Goniometrické rovnice nie sú najľahšou témou. Bolestne sú rôznorodé.) Napríklad tieto:
sin2x + cos3x = ctg5x
sin(5x+π /4) = ctg(2x-π /3)
sinx + cos2x + tg3x = ctg4x
Atď...
Ale tieto (a všetky ostatné) trigonometrické príšery majú dve spoločné a povinné vlastnosti. Po prvé - neuveríte - v rovniciach sú goniometrické funkcie.) Po druhé: všetky výrazy s x sú v rámci tých istých funkcií. A len tam! Ak sa niekde objaví x vonku, Napríklad, hriech2x + 3x = 3, toto bude rovnica zmiešaného typu. Takéto rovnice si vyžadujú individuálny prístup. Tu ich nebudeme brať do úvahy.
Ani v tejto lekcii nebudeme riešiť zlé rovnice.) Tu sa budeme zaoberať najjednoduchšie goniometrické rovnice. prečo? Áno, pretože rozhodnutie akýkoľvek goniometrické rovnice pozostávajú z dvoch stupňov. V prvej fáze sa rovnica zla rôznymi transformáciami redukuje na jednoduchú. Na druhej - táto najjednoduchšia rovnica je vyriešená. Žiadna iná cesta.
Takže ak máte problémy v druhej fáze, prvá fáza nedáva veľký zmysel.)
Ako vyzerajú elementárne goniometrické rovnice?
sinx = a
cosx = a
tgx = a
ctgx = a
Tu a znamená ľubovoľné číslo. Akýkoľvek.
Mimochodom, vo vnútri funkcie nemusí byť čisté x, ale nejaký druh výrazu, ako napríklad:
cos(3x+π/3) = 1/2
atď. To komplikuje život, ale neovplyvňuje spôsob riešenia goniometrickej rovnice.
Ako riešiť goniometrické rovnice?
Goniometrické rovnice možno riešiť dvoma spôsobmi. Prvý spôsob: pomocou logiky a trigonometrického kruhu. Túto cestu preskúmame tu. Druhým spôsobom - pomocou pamäte a vzorcov - sa budeme zaoberať v nasledujúcej lekcii.
Prvý spôsob je jasný, spoľahlivý a ťažko zabudnuteľný.) Je dobrý na riešenie goniometrických rovníc, nerovníc a všelijakých záludných neštandardných príkladov. Logika je silnejšia ako pamäť!
Rovnice riešime pomocou trigonometrickej kružnice.
Zaraďujeme sem elementárnu logiku a schopnosť používať trigonometrický kruh. Nemôžeš!? Však... Na trigonometrii to budeš mať ťažké...) Ale to nevadí. Pozrite sa na lekcie "Trigonometrický kruh ...... Čo je to?" a "Počítanie uhlov na trigonometrickom kruhu." Všetko je tam jednoduché. Na rozdiel od učebníc...)
Aha, vieš!? A ešte zvládnutú „Praktická práca s trigonometrickým kruhom“!? Prijmite gratulácie. Táto téma vám bude blízka a zrozumiteľná.) Poteší najmä to, že trigonometrickému kruhu je jedno, ktorú rovnicu riešite. Sínus, kosínus, tangens, kotangens - všetko je pre neho rovnaké. Princíp riešenia je rovnaký.
Takže vezmeme akúkoľvek elementárnu goniometrickú rovnicu. Aspoň toto:
cosx = 0,5
Potrebujem nájsť X. Musíte hovoriť ľudskou rečou nájdite uhol (x), ktorého kosínus je 0,5.
Ako sme predtým používali kruh? Nakreslili sme naň roh. V stupňoch alebo radiánoch. A hneď videný goniometrické funkcie tohto uhla. Teraz urobme opak. Nakreslite kosínus rovnajúci sa 0,5 na kruh a okamžite uvidíme injekciou. Zostáva už len zapísať odpoveď.) Áno, áno!
Nakreslíme kruh a označíme kosínus rovný 0,5. Na kosínusovej osi, samozrejme. Páči sa ti to:
Teraz nakreslíme uhol, ktorý nám dáva tento kosínus. Umiestnite kurzor myši na obrázok (alebo sa ho dotknite na tablete) a pozri tento istý roh X.
Ktorý uhol má kosínus 0,5?
x \u003d π / 3
cos 60°= cos( π /3) = 0,5
Niektorí budú skepticky grgať, áno... Hovoria, stálo to za to urobiť kruh, keď je aj tak všetko jasné... Môžete, samozrejme, grgať...) Faktom však je, že toto je chybná odpoveď . Alebo skôr neadekvátne. Znalci kruhov chápu, že stále existuje veľa uhlov, ktoré tiež dávajú kosínus rovný 0,5.
Ak otočíte pohyblivú stranu OA na úplné otočenie, bod A sa vráti do pôvodnej polohy. S rovnakým kosínusom rovným 0,5. Tie. uhol sa zmení 360° alebo 2π radiánov a kosínus nie je. Nový uhol 60° + 360° = 420° bude tiež riešením našej rovnice, pretože
Takýchto plných rotácií je nekonečné množstvo... A všetky tieto nové uhly budú riešeniami našej goniometrickej rovnice. A všetky ich treba nejako zapísať. Všetko. V opačnom prípade sa na rozhodnutie neprihliada, áno ...)
Matematika to dokáže jednoducho a elegantne. V jednej krátkej odpovedi napíšte nekonečná množina riešenia. Takto to vyzerá pre našu rovnicu:
x = π /3 + 2π n, n ∈ Z
rozlúštim. Stále píšte zmysluplne krajšie ako hlúpe kresliť nejaké záhadné písmená, však?)
π /3 je rovnaký uhol ako my videl na kruhu a identifikované podľa tabuľky kosínusov.
2π je jedna celá otáčka v radiánoch.
n - ide o počet kompletných, t.j. celý revolúcie. Je jasné že n môže byť 0, ±1, ±2, ±3.... atď. Ako naznačuje krátky záznam:
n ∈ Z
n patrí ( ∈ ) na množinu celých čísel ( Z ). Mimochodom, namiesto písmena n možno použiť písmená k, m, t atď.
Tento zápis znamená, že môžete použiť akékoľvek celé číslo n . Aspoň -3, aspoň 0, aspoň +55. Čo chceš. Ak toto číslo zapojíte do odpovede, získate špecifický uhol, ktorý bude určite riešením našej drsnej rovnice.)
Alebo, inými slovami, x \u003d π / 3 je jediným koreňom nekonečnej množiny. Na získanie všetkých ostatných koreňov stačí pridať ľubovoľný počet celých závitov k π / 3 ( n ) v radiánoch. Tie. 2πn radián.
Všetko? nie Konkrétne naťahujem rozkoš. Aby sme si lepšie zapamätali.) Dostali sme len časť odpovedí na našu rovnicu. Túto prvú časť riešenia napíšem takto:
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
x 1 - nie jeden koreň, je to celý rad koreňov, písaných v skrátenej forme.
Existujú však aj iné uhly, ktoré tiež dávajú kosínus rovný 0,5!
Vráťme sa k nášmu obrázku, podľa ktorého sme si zapísali odpoveď. Tu je:
Presuňte myš nad obrázok a pozriďalší roh, ktorý tiež dáva kosínus 0,5.Čomu sa to podľa vás rovná? Trojuholníky sú rovnaké... Áno! Rovná sa uhlu X , len zakreslený v negatívnom smere. Toto je roh -X. Ale už sme vypočítali x. π /3 alebo 60°. Preto môžeme pokojne napísať:
x 2 \u003d - π / 3
A samozrejme pridáme všetky uhly, ktoré sa získajú úplnými otáčkami:
x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
To je teraz všetko.) V trigonometrickom kruhu sme videl(kto tomu rozumie samozrejme)) všetky uhly, ktoré dávajú kosínus rovný 0,5. A tieto uhly zapísali v krátkej matematickej forme. Odpoveďou sú dve nekonečné série koreňov:
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
Toto je správna odpoveď.
Nádej, všeobecný princíp riešenia goniometrických rovníc s pomocou kruhu je pochopiteľné. Na kružnici si označíme kosínus (sínus, tangens, kotangens) z danej rovnice, nakreslíme zodpovedajúce uhly a zapíšeme odpoveď. Samozrejme, musíte prísť na to, aké sme rohy videl na kruhu. Niekedy to nie je také zrejmé. No, ako som povedal, tu je potrebná logika.)
Napríklad analyzujme inú goniometrickú rovnicu:
Upozorňujeme, že číslo 0,5 nie je jediné možné číslo v rovniciach!) Len je pre mňa pohodlnejšie ho písať ako odmocniny a zlomky.
Pracujeme podľa všeobecného princípu. Nakreslíme kruh, označíme (samozrejme na sínusovej osi!) 0,5. Nakreslíme naraz všetky uhly zodpovedajúce tomuto sínusu. Dostávame tento obrázok:
Poďme sa najprv zaoberať uhlom. X v prvom štvrťroku. Pripomíname si tabuľku sínusov a určujeme hodnotu tohto uhla. Vec je jednoduchá:
x \u003d π / 6
Vybavujeme si celé otáčky a s čistým svedomím si zapíšeme prvú sériu odpovedí:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
Polovica práce je hotová. Teraz musíme definovať druhý roh... To je zložitejšie ako v kosínusoch, áno... Ale logika nás zachráni! Ako určiť druhý uhol cez x? Áno Ľahko! Trojuholníky na obrázku sú rovnaké a červený roh X rovný uhlu X . Iba to sa počíta od uhla π v zápornom smere. Preto je červený.) A na odpoveď potrebujeme uhol správne nameraný od kladnej poloosi OX, t.j. z uhla 0 stupňov.
Umiestnite kurzor na obrázok a uvidíte všetko. Prvý roh som odstránil, aby som nekomplikoval obraz. Uhol, ktorý nás zaujíma (nakreslený zelenou farbou), sa bude rovnať:
π - x
x vieme to π /6 . Takže druhý uhol bude:
π - π /6 = 5π /6
Opäť si pripomíname pridanie úplných otáčok a zapíšeme druhú sériu odpovedí:
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
To je všetko. Úplná odpoveď pozostáva z dvoch sérií koreňov:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Rovnice s dotyčnicou a kotangens sa dajú ľahko vyriešiť pomocou rovnakého všeobecného princípu na riešenie goniometrických rovníc. Pokiaľ, samozrejme, neviete, ako nakresliť dotyčnicu a kotangens na trigonometrickej kružnici.
Vo vyššie uvedených príkladoch som použil tabuľkovú hodnotu sínus a kosínus: 0,5. Tie. jeden z tých významov, ktoré študent pozná musieť. Teraz rozšírme naše možnosti na všetky ostatné hodnoty. Rozhodnite sa, tak sa rozhodnite!)
Povedzme teda, že potrebujeme vyriešiť nasledujúcu trigonometrickú rovnicu:
V krátkych tabuľkách takáto hodnota kosínusu nie je. Chladne ignorujeme túto hroznú skutočnosť. Nakreslíme kruh, označíme 2/3 na kosínusovej osi a nakreslíme zodpovedajúce uhly. Dostávame tento obrázok.
Rozumieme si na začiatok s uhlom v prvom štvrťroku. Aby vedeli, čomu sa x rovná, odpoveď by si hneď zapísali! Nevieme... Neúspech!? Pokojne! Matematika nenecháva svojich vlastných v problémoch! Pre tento prípad vymyslela oblúkové kosíny. Neviem? márne. Zistite, je to oveľa jednoduchšie, ako si myslíte. Podľa tohto odkazu neexistuje ani jedno záludné zaklínadlo o "inverzných goniometrických funkciách" ... V tejto téme je to zbytočné.
Ak viete, povedzte si: "X je uhol, ktorého kosínus sú 2/3." A hneď, čisto podľa definície arkkozínu, môžeme napísať:
Pamätáme si na ďalšie otáčky a pokojne si zapíšeme prvý rad koreňov našej goniometrickej rovnice:
x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
Druhá séria koreňov sa tiež píše takmer automaticky, pre druhý uhol. Všetko je rovnaké, iba x (arccos 2/3) bude s mínusom:
x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
A všetky veci! Toto je správna odpoveď. Ešte jednoduchšie ako pri tabuľkových hodnotách. Nemusíte si nič pamätať.) Mimochodom, tí najpozornejší si všimnú, že tento obrázok s riešením cez oblúkový kosínus sa v podstate nelíši od obrázku pre rovnicu cosx = 0,5.
presne tak! Všeobecný princíp na tom a všeobecný! Konkrétne som nakreslil dva takmer rovnaké obrázky. Kruh nám ukazuje uhol X podľa jeho kosínusu. Je to tabuľkový kosínus, alebo nie - kruh nepozná. Aký je to uhol, π / 3 alebo aký druh kosínusu oblúka, je na nás, aby sme sa rozhodli.
So sínusom tá istá pieseň. Napríklad:
Opäť nakreslíme kruh, označíme sínus rovný 1/3, nakreslíme rohy. Ukazuje sa tento obrázok:
A opäť je obrázok takmer rovnaký ako pri rovnici sinx = 0,5. Opäť začíname z rohu v prvej štvrtine. Čomu sa rovná x, ak je jeho sínus 1/3? Žiaden problém!
Takže prvý balík koreňov je pripravený:
x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Pozrime sa na druhý uhol pohľadu. V príklade s tabuľkovou hodnotou 0,5 sa to rovnalo:
π - x
Takže tu to bude úplne rovnaké! Iba x je iné, arcsin 1/3. No a čo!? Druhý balík koreňov môžete pokojne napísať:
x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Toto je úplne správna odpoveď. Aj keď to nevyzerá veľmi povedome. Ale je to pochopiteľné, dúfam.)
Takto sa riešia goniometrické rovnice pomocou kruhu. Táto cesta je jasná a zrozumiteľná. Práve on šetrí v goniometrických rovniciach s výberom koreňov na danom intervale, v goniometrických nerovnostiach - tie sa vo všeobecnosti riešia takmer vždy v kruhu. Skrátka v akýchkoľvek úlohách, ktoré sú trochu komplikovanejšie ako štandardné.
Uvádzať poznatky do praxe?
Riešte goniometrické rovnice:
Najprv je to jednoduchšie, priamo na tejto lekcii.
Teraz je to ťažšie.
Tip: Tu musíte myslieť na kruh. Osobne.)
A teraz navonok nenáročné ... Nazývajú sa aj špeciálne prípady.
sinx = 0
sinx = 1
cosx = 0
cosx = -1
Tip: Tu musíte v kruhu zistiť, kde sú dve série odpovedí a kde jedna ... A ako zapísať jednu namiesto dvoch sérií odpovedí. Áno, aby sa nestratil ani jeden koreň z nekonečného počtu!)
No celkom jednoduché):
sinx = 0,3
cosx = π
tgx = 1,2
ctgx = 3,7
Tip: Tu musíte vedieť, čo je arcsínus, arkozínus? Čo je arkus tangens, arkus tangens? Najjednoduchšie definície. Nemusíte si však pamätať žiadne tabuľkové hodnoty!)
Odpovede sú, samozrejme, v neporiadku):
x 1= arcsin0,3 + 2πn, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2
Nevychádza všetko? To sa stáva. Prečítajte si lekciu ešte raz. Iba zamyslene(je tam také zastaralé slovo...) A sledujte odkazy. Hlavné odkazy sú o kruhu. Bez toho v trigonometrii - ako prejsť cez cestu so zaviazanými očami. Niekedy to funguje.)
Ak sa vám táto stránka páči...
Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)
Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)
môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.
Lekcia a prezentácia na tému: "Riešenie najjednoduchších goniometrických rovníc"
Dodatočné materiály
Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje komentáre, spätnú väzbu, návrhy! Všetky materiály sú kontrolované antivírusovým programom.
Návody a simulátory v internetovom obchode "Integral" pre stupeň 10 od 1C
Riešime úlohy v geometrii. Interaktívne úlohy pre budovanie vo vesmíre
Softvérové prostredie "1C: Mathematical Conštruktor 6.1"
Čo budeme študovať:
1. Čo sú to goniometrické rovnice?
3. Dve hlavné metódy riešenia goniometrických rovníc.
4. Homogénne goniometrické rovnice.
5. Príklady.
Čo sú to goniometrické rovnice?
Chlapci, už sme študovali arkzín, arkkozín, arktangens a arkkotangens. Teraz sa pozrime na trigonometrické rovnice všeobecne.
Goniometrické rovnice - rovnice, v ktorých je premenná obsiahnutá pod znamienkom goniometrickej funkcie.
Zopakujeme formu riešenia najjednoduchších goniometrických rovníc:
1) Ak |а|≤ 1, potom rovnica cos(x) = a má riešenie:
X= ± arccos(a) + 2πk
2) Ak |а|≤ 1, potom rovnica sin(x) = a má riešenie:
3) Ak |a| > 1, potom rovnica sin(x) = a a cos(x) = a nemajú riešenia 4) Rovnica tg(x)=a má riešenie: x=arctg(a)+ πk
5) Rovnica ctg(x)=a má riešenie: x=arcctg(a)+ πk
Pre všetky vzorce je k celé číslo
Najjednoduchšie goniometrické rovnice majú tvar: Т(kx+m)=a, T- ľubovoľná goniometrická funkcia.
Príklad.Riešte rovnice: a) sin(3x)= √3/2
Riešenie:
A) Označme 3x=t, potom našu rovnicu prepíšeme do tvaru:
Riešenie tejto rovnice bude: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.
Z tabuľky hodnôt dostaneme: t=((-1)^n)×π/3+ πn.
Vráťme sa k našej premennej: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,
Potom x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3
Odpoveď: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, kde n je celé číslo. (-1)^n - mínus jedna na mocninu n.
Ďalšie príklady goniometrických rovníc.
Riešte rovnice: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3Riešenie:
A) Tentokrát prejdeme priamo k výpočtu koreňov rovnice:
X/5= ± arccos(1) + 2πk. Potom x/5= πk => x=5πk
Odpoveď: x=5πk, kde k je celé číslo.
B) Píšeme v tvare: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Vieme, že: arctg(√3)= π/3
3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3
Odpoveď: x=2π/9 + πk/3, kde k je celé číslo.
Riešte rovnice: cos(4x)= √2/2. A nájdite všetky korene v segmente.
Riešenie:
Vyriešme našu rovnicu vo všeobecnom tvare: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk
4x= ± π/4 + 2πk;
X= ± π/16+ πk/2;
Teraz sa pozrime, aké korene padajú do nášho segmentu. Pre k Pre k=0, x= π/16 sme v danom segmente .
S k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 opäť zasiahli.
Pre k=2, x= π/16+ π=17π/16, ale tu sme netrafili, čo znamená, že netrafíme ani pre veľké k.
Odpoveď: x= π/16, x= 9π/16
Dve hlavné metódy riešenia.
Zvažovali sme najjednoduchšie goniometrické rovnice, existujú však aj zložitejšie. Na ich riešenie sa používa metóda zavedenia novej premennej a metóda faktorizácie. Pozrime sa na príklady.Poďme vyriešiť rovnicu:
Riešenie:
Na vyriešenie našej rovnice používame metódu zavedenia novej premennej označenej: t=tg(x).
V dôsledku nahradenia dostaneme: t 2 + 2t -1 = 0
Nájdite korene kvadratickej rovnice: t=-1 a t=1/3
Potom tg(x)=-1 a tg(x)=1/3, dostali sme najjednoduchšiu goniometrickú rovnicu, poďme nájsť jej korene.
X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.
Odpoveď: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.
Príklad riešenia rovnice
Riešte rovnice: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0
Riešenie:
Použime identitu: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1
Naša rovnica znie: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0
2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0
Zavedieme náhradu t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0
Riešením našej kvadratickej rovnice sú korene: t=2 a t=-1/2
Potom cos(x)=2 a cos(x)=-1/2.
Pretože kosínus nemôže nadobúdať hodnoty väčšie ako jedna, potom cos(x)=2 nemá korene.
Pre cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk
Odpoveď: x= ±2π/3 + 2πk
Homogénne goniometrické rovnice.
Definícia: Rovnice v tvare a sin(x)+b cos(x) sa nazývajú homogénne goniometrické rovnice prvého stupňa.Rovnice formulára
homogénne goniometrické rovnice druhého stupňa.
Na vyriešenie homogénnej goniometrickej rovnice prvého stupňa ju vydelíme cos(x): 
Nie je možné deliť kosínusom, ak sa rovná nule, uistite sa, že to tak nie je:
Nech cos(x)=0, potom asin(x)+0=0 => sin(x)=0, ale sínus a kosínus sa nerovnajú nule súčasne, dostali sme rozpor, takže môžeme pokojne deliť o nulu.
Vyriešte rovnicu:
Príklad: cos 2 (x) + sin(x) cos (x) = 0
Riešenie:
Vyberte spoločný faktor: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0
Potom musíme vyriešiť dve rovnice:
cos(x)=0 a cos(x)+sin(x)=0
Cos(x)=0 pre x= π/2 + πk;
Zvážte rovnicu cos(x)+sin(x)=0 Vydeľte našu rovnicu cos(x):
1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk
Odpoveď: x= π/2 + πk a x= -π/4+πk
Ako riešiť homogénne goniometrické rovnice druhého stupňa?
Chlapci, vždy sa držte týchto pravidiel!
1. Pozrite sa, čomu sa rovná koeficient a, ak a \u003d 0, potom bude mať naša rovnica tvar cos (x) (bsin (x) + ccos (x)), príklad riešenia je na predchádzajúcom šmykľavka
2. Ak a≠0, potom musíte obe časti rovnice vydeliť druhou mocninou kosínusu, dostaneme:
Zmenou premennej t=tg(x) dostaneme rovnicu:
Vyriešte príklad č.:3
Vyriešte rovnicu:Riešenie:
Vydeľte obe strany rovnice kosínusovou druhou mocninou: 
Urobíme zmenu premennej t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0
Nájdite korene kvadratickej rovnice: t=-3 a t=1
Potom: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk
Tg(x)=1 => x= π/4+ πk
Odpoveď: x=-arctg(3) + πk a x= π/4+ πk
Vyriešte príklad č.:4
Vyriešte rovnicu:Riešenie:
Transformujme náš výraz:
Môžeme riešiť také rovnice: x= - π/4 + 2πk a x=5π/4 + 2πk
Odpoveď: x= - π/4 + 2πk a x=5π/4 + 2πk
Vyriešte príklad č.:5
Vyriešte rovnicu:Riešenie:
Transformujme náš výraz:
Zavedieme náhradu tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0
Riešením našej kvadratickej rovnice budú korene: t=-2 a t=1/2
Potom dostaneme: tg(2x)=-2 a tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2
2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2
Odpoveď: x=-arctg(2)/2 + πk/2 a x=arctg(1/2)/2+ πk/2
Úlohy na samostatné riešenie.
1) Vyriešte rovnicuA) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0,5x) = -1,7
2) Riešte rovnice: sin(3x)= √3/2. A nájdite všetky korene na segmente [π/2; π].
3) Vyriešte rovnicu: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0
4) Vyriešte rovnicu: 3 sin 2 (x) + √3 sin (x) cos(x) = 0
5) Vyriešte rovnicu: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0
6) Vyriešte rovnicu: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)
Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.
Zhromažďovanie a používanie osobných údajov
Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu konkrétnej osoby alebo jej kontaktovanie.
Kedykoľvek nás budete kontaktovať, môžete byť požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.
Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.
Aké osobné údaje zhromažďujeme:
- Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.
Ako používame vaše osobné údaje:
- Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás a informovať vás o jedinečných ponukách, akciách a iných akciách a pripravovaných akciách.
- Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a správ.
- Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
- Ak sa zúčastníte žrebovania, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.
Sprístupnenie tretím stranám
Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.
Výnimky:
- V prípade, že je potrebné – v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí štátnych orgánov na území Ruskej federácie – zverejniť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak usúdime, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné z dôvodu bezpečnosti, presadzovania práva alebo iného verejného záujmu.
- V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušného nástupcu tretej strany.
Ochrana osobných údajov
Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.
Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti
Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.
Pomery medzi hlavnými goniometrickými funkciami - sínus, kosínus, tangens a kotangens - sú uvedené trigonometrické vzorce. A keďže medzi goniometrickými funkciami existuje pomerne veľa spojení, vysvetľuje to aj množstvo goniometrických vzorcov. Niektoré vzorce spájajú goniometrické funkcie rovnakého uhla, iné - funkcie viacnásobného uhla, iné - umožňujú znížiť stupeň, štvrtý - vyjadriť všetky funkcie prostredníctvom tangens polovičného uhla atď.
V tomto článku uvádzame v poradí všetky základné trigonometrické vzorce, ktoré stačia na vyriešenie veľkej väčšiny problémov s trigonometriou. Pre ľahšie zapamätanie a používanie ich zoskupíme podľa účelu a zapíšeme do tabuliek.
Navigácia na stránke.
Základné goniometrické identity
Základné goniometrické identity nastavte vzťah medzi sínusom, kosínusom, tangentom a kotangensom jedného uhla. Vyplývajú z definície sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu, ako aj z pojmu jednotkový kruh. Umožňujú vám vyjadriť jednu goniometrickú funkciu prostredníctvom ktorejkoľvek inej.
Podrobný popis týchto trigonometrických vzorcov, ich odvodenie a príklady použitia nájdete v článku.
Odlievacie vzorce
Odlievacie vzorce vyplývajú z vlastností sínusu, kosínusu, dotyčnice a kotangensu, teda odrážajú vlastnosť periodicity goniometrických funkcií, vlastnosť symetrie a tiež vlastnosť posunu o daný uhol. Tieto trigonometrické vzorce vám umožňujú prejsť od práce s ľubovoľnými uhlami k práci s uhlami v rozsahu od nuly do 90 stupňov.
Zdôvodnenie týchto vzorcov, mnemotechnické pravidlo na ich zapamätanie a príklady ich použitia si môžete prečítať v článku.
Vzorce na sčítanie
Goniometrické sčítacie vzorce ukážte, ako sú goniometrické funkcie súčtu alebo rozdielu dvoch uhlov vyjadrené pomocou goniometrických funkcií týchto uhlov. Tieto vzorce slúžia ako základ pre odvodenie nasledujúcich goniometrických vzorcov.
Vzorce pre dvojité, trojité atď. uhol
Vzorce pre dvojité, trojité atď. uhla (nazývajú sa aj viacuhlové vzorce) ukazujú, ako goniometrické funkcie dvojitého, trojitého atď. uhly () sú vyjadrené ako trigonometrické funkcie jedného uhla. Ich odvodenie je založené na adičných vzorcoch.
Podrobnejšie informácie sú zhromaždené vo vzorcoch článku pre dvojité, trojité atď. uhol .
Vzorce polovičného uhla
Vzorce polovičného uhla ukazujú, ako sú goniometrické funkcie polovičného uhla vyjadrené ako kosínus celočíselného uhla. Tieto trigonometrické vzorce vyplývajú zo vzorcov s dvojitým uhlom.
Ich záver a príklady aplikácie nájdete v článku.
Redukčné vzorce
Trigonometrické vzorce na znižovanie stupňov sú navrhnuté tak, aby uľahčili prechod od prirodzených mocnín goniometrických funkcií k sínusom a kosínusom v prvom stupni, ale viacerých uhloch. Inými slovami, umožňujú znížiť mocniny goniometrických funkcií na prvé.
Vzorce pre súčet a rozdiel goniometrických funkcií
Hlavný účel súčtové a rozdielové vzorce pre goniometrické funkcie spočíva v prechode na súčin funkcií, čo je veľmi užitočné pri zjednodušovaní goniometrických výrazov. Tieto vzorce sú tiež široko používané pri riešení goniometrických rovníc, pretože umožňujú faktorizáciu súčtu a rozdielu sínusov a kosínusov.
Vzorce na súčin sínusov, kosínusov a sínus po kosínusu
Prechod od súčinu goniometrických funkcií k súčtu alebo rozdielu sa uskutočňuje prostredníctvom vzorcov pre súčin sínusov, kosínusov a sínus po kosínusu.
Univerzálna trigonometrická substitúcia
Prehľad základných vzorcov trigonometrie doplňujeme o vzorce vyjadrujúce goniometrické funkcie z hľadiska tangens polovičného uhla. Táto náhrada je tzv univerzálna trigonometrická substitúcia. Jeho výhoda spočíva v tom, že všetky goniometrické funkcie sú vyjadrené v tangente polovičného uhla racionálne bez koreňov.
Bibliografia.
- algebra: Proc. pre 9 buniek. priem. škola / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Osvietenstvo, 1990.- 272 s.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
- Bašmakov M.I. Algebra a začiatok analýzy: Proc. pre 10-11 buniek. priem. škola - 3. vyd. - M.: Osveta, 1993. - 351 s.: chor. - ISBN 5-09-004617-4.
- Algebra a začiatok rozboru: Proc. pre 10-11 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcie / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn a ďalší; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. vyd.- M .: Osveta, 2004.- 384 s.: Ill.- ISBN 5-09-013651-3.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (príručka pre uchádzačov o štúdium na technických školách): Proc. príspevok.- M.; Vyššie škola, 1984.-351 s., ill.
Autorské práva šikovných študentov
Všetky práva vyhradené.
Chránené autorským zákonom. Žiadna časť stránky, vrátane interných materiálov a vonkajšieho dizajnu, sa nesmie reprodukovať v žiadnej forme ani používať bez predchádzajúceho písomného súhlasu držiteľa autorských práv.
Najjednoduchšie goniometrické rovnice sa zvyčajne riešia pomocou vzorcov. Dovoľte mi pripomenúť, že nasledujúce trigonometrické rovnice sa nazývajú najjednoduchšie:
sinx = a
cosx = a
tgx = a
ctgx = a
x je uhol, ktorý sa má nájsť,
a je ľubovoľné číslo.
A tu sú vzorce, pomocou ktorých si môžete okamžite zapísať riešenia týchto najjednoduchších rovníc.
Pre sínus:
Pre kosínus:
x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
Pre dotyčnicu:
x = arctg a + π n, n ∈ Z
Pre kotangens:
x = arcctg a + π n, n ∈ Z
V skutočnosti ide o teoretickú časť riešenia najjednoduchších goniometrických rovníc. A celé!) Vôbec nič. Množstvo chýb na túto tému sa však len prevalí. Najmä s miernou odchýlkou príkladu od predlohy. prečo?
Áno, pretože veľa ľudí zapisuje tieto listy, bez toho, aby sme pochopili ich význam! S obavami zapisuje, nech sa niečo deje...) Toto treba vyriešiť. Trigonometria pre ľudí, alebo ľudia pre trigonometriu, predsa!?)
Poďme na to?
Jeden uhol sa bude rovnať arccos, druhý: -arccos a.
A tak to bude fungovať vždy. Pre akékoľvek a.
Ak mi neveríte, prejdite myšou na obrázok alebo sa dotknite obrázka na tablete.) Zmenil som číslo a k nejakému negatívu. Každopádne máme jeden roh arccos, druhý: -arccos a.
Preto môže byť odpoveď vždy napísaná ako dve série koreňov:
x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z
Tieto dve série spájame do jednej:
x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
A všetky veci. Získali sme všeobecný vzorec na riešenie najjednoduchšej goniometrickej rovnice s kosínusom.
Ak pochopíte, že to nie je nejaká supervedecká múdrosť, ale len skrátený záznam dvoch sérií odpovedí, vy a úlohy „C“ budete na pleci. S nerovnosťami, s výberom koreňov z daného intervalu ... Tam sa odpoveď s plus/mínus nehádže. A ak s odpoveďou naložíte obchodne a rozdelíte ju na dve samostatné odpovede, o všetkom je rozhodnuté.) V skutočnosti tomu rozumieme. Čo, ako a kde.
V najjednoduchšej goniometrickej rovnici
sinx = a
získať aj dve série koreňov. Je vždy. A tieto dve série sa dajú aj nahrať jedna čiara. Len tento riadok bude múdrejší:
x = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z
Ale podstata zostáva rovnaká. Matematici jednoducho vytvorili vzorec na vytvorenie jedného namiesto dvoch záznamov sérií koreňov. A je to!
Skontrolujeme matematikov? A to nestačí...)
V predchádzajúcej lekcii bolo podrobne analyzované riešenie (bez akýchkoľvek vzorcov) goniometrickej rovnice so sínusom:
Odpoveďou boli dve série koreňov:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Ak tú istú rovnicu vyriešime pomocou vzorca, dostaneme odpoveď:
x = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z
Vlastne je to napoly hotová odpoveď.) Študent to musí vedieť arcsin 0,5 = π /6.Úplná odpoveď by bola:
x = (-1) n π /6+ πn, n ∈ Z
Tu vzniká zaujímavá otázka. Odpovedať cez x 1; x 2 (toto je správna odpoveď!) a cez osamelých X (a toto je správna odpoveď!) - to isté, alebo nie? Poďme to zistiť teraz.)
Nahraďte v reakcii s x 1 hodnoty n =0; jeden; 2; atď., uvažujeme, dostaneme rad koreňov:
x 1 \u003d π / 6; 13π/6; 25π/6 atď.
S rovnakým striedaním v reakcii na x 2 , dostaneme:
x 2 \u003d 5π / 6; 17π/6; 29π/6 atď.
A teraz dosadíme hodnoty n (0; 1; 2; 3; 4...) do všeobecného vzorca pre osamelých X . To znamená, že zvýšime mínus jedna na nulovú mocninu, potom na prvú, druhú atď. A samozrejme do druhého člena dosadíme 0; jeden; 2 3; 4 atď. A myslíme si. Dostaneme sériu:
x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 atď.
To je všetko, čo môžete vidieť.) Všeobecný vzorec nám dáva presne tie isté výsledkyčo sú dve odpovede oddelene. Všetko naraz, v poradí. Matematici neklamali.)
Kontrolovať sa dajú aj vzorce na riešenie goniometrických rovníc s dotyčnicou a kotangens. Ale nie.) Sú takí nenároční.
Celé toto nahrádzanie a overovanie som namaľoval zámerne. Tu je dôležité pochopiť jednu jednoduchú vec: existujú vzorce na riešenie elementárnych goniometrických rovníc, len zhrnutie odpovedí. Pre túto stručnosť som musel vložiť plus/mínus do kosínusového riešenia a (-1) n do sínusového riešenia.
Tieto vložky nijako nezasahujú do úloh, kde si stačí zapísať odpoveď na elementárnu rovnicu. Ale ak potrebujete vyriešiť nerovnosť alebo potom musíte urobiť niečo s odpoveďou: vyberte korene na intervale, skontrolujte ODZ atď., Tieto vložky môžu človeka ľahko znepokojiť.
a čo robiť? Áno, buď vyfarbite odpoveď v dvoch sériách, alebo vyriešte rovnicu / nerovnosť v trigonometrickom kruhu. Potom tieto vložky zmiznú a život sa stane ľahším.)
Môžete to zhrnúť.
Na riešenie najjednoduchších goniometrických rovníc existujú hotové vzorce odpovedí. Štyri kusy. Sú dobré na okamžité napísanie riešenia rovnice. Napríklad musíte vyriešiť rovnice:
sinx = 0,3
jednoduché: x = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z
cosx = 0,2
Žiaden problém: x = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z
tgx = 1,2
jednoducho: x = arctg 1,2 + πn, n ∈ Z
ctgx = 3,7
Zostal jeden: x= arcctg3,7 + πn, n ∈ Z
cos x = 1,8
Ak žiarite vedomosťami, okamžite napíšte odpoveď:
x= ± arccos 1,8 + 2π n, n ∈ Z
potom už svietiš, toto ... tamto ... z kaluže.) Správna odpoveď je: neexistujú žiadne riešenia. nerozumieš prečo? Prečítajte si, čo je arckozín. Okrem toho, ak sú na pravej strane pôvodnej rovnice tabuľkové hodnoty sínus, kosínus, tangens, kotangens, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 atď. - odpoveď cez oblúky bude nedokončená. Oblúky musia byť prevedené na radiány.
A ak už narazíte na nerovnosť, nech sa páči
potom je odpoveď:
x πn, n ∈ Z
existuje zriedkavý nezmysel, áno ...) Tu je potrebné rozhodnúť o trigonometrickom kruhu. Čo budeme robiť v príslušnej téme.
Pre tých, ktorí hrdinsky čítajú až po tieto riadky. Nemôžem si pomôcť, ale oceniť vaše titanské úsilie. máš bonus.)
Bonus:
Pri písaní vzorcov v úzkostnej bojovej situácii sa aj otužilí nerdi často zamotajú kde pn, A kde 2πn. Tu je pre vás jednoduchý trik. In všetky vzorce pn. Okrem jedinej formuly s oblúkovým kosínusom. Stojí tam 2πn. Dva pien. Kľúčové slovo - dva. V rovnakom jedinom vzorci sú dva podpísať na začiatku. Plus a mínus. Tu a tam - dva.
Ak si teda napísal dva znak pred arc cosinus, je ľahšie zapamätať si, čo sa stane na konci dva pien. A deje sa to aj naopak. Preskočte mužské znamenie ± , dostaň sa na koniec, napíš správne dva pien, áno, a chyťte to. Pred niečím dva podpísať! Človek sa vráti na začiatok, ale chybu napraví! Páči sa ti to.)
Ak sa vám táto stránka páči...
Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)
Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)
môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.
