Üstel fonksiyonun grafiğinin konumunu açıklayın. Üstel denklemler ve eşitsizlikler

Üstel fonksiyona ilişkin temel özellikler, grafikler ve formüller hakkında referans verileri sağlar. Aşağıdaki konular dikkate alınmıştır: Tanım alanı, değerler kümesi, monotonluk, ters fonksiyon, türev, integral, açılım güç serisi ve karmaşık sayılar kullanılarak temsil.

Tanım

Üstel fonksiyon a'ya eşit n sayıların çarpımının bir genellemesidir:
sen (n) = a n = a·a·a···a,
x reel sayılar kümesine:
sen (x) = balta.
Burada a sabit bir gerçek sayıdır ve buna denir üstel fonksiyonun temeli.
Tabanı a olan üstel fonksiyona da denir a tabanına ait üs.

Genelleme şu şekilde yapılır.
Doğal x için = 1, 2, 3,... üstel fonksiyon x faktörlerinin çarpımıdır:
.
Ayrıca, sayıları çarpma kurallarından kaynaklanan (1.5-8) () özelliklerine sahiptir. Tam sayıların sıfır ve negatif değerleri için üstel fonksiyon, formüller (1.9-10) kullanılarak belirlenir. Kesirli değerler için x = m/n rasyonel sayılar, (1.11) formülü ile belirlenir. real için üstel fonksiyon dizinin limiti olarak tanımlanır:
,
x'e yakınsayan rastgele bir rasyonel sayılar dizisi: .
Bu tanımla, üstel fonksiyon hepsi için tanımlanır ve doğal x için olduğu gibi (1,5-8) özelliklerini karşılar.

Üstel bir fonksiyonun tanımının ve özelliklerinin kanıtının titiz bir matematiksel formülasyonu “Üstel bir fonksiyonun özelliklerinin tanımı ve kanıtı” sayfasında verilmiştir.

Üstel Fonksiyonun Özellikleri

Üstel fonksiyon y = a x, gerçek sayılar () kümesinde aşağıdaki özelliklere sahiptir:
(1.1) tanımlanmış ve sürekli, herkes için, herkes için;
(1.2) bir ≠ için 1 birçok anlamı vardır;
(1.3) kesinlikle artar, kesinlikle azalır,
sabittir;
(1.4) ;
;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Diğer faydalı formüller.
.
Farklı bir üs tabanına sahip üstel bir fonksiyona dönüştürme formülü:

b = e olduğunda üstel fonksiyonun ifadesini üstel yoluyla elde ederiz:

Özel değerler

, , , , .

Şekilde üstel fonksiyonun grafikleri gösterilmektedir
sen (x) = balta
dört değer için derece üsleri: bir = 2 , bir = 8 , bir = 1/2 ve bir = 1/8 . > için görüldüğü gibi 1 üstel fonksiyon monoton olarak artar. A derecesinin tabanı ne kadar büyük olursa, o kadar fazla olur. Güçlü büyüme. Şu tarihte: 0 < a < 1 üstel fonksiyon monoton olarak azalır. a üssü ne kadar küçük olursa, azalma o kadar güçlü olur.

Artan azalan

için üstel fonksiyon kesinlikle monotondur ve bu nedenle ekstremum değeri yoktur. Ana özellikleri tabloda sunulmaktadır.

	y = a x , a > 1	y = balta, 0 < a < 1
İhtisas	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Değer aralığı	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Monoton	monoton olarak artar	monoton olarak azalır
Sıfırlar, y = 0	HAYIR	HAYIR
Ordinat ekseniyle kesişme noktaları, x = 0	y = 1	y = 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

Ters fonksiyon

Tabanı a olan bir üstel fonksiyonun tersi, a tabanının logaritmasıdır.

Eğer öyleyse
.
Eğer öyleyse
.

Üstel bir fonksiyonun türevi

Üstel bir fonksiyonun türevini almak için tabanı e sayısına indirilmeli, türev tablosunu ve karmaşık bir fonksiyonun türevini alma kuralını uygulamalıdır.

Bunu yapmak için logaritmanın özelliğini kullanmanız gerekir.
ve türevler tablosundaki formül:
.

Üstel bir fonksiyon verilsin:
.
Onu e üssüne getiriyoruz:

Karmaşık fonksiyonların türev alma kuralını uygulayalım. Bunu yapmak için değişkeni tanıtın

Daha sonra

Elimizdeki türev tablosundan (x değişkenini z ile değiştirin):
.
Bir sabit olduğundan z'nin x'e göre türevi eşittir
.
Karmaşık bir fonksiyonun türev alma kuralına göre:
.

Üstel bir fonksiyonun türevi

.
N'inci dereceden türev:
.
Formüllerin türetilmesi > > >

Üstel bir fonksiyonun türevini almaya bir örnek

Bir fonksiyonun türevini bulun
y = 3 5x

Çözüm

Üstel fonksiyonun tabanını e sayısı üzerinden ifade edelim.
3 = e ln 3
Daha sonra
.
Bir değişken girin
.
Daha sonra

Türev tablosundan şunları buluyoruz:
.
Çünkü 5ln 3 bir sabit ise z'nin x'e göre türevi şuna eşittir:
.
Karmaşık bir fonksiyonun türev alma kuralına göre elimizde:
.

Cevap

İntegral

Karmaşık sayılar kullanan ifadeler

İşlevi düşünün karmaşık sayı z:
F (z) = az
burada z = x + iy; Ben 2 = - 1 .
Karmaşık sabit a'yı r modülü ve φ argümanı cinsinden ifade edelim:
a = r e ben φ
Daha sonra

.
φ argümanı benzersiz bir şekilde tanımlanmamıştır. İÇİNDE Genel görünüm
φ = φ 0 + 2 πn,
burada n bir tamsayıdır. Bu nedenle f fonksiyonu (z) da belli değil. Başlıca önemi sıklıkla dikkate alınır
.

Seri genişletme

Referanslar:
İÇİNDE. Bronstein, K.A. Semendyaev, Mühendisler ve üniversite öğrencileri için matematik el kitabı, “Lan”, 2009.

1. Üstel bir fonksiyon, x üssüne bağlı olarak, a derecesinin tabanının sabit değeri olan, a > 0, a ≠ 0, xϵR (R, gerçek sayılar kümesi).

Hadi düşünelim tabanın şu koşulu sağlamaması durumunda fonksiyonun grafiği: a>0
a) a< 0
Eğer bir< 0 – возможно возведение в целую степень или в рациональную степень с нечетным показателем.
bir = -2

a = 0 ise, y = fonksiyonu tanımlanır ve 0 sabit değerine sahiptir

c) a =1
a = 1 ise, y = fonksiyonu tanımlanır ve sabit değeri 1'dir.

2. Üstel fonksiyona daha yakından bakalım:

0

İşlev Alanı (DOF)

İzin verilen fonksiyon değerleri aralığı (APV)

3. Fonksiyonun sıfırları (y = 0)

4. Ordinat ekseni oy ile kesişme noktaları (x = 0)

5. Artan, azalan fonksiyonlar

Eğer ise f(x) fonksiyonu artar
Eğer ise f(x) fonksiyonu azalır
Fonksiyon y= , 0'da y = fonksiyonu a>1 için monoton olarak artar
Bu, gerçek üssü olan bir kuvvetin monotonluk özelliklerinden kaynaklanmaktadır.

6. Çift, tek fonksiyon

y = fonksiyonu 0y eksenine ve koordinatların orijinine göre simetrik değildir, dolayısıyla ne çift ne de tektir. (Genel işlev)

7. y = fonksiyonunun ekstremum değeri yoktur

8. Reel üssü olan bir derecenin özellikleri:

a > 0 olsun; a≠1
b> 0; b≠1

O zaman xϵR için; sen:

Derece monotonluğunun özellikleri:

eğer öyleyse
Örneğin:

a>0 ise o zaman .
Üstel fonksiyon herhangi bir ϵ R noktasında süreklidir.

9. Fonksiyonun göreceli konumu

A tabanı ne kadar büyük olursa, x ve oy eksenlerine o kadar yakın olur

a > 1, a = 20

Eğer a0 ise üstel fonksiyon y = 0'a yakın bir form alır.
Eğer a1 ise, ox ve oy eksenlerinden uzaklaştıkça grafik y = 1 fonksiyonuna yakın bir form alır.

Örnek 1.
y = grafiğini oluşturun

Bilgi hipermarketi >>Matematik >>Matematik 10. sınıf >>

Üstel fonksiyon, özellikleri ve grafiği

2x ifadesini ele alalım ve x değişkeninin çeşitli rasyonel değerleri için değerlerini bulalım, örneğin x = 2 için;

Genel olarak, x değişkenine hangi rasyonel anlamı yüklersek verelim, 2 x ifadesinin karşılık gelen sayısal değerini her zaman hesaplayabiliriz. Böylece üstel hakkında konuşabiliriz işlevler y=2 x, rasyonel sayıların Q kümesinde tanımlanır:

Bu fonksiyonun bazı özelliklerine bakalım.

Mülk 1.- artan fonksiyon. İspatı iki aşamada gerçekleştiriyoruz.
İlk aşama. r'nin pozitif olduğunu kanıtlayalım rasyonel sayı, sonra 2 r >1.
İki durum mümkündür: 1) r - doğal sayı, r = n; 2) sıradan indirgenemez kesir,

Son eşitsizliğin sol tarafında ve sağ tarafında 1 var. Bu, son eşitsizliğin şu şekilde yeniden yazılabileceği anlamına gelir:

Yani her durumda 2 r > 1 eşitsizliği geçerlidir ve kanıtlanması gereken de budur.

İkinci aşama. x 1 ve x 2 sayılar olsun ve x 1 ve x 2 olsun< х2. Составим разность 2 х2 -2 х1 и выполним некоторые ее преобразования:

(x 2 - x 1 farkını r harfiyle gösterdik).

r pozitif bir rasyonel sayı olduğundan, ilk aşamada kanıtlanmış olana göre 2 r > 1, yani. 2 r -1 >0. 2x" sayısı da pozitiftir, yani 2 x-1 (2 Г -1) çarpımı da pozitiftir. Böylece şunu kanıtlamış olduk: eşitsizlik 2 Xg -2x" >0.

Yani x 1 eşitsizliğinden< х 2 следует, что 2х" <2 x2 , а это и означает, что функция у -2х - возрастающая.

Mülk 2. aşağıdan sınırlı, yukarıdan sınırlı değildir.
Fonksiyonun aşağıdan sınırlılığı, fonksiyonun tanım bölgesinden herhangi bir x değeri için geçerli olan 2 x >0 eşitsizliğinden kaynaklanır. Aynı zamanda, hangi pozitif M sayısını alırsanız alın, fonksiyonun yukarıdan sınırsızlığını karakterize eden 2 x >M eşitsizliğini sağlayacak şekilde her zaman bir x üssü seçebilirsiniz. Bir takım örnekler verelim.

Mülk 3. ne en küçük ne de en büyük değeri vardır.

Bu fonksiyonun çok önemli olmadığı açıktır, çünkü az önce gördüğümüz gibi yukarıdan sınırlandırılmamıştır. Ama aşağıdan sınırlı, neden minimum bir değeri yok?

2 r'nin fonksiyonun en küçük değeri olduğunu varsayalım (r bir rasyonel göstergedir). Bir rasyonel sayı olan q'yu alalım<г. Тогда в силу возрастания функции у=2 х будем иметь 2 x <2г. А это значит, что 2 r не может служить наименьшим значением функции.

Bütün bunlar iyi, diyorsunuz ama neden y-2 x fonksiyonunu yalnızca rasyonel sayılar kümesinde ele alıyoruz, neden onu tüm sayı doğrusundaki veya sayı doğrusundaki herhangi bir sürekli aralıktaki bilinen diğer işlevler gibi düşünmüyoruz? sayı doğrusu? Bizi durduran ne? Durumu düşünelim.

Sayı doğrusu sadece rasyonel değil aynı zamanda irrasyonel sayıları da içerir. Daha önce çalışılan işlevler için bu bizi rahatsız etmedi. Örneğin x'in hem rasyonel hem de irrasyonel değerleri için y = x2 fonksiyonunun değerlerini eşit derecede kolay bulduk: verilen x değerinin karesini almak yeterliydi.

Ancak y=2 x fonksiyonuyla durum daha karmaşıktır. Eğer x argümanına rasyonel bir anlam verilirse, o zaman prensipte x hesaplanabilir (tekrar paragrafın başına, tam olarak bunu yaptığımız yere dönün). Ya x argümanına irrasyonel bir anlam verilirse? Örneğin nasıl hesaplanır? Bunu henüz bilmiyoruz.
Matematikçiler bir çıkış yolu bulmuşlar; böyle mantık yürüttüler.

biliniyor ki Rasyonel sayıların sırasını düşünün - bir sayının dezavantajlı ondalık yaklaşımları:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205; 1,732050; 1,7320508;... .

1,732 = 1,7320 ve 1,732050 = 1,73205 olduğu açıktır. Bu tür tekrarlardan kaçınmak için dizinin 0 sayısıyla biten üyelerini atıyoruz.

Sonra artan bir dizi elde ederiz:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,73205; 1,7320508;... .

Buna göre sıra artar

Bu dizinin tüm terimleri 22'den küçük pozitif sayılardır; bu sıra sınırlıdır. Weierstrass teoremine göre (bkz. § 30), eğer bir dizi artan ve sınırlıysa, o zaman yakınsar. Ek olarak, § 30'dan biliyoruz ki, eğer bir dizi yakınsarsa, bunu yalnızca bir limite kadar yapar. Bu tek limitin sayısal bir ifadenin değeri olarak kabul edilmesi gerektiği konusunda fikir birliğine varıldı. Ve 2 sayısal ifadesinin yaklaşık değerini bile bulmanın çok zor olması önemli değil; bunun belirli bir sayı olması önemlidir (sonuçta, örneğin bunun rasyonel bir denklemin kökü olduğunu söylemekten korkmadık, Bu sayıların tam olarak ne olduğunu gerçekten düşünmeden trigonometrik bir denklemin kökü:
Böylece matematikçilerin 2^ sembolüne ne anlam yüklediklerini bulduk. Benzer şekilde, a'nın ne olduğunu ve genel olarak ne olduğunu, a'nın irrasyonel bir sayı ve a > 1 olduğunu belirleyebilirsiniz.
Peki ya 0 ise<а <1? Как вычислить, например, ? Самым естественным способом: считать, что свести вычисления к случаю, когда основание степени больше 1.
Artık sadece keyfi rasyonel üslere sahip kuvvetlerden değil, aynı zamanda keyfi gerçek üslere sahip kuvvetlerden de bahsedebiliriz. Herhangi bir gerçek üslü derecelerin, derecelerin tüm olağan özelliklerine sahip olduğu kanıtlanmıştır: aynı tabanlarla kuvvetleri çarparken, üsler toplanır, bölünürken çıkarılır, bir dereceyi bir kuvvete yükseltirken çarpılır, vesaire. Ama en önemlisi artık tüm gerçel sayılar kümesinde tanımlanan y-ekseni fonksiyonundan bahsedebiliriz.
y = 2 x fonksiyonuna dönelim ve grafiğini oluşturalım. Bunu yapmak için y=2x fonksiyon değerleri tablosu oluşturalım:

Koordinat düzleminde noktaları işaretleyelim (Şek. 194), onlar belli bir çizgiyi işaretler, çizelim (Şek. 195).

y - 2 x fonksiyonunun özellikleri:
1)
2) ne çift ne de tektir; 248
3) artışlar;

5) ne en büyük ne de en küçük değerlere sahiptir;
6) sürekli;
7)
8) aşağı doğru dışbükey.

Y-2 x fonksiyonunun listelenen özelliklerinin kesin kanıtları yüksek matematik dersinde verilmektedir. Bu özelliklerin bazılarını daha önce bir dereceye kadar tartıştık, bazıları oluşturulan grafikte açıkça gösterilmiştir (bkz. Şekil 195). Örneğin, bir fonksiyonun eşlik veya tuhaflığının olmaması, grafiğin sırasıyla y eksenine veya orijine göre simetri eksikliğiyle geometrik olarak ilişkilidir.

a > 1 olmak üzere y = a x formundaki herhangi bir fonksiyon benzer özelliklere sahiptir. İncirde. 196 adet tek koordinat sistemi oluşturulmuş olup, y=2 x, y=3 x, y=5 x fonksiyonlarının grafikleri oluşturulmuştur.

Şimdi fonksiyonu ele alalım ve onun için bir değerler tablosu oluşturalım:

Koordinat düzleminde noktaları işaretleyelim (Şek. 197), onlar belli bir çizgiyi işaretler, çizelim (Şek. 198).

Fonksiyon özellikleri

1)
2) ne çift ne de tektir;
3) azalır;
4) yukarıdan sınırlı değil, aşağıdan sınırlı;
5) ne en büyük ne de en küçük değer vardır;
6) sürekli;
7)
8) aşağı doğru dışbükey.
y = a x formundaki herhangi bir fonksiyon benzer özelliklere sahiptir; burada O<а <1. На рис. 200 в одной системе координат построены графики функций
Lütfen dikkat: fonksiyon grafikleri onlar. y=2 x, y eksenine göre simetriktir (Şekil 201). Bu, genel ifadenin bir sonucudur (bkz. § 13): y = f(x) ve y = f(-x) fonksiyonlarının grafikleri y eksenine göre simetriktir. Benzer şekilde y = 3 x ve fonksiyonlarının grafikleri

Söylenenleri özetlemek için üstel fonksiyonun bir tanımını vereceğiz ve onun en önemli özelliklerini vurgulayacağız.

Tanım. Formun bir fonksiyonuna üstel fonksiyon denir.
Üstel fonksiyonun temel özellikleri y = a x

a>1 için y=ax fonksiyonunun grafiği Şekil 2'de gösterilmektedir. 201 ve 0 için<а < 1 - на рис. 202.

Şekil 2'de gösterilen eğri. 201 veya 202'ye üs denir. Aslında matematikçiler üstel fonksiyonun kendisine genellikle y = a x adını verirler. Dolayısıyla "üs" terimi iki anlamda kullanılır: hem üstel fonksiyonu adlandırmak için hem de üstel fonksiyonun grafiğini adlandırmak için. Genellikle üstel bir fonksiyondan mı yoksa grafiğinden mi bahsettiğimizin anlamı açıktır.

Üstel fonksiyon y=ax'in grafiğinin geometrik özelliğine dikkat edin: x ekseni grafiğin yatay asimptotudur. Doğru, bu ifade genellikle şu şekilde açıklığa kavuşturulur.
X ekseni, fonksiyonun grafiğinin yatay asimptotudur

Başka bir deyişle

İlk önemli not. Okul çocukları sıklıkla terimleri karıştırır: güç fonksiyonu, üstel fonksiyon. Karşılaştırmak:

Bunlar güç fonksiyonlarının örnekleridir;

Bunlar üstel fonksiyon örnekleridir.

Genel olarak, r'nin belirli bir sayı olduğu y = x r, bir kuvvet fonksiyonudur (x argümanı derecenin tabanında yer alır);
y = a", burada a belirli bir sayıdır (pozitif ve 1'den farklı), üstel bir fonksiyondur (x argümanı üste dahildir).

Y = x" gibi "egzotik" bir fonksiyon ne üstel ne de kuvvet olarak kabul edilir (bazen üstel olarak da adlandırılır).

İkinci önemli not. Genellikle a tabanı = 1 olan veya a eşitsizliğini sağlayan a tabanına sahip bir üstel fonksiyon dikkate alınmaz.<0 (вы, конечно, помните, что выше, в определении показательной функции, оговорены условия: а >0 ve a Gerçek şu ki, eğer a = 1 ise, o zaman x'in herhangi bir değeri için Ix = 1 eşitliği sağlanır. Böylece, a = 1 ile üstel fonksiyon y = a", sabit bir y = 1 fonksiyonuna "yozlaşır" - bu Eğer a = 0 ise, x'in herhangi bir pozitif değeri için 0x = 0 olur, yani x > 0 için tanımlanan y = 0 fonksiyonunu elde ederiz - bu da ilgi çekici değildir.<0, то выражение а" имеет смысл лишь при целых значениях х, а мы все-таки предпочитаем рассматривать функции, определенные на сплошных промежутках.

Örneklerin çözümüne geçmeden önce üstel fonksiyonun şu ana kadar incelediğiniz tüm fonksiyonlardan önemli ölçüde farklı olduğunu unutmayın. Yeni bir nesneyi iyice incelemek için onu farklı açılardan, farklı durumlarda düşünmeniz gerekir, bu nedenle birçok örnek olacaktır.
Örnek 1.

Çözüm, a) Bir koordinat sisteminde y = 2 x ve y = 1 fonksiyonlarının grafiklerini oluşturduğumuzda, bunların bir ortak noktaya (0; 1) sahip olduklarını fark ederiz (Şekil 203). Bu, 2x = 1 denkleminin tek bir x =0 köküne sahip olduğu anlamına gelir.

Yani 2x = 2° denkleminden x = 0 elde ederiz.

b) Bir koordinat sisteminde y = 2 x ve y = 4 fonksiyonlarının grafiklerini oluşturduğumuzda, bunların bir ortak noktaya (2; 4) sahip olduklarını fark ederiz (Şekil 203). Bu, 2x = 4 denkleminin tek bir x = 2 köküne sahip olduğu anlamına gelir.

Yani 2 x = 2 2 denkleminden x = 2 elde ederiz.

c) ve d) Aynı değerlendirmelere dayanarak, 2 x = 8 denkleminin tek bir köke sahip olduğu ve bunu bulmak için karşılık gelen fonksiyonların grafiklerinin oluşturulmasına gerek olmadığı sonucuna varıyoruz;

2 3 = 8 olduğundan x = 3 olduğu açıktır. Benzer şekilde denklemin tek kökünü buluyoruz

Yani 2x = 2 3 denkleminden x = 3, 2 x = 2 x denkleminden ise x = -4 elde ettik.
e) y = 2 x fonksiyonunun grafiği, x > 0 için y = 1 fonksiyonunun grafiğinin üzerinde yer alır - bu, Şekil 2'de açıkça okunabilir. 203. Bu, 2x > 1 eşitsizliğinin çözümünün aralık olduğu anlamına gelir
f) y = 2 x fonksiyonunun grafiği, y = 4 fonksiyonunun x noktasındaki grafiğinin altında yer alır.<2 - это хорошо читается по рис. 203. Значит, решением неравенства 2х <4служит промежуток
Örnek 1'i çözerken yapılan tüm sonuçların temelinin, y = 2 x fonksiyonunun monotonluk (artış) özelliği olduğunu muhtemelen fark etmişsinizdir. Benzer akıl yürütme aşağıdaki iki teoremin geçerliliğini doğrulamamızı sağlar.

Çözüm.Şu şekilde ilerleyebilirsiniz: y-3 x fonksiyonunun bir grafiğini oluşturun, ardından onu x ekseninden 3 kat kadar uzatın ve ardından elde edilen grafiği 2 ölçek birim yukarı yükseltin. Ancak 3- 3* = 3 * + 1 gerçeğini kullanmak ve dolayısıyla y = 3 x * 1 + 2 fonksiyonunun bir grafiğini oluşturmak daha uygundur.

Bu gibi durumlarda birçok kez yaptığımız gibi, başlangıç noktası (-1; 2) olan yardımcı koordinat sistemine geçelim - Şekil 2'deki noktalı çizgiler x = - 1 ve 1x = 2. 207. y=3* fonksiyonunu yeni koordinat sistemine bağlayalım. Bunu yapmak için fonksiyona yönelik kontrol noktalarını seçin , ancak bunları eski değil, yeni koordinat sisteminde oluşturacağız (bu noktalar Şekil 207'de işaretlenmiştir). Daha sonra noktalardan bir üs oluşturacağız - bu gerekli grafik olacaktır (bkz. Şekil 207).
En büyük ve en küçük değerleri bulmak için verilen fonksiyon[-2, 2] segmentinde, verilen fonksiyonun artıyor olmasından faydalanıyoruz ve bu nedenle sırasıyla en küçük ve en büyük değerlerini parçanın sol ve sağ uçlarında alıyor.
Bu yüzden:

Örnek 4. Denklem ve eşitsizlikleri çözün:

Çözüm, a) y=5* ve y=6-x fonksiyonlarının grafiklerini tek koordinat sisteminde oluşturalım (Şekil 208). Bir noktada kesişiyorlar; çizime bakılırsa bu nokta (1; 5). Kontrol, aslında (1; 5) noktasının hem y = 5* denklemini hem de y = 6-x denklemini karşıladığını göstermektedir. Bu noktanın apsisi verilen denklemin tek kökü görevi görür.

Yani 5 x = 6 - x denkleminin tek kökü x = 1'dir.

b) ve c) y-5x üssü y=6-x düz çizgisinin üzerinde yer alır, eğer x>1 ise, bu Şekil 2'de açıkça görülmektedir. 208. Bu, 5*>6 eşitsizliğinin çözümünün şu şekilde yazılabileceği anlamına gelir: x>1. Ve 5x eşitsizliğinin çözümü<6 - х можно записать так: х < 1.
Cevap: a)x = 1; b)x>1; c)x<1.

Örnek 5. Bir fonksiyon verildiğinde Kanıtla
Çözüm. Elimizdeki şarta göre.

Ders No.2

Konu: Üstel fonksiyon, özellikleri ve grafiği.

Hedef:“Üstel fonksiyon” kavramına hakim olmanın kalitesini kontrol edin; üstel fonksiyonu tanıma, özelliklerini ve grafiklerini kullanma, öğrencilere üstel fonksiyonu kaydetmenin analitik ve grafiksel formlarını kullanmayı öğretme becerilerini geliştirmek; Sınıfta çalışma ortamı sağlayın.

Teçhizat: pano, posterler

Ders formu: sınıf dersi

Ders türü: uygulamalı ders

Ders türü: beceri ve yetenekleri öğretme dersi

Ders planı

1. Organizasyon anı

2. Bağımsız çalışma ve ödev kontrolü

3. Sorun çözme

4. Özetleme

5. Ödev

Dersler sırasında.

1. Organizasyon anı :

Merhaba. Defterlerinizi açın, bugünün tarihini ve “Üstel Fonksiyon” dersinin konusunu yazın. Bugün üstel fonksiyonu, özelliklerini ve grafiğini incelemeye devam edeceğiz.

2. Bağımsız çalışma ve ödev kontrolü .

Hedef:“Üstel fonksiyon” kavramına hakim olma kalitesini kontrol edin ve ödevin teorik kısmının tamamlandığını kontrol edin

Yöntem: test görevi, ön araştırma

Ev ödevi olarak size problem kitabından sayılar ve ders kitabından bir paragraf verildi. Şimdi ders kitabındaki sayıların uygulamasını kontrol etmeyeceğiz, ancak ders sonunda not defterlerinizi teslim edeceksiniz. Şimdi teori küçük bir test şeklinde test edilecek. Görev herkes için aynıdır: Size bir işlevler listesi verilir, bunlardan hangisinin gösterge niteliğinde olduğunu bulmanız gerekir (altını çizin). Üstel fonksiyonun yanına da artan mı yoksa azalan mı olduğunu yazmanız gerekiyor.

seçenek 1

Cevap

D) - üstel, azalan

seçenek 2

Cevap

D) - üstel, azalan

D) - üstel, artan

Seçenek 3

Cevap

A) - üstel, artan

B) - üstel, azalan

Seçenek 4

Cevap

A) - üstel, azalan

İÇİNDE) - üstel, artan

Şimdi hangi fonksiyonun üstel olarak adlandırıldığını hep birlikte hatırlayalım.

ve biçimindeki bir fonksiyona üstel fonksiyon denir.

Bu fonksiyonun kapsamı nedir?

Hepsi gerçek sayılar.

Üstel fonksiyonun aralığı nedir?

Tüm pozitif gerçek sayılar.

Gücün tabanı sıfırdan büyük ancak birden küçükse azalır.

Üstel bir fonksiyon hangi durumda tanım kümesinde azalır?

Gücün tabanı birden büyükse artar.

3. Sorun çözme

Hedef: üstel bir fonksiyonu tanıma, özelliklerini ve grafiklerini kullanma becerilerini geliştirmek, öğrencilere üstel bir fonksiyon yazmanın analitik ve grafiksel biçimlerini kullanmayı öğretmek

Yöntem: Öğretmenin tipik problemleri çözme gösterisi, sözlü çalışma, tahtada çalışma, defterde çalışma, öğretmen ve öğrenciler arasındaki konuşma.

Üstel fonksiyonun özellikleri 2 veya daha fazla sayıyı karşılaştırırken kullanılabilir. Örneğin: No. 000. Değerleri karşılaştırın ve eğer a) ..gif" width = "37" height = "20 src = ">, o zaman bu oldukça karmaşık bir iş: 3 ile 9'un küp kökünü alıp bunları karşılaştırmamız gerekir. Ama arttığını biliyoruz, bu kendi yolunda, argüman arttıkça fonksiyonun değerinin de arttığı anlamına gelir, yani sadece argümanın değerlerini karşılaştırmamız gerekir ve açıktır ki (Artan bir üstel fonksiyonu gösteren bir poster üzerinde gösterilebilir). Ve her zaman, bu tür örnekleri çözerken, önce üstel fonksiyonun tabanını belirlersiniz, onu 1 ile karşılaştırırsınız, monotonluğu belirlersiniz ve argümanları karşılaştırmaya devam edersiniz. Azalan bir fonksiyon durumunda: argüman arttığında fonksiyonun değeri azalır, bu nedenle argümanların eşitsizliğinden fonksiyonların eşitsizliğine geçerken eşitsizliğin işaretini değiştiririz. Daha sonra sözlü olarak çözüyoruz: b)

İÇİNDE)

- No. 000. Sayıları karşılaştırın: a) ve

Bu nedenle fonksiyon artar, o zaman

Neden ?

Artan fonksiyon ve

Bu nedenle fonksiyon azalıyorsa

Her iki fonksiyon da tanım alanlarının tamamı boyunca artar, çünkü bunlar birden büyük bir güç tabanına sahip üsteldir.

Bunun arkasında yatan anlam nedir?

Grafikler oluşturuyoruz:

Çabalarken hangi işlev daha hızlı artar https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">

Çabalarken hangi işlev daha hızlı azalır https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">

Aralıkta belirli bir noktada hangi fonksiyon daha büyük değere sahiptir?

D), https://pandia.ru/text/80/379/images/image068_0.gif" width = "69" height = "57 src = ">. Öncelikle bu işlevlerin tanım kapsamını bulalım. Bunlar çakışıyor mu?

Evet, bu fonksiyonların tanım kümesinin tamamı reel sayılardır.

Bu işlevlerin her birinin kapsamını adlandırın.

Bu fonksiyonların aralıkları çakışmaktadır: tüm pozitif gerçek sayılar.

Her fonksiyonun monotonluk tipini belirleyin.

Her üç fonksiyon da tüm tanım alanları boyunca azalır, çünkü bunlar birden küçük ve sıfırdan büyük bir kuvvet tabanıyla üsteldir.

Üstel bir fonksiyonun grafiğinde hangi özel nokta vardır?

Bunun arkasında yatan anlam nedir?

Bir üstel fonksiyonun derecesinin temeli ne olursa olsun, eğer üstel 0 içeriyorsa bu fonksiyonun değeri 1 olur.

Grafikler oluşturuyoruz:

Grafikleri analiz edelim. Fonksiyonların grafiklerinde kaç kesişme noktası vardır?

https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif" width = "41 height=57" height = "57"> denendiğinde hangi işlev daha hızlı azalır?

Çabalarken hangi işlev daha hızlı artar https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif" width="41 height=57" height="57">

Aralıkta belirli bir noktada hangi fonksiyon daha büyük değere sahiptir?

Üstel fonksiyonlar neden farklı nedenlerden dolayı tek bir kesişme noktanız mı var?

Üstel fonksiyonlar tüm tanım alanları boyunca kesinlikle monotondur, dolayısıyla yalnızca bir noktada kesişebilirler.

Bir sonraki görev bu özelliğin kullanımına odaklanacaktır. No. 000. Verilen a) aralığında verilen fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulun. Kesinlikle monotonik bir fonksiyonun minimum ve maksimum değerlerini belirli bir bölümün uçlarında aldığını hatırlayın. Ve eğer fonksiyon artıyorsa, o zaman en yüksek değer parçanın sağ ucunda ve en küçüğü parçanın sol ucunda olacaktır (üstel fonksiyon örneği kullanılarak posterdeki gösterim). Fonksiyon azalıyorsa, en büyük değeri parçanın sol ucunda ve en küçük değeri parçanın sağ ucunda olacaktır (üstel fonksiyon örneğini kullanarak posterdeki gösterim). İşlev artıyor, çünkü işlevin en küçük değeri https://pandia.ru/text/80/379/images/image075_0.gif" width="145" height="29" noktasında olacaktır. >.Puan b ) ,V) d) Defterleri kendiniz çözün, sözlü olarak kontrol edeceğiz.

Öğrenciler görevleri defterlerinde çözerler

Azalan fonksiyon

fonksiyonun segmentteki en büyük değeri

bir segmentteki bir fonksiyonun en küçük değeri

Artan fonksiyon

bir segmentteki bir fonksiyonun en küçük değeri

fonksiyonun segmentteki en büyük değeri

- No. 000. Verilen aralıkta verilen fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini bulun a) . Bu görev neredeyse bir öncekiyle aynı. Ancak burada verilen şey bir parça değil, bir ışındır. Fonksiyonun arttığını ve tüm sayı doğrusunda ne en büyük ne de en küçük değere sahip olduğunu biliyoruz https://pandia.ru/text/80/379/images/image063_0.gif" width="68" height = "20"> ve at'ye yönelir, yani ışın üzerinde at fonksiyonu 0'a yönelir, ancak en küçük değerine sahip değildir, ancak noktada en büyük değere sahiptir. . Puan b) ,V) , G) Defterleri kendiniz çözün, sözlü olarak kontrol edeceğiz.