짝수 및 홀수 함수 그래프에는 다음과 같은 특징이 있습니다.
함수가 짝수이면 해당 그래프는 세로 좌표를 기준으로 대칭입니다. 함수가 홀수이면 해당 그래프는 원점을 기준으로 대칭입니다.
예.함수 \(y=\left|x \right|\)의 그래프를 구성합니다.해결책.함수 \(f\left(x \right)=\left|x \right|\)를 고려하고 \(x \) 대신 반대쪽 \(-x \)를 대체합니다. 간단한 변환의 결과로 다음과 같은 결과를 얻습니다: $$f\left(-x \right)=\left|-x \right|=\left|x \right|=f\left(x \right)$$ 기타 즉, 인수를 반대 기호로 바꾸면 함수가 변경되지 않습니다.
이는 이 함수가 짝수이고 해당 그래프가 세로축(세로축)을 기준으로 대칭임을 의미합니다. 이 함수의 그래프는 왼쪽 그림과 같습니다. 즉, 그래프를 구성할 때 절반만 그릴 수 있고 두 번째 부분(세로 축의 왼쪽, 오른쪽 부분에 대칭으로 그려짐)만 그릴 수 있습니다. 그래프를 그리기 시작하기 전에 함수의 대칭성을 확인함으로써 함수를 구성하거나 연구하는 과정을 크게 단순화할 수 있습니다. 체크인이 어려운 경우 일반적인 견해, 더 간단하게 할 수 있습니다. 방정식에 다른 부호의 동일한 값을 대체하십시오. 예를 들어 -5와 5입니다. 함수 값이 동일하면 함수가 짝수이기를 바랄 수 있습니다. 수학적 관점에서 볼 때 이 접근 방식은 완전히 정확하지는 않지만 실제적인 관점에서는 편리합니다. 결과의 신뢰성을 높이려면 이러한 반대 값의 여러 쌍을 대체할 수 있습니다.
예.함수 \(y=x\left|x \right|\)의 그래프를 구성합니다.
해결책.이전 예제와 동일한 내용을 확인해 보겠습니다. $$f\left(-x \right)=x\left|-x \right|=-x\left|x \right|=-f\left(x \right ) $$ 이는 원래 함수가 홀수(함수의 부호가 반대로 바뀌었음)를 의미합니다.
결론: 함수는 원점을 기준으로 대칭입니다. 절반만 만들고 두 번째 절반은 대칭으로 그릴 수 있습니다. 이런 종류의 대칭은 그리기가 더 어렵습니다. 이는 시트의 반대쪽에서 차트를 보고 있다는 의미이며 심지어 거꾸로도 볼 수 있다는 의미입니다. 또는 이렇게 할 수도 있습니다. 그려진 부분을 가져와 원점을 중심으로 시계 반대 방향으로 180도 회전합니다.
예.함수 \(y=x^3+x^2\)의 그래프를 구성합니다.
해결책.이전 두 예제에서와 동일한 부호 변경 검사를 수행해 보겠습니다. $$f\left(-x \right)=\left(-x \right)^3+\left(-x \right)^2=-x^2+x^2$$ 결과적으로 우리는 다음을 얻습니다. 즉: $$f\left(-x \right)\not=f\left(x \right),f\left(-x \right)\not=-f\left(x \right)$$ 그리고 이것은 즉, 함수는 짝수도 홀수도 아닙니다.
결론: 함수는 좌표계의 원점이나 중심에 대해 대칭이 아닙니다. 이는 짝수 함수와 홀수 함수의 합이기 때문에 발생했습니다. 두 가지 다른 기능을 빼면 동일한 상황이 발생합니다. 그러나 곱셈이나 나눗셈은 다른 결과를 가져올 것입니다. 예를 들어, 짝수 함수와 홀수 함수의 곱은 홀수 함수를 생성합니다. 또는 두 개의 홀수의 몫은 짝수 함수로 이어집니다.
함수의 균등성과 기이함은 함수의 주요 속성 중 하나이며 패리티는 인상적인 부분을 차지합니다. 학교 과정수학. 이는 함수의 동작을 크게 결정하고 해당 그래프의 구성을 크게 촉진합니다.
함수의 패리티를 결정해 봅시다. 일반적으로 연구 대상 함수는 해당 정의 영역에 위치한 독립 변수(x)의 반대 값에 대해 해당 y(함수) 값이 동일한 것으로 판명되더라도 고려됩니다.
좀 더 엄격한 정의를 내려 보겠습니다. 도메인 D에 정의된 일부 함수 f(x)를 고려하십시오. 정의 도메인에 있는 임의의 점 x에 대해서도 마찬가지입니다.
- -x(반대 지점)도 이 범위에 속합니다.
- f(-x) = f(x).
위의 정의로부터 그러한 함수의 정의 영역에 필요한 조건, 즉 좌표의 원점인 점 O에 대한 대칭이 따릅니다. 왜냐하면 어떤 점 b가 짝수의 정의 영역에 포함되어 있기 때문입니다. 함수이면 해당 점 b도 이 영역에 있습니다. 따라서 위에서 결론은 다음과 같습니다. 짝수 함수는 세로축(Oy)을 기준으로 대칭 형태를 갖습니다.
실제로 함수의 패리티를 결정하는 방법은 무엇입니까?
h(x)=11^x+11^(-x) 공식을 사용하여 지정합니다. 정의에서 직접 이어지는 알고리즘에 따라 먼저 해당 정의 영역을 조사합니다. 당연히 인수의 모든 값에 대해 정의된다. 즉, 첫 번째 조건이 만족된다.
다음 단계는 인수(x)를 반대 값(-x)으로 대체하는 것입니다.
우리는 다음을 얻습니다:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
덧셈은 교환법칙을 만족하므로 h(-x) = h(x)이고 주어진 함수 의존성은 짝수임이 분명합니다.
함수 h(x)=11^x-11^(-x)의 패리티를 확인해 보겠습니다. 동일한 알고리즘에 따라 h(-x) = 11^(-x) -11^x를 얻습니다. 마이너스를 빼면 결국 우리는
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=-h(x). 따라서 h(x)는 홀수입니다.
그런데 이러한 기준에 따라 분류할 수 없는 함수가 있으며 짝수 또는 홀수라고 부르지 않는다는 점을 기억해야 합니다.
함수에도 여러 가지 흥미로운 속성이 있습니다.
- 유사한 기능을 추가한 결과 짝수를 얻습니다.
- 이러한 함수를 뺀 결과 짝수가 얻어집니다.
- 심지어, 또한 심지어;
- 두 개의 이러한 함수를 곱한 결과 짝수가 얻어집니다.
- 홀수 함수와 짝수 함수를 곱한 결과 홀수 함수가 얻어집니다.
- 홀수 함수와 짝수 함수를 나눈 결과 홀수 함수가 얻어집니다.
- 그러한 함수의 도함수는 홀수입니다.
- 홀수 함수를 제곱하면 짝수가 됩니다.
함수의 패리티를 사용하여 방정식을 풀 수 있습니다.
방정식의 왼쪽이 짝수 함수인 g(x) = 0과 같은 방정식을 풀려면 변수의 음수가 아닌 값에 대한 해를 찾는 것으로 충분합니다. 방정식의 결과 근은 반대 숫자와 결합되어야 합니다. 그 중 하나가 확인 대상입니다.
이는 매개변수와 관련된 비표준 문제를 해결하는 데에도 성공적으로 사용됩니다.
예를 들어, 방정식 2x^6-x^4-ax^2=1이 세 개의 근을 갖는 매개변수 a의 값이 있습니까?
변수가 방정식에 짝수 거듭제곱으로 입력된다는 점을 고려하면 x를 -x로 대체해도 주어진 방정식이 변경되지 않는다는 것이 분명합니다. 특정 숫자가 루트이면 반대 숫자도 루트입니다. 결론은 분명합니다. 0이 아닌 방정식의 근은 "쌍"의 솔루션 세트에 포함됩니다.
숫자 자체는 0이 아니라는 것이 분명합니다. 즉, 그러한 방정식의 근의 수는 짝수일 수 있으며 당연히 매개변수의 값에 대해 세 개의 근을 가질 수 없습니다.
그러나 방정식 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2의 근 수는 매개변수의 모든 값에 대해 홀수일 수 있습니다. 실제로, 이 방정식의 근 집합에 "쌍으로" 해가 포함되어 있는지 확인하는 것은 쉽습니다. 0이 루트인지 확인해 보겠습니다. 이를 방정식에 대입하면 2=2가 됩니다. 따라서 "쌍을 이룬" 것 외에도 0도 루트이므로 홀수임을 증명합니다.
변수 x에 대한 변수 y의 종속성을 함수라고 합니다. 여기서 x의 각 값은 y의 단일 값에 해당합니다. 지정을 위해 y=f(x) 표기법을 사용합니다. 각 함수에는 단조성, 패리티, 주기성 등과 같은 여러 가지 기본 속성이 있습니다.
패리티 속성을 자세히 살펴보세요.
함수 y=f(x)는 다음 두 조건을 만족하더라도 호출됩니다.
2. 함수 정의 영역에 속하는 x 지점의 함수 값은 -x 지점의 함수 값과 같아야 합니다. 즉, 임의의 점 x에 대해 함수 정의 영역에서 f(x) = f(-x)와 같은 등식이 충족되어야 합니다.
짝수 함수의 그래프
짝수 함수의 그래프를 그리면 Oy 축을 기준으로 대칭이 됩니다.
예를 들어, y=x^2 함수는 짝수입니다. 확인 해보자. 정의 영역은 전체 수치 축이며, 이는 점 O를 기준으로 대칭임을 의미합니다.
임의의 x=3을 가정해 보겠습니다. f(x)=3^2=9.
f(-x)=(-3)^2=9. 따라서 f(x) = f(-x)입니다. 따라서 두 조건이 모두 충족되므로 함수가 짝수임을 의미합니다. 아래는 y=x^2 함수의 그래프입니다.
그림은 그래프가 Oy 축을 기준으로 대칭임을 보여줍니다.
홀수 함수의 그래프
함수 y=f(x)는 다음 두 조건을 만족하는 경우 홀수라고 합니다.
1. 주어진 함수의 정의 영역은 점 O를 기준으로 대칭이어야 합니다. 즉, 어떤 점 a가 함수 정의 영역에 속하면 해당 점 -a도 정의 영역에 속해야 합니다. 주어진 기능의.
2. 임의의 점 x에 대해 함수 정의 영역에서 다음 동등성이 충족되어야 합니다: f(x) = -f(x).
홀수 함수의 그래프는 좌표의 원점인 O점을 기준으로 대칭입니다. 예를 들어, y=x^3 함수는 홀수입니다. 확인 해보자. 정의 영역은 전체 수치 축이며, 이는 점 O를 기준으로 대칭임을 의미합니다.
임의의 x=2를 생각해 봅시다. f(x)=2^3=8.
f(-x)=(-2)^3=-8. 따라서 f(x) = -f(x)입니다. 따라서 두 조건이 모두 충족되므로 함수가 홀수라는 의미입니다. 아래는 y=x^3 함수의 그래프입니다.
그림은 홀수 함수 y=x^3이 원점에 대해 대칭임을 명확하게 보여줍니다.
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주목! 슬라이드 미리보기는 정보 제공의 목적으로만 제공되며 프레젠테이션의 모든 기능을 나타내지 않을 수도 있습니다. 이 작품에 관심이 있으시면 정식 버전을 다운로드하시기 바랍니다.
목표:
- 함수의 패리티와 홀수 개념을 형성하고, 다음과 같은 경우 이러한 속성을 결정하고 사용하는 능력을 가르칩니다. 기능 연구, 플로팅;
- 학생들의 창의적인 활동을 개발하고, 논리적 사고, 비교, 일반화 능력;
- 열심히 일하고 수학적 문화를 배양합니다. 의사소통 능력을 키우다 .
장비:멀티미디어 설치, 대화형 화이트보드, 유인물.
업무 형태:검색 및 연구 활동의 요소를 갖춘 정면 및 그룹.
정보 출처:
1. 대수학 9학년 A.G. Mordkovich. 교과서.
2. 대수학 9학년 A.G. Mordkovich. 문제집.
3. 대수 9학년. 학생의 학습과 발전을 위한 과제. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.
수업 중
1. 조직적인 순간
수업의 목표와 목적을 설정합니다.
2. 숙제 확인
10.17 (9학년 문제집. A.G. Mordkovich).
ㅏ) ~에 = 에프(엑스), 에프(엑스) = 
비) 에프 (–2) = –3; 에프 (0) = –1; 에프(5) = 69;
다) 1. 디( 에프) = [– 2; + ∞)
2. 이자( 에프) = [– 3; + ∞)
3. 에프(엑스) = 0 엑스 ~ 0,4
4. 에프(엑스) >0 엑스 > 0,4 ; 에프(엑스)
< 0 при – 2 <
엑스 <
0,4.
5. 기능은 다음과 같이 증가합니다. 엑스 € [– 2; + ∞)
6. 아래부터는 기능이 제한됩니다.
7. ~에네임 = – 3, ~에나이브는 존재하지 않습니다
8. 기능은 연속적입니다.
(함수 탐색 알고리즘을 사용해 보셨나요?) 미끄러지 다.
2. 슬라이드에서 요청한 표를 확인해 보겠습니다.
| 테이블을 채우다 | |||||
도메인 |
기능 0 |
부호 일관성의 간격 |
Oy와 그래프의 교차점 좌표 | ||
 |
x = –5, |
x € (–5;3)U |
x € (–무한대;–5) 유 |
||
 |
x -5, |
x € (–5;3)U |
x € (–무한대;–5) 유 |
||
x ≠ –5, |
x € (–무한대; –5) 유 |
x € (–5; 2) |
|||
3. 지식 업데이트 중
– 기능이 제공됩니다.
– 각 기능에 대한 정의 범위를 지정합니다.
– 각 인수 값 쌍(1과 – 1)에 대해 각 함수의 값을 비교합니다. 2와 – 2.
– 정의 영역에서 이러한 기능 중 어느 것이 동등하게 유지됩니까? 에프(– 엑스)
= 에프(엑스), 에프(– 엑스) = – 에프(엑스)? (얻은 데이터를 테이블에 입력하십시오) 미끄러지 다
| 에프(1) 그리고 에프(– 1) | 에프(2) 그리고 에프(– 2) | 제도법 | 에프(– 엑스) = –에프(엑스) | 에프(– 엑스) = 에프(엑스) | ||
| 1. 에프(엑스) = | ||||||
| 2. 에프(엑스) = 엑스 3 | ||||||
| 3. 에프(엑스) = | 엑스 | | ||||||
| 4.에프(엑스) = 2엑스 – 3 | ||||||
| 5. 에프(엑스) = | 엑스 ≠ 0 |
|||||
| 6. 에프(엑스)= | 엑스 > –1 | 그리고 정의되지 않음 |
4. 신소재
– 여러분, 이 작업을 수행하는 동안 우리는 여러분에게 익숙하지 않지만 다른 것보다 덜 중요하지 않은 함수의 또 다른 속성을 확인했습니다. 이것이 바로 함수의 균등성과 기이함입니다. 수업의 주제인 "짝수 및 홀수 함수"를 적으십시오. 우리의 임무는 함수의 균등성과 홀수를 결정하는 방법을 배우고, 함수 연구 및 그래프 플롯에서 이 속성의 중요성을 알아내는 것입니다.
그럼 교과서에서 정의를 찾아 읽어보도록 하겠습니다(p. 110) . 미끄러지 다
데프. 1기능 ~에 = 에프 (엑스), 세트 X에 정의된 것을 호출합니다. 심지어, 값이 있는 경우 엑스Є X가 실행됩니다. 평등 f(–x)= f(x). 예를 들다.
데프. 2기능 y = f(x), 집합 X에 정의된 것을 호출합니다. 이상한, 값이 있는 경우 엑스Є X f(–х)= –f(х)가 성립합니다. 예를 들다.
"짝수"와 "홀수"라는 용어는 어디에서 만났습니까?
다음 중 어떤 함수가 짝수라고 생각하시나요? 왜? 어떤 것이 이상한가요? 왜?
양식의 모든 기능에 대해 ~에= xn, 어디 N– 정수, 다음과 같은 경우 함수가 홀수라고 주장할 수 있습니다. N– 홀수이고 함수가 짝수인 경우 N- 심지어.
– 보기 기능 ~에= 그리고 ~에 = 2엑스– 3은 짝수도 홀수도 아닙니다. 왜냐하면 평등이 만족되지 않는다 에프(– 엑스) = – 에프(엑스), 에프(–
엑스) = 에프(엑스)
함수가 짝수인지 홀수인지에 대한 연구를 함수의 패리티 연구라고 합니다.미끄러지 다
정의 1과 2에서 우리는 x와 – x에서의 함수 값에 대해 이야기하고 있었기 때문에 함수도 값에서 정의되었다고 가정합니다. 엑스, 그리고 – 엑스.
데프 3.숫자 집합이 각 요소 x와 함께 반대 요소 –x도 포함하는 경우 집합은 엑스대칭 집합이라고 합니다.
예:
(–2;2), [–5;5]; (무한대;무한대)는 대칭 집합이고, , [-5;4]는 비대칭 집합입니다.
– 기능에도 대칭 집합인 정의 영역이 있습니까? 이상한 것?
– 만약 D( 에프)은 비대칭 집합입니다. 그렇다면 기능은 무엇입니까?
– 따라서, 만약 그 기능이 ~에 = 에프(엑스) – 짝수 또는 홀수인 경우 정의 영역은 D( 에프)은 대칭 집합입니다. 반대 진술이 참입니까? 함수 정의 영역이 대칭 집합이면 짝수입니까 아니면 홀수입니까?
– 이는 정의 영역의 대칭 집합이 존재하는 것이 필요 조건이지만 충분 조건은 아니라는 것을 의미합니다.
– 그렇다면 패리티에 대한 함수를 어떻게 검사합니까? 알고리즘을 만들어 보겠습니다.
미끄러지 다
패리티 함수를 연구하기 위한 알고리즘
1. 함수 정의 영역이 대칭인지 확인합니다. 그렇지 않은 경우 함수는 짝수도 홀수도 아닙니다. 그렇다면 알고리즘의 2단계로 이동합니다.
2. 다음에 대한 표현식을 작성합니다. 에프(–엑스).
3. 비교 에프(–엑스).그리고 에프(엑스):
- 만약에 에프(–엑스).= 에프(엑스), 그러면 함수는 짝수입니다.
- 만약에 에프(–엑스).= – 에프(엑스), 그러면 함수는 홀수입니다.
- 만약에 에프(–엑스) ≠ 에프(엑스) 그리고 에프(–엑스) ≠ –에프(엑스), 함수는 짝수도 홀수도 아닙니다.
예:
함수 a)에서 패리티를 검사합니다. ~에= x 5 +; 비) ~에= ; V) ~에= .
해결책.
a) h(x) = x 5 +,
1) D(h) = (–무한대; 0) U (0; +무한대), 대칭 집합.
2) h (–x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),
3) h(– x) = – h(x) => 함수 시간(x)= x 5 + 홀수.
b) y =,
~에 = 에프(엑스), D(f) = (–무한대; –9)? (–9; +무한대), 비대칭 집합입니다. 이는 함수가 짝수도 홀수도 아님을 의미합니다.
V) 에프(엑스) = , y = f(x),
1) 디( 에프) = (–무한대; 3] ≠ ; b) (무한대; –2), (–4; 4]?
옵션 2
1. 주어진 집합은 대칭인가: a) [–2;2]; b) (무한대; 0], (0; 7) ?
ㅏ); b) y = x(5 – x 2).
a) y = x 2 (2x – x 3), b) y =
함수 그래프 ~에 = 에프(엑스), 만약에 ~에 = 에프(엑스)은 짝수 함수입니다.
함수 그래프 ~에 = 에프(엑스), 만약에 ~에 = 에프(엑스)은 이상한 기능입니다.
상호점검 미끄러지 다.
6. 숙제: №11.11, 11.21,11.22;
패리티 속성의 기하학적 의미를 증명합니다.
***(통합 상태 시험 옵션 할당).
1. 홀수 함수 y = f(x)는 전체 수직선에 정의됩니다. 변수 x의 음수가 아닌 값에 대해 이 함수의 값은 함수 g( 엑스) = 엑스(엑스 + 1)(엑스 + 3)(엑스– 7). 함수 h( 엑스) = ~에 엑스 = 3.
7. 요약
