Dezvoltarea suprafeţei laterale a piramidei (Fig. 16.3) este formată din trei triunghiuri, reprezentând feţele laterale ale piramidei în forma lor adevărată.

Pentru a construi o dezvoltare, este necesar să se determine mai întâi lungimile reale ale marginilor laterale ale piramidei. După ce au rotit aceste margini în jurul înălțimii piramidei într-o poziție paralelă cu planul p 2, pe planul frontal al proiecțiilor obținem lungimile lor adevărate sub formă de segmente și.

După ce am construit fața piramidei ASB pe trei laturi (Fig. 16.4), îi atașăm o față adiacentă - triunghiul BSC și ultima față CSA. Figura rezultată va fi o scanare a suprafeței laterale a acestei piramide.

Pentru a obține o dezvoltare completă, atașăm baza piramidei - triunghiul ABC - pe una dintre laturile bazei.

Pentru a construi o linie de-a lungul căreia suprafața piramidei va fi intersectată de planul a (Fig. 16.3), este necesar să se marcheze pe muchiile SA, SB și SC, respectiv, punctele 1, 2 și 3 la care acest plan se intersectează. marginile, determinând lungimile adevărate ale segmentelor S1 , S2 și S3.

Orez. 16.3	Orez. 16.4

Întrebări de testare pe tema prelegerii:

1. Ce se numește dezvoltarea suprafeței?

2. Ce suprafețe se numesc dezvoltabile sau nedezvoltabile. Dă exemple.

3. Reguli generale pentru construirea dezvoltărilor de suprafață ale unei prisme și piramide.

Un desen este primul și foarte important pas în rezolvarea unei probleme geometrice. Cum ar trebui să arate desenul unei piramide obișnuite?

Mai întâi să ne amintim proprietăți de proiectare paralele:

- segmentele paralele ale unei figuri sunt reprezentate prin segmente paralele;

— se păstrează raportul dintre lungimile segmentelor de linii paralele și ale segmentelor unei linii drepte.

Desenul unei piramide triunghiulare regulate

Mai întâi desenăm baza. Deoarece în timpul proiectării paralele unghiurile și rapoartele lungimilor segmentelor neparalele nu sunt păstrate, triunghiul regulat de la baza piramidei este reprezentat ca un triunghi arbitrar.

Centrul unui triunghi regulat este punctul de intersecție al medianelor triunghiului. Deoarece medianele din punctul de intersecție sunt împărțite într-un raport de 2:1, numărând de la vârf, conectăm mental vârful bazei cu mijlocul laturii opuse, îl împărțim aproximativ în trei părți și plasăm un punct la la o distanță de 2 părți de vârf. Din acest punct tragem o perpendiculară în sus. Aceasta este înălțimea piramidei. Desenați o perpendiculară de așa lungime încât marginea laterală să nu acopere imaginea înălțimii.

Desenul unei piramide patruunghiulare regulate

De asemenea, începem să desenăm o piramidă patruunghiulară obișnuită de la bază. Deoarece paralelismul segmentelor este păstrat, dar valorile unghiurilor nu sunt, pătratul de la bază este reprezentat ca un paralelogram. Este indicat ca unghiul ascutit al acestui paralelogram sa fie mai mic, apoi fetele laterale vor fi mai mari. Centrul unui pătrat este punctul de intersecție al diagonalelor sale. Desenăm diagonale și restabilim o perpendiculară din punctul de intersecție. Această perpendiculară este înălțimea piramidei. Alegem lungimea perpendicularei astfel încât nervurile laterale să nu se îmbine între ele.

Desenul unei piramide hexagonale regulate

Deoarece în timpul proiectării paralele paralelismul segmentelor este păstrat, baza unei piramide hexagonale regulate - un hexagon regulat - este reprezentată ca un hexagon ale cărui laturi opuse sunt paralele și egale. Centrul unui hexagon regulat este punctul de intersecție al diagonalelor sale. Pentru a nu aglomera desenul, nu desenăm diagonale, ci găsim acest punct aproximativ. Din ea restabilim perpendiculara - înălțimea piramidei - astfel încât nervurile laterale să nu se îmbine unele cu altele.

Dezvoltarea suprafeței unei piramide este o figură plată formată din baza și fețele piramidei, combinate cu un anumit plan. Folosind exemplul de mai jos, ne vom uita la construirea unei maturi folosind metoda triunghiului.

Piramida SABC este intersectată de planul α proiectat frontal. Este necesar să construiți o dezvoltare a suprafeței SABC și să trasați o linie de intersecție pe ea.

Pe proiectia frontala S""A""B""C"" marcam punctele D"", E"" si F"", la care urma α v se intersecteaza cu segmentele A""S"", B" "S"" și, respectiv, C""S". Determinăm poziția punctelor D", E", F" și le conectăm între ele. Linia de intersecție este indicată cu roșu în figură.

Determinarea lungimii coastelor

Pentru a găsi valorile naturale ale marginilor laterale ale piramidei, vom folosi metoda de rotație în jurul liniei de proiectare. Pentru a face acest lucru, trageți axa i prin vârful S perpendicular pe planul orizontal H. Prin rotirea segmentelor SA, SB și SC în jurul acestuia, le deplasăm într-o poziție paralelă cu planul frontal V.

Dimensiunile reale ale marginilor sunt egale cu proeminențele S""A"" 1, S"" 1 B"" 1 și S""C"" 1. Marcam punctele D"" 1, E"" 1, F"" 1 pe ele, așa cum se arată prin săgețile din figura de mai sus.

Triunghiul ABC, care se află la baza piramidei, este paralel cu planul orizontal. Este afișat pe el în dimensiune naturală, egală cu ∆A"B"C".

Procedura de realizare a unei maturi

Într-un loc arbitrar din desen, marcați punctul S 0. Tragem linia dreaptă n prin ea și trasăm segmentul S 0 A 0 = S""A"" 1 .

Construim fața ABS = A 0 B 0 S 0 ca un triunghi pe trei laturi. Pentru a face acest lucru, din punctele S 0 și A 0 desenăm arce de cerc cu raze R 1 = S""B"" 1 și respectiv r 1 = A"B". Intersecţia acestor arce determină poziţia punctului B 0 .

Fețele B 0 S 0 C 0 și C 0 S 0 A 0 sunt construite în mod similar. Baza piramidei, în funcție de aspectul desenului, este atașată la oricare dintre laturi: A 0 B 0, B 0 C 0 sau C 0 A 0.

Să trasăm o linie pe scanare de-a lungul căreia planul α se intersectează cu piramida. Pentru aceasta, pe muchiile S 0 A 0 , S 0 B 0 şi S 0 C 0 , se marchează punctele D 0 , E 0 şi respectiv F 0 . În acest caz, punctul D 0 este situat la intersecția segmentului S 0 A 0 cu un cerc cu raza S""D"" 1. În mod similar, E0 = S0 B0 ∩ S""E"" 1 , F0 = S 0 C 0 ∩ S""F"" 1 .

Pentru a face carcase de mașini, carcase de mașini, dispozitive de ventilație, conducte, este necesar să tăiați dezvoltarea acestora din materialul din tablă.

Dezvoltarea suprafeței poliedrul este o figură plată obținută prin combinarea cu planul de desen a tuturor fețelor poliedrului în succesiunea poziționării lor pe poliedru.

Pentru a construi o dezvoltare a suprafeței unui poliedru, trebuie să determinați dimensiunea naturală a fețelor și să desenați toate fețele succesiv pe plan. Dimensiunile adevărate ale muchiilor fețelor, dacă acestea nu sunt proiectate la dimensiunea maximă, se regăsesc prin metodele de rotație sau schimbare a planurilor de proiecție (prin proiectare pe un plan suplimentar) date în paragraful anterior.

Să luăm în considerare construcția dezvoltărilor de suprafață a unor corpuri simple.

Dezvoltarea suprafeței unei prisme drepte este o figură plată formată din fețe laterale - dreptunghiuri și două poligoane de bază egale. De exemplu, se ia o prismă hexagonală dreaptă regulată (Fig. 176, a). Toate fețele laterale ale prismei sunt dreptunghiuri, egale ca lățime a și înălțime H; Bazele prismei sunt hexagoane regulate cu latura egală cu a. Din moment ce cunoaștem adevăratele dimensiuni ale fețelor, nu este dificil să construim o dezvoltare. Pentru a face acest lucru, șase segmente sunt așezate secvenţial pe o linie orizontală egală cu latura bazei hexagonului, adică 6a. Din punctele obținute se construiesc perpendiculare egale cu înălțimea prismei H și se trasează o a doua linie orizontală prin punctele de capăt ale perpendicularelor. Dreptunghiul rezultat (H x 6a) este o dezvoltare a suprafeței laterale a prismei. Apoi figurile de bază sunt plasate pe o axă - două hexagoane cu laturile egale cu a. Conturul este conturat cu o linie principală solidă, iar liniile de pliere sunt conturate cu o linie punctată cu două puncte.

Într-un mod similar, puteți construi dezvoltări de prisme drepte cu orice figură la bază.

Dezvoltarea suprafeței unei piramide regulate este o figură plată compusă din fețe laterale - triunghiuri isoscele sau echilaterale și un poligon de bază regulată. De exemplu, este luată o piramidă patruunghiulară obișnuită (Fig. 176, b). Rezolvarea problemei este complicată de faptul că dimensiunea fețelor laterale ale piramidei este necunoscută, deoarece marginile fețelor nu sunt paralele cu niciunul dintre planurile de proiecție. Prin urmare, construcția începe cu determinarea valorii adevărate a muchiei înclinate SA. După ce s-a determinat prin metoda de rotație (vezi Fig. 173, c) lungimea adevărată a muchiei înclinate SA, egală cu s"a` 1 (Fig. 176, b), se trasează un arc de rază s"a` 1 dintr-un punct arbitrar O, ca din centru. Pe arc sunt așezate patru segmente, egale cu latura bazei piramidei, care este proiectată în desen la dimensiunea reală. Punctele găsite sunt legate prin linii drepte de punctul O. După ce a obținut o dezvoltare a suprafeței laterale, la baza unuia dintre triunghiuri se atașează un pătrat egal cu baza piramidei.

Dezvoltarea suprafeței unui con circular drept este o figură plată formată dintr-un sector circular și un cerc (Fig. 176, c). Construcția se realizează după cum urmează. Desenați o linie axială și dintr-un punct luat pe ea, ca din centru, cu o rază Rh egală cu generatricea conului sfd, conturați un arc de cerc. În acest exemplu, generatorul, calculat folosind teorema lui Pitagora, este aproximativ egal cu

38 mm (L = √l5 2 + 35 2 = √l450 ≈ % 38 mm). Apoi unghiul sectorului este calculat folosind formula

Să construim o dezvoltare a unei piramide triedrice drepte. Pentru simplitate, presupunem că triunghiul de bază este echilateral. Suprafața completă a acestei piramide este formată dintr-o suprafață laterală (trei triunghiuri egale) și o bază (triunghi). În primul rând, se construiește o dezvoltare a suprafeței laterale (Fig. 9.4):

o determinați lungimile laturilor triunghiurilor din care este format. Lungimea reală a coastei laterale LA FEL DE(pe planul de proiecție) se obține în timpul proiecției când muchia este paralelă cu planul de proiecție frontală. Fie lungimea marginii laterale C;

o pe un plan desenează un arc de cerc cu rază L din centru în punctul.V;

o pe cerc se așează succesiv trei segmente cu lungimea egală cu lungimea laturii triunghiului de bază și se obțin puncte A, B, CU;

o sunt conectate în serie, adică A, B, CUîntre ei etc. S segmente drepte și obțineți o dezvoltare a suprafeței laterale a piramidei;

o pe una dintre laturi se construiește un triunghi echilateral, egal cu triunghiul - baza piramidei, și se obține o scanare a întregii suprafețe a unei piramide triedrice drepte.

În mod similar, dezvoltarea unei piramide este construită cu baza fiind un triunghi arbitrar (dar segmente egale în lungime cu laturile triunghiului de bază sunt așezate secvenţial pe arc) și baza fiind un poligon arbitrar. Construirea suprafeței laterale a unei piramide arbitrare este posibilă și în felul următor: o determinați lungimile marginilor acesteia și ale laturilor bazei; o Pe baza datelor obţinute se construiesc secvenţial triunghiuri în planul desenului, egale cu feţele piramidei.

Dezvoltarea conului.

Să construim o dezvoltare a unui con circular drept (Fig. 9.5). Dezvoltarea suprafeței sale laterale este un sector circular, a cărui rază este egală cu lungimea generatricei conului L, iar unghiul la vârf este calculat prin formula 180 D/L (în grade) sau l O /L (în radiani), unde D este diametrul cercului bazei conului. Combinând un cerc egal cu cercul bazei cu dezvoltarea suprafeței laterale, obținem o dezvoltare a întregii suprafețe a conului.

ÎNTREBĂRI PENTRU AUTOCONTROL

• 1. Ce se numește scanare?
• 2. Construiți o dezvoltare a unei prisme dreptunghiulare.
• 3. Cum puteți construi o dezvoltare a unei suprafețe prismatice arbitrare?
• 4. Construiți o dezvoltare a cilindrului.
• 5. Este posibil să se reducă construcția unei dezvoltări a unei suprafețe cilindrice la construcția unei dezvoltări a unei suprafețe prismatice?
• 6. Care este dezvoltarea unui cilindru trunchiat? Cum se construiește?
• 7. Construiți o dezvoltare a suprafeței laterale a unei piramide pentagonale.
• 8. În ce constă dezvoltarea întregii suprafețe a unei piramide arbitrare?
• 9. Ce tip de dezvoltare are suprafața laterală a conului?
• 10. Construiți o dezvoltare a întregii suprafețe a unui con drept.