Volumul unui con, calculul acestuia. Cum se găsește volumul unui con Cum se calculează formula trunchiului de con

Dezvoltarea suprafeței unui con este o figură plată obținută prin combinarea suprafeței laterale și a bazei conului cu un anumit plan.

Opțiuni pentru construirea unei maturi:

Dezvoltarea unui con circular drept

Dezvoltarea suprafeței laterale a unui con circular drept este un sector circular, a cărui rază este egală cu lungimea generatricei suprafeței conice l, iar unghiul central φ este determinat de formula φ=360*R/ l, unde R este raza cercului bazei conului.

Într-o serie de probleme de geometrie descriptivă, soluția preferată este de a aproxima (înlocui) un con cu o piramidă înscrisă în el și de a construi o dezvoltare aproximativă, pe care este convenabil să se tragă linii situate pe suprafața conică.

Algoritm de construcție

1. Potrivim o piramidă poligonală într-o suprafață conică. Cu cât o piramidă înscrisă are mai multe fețe laterale, cu atât mai precisă este corespondența dintre dezvoltarea reală și cea aproximativă.
2. Construim dezvoltarea suprafeței laterale a piramidei folosind metoda triunghiului. Conectăm punctele aparținând bazei conului cu o curbă netedă.

Exemplu

În figura de mai jos, o piramidă hexagonală regulată SABCDEF este înscrisă într-un con circular drept, iar dezvoltarea aproximativă a suprafeței sale laterale constă din șase triunghiuri isoscele - fețele piramidei.

Se consideră triunghiul S 0 A 0 B 0 . Lungimile laturilor sale S 0 A 0 si S 0 B 0 sunt egale cu generatricea l a suprafetei conice. Valoarea A 0 B 0 corespunde lungimii A’B’. Pentru a construi un triunghi S 0 A 0 B 0 într-un loc arbitrar din desen, întindeți segmentul S 0 A 0 =l, după care din punctele S 0 și A 0 desenăm cercuri cu raza S 0 B 0 =l și A 0 B 0 = A'B' respectiv. Conectăm punctul de intersecție al cercurilor B 0 cu punctele A 0 și S 0.

Construim fețele S 0 B 0 C 0 , S 0 C 0 D 0 , S 0 D 0 E 0 , S 0 E 0 F 0 , S 0 F 0 A 0 ale piramidei SABCDEF similar triunghiului S 0 A 0 B 0 .

Punctele A, B, C, D, E și F, situate la baza conului, sunt conectate printr-o curbă netedă - un arc de cerc, a cărui rază este egală cu l.

Dezvoltarea conului înclinat

Să luăm în considerare procedura de construire a unei scanări a suprafeței laterale a unui con înclinat folosind metoda aproximării (aproximării).

Algoritm

1. Înscriem în cercul bazei conului hexagonul 123456. Legăm punctele 1, 2, 3, 4, 5 și 6 cu vârful S. Piramida S123456, astfel construită, cu un anumit grad de aproximare este un înlocuitor pentru suprafața conică și este utilizat ca atare în construcții ulterioare.
2. Determinăm valorile naturale ale marginilor piramidei folosind metoda de rotație în jurul liniei de proiectare: în exemplu, se utilizează axa i, perpendiculară pe planul de proiecție orizontal și care trece prin vârful S.
   Astfel, ca urmare a rotației muchiei S5, noua sa proiecție orizontală S’5’ 1 ia o poziție în care este paralelă cu planul frontal π 2. În consecință, S’’5’’ 1 este dimensiunea reală a lui S5.
3. Construim o scanare a suprafeței laterale a piramidei S123456, constând din șase triunghiuri: S 0 1 0 6 0 , S 0 6 0 5 0 , S 0 5 0 4 0 , S 0 4 0 3 0 , S 0 3 0 2 0 , S 0 2 0 1 0 . Construcția fiecărui triunghi se realizează pe trei laturi. De exemplu, △S 0 1 0 6 0 are lungimea S 0 1 0 =S’’1’’ 0 , S 0 6 0 =S’’6’’ 1 , 1 0 6 0 =1’6’.

Gradul în care dezvoltarea aproximativă corespunde cu cea reală depinde de numărul de fețe ale piramidei înscrise. Numărul de fețe este ales în funcție de ușurința citirii desenului, cerințele pentru acuratețea acestuia, prezența punctelor și liniilor caracteristice care trebuie transferate în dezvoltare.

Transferarea unei linii de la suprafața unui con la o dezvoltare

Linia n situată pe suprafața conului se formează ca urmare a intersecției sale cu un anumit plan (figura de mai jos). Să luăm în considerare algoritmul pentru construirea liniei n pe o scanare.

Algoritm

1. Găsim proiecțiile punctelor A, B și C la care linia n intersectează marginile piramidei S123456 înscrise în con.
2. Determinăm dimensiunea naturală a segmentelor SA, SB, SC prin rotirea în jurul dreptei proeminente. În exemplul luat în considerare, SA=S’’A’’, SB=S’’B’’ 1 , SC=S’’C’’ 1 .
3. Găsim poziţia punctelor A 0 , B 0 , C 0 pe marginile corespunzătoare ale piramidei, trasând pe scanare segmentele S 0 A 0 =S''A'', S 0 B 0 =S''B' '1, S0C0 =S''C''1.
4. Conectăm punctele A 0 , B 0 , C 0 cu o linie netedă.

Dezvoltarea unui trunchi de con

Metoda descrisă mai jos pentru construirea dezvoltării unui trunchi de con circular drept se bazează pe principiul similarității.

Dintre varietatea de corpuri geometrice, unul dintre cele mai interesante este conul. Se formează prin rotirea unui triunghi dreptunghic în jurul unuia dintre picioarele sale.

Cum să găsiți volumul unui con - concepte de bază

Înainte de a începe să calculați volumul unui con, merită să vă familiarizați cu conceptele de bază.

• Con circular - baza unui astfel de con este un cerc. Dacă baza este o elipsă, o parabolă sau o hiperbolă, atunci figura se numește con eliptic, parabolic sau hiperbolic. Merită să ne amintim că ultimele două tipuri de conuri au volum infinit.
• Un trunchi de con este o parte a unui con situată între bază și un plan paralel cu această bază, situat între vârf și bază.
• Înălțimea este un segment perpendicular pe bază extins de sus.
• Generatoarea unui con este un segment care leagă limita bazei și vârful.

Volumul conului

Pentru a calcula volumul unui con, utilizați formula V=1/3*S*H, unde S este aria bazei, H este înălțimea. Deoarece baza conului este un cerc, aria sa se găsește prin formula S = nR^2, unde n = 3,14, R este raza cercului.

Există o situație în care unii dintre parametrii sunt necunoscuți: înălțimea, raza sau generatria. În acest caz, ar trebui să recurgeți la teorema lui Pitagora. Secțiunea axială a conului este un triunghi isoscel, format din două triunghiuri dreptunghiulare, unde l este ipotenuza, iar H și R sunt catetele. Atunci l=(H^2+R^2)^1/2.

Volumul unui trunchi de con

Un trunchi de con este un con cu vârful tăiat.

Pentru a găsi volumul unui astfel de con, veți avea nevoie de formula:

V=1/3*n*H*(r^2+rR+R^2),

unde n=3,14, r – raza cercului secțiunii transversale, R – raza bazei mari, H – înălțimea.

Secțiunea axială a trunchiului de con va fi un trapez isoscel. Prin urmare, dacă trebuie să găsiți lungimea generatricei unui con sau raza unuia dintre cercuri, ar trebui să utilizați formule pentru a găsi laturile și bazele unui trapez.

Aflați volumul unui con dacă înălțimea lui este de 8 cm și raza bazei este de 3 cm.

Dat: H=8 cm, R=3 cm.

Mai întâi, să găsim aria bazei folosind formula S=nR^2.

S=3,14*3^2=28,26 cm^2

Acum, folosind formula V=1/3*S*H, găsim volumul conului.

V=1/3*28,26*8=75,36 cm^3

Figuri în formă de con se găsesc peste tot: conuri de parcare, turnuri de clădire, abajururi. Prin urmare, a ști cum să găsești volumul unui con poate fi uneori util atât în ​​viața profesională, cât și în viața de zi cu zi.

În loc de cuvântul „model”, uneori se folosește „alezor”, dar acest termen este ambiguu: de exemplu, un alez este un instrument pentru creșterea diametrului unei găuri, iar în tehnologia electronică există conceptul de alez. Prin urmare, deși sunt obligat să folosesc cuvintele „dezvoltare con” pentru ca motoarele de căutare să găsească acest articol folosindu-le, voi folosi cuvântul „model”.

Crearea unui model pentru un con este o chestiune simplă. Să luăm în considerare două cazuri: pentru un con plin și pentru unul trunchiat. Pe imagine (click pentru a mari) Sunt prezentate schițe ale unor astfel de conuri și modelele lor. (Ar trebui să notez imediat că vom vorbi doar despre conuri drepte cu bază rotundă. Vom lua în considerare conurile cu bază ovală și conurile înclinate în articolele următoare).

1. Con plin

Denumiri:

Parametrii modelului sunt calculați folosind formulele:
;
;
Unde .

2. Trunchi de con

Denumiri:

Formule pentru calcularea parametrilor modelului:
;
;
;
Unde .
Rețineți că aceste formule sunt potrivite și pentru un con plin dacă înlocuim .

Uneori, la construirea unui con, valoarea unghiului la vârful acestuia (sau la vârful imaginar, dacă conul este trunchiat) este fundamentală. Cel mai simplu exemplu este atunci când aveți nevoie de un con pentru a se potrivi bine în altul. Să notăm acest unghi cu o literă (vezi imaginea).
În acest caz, îl putem folosi în loc de una dintre cele trei valori de intrare: , sau . De ce „împreună O", nu împreună e"? Pentru că pentru a construi un con, sunt suficienți trei parametri, iar valoarea celui de-al patrulea este calculată prin valorile celorlalți trei. De ce exact trei, și nu două sau patru, este o întrebare dincolo de scopul acestui articol. O voce misterioasă îmi spune că aceasta este cumva legată de tridimensionalitatea obiectului „con”. (Comparați cu cei doi parametri inițiali ai obiectului bidimensional „segment de cerc”, din care am calculat toți ceilalți parametri ai acestuia în articol.)

Mai jos sunt formulele prin care se determină al patrulea parametru al conului când sunt date trei.

4. Metode de construcție a modelului

• Calculați valorile pe un calculator și construiți un model pe hârtie (sau direct pe metal) folosind o busolă, o riglă și un raportor.
• Introduceți formule și date sursă într-o foaie de calcul (de exemplu, Microsoft Excel). Utilizați rezultatul obținut pentru a crea un model folosind un editor grafic (de exemplu, CorelDRAW).
• utilizați programul meu, care va desena pe ecran și va imprima un model pentru un con cu parametrii dați. Acest model poate fi salvat ca fișier vectorial și importat în CorelDRAW.

5. Nu baze paralele

În ceea ce privește conurile trunchiate, programul Cones creează în prezent modele pentru conuri care au doar baze paralele.
Pentru cei care caută o modalitate de a construi un model pentru un trunchi de con cu baze non-paralele, iată un link oferit de unul dintre vizitatorii site-ului:
Un trunchi de con cu baze neparalele.

În geometrie, un trunchi de con este un corp care se formează prin rotirea unui trapez dreptunghiular în jurul acelei laturi a acestuia care este perpendiculară pe bază. Cum se calculează volumul unui trunchi de con, toată lumea știe de la un curs de geometrie școlar, iar în practică aceste cunoștințe sunt adesea folosite de proiectanții diferitelor mașini și mecanisme, dezvoltatorii unor bunuri de larg consum, precum și arhitecți.

Calculul volumului unui trunchi de con

Formula pentru calcularea volumului unui trunchi de con

Volumul unui trunchi de con se calculează prin formula:

V

πh (R 2 + R × r + r 2)

h- inaltimea conului

r- raza bazei superioare

R- raza bazei inferioare

V- volumul unui trunchi de con

π - 3,14

Cu asemenea corpuri geometrice ca conuri trunchiate, în viața de zi cu zi toată lumea se ciocnește destul de des, dacă nu în mod constant. Acestea sunt modelate într-o mare varietate de recipiente care sunt utilizate pe scară largă în viața de zi cu zi: găleți, pahare, câteva căni. Este de la sine înțeles că designerii care le-au dezvoltat probabil au folosit formula prin care se calculează volumul unui trunchi de con, deoarece această valoare este foarte importantă în acest caz, deoarece determină o caracteristică atât de importantă precum capacitatea produsului.

Structuri inginereşti care reprezintă conuri trunchiate, poate fi văzut adesea la marile întreprinderi industriale, precum și la centralele termice și nucleare. Aceasta este exact forma turnurilor de răcire - dispozitive concepute pentru a răci cantități mari de apă prin forțarea unui contra-flux de aer atmosferic. Cel mai adesea, aceste modele sunt utilizate în cazurile în care este necesară reducerea semnificativă a temperaturii unei cantități mari de lichid într-un timp scurt. Dezvoltatorii acestor structuri trebuie să stabilească volumul unui trunchi de con formula de calcul care este destul de simplă și cunoscută de toți cei care cândva au studiat bine în liceu.

Piesele care au această formă geometrică se găsesc destul de des în proiectarea diferitelor dispozitive tehnice. De exemplu, transmisiile cu angrenaje utilizate în sistemele în care este necesară schimbarea direcției de transmisie cinetică sunt cel mai adesea implementate folosind roți dințate conice. Aceste piese fac parte integrantă dintr-o mare varietate de cutii de viteze, precum și cutii de viteze automate și manuale utilizate în mașinile moderne.

Unele unelte de tăiere utilizate pe scară largă în producție, cum ar fi frezele, au o formă de trunchi de con. Cu ajutorul lor, puteți prelucra suprafețe înclinate la un anumit unghi. Pentru a ascuți frezele echipamentelor de prelucrare a metalelor și a lemnului, se folosesc adesea roți abrazive, care sunt, de asemenea, trunchi de con. In afara de asta, volumul unui trunchi de con Este necesar ca proiectanții de mașini de strunjit și frezat să determine care implică fixarea sculelor de tăiere echipate cu tije conice (burghie, alezoare etc.).

Introduceți înălțimea și razele bazelor:

Definiția trunchiului de con

Un trunchi de con poate fi obținut dintr-un con regulat prin intersectarea unui astfel de con cu un plan paralel cu baza. Atunci figura care se află între două plane (acest plan și baza unui con obișnuit) va fi numită trunchi de con.

El are două baze, care pentru un con circular sunt cercuri, iar unul dintre ele este mai mare decât celălalt. De asemenea, un trunchi de con are înălţime- un segment care leagă două baze și perpendicular pe fiecare dintre ele.

Calculator online

Un trunchi de con poate fi direct, apoi centrul unei baze este proiectat în centrul celei de-a doua. Dacă conul înclinat, atunci o astfel de proiecție nu are loc.

Luați în considerare un con circular drept. Volumul unei figuri date poate fi calculat în mai multe moduri.

Formula pentru volumul unui trunchi de con folosind razele bazelor și distanța dintre ele

Dacă ni se oferă un trunchi de con circular, atunci putem găsi volumul acestuia folosind formula:

Volumul unui trunchi de con

V = 1 3 ⋅ π ⋅ h ⋅ (r 1 2 + r 1 ⋅ r 2 + r 2 2) V=\frac(1)(3)\cdot\pi\cdot h\cdot(r_1^2+r_1\ cdot r_2+r_2^2)V=3 1 ​ ⋅ π ⋅ h⋅(r 1 2 ​ + r 1 ​ ⋅ r 2 ​ + r 2 2 ​ )

R1, r2r_1, r_2 r 1 ​ , r 2 ​ - razele bazelor conului;
h h h- distanta dintre aceste baze (inaltimea trunchiului de con).

Să ne uităm la un exemplu.

Problema 1

Aflați volumul unui trunchi de con dacă se știe că aria bazei mici este egală cu 64 π cm 2 64\pi\text( cm)^26 4 π cm2 , mare - 169 π cm 2 169\pi\text( cm)^21 6 9 π cm2 , iar înălțimea sa este egală cu 14 cm 14\text( cm) 1 4 cm.

Soluţie

S 1 = 64 π S_1=64\pi S 1 ​ = 6 4 π
S 2 = 169 π S_2=169\pi S 2 ​ = 1 6 9 π
h = 14 h = 14 h =1 4

Să găsim raza bazei mici:

S 1 = π ⋅ r 1 2 S_1=\pi\cdot r_1^2S 1 ​ = π ⋅ r 1 2 ​

64 π = π ⋅ r 1 2 64\pi=\pi\cdot r_1^26 4 π =π ⋅ r 1 2 ​

64 = r 1 2 64 = r_1^2 6 4 = r 1 2 ​

R1 = 8 r_1=8 r 1 ​ = 8

La fel, pentru o bază mare:

S 2 = π ⋅ r 2 2 S_2=\pi\cdot r_2^2S 2 ​ = π ⋅ r 2 2 ​

169 π = π ⋅ r 2 2 169\pi=\pi\cdot r_2^21 6 9 π =π ⋅ r 2 2 ​

169 = r 2 2 169 = r_2^2 1 6 9 = r 2 2 ​

R2 = 13 r_2=13 r 2 ​ = 1 3

Să calculăm volumul conului:

V = 1 3 ⋅ π ⋅ h ⋅ (r 1 2 + r 1 ⋅ r 2 + r 2 2) = 1 3 ⋅ π ⋅ 14 ⋅ (8 2 + 8 ⋅ 13 + 1 3 2) ≈ 3 4 = 8 cm 3 V = 3 \frac(1)(3)\cdot\pi\cdot h\cdot (r_1^2+r_1\cdot r_2+r_2^2)=\frac(1)(3)\cdot\pi\cdot14\cdot(8 ^2+8\cdot 13+13^2)\approx4938\text( cm)^3V=3 1 ​ ⋅ π ⋅ h⋅(r 1 2 ​ + r 1 ​ ⋅ r 2 ​ + r 2 2 ​ ) = 3 1 ​ ⋅ π ⋅ 1 4 ⋅ (8 2 + 8 ⋅ 1 3 + 1 3 2 ) ≈ 4 9 3 8 cm3

Răspuns

4938 cmc. 4938\text( cm)^3.4 9 3 8 cm3 .

Formula pentru volumul unui trunchi de con folosind ariile bazelor și distanța acestora până la vârf

Să avem un trunchi de con. Să adăugăm mental piesa care lipsește, făcând astfel un „con obișnuit” cu un vârf. Apoi volumul unui trunchi de con poate fi găsit ca diferență între volumele a două conuri cu baze corespunzătoare și distanța (înălțimea) acestora până la vârful conului.

Volumul unui trunchi de con

V = 1 3 ⋅ S ⋅ H − 1 3 ⋅ s ⋅ h = 1 3 ⋅ (S ⋅ H − s ⋅ h) V=\frac(1)(3)\cdot S\cdot H-\frac(1) (3)\cdot s\cdot h=\frac(1)(3)\cdot (S\cdot H-s\cdot h)V=3 1 ​ ⋅ S⋅H −3 1 ​ ⋅ s⋅h =3 1 ​ ⋅ (S⋅H −s⋅h)

S S S- zona bazei conului mare;
HH H- înălțimea acestui con (mare);
s s s- zona bazei conului mic;
h h h- înălțimea acestui (mic) con;

Problema 2

Determinați volumul unui trunchi de con dacă înălțimea conului complet este HH H egal cu 10 cm 10\text( cm) 1 0 cm, raza bazei inferioare R RR - 5 cm 5\text( cm)5 cm, de sus r rr - 4 cm 4\text( cm)4 cm, iar înălțimea trunchiului de con este 8 cm 8\text( cm)8 cm.

Soluţie

R=5 R=5R= 5
r = 4 r=4r= 4
H = 10 H = 10H= 1 0
H − h = 8 H-h=8H− h= 8 ,
Unde h hh- înălțimea conului mic.

Găsiți aria ambelor baze ale conului:

$S=\pi \cdot R^{2=\pi \cdot 5^{2\approx 78.5}}$

$s=\pi \cdot r^{2=\pi \cdot 4^{2\approx 50.24}}$

Aflați înălțimea conului mic h hh:

$H-h=8$

$h=H-8$

$h=10-8$

$h=2$

Volumul este egal cu formula:

$V=31\cdot (S\cdot H-s\cdot h)\approx 31\cdot (78.5\cdot 10-50.24\cdot 2)\approx 228\text{cm3}$

Răspuns

$228\text{cm3 .}$