Por ejemplo, la secuencia \(2\); \(5\); \(8\); \(once\); \(14\)... es una progresión aritmética, porque cada elemento subsiguiente difiere del anterior en tres (se puede obtener del anterior sumando tres):

En esta progresión, la diferencia \(d\) es positiva (igual a \(3\)), y por tanto cada término siguiente es mayor que el anterior. Estas progresiones se llaman creciente.

Sin embargo, \(d\) también puede ser numero negativo. Por ejemplo, V. progresión aritmética\(dieciséis\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... la diferencia de progresión \(d\) es igual a menos seis.

Y en este caso, cada elemento siguiente será más pequeño que el anterior. Estas progresiones se llaman decreciente.

Notación de progresión aritmética

La progresión se indica con una letra latina minúscula.

Los números que forman una progresión se llaman. miembros(o elementos).

Se denotan con la misma letra que una progresión aritmética, pero con un índice numérico igual al número del elemento en orden.

Por ejemplo, la progresión aritmética \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) consta de los elementos \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) y así sucesivamente.

En otras palabras, para la progresión \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Resolver problemas de progresión aritmética.

En principio, la información presentada anteriormente ya es suficiente para resolver casi cualquier problema de progresión aritmética (incluidos los que se ofrecen en la OGE).

Ejemplo (OGE). La progresión aritmética está especificada por las condiciones \(b_1=7; d=4\). Encuentra \(b_5\).
Solución:

Respuesta: \(b_5=23\)

Ejemplo (OGE). Se dan los tres primeros términos de una progresión aritmética: \(62; 49; 36…\) Encuentra el valor del primer término negativo de esta progresión.
Solución:

	Se nos dan los primeros elementos de la secuencia y sabemos que es una progresión aritmética. Es decir, cada elemento se diferencia de su vecino en el mismo número. Averigüemos cuál restando el anterior del siguiente elemento: \(d=49-62=-13\).
	Ahora podemos restaurar nuestra progresión al elemento (primer negativo) que necesitamos.
	Listo. Puedes escribir una respuesta.

Respuesta: \(-3\)

Ejemplo (OGE). Dados varios elementos consecutivos de una progresión aritmética: \(…5; x; 10; 12.5...\) Encuentra el valor del elemento designado por la letra \(x\).
Solución:

	Para encontrar \(x\), necesitamos saber en qué medida el siguiente elemento difiere del anterior, en otras palabras, la diferencia de progresión. Encontrémoslo a partir de dos elementos vecinos conocidos: \(d=12.5-10=2.5\).
	Y ahora podemos encontrar fácilmente lo que buscamos: \(x=5+2.5=7.5\).
	Listo. Puedes escribir una respuesta.

Respuesta: \(7,5\).

Ejemplo (OGE). Se da la progresión aritmética. las siguientes condiciones: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Encuentra la suma de los primeros seis términos de esta progresión.
Solución:

Necesitamos encontrar la suma de los primeros seis términos de la progresión. Pero no conocemos su significado; sólo se nos da el primer elemento. Por lo tanto, primero calculamos los valores uno por uno, usando lo que se nos da: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Y habiendo calculado los seis elementos que necesitamos, encontramos su suma.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Se ha encontrado la cantidad requerida.

Respuesta: \(S_6=9\).

Ejemplo (OGE). En progresión aritmética \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Encuentra la diferencia de esta progresión.
Solución:

Respuesta: \(d=7\).

Fórmulas importantes para la progresión aritmética.

Como puede ver, muchos problemas de progresión aritmética se pueden resolver simplemente entendiendo lo principal: que una progresión aritmética es una cadena de números, y cada elemento posterior de esta cadena se obtiene sumando el mismo número al anterior (el diferencia de la progresión).

Sin embargo, a veces hay situaciones en las que decidir “de frente” resulta muy inconveniente. Por ejemplo, imagina que en el primer ejemplo necesitamos encontrar no el quinto elemento \(b_5\), sino el trescientos ochenta y seis \(b_(386)\). ¿Deberíamos sumar cuatro \(385\) veces? O imagina que en el penúltimo ejemplo necesitas encontrar la suma de los primeros setenta y tres elementos. Te cansarás de contar...

Por lo tanto, en tales casos no resuelven las cosas "de frente", sino que utilizan fórmulas especiales derivadas de la progresión aritmética. Y los principales son la fórmula para el enésimo término de la progresión y la fórmula para la suma de \(n\) primeros términos.

Fórmula del \(n\)ésimo término: \(a_n=a_1+(n-1)d\), donde \(a_1\) es el primer término de la progresión;
\(n\) – número del elemento requerido;
\(a_n\) – término de la progresión con el número \(n\).

Esta fórmula nos permite encontrar rápidamente incluso el elemento trescientos o millonésimo, conociendo sólo el primero y la diferencia de la progresión.

Ejemplo. La progresión aritmética está especificada por las condiciones: \(b_1=-159\); \(d=8.2\). Encuentre \(b_(246)\).
Solución:

Respuesta: \(b_(246)=1850\).

Fórmula para la suma de los primeros n términos: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), donde

\(a_n\) – el último término sumado;

Ejemplo (OGE). La progresión aritmética está especificada por las condiciones \(a_n=3.4n-0.6\). Encuentra la suma de los primeros \(25\) términos de esta progresión.
Solución:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Para calcular la suma de los primeros veinticinco términos, necesitamos saber el valor del primer y vigésimo quinto término. Nuestra progresión viene dada por la fórmula del enésimo término dependiendo de su número (para más detalles, ver). Calculemos el primer elemento sustituyendo \(n\) por uno.
\(n=1;\) \(a_1=3.4·1-0.6=2.8\)		Ahora encontremos el término vigésimo quinto sustituyendo veinticinco en lugar de \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4·25-0.6=84.4\)		Bueno, ahora podemos calcular fácilmente la cantidad requerida.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		La respuesta está lista.

Respuesta: \(S_(25)=1090\).

Para la suma \(n\) de los primeros términos, puedes obtener otra fórmula: solo necesitas \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) en lugar de \(a_n\) sustitúyalo por la fórmula \(a_n=a_1+(n-1)d\). Obtenemos:

Fórmula para la suma de los primeros n términos: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), donde

\(S_n\) – la suma requerida de \(n\) primeros elementos;
\(a_1\) – el primer término sumado;
\(d\) – diferencia de progresión;
\(n\) – número de elementos en total.

Ejemplo. Encuentra la suma de los primeros \(33\)-ex términos de la progresión aritmética: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Solución:

Respuesta: \(S_(33)=-231\).

Problemas de progresión aritmética más complejos

Ahora tienes toda la información que necesitas para resolver casi cualquier problema de progresión aritmética. Terminemos el tema considerando problemas en los que no solo es necesario aplicar fórmulas, sino también pensar un poco (en matemáticas esto puede ser útil ☺)

Ejemplo (OGE). Encuentra la suma de todos los términos negativos de la progresión: \(-19.3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Solución:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		La tarea es muy similar a la anterior. Empezamos a resolver lo mismo: primero encontramos \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		Ahora me gustaría sustituir \(d\) en la fórmula de la suma... y aquí surge un pequeño matiz: no sabemos \(n\). En otras palabras, no sabemos cuántos términos será necesario agregar. ¿Cómo saberlo? Pensemos. Dejaremos de agregar elementos cuando lleguemos al primer elemento positivo. Es decir, necesitas averiguar el número de este elemento. ¿Cómo? Anotemos la fórmula para calcular cualquier elemento de una progresión aritmética: \(a_n=a_1+(n-1)d\) para nuestro caso.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19.3+(n-1)·0.3\)		Necesitamos que \(a_n\) sea mayor que cero. Averigüemos en qué \(n\) sucederá esto.
\(-19.3+(n-1)·0.3>0\)
\((n-1)·0.3>19.3\) \(|:0.3\)		Dividimos ambos lados de la desigualdad por \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		Transferimos menos uno, sin olvidarnos de cambiar los carteles.
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		Calculemos...
\(n>65,333…\)		...y resulta que el primer elemento positivo tendrá el número \(66\). En consecuencia, el último negativo tiene \(n=65\). Por las dudas, revisemos esto.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1)·0.3=-0.1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19.3+(66-1)·0.3=0.2\)		Entonces necesitamos agregar los primeros \(65\) elementos.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19.3)+(65-1)0.3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)		La respuesta está lista.

Respuesta: \(S_(65)=-630,5\).

Ejemplo (OGE). La progresión aritmética está especificada por las condiciones: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Encuentra la suma del elemento \(26\) al \(42\) inclusive.
Solución:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	En este problema también necesitas encontrar la suma de los elementos, pero comenzando no desde el primero, sino desde el \(26\). Para tal caso no tenemos una fórmula. ¿Cómo decidir? Es fácil: para obtener la suma del \(26\)ésimo al \(42\)ésimo, primero debes encontrar la suma del \(1\)ésimo al \(42\)ésimo y luego restar de ahí la suma del primero al \(25\)ésimo (ver imagen).
	Para nuestra progresión \(a_1=-33\), y la diferencia \(d=4\) (después de todo, sumamos los cuatro al elemento anterior para encontrar el siguiente). Sabiendo esto, encontramos la suma de los primeros elementos \(42\)-y.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Ahora la suma de los primeros \(25\) elementos.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Y finalmente calculamos la respuesta.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Respuesta: \(S=1683\).

Para la progresión aritmética, existen varias fórmulas más que no consideramos en este artículo debido a su baja utilidad práctica. Sin embargo, puedes encontrarlos fácilmente.

Primer nivel

Progresión aritmética. Teoría detallada con ejemplos (2019)

secuencia numérica

Entonces, sentémonos y comencemos a escribir algunos números. Por ejemplo:
Puede escribir cualquier número y puede haber tantos como desee (en nuestro caso, los hay). No importa cuántos números escribamos, siempre podremos decir cuál es el primero, cuál el segundo, y así hasta el último, es decir, podemos numerarlos. Este es un ejemplo de una secuencia numérica:

secuencia numérica
Por ejemplo, para nuestra secuencia:

El número asignado es específico de un solo número de la secuencia. En otras palabras, no hay tres segundos números en la secuencia. El segundo número (como el décimo número) es siempre el mismo.
El número con número se llama décimo término de la secuencia.

Por lo general, llamamos a toda la secuencia con alguna letra (por ejemplo), y cada miembro de esta secuencia es la misma letra con un índice igual al número de este miembro: .

En nuestro caso:

Digamos que tenemos una secuencia numérica en la que la diferencia entre números adyacentes es la misma e igual.
Por ejemplo:

etc.
Esta secuencia numérica se llama progresión aritmética.
El término "progresión" fue introducido por el autor romano Boecio en el siglo VI y se entendió en un sentido más amplio como una secuencia numérica infinita. El nombre "aritmética" proviene de la teoría de las proporciones continuas, que fue estudiada por los antiguos griegos.

Esta es una secuencia numérica, cada miembro de la cual es igual al anterior sumado al mismo número. Este número se llama diferencia de una progresión aritmética y se designa.

Intente determinar qué secuencias numéricas son una progresión aritmética y cuáles no:

a)
b)
C)
d)

¿Entiendo? Comparemos nuestras respuestas:
Es progresión aritmética - b, c.
No es progresión aritmética - a, d.

Volvamos a la progresión dada () e intentemos encontrar el valor de su enésimo término. existe dos manera de encontrarlo.

1. Método

Podemos sumar el número de progresión al valor anterior hasta llegar al décimo término de la progresión. Es bueno que no tengamos mucho que resumir: sólo tres valores:

Entonces, el término de la progresión aritmética descrita es igual a.

2. Método

¿Qué pasaría si necesitáramos encontrar el valor del enésimo término de la progresión? La suma nos llevaría más de una hora, y no es un hecho que no cometeremos errores al sumar números.
Por supuesto, los matemáticos han ideado una forma en la que no es necesario sumar la diferencia de una progresión aritmética al valor anterior. Eche un vistazo más de cerca a la imagen dibujada... Seguramente ya habrás notado cierto patrón, a saber:

Por ejemplo, veamos en qué consiste el valor del término enésimo de esta progresión aritmética:


En otras palabras:

Intente encontrar usted mismo el valor de un miembro de una progresión aritmética determinada de esta manera.

¿Calculaste? Compara tus notas con la respuesta:

Tenga en cuenta que obtuvo exactamente el mismo número que en el método anterior, cuando sumamos secuencialmente los términos de la progresión aritmética al valor anterior.
Intentemos “despersonalizar” esta fórmula; pongámosla en práctica. forma general y obtenemos:

Ecuación de progresión aritmética.

Las progresiones aritméticas pueden ser crecientes o decrecientes.

Creciente- progresiones en las que cada valor posterior de los términos es mayor que el anterior.
Por ejemplo:

Descendente- progresiones en las que cada valor posterior de los términos es menor que el anterior.
Por ejemplo:

La fórmula derivada se utiliza en el cálculo de términos tanto crecientes como decrecientes de una progresión aritmética.
Comprobemos esto en la práctica.
Se nos da una progresión aritmética que consta de los siguientes números: Comprobemos cuál será el enésimo número de esta progresión aritmética si usamos nuestra fórmula para calcularlo:

Desde entonces:

Por tanto, estamos convencidos de que la fórmula opera tanto en progresión aritmética decreciente como creciente.
Intenta encontrar tú mismo los términos enésimo y enésimo de esta progresión aritmética.

Comparemos los resultados:

Propiedad de progresión aritmética

Compliquemos el problema: derivaremos la propiedad de la progresión aritmética.
Digamos que se nos da la siguiente condición:
- progresión aritmética, encuentra el valor.
Fácil, dices y empiezas a contar según la fórmula que ya conoces:

Vamos, ah, entonces:

Absolutamente correcto. Resulta que primero encontramos, luego lo sumamos al primer número y obtenemos lo que estamos buscando. Si la progresión está representada por valores pequeños, entonces no tiene nada de complicado, pero ¿qué pasa si nos dan números en la condición? De acuerdo, existe la posibilidad de cometer un error en los cálculos.
Ahora piense si es posible resolver este problema en un solo paso usando alguna fórmula. Por supuesto que sí, y eso es lo que intentaremos sacar a la luz ahora.

Denotemos el término requerido de la progresión aritmética como, conocemos la fórmula para encontrarlo; esta es la misma fórmula que derivamos al principio:
, Entonces:

• el término anterior de la progresión es:
• el siguiente término de la progresión es:

Resumamos los términos anteriores y posteriores de la progresión:

Resulta que la suma de los términos de progresión anterior y posterior es el valor doble del término de progresión ubicado entre ellos. En otras palabras, para encontrar el valor de un término de progresión con valores anteriores y sucesivos conocidos, es necesario sumarlos y dividirlos por.

Así es, tenemos el mismo número. Aseguremos el material. Calcula tú mismo el valor de la progresión, no es nada difícil.

¡Bien hecho! ¡Sabes casi todo sobre la progresión! Sólo queda descubrir una fórmula que, según la leyenda, fue fácilmente deducida por uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos, el “rey de los matemáticos”: Karl Gauss...

Cuando Carl Gauss tenía 9 años, un profesor, ocupado comprobando el trabajo de los alumnos de otras clases, asignó en clase la siguiente tarea: "Calcular la suma de todos los números naturales desde hasta (según otras fuentes hasta) inclusive". Imagínese la sorpresa del profesor cuando uno de sus alumnos (este era Karl Gauss) un minuto después dio la respuesta correcta a la tarea, mientras que la mayoría de los compañeros del temerario, después de largos cálculos, recibieron el resultado equivocado...

El joven Carl Gauss notó un cierto patrón que usted también puede notar fácilmente.
Digamos que tenemos una progresión aritmética que consta de -ésimos términos: Necesitamos encontrar la suma de estos términos de la progresión aritmética. Por supuesto, podemos sumar manualmente todos los valores, pero ¿qué pasa si la tarea requiere encontrar la suma de sus términos, como buscaba Gauss?

Representemos la progresión que se nos ha dado. Mire más de cerca los números resaltados e intente realizar varias operaciones matemáticas con ellos.


¿Lo has probado? ¿Qué notaste? ¡Bien! sus sumas son iguales

Ahora dime, ¿cuántos pares de este tipo hay en total en la progresión que se nos ha dado? Por supuesto, exactamente la mitad de todos los números, es decir.
Partiendo de que la suma de dos términos de una progresión aritmética es igual y los pares semejantes son iguales, obtenemos que la suma total es igual a:
.
Así, la fórmula para la suma de los primeros términos de cualquier progresión aritmética será:

En algunos problemas no conocemos el término décimo, pero conocemos la diferencia de la progresión. Intente sustituir la fórmula del enésimo término en la fórmula de la suma.
¿Qué obtuviste?

¡Bien hecho! Ahora volvamos al problema que le plantearon a Carl Gauss: calcula por ti mismo a qué es igual la suma de los números a partir del ésimo y la suma de los números a partir del ésimo.

¿Cuanto conseguiste?
Gauss encontró que la suma de los términos es igual, y la suma de los términos. ¿Es eso lo que decidiste?

De hecho, la fórmula para la suma de los términos de una progresión aritmética fue probada por el antiguo científico griego Diofanto en el siglo III, y durante todo este tiempo, personas ingeniosas aprovecharon al máximo las propiedades de la progresión aritmética.
Por ejemplo, imagina Antiguo Egipto y el proyecto de construcción más grande de esa época: la construcción de una pirámide... La imagen muestra un lado.

¿Dónde está la progresión aquí, dices? Mire con atención y encuentre un patrón en la cantidad de bloques de arena en cada fila de la pared de la pirámide.


¿Por qué no una progresión aritmética? Calcule cuántos bloques se necesitan para construir una pared si se colocan bloques de ladrillos en la base. Espero que no cuentes mientras mueves el dedo por el monitor, ¿recuerdas la última fórmula y todo lo que dijimos sobre la progresión aritmética?

EN en este caso La progresión se ve así: .
Diferencia de progresión aritmética.
El número de términos de una progresión aritmética.
Sustituyamos nuestros datos en las últimas fórmulas (calculemos el número de bloques de 2 formas).

Método 1.

Método 2.

Y ahora puedes calcular en el monitor: compara los valores obtenidos con la cantidad de bloques que hay en nuestra pirámide. ¿Entiendo? Bien hecho, dominas la suma de los enésimos términos de una progresión aritmética.
Por supuesto, no se puede construir una pirámide a partir de bloques en la base, pero ¿desde? Intente calcular cuántos ladrillos de arena se necesitan para construir un muro con esta condición.
¿Lograste?
La respuesta correcta es bloques:

Capacitación

Tareas:

1. Masha se está poniendo en forma para el verano. Cada día aumenta el número de sentadillas. ¿Cuántas veces Masha hará sentadillas en una semana si las hizo en la primera sesión de entrenamiento?
2. ¿Cuál es la suma de todos los números impares que contiene?
3. Al almacenar troncos, los registradores los apilan de tal manera que cada capa superior contiene un registro menos que el anterior. ¿Cuántos troncos hay en una mampostería, si la base de la mampostería son troncos?

Respuestas:

1. Definamos los parámetros de la progresión aritmética. En este caso
   (semanas = días).

   Respuesta: En dos semanas, Masha debería hacer sentadillas una vez al día.

2. Primer número impar, último número.
   Diferencia de progresión aritmética.
   El número de números impares es la mitad, sin embargo, verifiquemos este hecho usando la fórmula para encontrar el término enésimo de una progresión aritmética:

   Los números contienen números impares.
   Sustituyamos los datos disponibles en la fórmula:

   Respuesta: La suma de todos los números impares contenidos en es igual.

3. Recordemos el problema de las pirámides. Para nuestro caso, a , dado que cada capa superior se reduce en un registro, entonces en total hay un montón de capas, es decir.
   Sustituyamos los datos en la fórmula:

   Respuesta: Hay troncos en la mampostería.

resumámoslo

1. - una secuencia numérica en la que la diferencia entre números adyacentes es la misma e igual. Puede ser creciente o decreciente.
2. Encontrar fórmula El décimo término de una progresión aritmética se escribe mediante la fórmula - , donde es el número de números en la progresión.
3. Propiedad de los miembros de una progresión aritmética.- - donde está el número de números en progresión.
4. La suma de los términos de una progresión aritmética. se puede encontrar de dos maneras:
   
   , donde está el número de valores.

PROGRESIÓN ARITMÉTICA. NIVEL PROMEDIO

secuencia numérica

Sentémonos y comencemos a escribir algunos números. Por ejemplo:

Puede escribir cualquier número y puede haber tantos como desee. Pero siempre podemos decir cuál es primero, cuál es segundo, y así sucesivamente, es decir, podemos numerarlos. Este es un ejemplo de una secuencia numérica.

secuencia numérica es un conjunto de números, a cada uno de los cuales se le puede asignar un número único.

Es decir, a cada número se le puede asociar un número natural determinado, y uno único. Y no asignaremos este número a ningún otro número de este conjunto.

El número con número se llama el ésimo miembro de la secuencia.

Por lo general, llamamos a toda la secuencia con alguna letra (por ejemplo), y cada miembro de esta secuencia es la misma letra con un índice igual al número de este miembro: .

Es muy conveniente que el enésimo término de la secuencia pueda especificarse mediante alguna fórmula. Por ejemplo, la fórmula

establece la secuencia:

Y la fórmula es la siguiente secuencia:

Por ejemplo, una progresión aritmética es una secuencia (el primer término aquí es igual y la diferencia es). O (, diferencia).

fórmula del enésimo término

Llamamos recurrente a una fórmula en la que, para conocer el décimo término, es necesario conocer el anterior o varios anteriores:

Para encontrar, por ejemplo, el término enésimo de la progresión usando esta fórmula, tendremos que calcular los nueve anteriores. Por ejemplo, déjalo. Entonces:

Bueno, ¿está claro ahora cuál es la fórmula?

En cada línea sumamos, multiplicamos por algún número. ¿Cuál? Muy simple: este es el número del miembro actual menos:

Mucho más conveniente ahora, ¿verdad? Verificamos:

Decide por ti mismo:

En una progresión aritmética, encuentra la fórmula para el enésimo término y encuentra el centésimo término.

Solución:

El primer término es igual. ¿Cuál es la diferencia? Esto es lo que:

(Por eso se llama diferencia porque es igual a la diferencia de términos sucesivos de la progresión).

Entonces, la fórmula:

Entonces el centésimo término es igual a:

¿Cuál es la suma de todos los números naturales desde hasta?

De acuerdo con la leyenda, gran matemático Karl Gauss, cuando tenía 9 años, calculó esta cantidad en pocos minutos. Se dio cuenta de que la suma del primer y el último número es igual, la suma del segundo y el penúltimo es la misma, la suma del tercero y el tercero desde el final es la misma, y ​​así sucesivamente. ¿Cuántos pares de este tipo hay en total? Así es, exactamente la mitad de todos los números, es decir. Entonces,

La fórmula general para la suma de los primeros términos de cualquier progresión aritmética será:

Ejemplo:
Encuentra la suma de todos los múltiplos de dos dígitos.

Solución:

El primero de esos números es este. Cada número subsiguiente se obtiene sumando al número anterior. Así, los números que nos interesan forman una progresión aritmética con el primer término y la diferencia.

Fórmula del décimo término de esta progresión:

¿Cuántos términos hay en la progresión si todos tienen que ser de dos dígitos?

Muy fácil: .

El último término de la progresión será igual. Entonces la suma:

Respuesta: .

Ahora decide por ti mismo:

1. Cada día el deportista corre más metros que el día anterior. ¿Cuántos kilómetros totales correrá en una semana si corrió km m el primer día?
2. Un ciclista recorre cada día más kilómetros que el día anterior. El primer día recorrió el km. ¿Cuántos días necesita viajar para recorrer un kilómetro? ¿Cuántos kilómetros recorrerá durante el último día de su viaje?
3. El precio de un frigorífico en una tienda disminuye en la misma cantidad cada año. Determine cuánto disminuyó el precio de un refrigerador cada año si, puesto a la venta por rublos, seis años después se vendió por rublos.

Respuestas:

1. Lo más importante aquí es reconocer la progresión aritmética y determinar sus parámetros. En este caso, (semanas = días). Debes determinar la suma de los primeros términos de esta progresión:
   .
   Respuesta:
2. Aquí se da: , debe ser encontrado.
   Obviamente, necesitas usar la misma fórmula de suma que en el problema anterior:
   .
   Sustituye los valores:

   La raíz obviamente no encaja, entonces la respuesta es.
   Calculemos el camino recorrido durante el último día usando la fórmula del décimo término:
   (kilómetros).
   Respuesta:

3. Dado: . Encontrar: .
   No podría ser más sencillo:
   (frotar).
   Respuesta:

PROGRESIÓN ARITMÉTICA. BREVEMENTE SOBRE LAS COSAS PRINCIPALES

Esta es una secuencia numérica en la que la diferencia entre números adyacentes es la misma e igual.

La progresión aritmética puede ser creciente () y decreciente ().

Por ejemplo:

Fórmula para encontrar el enésimo término de una progresión aritmética

está escrito por la fórmula, donde es el número de números en progresión.

Propiedad de los miembros de una progresión aritmética.

Le permite encontrar fácilmente un término de una progresión si se conocen sus términos vecinos: ¿dónde está el número de números en la progresión?

Suma de términos de una progresión aritmética

Hay dos formas de encontrar la cantidad:

¿Dónde está el número de valores?

¿Dónde está el número de valores?

El lema de nuestra lección serán las palabras del matemático ruso V.P. Ermakova: “En matemáticas no hay que recordar fórmulas, sino procesos de pensamiento”.

durante las clases

Formulación del problema

En el tablero hay un retrato de Gauss. Un maestro o estudiante a quien se le encomendó la tarea de preparar un mensaje con anticipación dice que cuando Gauss estaba en la escuela, el maestro pidió a los estudiantes que sumaran todos números enteros del 1 al 100. El pequeño Gauss resolvió este problema en un minuto.

Pregunta . ¿Cómo obtuvo Gauss la respuesta?

Encontrar soluciones

Los estudiantes expresan sus suposiciones, luego resumen: se dan cuenta de que las sumas son 1 + 100, 2 + 99, etc. son iguales, Gauss multiplicó 101 por 50, es decir, por el número de dichas sumas. En otras palabras, notó un patrón inherente a la progresión aritmética.

Derivación de la fórmula de la suma norte primeros términos de una progresión aritmética

Escriba el tema de la lección en la pizarra y en sus cuadernos. Los alumnos junto con el profesor anotan la conclusión de la fórmula:

Dejar a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 4 ; ...; un – 2 ; un – 1 ; un- progresión aritmética.

Consolidación primaria

1. Usando la fórmula (1), resolvemos el problema de Gauss:

2. Usando la fórmula (1), resuelva los problemas oralmente (sus condiciones están escritas en la pizarra o en un código positivo), ( un) - progresión aritmética:

A) a 1 = 2, a 10 = 20. S 10 - ?

b) a 1 = –5, a 7 = 1. S 7 - ? [–14]

V) a 1 = –2, a 6 = –17. S 6 - ? [–57]

GRAMO) a 1 = –5, a 11 = 5. S 11 - ?

3. Completa la tarea.

Dado: ( un) - progresión aritmética;

a 1 = 3, a 60 = 57.

Encontrar: S 60 .

Solución. Usemos la fórmula de la suma. norte primeros términos de una progresión aritmética

Respuesta: 1800.

Pregunta adicional.¿Cuántos tipos de problemas diferentes se pueden resolver usando esta fórmula?

Respuesta. Cuatro tipos de tareas:

Encuentra la cantidad sn;

Encuentra el primer término de una progresión aritmética. a 1 ;

Encontrar norteésimo término de una progresión aritmética un;

Encuentra el número de términos de una progresión aritmética.

4. Tarea completa: No. 369(b).

Encuentra la suma de los primeros sesenta términos de la progresión aritmética ( un), Si a 1 = –10,5, a 60 = 51,5.

Solución.

Respuesta: 1230.

Pregunta adicional. Escribe la fórmula norteésimo término de una progresión aritmética.

Respuesta: un = a 1 + d(norte – 1).

5. Calcula la fórmula para los primeros nueve términos de la progresión aritmética ( bn),
Si b 1 = –17, d = 6.

¿Es posible calcular inmediatamente usando una fórmula?

No, porque se desconoce el noveno término.

¿Cómo encontrarlo?

Según la fórmula norteésimo término de una progresión aritmética.

Solución. b 9 = b 1 + 8d = –17 + 8∙6 = 31;

Respuesta: 63.

Pregunta. ¿Es posible encontrar la suma sin calcular el noveno término de la progresión?

Formulación del problema

Problema: obtener la fórmula de la suma norte primeros términos de una progresión aritmética, conociendo su primer término y diferencia d.

(Deducir una fórmula en la pizarra por un estudiante.)

Resolvamos el número 371(a) usando la nueva fórmula (2):

Establezcamos verbalmente las fórmulas (2) ( las condiciones de las tareas están escritas en la pizarra).

(un

1. a 1 = 3, d = 4. S 4 - ?

2. a 1 = 2, d = –5. S 3 - ? [–9]

Descubra con los estudiantes qué preguntas no están claras.

Trabajo independiente

Opción 1

Dado: (un) - progresión aritmética.

1. a 1 = –3, a 6 = 21. S 6 - ?

2. a 1 = 6, d = –3. S 4 - ?

opcion 2

Dado: (un) - progresión aritmética.

1.a 1 = 2, a 8 = –23. S 8 - ? [–84]

2.a 1 = –7, d = 4. S 5 - ?

Los estudiantes intercambian cuadernos y comprueban las soluciones de los demás.

Resumir el aprendizaje del material en base a los resultados del trabajo independiente.