1.Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.
2.Отношение площадей треугольников, имеющих общие высоты, равно отношению оснований, соответствующих этим высотам.
3. Отношение площадей треугольников, имеющих общие основания, равно отношению высот, соответствующих этим сторонам треугольника.
4.В подобных треугольниках пропорциональны сходственные элементы, радиусы вписанных и описанных окружностей, периметры треугольников, квадратные корни из площадей.
5.Радиус вписанной окружности можно найти по формуле:
6.Радиус описанной окружности удобно находить с помощью теоремы синусов и косинусов:
7.Каждая медиана делит треугольник на 2 равновеликих треугольника.
8.Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.
9.Точка пересечения биссектрис делит биссектрису в отношении:
сумма сторон, образующих угол, из которого проведена биссектриса, к третьей стороне.
10.Медианы треугольника и стороны связаны формулой:
11.Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие, отсекает от него треугольник, подобный данному.
12. Если биссектрисы углов B и С треугольника ABC пересекаются в точке М, то .
13. Угол между биссектрисами смежных углов равен 90 .
14. Если М – точка касания со стороной АС окружности, вписанной в треугольник АВС, то где - полупериметр треугольника.
15. Окружность касается стороны ВС треугольника АВС и продолжений сторон АВ и АС. Тогда расстояние от вершины А до точки касания окружности с прямой АВ равно полупериметру треугольника АВС.
16. Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается сторон АВ, ВС и АС соответственно в точках K , L и M . Если , то .
17. Теорема Менелая. Дан треугольник АВС. Некоторая прямая пересекает его стороны АВ, ВС и продолжение стороны АС в точках С 1, А 1, В 1 соответственно. Тогда
18. Теорема Чевы. Пусть точки А 1, В 1 и С 1 принадлежат соответственно сторонам ВС, АС и АВ треугольника АВС. Отрезки АА 1, ВВ 1 и СС 1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда
19. Теорема Штейнера-Лемуса. Если две биссектрисы треугольника равны, то он равнобедренный.
20. Теорема Стюарта. Точка D расположена на стороне ВС треугольника АВС, тогда .
21.Внеписанной окружностью называют окружность, касающуюся одной из его сторон и продолжений двух других.
22.Для каждого треугольника существуют три внеписанных окружности, которые расположены вне треугольника.
23.Центром внеписанной окружности является точка пересечения биссектрис внешних углов треугольника и биссектрисы внутреннего, не смежного с этими двумя внешними.
24.Если окружность касается стороны ВС треугольника АВС и продолжений сторон АВ и АС. Тогда расстояние от вершины А до точки касания окружности с прямой АВ равно полупериметру треугольника АВС.
§ 21. Свойства геометрических фигур на плоскости
Лекция 53. Свойства геометрических фигур на плоскости
1. Геометрические фигуры на плоскости и их свойства
2. Углы, параллельные и перпендикулярные прямые
3. Параллельные и перпендикулярные прямые
Геометрическую фигуру определяют как любое множество точек. Отрезок, прямая, круг, шар – геометрические фигуры.
Если все точки геометрической фигуры принадлежат одной плоскости, она называется плоской. Например, отрезок, прямоугольник – это плоские фигуры. Существуют фигуры, не являющиеся плоскими. Это, например, куб, шар, пирамида.
Так как понятие геометрической фигуры определено через понятие множества, то можно говорить о том, что одна фигура включена в другую (или содержится в другой), можно рассматривать объединение, пересечение и разность фигур.
Например, объединением двух лучей АВ и МК является прямая КВ, а их пересечение есть отрезок АМ.
Различают выпуклые и невыпуклые фигуры. Фигура называется выпуклой, если она вместе с любыми двумя своими точками содержит также соединяющий их отрезок.
Фигуры F₁ выпуклая, а фигура F₂ - невыпуклая.
Выпуклыми фигурами являются плоскость, прямая, луч, отрезок, точка, круг.
Для многоугольников известно другое определение: многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону. Так как равносильность этого определения и данного выше для многоугольника доказана, то можно пользоваться и тем, и другим.
Рассмотрим некоторые понятия, изучаемые в школьном курсе геометрии, их определения и свойства, принимая их без доказательства.
Углы
Угол – это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называются сторонами угла, а их общее начало – его вершиной.
Угол обозначают по-разному: указывают либо его вершину, либо его стороны, либо три точки: вершину и точки на сторонах угла: А,(k,l),АВС.
Угол называется развернутым , если его стороны лежат на одной прямой.
Угол, составляющий половину развернутого угла, называется прямым. Угол, меньший прямого, называетсяострым . Угол, больший прямого, но меньший развернутого, называетсятупым.
Плоский угол – это часть плоскости, ограниченная двумя различными лучами, исходящими из одной точки.
Существуют два плоских угла, образованных двумя лучами с общим началом. Они называются дополнительными.
О
Углы, которые рассматриваются в планиметрии, не превосходят развернутого.
Два угла называются смежными , если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.
Сумма смежных углов равна 180º. Справедливость этого свойства вытекает их определения смежных углов.
Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого.
Вертикальные углы равны.
Параллельные и перпендикулярные прямые
Две прямые на плоскости называются параллельными , если они не пересекаются
Если прямая aпараллельна прямойb, то пишутa║b.
Рассмотрим некоторые свойства параллельных прямых, и прежде всего признаки параллельности.
Признаками называют теоремы, в которых устанавливается наличие какого-либо свойства объекта, находящегося в определенной ситуации. В частности, необходимость рассмотрения признаков параллельности прямых вызвана тем, что нередко в практике требуется решить вопрос о взаимном расположении двух прямых, но в то же время нельзя непосредственно воспользоваться определением.
Рассмотрим следующие признаки параллельности прямых :
1. Две прямые, параллельные третьей, параллельны друг другу.
2. Если внутренние накрест лежащие углы равны или сумма внутренних односторонних углов равна 180º, то прямые параллельны.
Справедливо утверждение, обратное второму признаку параллельности прямых: если две параллельные прямые пересечены третьей, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма односторонних углов равна 180º.
Важное свойство параллельных прямых раскрываются в теореме, носящей имя древнегреческого математикаФалеса : если параллельные прямые, пересекающие стороны угла отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.
Две прямые называются перпендикулярными , если они пересекаются под прямым углом.
Если прямая а перпендикулярна прямой b, то пишутab.
Основные свойства перпендикулярных прямых нашли отражение в двух теоремах:
1. Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную к ней прямую, и только одну.
2. Из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один.
Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, имеющей концом их точку пересечения. Конец этого отрезка называется основанием перпендикуляра.
Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую, называется расстоянием от точки до прямой.
Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от какой-нибудь точки одной прямой до другой.
Лекция 54. Свойства геометрических фигур на плоскости
4. Треугольники, четырехугольники, многоугольники. Формулы площадей треугольника, прямоугольника, параллелограмма, трапеции.
5. Окружность, круг.
Треугольники
Треугольник – одна из простейших геометрических фигур. Но его изучение породило целую науку – тригонометрию, которая возникла из практических потребностей при измерении земельных участков, составлении карт местности, конструировании различных механизмов.
Треугольником называется геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех попарно соединяющих их отрезков.
Любой треугольник разделяет плоскость на две части: внутреннюю и внешнюю. Фигуру, состоящую из треугольника и его внутренней области, также называют треугольником (или плоским треугольником).
В любом треугольнике выделяют следующие элементы: стороны, углы, высоты, биссектрисы, медианы, средние линии.
Углом треугольника АВС при вершине А называется угол, образованный полупрямыми АВ и АС.
Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведенный из этой вершины к прямой, содержащей противоположную сторону.
Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющей вершину с точкой на противоположной стороне.
Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны.
Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны и соответствующие углы равны. При этом соответствующие углы должны лежать против соответствующих сторон.
На практике и в теоретических построениях часто пользуются признаками равенства треугольников, обеспечивающих более быстрое решение вопроса об отношениях ме5жду ними. Таких признаков три:
1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
2. Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
3. Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Треугольник называется равнобедренным , если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми, а третья сторона называется основанием треугольника.
Равнобедренные треугольники обладают рядом свойств, например:
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Отметим несколько свойств треугольников.
1. Сумма углов треугольника равна 180º.
Из этого свойства следует, что в любом треугольнике хотя бы два угла острые.
2. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.
3. В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон.
Для прямоугольного треугольника верна теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Четырехугольники
Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков, причем никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами четырехугольника, а соединяющие их отрезки – его сторонами.
Любой четырехугольник разделяет плоскость на две части: внутреннюю и внешнюю. Фигуру, состоящую из четырехугольника и его внутренней области, также называется четырехугольником (или плоским четырехугольником).
Вершины четырехугольника называют соседними, если они являются концами одной из его сторон. Вершины, не являющиеся соседними, называются противолежащими. Отрезки, соединяющие противолежащие вершины четырехугольника, называются диагоналями .
Стороны четырехугольника, исходящие из одной вершины, называются соседними. Стороны, не имеющие общего конца, называются противолежащими. У четырехугольника АВСDвершины А и В – противолежащие, стороны АВ и ВС – соседние, ВС и АD– противолежащие; отрезки АС и ВD– диагонали данного четырехугольника.
Четырехугольники бывают выпуклые и невыпуклые. Так, четырехугольник АВСD– выпуклый, а четырехугольник КРМТ – невыпуклый. Среди выпуклых четырехугольников выделяют параллелограммы и трапеции.
Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.
Пусть АВСD– параллелограмм. Из вершины В на прямую АDопустим перпендикуляр ВЕ. Тогда отрезок ВЕ называется высотой параллелограмма, соответствующей сторонам ВС и АD. Отрезок
М
СМ – высота параллелограмм, соответствующая сторонам СDи АВ.
Чтобы упростить распознавание параллелограммов, рассматривают следующий признак: если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то данный четырехугольник – параллелограмм.
Ряд свойств параллелограмма, которые не содержатся в его определении, формулируют в виде теорем и доказывают. Среди них:
1. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
2. У параллелограмма противолежащие стороны и противолежащие углы равны.
Рассмотрим теперь определение трапеции и ее основное свойство.
Трапецией называется четырехугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны.
Эти параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются боковыми.
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
Средняя линия трапеции обладает свойством: она параллельна основаниям и равна их полусумме.
Из множества параллелограммов выделяют прямоугольники и ромбы.
Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.
Исходя из этого определения, можно доказать, что диагонали прямоугольника равны.
Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.
Пользуясь этим определением, можно доказать, что диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов.
Из множества прямоугольников выделяют квадраты.
Квадратом называют прямоугольник, у которого все стороны равны.
Так как стороны квадрата равны, то он является также ромбом. Следовательно, квадрат обладает свойствами прямоугольника и ромба.
Многоугольники
Обобщением понятия треугольника и четырехугольника является понятие многоугольника. Определяется оно через понятие ломаной.
Ломаной А₁А₂А₃…Аnназывается фигура, которая состоит из точек А₁, А₂, А₃, …, Аnи соединяющих их отрезков А₁А₂, А₂А₃, …, Аn-₁Аn. Точки А₁, А₂, А₃, …, Аnназываются вершинами ломаной, а отрезки А₁А₂, А₂А₃, …, Аn-₁Аn– ее звеньями.
Если ломаная не имеет самопересечений, то она называется простой. Если ее концы совпадают, то она называется замкнутой. О ломаных, изображенных на рисунке можно сказать: а) – простая; б) – простая замкнутая; в) – замкнутая ломаная, не являющаяся простой.
а) б) в)
Длиной ломаной называется сумма длин ее звеньев.
Известно, что длина ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего ее концы.
Многоугольником называется простая замкнутая ломаная, если ее соседние звенья не лежат на одной прямой.
Вершины ломаной называют вершинами многоугольника, а ее звенья – его сторонами. Отрезки, соединяющие несоседние вершины, называются диагоналями.
Любой многоугольник разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней, а другая – внешней областью многоугольника (или плоским многоугольником).
Различают выпуклые и невыпуклые многоугольники.
Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны и все углы равны.
Правильным является равносторонний треугольник, правильным четырехугольником – квадрат.
Углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, образуемый его сторонами, сходящимися в этой вершине.
Известно, что сумма углов выпуклого n-угольника равна 180º (n– 2).
В геометрии, кроме выпуклых и невыпуклых многоугольников, рассматривают еще многоугольные фигуры.
Многоугольной фигурой называется объединение конечного множества многоугольников.
а) б) в)
Многоугольники, из которых состоит многоугольная фигура, могут не иметь общих внутренних точек, могут иметь общие внутренние точки.
Говорят, что многоугольная фигура Fсостоит из многоугольных фигур, если она является их объединением, а сами фигуры не имеют общих внутренних точек. Например, о многоугольных фигурах, изображенных на рисунке а) и в), можно сказать, что они состоят из двух многоугольных фигур или что они разбиты на две многоугольные фигуры.
Окружность и круг
Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемойцентром .
Любой отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром, называется радиусом окружности. Радиусом называется также расстояние от любой точки окружности до ее центра.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой . Хорда, проходящая через центр, называетсядиаметром .
Кругом называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки. Эта точка называется центром круга, а данное расстояние – радиусом круга.
Границей круга является окружность с теми же центром и радиусом.
Напомним некоторые свойства окружности и круга.
Говорят, что прямая и окружность касаются, если они имеют единственную общую точку. Такую прямую называют касательной, а общую точку прямой и окружности – точкой касания. Доказано, что если прямая касается окружности, то она перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Справедливо и обратное утверждение (рис. а).
Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре. Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, называется дугой окружности, соответствующей этому центральному углу (рис.б).
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее, называется вписанным в эту окружность (рис.в).
Угол, вписанный в окружность, обладает следующим свойством: он равен половине соответствующего центрального угла. В частности, углы, опирающиеся на диаметр – прямые.
Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.
Чтобы описать окружность около треугольника, надо найти ее центр. Правило его нахождения обосновывается следующей теоремой:
Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров к его сторонам, проведенных через середины этих сторон (рис.а).
Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.
Правило нахождения центра такой окружности обосновывается теоремой:
Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис (рис.б)
Таким образом, серединные перпендикуляры и биссектрисы пересекаются в одной точке соответственно. В геометрии доказано, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. Эту точку называют центром тяжести треугольника, а точку пересечения высот – ортоцентром.
Таким образом, во всяком треугольнике существует четыре замечательные точки: центр тяжести, центры вписанной и описанной окружностей и ортоцентр.
Около всякого правильного многоугольника можно описать окружность и во всякий правильный многоугольник можно вписать окружность, причем центры описанной и вписанной окружностей совпадают.
Пятый постулат. Открытие геометрий, отличных от Евклида.
Для построения геометрии достаточно выбрать лишь несколько положений, взяв их непосредственно из практики, и с помощью логических рассуждений получить остальные необходимые рассуждения. Положения следует называть аксиомами, следствия из них теоремами. Древнегреческий геометр Евклид Александрийский является автором труда «Начала», в котором перечисляются аксиомы – положения, их 5:
- Через две точки можно провести прямую.
- Прямую можно продолжить в обе стороны.
- Около любой точки произвольным радиусом можно провести окружность.
- Все прямые углы равны между собой.
- Если две прямые на плоскости в пересечении с третьей образуют внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых углов, то эти прямые пересекаются (Другая формулировка: в плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной).
ФОРМУЛИРОВКА V ПОСТУЛАТА
Вот о чем говорится в пятом постулате:
Если две прямые а и в образуют при пересечении с третьей прямой внутренние односторонние углы a и в, сумма величин которых меньше двух прямых углов (т.е. меньше 180°; рис. 1), то эти две прямые обязательно пересекаются, причем именно с той стороны от третьей прямой, по которую расположены углы а и в (составляющие вместе менее 180°).
Последний пятый постулат обратил на себя особое внимание, поскольку формулировался значительно сложнее и не был интуитивно понятен как остальные. Проблема V постулата была впервые решена профессором Казанского университета, гениальным русским математиком Николаем Ивановичем Лобачевским (1792-1856), открывшим в 1862 г. первую неевклидову геометрию, называемую так же «гиперболической».
Совокупность теорем геометрии, не зависящих от евклидовой аксиомы параллельности , венгерский математик Янош Бойяи назвал «абсолютной» геометрией . Все же остальные теоремы, то есть те, при доказательстве которых мы непосредственно или косвенно основываемся на V постулате, составляет собственно евклидову геометрию .
Среди неевклидовых геометрий можно выделить следующие:
- Геометрия Лобачевского, Гаусса, Бойяи. В плоскости через точку А вне прямой а можно провести более 1 прямой, параллельной данной.
- Сферическая геометрия. Геометрия на поверхности сферы, основные факты которой были изучены еще в древности, в связи с задачами астрономии. Дело в том, что поверхность Земли представляет собой практически правильную сферу, поэтому необходима была геометрия, обеспечивающая правильность расчетов в условиях искривленных поверхностей.
- Геометрия Римана. Основывалась на сферической геометрии. Риман существенно расширил список теорем и аксиом. Геометрия Римана - одна из трёх «великих геометрий» (Евклида, Лобачевского и Римана). Если геометрия Евклида реализуется на поверхностях с постоянной нулевой гауссовой кривизной, Лобачевского - с постоянной отрицательной, то геометрия Римана - реализуется на поверхностях с постоянной положительной гауссовой кривизной. В геометрии Римана прямая определяется двумя точками, плоскость - тремя, две плоскости пересекаются по прямой и т. д., но через данную точку нельзя провести к прямой ни одной параллельной. В частности, в этой геометрии имеется теорема: сумма углов треугольника больше двух прямых. Исторически геометрия Римана появилась позже двух других геометрий (в 1854 г.).Геометрия Римана похожа на сферическую геометрию, но отличается тем, что любые две «прямые» имеют не две, как в сферической, а только одну точку пересечения. Поэтому иногда геометрией Римана называют геометрию на сфере, в которой противоположные точки отождествлены; таким образом из сферы получается проективная плоскость.
Особая роль V постулата, его большая сложность и меньшая наглядность (по сравнению с другими аксиомами) привели к тому, что математики позднейших веков стали пытаться доказать этот постулат как теорему. Некоторые из них старались вывести этот постулат из остальных аксиом Евклида, не добавляя к ним новых утверждений; другие же открыто заменяли V постулат иной аксиомой, которую они считали более простой и наглядной. Разумеется, новая аксиома содержала утверждение, равносильное V постулату. Но и анализ тех доказательств, в которых V постулат не заменялся другой аксиомой открыто, показывает, что здесь также использовались утверждения, равносильные V постулату, однако это делалось неявно, незаметно для автора доказательства.
Значение пятого постулата невозможно переоценить, так как без него не обошлась бы ни одна из двух известных нам геометрий. Если бы пятый постулат не рассмотрели ученые, то не было бы такого величайшего открытия, ведь с помощью неевклидовой геометрии люди получили новое представление о пространстве. Именно с пятого постулата все началось: он - точка отсчета, двигатель науки.
Интуиция подсказывала, что и евклидова и неевклидова геометрии являются примерами полноценной математики.
Определение и свойства основных геометрических фигур.
Основные свойства
1.Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.
2.Отношение площадей треугольников, имеющих общие высоты, равно отношению оснований, соответствующих этим высотам.
3. Отношение площадей треугольников, имеющих общие основания, равно отношению высот, соответствующих этим сторонам треугольника.
4.В подобных треугольниках пропорциональны сходственные элементы, радиусы вписанных и описанных окружностей, периметры треугольников, квадратные корни из площадей.
5.Радиус вписанной окружности можно найти по формуле:
6.Радиус описанной окружности удобно находить с помощью теоремы синусов и косинусов:
7.Каждая медиана делит треугольник на 2 равновеликих треугольника.
8.Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.
9.Точка пересечения биссектрис делит биссектрису в отношении:
сумма сторон, образующих угол, из которого проведена биссектриса, к третьей стороне.
10.Медианы треугольника и стороны связаны формулой:
11.Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие, отсекает от него треугольник, подобный данному.
12. Если биссектрисы углов B и С треугольника ABC пересекаются в точке М, то .
13. Угол между биссектрисами смежных углов равен 90 .
14. Если М – точка касания со стороной АС окружности, вписанной в треугольник АВС, то где - полупериметр треугольника.
15. Окружность касается стороны ВС треугольника АВС и продолжений сторон АВ и АС. Тогда расстояние от вершины А до точки касания окружности с прямой АВ равно полупериметру треугольника АВС.
16. Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается сторон АВ, ВС и АС соответственно в точках K, L и M. Если , то .
17.Теорема Менелая. Дан треугольник АВС. Некоторая прямая пересекает его стороны АВ, ВС и продолжение стороны АС в точках С1, А1,В1 соответственно. Тогда
18.Теорема Чевы. Пусть точки А1,В1 и С1 принадлежат соответственно сторонам ВС, АС и АВ треугольника АВС. Отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда
19.Теорема Штейнера-Лемуса. Если две биссектрисы треугольника равны, то он равнобедренный.
20.Теорема Стюарта. Точка D расположена на стороне ВС треугольника АВС, тогда .
21.Внеписанной окружностью называют окружность, касающуюся одной из его сторон и продолжений двух других.
22.Для каждого треугольника существуют три внеписанных окружности, которые расположены вне треугольника.
23.Центром внеписанной окружности является точка пересечения биссектрис внешних углов треугольника и биссектрисы внутреннего, не смежного с этими двумя внешними.
24.Если окружность касается стороны ВС треугольника АВС и продолжений сторон АВ и АС. Тогда расстояние от вершины А до точки касания окружности с прямой АВ равно полупериметру треугольника АВС.
Задачи на построение.
Планиметрия – это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры на плоскости.
Фигуры, изучаемые планиметрией:
3. Параллелограмм (частные случаи: квадрат, прямоугольник, ромб)
4. Трапеция
5. Окружность
6. Треугольник
7. Многоугольник
1) Точка:
В геометрии, топологии и близких разделах математики точкой называют абстрактный объект в пространстве, не имеющий ни объёма, ни площади, ни длины, ни каких-либо других аналогичных характеристик больших размерностей. Таким образом, точкой называют нульмерный объект. Точка является одним из фундаментальных понятий в математике.
Точка в Евклидовой геометрии:
Точка - это одно из фундаментальных понятий геометрии, поэтому "точка" не имеет определения. Евклид определил точку как то, что нельзя разделить.
Прямая - одно из основных понятий геометрии.
Геометрическая прямая (прямая линия) - незамкнутый с двух сторон, протяженный не искривляющийся геометрический объект, поперечное сечение которого стремится к нулю, а продольная проекция на плоскость даёт точку.
При систематическом изложении геометрии прямая линия обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии.
Если основой построения геометрии служит понятие расстояния между двумя точками пространства, то прямую линию можно определить как линию, путь вдоль которой равен расстоянию между двумя точками.
3) Параллелограмм:
Параллелограмм- это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.
Частные случаи:
Квадрат - правильный четырёхугольник или ромб, у которого все углы прямые, или параллелограмм, у которого все стороны и углы равны.
Квадрат может быть определён как : прямоугольник, у которого две смежные стороны равны;
ромб, у которого все углы прямые (любой квадрат является ромбом, но не любой ромб является квадратом).
Прямоугольник - это параллелограмм, у которого все углы прямые (равны 90 градусам).
Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны. Ромб с прямыми углами называется квадратом.
4) Трапеция:
Трапеция - четырёхугольник, у которого ровно одна пара противолежащих сторон параллельна.
1. Трапеция, у которой боковые стороны не равны,
называется разносторонней .
2. Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой.
3. Трапеция, у которой одна боковая сторона составляет прямой угол с основаниями, называется прямоугольной .
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции (MN). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Трапецию можно назвать усеченным треугольником, поэтому и названия трапеций сходны с названиями треугольников (треугольники бывают разносторонние, равнобедренные, прямоугольные).
5) Окружность:
Окружность - геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой центром, на заданное ненулевое расстояние, называемое её радиусом.
6) Треугольник:
Треугольник - простейший многоугольник, имеющий 3 вершины (угла) и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки.
7) Многоугольник:
Многоугольник - это геометрическая фигура, определяется как замкнутая ломаная. Существуют три различных варианта определения:
Плоские замкнутые ломаные;
Плоские замкнутые ломаные без самопересечений;
Части плоскости, ограниченные ломаными.
Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а отрезки - сторонами многоугольника.
Основные свойства прямой и точки:
1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой и не принадлежащие ей.
Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
2. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
3. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
6. На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.
7. От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180О, и только один.
8. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой.
Свойства треугольника:
Соотношения между сторонами и углами треугольника:
1) Против большей стороны лежит больший угол.
2) Против большего угла лежит большая сторона.
3) Против равных сторон лежат равные углы, и, обратно, против равных углов лежат равные стороны.
Соотношение между внутренними и внешними углами треугольника:
1) Сумма двух любых внутренних углов треугольника равна внешнему углу треугольника, смежного с третьим углом.
2) Стороны и углы треугольника связаны между собой также соотношениями, называемыми теоремой синусов и теоремой косинусов.
Треугольник называется тупоугольным, прямоугольным или остроугольным , если его наибольший внутренний угол соответственно больше, равен или меньше 90∘.
Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.
Свойства средней линии треугольника:
1) Прямая, содержащая среднюю линию треугольника, параллельна прямой, содержащей третью сторону треугольника.
2) Средняя линия треугольника равна половине третьей стороны.
3) Средняя линия треугольника отсекает от треугольника подобный треугольник.
Свойства прямоугольника:
1) противолежащие стороны равны и параллельны друг другу;
2) диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам;
3) сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех (четырех) сторон;
4) прямогугольниками одного размера можно полностью замостить плоскость;
5)прямоугольник можно двумя способами разделить на два равных между собой прямоугольника;
6) прямоугольник можно разделить на два равных между собой прямогульных треугольника;
7)вокруг прямоугольника можно описать окружность, диаметр которой равен диагонали прямоугольника;
8) в прямогульник (кроме квадрата) нельзя вписать окружность так, чтобы она касалась всех его сторон.
Свойства параллелограмма:
1) Середина диагонали параллелограмма является его центром симметрии.
2) Противоположные стороны параллелограмма равны.
3) Противоположные углы параллелограмма равны.
4) Каждая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
5) Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам.
6) Сумма квадратов диагоналей параллелограмма (d1 и d2) равна сумме квадратов всех его сторон: d21+d22=2(a2+b2)
Свойства квадрата:
1) Все углы квадрата - прямые, все стороны квадрата - равны.
2) Диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом.
3) Диагонали квадрата делят его углы пополам.
Свойства ромба:
1. Диагональ ромба делит его на два равных треугольника.
2. Диагонали ромба в точке их пересечения делятся пополам.
3. Противоположные стороны ромба равны между собой, равны и противоположные углы его.
Кроме того, ромб обладает ещё следующими свойствами:
а) диагонали ромба взаимно перпендикулярны;
б) диагональ ромба делит угол его пополам.
Свойства окружности:
1) Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку (касательная); иметь с ней две общие точки (секущая).
2) Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.
3) Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.
Свойства многоугольника:
1) Сумма внутренних углов плоского выпуклого n-угольника равна.
2)Число диагоналей всякого n-угольника равно.
3).Произведение сторон многоугольника на синус угла между ними равна площади многоуголиника.
4. Треугольники, четырехугольники, многоугольники. Формулы площадей треугольника, прямоугольника, параллелограмма, трапеции.
5. Окружность, круг.
- Треугольники
Треугольник – одна из простейших геометрических фигур. Но его изучение породило целую науку – тригонометрию, которая возникла из практических потребностей при измерении земельных участков, составлении карт местности, конструировании различных механизмов.
Треугольником называется геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех попарно соединяющих их отрезков.
Любой треугольник разделяет плоскость на две части: внутреннюю и внешнюю. Фигуру, состоящую из треугольника и его внутренней области, также называют треугольником (или плоским треугольником).
В любом треугольнике выделяют следующие элементы: стороны, углы, высоты, биссектрисы, медианы, средние линии.
Углом треугольника АВС при вершине А называется угол, образованный полупрямыми АВ и АС.
Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведенный из этой вершины к прямой, содержащей противоположную сторону.
Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющей вершину с точкой на противоположной стороне.
Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны.
Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны и соответствующие углы равны. При этом соответствующие углы должны лежать против соответствующих сторон.
На практике и в теоретических построениях часто пользуются признаками равенства треугольников, обеспечивающих более быстрое решение вопроса об отношениях ме5жду ними. Таких признаков три:
1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
2. Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
3. Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Треугольник называется равнобедренным , если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми, а третья сторона называется основанием треугольника.
Равнобедренные треугольники обладают рядом свойств, например:
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Отметим несколько свойств треугольников.
1. Сумма углов треугольника равна 180º.
Из этого свойства следует, что в любом треугольнике хотя бы два угла острые.
2. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.
3. В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон.
Для прямоугольного треугольника верна теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
- Четырехугольники
Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков, причем никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами четырехугольника, а соединяющие их отрезки – его сторонами.
Любой четырехугольник разделяет плоскость на две части: внутреннюю и внешнюю. Фигуру, состоящую из четырехугольника и его внутренней области, также называется четырехугольником (или плоским четырехугольником).
Вершины четырехугольника называют соседними, если они являются концами одной из его сторон. Вершины, не являющиеся соседними, называются противолежащими. Отрезки, соединяющие противолежащие вершины четырехугольника, называются диагоналями .
Стороны четырехугольника, исходящие из одной вершины, называются соседними. Стороны, не имеющие общего конца, называются противолежащими. У четырехугольника АВСD вершины А и В – противолежащие, стороны АВ и ВС – соседние, ВС и АD – противолежащие; отрезки АС и ВD – диагонали данного четырехугольника.
Четырехугольники бывают выпуклые и невыпуклые. Так, четырехугольник АВСD – выпуклый, а четырехугольник КРМТ – невыпуклый. Среди выпуклых четырехугольников выделяют параллелограммы и трапеции.
Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.
Пусть АВСD – параллелограмм. Из вершины В на прямую АD опустим перпендикуляр ВЕ. Тогда отрезок ВЕ называется высотой параллелограмма, соответствующей сторонам ВС и АD. Отрезок
М 
СМ – высота параллелограмм, соответствующая сторонам СD и АВ.
Чтобы упростить распознавание параллелограммов, рассматривают следующий признак: если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то данный четырехугольник – параллелограмм.
Ряд свойств параллелограмма, которые не содержатся в его определении, формулируют в виде теорем и доказывают. Среди них:
1. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
2. У параллелограмма противолежащие стороны и противолежащие углы равны.
Рассмотрим теперь определение трапеции и ее основное свойство.
Трапецией называется четырехугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны.
Эти параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются боковыми.
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
Средняя линия трапеции обладает свойством: она параллельна основаниям и равна их полусумме.
Из множества параллелограммов выделяют прямоугольники и ромбы.
Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.
Исходя из этого определения, можно доказать, что диагонали прямоугольника равны.
Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.
Пользуясь этим определением, можно доказать, что диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов.
Из множества прямоугольников выделяют квадраты.
Квадратом называют прямоугольник, у которого все стороны равны.
Так как стороны квадрата равны, то он является также ромбом. Следовательно, квадрат обладает свойствами прямоугольника и ромба.
- Многоугольники
Обобщением понятия треугольника и четырехугольника является понятие многоугольника. Определяется оно через понятие ломаной.
Ломаной А₁А₂А₃…Аn называется фигура, которая состоит из точек А₁, А₂, А₃, …, Аn и соединяющих их отрезков А₁А₂, А₂А₃, …, Аn-₁Аn. Точки А₁, А₂, А₃, …, Аn называются вершинами ломаной, а отрезки А₁А₂, А₂А₃, …, Аn-₁Аn – ее звеньями.
Если ломаная не имеет самопересечений, то она называется простой. Если ее концы совпадают, то она называется замкнутой. О ломаных, изображенных на рисунке можно сказать: а) – простая; б) – простая замкнутая; в) – замкнутая ломаная, не являющаяся простой.
А) б) в)
Длиной ломаной называется сумма длин ее звеньев.
Известно, что длина ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего ее концы.
Многоугольником называется простая замкнутая ломаная, если ее соседние звенья не лежат на одной прямой.
Вершины ломаной называют вершинами многоугольника, а ее звенья – его сторонами. Отрезки, соединяющие несоседние вершины, называются диагоналями.
Любой многоугольник разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней, а другая – внешней областью многоугольника (или плоским многоугольником).
Различают выпуклые и невыпуклые многоугольники.
Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны и все углы равны.
Правильным является равносторонний треугольник, правильным четырехугольником – квадрат.
Углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, образуемый его сторонами, сходящимися в этой вершине.
Известно, что сумма углов выпуклого n-угольника равна 180º (n – 2).
В геометрии, кроме выпуклых и невыпуклых многоугольников, рассматривают еще многоугольные фигуры.
Многоугольной фигурой называется объединение конечного множества многоугольников.
А) б) в)
Многоугольники, из которых состоит многоугольная фигура, могут не иметь общих внутренних точек, могут иметь общие внутренние точки.
Говорят, что многоугольная фигура F состоит из многоугольных фигур, если она является их объединением, а сами фигуры не имеют общих внутренних точек. Например, о многоугольных фигурах, изображенных на рисунке а) и в), можно сказать, что они состоят из двух многоугольных фигур или что они разбиты на две многоугольные фигуры.
- Окружность и круг
Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой центром .
Любой отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром, называется радиусом окружности. Радиусом называется также расстояние от любой точки окружности до ее центра.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой . Хорда, проходящая через центр, называется диаметром .
Кругом называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки. Эта точка называется центром круга, а данное расстояние – радиусом круга.
Границей круга является окружность с теми же центром и радиусом.
Напомним некоторые свойства окружности и круга.
Говорят, что прямая и окружность касаются, если они имеют единственную общую точку. Такую прямую называют касательной, а общую точку прямой и окружности – точкой касания. Доказано, что если прямая касается окружности, то она перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Справедливо и обратное утверждение (рис. а).
Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре. Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, называется дугой окружности, соответствующей этому центральному углу (рис.б).
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее, называется вписанным в эту окружность (рис.в).
Угол, вписанный в окружность, обладает следующим свойством: он равен половине соответствующего центрального угла. В частности, углы, опирающиеся на диаметр – прямые.
Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.
Чтобы описать окружность около треугольника, надо найти ее центр. Правило его нахождения обосновывается следующей теоремой:
Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров к его сторонам, проведенных через середины этих сторон (рис.а).
Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.
Правило нахождения центра такой окружности обосновывается теоремой:
Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис (рис.б)
Таким образом, серединные перпендикуляры и биссектрисы пересекаются в одной точке соответственно. В геометрии доказано, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. Эту точку называют центром тяжести треугольника, а точку пересечения высот – ортоцентром.
Таким образом, во всяком треугольнике существует четыре замечательные точки: центр тяжести, центры вписанной и описанной окружностей и ортоцентр.
Около всякого правильного многоугольника можно описать окружность и во всякий правильный многоугольник можно вписать окружность, причем центры описанной и вписанной окружностей совпадают.
