)= -F(X).
2) Función F(X) aumentando monótonamente.
3) F(0)=0.
4) F(+¥ )=0,5; F(-¥ )=-0,5. En la práctica, podemos suponer que para x³5 la función F(X)=0,5; para x £ -5 función F(X)=-0,5.
2.2. Existen otras formas de la función de Laplace:
Y 
En contraste con estas formas, la función F(X) se llama función de Laplace estándar o normalizada. Está relacionado con otras formas de relaciones:
 |
EJEMPLO 2. Variable aleatoria continua X tiene una ley de distribución normal con parámetros: metro=3, s=4. Encuentre la probabilidad de que, como resultado de la prueba, la variable aleatoria X: a) tomará el valor contenido en el intervalo (2; 6); b) tomará un valor inferior a 2; c) tomará un valor mayor que 10; d) desviarse de la expectativa matemática en una cantidad que no exceda 2. Ilustre gráficamente la solución al problema.
Solución. a) La probabilidad de que una variable aleatoria normal X cae dentro del intervalo especificado ( a, b), Dónde a=2 y b=6, igual a:
Valores de la función de Laplace F(x) determinado según la tabla que figura en el anexo, teniendo en cuenta que F(–X)= –F(X).
b) La probabilidad de que una variable aleatoria normal X tomará un valor menor que 2, igual a:
c) La probabilidad de que una variable aleatoria normal X tomará un valor mayor que 10, igual a:
d) La probabilidad de que una variable aleatoria normal X d=2, igual a:
CON punto geométrico Desde el punto de vista, las probabilidades calculadas son numéricamente iguales a las áreas sombreadas bajo la curva normal (ver Fig. 6).
 |
|||
 |
|
Arroz. 6. Curva normal para variable aleatoria X~norte(3;4)
EJEMPLO 3. El diámetro del eje se mide sin errores sistemáticos (mismo signo). Los errores de medición aleatorios están sujetos a una distribución normal con una desviación estándar de 10 mm. Encuentre la probabilidad de que la medición se realice con un error que no exceda los 15 mm en valor absoluto.
Solución. La expectativa matemática de errores aleatorios es cero. metro X se desviará de la expectativa matemática en una cantidad menor que d=15, igual a:
EJEMPLO 4. La máquina produce bolas. La pelota se considera válida si la desviación X El diámetro de la bola respecto al tamaño de diseño en valor absoluto es inferior a 0,7 mm. Suponiendo que la variable aleatoria X distribuida normalmente con una desviación estándar de 0.4 mm, encuentre el número promedio de bolas adecuadas entre 100 producidas.
Solución. Valor aleatorio X- desviación del diámetro de la bola respecto al tamaño de diseño. La expectativa matemática de la desviación es cero, es decir METRO(X)=metro=0. Entonces la probabilidad de que una variable aleatoria normal X se desviará de la expectativa matemática en una cantidad menor que d=0,7, igual a:
De ello se deduce que aproximadamente 92 bolas de 100 serán adecuadas.
EJEMPLO 5. Demuestre la regla "3" s».
Solución. La probabilidad de que una variable aleatoria normal X se desviará de la expectativa matemática en una cantidad menor que re= 3s, es igual a:
EJEMPLO 6. Valor aleatorio X normalmente distribuido con expectativa matemática metro=10. Probabilidad de acierto X en el intervalo (10, 20) es igual a 0,3. ¿Cuál es la probabilidad de acertar? X en el intervalo (0, 10)?
Solución. Una curva normal es simétrica con respecto a una línea recta. X=metro=10, por lo tanto las áreas acotadas arriba por la curva normal y abajo por los intervalos (0, 10) y (10, 20) son iguales entre sí. Dado que las áreas son numéricamente iguales a las probabilidades de acertar X Entonces, en el intervalo apropiado.
Teoremas locales e integrales de Laplace
Este artículo es una continuación natural de la lección sobre pruebas independientes, donde nos encontramos La fórmula de Bernoulli. y trabajó ejemplos típicos sobre este tema. Los teoremas local e integral de Laplace (Moivre-Laplace) resuelven un problema similar con la diferencia de que son aplicables a un número suficientemente grande de pruebas independientes. No es necesario pasar por alto las palabras "local", "integral", "teoremas": el material se domina con la misma facilidad con la que Laplace acarició la cabeza rizada de Napoleón. Por lo tanto, sin complejos ni comentarios preliminares, consideremos inmediatamente un ejemplo demostrativo:
La moneda se lanza 400 veces. Calcula la probabilidad de obtener cara 200 veces.
Por rasgos característicos debe aplicarse aquí La fórmula de Bernoulli. 
. Recordemos el significado de estas letras:
es la probabilidad de que en ensayos independientes evento al azar vendrá exactamente una vez;
– coeficiente binomial;
– probabilidad de ocurrencia de un evento en cada ensayo;
En relación con nuestra tarea:
– número total de pruebas;
– el número de lanzamientos en los que deben caer cabezas;
Así, la probabilidad de que como resultado de 400 lanzamientos de moneda salga cara exactamente 200 veces: ...Para, ¿qué hacer a continuación? La microcalculadora (al menos la mía) no logró hacer frente al grado 400 y capituló ante factoriales. Pero no quería calcular algo a través de un producto =) Usemos función estándar de Excel, que logró procesar al monstruo: .
Me gustaría llamar su atención sobre lo que se ha recibido. exacto significado y tal solución parece ser ideal. A primera vista. Aquí hay algunos contraargumentos convincentes:
- En primer lugar, software puede que no esté disponible;
– y en segundo lugar, la solución parecerá no estándar (con una probabilidad considerable tendrás que cambiar de opinión);
Por ello, queridos lectores, en un futuro próximo esperamos:
Teorema local de Laplace
Si la probabilidad de que ocurra un evento aleatorio en cada ensayo es constante, entonces la probabilidad de que el evento ocurra exactamente una vez en cada ensayo es aproximadamente igual a: 
, Dónde .
Además, cuanto mayor sea , mejor se aproximará la probabilidad calculada al valor exacto obtenido (al menos hipotéticamente) según la fórmula de Bernoulli. El número mínimo recomendado de pruebas es de aproximadamente 50 a 100; de lo contrario, el resultado puede estar lejos de la verdad. Además, el teorema local de Laplace funciona mejor cuanto más cerca está la probabilidad de 0,5 y viceversa: da un error significativo para valores cercanos a cero o uno. Por esta razón, otro criterio uso efectivo fórmulas 
es la desigualdad ()
.
Así, por ejemplo, si , entonces se justifica la aplicación del teorema de Laplace para 50 pruebas. Pero si y , entonces también es una aproximación (al valor exacto) será malo.
Sobre por qué y sobre una función especial. 
hablaremos en clase sobre distribución de probabilidad normal, pero por ahora necesitamos el lado computacional formal del problema. En particular, hecho importante es paridad esta función: 
.
emitiremos relaciones oficiales con nuestro ejemplo:
Problema 1
La moneda se lanza 400 veces. Encuentre la probabilidad de que caiga cara exactamente:
a) 200 veces;
b) 225 veces.
Dónde empezar solución? Primero, anotemos las cantidades conocidas para que estén ante nuestros ojos:
– número total de pruebas independientes;
– la probabilidad de obtener cara en cada lanzamiento;
– probabilidad de aterrizaje de cabezas.
a) Hallemos la probabilidad de que en una serie de 400 lanzamientos salga cara exactamente una vez. Debido a la gran cantidad de pruebas que utilizamos teorema local Laplace: 
, Dónde 
.
En el primer paso, calculamos el valor requerido del argumento:
A continuación encontramos el valor de la función correspondiente: . Esto se puede hacer de varias maneras. En primer lugar, por supuesto, se sugieren cálculos directos:
El redondeo se suele realizar a 4 decimales.
La desventaja del cálculo directo es que no todas las microcalculadoras pueden digerir el exponente; además, los cálculos no son especialmente agradables y requieren tiempo. ¿Por qué sufrir tanto? Usar calculadora terver (punto 4)¡y obtenga valores al instante!
Además, hay tabla de valores de función, que se encuentra en casi cualquier libro sobre teoría de la probabilidad, en particular, en libro de texto V.E. Gmurman. Si aún no lo has descargado, descárgalo; hay muchas cosas útiles allí ;-) Y asegúrese de aprender a usar la mesa (¡ahora mismo!)– ¡Es posible que no siempre haya equipos informáticos adecuados a mano!
En etapa final aplicar la fórmula 
:
– la probabilidad de que en 400 lanzamientos de moneda salga cara exactamente 200 veces.
Como puede ver, el resultado obtenido es muy cercano al valor exacto calculado por La fórmula de Bernoulli..
b) Calcula la probabilidad de que en una serie de 400 ensayos aparezcan cabezas exactamente una vez. Usamos el teorema local de Laplace. Uno, dos, tres y listo:
– la probabilidad deseada.
Respuesta:
El siguiente ejemplo, como muchos habrán adivinado, está dedicado al parto, y esto es para usted. decisión independiente:)
Problema 2
La probabilidad de tener un niño es 0,52. Encuentre la probabilidad de que entre 100 recién nacidos haya exactamente: a) 40 niños, b) 50 niños, c) 30 niñas.
Redondea los resultados a 4 decimales.
...La frase "pruebas independientes" suena interesante aquí =) Por cierto, real probabilidad estadística La tasa de natalidad de un niño en muchas regiones del mundo oscila entre 0,51 y 0,52.
Un ejemplo aproximado de una tarea al final de la lección.
Todos notaron que los números resultaron ser bastante pequeños, y esto no debe inducir a error; después de todo, estamos hablando de probabilidades individuales. local valores (de ahí el nombre del teorema). Y hay muchos valores de este tipo y, en sentido figurado, la probabilidad "debería ser suficiente para todos". Es cierto que muchos acontecimientos casi imposible.
Permítanme explicar lo anterior usando el ejemplo de las monedas: en una serie de cuatrocientas pruebas, en teoría, las caras pueden caer de 0 a 400 veces, y estos eventos se forman grupo completo:
Sin embargo, la mayoría de estos valores son minúsculos, por ejemplo, la probabilidad de que salga cara 250 veces ya es de una entre diez millones: . Sobre valores como 
Guardemos silencio con tacto =)
Por otro lado, no se deben subestimar los resultados modestos: si se trata sólo de , entonces la probabilidad de que caiga cara, digamos, de 220 a 250 veces, será muy notorio.
Ahora pensemos: ¿cómo calcular esta probabilidad? No cuentes por el teorema de la suma de probabilidades de eventos incompatibles cantidad:
Estos valores son mucho más simples. combinar. Y combinar algo, como sabes, se llama integración:
Teorema integral de Laplace
Si la probabilidad de que ocurra un evento aleatorio en cada ensayo es constante, entonces la probabilidad 
que el evento ocurrirá en juicios ni menos ni más veces (de a veces inclusive), es aproximadamente igual a:
En este caso, el número de pruebas, por supuesto, también debería ser lo suficientemente grande y la probabilidad no debería ser demasiado pequeña/alta. (aproximadamente), de lo contrario la aproximación no será importante o será mala.
La función se llama función de Laplace, y sus valores se resumen nuevamente en una tabla estándar ( ¡Encuéntralo y aprende a trabajar con él!). Una microcalculadora no ayudará aquí, ya que la integral no es combinable. Pero Excel tiene la funcionalidad correspondiente: use punto 5 patrón de diseñó.
En la práctica, lo más común siguientes valores:
- Cópialo en tu cuaderno.
A partir de , podemos asumir que , o, para escribirlo más estrictamente: 
Además, la función de Laplace extraño: 
, y esta propiedad se explota activamente en tareas de las que ya estamos cansados:
Problema 3
La probabilidad de que el tirador acierte en el blanco es 0,7. Calcula la probabilidad de que con 100 disparos el objetivo sea alcanzado entre 65 y 80 veces.
Elegí el ejemplo más realista, de lo contrario encontré aquí varias tareas en las que el tirador dispara miles de tiros =)
Solución: en este problema estamos hablando pruebas independientes repetidas, y su número es bastante grande. De acuerdo con la condición, es necesario encontrar la probabilidad de que el objetivo sea alcanzado al menos 65 veces, pero no más de 80 veces, lo que significa que es necesario utilizar el teorema integral de Laplace: , donde
Por conveniencia, reescribamos los datos originales en una columna:
- disparos totales;
– número mínimo de aciertos;
– número máximo de aciertos;
– probabilidad de dar en el blanco con cada disparo;
- la probabilidad de fallar en cada disparo.
Por tanto, el teorema de Laplace dará una buena aproximación.
Calculemos los valores de los argumentos: 
Me gustaría llamar su atención sobre el hecho de que no es necesario extraer la obra por completo de raíz. (ya que a los autores de problemas les gusta "ajustar" los números)– sin lugar a dudas, extrae la raíz y redondea el resultado; Estoy acostumbrado a dejar 4 decimales. Pero los valores resultantes generalmente se redondean a 2 decimales; esta tradición proviene de tablas de valores de funciones, donde los argumentos se presentan exactamente en esta forma.
Usamos la tabla de arriba o diseño de diseño para terver (punto 5).
Como comentario escrito te aconsejo que pongas la siguiente frase: Encontraremos los valores de la función usando la tabla correspondiente.:
– la probabilidad de que con 100 disparos el objetivo sea alcanzado entre 65 y 80 veces.
¡Asegúrate de aprovechar el número impar de la función! Por si acaso, lo anotaré detalladamente:
El hecho es que tabla de valores de función contiene sólo “X” positivas y estamos trabajando (al menos según la “leyenda”) con una mesa!
Respuesta:
El resultado suele redondearse a 4 decimales. (nuevamente según el formato de la tabla).
Para resolverlo usted mismo:
Problema 4
Hay 2500 lámparas en el edificio, la probabilidad de encender cada una de ellas por la noche es 0,5. Encuentre la probabilidad de que por la noche se enciendan al menos 1250 y no más de 1275 lámparas.
Una muestra aproximada del diseño final al final de la lección.
Cabe señalar que las tareas en cuestión se presentan muy a menudo en forma "impersonal", por ejemplo:
Se lleva a cabo algún experimento en el que puede ocurrir un evento aleatorio con una probabilidad de 0,5. El experimento se repite sin cambios 2500 veces. Determine la probabilidad de que en 2500 experimentos el evento ocurra de 1250 a 1275 veces.
Y formulaciones similares están por las nubes. Debido a la naturaleza cliché de las tareas, a menudo intentan ocultar la condición; esta es la "única oportunidad" de diversificar y complicar de alguna manera la solución:
Problema 5
Hay 1000 estudiantes estudiando en el instituto. El comedor tiene 105 plazas. Cada estudiante va a la cafetería durante las grandes vacaciones con probabilidad de 0,1. ¿Cuál es la probabilidad de que en un día escolar típico:
a) el comedor no estará lleno más de dos tercios;
b) no hay suficientes asientos para todos.
Me gustaría llamar su atención sobre la importante cláusula "en un día escolar REGULAR": garantiza que la situación se mantenga relativamente sin cambios. Después de las vacaciones, pueden venir al instituto muchos menos estudiantes, y en el "Día" puertas abiertas“llegará una delegación hambrienta =) Es decir, en un día “inusual” las probabilidades serán notablemente diferentes.
Solución: utilizamos el teorema integral de Laplace, donde
En esta tarea:
– total de estudiantes en el instituto;
– la probabilidad de que un estudiante vaya a la cafetería durante un largo descanso;
– probabilidad del evento opuesto.
a) Calculemos cuántos escaños representan dos tercios del número total: escaños
Encontremos la probabilidad de que en un día escolar normal la cafetería no esté llena más de dos tercios. ¿Qué significa? Esto significa que durante la gran pausa vendrán de 0 a 70 personas. El hecho de que no venga nadie o sólo vengan unos pocos estudiantes: hay acontecimientos practicamente imposible, sin embargo, para aplicar el teorema integral de Laplace, estas probabilidades aún deben tenerse en cuenta. De este modo: 
Calculemos los argumentos correspondientes: 
Como resultado:
– la probabilidad de que en un día escolar normal la cafetería no esté llena más de dos tercios.
Recordatorio : cuando la función de Laplace se considera igual a .
Aunque es un placer para el público =)
b) Evento “No hay asientos suficientes para todos” es que de 106 a 1000 personas se acercarán al comedor a almorzar durante el gran parón (lo principal es compactarlo bien =)). Está claro que la gran asistencia es increíble, pero aun así: 
.
Calculamos los argumentos: 
Así, la probabilidad de que no haya suficientes asientos para todos es:
Respuesta:
Ahora centrémonos en uno matiz importante
método: cuando realizamos cálculos sobre un solo segmento, entonces todo está "sin nubes": decida según la plantilla considerada. Sin embargo, si consideramos grupo completo de eventos debe ser mostrado una cierta precisión. Permítanme explicar este punto usando el ejemplo del problema que acabamos de comentar. En el punto “be” encontramos la probabilidad de que no haya suficientes asientos para todos. A continuación, utilizando el mismo esquema, calculamos:
– la probabilidad de que haya suficientes plazas.
Desde estos eventos opuesto, entonces la suma de las probabilidades debe ser igual a uno:
¿Qué pasa? – Aquí todo parece lógico. El punto es que la función de Laplace es continuo, pero no tomamos en cuenta intervalo de 105 a 106. Aquí es donde desapareció la pieza de 0,0338. Es por eso usando la misma fórmula estándar se debe calcular:
Bueno, o incluso más sencillo:
Surge la pregunta: ¿Qué pasa si encontramos PRIMERO? Luego habrá otra versión de la solución:
¡¿Pero como puede ser ésto?! – ¡Los dos métodos dan respuestas diferentes! Es simple: el teorema integral de Laplace es un método cerca cálculos y, por lo tanto, ambas formas son aceptables.
Para cálculos más precisos debe utilizar La fórmula de Bernoulli. y, por ejemplo, la función de Excel BINOMIDOS. Como resultado su aplicación obtenemos:
Y expreso mi gratitud a uno de los visitantes del sitio que llamó la atención sobre esta sutileza: se salió de mi campo de visión, ya que el estudio de un grupo completo de eventos rara vez se encuentra en la práctica. Los interesados pueden familiarizarse con
fórmula de bayes
Los eventos B 1, B 2,…, B n son incompatibles y forman un grupo completo, es decir P(B 1)+ P(B 2)+…+ P(B n)=1. Y dejemos que el evento A solo ocurra cuando aparezca uno de los eventos B 1,B 2,…,B n. Luego, la probabilidad del evento A se encuentra usando la fórmula de probabilidad total.
Dejemos que el evento A ya haya sucedido. Entonces las probabilidades de las hipótesis B 1, B 2,..., B n se pueden sobreestimar utilizando la fórmula de Bayes:
La fórmula de Bernoulli.
Sean n ensayos independientes, en cada uno de los cuales el evento A puede ocurrir o no. La probabilidad de que ocurra (no ocurra) el evento A es igual e igual a p (q=1-p).
La probabilidad de que en n ensayos independientes el evento A ocurra exactamente una vez (dependiendo de qué secuencia) se encuentra usando la fórmula de Bernoulli:
La probabilidad de que ocurra un evento en n ensayos independientes es:
A). Menos de veces P n (0)+P n (1)+…+P n (k-1).
b). Más de una vez P n (k+1)+P n (k+2)+…+P n (n).
V). al menos veces P n (k)+P n (k+1)+…+P n (n).
GRAMO). no más de k veces P n (0)+P n (1)+…+P n (k).
Teoremas locales e integrales de Laplace.
Usamos estos teoremas cuando n es lo suficientemente grande.
Teorema local de Laplace
La probabilidad de que un evento ocurra exactamente `k' veces en n ensayos independientes es aproximadamente igual a:
tabla de funciones para valores positivos(x) se da en el libro de problemas de Gmurman en el Apéndice 1, págs. 324-325.
Como () es par, usamos la misma tabla para valores negativos (x).
Teorema integral de Laplace.
La probabilidad de que un evento ocurra al menos `k' veces en n ensayos independientes es aproximadamente igual a:
función de Laplace
La tabla de funciones para valores positivos se proporciona en el libro de problemas de Gmurman en el Apéndice 2, págs. 326-327. Para valores mayores a 5 establecemos Ф(х)=0,5.
Dado que la función de Laplace es impar Ф(-х)=-Ф(х), entonces para valores negativos (x) usamos la misma tabla, solo que tomamos los valores de la función con un signo menos.
Ley de distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta.
Ley de distribución binomial.
Discreto- una variable aleatoria, cuyos valores posibles son números individuales aislados, que esta variable toma con ciertas probabilidades. En otras palabras, se pueden numerar los posibles valores de una variable aleatoria discreta.
El número de valores posibles de una variable aleatoria discreta puede ser finito o infinito.
Las variables aleatorias discretas se indican con letras mayúsculas X, y sus posibles valores con letras minúsculas x1, x2, x3...
Por ejemplo.
X es el número de puntos obtenidos en los dados; X toma seis valores posibles: x1=1, x2=1, x3=3, x4=4, x5=5, x6=6 con probabilidades p1=1/6, p2=1/6, p3=1/6.. .p6 =1/6.
Ley de distribución de una variable aleatoria discreta. nombrar una lista de sus posibles valores y sus correspondientes probabilidades.
La ley de distribución se puede dar:
1. en forma de mesa.
2. Analíticamente - en forma de fórmula.
3. gráficamente. En este caso, en sistema rectangular Se construyen las coordenadas XOR, los puntos M1(x1,р1), М2(x2,р2), ... Мn(хn,рn). Estos puntos están conectados por segmentos rectos. La figura resultante se llama polígono de distribución.
Para escribir la ley de distribución de una variable aleatoria discreta (x), es necesario enumerar todos sus valores posibles y encontrar las probabilidades correspondientes.
Si las probabilidades correspondientes se encuentran utilizando la fórmula de Bernoulli, entonces dicha ley de distribución se llama binomial.
Ejemplo No. 168, 167, 171, 123, 173, 174, 175.
Valores numéricos de variables aleatorias discretas.
Expectativa, varianza y desviación estándar.
La característica del valor promedio de una variable aleatoria discreta es la expectativa matemática.
Expectativa matemática Una variable aleatoria discreta es la suma de los productos de todos sus valores posibles y sus probabilidades. Aquellos. si se da la ley de distribución, entonces la expectativa matemática
Si el número de valores posibles de una variable aleatoria discreta es infinito, entonces
Además, la serie del lado derecho de la igualdad converge absolutamente y la suma de todas las probabilidades pi es igual a uno.
Propiedades de la expectativa matemática.
1. M(C)=C, C=constante.
2. M(Cx)=CM(x)
3. M(x1+x2+…+xn)=M(x1)+M(x2)+…+M(xn)
4. M(x1*x2*…*xn)=M(x1)*M(x2)*…*M(xn).
5. Para una ley de distribución binomial, la expectativa matemática se encuentra mediante la fórmula:
Las características de la dispersión de posibles valores de una variable aleatoria alrededor de la expectativa matemática son la dispersión y la desviación estándar.
Diferencia La variable aleatoria discreta (x) se llama expectativa matemática de la desviación al cuadrado. D(x)=M(x-M(x)) 2.
Es conveniente calcular la dispersión mediante la fórmula: D(x) = M(x 2) - (M(x)) 2.
Propiedades de dispersión.
1. D(S)=0, C=constante.
2. D(Cx)=C2D(x)
3. D(x1+x2+…+xn)=D(x1)+D(x2)+…+D(xn)
4. Dispersión de la ley de distribución binomial
Promedio desviación cuadrada variable aleatoria se llama Raíz cuadrada de la dispersión.
ejemplos. 191, 193, 194, 209, d/z.
Función de distribución acumulativa (CDF) de las probabilidades de una variable aleatoria continua (RCV). Continuo- una cantidad que puede tomar todos los valores de algún intervalo finito o infinito. Hay varios valores posibles para el NSV y no se puede volver a numerar.
Por ejemplo.
La distancia que recorre un proyectil cuando se dispara es NSV.
IFR se denomina función F(x), que determina para cada valor x la probabilidad de que el NSV X tome el valor X<х, т.е. F(x)=Р(X A menudo, en lugar de IFR, dicen FR. Geométricamente, la igualdad F(x)=P(X Propiedades del SI. 1. El valor IF pertenece al intervalo, es decir F(x). 2. IF es una función no decreciente, es decir x2>x1. Corolario 1. La probabilidad de que NSV X tome un valor contenido en el intervalo (a; b) es igual al incremento de la función integral en este intervalo, es decir Pensilvania Corolario 2. La probabilidad de que el NSV X tome un valor específico, por ejemplo, x1=0, es igual a 0, es decir P(x=x1)=0. 3. Si todos los valores posibles de NSV X pertenecen a (a;c), entonces F(x)=0 en x<а, и F(x)=1 при х>v. Corolario 3. Las siguientes relaciones límite son válidas. Función de distribución diferencial (DDF) de las probabilidades de una variable aleatoria continua (RNV) (densidad de probabilidad). DFf(x) distribuciones de probabilidad de NSV se llama primera derivada de la IFR: A menudo, en lugar de PDR, dicen densidad de probabilidad (PD). De la definición se deduce que, conociendo el DF F(x), podemos encontrar el DF f(x). Pero también se realiza la transformación inversa: conociendo el DF f(x), se puede encontrar el DF F(x). La probabilidad de que NSV X tome un valor perteneciente a (a;b) se encuentra: A). Si se da el SI, Corolario 1. B). Si se especifica DF Propiedades del DF. 1. DF - no negativo, es decir . 2. la integral impropia del DF dentro de () es igual a 1, es decir . Corolario 1. Si todos los valores posibles de NSV X pertenecen a (a;c), entonces. Ejemplos. N° 263, 265, 266, 268, 1111, 272, d/z. Características numéricas de NSV. 1. La expectativa matemática (ME) de NSV X, cuyos posibles valores pertenecen a todo el eje OX, está determinada por la fórmula: Si todos los valores posibles de NSV X pertenecen a (a;c), entonces MO está determinado por la fórmula: Todas las propiedades de MO indicadas para cantidades discretas también se conservan para cantidades continuas. 2. La dispersión del NSV X, cuyos posibles valores pertenecen a todo el eje OX, viene determinada por la fórmula: Si todos los valores posibles de NSV X pertenecen a (a;c), entonces la dispersión está determinada por la fórmula: Todas las propiedades de dispersión especificadas para cantidades discretas también se conservan para cantidades continuas. 3. La desviación estándar del NSV X se determina de la misma forma que para cantidades discretas: Ejemplos. N° 276, 279, X, d/z. Cálculo operacional (OC). OR es un método que permite reducir las operaciones de diferenciación e integración de funciones a acciones más simples: multiplicación y división por el argumento de las llamadas imágenes de estas funciones. El uso de OI facilita la resolución de muchos problemas. En particular, los problemas de integración de LDE con coeficientes constantes y sistemas de tales ecuaciones, reduciéndolos a algebraicos lineales. Originales e imágenes. Laplace se transforma. f(t)-original; Imagen F(p). La transición f(t)F(p) se llama transformada de Laplace. La transformada de Laplace de una función f(t) se llama F(p), dependiendo de una variable compleja y definida por la fórmula: Esta integral se llama integral de Laplace. Para la convergencia de esta integral impropia, es suficiente asumir que en el intervalo f(t) es continua por partes y para algunas constantes M>0 y satisface la desigualdad Una función f(t) que tiene tales propiedades se llama original, y la transición del original a su imagen se llama transformada de Laplace. Propiedades de la transformada de Laplace. La determinación directa de imágenes utilizando la fórmula (2) suele ser difícil y puede facilitarse significativamente utilizando las propiedades de la transformada de Laplace. Sean F(p) y G(p) imágenes de los originales f(t) y g(t), respectivamente. Entonces se cumplen las siguientes propiedades-relaciones: 1. С*f(t)С*F(p), С=const - propiedad de homogeneidad. 2. f(t)+g(t)F(p)+G(p) - propiedad de aditividad. 3. f(t)F(p-) - teorema de desplazamiento. transición de la enésima derivada del original a una imagen (teorema de diferenciación del original). La función de Laplace es una función no elemental y se utiliza a menudo tanto en la teoría de ecuaciones diferenciales y teoría de probabilidad como en estadística. La función de Laplace requiere un cierto conjunto de conocimientos y formación, ya que permite resolver diversos problemas en el campo de las aplicaciones teóricas y aplicadas. La función de Laplace se utiliza a menudo para resolver ecuaciones diferenciales y suele denominarse integral de probabilidad. Veamos cómo se puede utilizar esta función en Excel y cómo funciona. La integral de probabilidad o función de Laplace en Excel corresponde al operador “DISTRNORMAS”, el cual tiene la sintaxis: “=DISTRNORMAS(z). En versiones más recientes del programa, el operador también tiene el nombre "NORM.ST.DIST". y una sintaxis ligeramente modificada “=NORM.ST.DIST(z; integral).
Hemos resuelto la teoría. Pasemos a la práctica. Veamos el uso de la función de Laplace en Excel. 1. Escribe un valor en una celda e inserta una función en la siguiente. 2. Escribamos la función manualmente “=NORM.ST.DIST(B4;1). 3. O usamos el asistente de inserción de funciones: vaya a la categoría "Estático" e indique "Lista alfabética completa". 4. En la ventana de argumentos de la función que aparece, indique los valores iniciales. Nuestra celda original será responsable de la variable "Z" e insertará "1" en "Integral". Nuestra función devolverá la función de distribución acumulativa. 5. Obtenemos una solución preparada de la distribución integral normal estándar para esta función “NORM.ST.DIST”. Pero eso no es todo, nuestro objetivo era encontrar la función de Laplace o integral de probabilidad, así que realicemos algunos pasos más. 6. La función de Laplace implica que se debe restar “0,5” del valor de la función resultante. Agregamos la operación necesaria a la función. Pulsamos “Entrar” y obtenemos la solución final. El valor deseado es correcto y se encuentra rápidamente. Excel calcula fácilmente esta función para cualquier valor de celda, rango de celdas o referencias de celda. La función “NORM.ST.DIST” es un operador estándar para buscar la integral de probabilidad o, como también se la llama, función de Laplace.
Una de las funciones no elementales más famosas, que se utiliza en matemáticas, en teoría de ecuaciones diferenciales, en estadística y en teoría de probabilidades, es la función de Laplace. Resolver problemas con él requiere una preparación significativa. Averigüemos cómo se puede calcular este indicador utilizando las herramientas de Excel. La función de Laplace tiene amplias aplicaciones teóricas y aplicadas. Por ejemplo, se utiliza con bastante frecuencia para resolver ecuaciones diferenciales. Este término tiene otro nombre equivalente: integral de probabilidad. En algunos casos, la base para la solución es la construcción de una tabla de valores. En Excel, este problema se resuelve usando el operador. DISTR.EST.NORM.. Su nombre es una abreviatura del término "distribución estándar normal". Dado que su tarea principal es devolver la distribución acumulativa normal estándar a la celda seleccionada. Este operador pertenece a la categoría estadística de funciones estándar de Excel. En Excel 2007 y versiones anteriores del programa, este operador se llamaba DISTRIBUIDOR NORMAL. Por motivos de compatibilidad, se conserva en las versiones modernas de las aplicaciones. Pero aún así recomiendan el uso de un análogo más avanzado: DISTR.EST.NORM.. Sintaxis del operador DISTR.EST.NORM. como sigue: DISTR.EST.NORM.(z;integral) Operador heredado DISTRIBUIDOR NORMAL está escrito así: DISTR.NORMA(z) Como puede ver, en la nueva versión del argumento existente "Z" argumento agregado "Integral". Cabe señalar que cada argumento es obligatorio. Argumento "Z" indica el valor numérico para el cual se construye la distribución. Argumento "Integral" representa un valor booleano que puede tener una representación "VERDADERO" ("1") o "MENTIR" («0»)
. En el primer caso, la función de distribución acumulativa se devuelve a la celda especificada y, en el segundo caso, se devuelve la función de distribución de peso. Para realizar el cálculo requerido para una variable, utilice la siguiente fórmula: DISTR.EST.NORM.(z;integral(1))-0.5 Ahora veamos el uso del operador usando un ejemplo específico. DISTR.EST.NORM. para resolver un problema específico.
El argumento "Z" es responsable del valor numérico de la distribución. El argumento "Integral" devuelve dos valores: "1" - la función de distribución integral, "0" - la función de distribución de peso.
Operador DISTR.EST.NORM.
La solución del problema
