matematiksel özellikler
Düzenli bir altıgenin bir özelliği, kenarının ve çevrelenmiş dairenin yarıçapının eşitliğidir, çünkü
Tüm açılar 120°'dir.
Yazılı dairenin yarıçapı:
Düzgün bir altıgenin çevresi:
Düzenli bir altıgenin alanı aşağıdaki formüllerle hesaplanır:
Düzlemi döşeyen altıgenler, yani düzlemi boşluklar ve örtüşmeler olmadan doldurarak sözde parke oluştururlar.
Altıgen parke (altıgen parke)- yan yana yerleştirilmiş eşit düzenli altıgenlerle düzlemin mozaiklenmesi.
Altıgen parke çift ila üçgen parkedir: bitişik altıgenlerin merkezlerini birleştirirseniz, çizilen parçalar üçgen bir parke verecektir. Altıgen bir parkenin Schläfli sembolü (6,3)'tür; bu, üç altıgenin parkenin her bir köşesinde birleştiği anlamına gelir.
Altıgen parke, uçaktaki dairelerin en yoğun ambalajıdır. İki boyutlu Öklid uzayında en iyi dolgu, dairelerin merkezlerini, her dairenin altı tane daha çevrelediği düzgün altıgenlerden oluşan bir parkenin köşelerine yerleştirmektir. Bu ambalajın yoğunluğu . 1940 yılında bu ambalajın en yoğun olduğu kanıtlandı.
Bir kenarı olan düzenli bir altıgen evrensel bir kapaktır, yani herhangi bir çap seti, bir kenarı olan düzenli bir altıgen ile kaplanabilir (Pal's lemma).
Bir pergel ve cetvel kullanılarak düzenli bir altıgen oluşturulabilir. Aşağıda Öklid tarafından Elementler, Kitap IV, Teorem 15'te önerilen yapım yöntemi verilmiştir.
Doğada, teknolojide ve kültürde düzenli altıgen
düzlemin düzgün altıgenlere bölünmesini gösterin. Altıgen şekli diğerlerinden daha fazla duvarlardan tasarruf etmenizi sağlar, yani bu tür hücrelere sahip peteklere daha az balmumu harcanacaktır.
Bazı karmaşık kristaller ve moleküller grafit gibi, altıgen bir kristal kafese sahiptir.
Bulutlardaki mikroskobik su damlacıklarının toz parçacıklarına çekilip donmasıyla oluşur. Bu durumda ortaya çıkan ve ilk başta çapı 0,1 mm'yi geçmeyen buz kristalleri, üzerlerindeki havadan gelen nemin yoğunlaşması sonucu düşer ve büyür. Bu durumda, altı köşeli kristal formlar oluşur. Su moleküllerinin yapısından dolayı kristalin ışınları arasında sadece 60° ve 120° açılar mümkündür. Ana su kristali, düzlemde düzenli bir altıgen şeklindedir. Daha sonra böyle bir altıgenin tepelerinde yeni kristaller biriktirilir, üzerlerinde yenileri biriktirilir ve böylece çeşitli kar tanesi yıldız formları elde edilir.
Oxford Üniversitesi'nden bilim adamları, laboratuvarda böyle bir altıgenin ortaya çıkışını simüle edebildiler. Araştırmacılar, böyle bir oluşumun nasıl meydana geldiğini anlamak için bir döner tablanın üzerine 30 litrelik bir şişe su yerleştirdiler. Satürn'ün atmosferini ve olağan dönüşünü modelledi. İçeriye bilim adamları, kaptan daha hızlı dönen küçük halkalar yerleştirdi. Bu, deneycilerin yeşil boya ile görselleştirdiği minyatür girdaplar ve jetler oluşturdu. Halka ne kadar hızlı dönerse girdaplar o kadar büyür ve yakındaki akıntının dairesel bir şekilden sapmasına neden olur. Böylece, deneyin yazarları çeşitli şekiller elde etmeyi başardılar - ovaller, üçgenler, kareler ve elbette istenen altıgen.
Eski bir volkanik patlamanın sonucu olarak oluşan, birbirine bağlı yaklaşık 40.000 bazalt (nadiren andezitik) sütundan oluşan doğal bir anıt. Kuzey İrlanda'nın kuzey doğusunda, Bushmills şehrinin 3 km kuzeyinde yer almaktadır.
Sütunların tepeleri, uçurumun dibinde başlayan ve deniz yüzeyinin altında kaybolan bir tür sıçrama tahtası oluşturur. Sütunların çoğu altıgendir, ancak bazılarının dört, beş, yedi veya sekiz köşesi vardır. En uzun sütun yaklaşık 12 metre yüksekliğindedir.
Yaklaşık 50-60 milyon yıl önce, Paleojen döneminde, erimiş bazalt tortulardan geçerek geniş lav platoları oluşturduğunda Antrim bölgesi yoğun volkanik aktiviteye maruz kaldı. Hızlı soğutma ile maddenin hacmi azaldı (bu, çamur kuruduğunda gözlenir). Yatay sıkıştırma, altıgen sütunların karakteristik yapısını ortaya çıkardı.
Somunun enine kesiti düzenli bir altıgen şeklindedir.
Dörtten fazla köşesi olan en ünlü figür normal altıgendir. Geometride genellikle problemlerde kullanılır. Ve hayatta, peteklerin kesimde sahip olduğu şey tam olarak budur.
Yanlıştan farkı nedir?
İlk olarak, bir altıgen, 6 köşesi olan bir şekildir. İkincisi, dışbükey veya içbükey olabilir. İlki, diğer ikisi boyunca çizilen düz bir çizginin bir tarafında dört köşe bulunmasıyla farklılık gösterir.
Üçüncüsü, düzenli bir altıgen, tüm kenarlarının eşit olmasıyla karakterize edilir. Ayrıca şeklin her köşesi de aynı değere sahiptir. Tüm açılarının toplamını belirlemek için şu formülü kullanmanız gerekir: 180º * (n - 2). Burada n, şeklin köşe sayısıdır, yani 6. Basit bir hesaplama 720º değerini verir. Yani her açı 120 derecedir.
Günlük aktivitelerde, bir kar tanesi ve bir somunda düzenli bir altıgen bulunur. Kimyacılar bunu benzen molekülünde bile görüyorlar.
Problemleri çözerken hangi özellikleri bilmeniz gerekiyor?
Yukarıda belirtilenlere eklenmelidir:
- merkezden çizilen şeklin köşegenleri, onu eşkenar olan altı üçgene böler;
- düzenli bir altıgenin kenarı, etrafındaki çevrelenmiş dairenin yarıçapıyla çakışan bir değere sahiptir;
- böyle bir rakam kullanarak düzlemi doldurmak mümkündür ve aralarında boşluk ve örtüşme olmayacaktır.
Tanıtılan gösterim
Geleneksel olarak, düzenli bir geometrik şeklin kenarı Latince "a" harfi ile gösterilir. Problemleri çözmek için alan ve çevre de gereklidir, bunlar sırasıyla S ve P'dir. Düzenli bir altıgen içine bir daire çizilir veya çevresi çizilir. Daha sonra yarıçapları için değerler girilir. Sırasıyla r ve R harfleriyle gösterilirler.
Bazı formüllerde, bir iç açı, bir yarım çevre ve bir özdeyiş (çokgenin merkezinden herhangi bir kenarın ortasına dik olan) görünür. Harfler onlar için kullanılır: α, p, m.
Bir figürü tanımlayan formüller
Yazılı bir dairenin yarıçapını hesaplamak için buna ihtiyacınız var: r= (a * √3) / 2 ve r = m. Yani aynı formül öz için de geçerli olacaktır.
Bir altıgenin çevresi tüm kenarların toplamı olduğundan aşağıdaki gibi belirlenecektir: P = 6 * a. Kenarın çevrelenmiş dairenin yarıçapına eşit olduğu göz önüne alındığında, çevre için düzenli bir altıgen için böyle bir formül vardır: P \u003d 6 * R. Yazılı dairenin yarıçapı için verilenden, a arasındaki ilişki ve r türetilir. Daha sonra formül şu şekli alır: Р = 4 r * √3.
Düzgün bir altıgenin alanı için bu kullanışlı olabilir: S = p * r = (a 2 * 3 √3) / 2.
Görevler
1. Durum. Her kenarı 4 cm'ye eşit olan düzenli bir altıgen prizma vardır, içine hacminin belirlenmesi gereken bir silindir yazılmıştır.
Çözüm. Silindirin hacmi, taban alanı ile yüksekliğin çarpımı olarak tanımlanır. İkincisi, prizmanın kenarına denk gelir. Ve düzgün bir altıgenin kenarına eşittir. Yani silindirin yüksekliği de 4 cm'dir.
Tabanının alanını bulmak için altıgende yazılı dairenin yarıçapını hesaplamanız gerekir. Bunun formülü yukarıda gösterilmiştir. Yani r = 2√3 (cm). Sonra dairenin alanı: S \u003d π * r 2 \u003d 3.14 * (2√3) 2 \u003d 37.68 (cm 2).
Cevap. V \u003d 150,72 cm3.
2. Durum. Normal bir altıgen içine yazılan bir dairenin yarıçapını hesaplayın. Bir kenarının √3 cm olduğu biliniyor, çevresi ne olacak?
Çözüm. Bu görev, yukarıdaki formüllerden ikisinin kullanılmasını gerektirir. Üstelik hiçbir değişiklik yapmadan uygulanmaları gerekir, sadece kenar değerini değiştirin ve hesaplayın.
Böylece, yazılı dairenin yarıçapı 1,5 cm, çevre için aşağıdaki değerin doğru olduğu ortaya çıkıyor: 6√3 cm.
Cevap. r = 1,5 cm, Р = 6√3 cm.
3. Durum.Çevrelenmiş dairenin yarıçapı 6 cm'dir Bu durumda düzgün bir altıgenin kenar değeri ne olur?
Çözüm. Altıgen içine yazılan bir dairenin yarıçapı formülünden, kenarın hesaplanması gereken formül kolayca elde edilir. Yarıçapın iki ile çarpılıp üçün köküne bölündüğü açıktır. Paydadaki mantıksızlıktan kurtulmak gerekir. Bu nedenle, eylemlerin sonucu şu şekli alır: (12 √3) / (√3 * √3), yani 4√3.
Cevap. a = 4√3 cm.
Yakınınızda bir kalem var mı? Bölümüne bir göz atın - normal bir altıgen veya aynı zamanda altıgen olarak da adlandırılır. Bir somunun enine kesiti, altıgen bir satranç alanı, bazı karmaşık karbon molekülleri (örneğin grafit), bir kar tanesi, bir bal peteği ve diğer nesneler de bu şekle sahiptir. Son zamanlarda içinde devasa bir düzgün altıgen keşfedildi. Doğanın, yaratımları için bu özel şekle sahip yapıları bu kadar sık kullanması garip görünmüyor mu? Hadi daha yakından bakalım.
Düzgün altıgen, altı eşit kenarı ve eşit açıları olan bir çokgendir. Okul kursundan, aşağıdaki özelliklere sahip olduğunu biliyoruz:
- Kenarlarının uzunluğu, çevrelenmiş dairenin yarıçapına karşılık gelir. Hepsinden sadece düzenli bir altıgen bu özelliğe sahiptir.
- Açılar birbirine eşittir ve her birinin büyüklüğü 120 ° 'dir.
- Bir altıgenin çevresi, çevresini çevreleyen dairenin yarıçapı biliniyorsa Р=6*R formülü kullanılarak veya daire içinde yazılıysa Р=4*√(3)*r formülü kullanılarak bulunabilir. R ve r, çevrelenmiş ve yazılı dairelerin yarıçaplarıdır.
- Düzgün bir altıgenin kapladığı alan şu şekilde belirlenir: S=(3*√(3)*R 2)/2. Yarıçap bilinmiyorsa, bunun yerine kenarlardan birinin uzunluğunu değiştiririz - bildiğiniz gibi, çevrelenmiş dairenin yarıçapının uzunluğuna karşılık gelir.
Düzenli altıgen, doğada çok yaygın hale gelmesi nedeniyle ilginç bir özelliğe sahiptir - düzlemin herhangi bir yüzeyini örtüşmeler ve boşluklar olmadan doldurabilir. Hatta bir kenarı 1/√(3)'e eşit olan düzenli bir altıgenin evrensel bir lastik olduğu, yani bir birim çapındaki herhangi bir seti kaplayabileceğine dair Pal lemma adı verilen bir durum bile vardır.
Şimdi normal bir altıgenin yapımını düşünün. En kolayı bir pusula, kurşun kalem ve cetvel kullanmayı içeren birkaç yol vardır. İlk önce, pusula ile keyfi bir daire çiziyoruz, sonra bu daire üzerinde keyfi bir yere bir nokta koyuyoruz. Pusulanın çözümünü değiştirmeden ucu bu noktaya koyuyoruz, daire üzerinde bir sonraki çentiği işaretliyoruz, 6 noktanın hepsini elde edene kadar bu şekilde devam ediyoruz. Şimdi sadece onları düz segmentlerle birbirine bağlamak kalıyor ve istenen rakam ortaya çıkacak.
Uygulamada, büyük bir altıgen çizmeniz gereken zamanlar vardır. Örneğin, iki seviyeli bir alçıpan tavanda, merkezi avizenin bağlantı noktasının etrafına, alt seviyeye altı küçük lamba takmanız gerekir. Bu boyutta bir pusula bulmak çok ama çok zor olacak. Bu durumda nasıl devam edilir? Büyük bir daire nasıl çizilir? Çok basit. İstenilen uzunlukta güçlü bir iplik almanız ve uçlarından birini kurşun kalemin karşısına bağlamanız gerekir. Şimdi sadece ipliğin ikinci ucunu tavana doğru noktada bastıracak bir asistan bulmak kalıyor. Tabii ki, bu durumda, küçük hatalar mümkündür, ancak dışarıdan bir kişi tarafından fark edilmeleri pek olası değildir.
Normal bir altıgenin neye benzediğini biliyor musunuz?
Bu soru tesadüfen sorulmadı. 11. sınıftaki çoğu öğrenci bunun cevabını bilmiyor.
Düzgün altıgen, tüm kenarları ve tüm açıları da eşit olan bir altıgendir..
Demir somun. Kar tanesi. Arıların yaşadığı petek hücresi. Benzen molekülü. Bu nesnelerin ortak noktası nedir? - Hepsinin düzenli bir altıgen şekle sahip olması.
Birçok okul çocuğu, normal bir altıgen için görevler gördüklerinde kaybolur ve bunları çözmek için bazı özel formüllerin gerekli olduğuna inanırlar. Öyle mi?
Düzgün bir altıgenin köşegenlerini çizin. Altı tane eşkenar üçgenimiz var. 
Eşkenar üçgenin alanının olduğunu biliyoruz.
O zaman normal bir altıgenin alanı altı kat daha büyüktür.
Normal bir altıgenin kenarı nerede.
Lütfen bir düzgün altıgenin merkezinden herhangi bir köşeye olan uzaklığının normal altıgenin kenarına eşit ve eşit olduğuna dikkat edin.
Bu, düzgün bir altıgenin etrafında çevrelenmiş bir dairenin yarıçapının, kenarına eşit olduğu anlamına gelir..
Normal bir altıgen içine yazılan bir dairenin yarıçapını bulmak kolaydır.
O eşittir.
Artık normal bir altıgenin göründüğü herhangi bir KULLANIM problemini kolayca çözebilirsiniz.
Bir kenarı olan düzgün bir altıgen içine yazılan bir dairenin yarıçapını bulun.
Böyle bir dairenin yarıçapı .
Cevap: .
Yarıçapı 6 olan bir daire içine yazılan düzgün altıgenin bir kenarı nedir?
Düzenli bir altıgenin bir kenarının, etrafındaki dairenin yarıçapına eşit olduğunu biliyoruz.
Normal bir altıgenin neye benzediğini biliyor musunuz?
Bu soru tesadüfen sorulmadı. 11. sınıftaki çoğu öğrenci bunun cevabını bilmiyor.
Düzgün altıgen, tüm kenarları ve tüm açıları da eşit olan bir altıgendir..
Demir somun. Kar tanesi. Arıların yaşadığı petek hücresi. Benzen molekülü. Bu nesnelerin ortak noktası nedir? - Hepsinin düzenli bir altıgen şekle sahip olması.
Birçok okul çocuğu, normal bir altıgen için görevler gördüklerinde kaybolur ve bunları çözmek için bazı özel formüllerin gerekli olduğuna inanırlar. Öyle mi?
Düzgün bir altıgenin köşegenlerini çizin. Altı tane eşkenar üçgenimiz var.
Eşkenar üçgenin alanının olduğunu biliyoruz.
O zaman normal bir altıgenin alanı altı kat daha büyüktür.
Normal bir altıgenin kenarı nerede.
Lütfen bir düzgün altıgenin merkezinden herhangi bir köşeye olan uzaklığının normal altıgenin kenarına eşit ve eşit olduğuna dikkat edin.
Bu, düzgün bir altıgenin etrafında çevrelenmiş bir dairenin yarıçapının, kenarına eşit olduğu anlamına gelir..
Normal bir altıgen içine yazılan bir dairenin yarıçapını bulmak kolaydır.
O eşittir.
Artık normal bir altıgenin göründüğü herhangi bir KULLANIM problemini kolayca çözebilirsiniz.
Bir kenarı olan düzgün bir altıgen içine yazılan bir dairenin yarıçapını bulun.
Böyle bir dairenin yarıçapı .
Cevap: .
Yarıçapı 6 olan bir daire içine yazılan düzgün altıgenin bir kenarı nedir?
Düzenli bir altıgenin bir kenarının, etrafındaki dairenin yarıçapına eşit olduğunu biliyoruz.
