Eksponentiškumas yra operacija, glaudžiai susijusi su daugyba; ši operacija yra pakartotinio skaičiaus dauginimo iš savęs rezultatas. Pavaizduokime jį formule: a1 * a2 * … * an = an.
Pavyzdžiui, a=2, n=3: 2*2*2=2^3 = 8 .
Apskritai, eksponencija dažnai naudojama įvairiose matematikos ir fizikos formulėse. Ši funkcija turi daugiau mokslinio tikslo nei keturios pagrindinės: sudėjimas, atimtis, daugyba, dalyba.
Skaičiaus pakėlimas į laipsnį
Skaičiaus pakėlimas į laipsnį nėra sudėtinga operacija. Jis susijęs su daugyba panašiai kaip ir tarp daugybos ir sudėties. Žymėjimas an yra trumpas n-ojo skaičių „a“ skaičius, padaugintas vienas iš kito.
Apsvarstykite eksponentiškumą naudodami paprasčiausius pavyzdžius, pereikite prie sudėtingų.
Pavyzdžiui, 42. 42 = 4 * 4 = 16. Keturi kvadratai (antrajai laipsniai) yra šešiolika. Jei nesuprantate daugybos 4 * 4, perskaitykite mūsų straipsnį apie daugybą.
Pažvelkime į kitą pavyzdį: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Penki kubeliai (iki trečios laipsnio) yra lygūs šimtui dvidešimt penkiems.
Kitas pavyzdys: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Devyni kubeliai yra septyni šimtai dvidešimt devyni.
Eksponentiškumo formulės
Norėdami teisingai padidinti iki galios, turite atsiminti ir žinoti toliau pateiktas formules. Čia nėra nieko ypatingo natūralaus, svarbiausia suprasti esmę ir tada jie ne tik įsimins, bet ir atrodys lengvi.
Monomo pakėlimas į laipsnį
Kas yra monomialas? Tai yra bet kokio kiekio skaičių ir kintamųjų sandauga. Pavyzdžiui, du yra monomialas. Ir šis straipsnis yra būtent apie tokių monomijų iškėlimą į galias.
Naudojant eksponencijos formules, nebus sunku apskaičiuoti monomio eksponenciją.
Pavyzdžiui, (3x^2y^3)^2= 3^2*x^2*2*y^(3*2) = 9x^4y^6; Jei pakeliate vienanarį laipsnį, tada kiekvienas monomio komponentas pakeliamas į laipsnį.
Pakeliant kintamąjį, kuris jau turi galią, galios padauginamos. Pavyzdžiui, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;
Pakėlimas į neigiamą galią
Neigiama galia yra skaičiaus atvirkštinė vertė. Koks yra abipusis skaičius? Bet kurio skaičiaus X atvirkštinė vertė yra 1/X. Tai yra, X-1 = 1/X. Tai yra neigiamo laipsnio esmė.
Apsvarstykite pavyzdį (3Y)^-3:
(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).
Kodėl taip? Kadangi laipsnyje yra minusas, šią išraišką tiesiog perkeliame į vardiklį, o tada padidiname iki trečiosios laipsnio. Paprasta ar ne?
Didinimas iki trupmeninės galios
Pradėkime nuo problemos nagrinėjimo konkrečiu pavyzdžiu. 43/2. Ką reiškia 3/2 laipsnis? 3 – skaitiklis, reiškia skaičiaus (šiuo atveju 4) pakėlimą į kubą. Skaičius 2 yra vardiklis; tai yra antrosios skaičiaus šaknies ištraukimas (šiuo atveju 4).
Tada gauname kvadratinę šaknį iš 43 = 2^3 = 8. Atsakymas: 8.
Taigi trupmeninės laipsnio vardiklis gali būti 3 arba 4 arba iki begalybės bet koks skaičius, ir šis skaičius nustato kvadratinės šaknies, paimtos iš nurodyto skaičiaus, laipsnį. Žinoma, vardiklis negali būti lygus nuliui.
Šaknies pakėlimas į galią
Jei šaknis pakelta iki laipsnio, lygaus pačios šaknies laipsniui, atsakymas bus radikali išraiška. Pavyzdžiui, (√x)2 = x. Ir todėl bet kuriuo atveju šaknies laipsnis ir šaknies pakėlimo laipsnis yra lygūs.
Jei (√x)^4. Tada (√x)^4=x^2. Norėdami patikrinti sprendimą, išraišką konvertuojame į išraišką su trupmenine galia. Kadangi šaknis kvadratas, tai vardiklis lygus 2. O jei šaknis pakelta į ketvirtą laipsnį, tai skaitiklis lygus 4. Gauname 4/2=2. Atsakymas: x = 2.
Bet kuriuo atveju geriausias variantas yra tiesiog konvertuoti išraišką į išraišką su trupmenine galia. Jei trupmena neatšaukiama, tai yra atsakymas, jei nurodyto skaičiaus šaknis nėra izoliuota.
Kompleksinio skaičiaus didinimas iki laipsnio
Kas yra kompleksinis skaičius? Kompleksinis skaičius yra išraiška, kurios formulė a + b * i; a, b yra realieji skaičiai. i yra skaičius, kurį patraukus kvadratu, gaunamas skaičius -1.
Pažiūrėkime į pavyzdį. (2 + 3i)^2.
(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.
Užsiregistruokite į kursą „Pagreitinti protinę aritmetiką, NE protinę aritmetiką“, kad išmoktumėte greitai ir teisingai sudėti, atimti, dauginti, padalyti, kvadratuoti skaičius ir net ištraukti šaknis. Per 30 dienų išmoksite naudotis paprastomis gudrybėmis, kad supaprastintumėte aritmetines operacijas. Kiekvienoje pamokoje pateikiamos naujos technikos, aiškūs pavyzdžiai ir naudingos užduotys.
Didinimas internete
Naudodamiesi mūsų skaičiuokle, galite apskaičiuoti skaičiaus didinimą iki laipsnio:
Didinimas 7 kl
Mokiniai pradeda kilti į valdžią tik septintoje klasėje.
Eksponentiškumas yra operacija, glaudžiai susijusi su daugyba; ši operacija yra pakartotinio skaičiaus dauginimo iš savęs rezultatas. Pavaizduokime jį formule: a1 * a2 * … * an=an.
Pavyzdžiui, a = 2, n = 3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.
Sprendimo pavyzdžiai:
Eksponentavimo pristatymas
Pristatymas apie kėlimą į galias, skirtas septintokams. Pristatymas gali paaiškinti kai kuriuos neaiškius dalykus, tačiau mūsų straipsnio dėka šie klausimai greičiausiai nebus išaiškinti.
Apatinė eilutė
Mes pažvelgėme tik į ledkalnio viršūnę, kad geriau suprastume matematiką – užsiregistruokite į mūsų kursą: Spartinanti mintinė aritmetika – NE mintinė aritmetika.
Kurso metu ne tik išmoksite dešimtis supaprastinto ir greito daugybos, sudėties, daugybos, dalybos, procentų skaičiavimo technikų, bet ir praktikuosite jas specialiose užduotyse ir lavinamuosiuose žaidimuose! Protinė aritmetika taip pat reikalauja daug dėmesio ir susikaupimo, kurie aktyviai lavinami sprendžiant įdomius uždavinius.
Sutrumpintos daugybos formulės arba taisyklės naudojamos aritmetikoje, tiksliau algebroje, siekiant pagreitinti didelių algebrinių išraiškų vertinimo procesą. Pačios formulės yra išvestos iš algebroje egzistuojančių kelių daugianarių dauginimo taisyklių.
Šių formulių naudojimas suteikia gana greitą įvairių matematinių problemų sprendimą, taip pat padeda supaprastinti išraiškas. Algebrinių transformacijų taisyklės leidžia atlikti kai kurias manipuliacijas su išraiškomis, kurias atlikus galite gauti kairėje lygybės pusėje esančią išraišką dešinėje arba transformuoti dešinę lygybės pusę (kad gautumėte išraišką kairėje pusėje po lygybės ženklo).
Sutrumpinto dauginimo formules patogu žinoti iš atminties, nes jos dažnai naudojamos sprendžiant uždavinius ir lygtis. Žemiau pateikiamos pagrindinės į šį sąrašą įtrauktos formulės ir jų pavadinimai.
Sumos kvadratas
Norėdami apskaičiuoti sumos kvadratą, turite rasti sumą, sudarytą iš pirmojo nario kvadrato, dvigubo pirmojo ir antrojo ir antrojo nario kvadrato. Išraiškos forma ši taisyklė parašyta taip: (a + c)² = a² + 2ac + c².
Skirtumas kvadratu
Norėdami apskaičiuoti skirtumo kvadratą, turite apskaičiuoti sumą, kurią sudaro pirmojo skaičiaus kvadratas, dvigubas pirmojo ir antrojo skaičiaus sandauga (paimtas su priešingu ženklu) ir antrojo skaičiaus kvadratas. Išraiškos forma ši taisyklė atrodo taip: (a - c)² = a² - 2ac + c².
Kvadratų skirtumas
Dviejų skaičių skirtumo kvadratu formulė yra lygi šių skaičių ir jų skirtumo sumos sandaugai. Išraiškos forma ši taisyklė atrodo taip: a² - с² = (a + с)·(a - с).
Sumos kubas
Norėdami apskaičiuoti dviejų narių sumos kubą, turite apskaičiuoti sumą, kurią sudaro pirmojo nario kubas, trigubai pirmojo ir antrojo nario kvadrato sandaugą, trigubą pirmojo ir antrojo nario sandaugą. kvadratu, o antrojo nario kubas. Išraiškos forma ši taisyklė atrodo taip: (a + c)³ = a³ + 3a²c + 3ac² + c³.
Kubų suma
Pagal formulę jis lygus šių narių sumos ir jų skirtumo nepilno kvadrato sandaugai. Išraiškos forma ši taisyklė atrodo taip: a³ + c³ = (a + c)·(a² - ac + c²).
Pavyzdys. Būtina apskaičiuoti figūros tūrį, suformuotą pridedant du kubus. Žinomi tik jų šonų dydžiai.
Jei šoninės vertės yra mažos, skaičiavimai yra paprasti.
Jei kraštinių ilgiai išreiškiami sudėtingais skaičiais, tokiu atveju lengviau naudoti formulę „Kubų suma“, kuri labai supaprastins skaičiavimus.
Skirtumo kubas
Kubinio skirtumo išraiška skamba taip: kaip pirmojo nario trečiosios laipsnio sumą, patrigubinkite pirmojo nario kvadrato neigiamą sandaugą iš antrojo, o pirmojo nario sandaugą patrigubinkite iš antrojo nario kvadrato. o antrojo nario neigiamasis kubas. Matematinės išraiškos pavidalu skirtumo kubas atrodo taip: (a - c)³ = a³ - 3a²c + 3ac² - c³.
Kubelių skirtumas
Kubų skirtumo formulė nuo kubų sumos skiriasi tik vienu ženklu. Taigi kubelių skirtumas yra formulė, lygi šių skaičių skirtumo ir jų nepilno sumos kvadrato sandaugai. Formoje kubelių skirtumas atrodo taip: a 3 - c 3 = (a - c)(a 2 + ac + c 2).
Pavyzdys. Būtina apskaičiuoti figūros tūrį, kuris liks iš mėlyno kubo tūrio atėmus geltoną tūrinę figūrą, kuri taip pat yra kubas. Žinomas tik mažo ir didelio kubo šonų dydis.
Jei šoninės vertės yra mažos, skaičiavimai yra gana paprasti. O jei kraštinių ilgiai išreiškiami reikšmingais skaičiais, tuomet verta taikyti formulę pavadinimu „Kubų skirtumas“ (arba „Skirtumo kubas“), kuri labai supaprastins skaičiavimus.
Sutrumpintos daugybos formulės. Treniruotės.
Pabandykite įvertinti šias išraiškas taip:
Atsakymai:
Arba, jei žinote pagrindinių dviženklių skaičių kvadratus, prisiminkite, kiek tai yra? Ar prisimeni? . Puiku! Kadangi mes kvadratuojame, turime padauginti iš. Paaiškėjo, kad.
Atminkite, kad sumos kvadratu ir skirtumo kvadratu formulės galioja ne tik skaitinėms išraiškoms:
Apskaičiuokite šias išraiškas patys:
Atsakymai:
Sutrumpintos daugybos formulės. Apatinė eilutė.
Šiek tiek apibendrinkime ir vienoje eilutėje surašykime sumos ir skirtumo kvadrato formules:
Dabar pabandykime „surinkti“ formulę iš išskaidyto rodinio į vaizdą. Šio įgūdžio mums prireiks vėliau konvertuojant dideles išraiškas.
Tarkime, kad turime tokią išraišką:
Žinome, kad sumos (arba skirtumo) kvadratas yra vieno skaičiaus kvadratas kito skaičiaus kvadratas Ir du kartus didesnė už šių skaičių sandaugą.
Šioje užduotyje nesunku įžvelgti vieno skaičiaus kvadratą – tai. Atitinkamai, vienas iš skaičių, įtrauktų į skliaustą, yra kvadratinė šaknis, tai yra
Kadangi antrajame termine yra, tai reiškia, kad tai yra dvigubas vieno ir kito skaičiaus sandauga:
Kur yra antrasis skaičius, įtrauktas į mūsų skliaustą.
Antrasis skaičius skliausteliuose yra lygus.
Patikrinkime. turėtų būti lygus. Iš tikrųjų taip yra, o tai reiškia, kad radome abu skaičius skliausteliuose: ir. Belieka nustatyti ženklą, kuris stovi tarp jų. Kaip manote, koks ženklas ten bus?
Teisingai! Kadangi mes papildyti Jei produktas padvigubinamas, tarp skaičių bus pridėjimo ženklas. Dabar užrašykite transformuotą išraišką. Ar susitvarkei? Turėtumėte gauti šiuos dalykus:
Pastaba: terminų vietų pakeitimas neturi įtakos rezultatui (nesvarbu, ar tarp ir yra sudėta, ar atimta).
Visiškai nebūtina, kad konvertuojamos išraiškos terminai būtų tokie, kaip parašyti formulėje. Pažvelkite į šią išraišką: . Pabandykite konvertuoti patys. Įvyko?
Praktika – transformuokite šias išraiškas:
Atsakymai: Ar susitvarkei? Pataisykime temą. Pasirinkite iš žemiau pateiktų išraiškų, kurios gali būti pavaizduotos kaip sumos arba skirtumo kvadratas.
- - įrodyti, kad jis yra lygiavertis.
- - negali būti pavaizduotas kaip kvadratas; galima įsivaizduoti, jei vietoj to būtų.
Kvadratų skirtumas
Kita sutrumpinta daugybos formulė yra kvadratų skirtumas.
Kvadratų skirtumas nėra skirtumo kvadratas!
Skirtumas tarp dviejų skaičių kvadratų yra lygus šių skaičių ir skirtumo sandaugai:
Patikrinkime, ar ši formulė teisinga. Norėdami tai padaryti, padauginkime, kaip tai padarėme išvesdami sumos ir skirtumo kvadrato formules:
Taigi mes ką tik patikrinome, ar formulė iš tikrųjų yra teisinga. Ši formulė taip pat supaprastina sudėtingas skaičiavimo operacijas. Štai pavyzdys:
Būtina apskaičiuoti: . Žinoma, galime paversti kvadratu, tada kvadratu ir atimti vieną iš kito, tačiau formulė mums palengvina:
Įvyko? Palyginkime rezultatus:
Kaip ir sumos kvadratas (skirtumas), kvadratų skirtumo formulė gali būti naudojama ne tik su skaičiais:
Žinodami, kaip apskaičiuoti kvadratų skirtumą, galime transformuoti sudėtingas matematines išraiškas.
Atkreipk dėmesį:
Kadangi išskaidę teisingos išraiškos skirtumą kvadratu, gauname
Būkite atsargūs ir pažiūrėkite, kuris konkretus terminas yra kvadratas! Norėdami konsoliduoti temą, pakeiskite šiuos posakius:
Ar užsirašėte? Palyginkime gautas išraiškas:
Dabar, kai įvaldėte sumos kvadratą ir skirtumo kvadratą, taip pat kvadratų skirtumą, pabandykime išspręsti šių trijų formulių derinio pavyzdžius.
Elementariųjų reiškinių konvertavimas (suma kvadratas, skirtumas kvadratas, kvadratų skirtumas)
Tarkime, mums pateikiamas pavyzdys
Šią išraišką reikia supaprastinti. Atidžiai pažiūrėkite, ką matote skaitiklyje? Teisingai, skaitiklis yra tobulas kvadratas:
Kai supaprastinate išraišką, atminkite, kad užuomina, kuria kryptimi eiti supaprastinant, yra vardiklyje (arba skaitiklyje). Mūsų atveju, kai vardiklis yra išplėstas ir daugiau nieko negalima padaryti, galime suprasti, kad skaitiklis bus arba sumos kvadratas, arba skirtumo kvadratas. Kadangi sudedame, tampa aišku, kad skaitiklis yra sumos kvadratas.
Pabandykite patys konvertuoti šias išraiškas:
Įvyko? Palyginkite atsakymus ir pirmyn!
Sumos kubas ir skirtumo kubas
Sumos kubo ir skirtumo kubo formulės išvedamos taip pat kaip sumos kvadratu Ir kvadratinis skirtumas: atidaromi skliaustai, kai terminai dauginami vienas iš kito.
Jei sumos kvadratą ir skirtumo kvadratą labai lengva prisiminti, tada kyla klausimas: „kaip atsiminti kubus?
Atidžiai peržiūrėkite dvi aprašytas formules, palyginkite su panašių terminų kvadratu:
Kokį modelį matote?
1. Kai pastatytas kvadratas mes turime kvadratas pirmą dieną ir kvadratas antrasis; pakėlus į kubą – taip kubas tas pats numeris ir kubas kitas numeris.
2. Kai pastatytas kvadratas, mes turime padvigubėjo skaičių sandauga (skaičiai, pakelti iki 1 laipsnio, kuris yra viena laipsniais mažesnis už tą, į kurį keliame išraišką); statybos metu kubas - patrigubėjo sandauga, kurioje vienas iš skaičių yra pakeltas kvadratu (kuris taip pat yra 1 laipsniu mažesnis už laipsnį, į kurį pakeliame išraišką).
3. Statant kvadratu, atviroje išraiškoje skliausteliuose esantis ženklas atsispindi pridedant (ar atimant) dvigubą sandaugą - jei skliaustuose yra pridėjimas, tai pridedame, jei yra atimtis, atimame; keliant kubą galioja tokia taisyklė: jei turime sumos kubą, tai visi ženklai yra „+“, o jei turime skirtumo kubą, tai ženklai pakaitomis: „ ” - „ ” - „ ” - “ “ .
Visa tai, kas išdėstyta aukščiau, išskyrus galių priklausomybę dauginant terminus, parodyta paveikslėlyje.
Praktikuosime? Atidarykite skliaustus šiose išraiškose:
Palyginkite gautas išraiškas:
Skirtumas ir kubelių suma
Pažiūrėkime į paskutinę formulių porą: skirtumas ir kubų suma.
Kaip prisimename, kvadratų skirtume šių skaičių skirtumą ir sumą padauginame vienas iš kito. Taip pat yra du kubelių skirtumo ir kubelių sumos skliaustai:
1 skliaustas - skaičių skirtumas (arba suma) iki pirmosios laipsnio (priklausomai nuo to, ar atskleidžiame skirtumą, ar kubelių sumą);
2 skliaustas yra nepilnas kvadratas (atidžiau pažiūrėkite: jei atimtume (arba pridėtume) dvigubą skaičių sandaugą, būtų kvadratas), ženklas dauginant skaičius yra priešingas pradinės išraiškos ženklui.
Norėdami sustiprinti temą, išspręskime kelis pavyzdžius:
Palyginkite gautas išraiškas:
Treniruotės
Atsakymai:
Apibendrinkime:
Yra 7 sutrumpintos daugybos formulės:
PAŽEIDĖJANTIS LYGIS
Sutrumpintos daugybos formulės – tai formulės, kurias žinant galima išvengti kai kurių standartinių veiksmų supaprastinant reiškinius ar faktorinuojant daugianarius. Sutrumpintas daugybos formules reikia žinoti mintinai!
- Sumos kvadratas dvi išraiškos yra lygios pirmosios išraiškos kvadratui ir dvigubai pirmosios išraiškos sandaugai, o antrosios ir antrosios išraiškos kvadratui:
- Skirtumas kvadratu dvi išraiškos yra lygios pirmosios išraiškos kvadratui, atėmus du kartus pirmosios išraiškos sandaugą, o antrąją plius antrosios išraiškos kvadratą:
- Kvadratų skirtumas dvi išraiškos yra lygios šių išraiškų ir jų sumos skirtumo sandaugai:
- Sumos kubas dvi išraiškos yra lygios pirmosios išraiškos kubui ir trigubai pirmosios išraiškos kvadrato sandaugai, o antrosios ir trigubos pirmosios išraiškos sandaugai ir antrosios išraiškos kvadratui plius antrosios išraiškos kubui:
- Skirtumo kubas dvi išraiškos yra lygios pirmosios išraiškos kubui, atėmus trigubą pirmosios išraiškos kvadrato sandaugą, o antrosios plius trigubą pirmosios išraiškos sandaugai ir antrosios išraiškos kvadratui atėmus antrosios išraiškos kubą:
- Kubų suma dvi išraiškos yra lygios pirmosios ir antrosios išraiškų sumos ir šių išraiškų skirtumo nepilno kvadrato sandaugai:
- Kubelių skirtumas dvi išraiškos yra lygios pirmosios ir antrosios išraiškų skirtumo sandaugai iš šių išraiškų sumos nepilno kvadrato:
Dabar įrodykime visas šias formules.
Sutrumpintos daugybos formulės. Įrodymas.
1. .
Išraiškos kvadratas reiškia padauginti ją iš savęs:
.
Atidarykime skliaustus ir pateiksime panašius:
2. .
Mes darome tą patį: padauginame skirtumą iš savęs, atidarome skliaustus ir pateikiame panašius:
.
3. .
Paimkime išraišką dešinėje ir atidarykite skliaustus:
.
4. .
Kubinis skaičius gali būti pavaizduotas kaip šis skaičius padaugintas iš jo kvadrato:
Taip pat:
Kubelių skirtume ženklai kaitaliojasi.
6. .
.
7. .
Atidarykime skliaustus dešinėje pusėje:
.
Sutrumpintų daugybos formulių naudojimas pavyzdžiams spręsti
1 pavyzdys:
Raskite posakių reikšmę:
Sprendimas:
- Naudojame sumos kvadrato formulę: .
- Įsivaizduokime šį skaičių kaip skirtumą ir panaudokime skirtumo kvadrato formulę: .
2 pavyzdys:
Raskite posakio reikšmę: .
Sprendimas:
Naudodami dviejų išraiškų kvadratų skirtumo formulę, gauname:
3 pavyzdys:
Supaprastinkite išraišką:
Sprendimas dviem būdais:
Naudokime formules: sumos kvadratas ir skirtumo kvadratas:
II metodas.
Naudokime dviejų išraiškų kvadratų skirtumo formulę:
DABAR Tavo Žodis...
Aš jums pasakiau viską, ką žinau apie sutrumpintas daugybos formules.
Pasakyk man dabar, ar naudosi juos? Jei ne, kodėl gi ne?
Ką manote apie šį straipsnį?
Galbūt turite klausimų. Arba pasiūlymų.
Rašyk komentaruose. Perskaitome visus komentarus ir į visus atsakome.
Ir sėkmės egzaminuose!
Ankstesnėje pamokoje nagrinėjome faktorizavimą. Įvaldėme du metodus: bendro faktoriaus išdavimą iš skliaustų ir grupavimą. Šioje pamokoje – šis galingas metodas: sutrumpintos daugybos formulės. Trumpai tariant – FSU.
Sutrumpintos daugybos formulės (sumos ir skirtumo kvadratas, sumos ir skirtumo kubas, kvadratų skirtumas, kubų suma ir skirtumas) itin reikalingos visose matematikos šakose. Jie naudojami supaprastinant išraiškas, sprendžiant lygtis, dauginant polinomus, mažinant trupmenas, sprendžiant integralus ir kt. ir taip toliau. Trumpai tariant, yra visos priežastys su jais kovoti. Supraskite, iš kur jie kilę, kodėl jie reikalingi, kaip juos atsiminti ir kaip juos pritaikyti.
Ar mes suprantame?)
Iš kur atsiranda sutrumpintos daugybos formulės?
6 ir 7 lygybės parašytos nelabai pažįstamai. Tai tarsi priešingai. Taip yra tyčia.) Bet kokia lygybė veikia ir iš kairės į dešinę, ir iš dešinės į kairę. Šis įrašas leidžia aiškiau suprasti, iš kur kilę FSU.
Jie paimti iš daugybos.) Pavyzdžiui:
(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2
Tai viskas, jokių mokslinių gudrybių. Mes tiesiog padauginame skliaustus ir pateikiame panašius. Taip išeina visos sutrumpintos daugybos formulės. Sutrumpintas dauginimas yra todėl, kad pačiose formulėse nėra skliaustų daugybos ir panašių redukavimo. Sutrumpintai.) Iš karto pateikiamas rezultatas.
FSU reikia žinoti mintinai. Be pirmųjų trijų negalite svajoti apie C; be likusių negalite svajoti apie B ar A.)
Kodėl mums reikalingos sutrumpintos daugybos formulės?
Yra dvi priežastys išmokti šias formules, net įsiminti jas. Pirma, paruoštas atsakymas automatiškai sumažina klaidų skaičių. Tačiau tai nėra pagrindinė priežastis. Bet antrasis...
Jei jums patinka ši svetainė...
Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)
Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokykimės – su susidomėjimu!)
Galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.
Sutrumpintos daugybos formulės.
Sutrumpintų daugybos formulių studijavimas: sumos kvadratas ir dviejų išraiškų skirtumo kvadratas; dviejų išraiškų kvadratų skirtumas; dviejų išraiškų sumos kubas ir skirtumo kubas; dviejų išraiškų kubų sumos ir skirtumai.
Sutrumpintų daugybos formulių taikymas sprendžiant pavyzdžius.
Norint supaprastinti išraiškas, dauginimo polinomus ir sumažinti daugianario į standartinę formą, naudojamos sutrumpintos daugybos formulės. Sutrumpintas daugybos formules reikia žinoti mintinai.
Tegu a, b R. Tada:
1. Dviejų išraiškų sumos kvadratas yra lygus pirmosios išraiškos kvadratas plius du kartus pirmosios išraiškos sandauga ir antroji plius antrosios išraiškos kvadratas.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2. Dviejų išraiškų skirtumo kvadratas yra lygus pirmosios išraiškos kvadratas atėmus du kartus pirmosios išraiškos sandaugą, o antroji plius antrosios išraiškos kvadratas.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
3. Kvadratų skirtumas dvi išraiškos yra lygios šių išraiškų ir jų sumos skirtumo sandaugai.
a 2 – b 2 = (a – b) (a+b)
4. Sumos kubas dvi išraiškos yra lygios pirmosios išraiškos kubui plius trigubai pirmosios išraiškos kvadrato sandaugai, o antrajai plius trigubai pirmosios išraiškos sandaugai ir antrosios išraiškos kvadratui plius antrosios išraiškos kubui.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. Skirtumo kubas dvi išraiškos yra lygios pirmosios išraiškos kubui, atėmus trigubą pirmosios išraiškos kvadrato sandaugą, o antrosios plius trigubą pirmosios išraiškos sandaugai ir antrosios išraiškos kvadratui atėmus antrosios išraiškos kubą.
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. Kubų suma dvi išraiškos yra lygios pirmosios ir antrosios išraiškų sumos ir šių išraiškų skirtumo nepilno kvadrato sandaugai.
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
7. Kubelių skirtumas dvi išraiškos yra lygios pirmosios ir antrosios išraiškų skirtumo sandaugai iš šių išraiškų sumos nepilno kvadrato.
a 3 – b 3 = (a – b) (a 2 + ab + b 2)
Sutrumpintų daugybos formulių taikymas sprendžiant pavyzdžius.
1 pavyzdys.
Apskaičiuoti
a) Naudodami dviejų išraiškų sumos kvadrato formulę, turime
(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
b) Naudodami dviejų išraiškų skirtumo kvadrato formulę, gauname
98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10 000 – 400 + 4 = 9604
2 pavyzdys.
Apskaičiuoti
Naudodami dviejų išraiškų kvadratų skirtumo formulę, gauname
3 pavyzdys.
Supaprastinkite išraišką
(x - y) 2 + (x + y) 2
Naudokime sumos kvadrato ir dviejų išraiškų skirtumo kvadrato formules
(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2
Sutrumpintos daugybos formulės vienoje lentelėje:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 – b 2 = (a – b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 – b 3 = (a – b) (a 2 + ab + b 2)
