Evenimentele care se petrec în realitate sau în imaginația noastră pot fi împărțite în 3 grupuri. Acestea sunt anumite evenimente care se vor întâmpla cu siguranță, evenimente imposibile și evenimente aleatorii. Teoria probabilității studiază evenimente aleatoare, de ex. evenimente care se pot întâmpla sau nu. Acest articol va prezenta în pe scurt formule de teoria probabilităților și exemple de rezolvare a problemelor de teoria probabilităților care vor fi în sarcina 4 a Examenului de stat unificat la matematică (nivel de profil).
De ce avem nevoie de teoria probabilității?
Din punct de vedere istoric, necesitatea studierii acestor probleme a apărut în secolul al XVII-lea în legătură cu dezvoltarea și profesionalizarea jocuri de norocși apariția cazinourilor. Acesta a fost un fenomen real care a necesitat propriul studiu și cercetare.
Jocul de cărți, zaruri și ruletă a creat situații în care ar putea avea loc oricare dintr-un număr finit de evenimente la fel de posibile. A fost nevoie de a oferi estimări numerice ale posibilității apariției unui anumit eveniment.
În secolul al XX-lea, a devenit clar că această știință aparent frivolă joacă un rol important în înțelegerea proceselor fundamentale care au loc în microcosmos. A fost creat teoria modernă probabilități.
Concepte de bază ale teoriei probabilităților
Obiectul de studiu al teoriei probabilităților îl reprezintă evenimentele și probabilitățile lor. Dacă un eveniment este complex, atunci acesta poate fi împărțit în componente simple, ale căror probabilități sunt ușor de găsit.
Suma evenimentelor A și B se numește eveniment C, care constă în faptul că fie evenimentul A, fie evenimentul B, fie evenimentele A și B au avut loc simultan.
Produsul evenimentelor A și B este un eveniment C, ceea ce înseamnă că atât evenimentul A, cât și evenimentul B au avut loc.
Evenimentele A și B sunt numite incompatibile dacă nu pot avea loc simultan.
Un eveniment A este numit imposibil dacă nu se poate întâmpla. Un astfel de eveniment este indicat prin simbol.
Un eveniment A se numește sigur dacă se va întâmpla cu siguranță. Un astfel de eveniment este indicat prin simbol.
Fiecărui eveniment A să fie asociat un număr P(A). Acest număr P(A) se numește probabilitatea evenimentului A dacă sunt îndeplinite următoarele condiții cu această corespondență.
Un caz special important este situația în care există rezultate elementare la fel de probabile, iar arbitrare dintre aceste rezultate formează evenimentele A. În acest caz, probabilitatea poate fi introdusă folosind formula. Probabilitatea introdusă în acest fel se numește probabilitate clasică. Se poate dovedi că în acest caz proprietățile 1-4 sunt satisfăcute.
Problemele de teoria probabilității care apar la examenul de stat unificat la matematică sunt legate în principal de probabilitatea clasică. Astfel de sarcini pot fi foarte simple. Problemele teoriei probabilităților din versiunile demonstrative sunt deosebit de simple. Este ușor de calculat numărul de rezultate favorabile, numărul tuturor rezultatelor este scris chiar în condiție.
Obținem răspunsul folosind formula.
Un exemplu de problemă de la examenul de stat unificat la matematică privind determinarea probabilității
Pe masă sunt 20 de plăcinte - 5 cu varză, 7 cu mere și 8 cu orez. Marina vrea să ia plăcinta. Care este probabilitatea ca ea să ia prăjitura de orez?
Soluţie.
Există 20 de rezultate elementare la fel de probabile, adică Marina poate lua oricare dintre cele 20 de plăcinte. Dar trebuie să estimăm probabilitatea ca Marina să ia plăcinta cu orez, adică unde A este alegerea plăcintei cu orez. Aceasta înseamnă că numărul de rezultate favorabile (alegeri de plăcinte cu orez) este doar 8. Atunci probabilitatea va fi determinată de formula:
Evenimente independente, opuse și arbitrare
Cu toate acestea, în borcan deschis Au început să fie întâlnite sarcini mai complexe. Prin urmare, să atragem atenția cititorului asupra altor probleme studiate în teoria probabilității.
Se spune că evenimentele A și B sunt independente dacă probabilitatea fiecăruia nu depinde de faptul dacă celălalt eveniment are loc.
Evenimentul B este că evenimentul A nu s-a întâmplat, adică. evenimentul B este opus evenimentului A. Probabilitatea evenimentului opus este egală cu unu minus probabilitatea evenimentului direct, adică. .
Teoreme de adunare și înmulțire a probabilităților, formule
Pentru evenimentele arbitrare A și B, probabilitatea sumei acestor evenimente este egală cu suma probabilităților lor fără probabilitatea evenimentului lor comun, i.e. .
Pentru evenimentele independente A și B, probabilitatea apariției acestor evenimente este egală cu produsul probabilităților lor, i.e. în acest caz .
Ultimele 2 afirmatii se numesc teoreme ale adunarii si inmultirii probabilitatilor.
Numărarea numărului de rezultate nu este întotdeauna atât de simplă. În unele cazuri este necesar să se utilizeze formule combinatorice. Cel mai important lucru este să numărați numărul de evenimente care îndeplinesc anumite condiții. Uneori, astfel de calcule pot deveni sarcini independente.
În câte moduri pot fi așezați 6 elevi în 6 locuri libere? Primul elev va ocupa oricare dintre cele 6 locuri. Fiecare dintre aceste opțiuni corespunde a 5 moduri prin care al doilea student să ocupe un loc. Au mai rămas 4 locuri libere pentru al treilea elev, 3 pentru al patrulea, 2 pentru al cincilea, iar al șaselea va ocupa singurul loc rămas. Pentru a găsi numărul tuturor opțiunilor, trebuie să găsiți produsul, care este notat cu simbolul 6! și citește „șase factoriale”.
În cazul general, răspunsul la această întrebare este dat de formula pentru numărul de permutări a n elemente.
Să luăm acum în considerare un alt caz cu studenții noștri. În câte moduri pot fi așezați 2 elevi pe 6 locuri goale? Primul elev va ocupa oricare dintre cele 6 locuri. Fiecare dintre aceste opțiuni corespunde a 5 moduri prin care al doilea student să ocupe un loc. Pentru a găsi numărul tuturor opțiunilor, trebuie să găsiți produsul.
În general, răspunsul la această întrebare este dat de formula pentru numărul de plasări a n elemente peste k elemente
În cazul nostru.
Și ultimul caz din această serie. În câte moduri poți alege trei elevi din 6? Primul elev poate fi selectat în 6 moduri, al doilea - în 5 moduri, al treilea - în patru moduri. Dar printre aceste opțiuni, aceiași trei elevi apar de 6 ori. Pentru a găsi numărul tuturor opțiunilor, trebuie să calculați valoarea: . În general, răspunsul la această întrebare este dat de formula pentru numărul de combinații de elemente cu element:
În cazul nostru.
Exemple de rezolvare a problemelor din examenul de stat unificat la matematică pentru determinarea probabilității
Sarcina 1. Din colecția editată de. Iascenko.
Pe farfurie sunt 30 de plăcinte: 3 cu carne, 18 cu varză și 9 cu cireșe. Sasha alege o plăcintă la întâmplare. Găsiți probabilitatea ca el să ajungă cu o cireșă.
.
Răspuns: 0,3.
Sarcina 2. Din colecția editată de. Iascenko.
În fiecare lot de 1000 de becuri, în medie, 20 sunt defecte. Găsiți probabilitatea ca un bec luat la întâmplare dintr-un lot să funcționeze.
Soluție: Numărul de becuri de lucru este 1000-20=980. Apoi, probabilitatea ca un bec luat la întâmplare dintr-un lot să funcționeze:
Răspuns: 0,98.
Probabilitatea ca elevul U să rezolve corect mai mult de 9 probleme în timpul unui test de matematică este de 0,67. Probabilitatea ca U. să rezolve corect mai mult de 8 probleme este de 0,73. Aflați probabilitatea ca U să rezolve corect exact 9 probleme.
Dacă ne imaginăm o dreaptă numerică și marchem punctele 8 și 9 pe ea, atunci vom vedea că condiția „U. va rezolva corect exact 9 probleme” este inclusă în condiția „U. va rezolva mai mult de 8 probleme corect”, dar nu se aplică condiției „U. va rezolva mai mult de 9 probleme corect.”
Cu toate acestea, condiția „U. va rezolva corect mai mult de 9 probleme” este cuprinsă în condiția „U. va rezolva mai mult de 8 probleme corect.” Astfel, dacă desemnăm evenimente: „U. va rezolva corect exact 9 probleme" - prin A, "U. va rezolva mai mult de 8 probleme corect" - prin B, "U. va rezolva corect mai mult de 9 probleme” prin C. Soluția respectivă va arăta astfel:
Răspuns: 0,06.
La examenul de geometrie, studentul răspunde la o întrebare dintr-o listă de întrebări de examen. Probabilitatea ca aceasta să fie o întrebare de trigonometrie este de 0,2. Probabilitatea este ca aceasta să fie o întrebare pe tema " Colțuri exterioare", este egal cu 0,15. Nu există întrebări care se referă simultan la aceste două subiecte. Găsiți probabilitatea ca un student să primească o întrebare pe unul dintre aceste două subiecte la examen.
Să ne gândim la ce evenimente avem. Ni se dau două evenimente incompatibile. Adică, fie întrebarea se va referi la subiectul „Trigonometrie”, fie la subiectul „Unghiuri externe”. Conform teoremei probabilității, probabilitatea evenimentelor incompatibile este egală cu suma probabilităților fiecărui eveniment, trebuie să găsim suma probabilităților acestor evenimente, adică:
Răspuns: 0,35.
Camera este iluminată de un felinar cu trei lămpi. Probabilitatea ca o lampă să se ardă într-un an este de 0,29. Găsiți probabilitatea ca cel puțin o lampă să nu se ardă în timpul anului.
Să luăm în considerare posibilele evenimente. Avem trei becuri, fiecare dintre ele se poate arde sau nu independent de orice alt bec. Acestea sunt evenimente independente.
Apoi vom indica opțiunile pentru astfel de evenimente. Să folosim următoarele notații: - becul este aprins, - becul este ars. Și chiar lângă el vom calcula probabilitatea evenimentului. De exemplu, a avut loc probabilitatea unui eveniment în care trei evenimente independente „becul este ars”, „becul este aprins”, „becul este aprins”: , unde probabilitatea evenimentului „becul este aprins”. este aprins” se calculează ca probabilitatea evenimentului opus evenimentului „becul nu este aprins”, și anume: .
Lecție-prelecție pe tema „teoria probabilității”
Sarcina nr. 4 de la Examenul Unificat de Stat 2016.
Nivel de profil.
1 grup: sarcini privind utilizarea formulei clasice de probabilitate.
- Sarcina 1. Compania de taxi are 60 disponibile autoturisme de pasageri; 27 dintre ele sunt negre cu inscripții galbene pe laterale, restul sunt galben cu inscriptii negre. Găsiți probabilitatea ca o mașină galbenă cu litere negre să răspundă la un apel aleatoriu.
- Sarcina 2. Misha, Oleg, Nastya și Galya au tras la sorți cine ar trebui să înceapă jocul. Găsiți probabilitatea ca Galya să nu înceapă jocul.
- Sarcina 3.În medie, din 1000 de pompe de grădină vândute, 7 au scurgeri. Găsiți probabilitatea ca o pompă selectată aleatoriu pentru control să nu aibă scurgeri.
- Sarcina 4. Există doar 15 bilete în colecția de bilete pentru chimie, 6 dintre ele conțin o întrebare pe tema „Acizi”. Găsiți probabilitatea ca un student să primească o întrebare pe tema „Acizi” pe un bilet de examen selectat aleatoriu.
- Sarcina 5. La campionatul de scufundări concurează 45 de sportivi, inclusiv 4 scafandri din Spania și 9 scafandri din SUA. Ordinea spectacolelor se stabilește prin tragere la sorți. Găsiți probabilitatea ca un săritor din SUA să fie al douăzeci și patrulea.
- Sarcina 6. Conferința științifică se desfășoară pe parcursul a 3 zile. Sunt planificate un total de 40 de rapoarte - 8 rapoarte în prima zi, restul sunt distribuite în mod egal între a doua și a treia zi. Ordinea rapoartelor se stabilește prin tragere la sorți. Care este probabilitatea ca raportul profesorului M. să fie programat pentru ultima zi a conferinței?
- Sarcina 1.Înainte de începerea primei runde a campionatului de tenis, participanții sunt împărțiți aleatoriu în perechi de joc folosind loturi. În total, 26 de jucători de tenis participă la campionat, inclusiv 9 participanți din Rusia, inclusiv Timofey Trubnikov. Găsiți probabilitatea ca în primul tur Timofey Trubnikov să joace cu orice tenismen din Rusia.
- Sarcina 2.Înainte de începerea primei runde a campionatului de badminton, participanții sunt împărțiți aleatoriu în perechi de joc folosind loturi. Un total de 76 de jucători de badminton participă la campionat, inclusiv 22 de sportivi din Rusia, inclusiv Viktor Polyakov. Găsiți probabilitatea ca în primul tur Viktor Polyakov să joace cu orice jucător de badminton din Rusia.
- Sarcina 3.În clasă sunt 16 elevi, printre ei doi prieteni - Oleg și Mihail. Clasa este împărțită aleatoriu în 4 grupuri egale. Găsiți probabilitatea ca Oleg și Mihail să fie în același grup.
- Sarcina 4.În clasă sunt 33 de elevi, printre ei doi prieteni - Andrei și Mihail. Elevii sunt împărțiți aleatoriu în 3 grupuri egale. Găsiți probabilitatea ca Andrei și Mihail să fie în același grup.
- Sarcina 1:Într-o fabrică de veselă ceramică, 20% din farfuriile produse sunt defecte. În timpul controlului calității produsului, 70% din plăcile defecte sunt identificate. Plăcile rămase sunt la vânzare. Găsiți probabilitatea ca o placă selectată aleatoriu la cumpărare să nu aibă defecte. Rotunjiți răspunsul la cea mai apropiată sutime.
- Sarcina 2. La o fabrică de veselă ceramică, 30% din farfuriile produse sunt defecte. În timpul controlului calității produsului, 60% din plăcile defecte sunt identificate. Plăcile rămase sunt la vânzare. Găsiți probabilitatea ca o placă selectată aleatoriu în timpul achiziției să aibă un defect. Rotunjiți răspunsul la cea mai apropiată sutime.
- Sarcina 3: Două fabrici produc aceeași sticlă pentru farurile auto. Prima fabrică produce 30% din acești ochelari, a doua – 70%. Prima fabrică produce 3% sticlă defecte, iar a doua – 4%. Găsiți probabilitatea ca sticla cumpărată accidental dintr-un magazin să fie defectă.
2 grup: găsirea probabilității evenimentului opus.
- Sarcina 1. Probabilitatea de a lovi centrul țintei de la o distanță de 20 m pentru un trăgător profesionist este de 0,85. Găsiți probabilitatea de a rata centrul țintei.
- Sarcina 2. La fabricarea rulmenților cu diametrul de 67 mm, probabilitatea ca diametrul să difere de cel specificat cu mai puțin de 0,01 mm este de 0,965. Găsiți probabilitatea ca un rulment aleatoriu să aibă un diametru mai mic de 66,99 mm sau mai mare de 67,01 mm.
3 grup: Găsirea probabilității de apariție a cel puțin unuia dintre evenimentele incompatibile. Formula de adunare a probabilităților.
- Sarcina 1. Găsiți probabilitatea ca atunci când aruncați un zar să obțineți 5 sau 6 puncte.
- Sarcina 2.Într-o urnă sunt 30 de bile: 10 roșii, 5 albastre și 15 albe. Găsiți probabilitatea de a extrage o minge colorată.
- Sarcina 3. Tragatorul trage intr-o tinta impartita in 3 zone. Probabilitatea de a lovi prima zonă este de 0,45, a doua este de 0,35 Găsiți probabilitatea ca trăgătorul să lovească fie prima, fie a doua zonă cu o singură lovitură.
- Sarcina 4. Un autobuz circulă zilnic din centrul raionului până în sat. Probabilitatea ca luni să fie mai puțin de 18 pasageri în autobuz este de 0,95. Probabilitatea ca să fie mai puțin de 12 pasageri este de 0,6. Găsiți probabilitatea ca numărul de pasageri să fie de la 12 la 17.
- Sarcina 5. Probabilitatea că nou ceainic electric va dura mai mult de un an, este egal cu 0,97. Probabilitatea ca acesta să dureze mai mult de doi ani este de 0,89. Găsiți probabilitatea ca acesta să dureze mai puțin de doi ani, dar mai mult de un an.
- Sarcina 6. Probabilitatea ca elevul U. să rezolve corect mai mult de 9 probleme în timpul unui test de biologie este de 0,61. Probabilitatea ca U. să rezolve corect mai mult de 8 probleme este de 0,73. Aflați probabilitatea ca U să rezolve corect exact 9 probleme.
4 Grup: Probabilitatea apariției simultane a evenimentelor independente. Formula de multiplicare a probabilității.
- Sarcina 1. Camera este iluminată de un felinar cu două lămpi. Probabilitatea ca o lampă să se ardă într-un an este de 0,3. Găsiți probabilitatea ca cel puțin o lampă să nu se ardă în timpul anului.
- Sarcina 2. Camera este iluminată de un felinar cu trei lămpi. Probabilitatea ca o lampă să se ardă într-un an este de 0,3. Găsiți probabilitatea ca cel puțin o lampă să nu se ardă în timpul anului.
- Sarcina 3.În magazin sunt doi vânzători. Fiecare dintre ei este ocupat cu un client cu probabilitate 0,4. Găsiți probabilitatea ca la un moment aleatoriu ambii vânzători să fie ocupați în același timp (presupuneți că clienții vin independent unul de celălalt).
- Sarcina 4.În magazin sunt trei vânzători. Fiecare dintre ei este ocupat cu un client cu probabilitate 0,2. Găsiți probabilitatea ca la un moment aleatoriu toți cei trei vânzători să fie ocupați în același timp (presupuneți că clienții vin independent unul de celălalt).
- Sarcina 5: Pe baza recenziilor clienților, Mikhail Mikhailovich a evaluat fiabilitatea celor două magazine online. Probabilitatea ca produsul dorit să fie livrat din magazinul A este de 0,81. Probabilitatea ca acest produs să fie livrat din magazinul B este de 0,93. Mihail Mihailovici a comandat simultan mărfuri din ambele magazine. Presupunând că magazinele online funcționează independent unele de altele, găsiți probabilitatea ca niciun magazin să nu livreze produsul.
- Sarcina 6: Dacă marele maestru A. joacă alb, atunci el câștigă împotriva marelui maestru B. cu probabilitatea de 0,6. Dacă A. joacă negru, atunci A. câștigă împotriva lui B. cu probabilitatea de 0,4. Marii maeștri A. și B. joacă două jocuri, iar în al doilea joc schimbă culoarea pieselor. Aflați probabilitatea ca A. să câștige de ambele ori.
5 Grup: Probleme care implică utilizarea ambelor formule.
- Sarcina 1: Toți pacienții cu suspiciune de hepatită sunt supuși unui test de sânge. Dacă testul dezvăluie hepatită, rezultatul testului se numește pozitiv. La pacienții cu hepatită, testul dă un rezultat pozitiv cu o probabilitate de 0,9. Dacă pacientul nu are hepatită, testul poate da un rezultat fals pozitiv cu o probabilitate de 0,02. Se știe că 66% dintre pacienții internați cu suspiciune de hepatită au de fapt hepatită. Găsiți probabilitatea ca un pacient internat în clinică cu suspiciune de hepatită să fie testat pozitiv.
- Sarcina 2. Cowboy John are o șansă de 0,9 să lovească o muscă de perete dacă trage cu un revolver cu zero. Dacă John trage cu un revolver neîmpușcat, el lovește musca cu probabilitatea de 0,2. Pe masă sunt 10 revolvere, dintre care doar 4 au fost împușcate. Cowboy John vede o muscă pe perete, apucă la întâmplare primul revolver pe care îl întâlnește și împușcă musca. Găsiți probabilitatea ca John să rateze.
Sarcina 3:
În unele zone, observațiile au arătat:
1. Dacă o dimineață de iunie este senină, atunci probabilitatea de ploaie în acea zi este de 0,1. 2. Dacă o dimineață de iunie este înnorată, atunci probabilitatea de ploaie în timpul zilei este de 0,4. 3. Probabilitatea ca dimineața lunii iunie să fie înnorată este de 0,3.
Găsiți probabilitatea ca într-o zi aleatorie a lunii iunie să nu fie ploaie.
Sarcina 4.În timpul tragerii de artilerie sistem automatșutează la țintă. Dacă ținta nu este distrusă, sistemul trage oa doua lovitură. Loturile se repetă până când ținta este distrusă. Probabilitatea de a distruge o anumită țintă cu prima lovitură este de 0,3, iar la fiecare lovitură ulterioară este de 0,9. Câte lovituri vor fi necesare pentru a se asigura că probabilitatea de a distruge ținta este de cel puțin 0,96?
Teoria probabilității la examenul unificat de stat la matematică poate fi prezentată atât sub forma unor probleme simple de definiție clasică a probabilității, cât și sub forma unora destul de complexe de aplicare a teoremelor corespunzătoare.
În această parte, vom lua în considerare problemele pentru care este suficient să folosim definiția probabilității. Uneori aici vom folosi și o formulă pentru a calcula probabilitatea evenimentului opus. Deși puteți face fără această formulă aici, veți avea nevoie de ea atunci când rezolvați următoarele probleme.
Partea teoretică
Un eveniment aleatoriu este un eveniment care poate sau nu să apară (imposibil de prezis în prealabil) în timpul unei observații sau test.
Lăsați, atunci când efectuați un test (aruncarea unei monede sau a zarurilor, tragerea carnet de examen etc.) sunt posibile rezultate la fel de posibile. De exemplu, atunci când aruncați o monedă, numărul tuturor rezultatelor este 2, deoarece nu pot exista alte rezultate decât cap sau cozi. Când aruncați un zar, sunt posibile 6 rezultate, deoarece orice număr de la 1 la 6 este la fel de posibil să apară pe fața de sus a zarului.
Probabilitatea evenimentului A este raportul dintre numărul de rezultate favorabile acestui eveniment și numărul total de rezultate la fel de posibile (aceasta este definiția clasică a probabilității). noi scriem
De exemplu, evenimentul A consta în obținerea unui număr impar de puncte atunci când aruncați un zar. Există un total de 6 rezultate posibile: 1, 2, 3, 4, 5, 6 care apar pe fața superioară a cubului. În acest caz, rezultatele cu 1, 3, 5 care apar favorabile pentru evenimentul A sunt: 1, 3. , 5. Astfel, 
.
Rețineți că ține întotdeauna dubla inegalitate, prin urmare probabilitatea oricărui eveniment A se află pe interval, adică 
. Dacă răspunsul tău are o probabilitate mai mare de unu, înseamnă că ai greșit undeva și soluția trebuie verificată de două ori.
Evenimentele A și B sunt numite opus reciproc dacă vreun rezultat este favorabil pentru exact unul dintre ei.
De exemplu, atunci când aruncați un zar, evenimentul „se aruncă un număr impar” este opusul evenimentului „se aruncă un număr par”.
Este desemnat evenimentul opus evenimentului A. Din definirea evenimentelor opuse rezultă 
, Înseamnă, 
.
Probleme legate de selectarea obiectelor dintr-un set
Sarcina 1. La Campionatul Mondial participă 24 de echipe. Folosind loturi, ei trebuie împărțiți în patru grupe a câte șase echipe fiecare. Există cărți cu numere de grup amestecate în cutie:
1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4.
Căpitanii de echipă trag câte o carte fiecare. Care este probabilitatea ca echipa rusă să fie în grupa a treia?
Numărul total de rezultate este egal cu numărul de cărți - sunt 24 dintre ele. Există 6 rezultate favorabile (deoarece numărul 3 este scris pe șase cărți). Probabilitatea necesară este egală cu 
.
Răspuns: 0,25.
Sarcina 2.Într-o urnă sunt 14 bile roșii, 9 galbene și 7 verzi. Din urnă se extrage o minge la întâmplare. Care este probabilitatea ca această minge să fie galbenă?
Numărul total de rezultate este egal cu numărul de bile: 14 + 9 + 7 = 30. Numărul de rezultate favorabile pentru acest eveniment este 9. Probabilitatea necesară este egală cu 
.
Sarcina 3. Pe tastatura telefonului sunt 10 numere, de la 0 la 9. Care este probabilitatea ca un număr apăsat aleatoriu să fie par și mai mare decât 5?
Rezultatul aici este apăsarea unei anumite taste, deci există un total de 10 rezultate la fel de posibile. Evenimentul specificat este favorizat de rezultate care înseamnă apăsarea tastei 6 sau 8. Există două astfel de rezultate. Probabilitatea necesară este egală cu .
Răspuns: 0,2.
Problema 4. Care este probabilitatea ca un selectat aleatoriu număr natural Este de la 4 la 23 divizibil cu trei?
Pe segmentul de la 4 la 23 există 23 – 4 + 1 = 20 de numere naturale, ceea ce înseamnă că există un total de 20 de rezultate posibile. Pe acest segment, următoarele numere sunt multipli de trei: 6, 9, 12, 15, 18, 21. Sunt 6 astfel de numere în total, deci evenimentul în cauză este favorizat de 6 rezultate. Probabilitatea necesară este egală cu 
.
Răspuns: 0,3.
Sarcina 5. Din cele 20 de bilete oferite la examen, studentul poate răspunde doar la 17. Care este probabilitatea ca studentul să nu poată răspunde la biletul ales la întâmplare?
1a metoda.
Deoarece un student poate răspunde la 17 bilete, nu poate răspunde la 3 bilete. Probabilitatea de a obține unul dintre aceste bilete este, prin definiție, egală cu .
a 2-a metoda.
Să notăm cu A evenimentul „studentul poate răspunde la bilet”. Apoi . Probabilitatea evenimentului opus este =1 – 0,85 = 0,15.
Răspuns: 0,15.
Problema 6. La campionatul de gimnastică ritmică participă 20 de sportivi: 6 din Rusia, 5 din Germania, restul din Franța. Ordinea în care performanțele gimnastelor se stabilește prin tragere la sorți. Găsiți probabilitatea ca sportivul care concurează pe locul șapte să fie din Franța.
Sunt 20 de sportivi în total, toată lumea are șanse egale să concureze pe locul șapte. Prin urmare, există 20 de rezultate la fel de probabile. Sunt 20 – 6 – 5 = 9 sportivi din Franța, deci există 9 rezultate favorabile pentru evenimentul specificat. Probabilitatea necesară este egală cu .
Răspuns: 0,45.
Sarcina 7. Conferința științifică se desfășoară pe parcursul a 5 zile. Sunt planificate un total de 50 de rapoarte - primele trei zile au câte 12 rapoarte fiecare, restul sunt distribuite în mod egal între a patra și a cincea zi. Ordinea rapoartelor se stabilește prin tragere la sorți. Care este probabilitatea ca raportul profesorului N. să fie programat pentru ultima zi a conferinței?
Mai întâi, să aflăm câte rapoarte sunt programate pentru ultima zi. Prezentările sunt programate pentru primele trei zile. Au mai rămas 50 – 36 = 14 rapoarte, care sunt distribuite în mod egal între cele două zile rămase, deci există rapoarte programate în ultima zi.
Vom considera că rezultatul este numărul de serie al raportului profesorului N. Există 50 de astfel de rezultate la fel de posibile. Există 7 rezultate care favorizează evenimentul specificat (ultimele 7 numere din lista de rapoarte). Probabilitatea necesară este egală cu .
Răspuns: 0,14.
Problema 8. La bordul aeronavei sunt 10 locuri lângă ieșirile de urgență și 15 locuri în spatele compartimentelor despărțitoare care separă cabinele. Scaunele rămase sunt incomode pentru pasagerii înalți. Pasagerul K. este înalt. Găsiți probabilitatea ca la check-in, dacă un loc este selectat aleatoriu, pasagerul K să primească un loc confortabil dacă există 200 de locuri în total în avion.
Rezultatul în această sarcină este alegerea locației. Există un total de 200 de rezultate la fel de posibile. Evenimentul „locul ales este convenabil” este favorizat de 15 + 10 = 25 de rezultate. Probabilitatea necesară este egală cu .
Răspuns: 0,125.
Problema 9. Din 1000 de râșnițe de cafea asamblate la fabrică, 7 erau defecte. Un expert testează o râșniță de cafea aleasă la întâmplare dintre aceste 1000. Găsiți probabilitatea ca râșnița de cafea testată să fie defectă.
Atunci când alegeți o râșniță de cafea la întâmplare, sunt posibile 1000 de rezultate pentru evenimentul A „râșnița de cafea selectată este defectă”, 7 rezultate sunt favorabile; Prin definiția probabilității.
Răspuns: 0,007.
Problema 10. Fabrica produce frigidere. În medie, pentru fiecare 100 de frigidere de calitate, există 15 frigidere cu defecte ascunse. Găsiți probabilitatea ca frigiderul achiziționat să fie de înaltă calitate. Rotunjiți rezultatul la sutimi.
Această sarcină este similară cu cea anterioară. Cu toate acestea, formula „pentru 100 de frigidere de calitate, sunt 15 cu defecte” ne indică faptul că 15 piese defecte nu sunt incluse in cele 100 de calitate. Prin urmare, numărul total de rezultate este 100 + 15 = 115 (egal cu numărul total de frigidere), există 100 de rezultate favorabile Probabilitatea necesară este egală cu . Pentru a calcula valoarea aproximativă a unei fracții, este convenabil să folosiți diviziunea unghiulară. Obținem 0,869... care este 0,87.
Răspuns: 0,87.
Problema 11. Înainte de începerea primei runde a campionatului de tenis, participanții sunt împărțiți aleatoriu în perechi de joc folosind loturi. În total, 16 jucători de tenis participă la campionat, inclusiv 7 participanți din Rusia, inclusiv Maxim Zaitsev. Găsiți probabilitatea ca în primul tur Maxim Zaitsev să joace cu orice tenismen din Rusia.
Ca și în sarcina anterioară, trebuie să citiți cu atenție condiția și să înțelegeți ce este un rezultat și care este un rezultat favorabil (de exemplu, aplicarea necugetată a formulei probabilității duce la un răspuns incorect).
Aici rezultatul este adversarul lui Maxim Zaitsev. Deoarece există 16 jucători de tenis în total și Maxim nu poate juca împotriva lui însuși, există 16 – 1 = 15 rezultate la fel de probabile. Un rezultat favorabil este un adversar din Rusia. Există 7 – 1 = 6 astfel de rezultate favorabile (excludem pe Maxim însuși din numărul rușilor). Probabilitatea necesară este egală cu .
Răspuns: 0,4.
Problema 12. La secția de fotbal participă 33 de persoane, printre care doi frați - Anton și Dmitry. Cei care participă la secțiune sunt împărțiți aleatoriu în trei echipe a câte 11 persoane fiecare. Găsiți probabilitatea ca Anton și Dmitry să fie în aceeași echipă.
Să formăm echipe, așezând succesiv jucătorii pe locurile goale, începând cu Anton și Dmitry. Mai întâi, să-l plasăm pe Anton într-un loc selectat aleatoriu din 33 de locuri libere. Acum îl plasăm pe Dmitry într-un loc liber (vom lua în considerare alegerea unui loc pentru el ca rezultat). Există 32 de locuri libere în total (Anton a luat deja unul), deci sunt 32 de rezultate posibile în total. Au rămas 10 locuri libere în aceeași echipă cu Anton, așa că evenimentul „Anton și Dmitry în aceeași echipă” este favorizat de 10 rezultate. Probabilitatea acestui eveniment este 
.
Răspuns: 0,3125.
Problema 13. Un ceas mecanic cu cadran de douăsprezece ore s-a stricat la un moment dat și a încetat să funcționeze. Găsiți probabilitatea ca anunțul orelor să fie înghețat, ajungând la ora 11, dar fără a ajunge la ora 2.
În mod convențional, cadranul poate fi împărțit în 12 sectoare, situate între reperele numerelor adiacente (între 12 și 1, 1 și 2, 2 și 3, ..., 11 și 12). Vom considera că rezultatul este oprirea acelui ceas într-unul dintre sectoarele indicate. Există un total de 12 rezultate la fel de posibile. Acest eveniment este favorizat de trei rezultate (sectoarele între 11 și 12, 12 și 1, 1 și 2). Probabilitatea necesară este egală cu 
.
Răspuns: 0,25.
Să rezumam
După ce am studiat materialul de rezolvare a unor probleme simple din teoria probabilităților, recomand finalizarea sarcinilor pt decizie independentă pe care le publicăm canalul nostru Telegram. De asemenea, puteți verifica dacă sunt completate corect introducând dvs răspunsuri în formularul oferit.
Vă mulțumim pentru distribuirea articolului pe rețelele de socializare.
Sursa „Pregătirea pentru examenul de stat unificat. Matematică. Editat de F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabuhova
V-6-2014 (toate cele 56 de prototipuri de la banca Unified State Exam)
Să fie capabil să construiască și să studieze cele mai simple modele matematice (teoria probabilității)
1.B experiment aleatoriu se aruncă două zaruri. Aflați probabilitatea ca totalul să fie de 8 puncte. Rotunjiți rezultatul la sutimi. Soluţie: Numărul de rezultate în care vor apărea 8 puncte în urma aruncării zarurilor este 5: 2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2. Fiecare zar are șase aruncări posibile, deci numărul total de rezultate este 6 6 = 36. Prin urmare, probabilitatea de a arunca un total de 8 este 5: 36 = 0,138... = 0,14
2. Într-un experiment aleatoriu, o monedă simetrică este aruncată de două ori. Găsiți probabilitatea ca capete să apară exact o dată. Soluţie: Există 4 rezultate la fel de posibile ale experimentului: cap-capete, cap-cozi, cozi-capete, cozi-cozi. Capetele apar exact o dată în două cazuri: cap-cozi și cozi-capete. Prin urmare, probabilitatea ca capete să apară exact 1 dată este 2: 4 = 0,5.
3. La campionatul de gimnastică participă 20 de sportivi: 8 din Rusia, 7 din SUA, restul din China. Ordinea în care performanțele gimnastelor se stabilește prin tragere la sorți. Găsiți probabilitatea ca sportivul care concurează primul să fie din China. Soluţie: Participă la campionatsportivi din China. Atunci probabilitatea ca sportivul care concurează primul să fie din China este 5: 20 = 0,25
4. În medie, din 1000 de pompe de grădină vândute, 5 scurgeri. Găsiți probabilitatea ca o pompă selectată aleatoriu pentru control să nu aibă scurgeri. Soluţie: În medie, din 1000 de pompe de grădină vândute, 1000 − 5 = 995 nu au scurgeri. Aceasta înseamnă că probabilitatea ca o pompă selectată aleatoriu pentru control să nu aibă scurgeri este egală cu 995: 1000 = 0,995
5. Fabrica produce saci. În medie, pentru fiecare 100 de genți de calitate, sunt opt pungi cu defecte ascunse. Găsiți probabilitatea ca geanta achiziționată să fie de înaltă calitate. Rotunjiți rezultatul la sutimi. Soluţie: Conform condiției, pentru fiecare 100 + 8 = 108 saci sunt 100 saci de calitate. Aceasta înseamnă că probabilitatea ca geanta achiziționată să fie de înaltă calitate este 100: 108 =0,925925...= 0,93
6. La concursul de aruncare a loviturii participă 4 sportivi din Finlanda, 7 sportivi din Danemarca, 9 sportivi din Suedia și 5 din Norvegia. Ordinea în care concurează sportivii este stabilită prin tragere la sorți. Găsiți probabilitatea ca sportivul care concurează ultimul să fie din Suedia. Soluţie: În total, la competiție participă 4 + 7 + 9 + 5 = 25 de sportivi. Aceasta înseamnă că probabilitatea ca sportivul care concurează ultimul să fie din Suedia este 9: 25 = 0,36
7.Conferința științifică se desfășoară pe parcursul a 5 zile. Sunt planificate un total de 75 de rapoarte - primele trei zile conțin 17 rapoarte, restul sunt distribuite în mod egal între a patra și a cincea zi. Ordinea rapoartelor se stabilește prin tragere la sorți. Care este probabilitatea ca raportul profesorului M. să fie programat pentru ultima zi a conferinței? Soluţie: În primele trei zile vor fi citite 51 de rapoarte, iar pentru ultimele două zile sunt planificate 24 de rapoarte. Prin urmare, pentru ultima zi sunt planificate 12 rapoarte. Aceasta înseamnă că probabilitatea ca raportul profesorului M. să fie programat pentru ultima zi a conferinței este de 12: 75 = 0,16
8. Concursul interpreților se desfășoară pe parcursul a 5 zile. Au fost anunțate în total 80 de spectacole - câte una din fiecare țară. În prima zi sunt 8 spectacole, restul sunt împărțite în mod egal între zilele rămase. Ordinea spectacolelor se stabilește prin tragere la sorți. Care este probabilitatea ca un reprezentant rus să evolueze în a treia zi a competiției? Soluţie: Programat pentru a treia zidiscursuri. Aceasta înseamnă că probabilitatea ca un reprezentant al Rusiei să evolueze în a treia zi a competiției este de 18: 80 = 0,225
9. La seminar au venit 3 oameni de știință din Norvegia, 3 din Rusia și 4 din Spania. Ordinea rapoartelor se stabilește prin tragere la sorți. Găsiți probabilitatea ca al optulea raport să fie un raport al unui om de știință din Rusia. Soluţie: În total, la seminar participă 3 + 3 + 4 = 10 oameni de știință, ceea ce înseamnă că probabilitatea ca al optulea om de știință care vorbește să fie din Rusia este de 3:10 = 0,3.
10. Înainte de începerea primei runde a campionatului de badminton, participanții sunt împărțiți aleatoriu în perechi de joc folosind loturi. În total, 26 de jucători de badminton participă la campionat, inclusiv 10 participanți din Rusia, inclusiv Ruslan Orlov. Găsiți probabilitatea ca în primul tur Ruslan Orlov să joace cu vreun jucător de badminton din Rusia? Soluţie: În primul tur, Ruslan Orlov poate juca cu 26 − 1 = 25 de jucători de badminton, dintre care 10 − 1 = 9 sunt din Rusia. Aceasta înseamnă că probabilitatea ca în primul tur Ruslan Orlov să joace cu orice jucător de badminton din Rusia este de 9: 25 = 0,36
11. În colecția de bilete pentru biologie există doar 55 de bilete, 11 dintre ele conțin o întrebare despre botanică. Găsiți probabilitatea ca un student să primească o întrebare despre botanică pe un bilet de examen selectat aleatoriu. Rezolvare: 11: 55 = 0,2
12. La campionatul de scufundări evoluează 25 de sportivi, printre care 8 săritori din Rusia și 9 săritori din Paraguay. Ordinea spectacolelor se stabilește prin tragere la sorți. Găsiți probabilitatea ca un săritor paraguayan să fie al șaselea.
13. Două fabrici produc aceeași sticlă pentru farurile auto. Prima fabrică produce 30% din acești ochelari, a doua - 70%. Prima fabrică produce 3% din sticlă defecte, iar a doua - 4%. Găsiți probabilitatea ca sticla cumpărată accidental dintr-un magazin să se dovedească a fi defectă.
Soluţie. Convertiți %% în fracții.
Evenimentul A - „S-a achiziționat sticlă de la prima fabrică”. P(A)=0,3
Evenimentul B - „S-a achiziționat sticlă de la a doua fabrică”. P(B)=0,7
Evenimentul X - „Sticlă defectă”.
P(A și X) = 0,3*0,03=0,009
P(B și X) = 0,7*0,04=0,028 Conform formulei probabilității totale: P = 0,009+0,028 = 0.037
14.Dacă marele maestru A. joacă alb, atunci el câștigă împotriva marelui maestru B. cu probabilitatea 0,52. Dacă A. joacă negru, atunci A. câștigă împotriva lui B. cu probabilitatea 0,3. Marii maeștri A. și B. joacă două jocuri, iar în al doilea joc schimbă culoarea pieselor. Aflați probabilitatea ca A. să câștige de ambele ori. Soluţie: 0,52 * 0,3 = 0,156.
15. Vasya, Petya, Kolya și Lyosha au tras la sorți cine ar trebui să înceapă jocul. Găsiți probabilitatea ca Petya să înceapă jocul.
Soluție: Experiment aleatoriu - tragere la sorți.
În acest experiment, evenimentul elementar este participantul care câștigă lotul.
Să enumerăm posibilele evenimente elementare:
(Vasya), (Petya), (Kolya), (Lyosha).
Vor fi 4 dintre ei, adică. N=4. Lotul implică faptul că toate evenimentele elementare sunt la fel de posibile.
Evenimentul A= (Petya a câștigat lotul) este favorizat de un singur eveniment elementar (Petya). Prin urmare N(A)=1.
Atunci P(A)=0,25 Răspuns: 0,25.
16. 16 echipe participă la Campionatul Mondial. Folosind loturi, ei trebuie împărțiți în patru grupe a câte patru echipe fiecare. În cutie sunt cărți cu numere de grup amestecate: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. Căpitanii de echipă trag câte o carte. Care este probabilitatea ca echipa rusă să fie în grupa a doua? Soluţie: Rezultate totale - 16. Dintre acestea, favorabile, i.e. cu numărul 2, va fi 4. Deci 4: 16=0,25
17. La examenul de geometrie, studentul primește o întrebare din lista de întrebări de examen. Probabilitatea ca aceasta să fie o întrebare cu cerc înscris este de 0,2. Probabilitatea ca aceasta să fie o întrebare pe tema „Paralelogram” este 0,15. Nu există întrebări care se referă simultan la aceste două subiecte. Găsiți probabilitatea ca un student să primească o întrebare pe unul dintre aceste două subiecte la examen.
= (întrebare pe tema „Cercul înscris”),
= (întrebare pe tema „Paralelogram”).
EvenimenteŞi sunt incompatibile, deoarece prin condiție lista nu conține întrebări legate de aceste două subiecte în același timp.
Eveniment= (întrebare pe unul dintre aceste două subiecte) este o combinație a acestora:.
Să aplicăm formula de adunare a probabilităților de evenimente incompatibile:
.
18.B centru comercial doua masini identice vand cafea. Probabilitatea ca aparatul să rămână fără cafea până la sfârșitul zilei este de 0,3. Probabilitatea ca ambele aparate să rămână fără cafea este de 0,12. Găsiți probabilitatea ca la sfârșitul zilei să rămână cafea în ambele aparate.
Să definim evenimentele
= (cafea se va termina la prima mașină),
= (cafea se va termina la a doua mașină).
În funcție de condițiile problemeiŞi .
Folosind formula de adunare a probabilităților, găsim probabilitatea unui eveniment
Şi = (cafea se va epuiza în cel puțin una dintre aparate):
.
Prin urmare, probabilitatea evenimentului opus (cafea va rămâne în ambele aparate) este egală cu
.
19. Un biatlet trage în ținte de cinci ori. Probabilitatea de a lovi ținta cu o singură lovitură este de 0,8. Găsiți probabilitatea ca biatletul să lovească ținta primele trei ori și să rateze ultimele două. Rotunjiți rezultatul la sutimi.
În această problemă se presupune că rezultatul fiecărei lovituri următoare nu depinde de cele anterioare. Prin urmare, evenimentele „lovin la prima lovitură”, „lovin la a doua lovitură” etc. independent.
Probabilitatea fiecărei lovituri este egală. Aceasta înseamnă că probabilitatea fiecărei rateuri este egală cu. Să folosim formula de înmulțire a probabilităților evenimentelor independente. Constatăm că secvența
= (lovit, lovit, lovit, ratat, ratat) are o probabilitate
=
= . Raspuns: .
20. Există două automate de plată în magazin. Fiecare dintre ele poate fi defect cu o probabilitate de 0,05, indiferent de cealaltă mașină. Găsiți probabilitatea ca cel puțin o mașină să funcționeze.
Această problemă presupune, de asemenea, că automatele funcționează independent.
Să găsim probabilitatea evenimentului opus
= (ambele mașini sunt defecte).
Pentru a face acest lucru, folosim formula pentru înmulțirea probabilităților evenimentelor independente:
.
Aceasta înseamnă probabilitatea evenimentului= (cel puțin o mașină funcționează) este egal cu. Raspuns: .
21. Camera este iluminată de un felinar cu două lămpi. Probabilitatea ca o lampă să se ardă într-un an este de 0,3. Găsiți probabilitatea ca cel puțin o lampă să nu se ardă în timpul anului. Soluție: ambele se vor arde (evenimentele sunt independente și folosim formula pentru produsul probabilităților) cu probabilitatea p1=0,3⋅0,3=0,09
Evenimentul opus(NU se vor arde ambele = cel puțin UNUL nu se va arde)
se va întâmpla cu probabilitatea p=1-p1=1-0,09=0,91
RĂSPUNS: 0,91
22. Probabilitatea ca un fierbător electric nou să reziste mai mult de un an este de 0,97. Probabilitatea ca acesta să dureze mai mult de doi ani este de 0,89. Găsiți probabilitatea ca acesta să dureze mai puțin de doi ani, dar mai mult de un an
Soluţie.
Fie A = „fierbanul va rezista mai mult de un an, dar mai puțin de doi ani”, B = „fierbanul va rezista mai mult de doi ani”, apoi A + B = „fierbanul va rezista mai mult de un an”.
Evenimentele A și B sunt comune, probabilitatea sumei lor este egală cu suma probabilităților acestor evenimente, redusă cu probabilitatea apariției lor. Probabilitatea ca aceste evenimente să se producă, constând în faptul că ibricul va eșua în exact doi ani - exact în aceeași zi, oră și secundă - este zero. Apoi:
P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A B) = P(A) + P(B),
de unde, folosind datele din condiție, obținem 0,97 = P(A) + 0,89.
Astfel, pentru probabilitatea dorită avem: P(A) = 0,97 − 0,89 = 0,08.
23.Achizitii intreprinderi agricole ouă de găinăîn două gospodării. 40% din ouăle din prima fermă sunt ouă de cea mai înaltă categorie, iar din a doua fermă - 20% din ouăle din cea mai înaltă categorie. În total, 35% dintre ouă primesc cea mai înaltă categorie. Găsiți probabilitatea ca un ou achiziționat de la această firmă agricolă să fie de la prima fermă. Soluţie: Lăsați firma agricolă să cumpere de la prima fermă ouă, inclusiv ouă de cea mai înaltă categorie, iar în a doua fermă - ouă, inclusiv ouă de cea mai înaltă categorie. Astfel, suma totală achiziționată de agroforma ouă, inclusiv ouă de cea mai înaltă categorie. Conform condiției, 35% dintre ouă au cea mai înaltă categorie, atunci:
Prin urmare, probabilitatea ca oul achiziționat să fie de la prima fermă este egală cu =0,75
24. Pe tastatura telefonului sunt 10 cifre, de la 0 la 9. Care este probabilitatea ca o cifră apăsată la întâmplare să fie pară?
25.Care este probabilitatea ca un număr natural selectat aleatoriu de la 10 la 19 să fie divizibil cu trei?
26.Cowboy John lovește o muscă pe perete cu o probabilitate de 0,9 dacă trage dintr-un revolver cu zero. Dacă John trage un revolver netras, el lovește musca cu probabilitatea 0,2. Pe masă sunt 10 revolvere, dintre care doar 4 au fost împușcate. Cowboy John vede o muscă pe perete, apucă la întâmplare primul revolver pe care îl întâlnește și împușcă musca. Găsiți probabilitatea ca John să rateze. Soluție: Ioane lovește o muscă dacă apucă un revolver cu zero și lovește cu el sau dacă apucă un revolver neîmpușcat și lovește cu el. Conform formulei probabilității condiționate, probabilitățile acestor evenimente sunt egale cu 0,4·0,9 = 0,36 și, respectiv, 0,6·0,2 = 0,12. Aceste evenimente sunt incompatibile, probabilitatea sumei lor este egală cu suma probabilităților acestor evenimente: 0,36 + 0,12 = 0,48. Evenimentul pe care John îl ratează este opusul. Probabilitatea sa este 1 − 0,48 = 0,52.
27. În grupul de turiști sunt 5 persoane. Folosind loturi, ei aleg doi oameni care trebuie să meargă în sat să cumpere mâncare. Turistul A. ar vrea să meargă la magazin, dar se supune lotului. Care este probabilitatea ca A. să meargă la magazin? Soluţie: Sunt cinci turişti în total, doi dintre ei sunt aleşi la întâmplare. Probabilitatea de a fi selectat este 2: 5 = 0,4. Răspuns: 0,4.
28.Înainte de a începe meci de fotbal Arbitrul aruncă o monedă pentru a determina ce echipă va începe jocul cu mingea. Echipa Fizik joacă trei meciuri cu echipe diferite. Găsiți probabilitatea ca în aceste jocuri „Fizicianul” să câștige lotul de exact două ori. Soluţie: Să notăm cu „1” fața monedei care este responsabilă pentru câștigarea lotului „Fizicianului”, iar cealaltă față a monedei o vom nota cu „0”. Apoi există trei combinații favorabile: 110, 101, 011 și sunt 2 combinații în total 3 = 8: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. Astfel, probabilitatea necesară este egală cu:
29. Zarurile sunt aruncate de două ori. Câte rezultate elementare ale experimentului favorizează evenimentul „A = suma punctelor este 5”? Rezolvare: Suma punctelor poate fi egală cu 5 în patru cazuri: „3 + 2”, „2 + 3”, „1 + 4”, „4 + 1”. Raspuns: 4.
30. Într-un experiment aleatoriu, o monedă simetrică este aruncată de două ori. Găsiți probabilitatea ca rezultatul OP să se producă (capete prima dată, coadă a doua oară). Soluţie: Există patru rezultate posibile: cap-capete, cap-cozi, cozi-capete, cozi-cozi. Unul este favorabil: cap și coadă. Prin urmare, probabilitatea dorită este 1: 4 = 0,25. Răspuns: 0,25.
31. Trupele concertează la festivalul rock - câte una din fiecare dintre țările declarate. Ordinea executării se stabilește prin tragere la sorți. Care este probabilitatea ca un grup din Danemarca să evolueze după un grup din Suedia și după un grup din Norvegia? Rotunjiți rezultatul la sutimi. Soluţie: Numărul total de grupuri care concertează la festival nu este important pentru a răspunde la întrebare. Indiferent de câte ar fi, pentru aceste țări există 6 moduri de poziție relativă în rândul vorbitorilor (D - Danemarca, W - Suedia, N - Norvegia):
D...SH...N..., ...D...N...SH..., ...SH...N...D..., ...W. ..D...N..., ...N...D...W..., ...N...W...D...
Danemarca este clasată în urma Suediei și Norvegiei în două cazuri. Prin urmare, probabilitatea ca grupurile să fie distribuite aleatoriu în acest fel este egală cu Răspuns: 0,33.
32. În timpul focului de artilerie, sistemul automat trage un foc în țintă. Dacă ținta nu este distrusă, sistemul trage oa doua lovitură. Loturile se repetă până când ținta este distrusă. Probabilitatea de a distruge o anumită țintă cu prima lovitură este de 0,4, iar la fiecare lovitură ulterioară este de 0,6. Câte lovituri vor fi necesare pentru a se asigura că probabilitatea de a distruge ținta este de cel puțin 0,98? Soluţie: Puteți rezolva problema „prin acțiune”, calculând probabilitatea de a supraviețui după o serie de rateuri consecutive: P(1) = 0,6. P(2) = P(1) 0,4 = 0,24. P(3) = P(2) 0,4 = 0,096. P(4) = P(3) 0,4 = 0,0384; P(5) = P(4) 0,4 = 0,01536. Ultima probabilitate este mai mică de 0,02, așa că cinci lovituri la țintă sunt suficiente.
33. Pentru a trece în următoarea rundă a competiției, o echipă de fotbal trebuie să marcheze cel puțin 4 puncte în două jocuri. Dacă o echipă câștigă, primește 3 puncte, în caz de egalitate - 1 punct, dacă pierde - 0 puncte. Găsiți probabilitatea ca echipa să avanseze în următoarea rundă a competiției. Luați în considerare că în fiecare joc probabilitățile de câștig și de pierdere sunt aceleași și egale cu 0,4. Soluţie : O echipă poate obține cel puțin 4 puncte în două jocuri în trei moduri: 3+1, 1+3, 3+3. Aceste evenimente sunt incompatibile, probabilitatea sumei lor este egală cu suma probabilităților lor. Fiecare dintre aceste evenimente este produsul a două evenimente independente - rezultatul în primul și în al doilea joc. De aici avem:
34. Într-un anumit oraș, din 5.000 de bebeluși născuți, 2.512 sunt băieți. Găsiți frecvența nașterilor fetelor în acest oraș. Rotunjiți rezultatul la cea mai apropiată mie. Soluţie: 5000 – 2512 = 2488; 2488: 5000 = 0,4976 ≈0,498
35. La bordul aeronavei se află 12 locuri lângă ieșirile de urgență și 18 locuri în spatele compartimentelor despărțitoare care separă cabinele. Scaunele rămase sunt incomode pentru pasagerii înalți. Pasagerul V. este înalt. Găsiți probabilitatea ca la check-in, dacă un loc este selectat aleatoriu, pasagerul B să primească un loc confortabil dacă există 300 de locuri în avion. Soluţie : Există 12 + 18 = 30 de locuri în avion care sunt confortabile pentru pasagerul B și sunt în total 300 de locuri în avion. Prin urmare, probabilitatea ca pasagerul B să obțină un scaun confortabil este 30: 300 = 0,1 Răspuns: 0,1.
36. La o olimpiada la o universitate, participanții sunt așezați în trei săli de clasă. În primele două sunt câte 120 de persoane, restul sunt duși într-un auditoriu de rezervă dintr-o altă clădire. La numărare, s-a dovedit că au fost 250 de participanți în total. Găsiți probabilitatea ca un participant selectat aleatoriu să fi scris competiția într-o sală de clasă liberă. Soluţie: În total, 250 − 120 − 120 = 10 persoane au fost trimise în publicul de rezervă. Prin urmare, probabilitatea ca un participant selectat aleatoriu să scrie olimpiada într-o sală de clasă liberă este 10: 250 = 0,04. Răspuns: 0,04.
37. În clasă sunt 26 de persoane, printre care doi gemeni - Andrey și Sergey. Clasa este împărțită aleatoriu în două grupuri de câte 13 persoane fiecare. Găsiți probabilitatea ca Andrei și Serghei să fie în același grup. Soluţie: Lăsați unul dintre gemeni să fie într-un grup. Împreună cu el vor fi în grup 12 persoane din cei 25 de colegi rămași. Probabilitatea ca al doilea geamăn să fie printre aceste 12 persoane este de 12: 25 = 0,48.
38. O companie de taximetrie are 50 de mașini; 27 dintre ele sunt negre cu inscripții galbene pe laterale, restul sunt galbene cu inscripții negre. Găsiți probabilitatea ca o mașină galbenă cu litere negre să răspundă la un apel aleatoriu. Rezolvare: 23:50=0,46
39.In grupul de turisti sunt 30 de persoane. Aceștia sunt aruncați cu elicopterul într-o zonă greu accesibilă în mai multe etape, câte 6 persoane pe zbor. Ordinea în care elicopterul transportă turiștii este aleatorie. Aflați probabilitatea ca turistul P. să efectueze primul zbor cu elicopterul. Soluţie: Sunt 6 locuri la primul zbor, 30 de locuri în total. Atunci probabilitatea ca turistul P. să zboare la primul zbor cu elicopterul este: 6:30 = 0,2.
40.Probabilitatea ca un nou DVD player să ajungă în SUA într-un an reparatie in garantie, este egal cu 0,045. Într-un anume oraș, din 1.000 de DVD playere vândute în cursul anului, 51 de unități au fost primite de atelierul de garanție. Cum diferă frecvența evenimentului „reparație în garanție” de probabilitatea acestuia în acest oraș? Soluţie: Frecvența (frecvența relativă) a evenimentului „reparație în garanție” este 51: 1000 = 0,051. Diferă de probabilitatea prezisă cu 0,006.
41. La fabricarea rulmenților cu diametrul de 67 mm, probabilitatea ca diametrul să difere de cel specificat cu cel mult 0,01 mm este de 0,965. Găsiți probabilitatea ca un rulment aleatoriu să aibă un diametru mai mic de 66,99 mm sau mai mare de 67,01 mm. Soluţie. În funcție de condiție, diametrul rulmentului se va situa în intervalul de la 66,99 la 67,01 mm, cu o probabilitate de 0,965. Prin urmare, probabilitatea dorită pentru evenimentul opus este 1 − 0,965 = 0,035.
42. Probabilitatea ca elevul O. să rezolve corect mai mult de 11 probleme la un test de biologie este de 0,67. Probabilitatea ca O. să rezolve corect mai mult de 10 probleme este de 0,74. Aflați probabilitatea ca O. să rezolve corect exact 11 probleme. Soluţie: Luați în considerare evenimentele A = „elevul va rezolva 11 probleme” și B = „elevul va rezolva mai mult de 11 probleme”. Suma lor este evenimentul A + B = „elevul va rezolva mai mult de 10 probleme”. Evenimentele A și B sunt incompatibile, probabilitatea sumei lor este egală cu suma probabilităților acestor evenimente: P(A + B) = P(A) + P(B). Apoi, folosind aceste probleme, obținem: 0,74 = P(A) + 0,67, de unde P(A) = 0,74 − 0,67 = 0,07 Răspuns: 0,07.
43. Pentru a intra la institutul pentru specialitatea „Lingvistică”, solicitantul trebuie să obțină cel puțin 70 de puncte la examenul unificat de stat la fiecare dintre cele trei discipline - matematică, limba rusă și limba straina. Pentru a vă înscrie la specialitatea „Comerț”, trebuie să obțineți cel puțin 70 de puncte la fiecare dintre cele trei materii - matematică, limba rusă și studii sociale. Probabilitatea ca solicitantul Z. să primească cel puțin 70 de puncte la matematică este de 0,6, în rusă - 0,8, într-o limbă străină - 0,7 și la studii sociale - 0,5 Aflați probabilitatea ca Z. să se poată înscrie la cel puțin una dintre cele două specialităţi menţionate. Soluţie: Pentru a se înscrie oriunde, Z. trebuie să promoveze atât limba rusă, cât și matematică cu cel puțin 70 de puncte și, pe lângă aceasta, să promoveze și o limbă străină sau studii sociale cu cel puțin 70 de puncte. Lasă A, B, C și D - sunt probe la care Z. promovează matematică, rusă, străinătate, respectiv studii sociale, cu minim 70 de puncte. Apoi de când
Pentru probabilitatea de sosire avem:
44. La o fabrica de tacamuri ceramice, 10% din farfuriile produse sunt defecte. În timpul controlului calității produsului, 80% dintre plăcile defecte sunt identificate. Plăcile rămase sunt la vânzare. Găsiți probabilitatea ca o placă selectată aleatoriu la cumpărare să nu aibă defecte. Rotunjiți răspunsul la cea mai apropiată sutime. Soluţie : Lasă fabrica să producăfarfurii. Toate plăcile de calitate și 20% dintre plăcile defecte nedetectate vor fi puse în vânzare:farfurii. Pentru că cele de calitate, probabilitatea de a cumpăra o placă de înaltă calitate este 0,9p:0,92p=0,978 Răspuns: 0,978.
45.Există trei vânzători în magazin. Fiecare dintre ei este ocupat cu un client cu probabilitate 0,3. Găsiți probabilitatea ca la un moment aleatoriu toți cei trei vânzători să fie ocupați în același timp (presupuneți că clienții vin independent unul de celălalt). Soluţie : Probabilitatea producerii unor evenimente independente este egală cu produsul probabilităților acestor evenimente. Prin urmare, probabilitatea ca toți cei trei vânzători să fie ocupați este egală
46.Pe baza recenziilor clienților, Ivan Ivanovich a evaluat fiabilitatea a două magazine online. Probabilitatea ca produsul dorit să fie livrat din magazinul A este de 0,8. Probabilitatea ca acest produs să fie livrat din magazinul B este de 0,9. Ivan Ivanovici a comandat mărfuri de la ambele magazine deodată. Presupunând că magazinele online funcționează independent unele de altele, găsiți probabilitatea ca niciun magazin să nu livreze produsul. Soluţie: Probabilitatea ca primul magazin să nu livreze mărfurile este 1 − 0,9 = 0,1. Probabilitatea ca al doilea magazin să nu livreze mărfurile este 1 − 0,8 = 0,2. Deoarece aceste evenimente sunt independente, probabilitatea apariției lor (ambele magazine nu vor livra mărfurile) este egală cu produsul probabilităților acestor evenimente: 0,1 · 0,2 = 0,02
47.Un autobuz circulă zilnic din centrul raionului până în sat. Probabilitatea ca luni să fie mai puțin de 20 de pasageri în autobuz este de 0,94. Probabilitatea ca să fie mai puțin de 15 pasageri este de 0,56. Găsiți probabilitatea ca numărul de pasageri să fie între 15 și 19. Soluţie: Luați în considerare evenimentele A = „sunt mai puțin de 15 pasageri în autobuz” și B = „sunt de la 15 până la 19 pasageri în autobuz”. Suma lor este evenimentul A + B = „sunt mai puțin de 20 de pasageri în autobuz”. Evenimentele A și B sunt incompatibile, probabilitatea sumei lor este egală cu suma probabilităților acestor evenimente: P(A + B) = P(A) + P(B). Apoi, folosind aceste probleme, obținem: 0,94 = 0,56 + P(B), de unde P(B) = 0,94 − 0,56 = 0,38. Răspuns: 0,38.
48. Înainte de începerea unui meci de volei, căpitanii de echipă trag la sorți corect pentru a determina care echipă va începe jocul cu mingea. Echipa „Stator” joacă pe rând cu echipele „Rotor”, „Motor” și „Starter”. Găsiți probabilitatea ca Stator să înceapă doar primul și ultimul joc. Soluţie. Trebuie să găsiți probabilitatea ca trei evenimente să se întâmple: „Stator” începe primul joc, nu începe al doilea joc și începe al treilea joc. Probabilitatea unui produs al evenimentelor independente este egală cu produsul probabilităților acestor evenimente. Probabilitatea fiecăreia dintre ele este 0,5, din care găsim: 0,5·0,5·0,5 = 0,125. Răspuns: 0,125.
49. În Magic Land există două tipuri de vreme: bună și excelentă, iar vremea, odată stabilită dimineața, rămâne neschimbată toată ziua. Se știe că, cu probabilitatea de 0,8, vremea mâine va fi aceeași ca azi. Astăzi este 3 iulie, vremea în Magic Land este bună. Găsiți probabilitatea ca vremea să fie grozavă în Fairyland pe 6 iulie. Soluţie. Pentru vremea pe 4, 5 și 6 iulie, există 4 opțiuni: ХХО, ХОО, ОХО, OOO (aici X este bună, O este vreme excelentă). Să aflăm probabilitățile ca o astfel de vreme să apară: P(XXO) = 0,8·0,8·0,2 = 0,128; P(XOO) = 0,8 0,2 0,8 = 0,128; P(OXO) = 0,2 0,2 0,2 = 0,008; P(OOO) = 0,2 0,8 0,8 = 0,128. Aceste evenimente sunt incompatibile, probabilitatea sumei lor este egală cu suma probabilităților acestor evenimente: P(ХХО) + P(ХОО) + P(ХХО) + P(ООО) = 0,128 + 0,128 + 0,008 + 0,128 = 0,128 0,392.
50. Toți pacienții cu suspiciune de hepatită sunt supuși unui test de sânge. Dacă testul evidențiază hepatită, rezultatul testului este numit pozitiv . La pacienții cu hepatită, testul dă un rezultat pozitiv cu o probabilitate de 0,9. Dacă pacientul nu are hepatită, testul poate da un rezultat fals pozitiv cu o probabilitate de 0,01. Se știe că 5% dintre pacienții internați cu suspiciune de hepatită au de fapt hepatită. Găsiți probabilitatea ca un pacient internat în clinică cu suspiciune de hepatită să fie testat pozitiv. Soluție. Analiza unui pacient poate fi pozitivă din două motive: A) pacientul are hepatită, analiza lui este corectă; B) pacientul nu are hepatită, analiza lui este falsă. Acestea sunt evenimente incompatibile, probabilitatea sumei lor este egală cu suma probabilităților acestor evenimente. Avem: p(A)=0,9 0,05=0,045; p(B)=0,01 0,95=0,0095; p(A+B)=P(A)+p(B)=0,045+0,0095=0,0545.
51. Misha avea patru bomboane în buzunar - „Grilyazh”, „Vverița”, „Korovka” și „Rândunica”, precum și cheile apartamentului. În timp ce scotea cheile, Misha a scăpat din greșeală o bomboană din buzunar. Găsiți probabilitatea ca bomboana „Grillage” să fi fost pierdută.
52.Un ceas mecanic cu cadran de douăsprezece ore s-a stricat la un moment dat și a încetat să funcționeze. Găsiți probabilitatea ca acul orelor să înghețe, ajungând la ora 10, dar fără a ajunge la ora 1. Rezolvare: 3: 12=0,25
53. Probabilitatea ca bateria să fie defectă este de 0,06. Un cumpărător dintr-un magazin alege un pachet aleatoriu care conține două dintre aceste baterii. Găsiți probabilitatea ca ambele baterii să fie bune. Soluţie: Probabilitatea ca bateria să fie bună este de 0,94. Probabilitatea de apariție a evenimentelor independente (ambele baterii vor fi bune) este egală cu produsul probabilităților acestor evenimente: 0,94·0,94 = 0,8836 Răspuns: 0,8836.
54. O linie automată produce baterii. Probabilitatea ca o baterie finită să fie defectă este de 0,02. Înainte de ambalare, fiecare baterie trece printr-un sistem de control. Probabilitatea ca sistemul să respingă o baterie defectă este de 0,99. Probabilitatea ca sistemul să respingă din greșeală o baterie funcțională este de 0,01. Găsiți probabilitatea ca o baterie fabricată aleatoriu să fie respinsă de sistemul de inspecție. Soluţie. O situație în care bateria va fi respinsă poate apărea ca urmare a următoarelor evenimente: A = bateria este cu adevărat defectă și a fost respinsă corect, sau B = bateria funcționează, dar a fost respinsă din greșeală. Acestea sunt evenimente incompatibile, probabilitatea sumei lor este egală cu suma probabilităților acestor evenimente. Avem:
55. Imaginea prezintă un labirint. Păianjenul se târăște în labirintul din punctul de intrare. Păianjenul nu se poate întoarce și se târă înapoi, așa că la fiecare ramură păianjenul alege una dintre căile pe care încă nu s-a târât. Presupunând că alegerea căii ulterioare este pur aleatorie, determinați cu ce probabilitate va ajunge păianjenul la ieșire.
Soluţie.
La fiecare dintre cele patru bifurcări marcate, păianjenul poate alege fie calea care duce la ieșirea D, fie o altă cale cu probabilitatea 0,5. Acestea sunt evenimente independente, probabilitatea apariției lor (păianjenul ajunge la ieșirea D) este egală cu produsul probabilităților acestor evenimente. Prin urmare, probabilitatea de a ajunge la ieșirea D este (0,5) 4 = 0,0625.
