Glosar de termeni de planimetrie- Definițiile termenilor din planimetrie sunt colectate aici. Referințele la termenii din acest glosar (pe această pagină) sunt cu caractere cursive. # A B C D E E E F G H I J K L M N O P R S ... Wikipedia

Puncte coliniare

Competitiv direct- Definițiile termenilor din planimetrie sunt colectate aici. Referințele la termenii din acest glosar (pe această pagină) sunt cu caractere cursive. # A B C D E E F G H I J K L M N O P R S T U V ... Wikipedia

Cercul Apollonia- Definițiile termenilor din planimetrie sunt colectate aici. Referințele la termenii din acest glosar (pe această pagină) sunt cu caractere cursive. # A B C D E E F G H I J K L M N O P R S T U V ... Wikipedia

Transformarea planului- Definițiile termenilor din planimetrie sunt colectate aici. Referințele la termenii din acest glosar (pe această pagină) sunt cu caractere cursive. # A B C D E E F G H I J K L M N O P R S T U V ... Wikipedia

Ceviana- Definițiile termenilor din planimetrie sunt colectate aici. Referințele la termenii din acest glosar (pe această pagină) sunt cu caractere cursive. # A B C D E E F G H I J K L M N O P R S T U V ... Wikipedia

Glosar de planimetrie- Această pagină este un glosar. Vezi și articolul principal: Planimetrie Definițiile termenilor din planimetrie sunt colectate aici. Link-urile către termenii din acest dicționar (pe această pagină) sunt scrise cu caractere cursive... Wikipedia

problema lui Apollonius- Problema lui Apollonius este de a construi un cerc tangent la trei cercuri date folosind o busolă și o riglă. Potrivit legendei, problema a fost formulată de Apollonius din Perga în jurul anului 220 î.Hr. e. în cartea „Touch”, care a fost pierdută... Wikipedia

problema lui Apollonius- Problema lui Apollonius este de a construi un cerc tangent la trei cercuri date folosind o busolă și o riglă. Potrivit legendei, problema a fost formulată de Apollonius din Perga în jurul anului 220 î.Hr. e. în cartea „Atingerea”, care s-a pierdut, dar a fost... ... Wikipedia

Diagrama Voronoi- un set aleatoriu de puncte pe plan Diagrama Voronoi a unei multimi finite de puncte S pe plan reprezinta o partitie a planului astfel incat ... Wikipedia

În lecția anterioară, ne-am uitat la proprietățile bisectoarei unui unghi, ambele închise într-un triunghi și libere. Un triunghi include trei unghiuri și pentru fiecare dintre ele se păstrează proprietățile considerate ale bisectoarei.

Teorema:

Bisectoarele AA 1, BB 1, СС 1 ale triunghiului se intersectează într-un punct O (Fig. 1).

Orez. 1. Ilustrație pentru teoremă

Dovada:

Să considerăm mai întâi două bisectoare BB 1 și CC 1. Se intersectează, punctul de intersecție O există. Pentru a demonstra acest lucru, să presupunem contrariul: să nu se intersecteze bisectoarele date, caz în care sunt paralele. Atunci linia dreaptă BC este o secantă și suma unghiurilor este , aceasta contrazice faptul că în întregul triunghi suma unghiurilor este .

Deci, punctul O al intersecției a două bisectoare există. Să luăm în considerare proprietățile sale:

Punctul O se află pe bisectoarea unghiului, ceea ce înseamnă că este echidistant de laturile sale BA și BC. Dacă OK este perpendicular pe BC, OL este perpendicular pe BA, atunci lungimile acestor perpendiculare sunt egale - . De asemenea, punctul O se află pe bisectoarea unghiului și este echidistant de laturile sale CB și CA, perpendicularele OM și OK sunt egale.

Am obținut următoarele egalități:

, adică toate cele trei perpendiculare căzute din punctul O către laturile triunghiului sunt egale între ele.

Ne interesează egalitatea perpendicularelor OL și OM. Această egalitate spune că punctul O este echidistant de laturile unghiului, rezultă că se află pe bisectoarea sa AA 1.

Astfel, am demonstrat că toate cele trei bisectoare ale unui triunghi se intersectează într-un punct.

În plus, un triunghi este format din trei segmente, ceea ce înseamnă că ar trebui să luăm în considerare proprietățile unui segment individual.

Este dat segmentul AB. Orice segment are un punct de mijloc și o perpendiculară poate fi trasă prin el - să-l notăm ca p. Astfel, p este bisectoarea perpendiculară.

Orez. 2. Ilustrație pentru teoremă

Orice punct situat pe bisectoarea perpendiculară este echidistant de capetele segmentului.

Demonstrați că (Fig. 2).

Dovada:

Luați în considerare triunghiuri și . Ele sunt dreptunghiulare și egale, deoarece au un catete comun OM, iar catetele AO și OB sunt egale prin condiție, astfel avem două triunghiuri dreptunghiulare, egale în două catete. Rezultă că ipotenuzele triunghiurilor sunt și ele egale, adică ceea ce s-a cerut să fie demonstrat.

Teorema inversă este adevărată.

Fiecare punct echidistant de capetele unui segment se află pe bisectoarea perpendiculară pe acest segment.

Având în vedere un segment AB, bisectoarea sa perpendiculară p și un punct M echidistant de capetele segmentului. Demonstrați că punctul M se află pe bisectoarea perpendiculară pe segment (Fig. 3).

Orez. 3. Ilustrație pentru teoremă

Dovada:

Luați în considerare un triunghi. Este isoscel, conform condiției. Luați în considerare mediana unui triunghi: punctul O este mijlocul bazei AB, OM este mediana. Conform proprietății unui triunghi isoscel, mediana trasată la baza sa este atât o altitudine, cât și o bisectoare. Rezultă că . Dar linia p este și perpendiculară pe AB. Știm că în punctul O se poate trasa o singură perpendiculară pe segmentul AB, ceea ce înseamnă că dreptele OM și p coincid, rezultă că punctul M aparține dreptei p, ceea ce trebuia să dovedim.

Direct și inversul teoremei poate fi generalizat.

Un punct se află pe bisectoarea perpendiculară a unui segment dacă și numai dacă este echidistant de capetele acestui segment.

Deci, să repetăm ​​că există trei segmente într-un triunghi și proprietatea bisectoarei perpendiculare se aplică fiecăruia dintre ele.

Teorema:

Bisectoarele perpendiculare ale unui triunghi se intersectează într-un punct.

Se dă un triunghi. Perpendiculare pe laturile sale: P 1 pe latura BC, P 2 pe latura AC, P 3 pe latura AB.

Demonstrați că perpendicularele P 1, P 2 și P 3 se intersectează în punctul O (Fig. 4).

Orez. 4. Ilustrație pentru teoremă

Dovada:

Să considerăm două bisectoare perpendiculare P 2 și P 3, se intersectează, punctul de intersecție O există. Să demonstrăm acest fapt prin contradicție - să fie paralele perpendicularele P 2 și P 3. Apoi unghiul este inversat, ceea ce contrazice faptul că suma celor trei unghiuri ale unui triunghi este . Deci, există un punct O al intersecției a două dintre cele trei bisectoare perpendiculare. Proprietățile punctului O: se află pe bisectoarea perpendiculară pe latura AB, ceea ce înseamnă că este echidistant de capetele segmentului AB: . De asemenea, se află pe bisectoarea perpendiculară pe latura AC, ceea ce înseamnă . Am obținut următoarele egalități.

Instrucțiuni

Desenați o linie dreaptă prin punctele de intersecție ale cercurilor. Ați obținut bisectoarea perpendiculară pe un segment dat.

Să ni se dea acum un punct și o dreaptă. Este necesar să se deseneze o perpendiculară din acest punct spre.Puneți acul în punct. Desenați un cerc cu rază (raza trebuie să fie de la un punct la o linie, astfel încât cercul să poată intersecta linia în două puncte). Acum aveți două puncte pe o linie. Aceste puncte creează un segment de linie. Construiți bisectoarea perpendiculară pe segment, capetele sunt punctele rezultate, conform algoritmului discutat mai sus. Perpendiculara trebuie să treacă prin punctul de plecare.

Construcția liniilor drepte este baza desenului tehnic. În zilele noastre acest lucru se face din ce în ce mai mult cu ajutorul editorilor grafici, care oferă designerului oportunități mari. Cu toate acestea, unele principii de construcție rămân aceleași ca în desenul clasic - folosind un creion și o riglă.

Vei avea nevoie

• - hartie;
• - creion;
• - rigla;
• - calculator cu program AutoCAD.

Instrucțiuni

Începeți cu construcția clasică. Determinați planul în care veți construi linia. Să fie acesta planul unei foi de hârtie. În funcție de condițiile problemei, aranjați. Ele pot fi arbitrare, dar este posibil să fie dat un sistem de coordonate. Plasați punctele arbitrare acolo unde vă place cel mai mult. Etichetați-le A și B. Folosiți o riglă pentru a le conecta. Conform axiomei, este întotdeauna posibil să se tragă o linie dreaptă prin două puncte și doar unul.

Desenați un sistem de coordonate. Să vi se acorde punctele A (x1; y1). Pentru a le face, trebuie să trasați numărul necesar de-a lungul axei x și să trasați o linie dreaptă paralelă cu axa y prin punctul marcat. Apoi trasați valoarea egală cu y1 de-a lungul axei corespunzătoare. Din punctul marcat, trageți o perpendiculară până când se intersectează cu. Locul intersecției lor va fi punctul A. În același mod, găsiți punctul B, ale cărui coordonate pot fi desemnate ca (x2; y2). Conectați ambele puncte.

În AutoCAD, o linie dreaptă poate fi construită folosind mai multe . Funcția „de” este de obicei instalată implicit. Găsiți fila „Acasă” în meniul de sus. Veți vedea panoul Desenare în fața dvs. Găsiți butonul cu imaginea unei linii drepte și faceți clic pe el.

AutoCAD vă permite, de asemenea, să specificați coordonatele ambelor. Tastați (_xline) în linia de comandă de mai jos. Apasa Enter. Introduceți coordonatele primului punct și apăsați, de asemenea, enter. Determinați al doilea punct în același mod. Poate fi specificat și făcând clic cu mouse-ul, plasând cursorul în punctul dorit de pe ecran.

În AutoCAD, puteți construi o linie dreaptă nu numai după două puncte, ci și după unghiul de înclinare. Din meniul contextual Desenare, selectați Linie și apoi opțiunea Unghi. Punctul de pornire poate fi setat făcând clic cu mouse-ul sau prin , ca în metoda anterioară. Apoi setați dimensiunea unghiului și apăsați enter. În mod implicit, linia dreaptă va fi situată sub unghiul drept la orizontală.

Video pe tema

Pe un desen complex (diagrama) perpendicularitate drept şi avion determinat de prevederile de bază: dacă o parte unghi drept paralel avion proiectii, apoi un unghi drept este proiectat pe acest plan fara distorsiuni; dacă o dreaptă este perpendiculară pe două drepte care se intersectează avion, este perpendicular pe aceasta avion.

Vei avea nevoie

• Creion, riglă, raportor, triunghi.

Instrucțiuni

Exemplu: trageți o perpendiculară prin punctul M către avion A desena o perpendiculară pe avion, există două linii care se intersectează în aceasta avion, și construiți o dreaptă perpendiculară pe acestea. Frontalul și orizontalul sunt alese ca aceste două linii care se intersectează. avion.

Frontal f(f₁f₂) este o linie dreaptă situată în interior avionși paralel cu frontalul avion proiecţiile P₂. Aceasta înseamnă că f₂ este valoarea sa naturală și f₁ este întotdeauna paralelă cu x₁₂. Din punctul A₂, trageți h₂ paralel cu x₁₂ și obțineți punctul 1₂ pe B₂C₂.

Folosind o linie de comunicare de proiecție, punctul 1₁ la B₁C₁. Conectați-vă cu A₁ - aceasta este h₁ - valoarea naturală a orizontalei. Din punctul B₁ trageți f₁‖x₁₂, la A₁C₁ obțineți punctul 2₁. Folosind linia de conectare a proiecției, găsiți punctul 2₂ pe A₂C₂. Conectați-vă la punctul B₂ - aceasta va fi f₂ - dimensiunea naturală a frontului.

Construite orizontale naturale h₁ și frontale f₂ ale proiecțiilor perpendiculare pe avion. Din punctul M₂, trageți proiecția sa frontală a₂ la un unghi de 90

Primul nivel

Cerc circumscris. Ghid vizual (2019)

Prima întrebare care poate apărea este: ce este descris - în jurul a ce?

Ei bine, de fapt, uneori se întâmplă în jurul oricărui lucru, dar vom vorbi despre un cerc circumscris în jurul (uneori se spune și „despre”) un triunghi. Ce este?

Și imaginați-vă, are loc un fapt uimitor:

De ce este acest fapt surprinzător?

Dar triunghiurile sunt diferite!

Și pentru toată lumea există un cerc care va trece prin toate cele trei vârfuri, adică cercul circumscris.

Dovada acestui lucru informatie uimitoare pot fi găsite în următoarele niveluri de teorie, dar aici observăm doar că dacă luăm, de exemplu, un patrulater, atunci nu pentru toată lumea va exista un cerc care trece prin cele patru vârfuri. De exemplu, un paralelogram este un patrulater excelent, dar nu există niciun cerc care să treacă prin toate cele patru vârfuri ale sale!

Și există doar pentru un dreptunghi:

Poftim, și fiecare triunghi are întotdeauna propriul său cerc circumscris!Și chiar este întotdeauna destul de ușor să găsești centrul acestui cerc.

Știi ce e asta bisectoare perpendiculară?

Acum să vedem ce se întâmplă dacă luăm în considerare până la trei bisectoare perpendiculare pe laturile triunghiului.

Se dovedește (și tocmai asta trebuie dovedit, deși nu vom face) că toate cele trei perpendiculare se intersectează într-un punct. Priviți imaginea - toate cele trei bisectoare perpendiculare se intersectează într-un punct.

Crezi că centrul cercului circumscris se află întotdeauna în interiorul triunghiului? Imaginați-vă - nu întotdeauna!

Dar dacă unghi ascuțit, apoi - în interior:

Ce să faci cu un triunghi dreptunghic?

Și cu un bonus suplimentar:

Întrucât vorbim despre raza cercului circumscris: cu ce este egală pentru un triunghi arbitrar? Și există un răspuns la această întrebare: așa-numitul .

Și anume:

Și, desigur,

1. Existența și centrul circumcercului

Aici apare întrebarea: există un astfel de cerc pentru fiecare triunghi? Se dovedește că da, pentru toată lumea. Și mai mult, vom formula acum o teoremă care răspunde și la întrebarea unde se află centrul cercului circumscris.

Uite asa:

Să fim curajoși și să demonstrăm această teoremă. Dacă ați citit deja subiectul „” și ați înțeles de ce trei bisectoare se intersectează la un moment dat, atunci vă va fi mai ușor, dar dacă nu l-ați citit, nu vă faceți griji: acum ne vom da seama.

Vom realiza demonstrația folosind conceptul de locus al punctelor (GLP).

Ei bine, de exemplu, setul de bile este „locul geometric” al obiectelor rotunde? Nu, desigur, pentru că există... pepeni rotunzi. Este un set de oameni, un „loc geometric”, care poate vorbi? Nici nu, pentru că există bebeluși care nu pot vorbi. În viață, este în general dificil să găsești un exemplu de „locație geometrică a punctelor” reală. E mai ușor în geometrie. Iată, de exemplu, exact ceea ce avem nevoie:

Aici mulțimea este bisectoarea perpendiculară, iar proprietatea „ ” este „a fi echidistant (un punct) de la capetele segmentului”.

Să verificăm? Deci, trebuie să vă asigurați de două lucruri:

1. Orice punct care este echidistant de capetele unui segment este situat pe bisectoarea perpendiculară pe acesta.

Să conectăm c și c. Atunci linia este mediana și înălțimea b. Aceasta înseamnă - isoscel - ne-am asigurat că orice punct situat pe bisectoarea perpendiculară este la fel de îndepărtat de puncte și.

Să luăm mijlocul și să ne conectăm și. Rezultatul este mediana. Dar, în funcție de condiție, nu numai mediana este isoscelă, ci și înălțimea, adică bisectoarea perpendiculară. Aceasta înseamnă că punctul se află exact pe bisectoarea perpendiculară.

Toate! Am verificat pe deplin faptul că Bisectoarea perpendiculară a unui segment este locul punctelor echidistante de capetele segmentului.

Toate acestea sunt bine și bune, dar am uitat de cercul circumscris? Deloc, tocmai ne-am pregătit o „trebune pentru atac”.

Luați în considerare un triunghi. Să desenăm două perpendiculare bisectoriale și, să zicem, la segmentele și. Se vor intersecta la un moment dat, pe care îl vom numi.

Acum, fii atent!

Punctul se află pe bisectoarea perpendiculară;
punctul se află pe bisectoarea perpendiculară.
Și asta înseamnă, și.

Din aceasta decurg mai multe lucruri:

În primul rând, punctul trebuie să se afle pe a treia bisectoare perpendiculară pe segment.

Adică bisectoarea perpendiculară trebuie să treacă și ea prin punct și toate cele trei bisectoare perpendiculare se intersectează într-un punct.

În al doilea rând: dacă desenăm un cerc cu un centru într-un punct și o rază, atunci și acest cerc va trece atât prin punct, cât și prin punct, adică va fi un cerc circumscris. Aceasta înseamnă că există deja că intersecția a trei bisectoare perpendiculare este centrul cercului circumscris pentru orice triunghi.

Și ultimul lucru: despre unicitate. Este clar (aproape) că punctul poate fi obținut într-un mod unic, prin urmare cercul este unic. Ei bine, vom lăsa „aproape” pentru reflecția ta. Deci am demonstrat teorema. Puteți striga „Ura!”

Ce se întâmplă dacă problema cere „găsește raza cercului circumscris”? Sau invers, raza este dată, dar trebuie să găsești altceva? Există o formulă care relaționează raza cercului circumferitor de celelalte elemente ale triunghiului?

Vă rugăm să rețineți: teorema sinusului spune că pentru a găsi raza cercului circumscris, aveți nevoie de o latură (orice!) și unghiul opus acesteia. Asta e tot!

3. Centrul cercului - interior sau exterior

Acum întrebarea este: poate centrul cercului circumscris să se afle în afara triunghiului?
Răspuns: pe cât posibil. Mai mult, acest lucru se întâmplă întotdeauna într-un triunghi obtuz.

Și în general vorbind:

CERCUL CIRCULAR. SCURT DESPRE LUCRURILE PRINCIPALE

1. Cerc circumscris unui triunghi

Acesta este cercul care trece prin toate cele trei vârfuri ale acestui triunghi.

2. Existența și centrul circumcercului

Ei bine, subiectul s-a terminat. Dacă citești aceste rânduri, înseamnă că ești foarte cool.

Pentru că doar 5% dintre oameni sunt capabili să stăpânească ceva pe cont propriu. Și dacă citești până la capăt, atunci ești în acest 5%!

Acum cel mai important lucru.

Ați înțeles teoria pe această temă. Și, repet, asta... asta este pur și simplu super! Ești deja mai bun decât majoritate absolută colegii tăi.

Problema este că acest lucru poate să nu fie suficient...

Pentru ce?

Pentru finalizarea cu succes Examen de stat unificat, pentru admiterea la facultate cu buget redus și, CEL MAI IMPORTANT, pe viață.

Nu te voi convinge de nimic, o să spun doar un lucru...

Oamenii care au primit o educație bună, câștigă mult mai mult decât cei care nu l-au primit. Aceasta este statistica.

Dar acesta nu este principalul lucru.

Principalul lucru este că sunt MAI FERICIȚI (există astfel de studii). Poate pentru că mai multe oportunități se deschid în fața lor și viața devine mai strălucitoare? nu stiu...

Dar gandeste-te singur...

Ce este nevoie pentru a fi sigur că ești mai bun decât alții la examenul de stat unificat și, în cele din urmă, fii... mai fericit?

CĂGAȚI-VĂ MÂNĂ REZOLVÂND PROBLEME PE ACEST TEMA.

Nu ți se va cere teorie în timpul examenului.

Vei avea nevoie rezolva problemele in timp.

Și, dacă nu le-ați rezolvat (MULTE!), cu siguranță veți face o greșeală stupidă undeva sau pur și simplu nu veți avea timp.

Este ca în sport - trebuie să o repeți de multe ori pentru a câștiga cu siguranță.

Găsiți colecția oriunde doriți, neaparat cu solutii, analiza detaliata si decide, decide, decide!

Puteți folosi sarcinile noastre (opțional) și noi, bineînțeles, le recomandăm.

Pentru a folosi mai bine sarcinile noastre, trebuie să contribuiți la prelungirea duratei de viață a manualului YouClever pe care îl citiți în prezent.

Cum? Există două opțiuni:

1. Deblocați toate sarcinile ascunse din acest articol - 299 rub.
2. Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse din toate cele 99 de articole ale manualului - 499 rub.

Da, avem 99 de astfel de articole în manualul nostru și accesul la toate sarcinile și toate textele ascunse din ele poate fi deschis imediat.

Accesul la toate sarcinile ascunse este asigurat pe toată durata de viață a site-ului.

În concluzie...

Dacă nu vă plac sarcinile noastre, găsiți altele. Doar nu te opri la teorie.

„Înțeles” și „Pot rezolva” sunt abilități complet diferite. Ai nevoie de amândouă.

Găsiți probleme și rezolvați-le!