Subiect: „Tipuri de poligoane”.
clasa a 9-a
SHL nr. 20
Profesor: Kharitonovich T.I. Scopul lecției: studierea tipurilor de poligoane.
Sarcina de invatare: actualizarea, extinderea și generalizarea cunoștințelor elevilor despre poligoane; fă-ți o idee despre „ componente” poligon; efectuarea unui sondaj cantitativ elemente constitutive poligoane regulate (de la triunghi la n-gon);
Sarcina de dezvoltare: dezvoltarea capacității de a analiza, compara, trage concluzii, dezvolta abilități de calcul, vorbire matematică orală și scrisă, memoria, precum și independența în activități de gândire și învățare, capacitatea de a lucra în perechi și în grup; dezvolta cercetarea si activitate cognitivă;
Sarcina educațională: cultivați independența, activitatea, responsabilitatea pentru munca atribuită, perseverența în atingerea scopului.
Echipament: tabla interactiva (prezentare)
Progresul lecției
Prezentare care arată: „Poligoane”
„Natura vorbește limbajul matematicii, literele acestei limbi... cifre matematice.” G.Galliley
La începutul lecției, clasa este împărțită în grupuri de lucru (în cazul nostru, împărțită în 3 grupe)
1. Etapa de apel-
a) actualizarea cunoștințelor studenților pe această temă;
b) trezirea interesului pentru tema studiată, motivarea fiecărui elev pentru activități educaționale.
Tehnica: Joc „Crezi că...”, organizarea muncii cu text.
Forme de lucru: frontal, grup.
„Crezi că...”
1. ... cuvântul „poligon” indică faptul că toate figurile din această familie au „mai multe unghiuri”?
2. ... triunghiul aparține unei familii mari de poligoane, care se disting dintr-o varietate de diferite forme geometrice intr-un avion?
3. ... este un pătrat un octogon regulat (patru laturi + patru colțuri)?
Astăzi în lecție vom vorbi despre poligoane. Aflăm că această cifră este limitată de o linie întreruptă închisă, care la rândul ei poate fi simplă, închisă. Să vorbim despre faptul că poligoanele pot fi plate, regulate sau convexe. Unul dintre poligoane plate este un triunghi, cu care sunteți familiarizat de mult (puteți arăta elevilor afișe care prezintă poligoane, o linie întreruptă, le puteți arăta diverse tipuri, puteți utiliza și TSO).
2. Etapa conceperii
Scop: obținerea de informații noi, înțelegerea acesteia, selectarea lor.
Tehnica: zigzag.
Forme de lucru: individual->pereche->grup.
Fiecărui membru al grupului i se dă un text pe tema lecției, iar textul este alcătuit în așa fel încât să includă atât informații deja cunoscute elevilor, cât și informații complet noi. Alături de text, elevii primesc întrebări, răspunsurile la care trebuie găsite în acest text.
Poligoane. Tipuri de poligoane.
Cine nu a auzit de misterios Triunghiul Bermudelor, în care nave și avioane dispar fără urmă? Dar triunghiul, familiar pentru noi din copilărie, este plin de o mulțime de lucruri interesante și misterioase.
Pe lângă tipurile de triunghiuri deja cunoscute nouă, împărțite pe laturi (scalen, isoscel, echilateral) și unghiuri (acute, obtuz, dreptunghiular), triunghiul aparține unei mari familii de poligoane, care se disting între multe forme geometrice diferite de pe avion.
Cuvântul „poligon” indică faptul că toate figurile din această familie au „mai multe unghiuri”. Dar acest lucru nu este suficient pentru a caracteriza figura.
O linie întreruptă A1A2...An este o figură formată din punctele A1,A2,...An și segmentele A1A2, A2A3,... care le unesc. Punctele sunt numite vârfuri ale poliliniei, iar segmentele sunt numite legături ale poliliniei. (FIG.1)
O linie întreruptă se numește simplă dacă nu are auto-intersecții (Fig. 2, 3).
O polilinie se numește închisă dacă capetele ei coincid. Lungimea unei linii întrerupte este suma lungimilor legăturilor sale (Fig. 4)
O linie întreruptă închisă simplă se numește poligon dacă legăturile ei învecinate nu se află pe aceeași linie dreaptă (Fig. 5).
Înlocuiți un anumit număr, de exemplu 3, în cuvântul „poligon” în loc de partea „multe” Veți obține un triunghi. Sau 5. Apoi - un pentagon. Rețineți că, câte unghiuri există, există tot atâtea laturi, așa că aceste figuri ar putea fi numite polilaterale.
Vârfurile liniei întrerupte se numesc vârfuri ale poligonului, iar legăturile liniei întrerupte se numesc laturile poligonului.
Poligonul împarte planul în două zone: internă și externă (Fig. 6).
Un poligon plan sau o zonă poligonală este partea finită a unui plan mărginită de un poligon.
Două vârfuri ale unui poligon care sunt capetele unei laturi sunt numite adiacente. Vârfurile care nu sunt capetele unei laturi nu sunt învecinate.
Un poligon cu n vârfuri și, prin urmare, cu n laturi, se numește n-gon.
Deşi cel mai mic număr Există 3 laturi ale unui poligon Dar triunghiurile, atunci când sunt conectate între ele, pot forma alte figuri, care la rândul lor sunt și poligoane.
Segmentele care leagă vârfuri neadiacente ale unui poligon se numesc diagonale.
Un poligon se numește convex dacă se află în același semiplan față de orice dreaptă care conține latura sa. În acest caz, linia dreaptă în sine este considerată ca aparținând SEMI-PLANULUI
Unghiul unui poligon convex la un vârf dat este unghiul format de laturile sale care converg la acest vârf.
Să demonstrăm teorema (despre suma unghiurilor unui n-gon convex): Suma unghiurilor unui n-gon convex este egală cu 1800*(n - 2).
Dovada. În cazul n=3 teorema este valabilă. Fie A1A2...A n un poligon convex dat și n>3. Să desenăm diagonale în el (de la un vârf). Deoarece poligonul este convex, aceste diagonale îl împart în n – 2 triunghiuri. Suma unghiurilor unui poligon este suma unghiurilor tuturor acestor triunghiuri. Suma unghiurilor fiecărui triunghi este 1800, iar numărul acestor triunghiuri n este 2. Prin urmare, suma unghiurilor triunghiului n convex A1A2...A n este 1800* (n - 2). Teorema a fost demonstrată.
Unghiul exterior al unui poligon convex la un vârf dat este unghiul adiacent unghiului interior al poligonului la acest vârf.
Un poligon convex se numește regulat dacă toate laturile sale sunt egale și toate unghiurile sunt egale.
Deci pătratul poate fi numit diferit - un patrulater regulat. Triunghiuri echilaterale sunt de asemenea corecte. Astfel de figuri au fost mult timp de interes pentru meșterii care decorau clădiri. Au realizat modele frumoase, de exemplu pe parchet. Dar nu toate poligoanele obișnuite ar putea fi folosite pentru a face parchet. Parchetul nu poate fi realizat din octogoane obișnuite. Faptul este că fiecare unghi este egal cu 1350. Și dacă vreun punct este vârful a două astfel de octogoane, atunci cota lor va fi 2700 și nu există loc pentru al treilea octogon să se potrivească acolo: 3600 - 2700 = 900. Dar pentru un pătrat este suficient. Prin urmare, puteți face parchet din octogoane și pătrate obișnuite.
Stelele sunt de asemenea corecte. Steaua noastră cu cinci colțuri este o stea pentagonală obișnuită. Și dacă rotiți pătratul în jurul centrului cu 450, obțineți o stea octogonală obișnuită.
Ce este o linie întreruptă? Explicați ce sunt vârfurile și legăturile unei polilinii.
Care linie întreruptă se numește simplă?
Care linie întreruptă se numește închisă?
Cum se numeste un poligon? Cum se numesc vârfurile unui poligon? Cum se numesc laturile unui poligon?
Care poligon se numește plat? Dați exemple de poligoane.
Ce este n – pătrat?
Explicați ce vârfuri ale unui poligon sunt adiacente și care nu.
Care este diagonala unui poligon?
Care poligon se numește convex?
Explicați ce unghiuri ale unui poligon sunt externe și care sunt interne?
Care poligon se numește regulat? Dați exemple de poligoane regulate.
Care este suma unghiurilor unui n-gon convex? Demonstrează.
Elevii lucrează cu textul, caută răspunsuri la întrebările puse, după care se formează grupuri de experți, în care se lucrează pe aceleași probleme: elevii evidențiază punctele principale, întocmesc un rezumat justificativ și prezintă informații într-una din formele grafice. La terminarea lucrărilor, studenții revin la grupurile lor de lucru.
3. Etapa de reflecție -
a) evaluarea cunoștințelor cuiva, provocare la următorul pas de cunoaștere;
b) înţelegerea şi însuşirea informaţiilor primite.
Recepție: lucrări de cercetare.
Forme de lucru: individual->pereche->grup.
Grupurile de lucru includ specialiști care răspund la fiecare secțiune a întrebărilor propuse.
Revenind la grupul de lucru, expertul prezintă răspunsurile la întrebările sale celorlalți membri ai grupului. Grupul face schimb de informații între toți membrii grupului de lucru. Astfel, în fiecare grup de lucru, datorită muncii experților, se formează o înțelegere generală a temei studiate.
Munca de cercetare elevilor– completarea tabelului.
Poligoane regulate Desen Număr de laturi Număr de vârfuri Suma tuturor unghiurilor interne Măsura gradului intern. unghi Măsura gradului unghiului exterior Numărul de diagonale
a) triunghi
B) patrulater
B) cu cinci găuri
d) hexagon
D) n-gon
Rezolvarea unor probleme interesante pe tema lecției.
1) Câte laturi are un poligon regulat, fiecare dintre ele unghiuri interne de 1350?
2) Într-un anumit poligon, toate unghiurile interioare sunt egale între ele. Suma unghiurilor interioare ale acestui poligon poate fi: 3600, 3800?
3) Este posibil să construiți un pentagon cu unghiuri de 100,103,110,110,116 grade?
Rezumând lecția.
Înregistra teme pentru acasă: PAGINA 66-72 Nr. 15,17 ȘI SARCINA: ÎN CADRIGON, TRAZAȚI O LINIE DREPTĂ CĂ O ÎNTREI ÎN TREI TRIANGURI.
Reflecție sub formă de teste (pe tabla interactivă)
În această lecție vom începe subiect nouși introduceți un nou concept pentru noi: „poligon”. Ne vom uita la conceptele de bază asociate cu poligoane: laturile, unghiurile vârfurilor, convexitatea și neconvexitatea. Atunci vom dovedi cele mai importante fapte, cum ar fi teorema despre suma unghiurilor interne ale unui poligon, teorema despre suma unghiurilor externe ale unui poligon. Ca urmare, ne vom apropia de a studia cazuri speciale de poligoane, care vor fi luate în considerare în lecțiile ulterioare.
Subiect: Cadrilatere
Lecția: Poligoane
În cursul de geometrie, studiem proprietățile figurilor geometrice și le-am examinat deja pe cele mai simple dintre ele: triunghiuri și cercuri. În același timp, am discutat și cazuri speciale specifice ale acestor figuri, cum ar fi triunghiurile drepte, isoscele și regulate. Acum este timpul să vorbim despre cifre mai generale și mai complexe - poligoane.
Cu un caz special poligoane suntem deja familiari - acesta este un triunghi (vezi Fig. 1).
Orez. 1. Triunghi
Numele în sine subliniază deja că aceasta este o figură cu trei unghiuri. Prin urmare, în poligon pot fi multe dintre ele, i.e. mai mult de trei. De exemplu, să desenăm un pentagon (vezi Fig. 2), adică. figură cu cinci colțuri.
Orez. 2. Pentagon. Poligon convex
Definiţie.Poligon- o figură formată din mai multe puncte (mai mult de două) și un număr corespunzător de segmente care le conectează secvenţial. Aceste puncte sunt numite culmi poligon, iar segmentele sunt petreceri. În acest caz, două laturi adiacente nu se află pe aceeași linie dreaptă și nici două laturi neadiacente nu se intersectează.
Definiţie.Poligon regulat este un poligon convex în care toate laturile și unghiurile sunt egale.
Orice poligonîmparte planul în două zone: internă și externă. Zona internă mai este denumită poligon.
Cu alte cuvinte, de exemplu, când se vorbește despre un pentagon, se referă atât la întreaga sa regiune internă, cât și la granița sa. Și regiunea internă include toate punctele care se află în interiorul poligonului, adică. punctul se referă și la pentagon (vezi fig. 2).
Poligoanele sunt uneori numite n-goni pentru a sublinia faptul că este luat în considerare cazul general al prezenței unui număr necunoscut de unghiuri (n piese).
Definiţie. Perimetrul poligonului- suma lungimilor laturilor poligonului.
Acum trebuie să ne familiarizăm cu tipurile de poligoane. Ele sunt împărțite în convexŞi neconvex. De exemplu, poligonul prezentat în fig. 2 este convex, iar în fig. 3 neconvexe.
Orez. 3. Poligon neconvex
Definiția 1. Poligon numit convex, dacă atunci când trageți o linie dreaptă prin oricare dintre laturile sale, întregul poligon se află doar pe o parte a acestei linii drepte. Neconvex sunt toți ceilalți poligoane.
Este ușor de imaginat că atunci când extindeți orice parte a pentagonului din Fig. 2 va fi totul pe o parte a acestei linii drepte, de exemplu. este convex. Dar atunci când trageți o linie dreaptă printr-un patrulater din Fig. 3 vedem deja că o împarte în două părți, i.e. nu este convex.
Dar există o altă definiție a convexității unui poligon.
Definiția 2. Poligon numit convex, dacă atunci când alegeți două dintre punctele sale interioare și le conectați cu un segment, toate punctele segmentului sunt și puncte interioare ale poligonului.
O demonstrație a utilizării acestei definiții poate fi văzută în exemplul de construire a segmentelor din Fig. 2 și 3.
Definiţie. Diagonală al unui poligon este orice segment care leagă două vârfuri neadiacente.
Pentru a descrie proprietățile poligoanelor, există două cele mai importante teoreme despre unghiurile lor: teoremă asupra sumei unghiurilor interioare ale unui poligon convexŞi teoremă asupra sumei unghiurilor exterioare ale unui poligon convex. Să ne uităm la ele.
Teorema. Pe suma unghiurilor interioare ale unui poligon convex (n-gon).
Unde este numărul unghiurilor (laturilor) sale.
Dovada 1. Să reprezentăm în Fig. 4 convexe n-gon.
Orez. 4. n-gon convex
Din vârf desenăm toate diagonalele posibile. Ei împart n-gonul în triunghiuri, deoarece fiecare dintre laturile poligonului formează un triunghi, cu excepția laturilor adiacente vârfului. Este ușor de observat din figură că suma unghiurilor tuturor acestor triunghiuri va fi exact egală cu suma unghiurilor interne ale n-gonului. Deoarece suma unghiurilor oricărui triunghi este , atunci suma unghiurilor interne ale unui n-gon este:
Q.E.D.
Demonstrația 2. O altă demonstrație a acestei teoreme este posibilă. Să desenăm un n-gon similar în Fig. 5 și conectați oricare dintre punctele sale interioare cu toate vârfurile.
Orez. 5.
Am obținut o împărțire a n-gonului în n triunghiuri (atâte laturi câte triunghiuri sunt). Suma tuturor unghiurilor lor este egală cu suma unghiurilor interioare ale poligonului și suma unghiurilor din punctul interior, iar acesta este unghiul. Avem:
Q.E.D.
Dovedit.
Conform teoremei dovedite, este clar că suma unghiurilor unui n-gon depinde de numărul laturilor sale (pe n). De exemplu, într-un triunghi, iar suma unghiurilor este . Într-un patrulater, iar suma unghiurilor este etc.
Teorema. Pe suma unghiurilor externe ale unui poligon convex (n-gon).
Unde este numărul unghiurilor (laturilor) și , ..., sunt unghiurile externe.
Dovada. Să descriem un n-gon convex în Fig. 6 și desemnați unghiurile sale interne și externe.
Orez. 6. N-gon convex cu marcat colțurile exterioare
Deoarece Unghiul extern este conectat la cel intern ca adiacent, atunci 
și la fel și pentru colțurile exterioare rămase. Apoi:
În timpul transformărilor, am folosit teorema deja dovedită despre suma unghiurilor interne ale unui n-gon.
Dovedit.
Din teorema dovedită rezultă fapt interesant, că suma unghiurilor externe ale unui n-gon convex este egală cu 
pe numărul unghiurilor (laturilor) sale. Apropo, în contrast cu suma unghiurilor interne.
Referințe
- Alexandrov A.D. si altele Geometrie, clasa a VIII-a. - M.: Educație, 2006.
- Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometrie, clasa a VIII-a. - M.: Educație, 2011.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometrie, clasa a VIII-a. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.
- Profmeter.com.ua ().
- Narod.ru ().
- Xvatit.com ().
Teme pentru acasă
Tipuri de poligoane:
Cadrilatere
Cadrilatere, respectiv, sunt formate din 4 laturi și unghiuri.
Laturile și unghiurile opuse unul altuia se numesc opus.
Diagonalele împart patrulaterele convexe în triunghiuri (vezi imaginea).
Suma unghiurilor unui patrulater convex este 360° (folosind formula: (4-2)*180°).
Paralelograme
Paralelogram este un patrulater convex cu laturile paralele opuse (numărul 1 în figură).
Laturile și unghiurile opuse dintr-un paralelogram sunt întotdeauna egale.
Și diagonalele din punctul de intersecție sunt împărțite în jumătate.
Trapez
Trapez- acesta este, de asemenea, un patrulater, iar în trapeze Doar două laturi sunt paralele, care sunt numite motive. Alte părți sunt laturi.
Trapezul din figură este numerotat cu 2 și 7.
Ca într-un triunghi:
Dacă laturile sunt egale, atunci trapezul este isoscel;
Dacă unul dintre unghiuri este drept, atunci trapezul este dreptunghiular.
Linia mediană a trapezului este egală cu jumătate din suma bazelor și este paralelă cu acestea.
Romb
Romb este un paralelogram în care toate laturile sunt egale.
Pe lângă proprietățile unui paralelogram, romburile au proprietățile lor speciale - Diagonalele unui romb sunt perpendiculare unul pe altul și traversează colțurile unui romb.
În imagine este un romb numărul 5.
dreptunghiuri
Dreptunghi este un paralelogram în care fiecare unghi este drept (vezi figura numărul 8).
Pe lângă proprietățile unui paralelogram, dreptunghiurile au proprietățile lor speciale - diagonalele dreptunghiului sunt egale.
Pătrate
Pătrat este un dreptunghi cu toate laturile egale (nr. 4).
Are proprietățile unui dreptunghi și a unui romb (deoarece toate laturile sunt egale).
Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.
Colectarea și utilizarea informațiilor personale
Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.
Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.
Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.
Ce informații personale colectăm:
- Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs e-mail etc.
Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:
- Colectat de noi Informații personale ne permite să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
- Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
- De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
- Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.
Dezvăluirea informațiilor către terți
Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.
Excepții:
- Daca este necesar, in conditiile legii, procedura judiciara, V proces, și/sau pe baza cererilor publice sau a solicitărilor de la agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
- În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către terțul succesor aplicabil.
Protecția informațiilor personale
Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.
Respectarea vieții private la nivelul companiei
Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.
Partea planului delimitată de o linie întreruptă închisă se numește poligon.
Segmentele acestei linii întrerupte sunt numite petreceri poligon. AB, BC, CD, DE, EA (Fig. 1) sunt laturile poligonului ABCDE. Suma tuturor laturilor unui poligon se numește ei perimetru.
Poligonul se numește convex, dacă este situat pe o parte a oricăreia dintre laturile sale, extins la nesfârșit dincolo de ambele vârfuri.
Poligonul MNPKO (Fig. 1) nu va fi convex, deoarece este situat pe mai mult de o parte a dreptei KR.
Vom lua în considerare doar poligoane convexe.
Unghiurile formate de două laturi adiacente ale unui poligon se numesc al acestuia intern colțurile, iar vârfurile lor sunt vârfuri ale poligonului.
Un segment de linie dreaptă care leagă două vârfuri neadiacente ale unui poligon se numește diagonala poligonului.
AC, AD - diagonalele poligonului (Fig. 2).
Unghiuri adiacente colțurile interne poligon se numesc unghiuri externe ale poligonului (Fig. 3).
În funcție de numărul de unghiuri (laturi), poligonul se numește triunghi, patrulater, pentagon etc.
Se spune că două poligoane sunt congruente dacă pot fi reunite prin suprapunere.
Poligoane înscrise și circumscrise
Dacă toate vârfurile unui poligon se află pe un cerc, atunci poligonul se numește înscrisăîntr-un cerc, iar cercul - descrise lângă poligon (fig).
Dacă toate laturile unui poligon sunt tangente la un cerc, atunci poligonul se numește descrise despre un cerc, iar cercul se numește înscrisăîntr-un poligon (Fig).
Similitudinea poligoanelor
Două poligoane cu același nume se numesc similare dacă unghiurile unuia dintre ele sunt, respectiv, egale cu unghiurile celuilalt, iar laturile similare ale poligoanelor sunt proporționale.
Poligoane cu același număr de laturi (unghiuri) se numesc poligoane cu același nume.
Laturile poligoanelor similare care leagă nodurile se numesc similare. unghiuri egale(orez).
Deci, de exemplu, pentru ca poligonul ABCDE să fie similar cu poligonul A'B'C'D'E', este necesar ca: ∠A = ∠A' ∠B = ∠B' ∠C = ∠C' ∠ D = ∠D' ∠ E = ∠E' și, în plus, AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A' .
Raportul perimetrelor poligoanelor similare
În primul rând, luați în considerare proprietatea unei serii de rapoarte egale. Să avem, de exemplu, următoarele rapoarte: 2 / 1 = 4 / 2 = 6 / 3 = 8 / 4 =2.
Să găsim suma termenilor anteriori ai acestor relații, apoi suma termenilor lor următori și să aflăm raportul sumelor rezultate, obținem:
$$ \frac(2 + 4 + 6 + 8)(1 + 2 + 3 + 4) = \frac(20)(10) = 2 $$
Obținem același lucru dacă luăm o serie de alte relații, de exemplu: 2 / 3 = 4 / 6 = 6 / 9 = 8 / 12 = 10 / 15 = 2 / 3 Să aflăm suma termenilor anteriori de aceste relații și suma celor ulterioare, și apoi găsim raportul acestor sume, obținem:
$$ \frac(2 + 4 + 5 + 8 + 10)(3 + 6 + 9 + 12 + 15) = \frac(30)(45) = \frac(2)(3) $$
În ambele cazuri, suma membrilor anteriori ai unei serii de relații egale se referă la suma membrilor următori ai aceleiași serii, la fel cum membrul anterior al oricăreia dintre aceste relații se raportează la cel ulterioar.
Am derivat această proprietate luând în considerare un număr de exemple numerice. Poate fi derivată strict și într-o formă generală.
Acum luați în considerare raportul dintre perimetrele poligoanelor similare.
Fie poligonul ABCDE similar cu poligonul A’B’C’D’E’ (Fig).
Din asemănarea acestor poligoane rezultă că
AB / A’B’ = BC / B’C’ = CD / C’D’ = DE / D’E’ = EA / E’A’
Pe baza proprietății pe care am derivat-o pentru o serie de rapoarte egale, putem scrie:
Suma termenilor anteriori ai relațiilor pe care le-am luat reprezintă perimetrul primului poligon (P), iar suma termenilor următori ai acestor relații reprezintă perimetrul celui de-al doilea poligon (P'), ceea ce înseamnă P / P ' = AB / A'B'.
Prin urmare, Perimetrele poligoanelor similare sunt legate de laturile lor similare.
Raportul suprafețelor poligoanelor similare
Fie ABCDE și A’B’C’D’E’ să fie poligoane similare (Fig.).
Se știe că ΔАВС ~ ΔA'В'С' ΔACD ~ ΔA'C'D' și ΔADE ~ ΔA'D'E'.
In plus,
;
Deoarece al doilea raport al acestor proporții este egal, ceea ce decurge din similitudinea poligoanelor, atunci
Folosind proprietatea unei serii de rapoarte egale obținem:
Sau 
unde S și S’ sunt ariile acestor poligoane similare.
Prin urmare, Zonele poligoanelor similare sunt legate ca pătrate ale laturilor similare.
Formula rezultată poate fi convertită în următoarea formă: S / S’ = (AB / A’B’) 2
Aria unui poligon arbitrar
Să fie necesar să se calculeze aria unui patrulater arbitrar ABC (Fig.).
Să desenăm o diagonală în ea, de exemplu AD. Obținem două triunghiuri ABD și ACD, ale căror zone le putem calcula. Apoi găsim suma ariilor acestor triunghiuri. Suma rezultată va exprima aria acestui patrulater.
Dacă trebuie să calculați aria unui pentagon, atunci facem același lucru: desenăm diagonale dintr-unul dintre vârfuri. Obținem trei triunghiuri, ale căror zone le putem calcula. Aceasta înseamnă că putem găsi aria acestui pentagon. Facem același lucru atunci când calculăm aria oricărui poligon.
Suprafața proiectată a unui poligon
Să ne amintim că unghiul dintre o dreaptă și un plan este unghiul dintre o dreaptă dată și proiecția acesteia pe plan (Fig.).
Teorema. Aria proiecției ortogonale a unui poligon pe un plan este egală cu aria poligonului proiectat înmulțită cu cosinusul unghiului format de planul poligonului și planul de proiecție.
Fiecare poligon poate fi împărțit în triunghiuri a căror sumă de suprafețe este egală cu aria poligonului. Prin urmare, este suficient să demonstrați teorema pentru un triunghi.
Fie proiectat ΔАВС pe plan r. Să luăm în considerare două cazuri:
a) una dintre laturile ΔABC este paralelă cu planul r;
b) niciuna dintre laturile ΔABC nu este paralelă r.
Să luăm în considerare primul caz: lasă [AB] || r.
Să desenăm un plan prin (AB) r 1 || rși proiectați ortogonal ΔАВС pe r 1 și mai departe r(orez.); obținem ΔАВС 1 și ΔА'В'С'.
Prin proprietatea proiecției avem ΔАВС 1 (cong) ΔА'В'С' și, prin urmare
S Δ ABC1 = S Δ A’B’C’
Să desenăm ⊥ și segmentul D 1 C 1 . Atunci ⊥ , a \(\overbrace(CD_1C_1)\) = φ este valoarea unghiului dintre planul ΔABC și plan r 1. De aceea
S Δ ABC1 = 1 / 2 | AB | | C 1 D 1 | = 1 / 2 | AB | | CD 1 | cos φ = S Δ ABC cos φ
și, prin urmare, S Δ A’B’C’ = S Δ ABC cos φ.
Să trecem la considerare al doilea caz. Să desenăm un avion r 1 || r prin acel vârf ΔАВС, distanța de la care până la plan r cel mai mic (fie acesta să fie vârful A).
Să proiectăm ΔАВС în avion r 1 și r(orez.); fie proiecțiile sale ΔАВ 1 С 1 și, respectiv, ΔА'В'С'.
Fie (BC) ∩ p 1 = D. Atunci
S Δ A’B’C’ = S ΔAB1 C1 = S ΔADC1 - S ΔADB1 = (S ΔADC - S ΔADB) cos φ = S Δ ABC cos φ
Alte materiale
