Una dintre domeniile matematicii cu care elevii se luptă cel mai mult este trigonometria. Nu este surprinzător: pentru a stăpâni liber această zonă de cunoaștere, aveți nevoie de gândire spațială, abilitatea de a găsi sinusuri, cosinus, tangente, cotangente folosind formule, simplifica expresii și puteți utiliza numărul pi în calculele. În plus, trebuie să puteți folosi trigonometria atunci când demonstrați teoreme, iar acest lucru necesită fie o memorie matematică dezvoltată, fie capacitatea de a deriva lanțuri logice complexe.
Originile trigonometriei
Familiarizarea cu această știință ar trebui să înceapă cu definiția sinusului, cosinusului și tangentei unui unghi, dar mai întâi trebuie să înțelegeți ce face trigonometria în general.
Din punct de vedere istoric, principalul obiect de studiu în această ramură a științei matematice a fost triunghiurile dreptunghiulare. Prezența unui unghi de 90 de grade face posibilă efectuarea diferitelor operații care permit determinarea valorilor tuturor parametrilor figurii în cauză folosind două laturi și un unghi sau două unghiuri și o latură. În trecut, oamenii au observat acest model și au început să-l folosească activ în construcția de clădiri, navigație, astronomie și chiar în artă.
Etapa inițială
Inițial, oamenii au vorbit despre relația dintre unghiuri și laturi folosind doar exemplul triunghiurilor dreptunghiulare. Apoi au fost descoperite formule speciale care au făcut posibilă extinderea limitelor de utilizare în viata de zi cu zi această ramură a matematicii.
Studiul trigonometriei în școală începe astăzi cu triunghiuri dreptunghiulare, după care elevii folosesc cunoștințele dobândite în fizică și rezolvarea de ecuații trigonometrice abstracte, care încep din liceu.
Trigonometrie sferică
Mai târziu, când știința a ajuns la următorul nivel de dezvoltare, formulele cu sinus, cosinus, tangentă, cotangentă au început să fie folosite în geometria sferică, unde se aplică reguli diferite, iar suma unghiurilor dintr-un triunghi este întotdeauna mai mare de 180 de grade. Această secțiune nu este studiată la școală, dar este necesar să cunoaștem existența ei cel puțin pentru că suprafața pământului și suprafața oricărei alte planete este convexă, ceea ce înseamnă că orice marcaj de suprafață va fi „în formă de arc” în trei. -spațiul dimensional.
Luați globul și firul. Atașați firul la oricare două puncte de pe glob, astfel încât să fie întins. Vă rugăm să rețineți - a luat forma unui arc. Geometria sferică se ocupă de astfel de forme, care este folosită în geodezie, astronomie și alte domenii teoretice și aplicate.
Triunghi dreptunghic
După ce am învățat puțin despre modalitățile de utilizare a trigonometriei, să revenim la trigonometria de bază pentru a înțelege mai bine ce sunt sinusul, cosinusul, tangenta, ce calcule pot fi efectuate cu ajutorul lor și ce formule să folosiți.
Primul pas este să înțelegeți conceptele legate de un triunghi dreptunghic. În primul rând, ipotenuza este latura opusă unghiului de 90 de grade. Este cel mai lung. Ne amintim că, conform teoremei lui Pitagora, ea valoare numerică egal cu rădăcina sumei pătratelor celorlalte două laturi.
De exemplu, dacă cele două laturi au 3 și respectiv 4 centimetri, lungimea ipotenuzei va fi de 5 centimetri. Apropo, egiptenii antici știau despre asta acum aproximativ patru mii și jumătate de ani.
Cele două laturi rămase, care formează un unghi drept, se numesc picioare. În plus, trebuie să ne amintim că suma unghiurilor dintr-un triunghi este sistem dreptunghiular coordonatele este de 180 de grade.
Definiţie
În cele din urmă, cu o înțelegere fermă a bazei geometrice, se poate apela la definiția sinusului, cosinusului și tangentei unui unghi.
Sinusul unui unghi este raportul laturii opuse (adică latura situată opusă unghiul dorit) la ipotenuză. Cosinusul unui unghi este raportul dintre latura adiacentă și ipotenuză.
Amintiți-vă că nici sinus, nici cosinus nu pot fi mai mari decât unu! De ce? Deoarece ipotenuza este în mod implicit cea mai lungă Indiferent cât de lungă este piciorul, va fi mai scurtă decât ipotenuza, ceea ce înseamnă că raportul lor va fi întotdeauna mai mic de unu. Astfel, dacă în răspunsul dumneavoastră la o problemă obțineți un sinus sau cosinus cu o valoare mai mare decât 1, căutați o eroare în calcule sau raționament. Acest răspuns este clar incorect.
În cele din urmă, tangenta unui unghi este raportul dintre latura opusă și latura adiacentă. Împărțirea sinusului la cosinus va da același rezultat. Uite: conform formulei, împărțim lungimea laturii cu ipotenuză, apoi împărțim cu lungimea celei de-a doua laturi și înmulțim cu ipotenuză. Astfel, obținem aceeași relație ca și în definiția tangentei.
Cotangenta, în consecință, este raportul dintre latura adiacentă colțului și latura opusă. Același rezultat îl obținem împărțind unul la tangentă.
Deci, ne-am uitat la definițiile a ceea ce sunt sinus, cosinus, tangentă și cotangentă și putem trece la formule.
Cele mai simple formule
În trigonometrie nu puteți face fără formule - cum să găsiți sinus, cosinus, tangentă, cotangentă fără ele? Dar exact acest lucru este necesar atunci când rezolvați probleme.
Prima formulă pe care trebuie să o știți când începeți să studiați trigonometria spune că suma pătratelor sinusului și cosinusului unui unghi este egală cu unu. Această formulă este o consecință directă a teoremei lui Pitagora, dar economisește timp dacă trebuie să cunoști dimensiunea unghiului mai degrabă decât latura.
Mulți elevi nu-și pot aminti a doua formulă, care este, de asemenea, foarte populară atunci când rezolvă probleme școlare: suma lui unu și pătratul tangentei unui unghi este egală cu unul împărțit la pătratul cosinusului unghiului. Aruncă o privire mai atentă: aceasta este aceeași afirmație ca în prima formulă, doar ambele părți ale identității au fost împărțite la pătratul cosinusului. Se dovedește că o operație matematică simplă o face formula trigonometrică complet de nerecunoscut. Amintiți-vă: știind ce sunt sinus, cosinus, tangentă și cotangentă, reguli de transformare și mai multe formule de bază, puteți oricând să derivați formulele mai complexe necesare pe o foaie de hârtie.
Formule pentru unghiuri duble și adăugare de argumente
Încă două formule pe care trebuie să le învățați sunt legate de valorile sinusului și cosinusului pentru suma și diferența unghiurilor. Ele sunt prezentate în figura de mai jos. Vă rugăm să rețineți că în primul caz, sinusul și cosinusul sunt înmulțiți de ambele ori, iar în al doilea, produsul pe perechi dintre sinus și cosinus este adăugat.
Există și formule asociate cu argumente cu unghi dublu. Sunt complet derivate din cele anterioare - ca practică, încercați să le obțineți singur luând unghiul alfa egal cu unghiul beta.
În cele din urmă, rețineți că formulele cu unghi dublu pot fi rearanjate pentru a reduce puterea sinusului, cosinusului, tangentei alfa.
Teoreme
Cele două teoreme principale în trigonometrie de bază sunt teorema sinusului și teorema cosinusului. Cu ajutorul acestor teoreme, puteți înțelege cu ușurință cum să găsiți sinusul, cosinusul și tangenta și, prin urmare, aria figurii și dimensiunea fiecărei laturi etc.
Teorema sinusului spune că împărțirea lungimii fiecărei laturi a unui triunghi la unghiul opus are ca rezultat același număr. Mai mult, acest număr va fi egal cu două raze ale cercului circumscris, adică cercul care conține toate punctele unui triunghi dat.
Teorema cosinusului generalizează teorema lui Pitagora, proiectând-o pe orice triunghi. Se pare că din suma pătratelor celor două laturi, scădeți produsul lor înmulțit cu cosinusul dublu al unghiului adiacent - valoarea rezultată va fi egală cu pătratul celei de-a treia laturi. Astfel, teorema lui Pitagora se dovedește a fi un caz special al teoremei cosinusului.
Greșeli neglijente
Chiar și știind ce sunt sinus, cosinus și tangentă, este ușor să faci o greșeală din cauza distragerii sau a unei erori în cele mai simple calcule. Pentru a evita astfel de greșeli, să aruncăm o privire la cele mai populare.
În primul rând, nu ar trebui să convertiți fracțiile în zecimale până când nu obțineți rezultatul final - puteți lăsa și răspunsul ca fracție, dacă nu este specificat altfel în condiții. O astfel de transformare nu poate fi numită o greșeală, dar trebuie amintit că în fiecare etapă a problemei pot apărea noi rădăcini, care, conform ideii autorului, ar trebui reduse. În acest caz, îți vei pierde timpul cu operații matematice inutile. Acest lucru este valabil mai ales pentru valori precum rădăcina lui trei sau rădăcina lui doi, deoarece acestea se găsesc în probleme la fiecare pas. Același lucru este valabil și pentru rotunjirea numerelor „urâte”.
Mai mult, rețineți că teorema cosinusului se aplică oricărui triunghi, dar nu teorema lui Pitagora! Dacă uitați din greșeală să scădeți de două ori produsul laturilor înmulțit cu cosinusul unghiului dintre ele, nu numai că veți obține un rezultat complet greșit, dar veți demonstra și o lipsă totală de înțelegere a subiectului. Acest lucru este mai rău decât o greșeală neglijentă.
În al treilea rând, nu confundați valorile pentru unghiuri de 30 și 60 de grade pentru sinusuri, cosinus, tangente, cotangente. Amintiți-vă aceste valori, deoarece sinusul de 30 de grade este egal cu cosinusul lui 60 și invers. Este ușor să le confundați, în urma căruia veți obține inevitabil un rezultat eronat.
Aplicație
Mulți studenți nu se grăbesc să înceapă să studieze trigonometria, deoarece nu înțeleg sensul său practic. Ce este sinusul, cosinusul, tangenta pentru un inginer sau astronom? Acestea sunt concepte care fac posibilă calcularea distanței până la stelele îndepărtate, prezicerea căderii unui meteorit sau trimiterea unei sonde de cercetare pe o altă planetă. Fără ele, este imposibil să construiești o clădire, să proiectezi o mașină, să calculezi sarcina pe o suprafață sau traiectoria unui obiect. Și acestea sunt doar exemplele cele mai evidente! La urma urmei, trigonometria într-o formă sau alta este folosită peste tot, de la muzică la medicină.
În concluzie
Deci ești sinus, cosinus, tangentă. Le puteți folosi în calcule și rezolva cu succes problemele școlare.
Întregul punct al trigonometriei se rezumă la faptul că parametri cunoscuți triunghi, trebuie să calculați necunoscutele. Există șase parametri în total: lungimea a trei laturi și dimensiunea a trei unghiuri. Singura diferență în sarcini este că sunt date diferite date de intrare.
Acum știți cum să găsiți sinus, cosinus, tangentă pe baza lungimii cunoscute ale catetelor sau ipotenuzei. Deoarece acești termeni nu înseamnă altceva decât un raport, iar un raport este o fracție, scopul principal problema trigonometrica este găsirea rădăcinilor unei ecuații obișnuite sau ale unui sistem de ecuații. Și aici matematica obișnuită a școlii vă va ajuta.
Acolo unde au fost luate în considerare probleme de rezolvare a unui triunghi dreptunghic, am promis să prezint o tehnică de memorare a definițiilor sinusului și cosinusului. Folosind-o, vă veți aminti întotdeauna rapid ce latură aparține ipotenuzei (adiacentă sau opusă). Am decis să nu o amân prea mult timp, materialul necesar mai jos, vă rugăm să citiți 😉
Faptul este că am observat în mod repetat cum elevii din clasele 10-11 au dificultăți în a-și aminti aceste definiții. Ei își amintesc foarte bine că piciorul se referă la ipotenuză, dar care- uită şi confuz. Prețul unei greșeli, așa cum știți la un examen, este un punct pierdut.
Informațiile pe care le voi prezenta direct nu au nicio legătură cu matematica. Este asociat cu gândirea figurativă și cu metodele de comunicare verbal-logică. Exact așa îmi amintesc, odată pentru totdeaunadate de definiție. Dacă le uitați, vă puteți aminti întotdeauna cu ușurință folosind tehnicile prezentate.
Permiteți-mi să vă reamintesc definițiile sinusului și cosinusului într-un triunghi dreptunghic:
Cosinus Unghiul ascuțit dintr-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuză:
Sinusul Unghiul ascuțit dintr-un triunghi dreptunghic este raportul dintre latura opusă ipotenuzei:
Deci, ce asociații aveți cu cuvântul cosinus?
Probabil fiecare are a lui 😉Amintiți-vă linkul:
Astfel, expresia va apărea imediat în memoria ta -
«… raportul catetei ADJACENT la ipotenuză».
Problema cu determinarea cosinusului a fost rezolvată.
Dacă trebuie să vă amintiți definiția sinusului într-un triunghi dreptunghic, apoi amintindu-vă definiția cosinusului, puteți stabili cu ușurință că sinusul unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre latura opusă ipotenuzei. La urma urmei, există doar două picioare dacă piciorul adiacent este „ocupat” de cosinus, atunci doar piciorul opus rămâne cu sinusul.
Dar tangenta si cotangenta? Confuzia este aceeași. Elevii știu că aceasta este o relație de picioare, dar problema este să ne amintim care dintre ele se referă la care - fie opusul celui adiacent, fie invers.
Definitii:
Tangentă Unghiul ascuțit dintr-un triunghi dreptunghic este raportul dintre latura opusă și latura adiacentă:
Cotangentă Unghiul ascuțit dintr-un triunghi dreptunghic este raportul dintre latura adiacentă și opusul:
Cum să-ți amintești? Există două moduri. Unul folosește și o conexiune verbal-logică, celălalt folosește una matematică.
METODĂ MATEMATICĂ
Există o astfel de definiție - tangenta unui unghi ascuțit este raportul dintre sinusul unghiului și cosinusul său:
* După ce ați memorat formula, puteți determina întotdeauna că tangenta unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre latura opusă și latura adiacentă.
De asemenea.Cotangenta unui unghi ascuțit este raportul dintre cosinusul unghiului și sinusul său:
Aşa! Reținând aceste formule, puteți determina întotdeauna că:
- tangenta unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre latura opusă și latura adiacentă
— cotangenta unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre latura adiacentă și latura opusă.
CUVINTE-METODA LOGICĂ
Despre tangenta. Amintiți-vă linkul:
Adică, dacă trebuie să vă amintiți definiția tangentei, folosind această conexiune logică, vă puteți aminti cu ușurință ce este
„... raportul dintre latura opusă și latura adiacentă”
Dacă vorbim despre cotangente, atunci amintindu-ne definiția tangentei, puteți exprima cu ușurință definiția cotangentei -
„... raportul dintre latura adiacentă și latura opusă”
Există un truc interesant pentru a vă aminti tangenta și cotangente pe site " Tandem matematic " , uite.
METODĂ UNIVERSALĂ
Poți doar să-l memorezi.Dar, așa cum arată practica, datorită conexiunilor verbale-logice, o persoană își amintește mult timp informațiile, și nu numai pe cele matematice.
Sper că materialul ți-a fost de folos.
Cu stimă, Alexander Krutitskikh
P.S: V-as fi recunoscator daca mi-ati spune despre site pe retelele de socializare.
Trigonometria este o ramură a științei matematice care studiază funcțiile trigonometrice și utilizarea lor în geometrie. Dezvoltarea trigonometriei a început în Grecia antică. În timpul Evului Mediu, oamenii de știință din Orientul Mijlociu și India au adus contribuții importante la dezvoltarea acestei științe.
Acest articol este dedicat concepte de bazăși definiții ale trigonometriei. Se discută definițiile funcțiilor trigonometrice de bază: sinus, cosinus, tangentă și cotangentă. Semnificația lor este explicată și ilustrată în contextul geometriei.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Inițial, definițiile funcțiilor trigonometrice al căror argument este un unghi au fost exprimate în termeni de raportul laturilor unui triunghi dreptunghic.
Definiții ale funcțiilor trigonometrice
Sinusul unui unghi (sin α) este raportul catetului opus acestui unghi față de ipotenuză.
Cosinusul unghiului (cos α) - raportul catetei adiacente la ipotenuză.
Tangenta unghiului (t g α) - raportul dintre latura opusă și latura adiacentă.
Cotangent unghi (c t g α) - raportul dintre latura adiacentă și latura opusă.
Aceste definiții sunt date pentru unghiul ascuțit al unui triunghi dreptunghic!
Să dăm o ilustrare.
ÎN triunghiul ABC cu unghiul drept C, sinusul unghiului A este egal cu raportul catetului BC la ipotenuza AB.
Definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei vă permit să calculați valorile acestor funcții din lungimile cunoscute ale laturilor triunghiului.
Important de reținut!
Gama de valori ale sinusului și cosinusului este de la -1 la 1. Cu alte cuvinte, sinusul și cosinusul iau valori de la -1 la 1. Gama de valori ale tangentei și cotangentei este întreaga linie numerică, adică aceste funcții pot lua orice valoare.
Definițiile date mai sus se aplică unghiurilor ascuțite. În trigonometrie se introduce conceptul de unghi de rotație, a cărui valoare, spre deosebire de un unghi ascuțit, nu este limitată la 0 până la 90 de grade. Unghiul de rotație în grade sau radiani este exprimat prin orice număr real de la - ∞ la + ∞.
În acest context, putem defini sinus, cosinus, tangentă și cotangentă a unui unghi de mărime arbitrară. Să ne imaginăm un cerc unitar cu centrul său la originea sistemului de coordonate carteziene.
Punctul inițial A cu coordonatele (1, 0) se rotește în jurul centrului cercului unitar printr-un anumit unghi α și merge la punctul A 1. Definiția este dată în termeni de coordonatele punctului A 1 (x, y).
Sinus (sin) al unghiului de rotație
Sinusul unghiului de rotație α este ordonata punctului A 1 (x, y). sin α = y
Cosinus (cos) al unghiului de rotație
Cosinusul unghiului de rotație α este abscisa punctului A 1 (x, y). cos α = x
Tangenta (tg) a unghiului de rotație
Tangenta unghiului de rotație α este raportul dintre ordonata punctului A 1 (x, y) și abscisa acestuia. t g α = y x
Cotangenta (ctg) a unghiului de rotatie
Cotangenta unghiului de rotație α este raportul dintre abscisa punctului A 1 (x, y) și ordonata sa. c t g α = x y
Sinusul și cosinusul sunt definite pentru orice unghi de rotație. Acest lucru este logic, deoarece abscisa și ordonata unui punct după rotație pot fi determinate în orice unghi. Situația este diferită cu tangenta și cotangenta. Tangenta este nedefinită atunci când un punct după rotație merge la un punct cu abscisă zero (0, 1) și (0, - 1). În astfel de cazuri, expresia pentru tangenta t g α = y x pur și simplu nu are sens, deoarece conține împărțirea la zero. Situația este similară cu cotangente. Diferența este că cotangenta nu este definită în cazurile în care ordonata unui punct ajunge la zero.
Important de reținut!
Sinusul și cosinusul sunt definite pentru orice unghi α.
Tangenta este definită pentru toate unghiurile, cu excepția α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)
Cotangenta este definită pentru toate unghiurile, cu excepția α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)
La hotărâre exemple practice nu spune „sinus al unghiului de rotație α”. Cuvintele „unghi de rotație” sunt pur și simplu omise, ceea ce înseamnă că este deja clar din context ceea ce se discută.
Numerele
Dar determinarea sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui număr, mai degrabă decât unghiul de rotație?
Sinus, cosinus, tangentă, cotangentă a unui număr
Sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui număr t este un număr care este, respectiv, egal cu sinus, cosinus, tangentă și cotangentă în t radian.
De exemplu, sinusul numărului 10 π este egal cu sinusul unghiului de rotație de 10 π rad.
Există o altă abordare pentru determinarea sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui număr. Să aruncăm o privire mai atentă.
Cineva număr real t un punct de pe cercul unitar este asociat cu centrul de la originea sistemului de coordonate carteziene dreptunghiulare. Sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta sunt determinate prin coordonatele acestui punct.
Punctul de pornire al cercului este punctul A cu coordonatele (1, 0).
Număr pozitiv t
Număr negativ t corespunde punctului la care se va ajunge punctul de plecare dacă se deplasează în jurul cercului în sens invers acelor de ceasornic și va merge pe drum t.
Acum că s-a stabilit legătura dintre un număr și un punct dintr-un cerc, trecem la definiția sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei.
Sinusul (păcatul) al lui t
Sinusul unui număr t- ordonata unui punct de pe cercul unitar corespunzător numărului t. sin t = y
Cosinus (cos) al lui t
Cosinusul unui număr t- abscisa punctului cercului unitar corespunzător numărului t. cos t = x
Tangenta (tg) a lui t
Tangenta unui număr t- raportul ordonatei la abscisa unui punct de pe cercul unitar corespunzător numărului t. t g t = y x = sin t cos t
Cele mai recente definiții sunt în conformitate cu și nu contrazic definiția dată la începutul acestui paragraf. Punctează pe cercul corespunzător numărului t, coincide cu punctul la care se îndreaptă punctul de plecare după întoarcerea cu un unghi t radian.
Funcții trigonometrice ale argumentului unghiular și numeric
Fiecare valoare a unghiului α corespunde unei anumite valori a sinusului și cosinusului acestui unghi. La fel ca toate unghiurile α, altele decât α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) corespund unei anumite valori tangente. Cotangenta, așa cum sa menționat mai sus, este definită pentru toate α, cu excepția α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).
Putem spune că sin α, cos α, t g α, c t g α sunt funcții ale unghiului alfa, sau funcții ale argumentului unghiular.
În mod similar, putem vorbi despre sinus, cosinus, tangentă și cotangentă ca funcții ale unui argument numeric. Fiecare număr real t corespunde unei anumite valori a sinusului sau cosinusului unui număr t. Toate numerele, altele decât π 2 + π · k, k ∈ Z, corespund unei valori tangente. Cotangenta, în mod similar, este definită pentru toate numerele, cu excepția π · k, k ∈ Z.
Funcții de bază ale trigonometriei
Sinus, cosinus, tangentă și cotangentă sunt funcțiile trigonometrice de bază.
De obicei este clar din context cu ce argument al funcției trigonometrice (argument unghiular sau argument numeric) avem de-a face.
Să revenim la definițiile date la început și la unghiul alfa, care se află în intervalul de la 0 la 90 de grade. Definițiile trigonometrice ale sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei sunt pe deplin în concordanță cu definiții geometrice, dat folosind raporturile de aspect ale unui triunghi dreptunghic. Să o arătăm.
Să luăm un cerc unitar cu un centru într-un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare. Să rotim punctul de plecare A (1, 0) cu un unghi de până la 90 de grade și să desenăm o perpendiculară pe axa absciselor din punctul rezultat A 1 (x, y). În triunghiul dreptunghic rezultat, unghiul A 1 O H egal cu unghiul tura α, lungimea catetei O H este egală cu abscisa punctului A 1 (x, y). Lungimea catetului opus unghiului este egală cu ordonata punctului A 1 (x, y), iar lungimea ipotenuzei este egală cu unu, deoarece este raza cercului unitar.
În conformitate cu definiția din geometrie, sinusul unghiului α este egal cu raportul dintre latura opusă ipotenuzei.
sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y
Aceasta înseamnă că determinarea sinusului unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic prin raportul de aspect este echivalentă cu determinarea sinusului unghiului de rotație α, cu alfa situată în intervalul de la 0 la 90 de grade.
În mod similar, corespondența definițiilor poate fi arătată pentru cosinus, tangentă și cotangentă.
Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
Sinusul și cosinusul au apărut inițial din necesitatea de a calcula cantități în triunghiuri dreptunghiulare. S-a observat că dacă măsura gradului unghiurilor dintr-un triunghi dreptunghic nu este modificată, atunci raportul de aspect, indiferent cât de mult se schimbă aceste laturi în lungime, rămâne întotdeauna același.
Așa au fost introduse conceptele de sinus și cosinus. Sinusul unui unghi ascuțit dintr-un triunghi dreptunghic este raportul dintre latura opusă ipotenuzei, iar cosinusul este raportul laturii adiacente ipotenuzei.
Teoreme ale cosinusurilor și sinusurilor
Dar cosinusurile și sinusurile pot fi folosite pentru mai mult decât triunghiuri dreptunghiulare. Pentru a afla valoarea unui unghi obtuz sau acut sau a unei laturi a oricărui triunghi, este suficient să aplicați teorema cosinusurilor și sinusurilor.
Teorema cosinusului este destul de simplă: „Pătratul laturii unui triunghi egal cu suma pătratele celorlalte două laturi minus de două ori produsul acestor laturi cu cosinusul unghiului dintre ele.”
Există două interpretări ale teoremei sinusului: mică și extinsă. Potrivit minorului: „Într-un triunghi, unghiurile sunt proporționale cu laturile opuse.” Această teoremă este adesea extinsă datorită proprietății cercului circumscris unui triunghi: „Într-un triunghi, unghiurile sunt proporționale cu laturile opuse, iar raportul lor este egal cu diametrul cercului circumscris”.
Derivate
Derivata este un instrument matematic care arată cât de repede se schimbă o funcție în raport cu o modificare a argumentului său. Derivatele sunt folosite în geometrie și într-o serie de discipline tehnice.
Când rezolvați probleme, trebuie să cunoașteți valorile tabelare ale derivatelor funcțiilor trigonometrice: sinus și cosinus. Derivata unui sinus este un cosinus, iar un cosinus este un sinus, dar cu semnul minus.
Aplicație în matematică
Sinusurile și cosinusurile sunt folosite în special în rezolvarea triunghiurilor dreptunghiulare și a problemelor legate de acestea.
Comoditatea sinusurilor și cosinusurilor se reflectă și în tehnologie. Unghiurile și laturile au fost ușor de evaluat folosind teoremele cosinusului și sinusului, defalcând formele și obiectele complexe în triunghiuri „simple”. Inginerii care se ocupă adesea de calculele raporturilor de aspect și măsurătorilor de grade au petrecut mult timp și efort calculând cosinusurile și sinusurile unghiurilor netabulare.
Apoi au venit în ajutor tabelele Bradis, conținând mii de valori de sinusuri, cosinus, tangente și cotangente de diferite unghiuri. În vremea sovietică, unii profesori își obligau elevii să memoreze paginile tabelelor Bradis.
Radian - valoarea unghiulară a arcului, de-a lungul lungimii egală cu raza sau 57,295779513° grade.
Gradul (în geometrie) - 1/360-a parte a unui cerc sau 1/90-a parte a unui cerc unghi drept.
π = 3,141592653589793238462… (valoarea aproximativă a lui Pi).
Tabel cosinus pentru unghiuri: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.
| Unghiul x (în grade) | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 150° | 180° | 210° | 225° | 240° | 270° | 300° | 315° | 330° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Unghiul x (în radiani) | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | 2 x π/3 | 3 x π/4 | 5 x π/6 | π | 7 x π/6 | 5 x π/4 | 4 x π/3 | 3 x π/2 | 5 x π/3 | 7 x π/4 | 11 x π/6 | 2 x π |
| cos x | 1 | √3/2 (0,8660) | √2/2 (0,7071) | 1/2 (0,5) | 0 | -1/2 (-0,5) | -√2/2 (-0,7071) | -√3/2 (-0,8660) | -1 | -√3/2 (-0,8660) | -√2/2 (-0,7071) | -1/2 (-0,5) | 0 | 1/2 (0,5) | √2/2 (0,7071) | √3/2 (0,8660) | 1 |
Vom începe studiul nostru de trigonometrie cu triunghiul dreptunghic. Să definim ce sunt sinusul și cosinusul, precum și tangenta și cotangenta unui unghi ascuțit. Acestea sunt elementele de bază ale trigonometriei.
Să ne amintim asta unghi drept este un unghi egal cu 90 de grade. Cu alte cuvinte, jumătate de unghi rotit.
Unghi ascuțit- sub 90 de grade.
Unghi obtuz- mai mare de 90 de grade. În legătură cu un astfel de unghi, „obtuz” nu este o insultă, ci un termen matematic :-)
Să desenăm un triunghi dreptunghic. Un unghi drept este de obicei notat cu . Vă rugăm să rețineți că latura opusă colțului este indicată de aceeași literă, doar mică. Astfel, latura opusă unghiului A este desemnată .
Unghiul este indicat de corespunzătoare Literă greacă.
Ipotenuză a unui triunghi dreptunghic este latura opusă unghiului drept.
Picioarele- laturile situate opuse unghiurilor ascuțite.
Piciorul situat opus unghiului se numește opus(față de unghi). Celălalt picior, care se află pe una dintre laturile unghiului, se numește adiacent.
Sinusul Unghiul ascuțit dintr-un triunghi dreptunghic este raportul dintre latura opusă ipotenuzei:
Cosinus unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic - raportul catetei adiacente la ipotenuză:
Tangentă unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic - raportul dintre latura opusă și cea adiacentă:
O altă definiție (echivalentă): tangenta unui unghi ascuțit este raportul dintre sinusul unghiului și cosinusul său:
Cotangentă unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic - raportul dintre latura adiacentă și opusul (sau, ceea ce este același, raportul dintre cosinus și sinus):
Observați mai jos relațiile de bază pentru sinus, cosinus, tangentă și cotangentă. Ne vor fi de folos atunci când rezolvăm probleme.
Să demonstrăm unele dintre ele.
Bine, am dat definiții și am notat formule. Dar de ce mai avem nevoie de sinus, cosinus, tangentă și cotangentă?
Știm asta suma unghiurilor oricărui triunghi este egală cu.
Știm relația dintre petreceri triunghi dreptunghic. Aceasta este teorema lui Pitagora: .
Se dovedește că cunoscând două unghiuri într-un triunghi, îl poți găsi pe al treilea. Cunoscând cele două laturi ale unui triunghi dreptunghic, o poți găsi pe a treia. Aceasta înseamnă că unghiurile au propriul raport, iar laturile au propriul lor raport. Dar ce ar trebui să faci dacă într-un triunghi dreptunghic cunoști un unghi (cu excepția unghiului drept) și o latură, dar trebuie să găsești celelalte laturi?
Aceasta este ceea ce oamenii în trecut au întâlnit când făceau hărți ale zonei și ale cerului înstelat. La urma urmei, nu este întotdeauna posibil să se măsoare direct toate laturile unui triunghi.
Sinus, cosinus și tangentă - se mai numesc și funcții unghiulare trigonometrice- da relatii intre petreceriŞi colțuri triunghi. Cunoscând unghiul, puteți găsi toate funcțiile sale trigonometrice folosind tabele speciale. Și cunoscând sinusurile, cosinusurile și tangentele unghiurilor unui triunghi și a uneia dintre laturile sale, puteți găsi restul.
De asemenea, vom desena un tabel cu valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei pentru unghiurile „bune” de la până.
Vă rugăm să rețineți cele două linii roșii din tabel. La valorile unghiulare adecvate, tangenta și cotangenta nu există.
Să ne uităm la câteva probleme de trigonometrie din Banca de activități FIPI.
1. Într-un triunghi, unghiul este , . Găsiți .
Problema este rezolvată în patru secunde.
Din moment ce , .
2. Într-un triunghi, unghiul este , , . Găsiți .
Să-l găsim folosind teorema lui Pitagora.
Problema este rezolvată.
Adesea în probleme există triunghiuri cu unghiuri și sau cu unghiuri și. Amintiți-vă raporturile de bază pentru ei pe de rost!
Pentru un triunghi cu unghiuri și catetul opus unghiul la este egal cu jumătate din ipotenuză.
Un triunghi cu unghiuri și este isoscel. În ea, ipotenuza este de ori mai mare decât catetul.
Ne-am uitat la probleme de rezolvare a triunghiurilor dreptunghiulare - adică găsirea laturilor sau unghiurilor necunoscute. Dar asta nu este tot! ÎN Opțiuni pentru examenul de stat unificat la matematică există multe probleme în care apare sinusul, cosinusul, tangenta sau cotangenta unghiului extern al unui triunghi. Mai multe despre asta în următorul articol.
