Числа. Действительные числа. Действительные числа, рациональные числа и иррациональные числа Действительные числа обозначение буквой

Числа – виды, понятия и операции, натуральные и другие виды чисел.

Число – фундаментальное понятие математики, служащее для определения количественной характеристики, нумерации, сравнения объектов и их частей. К числам применимы различные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и другие.

Числа, участвующие в операции, называются операндами. В зависимости от производимого действия, они получают различные наименования. В общем случае схему операции можно представить следующим образом: <операнд1> <знак операции> <операнд2> = <результат>.

В операции деления первый операнд называется делимым (так называется число, которое делят). Второй (на которое делят) – делитель, а результат – частное (оно показывает, во сколько раз делимое больше делителя).

Виды чисел

В операции деления могут участвовать различные числа. Результат деления может быть целым или дробным. В математике существуют следующие виды чисел:

Натуральные – числа, используемые при счёте. Среди них выделяется подмножество простых чисел, имеющих всего два делителя: единицу и самого себя. Все остальные, кроме 1, называются составными и имеют более двух делителей (примеры простых чисел: 2, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и т.д.);
Целые – множество, состоящее их отрицательных, положительных чисел и нуля. При делении одного целого числа на другое, частное может быть целым, либо вещественным (дробным). Среди них можно выделить подмножество совершенных чисел – равных сумме всех своих делителей (включая 1), кроме самого себя. Древним грекам было известно только четыре совершенных числа. Последовательность совершенных чисел: 6, 28, 496, 8128, 33550336… До сих пор не известно ни одного нечётного совершенного числа;
Рациональные – представимые в виде дроби a/b, где а – числитель, а b – знаменатель (частное таких чисел обычно не вычисляется);
Действительные (вещественные) – содержащие целую и дробную часть. Множество включает рациональные и иррациональные числа (представимые в виде непериодической бесконечной десятичной дроби). Частное таких чисел, как правило, представляет собой вещественное значение.

Существует несколько особенностей, связанных с выполнением арифметического действия – деления. Их понимание важно для получения правильного результата:

Делить на ноль нельзя (в математике данная операция не имеет смысла);
Целочисленное деление – операция, в результате которой вычисляется только целая часть (дробная при этом отбрасывается);
Вычисление остатка от целочисленного деления позволяет получить в качестве результата целое число, оставшееся после завершения операции (например, при делении 17 на 2 целая часть равна 8, остаток – 1).

Понятие действительного числа: действительное число - (вещественное число), всякое неотрицательное или отрицательное число либо нуль. С помощью действительных чисел выражают измерения каждой физической величины .

Вещественное , или действительное число возникло из необходимости измерений геометрической и физической величин мира. Кроме того, для проведения операций извлечения корня, вычисления логарифма, решения алгебраических уравнений и т.д.

Натуральные числа образовались с развитием счета, а рациональные с потребностью управлять частями целого, то вещественные числа (действительные) используются для измерений непрерывных величин. Т.о., расширение запаса чисел, которые рассматриваются, привело к множеству вещественных чисел, которое кроме рациональных чисел состоит из других элементов, называемых иррациональные числа .

Множество действительных чисел (обозначается R ) - это множества рациональных и иррациональных чисел собранные вместе.

Действительные числа делят на рациональные и иррациональные .

Множество вещественных чисел обозначают и зачастую называют вещественной или числовой прямой . Вещественные числа состоят из простых объектов: целых и рациональных чисел .

Число, которое возможно записать как отношение, где m - целое число, а n - натуральное число, является рациональным числом .

Всякое рациональное число легко представить как конечную дробь либо бесконечную периодическую десятичную дробь.

Пример ,

Бесконечная десятичная дробь , это десятичная дробь, у которой после запятой есть бесконечное число цифр.

Числа, которые нельзя представить в виде , являются иррациональными числами .

Пример:

Всякое иррациональное число легко представить как бесконечную непериодическую десятичную дробь.

Пример ,

Рациональные и иррациональные числа создают множество действительных чисел. Всем действительным числам соответствует одна точка координатной прямой, которая называется числовая прямая .

Для числовых множеств используются обозначения:

N - множество натуральных чисел;
Z - множество целых чисел;
Q - множество рациональных чисел;
R - множество действительных чисел.

Теория бесконечных десятичных дробей.

Вещественное число определяется как бесконечная десятичная дробь , т.е.:

±a 0 ,a 1 a 2 …a n …

где ± есть один из символов + или −, знак числа,

a 0 — целое положительное число,

a 1 ,a 2 ,…a n ,… — последовательность десятичных знаков, т.е. элементов числового множества {0,1,…9}.

Бесконечную десятичную дробь можно объяснить как число, которое на числовой прямой находится между рациональными точками типа:

±a 0 ,a 1 a 2 …a n и ±(a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n) для всех n=0,1,2,…

Сравнение вещественных чисел как бесконечных десятичных дробей происходит поразрядно. Например , предположим даны 2 положительны числа:

α =+a 0 ,a 1 a 2 …a n …

β =+b 0 ,b 1 b 2 …b n …

Если a 0 0, то α<β ; если a 0 >b 0 то α>β . Когда a 0 =b 0 переходим к сравнению следующего разряда. И т.д. Когда α≠β , значит после конечного количества шагов встретится первый разряд n , такой что a n ≠b n . Если a n n , то α<β ; если a n >b n то α>β .

Но при этом нудно обратить внимание на то, что число a 0 ,a 1 a 2 …a n (9)=a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n . Поэтому если запись одного из сравниваемых чисел, начиная с некоторого разряда это периодическая десятичная дробь, у которой в периоде стоит 9, то её нужно заменить на эквивалентную запись, с нулем в периоде.

Арифметические операции с бесконечными десятичными дробями это непрерывное продолжение соответствующих операций с рациональными числами. Например , суммой вещественных чисел α и β является вещественное число α+β , которое удовлетворяет таким условиям:

∀ a′,a′′,b′,b′′ ∈ Q(a′ ⩽ α ⩽ a′′) ∧ (b′ ⩽ β ⩽ b′′) ⇒ (a′+b′ ⩽ α + β ⩽ a′′+b′′)

Аналогично определяет операция умножения бесконечных десятичных дробей.

Рисунок 3 Организационная диаграмма

Добавление организационной диаграммы выполнено с помощью кнопки Добавить диаграмму или организационную диаграмму, в её блоках заменён исходный тест, после чего весь объект сжат по вертикали.

1.1 Программа WordArt

Программа предназначена для ввода в документ художественных надписей, их редактирования, размещения в тексте и др.

Вставка объекта выполняется следующим образом:

сделать щелчок левой мышью по клавише Добавить объект Word Art , выбрать вид надписи, нажать клавишу ОК;

в появившемся окне Изменение текста WordArt задать тип шрифта, его размер и начертание (полужирный, курсив), ввести текст и нажать клавишу ОК .

появится панель WordArt , имеющая вид (рис. 4):

Рисунок 4 Панель инструментов WordArt

Панель содержит кнопки: Добавить объект WordArt ,Изменить текст…, Коллекция WordArt , Формат объекта WordArt (цвета и линии, размер, положение на экране, обтекание, рисунок, надпись), Меню Текст-Фигура (формы надписей), Вертикальный текст и др.

Размеры текста можно изменить с помощью белых кружков контура выделения. Перемещение текста выполняется мышью, при этом нужно ухватить текст за его середину или линию контура выделения. Вращение объекта выполняется с помощью зелёных кружков, наклон надписи –

с помощью жёлтых ромбиков. Цвет и другие параметры объекта изменяются с помощью кнопки Формат объекта WordArt или с основной панели Рисование, с которой дополнительно можно задать эффекты затенения и объёмности.

Например, название газеты "Знамя " после ввода и настройки с помощью программы WordArt может иметь вид (рис. 5):

Пример 3

Рисунок 5 Надпись "Знамя"

2 Разработка настенного объявления

При его разработке используются текстовые поля, которые создаются с помощью кнопки Надпись. Надпись – это кадр, "заплата", которая накладывается на документ и может содержать любые данные – текст, таблицу, картинки и другие объекты. Такое объявление обычно состоит из рисунка, текста объявления, названия организации и листков "отрывных телефонов". Все элементы объявления вводятся в свои текстовые поля №1-№5:

Пример 4: Последовательность действий (возможная) при создании настенного объявления с использованием текстовых полей:

С помощью кнопки Надпись панели инструментов Рисование создайте текстовое поле №1, совпадающее по размерам с объявлением.

В меню Формат выберите пункт Границы и заливка и создайте рамку вокруг текстового поля №1 – это размерные границы объявления. Рамка может быть двойной, полужирной, пунктирной и т.п.

В левом верхнем углу поля №1 создайте поле №2 (без обрамления), в

котором будет размещаться название организации.

В панели Рисование выберите пункт Добавить объект WordArt .

На экране появится окно WordArt, выберите выпуклую надпись, нажмите ОК. В поле Ввод текста наберите название организации "студент". Задайте тип шрифта Arial, размер 18, начертание- полужирный, курсив, нажмите OK . В текстовом поле №2 появится название организации, выгнутое дугой, растяните его по вертикали.

Создайте текстовое поле №3, по размеру вписывающегося в дугу слова "студент". Разместите рисунок внутри выгнутого дугой текста. Для этого в меню Вставка выберите пункт Рисунок\ Картинки , в открывшемся диалоговом окне в списке файлов выберите подходящую картинку и нажмите кнопку OK . Вставленный рисунок окружён рамкой с белыми квадратиками. Если рисунок не совпадает по размеру с полем №3, то его можно уменьшить, переместив мышью эти квадратики, при этом рисунок обрезается. Чтобы он уменьшался пропорционально, нужно щелкнуть по картинке мышью, появится рамка с чёрными квадратиками, с помощью которых можно подстроить размеры рисунка без обрезания.

Создайте текстовое поле №4 и наберите в нем текст объявления "Рефераты, курсовые, дипломные работы: ПЕЧАТЬ, ОФОРМЛЕНИЕ". Выделите и отформатируйте текст по размеру поля №4 шрифтом Arial Narrow, кегль16, полужирный, расположение по ширине, цвета тёмнокрасный, тёмносиний и автоцвет (чёрный).

Создайте текстовое поле №5 в строке, где будет располагаться первый слева отрывной телефон. Добавьте в него объект WordArt с эффектом вертикального текста, введите номер телефона.

Скопируйте текстовое поле №5 с номером телефона с помощью мыши при нажатой клавише Ctrl столько раз, сколько оно поместиться по ширине в текстовом поле №1. Можно воспользоваться буфером обмена, т.е. выделить объект, скопировать его в буфер командой Правка\ Копировать или кнопкой Копировать на панели Стандартная , затем поставить курсор на место вставки и выполнить команду Правка\Вставить или кнопкой Вставить , но при вставке копии наложатся друг на друга и их придётся дополнительно перемещать в ряд вручную.

Группировка всех объектов, чтобы в дальнейшем использовать их как единый объект, например, при копировании. Если этого не сделать, то каждый объект (картинка, ярлык телефона, название…) будет копироваться отдельно. Группировка объектов может быть выполнена двумя способами:

Удерживая нажатой клавишу Shift , щелкните мышью по каждому из объектов, так они окажутся выделенными все одновременно. Затем

раскройте панель инструментов Рисование и нажмите кнопку Группировать . Вокруг объектов появится общая рамка (они станут единым объектом);

Нажать кнопку Выбор объектов на панели Рисование и растянуть сетку вокруг всех объектов объявления, они все одновременно выделятся и нажать нажмите кнопку Группировать . При необходимости объекты можно будет разгруппировать, используя кнопку Разгруппировать .

Мышью с клавишей Ctrl или через буфер обмена, как указано в п. 9.

Теперь страницу с объявлениями можно распечатать и разрезать, на

листе формата А4 помещается 8 объявлений такого размера.

Сохраните полученное настенное объявление (рис. 6) на дискете командой Файл\Сохранить как… .

Следует заметить, что рисунки и текстовые поля можно накладывать друг на друга в несколько слоёв в разной последовательности, а также размещать их сверху или позади основного уровня - текста. С этой целью используются 6 команд панели инструментов Рисование\Порядок .

Объекты, созданные вWordArt, можно в дальнейшем редактиро-вать. Для этого достаточно щелк-нуть мышью по объекту, раскро-ется меню WordArt, и изменить в нём текстовой эффект, шрифт и т.д.

Для вставки объекта в текст нужно выделить объект и в меню Формат , команда Границы и заливка , в окне Формат объекта

во вкладке Положение выбрать

нужное обтекание текстом.

Рисунок 6 Настенное объявление

е Формат объекта и заливкалением вокруг рамки? 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Для рис. 6 выполнено обтекание " по контуру".

Рассмотренная последовательность действий при создании настенного объявления не является единственной и оптимальной. Однако она позволяет получить опыт использования программы WordArt

Действительные числа делят на рациональные и иррациональные .

Пример ,

Бесконечная десятичная дробь , это десятичная дробь, у которой после запятой есть бесконечное число цифр.

Числа, которые нельзя представить в виде , являются иррациональными числами .

Пример:

Всякое иррациональное число легко представить как бесконечную непериодическую десятичную дробь.

Пример ,

Для числовых множеств используются обозначения:

N - множество натуральных чисел;
Z - множество целых чисел;
Q - множество рациональных чисел;
R - множество действительных чисел.

Теория бесконечных десятичных дробей.

Вещественное число определяется как бесконечная десятичная дробь , т.е.:

±a 0 ,a 1 a 2 …a n …

где ± есть один из символов + или −, знак числа,

a 0 — целое положительное число,

a 1 ,a 2 ,…a n ,… — последовательность десятичных знаков, т.е. элементов числового множества {0,1,…9}.

±a 0 ,a 1 a 2 …a n и ±(a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n) для всех n=0,1,2,…

α =+a 0 ,a 1 a 2 …a n …

β =+b 0 ,b 1 b 2 …b n …

∀ a′,a′′,b′,b′′ ∈ Q(a′ ⩽ α ⩽ a′′) ∧ (b′ ⩽ β ⩽ b′′) ⇒ (a′+b′ ⩽ α + β ⩽ a′′+b′′)

Аналогично определяет операция умножения бесконечных десятичных дробей.

Натуральные числа

Числа, используемые при счете называются натуральными числами. Например, $1,2,3$ и т.д. Натуральные числа образуют множество натуральных чисел, которое обозначают $N$ .Данное обозначение исходит от латинского слова naturalis- естественный.

Противоположные числа

Определение 1

Если два числа отличаются только знаками, их называют в математике противоположными числами.

Например, числа $5$ и $-5$ противоположные числа, т.к. отличаются только знаками.

Замечание 1

Для любого числа есть противоположное число, и притом только одно.

Замечание 2

Число нуль противоположно самому себе.

Целые числа

Определение 2

Целыми числами называют натуральные, противоположные им числа и нуль.

Множество целых чисел включает в себя множество натуральных и противоположных им.

Обозначают целые числа $Z.$

Дробные числа

Числа вида $\frac{m}{n}$ называют дробями или дробными числами. Так же дробные числа можно записывать десятичной форме записи, т.е. в виде десятичных дробей.

Например:$\ \frac{3}{5}$ , $0,08$ и Т.Д.

Так же, как и целые, дробные числа могут быть как положительными, так и отрицательными.

Рациональные числа

Определение 3

Рациональными числами называется множество чисел, содержащее в себе множество целых и дробных чисел.

Любое рациональное число, как целое, так и дробное можно представить в виде дроби $\frac{a}{b}$, где $a$- целое число, а $b$- натуральное.

Таким образом, одно и то же рациональное число можно записать разными способами.

Например,

Отсюда видно, что любое рациональное число может быт представлено в виде конечной десятичной дроби или бесконечной десятичной периодической дроби.

Множество рациональных чисел обозначается $Q$.

В результате выполнения любого арифметического действия над рациональными числами полученный ответ будет рациональным числом. Это легко доказуемо, в силу того, что при сложении, вычитании, умножении и делении обыкновенных дробей получится обыкновенная дробь

Иррациональные числа

В ходе изучения курса математики часто приходится сталкиваться в решении с числами, которые не являются рациональными.

Например, чтобы убедиться в существовании множества чисел, отличных от рациональных решим уравнение $x^2=6$.Корнями этого уравнения будут числа $\surd 6$ и -$\surd 6$. Данные числа не будут являться рациональными.

Так же при нахождении диагонали квадрата со стороной $3$ мы применив теорему Пифагора получим, что диагональ будет равна $\surd 18$. Это число также не является рациональным.

Такие числа называются иррациональными.

Итак, иррациональным числом называют бесконечную десятичную непериодическую дробь.

Одно из часто встречающихся иррациональных чисел- это число $\pi $

При выполнении арифметических действий с иррациональными числами получаемый результат может оказаться и рациональным, так и иррациональным числом.

Докажем это на примере нахождения произведения иррациональным чисел. Найдем:

$\ \sqrt{6}\cdot \sqrt{6}$

$\ \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}$

Решениею

$\ \sqrt{6}\cdot \sqrt{6} = 6$

$\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{6}$

На этом примере видно, что результат может оказаться как рациональным, так и иррациональным числом.

Если в арифметических действиях участвуют рациональное и иррациональные числа одновременно, то в результате получится иррациональное число (кроме, конечно, умножения на $0$).

Действительные числа

Множеством действительных чисел называется множество содержащее множество рациональных и иррациональных чисел.

Обозначается множество действительных чисел $R$. Символически множество действительных чисел можно обозначить $(-?;+?).$

Мы говорили ранее о том, что иррациональным числом называют бесконечную десятичную непериодическую дробь, а любое рациональное число может быт представлено в виде конечной десятичной дроби или бесконечной десятичной периодической дроби, поэтому действительным числом будет являться любая конечная и бесконечная десятичная дробь.

При выполнении алгебраических действий будут выполняться следующие правила

при умножении и делении положительных чисел полученное число будет положительным
при умножении и делении отрицательных чисел полученное число будет положительным
при умножении и делении отрицательного и положительного чисел полученное число будет отрицательным

Также действительные числа можно сравнивать друг с другом.