Știi ce să împărtășești numar natural a cu un număr natural b înseamnă a găsi un număr natural c care, înmulțit cu b, dă numărul a. Această afirmație rămâne adevărată dacă cel puțin unul dintre numerele a, b, c este o fracție zecimală.
Să ne uităm la câteva exemple în care divizorul este un număr natural.
1,2: 4 = 0,3, deoarece 0,3 * 4 = 1,2;
2,5: 5 = 0,5, deoarece 0,5 * 5 = 2,5;
1: 2 = 0,5, deoarece 0,5 * 2 = 1.
Dar ce să faci în cazurile în care diviziunea nu poate fi efectuată pe cale orală?
De exemplu, cum împărțiți 43,52 la 17?
Prin creșterea dividendului de 43,52 de 100 de ori, obținem numărul 4.352. Atunci valoarea expresiei 4.352: 17 este de 100 de ori mai mare decât valoarea expresiei 43.52: 17. Împărțind cu un colț, puteți stabili cu ușurință că 4.352: 17 = 256. Aici dividendul este majorat de 100 de ori. Deci, 43,52: 17 = 2,56. Rețineți că 2,56 * 17 = 43,52, ceea ce confirmă că împărțirea a fost efectuată corect.
Coeficientul 2,56 poate fi obținut diferit. Vom împărți 4352 la 17 cu un colț, ignorând virgula. În acest caz, virgula din coeficient trebuie plasată imediat înainte de prima cifră după ce se folosește punctul zecimal din dividend:
Dacă dividendul este mai mic decât divizorul, atunci partea întreagă a coeficientului este zero. De exemplu:
Să ne uităm la un alt exemplu. Să găsim coeficientul 3.1:5. Avem:
Am oprit procesul de împărțire pentru că cifrele dividendului s-au terminat și nu am primit zero ca rest. Știți că o fracție zecimală nu se va schimba dacă i se adaugă un număr de zerouri în partea dreaptă. Apoi devine clar că numerele dividendului nu se pot termina. Avem:
Acum putem găsi câtul a două numere naturale atunci când dividendul nu este divizibil egal cu divizorul. De exemplu, să găsim coeficientul 31:5. Evident, numărul 31 nu este divizibil cu 5:
Am oprit procesul de divizare pentru că am rămas fără cifre de dividende. Cu toate acestea, dacă reprezentați dividendul ca o fracție zecimală, atunci împărțirea poate fi continuată.
Avem: 31:5 = 31.0:5. În continuare, să facem împărțirea cu un colț:
Prin urmare, 31:5 = 6,2.
În paragraful anterior, am aflat că dacă virgula este mutată la dreapta cu 1, 2, 3 etc. cifre, atunci fracția va crește de 10, 100, 1.000 etc. ori, respectiv, iar dacă virgula este mutată la stânga cu 1, 2, 3, etc. cifre, atunci fracția va scădea cu 10, 100, 1.000 etc., respectiv etc. ori.
Prin urmare, în cazurile în care divizorul este 10, 100, 1.000 etc., utilizați următoarea regulă.
Pentru a împărți o fracție zecimală la 10, 100, 1.000 etc., trebuie să mutați punctul zecimal din această fracție la stânga cu 1, 2, 3, etc. cifre.
De exemplu: 4,23: 10 = 0,423; 2: 100 = 0,02; 58,63: 1.000 = 0,05863.
Deci, am învățat cum să împărțim o fracție zecimală la un număr natural.
Să arătăm cum împărțirea cu o fracție zecimală poate fi redusă la împărțirea cu un număr natural.
$\frac(2)(5) km = 400 m$
,$\frac(20)(50) km = 400 m$
,$\frac(200)(500) km = 400 m$
.Înțelegem asta
$\frac(2)(5) = \frac(20)(50) = \frac(200)(500)$
Acestea. 2:5 = 20:50 = 200:500.
Acest exemplu ilustrează următoarele: dacă dividendul și divizorul sunt majorate simultan cu 10, 100, 1.000 etc. ori, atunci coeficientul nu se va schimba .
Să găsim coeficientul 43,52: 1,7.
Să creștem atât dividendul, cât și divizorul de 10 ori. Avem:
43,52 : 1,7 = 435,2 : 17 .
Să creștem atât dividendul, cât și divizorul de 10 ori. Avem: 43,52: 1,7 = 25,6.
Pentru a împărți o fracție zecimală la o zecimală:
1) mutați virgulele din dividend și divizor la dreapta cu atâtea cifre câte sunt după punctul zecimal din divizor;
2) împărțiți la un număr natural.
Exemplu 1 . Vanya a colectat 140 kg de mere și pere, dintre care 0,24 au fost pere. Câte kilograme de pere a strâns Vanya?
Soluţie. Avem:
0,24 USD=\frac(24)(100)$
.1) 140: 100 = 1,4 (kg) - este
Mere și pere.
2) 1,4 * 24 = 33,6 (kg) - au fost colectate pere.
Răspuns: 33,6 kg.
Exemplu 2 . La micul dejun, Winnie the Pooh a mâncat 0,7 butoaie de miere. Câte kilograme de miere erau în butoi dacă Winnie the Pooh a mâncat 4,2 kg?
Soluţie. Avem:
$0,7=\frac(7)(10)$
.1) 4,2: 7 = 0,6 (kg) - este
Doar miere.
2) 0,6 * 10 = 6 (kg) - în butoi era miere.
Raspuns: 6 kg.
Împărțirea cu o fracție zecimală se reduce la împărțirea cu un număr natural.
Regula pentru împărțirea unui număr la o fracție zecimală
Pentru a împărți un număr cu o fracție zecimală, trebuie să mutați virgula atât în dividend, cât și în divizor la dreapta, câte cifre sunt în divizor după virgulă. După aceasta, împărțiți la un număr natural.
Exemple.
Împărțire cu fracția zecimală:
Pentru a împărți cu o zecimală, trebuie să mutați punctul zecimal atât în dividend, cât și în divizor cu atâtea cifre la dreapta câte sunt după punctul zecimal în divizor, adică cu o cifră. Obținem: 35.1: 1.8 = 351: 18. Acum efectuăm împărțirea cu un colț. Ca rezultat, obținem: 35,1: 1,8 = 19,5.
2) 14,76: 3,6
Pentru a împărți fracțiile zecimale, atât în dividend, cât și în divizor, mutăm punctul zecimal în dreapta: 14,76: 3,6 = 147,6: 36. Acum efectuăm un număr natural. Rezultat: 14,76: 3,6 = 4,1.
Pentru a împărți un număr natural la o fracție zecimală, trebuie să mutați atât dividendul, cât și divizorul la dreapta câte locuri există în divizor după virgulă. Deoarece o virgulă nu este scrisă în divizor în acest caz, completăm numărul de caractere lipsă cu zerouri: 70: 1,75 = 7000: 175. Împărțiți numerele naturale rezultate cu un colț: 70: 1,75 = 7000: 175 = 40 .
4) 0,1218: 0,058
Pentru a împărți o fracție zecimală la alta, mutăm virgula zecimală la dreapta atât în dividend, cât și în divizor cu atâtea cifre câte sunt în divizor după virgulă, adică cu trei zecimale. Astfel, 0,1218: 0,058 = 121,8: 58. Împărțirea cu o fracție zecimală a fost înlocuită cu împărțirea cu un număr natural. Împărțim un colț. Avem: 0,1218: 0,058 = 121,8: 58 = 2,1.
5) 0,0456: 3,8
eu. Pentru a împărți o fracție zecimală la un număr natural, trebuie să împărțiți fracția la acest număr, deoarece numerele naturale sunt împărțite și să puneți o virgulă în coeficient atunci când împărțirea întregii părți este finalizată.
Exemple.
Efectuați împărțirea: 1) 96,25: 5; 2) 4,78: 4; 3) 183,06: 45.
Soluţie.
Exemplu 1) 96,25: 5.
Împărțim cu un „colț” în același mod în care sunt împărțite numerele naturale. După ce luăm numărul 2 (numărul de zecimi este prima cifră după virgulă din dividendul 96, 2 5), în coeficient punem virgulă și continuăm împărțirea.
Răspuns: 19,25.
Exemplu 2) 4,78: 4.
Împărțim pe măsură ce numerele naturale sunt împărțite. În coeficient vom pune o virgulă imediat ce o scoatem 7
— prima cifră după virgulă din dividendul 4, 7
8. Continuăm împărțirea mai departe. La scăderea 38-36 obținem 2, dar împărțirea nu este finalizată. Cum procedăm? Știm că zerouri pot fi adăugate la sfârșitul unei fracții zecimale - acest lucru nu va schimba valoarea fracției. Atribuim zero și împărțim 20 la 4. Obținem 5 - împărțirea s-a terminat.
Răspuns: 1,195.
Exemplu 3) 183,06: 45.
Împărțiți ca 18306 la 45. În coeficient punem o virgulă imediat ce eliminăm numărul 0
— prima cifră după virgulă din dividendul 183, 0
6. La fel ca în exemplul 2), a trebuit să atribuim zero numărului 36 - diferența dintre numerele 306 și 270.
Răspuns: 4,068.
Concluzie: la împărțirea unei fracții zecimale la un număr natural în privat punem virgulă imediat după ce luăm în jos cifra de pe locul zecimii al dividendului. Vă rugăm să rețineți: toate evidențiate numere în roșu în aceste trei exemple aparţin categoriei zecimi din dividend.
II. Pentru a împărți o fracție zecimală la 10, 100, 1000 etc., trebuie să mutați punctul zecimal la stânga cu 1, 2, 3, etc. cifre.
Exemple.
Efectuați împărțirea: 1) 41,56: 10; 2) 123,45: 100; 3) 0,47: 100; 4) 8,5: 1000; 5) 631,2: 10000.
Soluţie.
Mutarea punctului zecimal la stânga depinde de câte zerouri sunt după unu în divizor. Deci, atunci când împărțiți o fracție zecimală la 10
vom reporta în dividend virgulă la o cifră din stânga; când se împarte la 100
- muta virgula stânga două cifre; când se împarte la 1000
convertiți în această fracție zecimală virgulă trei cifre la stânga.
Adăugarea de zecimale este la fel cu adăugarea numerelor întregi. Să vedem asta cu exemple.
1) 0,132 + 2,354. Să etichetăm termenii unul sub celălalt.
Aici, adăugarea a 2 miimi la 4 miimi a rezultat în 6 miimi;
din adunarea a 3 sutimi cu 5 sutimi rezultatul este 8 sutimi;
de la adăugarea a 1 zecime cu 3 zecimi -4 zecimi și
din adunarea a 0 numere întregi cu 2 numere întregi - 2 numere întregi.
2) 5,065 + 7,83.
Nu există miimi în al doilea termen, așa că este important să nu faceți greșeli atunci când etichetați termenii unul după altul.
3) 1,2357 + 0,469 + 2,08 + 3,90701.
Aici, la adăugarea de miimi, rezultatul este 21 de miimi; am scris 1 sub miimi și am adăugat 2 la sutimi, așa că pe locul sutimiilor am obținut următorii termeni: 2 + 3 + 6 + 8 + 0; in total ei dau 19 sutimi, noi am semnat 9 sub sutimi, iar 1 a socotit zecimi etc.
Astfel, la adunarea fracțiilor zecimale, trebuie respectată următoarea ordine: semnați fracțiile una sub alta astfel încât în toți termenii aceleași cifre să fie situate una sub alta și toate virgulele să fie în aceeași coloană verticală; În dreapta zecimalelor unor termeni se adaugă un astfel de număr de zerouri, cel puțin mental, astfel încât toți termenii după virgulă zecimală să aibă același număr de cifre. Apoi efectuați adăugarea cu cifre, începând de la partea dreapta, iar în suma rezultată se pune o virgulă în aceeași coloană verticală în care se află în acești termeni.
§ 108. Scăderea fracțiilor zecimale.
Scăderea zecimalelor funcționează în același mod ca și scăderea numerelor întregi. Să arătăm asta cu exemple.
1) 9,87 - 7,32. Să semnăm subtraendul sub minuend, astfel încât unitățile din aceeași cifră să fie una sub cealaltă:
2) 16,29 - 4,75. Să semnăm subtraend sub minuend, ca în primul exemplu:
Pentru a scădea zecimi, trebuia să luați o unitate întreagă din 6 și să o împărțiți în zecimi.
3) 14.0213- 5.350712. Să semnăm subtraend sub minuend:
Scăderea a fost efectuată după cum urmează: deoarece nu putem scădea 2 milionimi din 0, ar trebui să ne întoarcem la cea mai apropiată cifră din stânga, adică o sută de miimi, dar în locul sutei de miimi există și zero, așa că luăm 1 zece miimi din 3 zece miimi și O despărțim în sută de miimi, obținem 10 sute de miimi, din care lăsăm 9 sute de miimi în categoria sute de miimi, iar 1 sută de miimii în milionimi, obținem 10 milioane de miimi. Astfel, în ultimele trei cifre am obținut: milionimi 10, sută de miimi 9, zece miimi 2. Pentru o mai mare claritate și comoditate (pentru a nu uita), aceste numere sunt scrise deasupra cifrelor fracționale corespunzătoare ale minuendului. Acum poți începe să scazi. Din 10 milionatimi scadem 2 milionatimi, obtinem 8 milionatimi; din 9 sute de miimi scădem 1 sută de miimi, obținem 8 sute de miimi etc.
Astfel, la scăderea fracțiilor zecimale se respectă următoarea ordine: semnați subtraend sub minuend astfel încât aceleași cifre să fie situate una sub alta și toate virgulele să fie în aceeași coloană verticală; in dreapta se adauga, cel putin mental, atatea zerouri in minuend sau subtraend astfel incat sa aiba acelasi numar de cifre, apoi scade cu cifre, incepand din dreapta, iar in diferenta rezultata pun virgula in aceeasi coloana verticala in care se afla in diminuat si scazut.
§ 109. Înmulțirea fracțiilor zecimale.
Să ne uităm la câteva exemple de înmulțire a fracțiilor zecimale.
Pentru a afla produsul acestor numere, putem raționa astfel: dacă factorul este mărit de 10 ori, atunci ambii factori vor fi numere întregi și apoi îi putem înmulți conform regulilor de înmulțire a numerelor întregi. Dar știm că atunci când unul dintre factori crește de mai multe ori, produsul crește cu aceeași cantitate. Aceasta înseamnă că numărul care se obține din înmulțirea factorilor întregi, adică 28 cu 23, este de 10 ori mai mare decât produsul adevărat, iar pentru a obține produsul adevărat, produsul găsit trebuie redus de 10 ori. Prin urmare, aici va trebui să înmulțiți cu 10 o dată și să împărțiți cu 10 o dată, dar înmulțirea și împărțirea cu 10 se face prin mutarea punctului zecimal la dreapta și la stânga cu un loc. Prin urmare, trebuie să faceți acest lucru: în factor, mutați virgula în locul potrivit, aceasta o va face egală cu 23, apoi trebuie să înmulțiți numerele întregi rezultate:
Acest produs este de 10 ori mai mare decât cel adevărat. Prin urmare, trebuie redusă de 10 ori, pentru care mutam virgula cu un loc la stânga. Astfel, primim
28 2,3 = 64,4.
În scopuri de verificare, puteți scrie o fracție zecimală cu un numitor și puteți efectua acțiunea conform regulii de înmulțire a fracțiilor obișnuite, adică.
2) 12,27 0,021.
Diferența dintre acest exemplu și cel precedent este că aici ambii factori sunt reprezentați ca fracții zecimale. Dar aici, în procesul de înmulțire, nu vom acorda atenție virgulelor, adică vom crește temporar multiplicantul de 100 de ori și multiplicatorul de 1.000 de ori, ceea ce va crește produsul de 100.000 de ori. Astfel, înmulțind 1.227 cu 21, obținem:
1 227 21 = 25 767.
Având în vedere că produsul rezultat este de 100.000 de ori mai mare decât produsul adevărat, acum trebuie să-l reducem de 100.000 de ori prin plasarea corectă a unei virgule în el, apoi obținem:
32,27 0,021 = 0,25767.
Sa verificam:
Astfel, pentru a înmulți două fracții zecimale, este suficient, fără a fi atent la virgule, să le înmulțim ca numere întregi și în produs să despărțim cu virgulă în dreapta câte zecimale erau în multiplicand și în multiplicator împreună.
Ultimul exemplu a rezultat într-un produs cu cinci zecimale. Dacă nu este necesară o precizie atât de mare, atunci fracția zecimală este rotunjită. Când rotunjiți, ar trebui să utilizați aceeași regulă ca cea indicată pentru numerele întregi.
§ 110. Înmulțirea folosind tabele.
Înmulțirea zecimalelor se poate face uneori folosind tabele. În acest scop, puteți utiliza, de exemplu, acele tabele de înmulțire pentru numere de două cifre, a căror descriere a fost dată mai devreme.
1) Înmulțiți 53 cu 1,5.
Vom înmulți 53 cu 15. În tabel, acest produs este egal cu 795. Am găsit produsul 53 cu 15, dar al doilea factor a fost de 10 ori mai mic, ceea ce înseamnă că produsul trebuie redus de 10 ori, adică.
53 1,5 = 79,5.
2) Înmulțiți 5,3 cu 4,7.
În primul rând, găsim în tabel produsul 53 cu 47, acesta va fi 2 491. Dar din moment ce am mărit multiplicantul și multiplicatorul cu un total de 100 de ori, produsul rezultat este de 100 de ori mai mare decât ar trebui să fie; deci trebuie să reducem acest produs de 100 de ori:
5,3 4,7 = 24,91.
3) Înmulțiți 0,53 cu 7,4.
În primul rând, găsim în tabel produsul 53 cu 74; va fi 3 922. Dar din moment ce am crescut multiplicantul de 100 de ori, iar multiplicatorul de 10 ori, produsul a crescut de 1.000 de ori; așa că acum trebuie să o reducem de 1.000 de ori:
0,53 7,4 = 3,922.
§ 111. Împărțirea fracțiilor zecimale.
Ne vom uita la împărțirea fracțiilor zecimale în această ordine:
1. Împărțirea unei fracții zecimale la întreg,
1. Împărțiți o fracție zecimală la un număr întreg.
1) Împărțiți 2,46 la 2.
Am impartit la 2 prima intregi, apoi zecimi si in final sutimi.
2) Împărțiți 32,46 la 3.
32,46: 3 = 10,82.
Am împărțit 3 zeci la 3, apoi am început să împărțim 2 zeci la 3; întrucât numărul de unități ale dividendului (2) este mai mic decât divizorul (3), a trebuit să punem 0 în coeficient; în continuare, la rest am luat 4 zecimi și am împărțit 24 de zecimi la 3; a primit 8 zecimi în coeficient și a împărțit în final 6 sutimi.
3) Împărțiți 1,2345 la 5.
1,2345: 5 = 0,2469.
Aici în cât primul loc este zero numere întregi, deoarece un întreg nu este divizibil cu 5.
4) Împărțiți 13,58 la 4.
Particularitatea acestui exemplu este că atunci când am primit 9 sutimi în coeficient, am descoperit un rest egal cu 2 sutimi, am împărțit acest rest în miimi, am obținut 20 de miimi și am finalizat împărțirea.
Regulă.Împărțirea unei fracții zecimale cu un întreg se realizează în același mod ca și împărțirea numerelor întregi, iar resturile rezultate sunt convertite în fracții zecimale, din ce în ce mai mici; Împărțirea continuă până când restul este zero.
2. Împărțiți o zecimală la o zecimală.
1) Împărțiți 2,46 la 0,2.
Știm deja cum să împărțim o fracție zecimală la un număr întreg. Să ne gândim, este posibil să reducem acest nou caz de divizare la cel anterior? La un moment dat, am considerat proprietatea remarcabilă a unui coeficient, care constă în faptul că acesta rămâne neschimbat atunci când dividendul și divizorul cresc sau scad simultan de același număr de ori. Am putea împărți cu ușurință numerele date nouă dacă divizorul ar fi un număr întreg. Pentru a face acest lucru, este suficient să îl creșteți de 10 ori și pentru a obține coeficientul corect, este necesar să creșteți dividendul cu aceeași sumă, adică de 10 ori. Apoi împărțirea acestor numere va fi înlocuită cu împărțirea următoarelor numere:
În plus, nu va mai fi nevoie să se facă modificări la detalii.
Să facem această împărțire:
Deci 2,46: 0,2 = 12,3.
2) Împărțiți 1,25 la 1,6.
Creștem divizorul (1,6) de 10 ori; pentru ca coeficientul să nu se modifice, creștem dividendul de 10 ori; 12 numere întregi nu sunt divizibile cu 16, așa că scriem 0 în cât și împărțim 125 de zecimi la 16, obținem 7 zecimi în cât și restul 13. Împărțim 13 zecimi în sutimi atribuind zero și împărțim 130 de zecimi la 16, etc. Vă rugăm să rețineți următoarele:
a) când nu există numere întregi într-un anumit, atunci în locul lor se scriu numere întregi zero;
b) când, după adăugarea cifrei dividendului la rest, se obține un număr care nu este divizibil cu divizor, atunci se scrie zero în cât;
c) când, după eliminarea ultimei cifre a dividendului, împărțirea nu se încheie, atunci, adăugând zerouri la rest, împărțirea continuă;
d) dacă dividendul este un număr întreg, atunci când îl împărțim la o fracție zecimală, acesta se mărește prin adăugarea de zerouri.
Astfel, pentru a împărți un număr la o fracție zecimală, trebuie să renunțați la virgula din divizor și apoi să creșteți dividendul de atâtea ori cât a crescut divizorul atunci când aruncați virgula din el și apoi să efectuați împărțirea conform regulii. pentru împărțirea unei fracții zecimale la un număr întreg.
§ 112. Coeficienti aproximativi.
În paragraful anterior, ne-am uitat la împărțirea fracțiilor zecimale, iar în toate exemplele pe care le-am rezolvat împărțirea a fost finalizată, adică s-a obținut un coeficient exact. Cu toate acestea, în majoritatea cazurilor, un coeficient exact nu poate fi obținut, indiferent cât de departe continuăm împărțirea. Iată un astfel de caz: împărțiți 53 la 101.
Am primit deja cinci cifre în coeficient, dar împărțirea nu s-a încheiat încă și nu există nicio speranță că se va termina vreodată, deoarece în rest începem să avem numere care au fost deja întâlnite înainte. În coeficient se vor repeta și numerele: este evident că după numărul 7 va apărea numărul 5, apoi 2 etc. la nesfârșit. În astfel de cazuri, împărțirea este întreruptă și limitată la primele câteva cifre ale coeficientului. Acest coeficient se numeste cei apropiati. Vom arăta cu exemple cum se efectuează împărțirea.
Să fie necesar să se împartă 25 la 3. Evident, dintr-o astfel de împărțire nu se poate obține un coeficient exact, exprimat ca număr întreg sau fracție zecimală. Prin urmare, vom căuta un coeficient aproximativ:
25: 3 = 8 și restul 1
Coeficientul aproximativ este 8; este, desigur, mai mic decât câtul exact, deoarece există un rest 1. Pentru a obține câtul exact, trebuie să adăugați fracția care se obține prin împărțirea restului egal cu 1 la 3 la câtul aproximativ găsit, adică. , la 8; aceasta va fi o fracție 1/3. Aceasta înseamnă că câtul exact va fi exprimat ca un număr mixt 8 1/3. Deoarece 1/3 reprezintă fracția corectă, adică fracție, mai putin de unul, apoi, aruncând-o, vom permite eroare, care mai putin de unul. Coeficientul 8 va fi coeficientul aproximativ până la unitate cu un dezavantaj. Dacă în loc de 8 luăm 9 în coeficient, atunci vom permite și o eroare mai mică de unu, deoarece nu vom adăuga întreaga unitate, ci 2/3. Un astfel de testament privat coeficientul aproximativ la unul cu exces.
Să luăm acum un alt exemplu. Să presupunem că trebuie să împărțim 27 la 8. Deoarece aici nu vom obține un coeficient exact exprimat ca un număr întreg, vom căuta un coeficient aproximativ:
27: 8 = 3 și restul 3.
Aici eroarea este egală cu 3/8, este mai mică decât unu, ceea ce înseamnă că coeficientul aproximativ (3) a fost găsit corect pentru unul cu dezavantaj. Să continuăm împărțirea: împărțim restul de 3 în zecimi, obținem 30 de zecimi; împărțiți-le la 8.
Am primit 3 în coeficient în loc de zecimi și 6 zecimi în rest. Dacă ne limităm la numărul 3.3 și renunțăm la restul de 6, atunci vom permite o eroare mai mică de o zecime. De ce? Pentru că câtul exact s-ar obține atunci când am adăuga la 3,3 rezultatul împărțirii a 6 zecimi la 8; această împărțire ar da 6/80, care este mai puțin de o zecime. (Verifică!) Astfel, dacă în coeficient ne limităm la zecimi, atunci putem spune că am găsit coeficientul precisă cu o zecime(cu un dezavantaj).
Să continuăm împărțirea pentru a găsi o altă zecimală. Pentru a face acest lucru, împărțim 6 zecimi în sutimi și obținem 60 de sutimi; împărțiți-le la 8.
În coeficientul de pe locul trei s-a dovedit a fi 7, iar restul de 4 sutimi; dacă le aruncăm, vom permite o eroare mai mică de o sutime, deoarece 4 sutimi împărțite la 8 este mai mică de o sutime. În astfel de cazuri ei spun că a fost găsit coeficientul precisă la o sutime(cu un dezavantaj).
În exemplul pe care îl analizăm acum, putem obține câtul exact exprimat ca fracție zecimală. Pentru a face acest lucru, este suficient să împărțiți ultimul rest, 4 sutimi, în miimi și să împărțiți la 8.
Cu toate acestea, în marea majoritate a cazurilor este imposibil să se obțină un coeficient exact și trebuie să te limitezi la valorile lui aproximative. Ne vom uita acum la acest exemplu:
40: 7 = 5,71428571...
Punctele plasate la sfârșitul numărului indică faptul că împărțirea nu este finalizată, adică egalitatea este aproximativă. De obicei egalitatea aproximativă se scrie după cum urmează:
40: 7 = 5,71428571.
Am luat coeficientul cu opt zecimale. Dar dacă nu este necesară o precizie atât de mare, vă puteți limita doar la întreaga parte a coeficientului, adică numărul 5 (mai precis 6); pentru o mai mare acuratețe, s-ar putea lua în considerare zecimi și s-ar putea lua coeficientul egal cu 5,7; dacă din anumite motive această precizie este insuficientă, atunci vă puteți opri la sutimi și luați 5,71 etc. Să scriem coeficientii individuali și să le numim.
Primul coeficient aproximativ exact la unu 6.
A doua » » » la o zecime 5.7.
Al treilea » » » la o sutime 5.71.
Al patrulea » » » la o miime 5.714.
Astfel, pentru a găsi un coeficient aproximativ corect pentru unii, de exemplu, a treia zecimală (adică până la o miime), opriți împărțirea imediat ce acest semn este găsit. În acest caz, trebuie să vă amintiți regula stabilită la § 40.
§ 113. Cele mai simple probleme care implică procente.
După ce învățăm despre zecimale, vom face mai multe probleme de procente.
Aceste probleme sunt asemănătoare cu cele pe care le-am rezolvat în departamentul de fracții; dar acum vom scrie sutimile sub formă de fracții zecimale, adică fără un numitor desemnat în mod explicit.
În primul rând, trebuie să puteți trece cu ușurință de la o fracție obișnuită la o zecimală cu numitorul 100. Pentru a face acest lucru, trebuie să împărțiți numărătorul la numitor:
Tabelul de mai jos arată cum un număr cu un simbol % (procent) este înlocuit cu o fracție zecimală cu numitorul 100:
Să luăm acum în considerare câteva probleme.
1. Aflarea procentului unui număr dat.
Sarcina 1. Doar 1.600 de oameni trăiesc într-un sat. Numărul de copii varsta scolara reprezintă 25% din numărul total al locuitorilor. Câți copii de vârstă școlară sunt în acest sat?
În această problemă trebuie să găsiți 25%, sau 0,25, din 1 600. Problema este rezolvată prin înmulțirea:
1.600 0,25 = 400 (copii).
Prin urmare, 25% din 1.600 este 400.
Pentru a înțelege clar această sarcină, este util să reamintim că pentru fiecare sută de populație există 25 de copii de vârstă școlară. Prin urmare, pentru a afla numărul tuturor copiilor de vârstă școlară, puteți afla mai întâi câte sute sunt în numărul 1.600 (16), apoi înmulțiți 25 cu numărul sutelor (25 x 16 = 400). În acest fel puteți verifica validitatea soluției.
Sarcina 2. Băncile de economii oferă deponenților un randament de 2% anual. Cât de mult va primi un deponent într-un an dacă pune în casa de marcat: a) 200 de ruble? b) 500 de ruble? c) 750 de ruble? d) 1000 rub.?
În toate cele patru cazuri, pentru a rezolva problema, va trebui să calculați 0,02 din sumele indicate, adică fiecare dintre aceste numere va trebui înmulțit cu 0,02. Hai să o facem:
a) 200 0,02 = 4 (frecare),
b) 500 0,02 = 10 (frecare),
c) 750 0,02 = 15 (frecare),
d) 1.000 0,02 = 20 (frec.).
Fiecare dintre aceste cazuri poate fi verificat prin următoarele considerații. Băncile de economii oferă investitorilor 2% venit, adică 0,02 din suma depusă în economii. Dacă suma a fost de 100 de ruble, atunci 0,02 din aceasta ar fi 2 ruble. Aceasta înseamnă că fiecare sută aduce investitorului 2 ruble. sursa de venit. Prin urmare, în fiecare dintre cazurile luate în considerare, este suficient să ne dăm seama câte sute există într-un anumit număr și să înmulțiți 2 ruble cu acest număr de sute. În exemplul a) sunt 2 sute, ceea ce înseamnă
2 2 = 4 (frec.).
În exemplul d) sunt 10 sute, ceea ce înseamnă
2 10 = 20 (frec.).
2. Găsirea unui număr după procentajul său.
Sarcina 1.Școala a absolvit în primăvară 54 de elevi, reprezentând 6% din numărul total de înscrieri. Câți elevi au fost în școală anul trecut? an academic?
Să clarificăm mai întâi sensul acestei sarcini. Școala a absolvit 54 de elevi, adică 6% din numărul total de elevi sau, cu alte cuvinte, 6 sutimi (0,06) din totalul elevilor din școală. Aceasta înseamnă că știm partea elevilor exprimată prin numărul (54) și fracția (0,06), iar din această fracție trebuie să aflăm întregul număr. Astfel, avem în fața noastră o sarcină obișnuită de a găsi un număr din fracția sa (§90, paragraful 6). Problemele de acest tip sunt rezolvate prin împărțire:
Asta înseamnă că în școală erau doar 900 de elevi.
Este util să verificați astfel de probleme prin rezolvarea problemei inverse, adică după rezolvarea problemei, ar trebui, cel puțin în minte, să rezolvați o problemă de primul tip (găsirea procentului unui număr dat): luați numărul găsit ( 900) așa cum este dat și găsiți procentul din acesta indicat în problema rezolvată și anume:
900 0,06 = 54.
Sarcina 2. Familia cheltuiește 780 de ruble pe mâncare în timpul lunii, ceea ce reprezintă 65% din câștigurile lunare ale tatălui. Determinați-i venitul lunar.
Această sarcină are aceeași semnificație ca și cea anterioară. Oferă o parte din câștigurile lunare, exprimate în ruble (780 de ruble) și indică faptul că această parte reprezintă 65%, sau 0,65, din câștigurile totale. Și ceea ce cauți sunt toate câștigurile:
780: 0,65 = 1 200.
Prin urmare, venitul necesar este de 1200 de ruble.
3. Aflarea procentului de numere.
Sarcina 1.În biblioteca școlii sunt doar 6.000 de cărți. Printre acestea se numără 1.200 de cărți despre matematică. Ce procent din cărțile de matematică reprezintă numărul total de cărți din bibliotecă?
Am luat deja în considerare (§97) probleme de acest fel și am ajuns la concluzia că pentru a calcula procentul a două numere, trebuie să găsiți raportul acestor numere și să îl înmulțiți cu 100.
În problema noastră trebuie să găsim raportul procentual al numerelor 1.200 și 6.000.
Să găsim mai întâi raportul lor și apoi să îl înmulțim cu 100:
Astfel, procentul numerelor 1.200 și 6.000 este 20. Cu alte cuvinte, cărțile de matematică reprezintă 20% din numărul total al tuturor cărților.
Pentru a verifica, să rezolvăm problema inversă: găsiți 20% din 6.000:
6 000 0,2 = 1 200.
Sarcina 2. Uzina ar trebui să primească 200 de tone de cărbune. Au fost deja livrate 80 de tone Ce procent de cărbune a fost livrat fabricii?
Această problemă întreabă ce procent este un număr (80) față de altul (200). Raportul acestor numere va fi 80/200. Să o înmulțim cu 100:
Aceasta înseamnă că 40% din cărbune a fost livrat.
Mai devreme sau mai târziu, toți copiii de la școală încep să învețe fracțiile: adunarea, împărțirea, înmulțirea lor și toate operațiile posibile care pot fi efectuate cu fracțiile. Pentru a oferi asistență adecvată copilului, părinții înșiși nu ar trebui să uite cum să împartă numerele întregi în fracții, altfel nu îl vei putea ajuta în niciun fel, ci doar îl vei încurca. Dacă trebuie să vă amintiți această acțiune, dar pur și simplu nu puteți pune toate informațiile din cap într-o singură regulă, atunci acest articol vă va ajuta: veți învăța să împărțiți un număr la o fracție și să vedeți exemple clare.
Cum se împarte un număr într-o fracție
Scrieți exemplul ca o ciornă, astfel încât să puteți face note și ștergeri. Amintiți-vă că numărul întreg este scris între celule, chiar la intersecția lor, iar numerele fracționale sunt scrise fiecare în propria celulă.
- ÎN aceasta metoda trebuie să întoarceți fracția cu susul în jos, adică să scrieți numitorul în numărător și numărătorul în numitor.
- Semnul împărțirii trebuie schimbat în înmulțire.
- Acum tot ce trebuie să faci este să faci înmulțirea după regulile pe care le-ai învățat deja: numărătorul se înmulțește cu un număr întreg, dar nu atingi numitorul.
Desigur, ca urmare a unei astfel de acțiuni veți obține foarte număr mareîn numărător. Nu puteți lăsa o fracțiune în această stare - profesorul pur și simplu nu va accepta acest răspuns. Reduceți fracția împărțind numărătorul la numitor. Scrieți numărul întreg rezultat în stânga fracției din mijlocul celulelor, iar restul va fi noul numărător. Numitorul rămâne neschimbat.
Acest algoritm este destul de simplu, chiar și pentru un copil. După ce o parcurge de cinci sau șase ori, copilul își va aminti procedura și o va putea aplica oricăror fracții.
Cum se împarte un număr cu o zecimală
Există și alte tipuri de fracții - zecimale. Împărțirea în ele are loc conform unui algoritm complet diferit. Dacă întâlniți un astfel de exemplu, urmați instrucțiunile:
- Mai întâi, convertiți ambele numere în zecimale. Acest lucru este ușor de făcut: divizorul tău este deja reprezentat ca o fracție și separă numărul natural împărțit cu virgulă, obținând o fracție zecimală. Adică, dacă dividendul a fost 5, obțineți fracția 5,0. Trebuie să separați un număr cu atâtea cifre câte sunt după virgulă și divizor.
- După aceasta, trebuie să faceți ambele fracții zecimale numere naturale. Poate părea puțin confuz la început, dar este cel mai mult cale rapidă diviziune, care vă va lua câteva secunde după câteva antrenamente. Fracția 5.0 va deveni numărul 50, fracția 6.23 va deveni 623.
- Faceți împărțirea. Dacă numerele sunt mari sau împărțirea va avea loc cu un rest, faceți-o într-o coloană. În acest fel, puteți vedea clar toate acțiunile acestui exemplu. Nu trebuie să puneți o virgulă intenționat, deoarece va apărea singură în timpul procesului lung de împărțire.
Acest tip de împărțire pare inițial prea confuz, deoarece trebuie să transformați dividendul și divizorul într-o fracție și apoi înapoi în numere naturale. Dar, după o scurtă practică, veți începe imediat să vedeți acele numere pe care pur și simplu trebuie să le împărțiți între ele.
Amintiți-vă că abilitatea de a împărți corect fracțiile și numerele întregi după ele poate fi utilă de multe ori în viață, prin urmare, cunoașteți aceste reguli și principii simple copilul are nevoie în mod ideal pentru ca în clasele superioare să nu devină o piatră de poticnire, din cauza căreia copilul nu poate rezolva probleme mai complexe.
