Знания о том, как измерить Землю, появились еще в древности и постепенно оформились в науку геометрию. С греческого языка это слово так и переводится - «землемерие».
Мерой протяжённости плоского участка Земли по длине и ширине является площадь. В математике она обычно обозначается латинской буквой S (от англ. «square» - «площадь», «квадрат») или греческой буквой σ (сигма). S обозначает площадь фигуры на плоскости или площадь поверхности тела, а σ – площадь поперечного сечения провода в физике. Это основные символы, хотя могут быть и другие, например, в сфере сопротивления материалов, А - площадь сечения профиля.
Формулы расчета
Зная площади простых фигур, можно находить параметры более сложных
. Античными математиками были выведены формулы, по которым можно легко их вычислять. Такими фигурами являются треугольник, четырёхугольник, многоугольник, круг.
Чтобы найти площадь сложной плоской фигуры, её разбивают на множество простых фигур, таких как треугольники, трапеции или прямоугольники. Затем математическими методами выводят формулу для площади этой фигуры. Подобный метод используют не только в геометрии, но и в математическом анализе для вычисления площадей фигур, ограниченных кривыми .
Треугольник
Начнём с самой простой фигуры - треугольника. Они бывают прямоугольные, равнобедренные и равносторонние. Возьмём любой треугольник ABC со сторонами AB=a, BC=b и AC=c (∆ ABC). Чтобы найти его площадь, вспомним известные из школьного курса математики теоремы синусов и косинусов. Отпуская все выкладки, придём к следующим формулам:
- S=√ - известная всем формула Герона, где p=(a+b+c)/2 - полупериметр треугольника;
- S=a h/2, где h - высота, опущенная на сторону a;
- S=a b (sin γ)/2, где γ - угол между сторонами a и b;
- S=a b/2, если ∆ ABC - прямоугольный (здесь a и b - катеты);
- S=b² (sin (2 β))/2, если ∆ ABC - равнобедренный (здесь b - одно из «бёдер», β - угол между «бёдрами» треугольника);
- S=a² √¾, если ∆ ABC - равносторонний (здесь a - сторона треугольника).
Четырёхугольник
Пусть имеется четырёхугольник ABCD, у которого AB=a, BC=b, CD=c, AD=d. Чтобы найти площадь S произвольного 4-угольника, нужно разделить его диагональю на два треугольника, площади которых S1 и S2 в общем случае не равны.
Затем по формулам вычислить их и сложить, т. е. S=S1+S2. Однако, если 4-угольник принадлежит к определённому классу, то его площадь можно найти по заранее известным формулам:
- S=(a+c) h/2=e h, если 4-угольник - трапеция (здесь a и c - основания, e - средняя линия трапеции, h - высота, опущенная на одно из оснований трапеции;
- S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2, если ABCD - параллелограмм (здесь φ - угол между сторонами a и b, h - высота, опущенная на сторону a, d1 и d2 - диагонали);
- S=a b=d²/2, если ABCD - прямоугольник (d - диагональ);
- S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2, если ABCD - ромб (a - сторона ромба, φ - один из его углов, P - периметр);
- S=a²=P²/16=d²/2, если ABCD - квадрат.
Многоугольник
Чтобы найти площадь n-угольника, математики разбивают его на простейшие равные фигуры -треугольники, находят площадь каждого из них и затем складывают. Но если многоугольник относится к классу правильных, то используют формулу:
S=a n h/2=a² n/=P²/, где n - количество вершин (или сторон) многоугольника, a - сторона n-угольника, P - его периметр, h - апофема, т. е. отрезок, проведённый из центра многоугольника к одной из его сторон под углом 90°.
Круг
Круг - это совершенный многоугольник, имеющий бесконечное число сторон
. Нам необходимо вычислить предел выражения справа в формуле площади многоугольника при числе сторон n, стремящемуся к бесконечности. В этом случае периметр многоугольника превратится в длину окружности радиуса R, которая будет границей нашего круга, и станет равен P=2 π R. Подставим это выражение в указанную выше формулу. Мы получим:
S=(π² R² cos (180°/n))/(n sin (180°/n)).
Найдём предел этого выражения при n→∞. Чтобы это сделать, учтём, что lim (cos (180°/n)) при n→∞ равен cos 0°=1 (lim - знак предела), а lim = lim при n→∞ равен 1/π (мы перевели градусную меру в радианную, используя соотношение π рад=180°, и применили первый замечательный предел lim (sin x)/x=1 при x→∞). Подставив в последнее выражение для S полученные значения, придём к известной формуле:
S=π² R² 1 (1/π)=π R².
Единицы измерения
Применяются системные и внесистемные единицы измерения
. Системные единицы относятся к СИ (Система Интернациональная). Это квадратный метр (кв. метр, м²) и единицы, производные от него: мм², см², км².
В квадратных миллиметрах (мм²), например, измеряют площадь сечения проводов в электротехнике, в квадратных сантиметрах (см²) - сечения балки в строительной механике, в квадратных метрах (м²) - квартиры или дома, в квадратных километрах (км²) - территории в географии.
Однако иногда используются и внесистемные единицы измерения, такие, как: сотка, ар (а), гектар (га) и акр (ас). Приведём следующие соотношения:
- 1 сотка=1 а=100 м²=0,01 га;
- 1 га=100 а=100 соток=10000 м²=0,01 км²=2,471 ас;
- 1 ас= 4046.856 м²=40,47 а=40,47 соток=0,405 га.
Начиная с 5 класса, ученики начинают знакомиться с понятием площадей разных фигур. Особая роль отводится площади прямоугольника, так как эта фигура одна из наиболее простых в изучении.
Понятия площади
Любая фигура имеет свою площадь, а вычисление площади отталкиваются от единичного квадрата, то есть от квадрата с длинной стороны в 1 мм, либо 1 см, 1 дм и так далее. Площадь такой фигуры равна $1*1 = 1мм^2$, либо $1см^2$ и т. д. Площадь, как правило, обозначается буквой – S.
Площадь показывает размер части плоскости, которую занимает фигура, очерченная отрезками.
Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы одинаковой градусной меры и равны по 90 градусов, а противоположные стороны попарно параллельны и ровны.
Особое внимание нужно обращать на единицы измерения длины и ширины. Они должны совпадать. Если единицы не совпадают, их переводят. Как правило переводят большую единицу в меньшую, например, если длина дается в дм, а ширина в см, то дм переводят в см, а результат получится в $см^2$.
Формула площади прямоугольника
Для того, чтобы найти площадь прямоугольника без формулы необходимо посчитать количество единичных квадратов, на которые разбита фигура.
Рис. 1. Прямоугольник, разбитый на единичные квадраты
Прямоугольник разбит на 15 квадратов, то есть его площадь равна 15 см2. Стоит обратить внимание, что в ширину фигура занимает 3 квадрата, а в длину 5, потому чтобы вычислить количество единичных квадратов, необходимо умножить длину на ширину. Меньшая сторона четырехугольника – ширина, большая длина. Таким образом, можно вывести формулу площади прямоугольника:
S = a · b, где a,b – ширина и длина фигуры.
К примеру, если длина прямоугольника 5 см, а ширина 4 см, то площадь будет равна 4*5=20 см 2 .
Расчет площади прямоугольника, с использованием его диагонали
Для того, что бы расчета площади прямоугольника через диагональ необходимо применить формулу:
$$S = {1\over{2}} ⋅ d^2 ⋅ sin{α}$$
Если в задании дано значения угла между диагоналями, а также значение самой диагонали, то можно вычислить площадь прямоугольника по общей формуле произвольных выпуклых четырехугольников.
Диагональ – это отрезок, который соединяет противоположные точки фигуры. Диагонали прямоугольника равны, и точкой пересечения делятся пополам.
Рис. 2. Прямоугольник с начерченными диагоналями
Примеры
Для закрепления темы рассмотрим примеры заданий:
№1. Найти площадь огородного участка, такой формы как на рисунку.
Рис. 3. Рисунок к задаче
Решение:
Для того чтобы вычесть площадь, необходимо фигуру разбить на два прямоугольника. Один из них будет иметь размеры 10 м и 3 м, другой 5 м. и 7 м. Отдельно находим их площади:
$S_1 =3*10=30 м^2$;
Это и будет площадь огородного участка $S = 65 м^2$.
№2. Вычесть площадь прямоугольник, если дано его диагональ d=6 см. и угол между диагоналями α =30 0 .
Решение:
Значение $sin 30 ={1\over{2}} $,
$ S ={1\over{2}}⋅ d^2 ⋅ sinα$
$S ={1\over{2}} * 6^2 * {1\over{2}} =9 см^2$
Таким образом, $S=9 см^2$.
Диагонали разделяет прямоугольник на 4 фигуры – 4 треугольника. При этом треугольники попарно равны. Если провести диагональ в прямоугольнике, то она разделяет фигуру на два равных прямоугольных треугольника. Средняя оценка: 4.4 . Всего получено оценок: 214.
Урок на тему: "Формулы определения площади треугольника, прямоугольника, квадрата"
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 5 класса
Тренажер к учебнику И.И.Зубаревой и А.Г.Мордковича
Тренажер к учебнику Г.В.Дорофеева и Л.Г.Петерсона
Определение и понятие площади фигуры
Чтобы лучше понять, что такое площадь фигуры, рассмотрим рисунок.Эта произвольная фигура разбита на 12 маленьких квадратика. Сторона каждого квадратика равна 1 см. А площадь каждого квадратика равна 1 квадратному сантиметру, что записывается так: 1 см 2 .
Тогда площадь фигуры равна 12 квадратным сантиметрам. В математике площадь обозначается латинской буквой S.
Значит, площадь нашей фигуры равна: S фигуры = 12 см 2 .
Площадь фигуры равна площади всех маленьких квадратиков, из которых она состоит!
Ребята, запомните!
Площадь измеряется квадратными единицами длины.
Единицы измерения площади:
1. Квадратный километр - км 2 (когда площади очень большие, например, страна или море).
2. Квадратный метр - м 2 (вполне подходит для того, чтобы измерять площадь участка или квартиры).
3. Квадратный сантиметр - см 2 (обычно используется на уроках математики, когда рисуют фигуры в тетради).
4. Квадратный миллиметр - мм 2 .
Площадь треугольника
Рассмотрим два вида треугольников: прямоугольный и произвольный.Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника необходимо знать длину основания и высоту. В прямоугольном треугольнике высоту заменяет одна из сторон. Поэтому в формулу площади треугольника вместо высоты подставляем одну из сторон.
В нашем примере стороны равны 7 см и 4 см.
Формула для расчета площади треугольника записывается так:
S прямоугольного треугольника АВС = ВС * СА: 2
S прямоугольного треугольника АВС = 7 см * 4 см: 2 = 14 см 2
Теперь рассмотрим произвольный треугольник.
Для такого треугольника необходимо провести высоту к основанию.
В нашем примере высота равна 6 см, а основание равно 8 см. Как и в предыдущем примере, рассчитываем площадь по формуле:
S произвольного треугольника АВС = ВС * h: 2.
Подставим в формулу наши данные и получим:
S произвольного треугольника АВС = 8 см * 6 см: 2 = 24 см 2 .
Площадь прямоугольника и квадрата
Возьмем прямоугольник АВСD со сторонами 5 см и 8 см.
Формула расчета площади прямоугольника записывается так:S прямоугольника АВСD = АВ * ВС.
S прямоугольника АВСD = 8 см * 5 см = 40 см 2 .
Теперь рассчитаем площадь квадрата. В отличии от прямоугольника и треугольника, для нахождения площади квадрата необходимо знать только одну сторону. В нашем примере сторона квадрата ABCD равна 9 см.
S квадрата АВСD = АВ * ВС = АВ 2 .
Подставим в формулу наши данные и получим:
S квадрата АВСD = 9 см * 9 см = 81 см 2 .
Прямоугольник – это частный случай четырехугольника. Это значит, что у прямоугольника четыре стороны. Его противоположные стороны равны: так например, если одна из его сторон равна 10 см, то противоположная ей будет так же равны 10 см. Частным случаем прямоугольника является квадрат. Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны. Для вычисления площади квадрата можно пользоваться тем же алгоритмом, что и для вычисления площади прямоугольника.
Как узнать площадь прямоугольника по двум сторонам
Для того чтобы найти площадь прямоугольника, надо умножить его длину на ширину: Площадь = Длина × Ширина. В случае, указанном ниже: Площадь = AB × BC.
Как узнать площадь прямоугольника по стороне и длине диагонали
В некоторых задачах необходимо найти площадь прямоугольника, используя длину диагонали и одну из сторон. Диагональ прямоугольника делит его на два равных прямоугольных треугольника. Следовательно, можно определить вторую сторону прямоугольника, воспользовавшись теоремой Пифагора. После этого задача сводится к предыдущему пункту.
Как узнать площадь прямоугольника по периметру и стороне
Периметр прямоугольника – это сумма всех его сторон. Если известен периметр прямоугольника и одна сторона (например ширина), можно вычислить площадь прямоугольника, воспользовавшись следующей формулой:
Площадь = (Периметр×ширина – ширина^2)/2.
Площадь прямоугольника через синус острого угла между диагоналями и длину диагонали
Диагонали в прямоугольнике равны, поэтому, чтобы вычислить площадь на основании длины диагонали и синуса острого угла между ними, следует воспользоваться следующей формулой: Площадь = Диагональ^2 × sin(острого угла между диагоналями)/2.
Мы уже познакомились с понятием площадь фигуры , узнали одну из единиц измерения площади - квадратный сантиметр . На уроке мы выведем правило, как вычислить площадь прямоугольника.
Мы уже умеем находить площадь фигур, которые разделены на квадратные сантиметры.
Например:
Мы можем определить, что площадь первой фигуры 8 см 2 , площадь второй фигуры 7 см 2 .
Как найти площадь прямоугольника, длины сторон которого 3 см и 4 см?
Для решения задачи разобьём прямоугольник на 4 полоски по 3 см 2 каждая.
Тогда площадь прямоугольника будет равна 3*4=12 см 2 .
Этот же прямоугольник можно разбить на 3 полоски по 4 см 2 .
Тогда площадь прямоугольника будет равна 4*3=12 см 2 .
В обоих случаях для нахождения площади прямоугольника перемножаются числа, выражающие длины сторон прямоугольника.
Найдем площадь каждого прямоугольника.
Рассмотрим прямоугольник АКМО.
В одной полоске 6 см 2 , а таких полосок в этом прямоугольнике 2. Значит, мы можем выполнить следующее действие:
Число 6 обозначает длину прямоугольника, а 2 - ширину прямоугольника. Таким образом, мы перемножили стороны прямоугольника для того, чтобы найти площадь прямоугольника.
Рассмотрим прямоугольник KDCO.
В прямоугольнике KDCO в одной полоске 2см 2 , а таких полосок 3. Следовательно, мы можем выполнить действие
Число 3 обозначает длину прямоугольника, а 2 - ширину прямоугольника. Мы их перемножили и узнали площадь прямоугольника.
Можно сделать вывод: чтобы найти площадь прямоугольника, не надо каждый раз разбивать фигуру на квадратные сантиметры.
Чтобы вычислить площадь прямоугольника, нужно найти его длину и ширину (длины сторон прямоугольника должны быть выражены в одних и тех же единицах измерения), а потом вычислить произведение полученных чисел (площадь будет выражена в соответствующих единицах площади)
Обобщим: площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины.
Решите задачу.
Вычисли площадь прямоугольника, если длина прямоугольника 9см, а ширина - 2см.
Рассуждаем так. В данной задаче известны и длина и ширина прямоугольника. Поэтому действуем по правилу: площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины.
Запишем решение.
Ответ: площадь прямоугольника 18см 2
Как вы думаете, какими ещё могут быть длины сторон прямоугольника с такой площадью?
Можно рассуждать так. Поскольку площадь - это произведение длин сторон прямоугольника, поэтому надо вспомнить таблицу умножения. При умножении каких чисел получается ответ 18?
Правильно, при умножении 6 и 3 тоже получится 18. Значит, у прямоугольника могут быть стороны 6см и 3 см и его площадь тоже будет равна 18см 2 .
Решите задачу.
Длина прямоугольника 8см, а ширина 2см. Найди его площадь и периметр.
Нам известны длина и ширина прямоугольника. Необходимо вспомнить, что для нахождения площади необходимо найти произведение его длины и ширины, а для нахождения периметра нужно сумму длины и ширины умножить на два.
Запишем решение.
Ответ: площадь прямоугольника 16 см 2 , а периметр прямоугольника 20 см.
Решите задачу.
Длина прямоугольника 4см, а ширина - 3см. Чему равна площадь треугольника? (смотри рисунок)
Чтобы ответить на вопрос задачи, сначала надо найти площадь прямоугольника. Мы знаем, что для этого необходимо длину умножить на ширину.
Посмотрите на чертёж. Вы заметили, диагональ разделила прямоугольник на два равных треугольника? Следовательно, площадь одного треугольника в 2 раза меньше площади прямоугольника. Значит, надо 12 уменьшить в 2 раза.
Ответ: площадь треугольника 6 см 2 .
Сегодня на уроке мы познакомились с правилом, как вычислить площадь прямоугольника и учились применять это правило при решении задач на нахождение площади прямоугольника.
1. М.И.Моро, М.А.Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 1. М., «Просвещение», 2012 год.
2. М.И.Моро, М.А.Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 2. М., «Просвещение», 2012 год.
3. М.И.Моро. Уроки математики: Методические рекомендации для учителя. 3 класс. - М.: Просвещение, 2012.
4. Нормативно-правовой документ. Контроль и оценка результатов обучения. М., «Просвещение», 2011 год.
5. «Школа России»: Программы для начальной школы. — М.: «Просвещение», 2011.
6. С.И.Волкова. Математика: Проверочные работы. 3 класс. - М.: Просвещение, 2012.
7. В.Н.Рудницкая. Тесты. М., «Экзамен», 2012 (127с.)
2. Издательство «Просвещение» ()
1. Длина прямоугольника 7 см, ширина 4 см. Найдите площадь прямоугольника.
2. Сторона квадрата 5 см. Найдите площадь квадрата.
3. Начертите возможные варианты прямоугольников, площадь которых 18 см 2 .
4. Составьте задание по теме урока для своих товарищей.
