Тригонометрия. Гельфанд И.М., Львовский С.М., Тоом А.Л.

М.: 2003. - 200 с.

Допущено Министерством образования Российской Федерации в качестве учебного пособия по тригонометрии для учащихся 10 классов общеобразовательных учреждений.

Отдельная глава посвящена типичным приемам решения тригонометрических задач, предлагаемых на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения.

Книга будет незаменимым помощником для школьников старших классов, преподавателей, родителей и всех, интересующихся математикой.

Формат: pdf / zip

Размер: 9 30 Кб

/ Download файл

Оглавление
1. Первое знакомство с тригонометрией 7
§ 1. Как измерить крутизну 7
1.1. Синус 7
1.2. Измерение углов 9
§ 2. Тангенс 11
§ 3. Косинус 13
§ 4. Малые углы 16
2. Начальные свойства тригонометрических функций 21
§ 5. Часы, или современный взгляд на тригонометрию. 21
5.1. Часы и процессы 21
5.2. Скорость 24
§ 6. Определение тригонометрических функций 26
6.1. Ось тангенсов 31
6.2. Знаки тригонометрических функций 32
§ 7. Простейшие формулы 34
§ 8. Периоды тригонометрических функций 36
§ 9. Формулы приведения 40
§ 10. Простейшие тригонометрические уравнения.... 45
§ 11. Графики синуса и косинуса 55
§ 12. Графики тангенса и котангенса 62
§ 13. Чему равно sin x + cos x 65
3. Решение треугольников 67
§ 14. Теорема косинусов 67
§ 15. Вокруг площади треугольника 71
§ 16. Теорема синусов 76
4. Формулы сложения и их следствия 81
§ 17. Векторы 81
17.1. Направленные отрезки и векторы 81
17.2. Сложение векторов 87
17.3. Вычитание и умножение на число 90
17.4. О векторах в физике 94
§ 18. Скалярное произведение 95
§ 19. Тригонометрические формулы сложения 99
§ 20. Формула вспомогательного угла, или сложение колебаний равной частоты 105
§ 21. Двойные, тройные и половинные углы 111
§ 22. Преобразование произведения в сумму и суммы в произведение 118
§ 23. Производные тригонометрических функций.... 126
5. Тригонометрия для абитуриентов 137
§ 24. Как решать тригонометрические уравнения.... 137
§ 25. Отбор чисел на тригонометрическом круге 151
§ 26. Как решать тригонометрические неравенства. . . 159
§ 27. Задачи на повторение 165
6. Комплексные числа 168
§ 28. Что такое комплексные числа 168
§ 29. Модуль и аргумент комплексного числа 173
§ 30. Показательная функция и формула Эйлера 182
Ответы и указания к некоторым задачам 189
Предметный указатель 196

Данное учебное пособие соответствует главе V «Тригонометрические выражения и их преобразования» из учебника «Алгебра, 9» тех же авторов предыдущих годов издания.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИНУСА, КОСИНУСА, ТАНГЕНСА И КОТАНГЕНСА.

Отметим на оси х справа от начала координат точку А и проведем через нее окружность с центром в точке О (рис. 1). Радиус ОА будем называть начальным радиусом.

Повернем начальный радиус около точки О на 70° против часовой стрелки. При этом он перейдет в радиус ОВ. Говорят, что угол поворота равен 70°. Если повернуть начальный радиус около точки О на 70° по часовой стрелке, то он перейдет в радиус ОС. В этом случае говорят, что угол поворота равен -70°. Углы поворота в 70° и -70° показаны стрелками на рисунке 64.
Вообще при повороте против часовой стрелки угол поворота считают положительным, а при повороте по часовой стрелке - отрицательным.

Из курса геометрии известно, что мера угла в градусах выражается числом от 0 до 180. Что касается угла поворота, то он может выражаться в градусах каким угодно действительным числом от -∞ до +∞. Так, если начальный радиус повернуть против часовой стрелки на 180°, а потом еще на 30°, то угол поворота будет равен 210°. Если начальный радиус сделает полный оборот против часовой стрелки, то угол поворота будет равен 360°; если он сделает полтора оборота в том же направлении, то угол поворота будет равен 540° и т. д. На рисунке 2 стрелками показаны углы поворота в 405° и -200°.

§1. Тригонометрические функции любого угла
1. Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса
2. Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса
3. Радианная мера угла. Вычисление значений тригонометрических функций с помощью микрокалькулятора
§2. Основные тригонометрические формулы
4. Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла
5. Применение основных тригонометрических формул к преобразованию выражений
6. Формулы приведения
§3. Формулы сложения и их следствия
7. Формулы сложения
8. Формулы двойного угла
9. Формулы суммы и разности тригонометрических функций
Дополнительные упражнения
Ответы.

1. Первое знакомство с тригонометрией
? 1. Как измерить крутизну
1.1. Синус
1.2. Измерение углов
? 2. Тангенс
? 3. Косинус
? 4. Малые углы

2. Начальные свойства тригонометрических функций
? 5. Часы, или современный взгляд на тригонометрию
5.1. Часы и процессы
5.2. Скорость
? 6. Определение тригонометрических функций
6.1. Ось тангенсов
6.2. Знаки тригонометрических функций
? 7. Простейшие формулы
? 8. Периоды тригонометрических функций
? 9. Формулы приведения
? 10. Простейшие тригонометрические уравнения
? 11. Графики синуса и косинуса
? 12. Графики тангенса и котангенса
? 13. Чему равно sin x + cos x?

3. Решение треугольников
? 14. Теорема косинусов
? 15. Вокруг площади треугольника
? 16. Теорема синусов

4. Формулы сложения и их следствия
? 17. Векторы
17.1. Направленные отрезки и векторы
17.2. Сложение векторов
17.3. Вычитание и умножение на число
17.4. О векторах в физике
? 18. Скалярное произведение
? 19. Тригонометрические формулы сложения
? 20. Формула вспомогательного угла, или сложение колебаний равной частоты
? 21. Двойные, тройные и половинные углы
? 22. Преобразование произведения в сумму и суммы в произведение
? 23. Производные тригонометрических функций

5. Тригонометрия для абитуриентов
? 24. Как решать тригонометрические уравнения
? 25. Отбор чисел на тригонометрическом круге
? 26. Как решать тригонометрические неравенства
? 27. Задачи на повторение

6. Комплексные числа
? 28. Что такое комплексные числа
? 29. Модуль и аргумент комплексного числа
? 30. Показательная функция и формула Эйлера

Ответы и указания к некоторым задачам

Предметный указатель

Загрузить (Mb)
djvu (-)	pdf (1.74)	ps (-)	html (-)	tex (-)

- -
Обычно, когда хотят кого-то напугать СТРАШНОЙ МАТЕМАТИКОЙ в пример приводят всякие синусы и косинусы, как нечто очень сложное и гадкое. Но на самом деле - это красивый и интересный раздел, который можно понимать и решать.
Тему начинают проходить в 9 классе и не всегда всё ясно с первого раза, много тонкостей и хитростей. Я попытался рассказать что-то по теме.

Введение в мир тригонометрии:
Прежде чем кидаться с головой в формулы, нужно понять из геометрии, что такое синус, косинус и тд.
Синус угла - отношение противолежащей (углу) стороны к гипотенузе.
Косинус - отношение прилежащей к гипотенузе.
Тангенс - противолежащей стороны в прилежащей стороне
Котангенс - прилежащей к противолежащей.

Теперь рассмотрим окружность единичного радиуса на координатной плоскости и отметим на нем какой-то угол альфа: (картинки кликабельны, по крайней мере некоторые)
-
-
Тонкие красные линии - перпендикуляр из точки пересечения окружности и прямой угла на оси ох и оу. Красные х и у - значение координаты х и у на осях (серые х и у просто для того, чтобы указать, что это оси координат, а не просто линии).
Надо отметить, что углы считаются от положительного направления оси ох против часовой стрелки.
Найдем для него синус, косинус и тд.
sin a: противолежащая сторона равна у, гипотенуза равна 1.
sin a = y / 1 = y
Чтобы было совсем понятно, откуда я беру у и 1, для наглядности расставим буквы и рассмотрим треугольники.
- -
AF = AE = 1 - радиус окружности.
Следовательно и AB = 1, как радиус. AB - гипотенуза.
BD = CA = y - как значение по оу.
AD = CB = x - как значение по ох.
sin a = BD / AB = y / 1 = y
Далее косинус:
cos a: прилежащая сторона - AD = х
cos a = AD / AB = x / 1 = x

Так же выводим тангенс и котангенс .
tg a = y / x = sin a / cos a
ctg a = x / y = cos a / sin a
Уже внезапно мы вывели формулу тангенса и котангенса.

Ну давайте с конкретными углами рассмотрим как решается.
Например, а = 45 градусов.
Получаем прямоугольный треугольник в одним углом 45 градусов. Кому-то сразу ясно, что это разнобедренный треугольник, но всё равно распишу.
Найдем третий угол треугольника (первый 90, второй 5): b = 180 - 90 - 45 = 45
Если два угла равны, то и стороны при них равны, вроде так это звучало.
Итак, получается как будто, если сложить два таких треугольника друг на друга, мы получим квадрат с диагональю равной радиусу = 1. По теореме пифагора мы знаем, что диагональ квадрата со стороной а равна а корней из двух.
Теперь думаем. Если 1 (гипотенуза ака диагональ) равна стороне квадрата умноженной на корень из двух, тогда сторона квадрата должна быть равна 1/sqrt(2), а если домножить числитель и знаменатель этой дроби на корень из двух, то получим sqrt(2)/2. А так как треугольник равнобедренный, то AD = AC => x = y
Находим наши тригонометрические функции:
sin 45 = sqrt(2)/2 / 1 = sqrt(2)/2
cos 45 = sqrt(2)/2 / 1 = sqrt(2)/2
tg 45 = sqrt(2)/2 / sqrt(2)/2 = 1
ctg 45 = sqrt(2)/2 / sqrt(2)/2 = 1
С остальными значениями углов работать надо так же. Только треугольники будут не равнобедренные, но стороны находятся так же легко по теореме Пифагора.
Таким макаром мы получаем таблицу значений тригонометрических функций от разных углов:
-
-
Притом эта таблица читерская и очень удобная.
Как ее составить самому без лишних хлопот: рисуешь такую таблицу и пишешь в клеточках цифры 1 2 3.
-
-
Теперь из этих 1 2 3 извлекаешь корень и делишь на 2. Получается вот так:
-
-
Теперь отчеркиваем синус и пишем косинус. Его значения - зеркально отраженный синус:
-
-
Тангенс вывести так же легко - надо разделить значение строки синуса, на значение строки косинуса:
-
-
Значение котангенса - это перевернутое значение тангенса. В итоге получаем вот такую штуку:
- -

Обратите внимание , что тангенс не существует в П/2, например. Подумайте почему. (На ноль делить нельзя.)

Что тут нужно запомнить: синус - это значение у, косинус - значение х. Тангенс - это отношение у к х, а котангенс - наоборот. так что, чтобы определять значения синусов/косинусов достаточно нарисовать табличку, которую я выше рассказал и круг с осями координат (по ней удобно смотреть значения при углах 0, 90, 180, 360).
- -

Ну и я надеюсь, что вы умеете различать четверти :
- -
От того, в какой четверти находится угол, зависит знак его синуса, косинуса и тд. Хотя, абсолютно примитивные логически размышления выведут вас на верный ответ, если вы будете учитывать, что во второй и третьей четверти х отрицателен, а у отрицателен в третьей и четвертой. Ничего страшного и пугающего.

Думаю будет не лишним упомянуть и формулы приведения аля привидения, как всем слышится, что имеет и толику правды. Формул как таковых не имеется, за ненужностью. Сам смысл всего этого действа: Мы легко находим значения углов только для первой четверти (30 градусов, 45, 60). Тригонометрические функции периодичны, поэтому мы можем любой большой угол перетащить в первую четверть. Тогда мы сразу найдем ее значение. Но просто перетащить мало - нужно не забыть про знак. Вот для этого и есть формулы приведения.
Итак, мы имеем большой угол, а точнее больше 90 градусов: а = 120. И нужно найти его синус и косинус. Для этого мы разложим 120 на такие углы, с которыми можно работать:
sin a = sin 120 = sin (90 + 30)
Видим, что этот угол лежит во второй четверти, синус там положительный, следовательно знак + перед синусом сохраняется.
Чтобы избавиться от 90 градусов, мы меняем синус на косинус. Ну это такое правило, надо запомнить:
sin (90 + 30) = cos 30 = sqrt(3) / 2
А можно представить и по-другому:
sin 120 = sin (180 - 60)
Чтобы избавиться от 180 градусов мы функцию не меняем.
sin (180 - 60) = sin 60 = sqrt(3) / 2
Получили то же значение, значит всё верно. Теперь косинус:
cos 120 = cos (90 + 30)
Косинус во второй четверти отрицателен, значит ставим знак минус. И меняем функцию на противоположную, так как надо убрать 90 градусов.
cos (90 + 30) = - sin 30 = - 1 / 2
Или:
cos 120 = cos (180 - 60) = - cos 60 = - 1 / 2

Что нужно знать, уметь и делать, чтобы переводить углы в первую четверть:
-разложить угол на удобоваримые слагаемые;
-учесть, в какой четверти находится угол, и поставить соответствующий знак, если функция в этой четверти отрицательна или положительна;
-избавиться от лишнего:
*если надо избавиться от 90, 270, 450 и остальные 90+180n, где n - любое целое число, то функция меняется на противоположную (синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот);
*если надо избавиться от 180 и остальных 180+180n, где n - любое целое число, то функция не меняется. (Тут есть одна фича, но объяснить словами ее трудно, ну и ладно).
Вот и всё. Я не считаю нужным запоминать сами формулы, когда можно запомнить пару правил и легко пользоваться ими. Кстати эти формулы очень легко доказываются:
-
-
А еще составляют громоздкие таблицы, то мы то знаем:
-
-

Основные уравнения тригонометрии: их нужно знать очень и очень хорошо, наизусть.
Основное тригонометрическое тождество (равенство):
sin^2(a) + cos^2(a) = 1
Не веришь - лучше проверь сам и убедись. Подставь значения разных углов.
Эта формула очень и очень полезная, всегда помните ее. с помощью нее можно выражать синус через косинус и наоборот, что иногда очень полезно. Но, как и с любой другой формулой, с ней нужно уметь обращаться. Всегда помните, что знак тригонометрической функции зависит от той четверти, в которой находится угол. Поэтому при извлечении корня нужно знать четверть .

Тангенс и котангенс: эти формулы мы уже вывели в самом начале.
tg a = sin a / cos a
ctg a = cos a / sin a

Произведение тангенса и котангенса:
tg a * ctg a = 1
Потому что:
tg a * ctg a = (sin a / cos a) * (cos a / sin a) = 1 - дроби сокращаются.

Как видите все формулы - это игра и комбинация.
Вот еще две, полученные из деления на косинус квадрат и синус квадрат первой формулы:
-
-
Обратите внимание, что две последние формулы можно использовать с ограничением значения угла а, так как делить на ноль нельзя.

Формулы сложения: доказываются с помощью векторной алгебры.
- -
Применяются редко, но метко. Формулы а скане есть, но может неразборчиво или цифровой вид воспринимается легче:
- -

Формулы двойного угла:
Их получают, опираясь на формулы сложения, например: косинус двойного угла - это cos 2a = cos (a + a) - ничего не напоминает? Просто бетту заменили альфой.
- -
Две последующие формулы выведены из первой подстановкой sin^2(a) = 1 - cos^2(a) и cos^2(a) = 1 - sin^2(a).
С синусом двойного угла проще и применяется он нааамного чаще:
- -
А особые извращенцы могут вывести тангенс и котангенс двойного угла, учитывая, что tg a = sin a / cos a и тд.
-
-

Для вышеупомянутых лиц Формулы тройного угла: выводятся они сложением углов 2а и а, так как формулы двойного угла мы уже знаем.
-
-

Формулы половинного угла:
- -
Как их выводят мне неизвестно, точнее как это объяснить... Если расписать эти формулы, подставляя основное тригонометрическое тождество с а/2, то ответ сойдется.

Формулы сложения и вычитая тригонометрических функций:
-
-
Получаются они из формул сложения, но всем пофиг. Встречаются не часто.

Как понимаете, так еще куучи формул, перечисление которых просто бессмысленно, потому что я не смогу что-то адекватное о них написать, а сухие формулы можно найти где угодно, и являют они собой игру с предыдущими имеющимися формулами. Всё жутко логично и точно. Расскажу только на последок о методе вспомогательного угла:
Преобразование выражения a cosx + b sinx к виду Acos(x+) или Asin(x+) называется методом введения вспомогательного угла (или дополнительного аргумента). Метод применяется при решении тригонометрических уравнений, при оценке значений функций, в задачах на экстремум, и что важно отметить, некоторые задачи не могут быть решены без введения вспомогательного угла.
Как ты я не пытался объяснить этот метод, ничего не вышло, так что придется самим:
-
-
Вещь страшная, но полезная. Если порешать задачи, должно получиться.
Отсюда например: mschool.kubsu.ru/cdo/shabitur/kniga/trigonom/metod/metod2/met2/met2.htm

Следующими по курсу идут графики тригонометрических функций. Но для одного урока хватит. Учитывая, что в школе это преподают по полгода.

Пишите свои вопросы, решайте задачи, просите сканы каких-нибудь заданий, разбирайтесь, пробуйте.
Всегда ваш, Дэн Фарадей.

Название: Тригонометрия. 2003.

Эта книга, написанная группой авторов под руководством одного из крупнейших математиков 20 века академика И. М. Гельфанда, призвана опровергнуть расхожее мнение о тригонометрии как скучном и непонятном разделе школьного курса математики. Читателю предлагается взглянуть на знакомый предмет по-новому. Изложение, сопровождающееся большим количеством задач, начинается «с нуля» и доходит до материала, выходящего довольно далеко за рамки школьной программы; тригонометрические формулы иллюстрируются примерами из физики и геометрии.
Отдельная глава посвящена типичным приемам решения тригонометрических задач, предлагаемых на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения.
Книга будет незаменимым помощником для школьников старших классов, преподавателей, родителей и всех, интересующихся математикой.

Что такое тригонометрия? Скучные и никому не нужные формулы скажут почти все старшеклассники. Тем не менее, мы хотим вас в этом разубедить.
Чтобы взглянуть на тригонометрию по-новому, мы рассказываем о ней «с нуля». Поэтому читать пособие лучше с самого начала и подряд, хотя кое-что вы. скорее всего, уже знаете.
Наши определения равносильны определениям из школьных учебников, но не всегда дословно с ними совпадают.
Не надо стремиться перерешать все задачи из книги (мы сознательно поместили их с запасом), но сколько-то задач после каждого параграфа порешать стоит. Если задачи к параграфу совсем не выходят, значит, что-то вы не усвоили, и есть смысл перечитать этот параграф.
Более трудные задачи отмечены звездочкой, более трудный текст напечатан мелким шрифтом. При первом чтении все это можно пропустить.

Оглавление
1. Первое знакомство с тригонометрией 7
§ 1. Как измерить крутизну 7
1.1. Синус 7
1.2. Измерение углов 9
§ 2. Тангенс 11
§ 3. Косинус 13
§ 4. Малые углы 16
2. Начальные свойства тригонометрических функций 21
§ 5. Часы, или современный взгляд на тригонометрию 21
5.1. Часы и процессы 21
5.2. Скорость 24
§ 6. Определение тригонометрических функций 26
6.1. Ось тангенсов 31
6.2. Знаки тригонометрических функций 32
§ 7. Простейшие формулы 34
§ 8. Периоды тригонометрических функций 36
§ 9. Формулы приведения 40
§ 10. Простейшие тригонометрические уравнения 45
§ 11. Графики синуса и косинуса 55
§ 12. Графики тангенса и котангенса 62
§ 13. Чему равно sin x + cos x 65
3. Решение треугольников 67
§ 14. Теорема косинусов 67
§ 15. Вокруг площади треугольника 71
§ 16. Теорема синусов 76
4. Формулы сложения и их следствия 81
§ 17. Векторы 81
17.1. Направленные отрезки и векторы 81
17.2. Сложение векторов 87
17.3. Вычитание и умножение на число 90
17.4. О векторах в физике 94
§ 18. Скалярное произведение 95
§ 19. Тригонометрические формулы сложения 99
§ 20. Формула вспомогательного угла, или сложение колебаний равной частоты 105
§ 21. Двойные, тройные и половинные углы 111
§ 22. Преобразование произведения в сумму и суммы в произведение 118
§ 23. Производные тригонометрических функций 126
5. Тригонометрия для абитуриентов 137
§ 24. Как решать тригонометрические уравнения 137
§ 25. Отбор чисел на тригонометрическом круге 151
§ 26. Как решать тригонометрические неравенства 159
§ 27. Задачи на повторение 165
6. Комплексные числа 168
§ 28. Что такое комплексные числа 168
§ 29. Модуль и аргумент комплексного числа 173
§ 30. Показательная функция и формула Эйлера 182
Ответы и указания к некоторым задачам 189
Предметный указатель 196

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Тригонометрия - Гельфанд И.М., Львовский С.М., Тоом А.Л. - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.