짝수 함수와 홀수 함수가 그 예입니다. 기능 연구

심지어 기능.

심지어부호가 바뀌어도 부호가 바뀌지 않는 함수 엑스.

엑스평등이 유지된다 에프(–엑스) = 에프(엑스). 징후 엑스기호에 영향을 미치지 않습니다 와이.

짝수 함수의 그래프는 좌표축을 기준으로 대칭입니다(그림 1).

짝수 함수의 예:

와이=코사인 엑스

와이 = 엑스 2

와이 = –엑스 2

와이 = 엑스 4

와이 = 엑스 6

와이 = 엑스 2 + 엑스

설명:
기능을 살펴보자 와이 = 엑스 2 또는 와이 = –엑스 2 .
어떤 가치에도 엑스기능은 긍정적입니다. 징후 엑스기호에 영향을 미치지 않습니다 와이. 그래프는 좌표축을 기준으로 대칭입니다. 이것은 짝수 함수입니다.

이상한 기능.

이상한부호가 바뀌면 부호도 바뀌는 함수 엑스.

즉, 어떤 값에 대해서도 엑스평등이 유지된다 에프(–엑스) = –에프(엑스).

홀수 함수의 그래프는 원점을 기준으로 대칭입니다(그림 2).

홀수 함수의 예:

와이= 죄 엑스

와이 = 엑스 3

와이 = –엑스 3

설명:

함수 y = –를 살펴보겠습니다. 엑스 3 .
모든 의미 ~에빼기 기호가 표시됩니다. 그건 신호야 엑스기호에 영향을 준다 와이. 독립변수가 양수이면 함수는 양수이고, 독립변수가 음수이면 함수는 음수입니다. 에프(–엑스) = –에프(엑스).
함수의 그래프는 원점을 기준으로 대칭입니다. 이것 이상한 기능.

짝수 및 홀수 함수의 속성:

메모:

모든 함수가 짝수이거나 홀수인 것은 아닙니다. 이러한 그라데이션을 따르지 않는 기능이 있습니다. 예를 들어, 루트 함수 ~에 = √엑스짝수 또는 홀수 함수에는 적용되지 않습니다(그림 3). 그러한 함수의 속성을 나열할 때 짝수 또는 홀수라는 적절한 설명이 제공되어야 합니다.

주기적 기능.

아시다시피 주기성은 특정 프로세스가 특정 간격으로 반복되는 것입니다. 이러한 프로세스를 설명하는 함수를 호출합니다. 주기적인 함수. 즉, 그래프에 특정 수치 간격으로 반복되는 요소가 있는 함수입니다.

짝수 및 홀수 함수 그래프에는 다음과 같은 특징이 있습니다.

함수가 짝수이면 해당 그래프는 세로 좌표를 기준으로 대칭입니다. 함수가 홀수이면 해당 그래프는 원점을 기준으로 대칭입니다.

예.함수 $y=\left|x \right|$의 그래프를 구성합니다.

이는 이 함수가 짝수이고 해당 그래프가 세로축(세로축)을 기준으로 대칭임을 의미합니다. 이 함수의 그래프는 왼쪽 그림과 같습니다. 즉, 그래프를 구성할 때 절반만 그릴 수 있고 두 번째 부분(세로 축의 왼쪽, 오른쪽 부분에 대칭으로 그려짐)만 그릴 수 있습니다. 그래프를 그리기 시작하기 전에 함수의 대칭성을 확인함으로써 함수를 구성하거나 연구하는 과정을 크게 단순화할 수 있습니다. 일반적인 검사를 수행하기 어려운 경우 더 간단하게 수행할 수 있습니다. 방정식에 서로 다른 부호의 동일한 값을 대입하면 됩니다. 예를 들어 -5와 5입니다. 함수 값이 동일하면 함수가 짝수이기를 바랄 수 있습니다. 수학적 관점에서 볼 때 이 접근 방식은 완전히 정확하지는 않지만 실제적인 관점에서는 편리합니다. 결과의 신뢰성을 높이려면 이러한 반대 값의 여러 쌍을 대체할 수 있습니다.

예.함수 $y=x\left|x \right|$의 그래프를 구성합니다.

해결책.이전 예제와 동일한 내용을 확인해 보겠습니다. $$f\left(-x \right)=x\left|-x \right|=-x\left|x \right|=-f\left(x \right ) $$ 이는 원래 함수가 홀수(함수의 부호가 반대로 바뀌었음)를 의미합니다.

결론: 함수는 원점을 기준으로 대칭입니다. 절반만 만들고 두 번째 절반은 대칭으로 그릴 수 있습니다. 이런 종류의 대칭은 그리기가 더 어렵습니다. 이는 시트의 반대쪽에서 차트를 보고 있다는 의미이며 심지어 거꾸로도 볼 수 있다는 의미입니다. 또는 이렇게 할 수도 있습니다. 그려진 부분을 가져와 원점을 중심으로 시계 반대 방향으로 180도 회전합니다.

예.함수 $y=x^3+x^2$의 그래프를 구성합니다.

해결책.이전 두 예제에서와 동일한 부호 변경 검사를 수행해 보겠습니다. $$f\left(-x \right)=\left(-x \right)^3+\left(-x \right)^2=-x^2+x^2$$ 결과적으로 우리는 다음을 얻습니다. 즉: $$f\left(-x \right)\not=f\left(x \right),f\left(-x \right)\not=-f\left(x \right)$$ 그리고 이것은 즉, 함수는 짝수도 홀수도 아닙니다.

결론: 함수는 좌표계의 원점이나 중심에 대해 대칭이 아닙니다. 이는 짝수 함수와 홀수 함수의 합이기 때문에 발생했습니다. 두 가지 다른 기능을 빼면 동일한 상황이 발생합니다. 그러나 곱셈이나 나눗셈은 다른 결과를 가져올 것입니다. 예를 들어, 짝수 함수와 홀수 함수의 곱은 홀수 함수를 생성합니다. 또는 두 개의 홀수의 몫은 짝수 함수로 이어집니다.

기능 연구.

1) D(y) – 정의 영역: 변수 x의 모든 값의 집합입니다. 이에 대해 대수적 표현 f(x)와 g(x)가 의미가 있습니다.

함수가 공식으로 주어지면 정의 영역은 공식이 의미가 있는 독립 변수의 모든 값으로 구성됩니다.

2) 함수의 성질: 짝수/홀수, 주기성:

이상한그리고 심지어그래프가 인수 부호의 변화에 대해 대칭인 함수가 호출됩니다.

이상한 기능- 독립변수의 부호가 변할 때(좌표중심을 기준으로 대칭) 값을 반대로 바꾸는 함수.

균일한 기능- 독립변수의 부호가 바뀔 때(세로좌표에 대해 대칭) 그 값을 바꾸지 않는 함수.

짝수 또는 홀수 함수도 아님 (기능 일반적인 견해) - 대칭성이 없는 함수. 이 범주에는 이전 2개 범주에 속하지 않는 기능이 포함됩니다.

위의 범주에 속하지 않는 함수를 호출합니다. 짝수도 홀수도 아닌(또는 일반 기능).

이상한 기능

임의의 정수인 홀수 거듭제곱입니다.

심지어 기능

임의의 정수인 거듭제곱도 마찬가지입니다.

주기적인 기능- 일정한 인수 간격으로 값을 반복하는 함수, 즉 0이 아닌 고정된 숫자를 인수에 추가할 때 값을 변경하지 않는 함수( 기간기능) 전체 정의 영역에 걸쳐 있습니다.

3) 함수의 0(근)은 0이 되는 지점입니다.

그래프와 축의 교차점 찾기 아야. 이렇게 하려면 값을 계산해야 합니다. 에프(0). 그래프와 축의 교차점도 찾아보세요. 황소, 방정식의 근을 찾는 이유 에프(엑스) = 0(또는 루트가 없는지 확인).

그래프가 축과 교차하는 지점을 호출합니다. 함수 0. 함수의 영점을 찾으려면 방정식을 풀어야 합니다. 즉, "x"의 의미, 여기서 함수는 0이 됩니다.

4) 표시의 불변성 간격, 표시.

함수 f(x)가 부호를 유지하는 구간입니다.

부호의 불변성 간격은 간격입니다. 그 모든 지점에서그 기능은 양수이거나 음수이다.

x축 위.

차축 아래.

5) 연속성(불연속점, 불연속성의 성격, 점근선).

연속 함수- "점프"가 없는 함수, 즉 인수의 작은 변화가 함수 값의 작은 변화로 이어지는 함수입니다.

제거 가능한 중단점

기능의 한계인 경우 존재한다, 그러나 이 시점에서 함수가 정의되지 않았거나 한계가 이 시점에서 함수 값과 일치하지 않습니다.

그런 다음 포인트가 호출됩니다. 제거 가능한 중단점기능(복잡한 분석에서는 제거 가능한 특이점).

제거 가능한 불연속 지점에서 기능을 "수정"하고 , 그러면 주어진 지점에서 연속적인 함수를 얻습니다. 함수에 대한 이 작업을 호출합니다. 기능을 연속으로 확장또는 연속성에 의한 함수의 재정의, 이는 점의 이름을 점으로 정당화합니다. 이동할 수 있는파열.

1종과 2종의 불연속점

함수가 특정 지점에서 불연속성을 갖는 경우(즉, 특정 지점에서 함수의 극한이 없거나 특정 지점의 함수 값과 일치하지 않는 경우) 수치 함수에는 두 가지 가능한 옵션이 있습니다. 수치 함수의 존재와 관련된 일방적인 한계:

단측 극한이 모두 존재하고 유한한 경우 이러한 점을 호출합니다. 제1종 불연속점. 제거 가능한 불연속점은 첫 번째 종류의 불연속점입니다.

단측 극한 중 적어도 하나가 존재하지 않거나 유한 값이 아닌 경우 해당 점을 호출합니다. 제2종 불연속점.

점근선 - 똑바로, 이는 곡선의 한 점에서 이 점까지의 거리가 다음과 같은 속성을 가지고 있습니다. 똑바로점이 가지를 따라 무한대로 멀어짐에 따라 0이 되는 경향이 있습니다.

수직의

수직 점근선 - 한계선 .

일반적으로 수직 점근선을 결정할 때 한 개의 극한이 아니라 두 개의 일측 극한(왼쪽 및 오른쪽)을 찾습니다. 이는 함수가 다른 방향에서 수직 점근선에 접근할 때 어떻게 동작하는지 결정하기 위해 수행됩니다. 예를 들어:

수평의

수평 점근선 - 똑바로존재에 따라 달라지는 종 한계

경사

경사 점근선 - 똑바로존재에 따라 달라지는 종 제한

참고: 함수는 경사(수평) 점근선을 2개 이상 가질 수 없습니다.

참고: 위에서 언급한 두 극한 중 최소한 하나가 존재하지 않으면(또는 와 같으면) (또는 )에서의 경사 점근선은 존재하지 않습니다.

항목 2.)에 있는 경우 , 극한은 수평 점근선 공식을 사용하여 구합니다. .

6) 단조성 간격 찾기.함수의 단조성 간격 찾기 에프(엑스)(즉, 증가 및 감소 간격)입니다. 이는 도함수의 부호를 조사함으로써 수행됩니다. 에프(엑스). 이렇게하려면 파생 상품을 찾으십시오. 에프(엑스) 불평등을 해결 에프(엑스)0. 이 불평등이 유지되는 간격에서 함수는 에프(엑스)이 증가합니다. 역부등식이 성립하는 곳 에프(엑스)0, 기능 에프(엑스)이 감소하고 있다.

국지적 극점 찾기.단조성 간격을 찾으면 증가가 감소로 대체되는 국부적 극점, 국부적 최대점이 위치하고 감소가 증가로 대체되는 국부적 극점을 즉시 결정할 수 있습니다. 이 지점에서 함수의 값을 계산합니다. 함수에 국소 극점이 아닌 임계점이 있는 경우 이러한 지점에서도 함수 값을 계산하는 것이 유용합니다.

세그먼트에서 함수 y = f(x)의 최대값과 최소값 찾기(계속)

1. 함수의 도함수를 구합니다: 에프(엑스).

2. 도함수가 0이 되는 점을 찾습니다. 에프(엑스)=0엑스 1, 엑스 2 ,...

3. 포인트 소속 결정 엑스 1 ,엑스 2 , … 세그먼트 [ ㅏ; 비]: 허락하다 엑스 1ㅏ;비, ㅏ 엑스 2ㅏ;비 .

심지어, 정의 영역의 모든 $x$에 대해 다음이 참인 경우: $f(-x)=f(x)$ .

짝수 함수의 그래프는 $y$ 축을 기준으로 대칭입니다.

예: 함수 $f(x)=x^2+\cos x$는 짝수입니다. 왜냐하면 $f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)$.

$\blacktriangleright$ 함수 $f(x)$가 호출됩니다. 이상한, 정의 영역의 모든 $x$에 대해 다음이 참인 경우: $f(-x)=-f(x)$ .

홀수 함수의 그래프는 원점을 기준으로 대칭입니다.

예: 함수 $f(x)=x^3+x$는 홀수입니다. 왜냐하면 $f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)$.

$\blacktriangleright$ 짝수도 홀수도 아닌 함수를 일반형 함수라고 합니다. 이러한 함수는 항상 짝수 함수와 홀수 함수의 합으로 고유하게 표현될 수 있습니다.

예를 들어, 함수 $f(x)=x^2-x$는 짝수 함수 $f_1=x^2$와 홀수 $f_2=-x$의 합입니다.

$\blacktriangleright$ 일부 속성:

1) 동일한 패리티의 두 함수의 곱과 몫은 짝수 함수입니다.

2) 서로 다른 패리티의 두 함수의 곱과 몫은 홀수 함수입니다.

3) 짝수 함수의 합과 차 - 짝수 함수.

4) 홀수 함수의 합과 차 - 홀수 함수.

5) $f(x)$가 짝수 함수인 경우 방정식 $f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)$)은 $ x =0$ .

6) $f(x)$가 짝수 또는 홀수 함수이고 방정식 $f(x)=0$에 근 $x=b$이 있는 경우 이 방정식은 반드시 초를 갖습니다. 루트 $x =-b$ .

$\blacktriangleright$ 함수 $f(x)$는 어떤 숫자 $T\ne 0$에 대해 다음이 성립하는 경우 $X$에서 주기적이라고 합니다. $f(x)=f( x+T) $ , 여기서 $x, x+T\in X$ 입니다. 이 동등성이 충족되는 가장 작은 $T$를 함수의 주(주) 주기라고 합니다.

주기 함수는 $nT$ 형식의 임의 수를 가지며, 여기서 $n\in \mathbb(Z)$도 마침표가 됩니다.

예: 삼각함수는 주기적입니다.
$f(x)=\sin x$ 및 $f(x)=\cos x$ 함수의 경우 주 주기는 $2\pi$와 같습니다. 함수 $f(x)의 경우 )=\mathrm( tg)\,x$ 및 $f(x)=\mathrm(ctg)\,x$ 주 기간은 $\pi$ 와 같습니다.

주기 함수의 그래프를 구성하려면 $T$(주 주기) 길이의 세그먼트에 그래프를 그릴 수 있습니다. 그런 다음 구성된 부분을 정수 기간만큼 오른쪽과 왼쪽으로 이동하여 전체 함수의 그래프가 완성됩니다.

$\blacktriangleright$ 함수 $f(x)$의 도메인 $D(f)$는 함수가 의미가 있는 인수 $x$의 모든 값으로 구성된 집합입니다. (정의됨).

예: 함수 $f(x)=\sqrt x+1$에는 정의 영역이 있습니다: \(x\in

작업 1 #6364

작업 수준: 통합 상태 시험과 동일

매개변수 $a$의 어떤 값에서 방정식이 수행됩니까?

단일 솔루션이 있나요?

$x^2$ 와 $\cos x$ 는 짝수 함수이므로 방정식에 근 $x_0$ 이 있으면 근 $-x_0$ 도 갖게 됩니다.
실제로 $x_0$을 루트, 즉 등식으로 둡니다. $2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0$오른쪽. $-x_0$을 대체해 보겠습니다. $2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a ^2=0$.

따라서 $x_0\ne 0$ 인 경우 방정식에는 이미 두 개 이상의 근이 있습니다. 따라서 $x_0=0$ 입니다. 그 다음에:

$a$ 매개변수에 대해 두 개의 값을 받았습니다. $x=0$이 정확히 원래 방정식의 근이라는 사실을 사용했다는 점에 유의하세요. 그러나 우리는 그가 유일한 사람이라는 사실을 결코 이용하지 않았습니다. 따라서 매개변수 $a$의 결과 값을 원래 방정식에 대입하고 루트 $x=0$가 실제로 고유한 특정 $a$를 확인해야 합니다.

1) $a=0$ 인 경우 방정식은 $2x^2=0$ 형식을 취합니다. 분명히 이 방정식에는 단 하나의 근 $x=0$ 이 있습니다. 따라서 $a=0$ 값이 우리에게 적합합니다.

2) $a=-\mathrm(tg)\,1$ 이면 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다. \ 방정식을 다음 형식으로 다시 작성해 보겠습니다. \ 왜냐하면 $-1\leqslant \cos x\leqslant 1$, 저것 $-\mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1$. 결과적으로 방정식 (*)의 오른쪽 값은 세그먼트에 속합니다. $[-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]$.

$x^2\geqslant 0$ 이므로 방정식 (*)의 좌변은 $0+ \mathrm(tg)^2\,1$ 보다 크거나 같습니다.

따라서 등식(*)은 방정식의 양쪽이 $\mathrm(tg)^2\,1$ 과 같은 경우에만 참일 수 있습니다. 그리고 이것은 다음을 의미합니다 \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(케이스) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(케이스) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\]따라서 $a=-\mathrm(tg)\,1$ 값이 적합합니다.

답변:

$a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0$\)

작업 2 #3923

작업 수준: 통합 상태 시험과 동일

함수 그래프에 해당하는 매개변수 $a$의 모든 값을 찾습니다. \

원점에 대해 대칭입니다.

함수의 그래프가 원점을 기준으로 대칭인 경우 해당 함수는 홀수입니다. 즉, $f(-x)=-f(x)$는 도메인의 모든 $x$에 대해 유지됩니다. 함수의 정의. 따라서 $f(-x)=-f(x).$에 해당하는 매개변수 값을 찾아야 합니다.

\[\begin(정렬) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(정렬)\]

마지막 방정식은 $f(x)$ 도메인의 모든 $x$에 대해 충족되어야 하므로, $\sin(2\pi a)=0 \오른쪽 화살표 a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)$.

답변:

$\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)$

작업 3 #3069

작업 수준: 통합 상태 시험과 동일

$a$ 매개변수의 모든 값을 찾습니다. 각각에 대해 방정식 \에는 4개의 해가 있습니다. 여기서 $f$는 주기 $T=\dfrac(16)3$를 갖는 짝수 주기 함수입니다. 전체 수직선에 정의되고 $f(x)=ax^2$는 $0\leqslant x\leqslant \dfrac83.$

(구독자의 작업)

$f(x)$는 짝수 함수이므로 해당 그래프는 세로축을 기준으로 대칭입니다. $-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0$$f(x)=ax^2$ . 따라서 언제 $-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83$, 이는 길이 $\dfrac(16)3$ , 함수 $f(x)=ax^2$ 의 세그먼트입니다.

1) $a>0$ 이라고 하자. 그러면 $f(x)$ 함수의 그래프는 다음과 같습니다.

그런 다음 방정식이 4개의 해를 가지려면 그래프 $g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx$가 점 $A$를 통과해야 합니다.

따라서, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a\end(정렬됨)\end(수집됨)\right. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(aligned) \end( 모였습니다)\오른쪽.\]$a>0$ 이므로 $a=\dfrac(18)(23)$ 이 적합합니다.

2) $a<0$ . Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:

그래프 $g(x)$는 점 $B$를 통과해야 합니다. \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23 )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(정렬) \end(gathered)\right.\]$a 이후<0$ , то подходит $a=-\dfrac{18}{41}$ .

3) $a=0$이 적합하지 않은 경우, 모든 $x$ , $g(x)=2\sqrtx$에 대해 $f(x)=0$ 이후 방정식에는 루트가 1개만 있습니다.

답변:

$a\in \left\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\right$\)

작업 4 #3072

작업 수준: 통합 상태 시험과 동일

$a$ 의 모든 값을 찾습니다. 각각에 대해 방정식은 다음과 같습니다. \

적어도 하나의 루트가 있습니다.

(구독자의 작업)

방정식을 다음 형식으로 다시 작성해 보겠습니다. \ 그리고 두 가지 함수를 고려하십시오: $g(x)=7\sqrt(2x^2+49)$ 및 $f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ) .
함수 \(g(x)$는 짝수이고 최소점 $x=0$ (및 $g(0)=49$ )을 갖습니다.
$x>0$에 대한 함수 $f(x)$는 감소하고, $x)에 대해서는<0$ – возрастающей, следовательно, $x=0$ – точка максимума.
실제로 $x>0$ 두 번째 모듈이 긍정적으로 열리면($|x|=x$ ) 따라서 첫 번째 모듈이 어떻게 열리는지에 관계없이 $f(x)$는 동일합니다. $ kx+A$ 로 변환합니다. 여기서 $A$ 는 $a$ 의 표현식이고 $k$ 는 $-9$ 또는 $-3$ 과 같습니다. $x일 때<0$ наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и $f(x)=kx+A$ , где $k$ равно либо $3$ , либо $9$ .
최대점에서 $f$의 값을 찾아봅시다: \

방정식이 최소한 하나의 해를 가지려면 $f$ 및 $g$ 함수의 그래프에 최소한 하나의 교차점이 있어야 합니다. 따라서 다음이 필요합니다. \ \\]

답변:

$a\in \(-7$\cup\)

작업 5 #3912

작업 수준: 통합 상태 시험과 동일

방정식이 각각에 대해 매개변수 $a$의 모든 값을 찾습니다. \

6가지 솔루션이 있습니다.

$(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t$ , $t>0$ 을 교체해 보겠습니다. 그러면 방정식은 다음과 같은 형식을 취하게 됩니다. \ 우리는 원래 방정식이 6개의 해를 갖게 되는 조건을 점차적으로 작성해 나갈 것입니다.
2차 방정식 $(*)$에는 최대 2개의 해가 있을 수 있습니다. 모든 3차 방정식 $Ax^3+Bx^2+Cx+D=0$에는 최대 3개의 해가 있을 수 있습니다. 따라서 방정식 $(*)$에 두 개의 서로 다른 해($t$가 0보다 커야 하므로 양수!) $t_1$ 및 $t_2$가 있는 경우 그 반대를 수행합니다. 대체하면 다음과 같은 결과를 얻습니다. \[\left[\begin(gathered)\begin(aligned) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\end(정렬됨)\end(모임)\right.\]모든 양수는 어느 정도 $\sqrt2$로 표시될 수 있으므로 예를 들어 다음과 같습니다. $t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)$, 집합의 첫 번째 방정식은 다음 형식으로 다시 작성됩니다. \ 우리가 이미 말했듯이, 모든 삼차 방정식은 3개 이하의 해를 갖습니다. 따라서 세트의 각 방정식은 3개 이하의 해를 가집니다. 이는 전체 세트에 6개 이하의 솔루션이 있음을 의미합니다.
이는 원래 방정식에 6개의 해가 있어야 한다는 것을 의미합니다. 이차 방정식 $(*)$에는 두 개의 서로 다른 해가 있어야 하며, 각 결과 삼차 방정식(세트에서)은 세 개의 서로 다른 해를 가져야 합니다(단일 해가 아님). 하나의 방정식은 두 번째 결정에 따라 모든 방정식과 일치해야 합니다!)
분명히, 이차 방정식 $(*)$에 하나의 해가 있는 경우 원래 방정식에 대한 6개의 해를 얻지 못할 것입니다.

따라서 솔루션 계획이 명확해집니다. 반드시 충족해야 할 조건을 하나씩 적어보자.

1) 방정식 $(*)$에 두 개의 서로 다른 해가 있으려면 판별식이 양수여야 합니다. \

2) 또한 두 근이 모두 양수여야 합니다( $t>0$ 이므로). 두 근의 곱이 양수이고 그 합이 양수이면 근 자체는 양수가 됩니다. 따라서 다음이 필요합니다. \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]

따라서 우리는 이미 두 개의 서로 다른 양수 근 $t_1$ 및 $t_2$을 제공했습니다.

3) 이 방정식을 살펴보자 \ 어떤 $t$에 대해 세 가지 다른 솔루션이 있습니까?
$f(x)=x^3-3x^2+4$ 함수를 생각해 보세요.
인수분해할 수 있습니다: \ 따라서 0은 $x=-1;2$ 입니다.
도함수 $f"(x)=3x^2-6x$ 를 찾으면 두 개의 극점 $x_(max)=0, x_(min)=2$ 을 얻습니다.
따라서 그래프는 다음과 같습니다.

수평선 $y=k$ 을 볼 수 있습니다. 여기서 $0 \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2)t$세 가지 다른 솔루션이 있는 경우 $0<\log_ {\sqrt2}t<4$ .
따라서 다음이 필요합니다. \[\begin(사례) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] 또한 숫자 $t_1$과 $t_2$가 다른 경우 숫자 $\log_(\sqrt2)t_1$와 $\log_(\sqrt2)t_2$는 다음과 같습니다. 다르다는 것은 방정식을 의미합니다. $x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1$그리고 $x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2$뿌리가 다를 겁니다.
$(**)$ 시스템은 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다. \[\begin(사례) 1

따라서 우리는 방정식 $(*)$의 두 근이 모두 $(1;4)$ 구간에 있어야 한다고 결정했습니다. 이 조건을 어떻게 작성하나요?
우리는 뿌리를 명시적으로 기록하지 않을 것입니다.
$g(t)=t^2+(a-10)t+12-a$ 함수를 생각해 보세요. 그래프는 x축과 두 개의 교차점이 있는 위쪽 가지가 있는 포물선입니다(우리는 이 조건을 단락 1에 기록했습니다). x축과의 교차점이 $(1;4)$ 간격에 있도록 그래프는 어떤 모양이어야 합니까? 그래서:

첫째, 점 $1$과 $4$에서 함수의 값 $g(1)$ 및 $g(4)$는 양수여야 하며, 두 번째로 정점의 정점은 포물선 $t_0\ )도 간격 \((1;4)$ 내에 있어야 합니다. 따라서 우리는 시스템을 다음과 같이 작성할 수 있습니다. \[\begin(cases) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4$a$ 에는 항상 하나 이상의 루트 $x=0$ 이 있습니다. 이는 문제의 조건을 충족하려면 다음 방정식이 필요하다는 것을 의미합니다. \

0이 아닌 네 개의 서로 다른 근이 있으며 $x=0$과 함께 산술 수열을 나타냅니다.

$y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)$ 함수는 짝수입니다. 즉, $x_0$이 방정식의 근이면 $ (*)\ ) , \(-x_0$ 도 루트가 됩니다. 그렇다면 이 방정식의 근은 오름차순으로 정렬된 숫자여야 합니다: $-2d, -d, d, 2d$ (그런 다음 $d>0$). 그런 다음 이 5개의 숫자는 산술 수열을 형성합니다(차이 $d$ 포함).

이러한 근이 숫자 $-2d, -d, d, 2d$가 되려면 숫자 $d^(\,2), 4d^(\,2)$가 다음의 근이 되어야 합니다. 방정식 $25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0$ . 그런 다음 Vieta의 정리에 따르면:

방정식을 다음 형식으로 다시 작성해 보겠습니다. \ 그리고 두 가지 함수를 고려하십시오: $g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)$ 및 $f(x)=13|x|-2|5x+12a|$ .
함수 $g(x)$는 최대점 $x=0$을 갖습니다. $g_(\text(top))=g(0)=-a^2+20a-4$):
$g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x$. 영 도함수: $x=0$ . $x일 때<0$ имеем: $g">0$ , $x>0$의 경우 : $g"<0$ .
$x>0$에 대한 함수 $f(x)$는 증가하고 있으며 $x)에 대해서는<0$ – убывающей, следовательно, $x=0$ – точка минимума.
실제로 $x>0$ 첫 번째 모듈이 긍정적으로 열릴 때($|x|=x$), 따라서 두 번째 모듈이 어떻게 열리든 관계없이 $f(x)$는 동일합니다. $ kx+A$ 로 변환. 여기서 $A$는 $a$ 의 표현식이고 $k$는 $13-10=3$ 또는 $13+10)과 같습니다. =23$ . $x일 때<0$ наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и $f(x)=kx+A$ , где $k$ равно либо $-3$ , либо $-23$ .
최소점에서 $f$의 값을 찾아보겠습니다. \

방정식이 최소한 하나의 해를 가지려면 $f$ 및 $g$ 함수의 그래프에 최소한 하나의 교차점이 있어야 합니다. 따라서 다음이 필요합니다. \ 이 시스템 세트를 해결하면 다음과 같은 답을 얻을 수 있습니다. \\]

답변:

$a\in \(-2$\컵\)

임의의 경우 함수를 짝수(홀수)라고 합니다.

짝수 함수의 그래프는 축을 중심으로 대칭입니다.
.

홀수 함수의 그래프는 원점을 기준으로 대칭입니다.

예제 6.2.함수가 짝수인지 홀수인지 검사

1)
; 2)
; 3)
.

해결책.

1) 함수는 다음과 같이 정의됩니다.
. 우리는 찾을 것이다
.

저것들.
. 이는 이 함수가 짝수라는 것을 의미합니다.

2) 함수는 다음과 같이 정의됩니다.

저것들.
. 따라서 이 기능은 이상합니다.

3) 함수는 에 대해 정의됩니다. 즉, 을 위한

,
. 따라서 함수는 짝수도 홀수도 아닙니다. 이를 일반형의 함수라고 부르자.

3. 단조성에 대한 함수 연구.

기능
이 간격에서 인수의 더 큰 값이 함수의 더 큰(더 작은) 값에 해당하는 경우 특정 간격에서 증가(감소)라고 합니다.

특정 간격에 걸쳐 증가(감소)하는 함수를 단조 함수라고 합니다.

기능의 경우
간격으로 미분 가능
양수(음수) 파생 상품이 있습니다.
, 다음 기능
이 간격 동안 증가(감소)합니다.

예제 6.3. 함수의 단조성 간격 찾기

1)
; 3)
.

해결책.

1) 이 함수는 전체 수직선에 대해 정의됩니다. 파생어를 찾아보자.

미분은 다음과 같은 경우 0과 같습니다.
그리고
. 정의 영역은 점으로 나눈 숫자 축입니다.
,
간격을 두고. 각 구간에서 도함수의 부호를 결정해 보겠습니다.

간격에는
도함수가 음수이면 함수는 이 구간에서 감소합니다.

간격에는
도함수는 양수이므로 이 구간에 걸쳐 함수가 증가합니다.

2) 이 함수는 다음과 같이 정의됩니다.
또는

우리는 각 간격에서 이차 삼항식의 부호를 결정합니다.

따라서 함수 정의 영역은

파생상품을 찾아보자
,
, 만약에
, 즉.
, 하지만
. 간격에서 도함수의 부호를 결정합시다
.

간격에는
도함수는 음수이므로 함수는 구간에 따라 감소합니다.
. 간격에는
도함수가 양수이면 함수는 구간에 따라 증가합니다.
.

4. 극한에서의 기능 연구.

점
함수의 최대(최소) 지점이라고 합니다.
, 포인트 근처에 이런 동네가 있다면 그건 모두를 위한 거야
이 동네에는 불평등이 존재해요

.

함수의 최대점과 최소점을 극점이라고 합니다.

기능의 경우
그 시점에 극값이 있으면 이 지점에서 함수의 도함수는 0과 같거나 존재하지 않습니다(극값 존재에 필요한 조건).

도함수가 0이거나 존재하지 않는 지점을 임계점이라고 합니다.

5. 극값이 존재하기 위한 충분한 조건.

규칙 1. 임계점을 통과하는 전환(왼쪽에서 오른쪽으로) 중에 있는 경우 유도체
부호가 "+"에서 "-"로 변경된 다음 해당 지점에서 기능
최대값이 있습니다. "-"에서 "+"이면 최소값입니다. 만약에
부호가 바뀌지 않으면 극값이 없습니다.

규칙 2. 시점에서 하자
함수의 1차 도함수
0과 같음
, 그리고 이차 도함수는 존재하며 0과 다릅니다. 만약에
, 저것 – 최대 포인트, 경우
, 저것 - 함수의 최소점.

예 6.4 . 최대 및 최소 기능을 살펴보세요.

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

해결책.

1) 함수가 정의되고 간격에 따라 연속됩니다.
.

파생상품을 찾아보자
그리고 방정식을 풀어보세요
, 즉.
.여기에서
– 중요한 포인트.

간격에서 도함수의 부호를 결정합시다.
.

포인트를 통과할 때
그리고
따라서 규칙 1에 따라 도함수의 부호가 "-"에서 "+"로 변경됩니다.
– 최소 포인트.

한 지점을 통과할 때
도함수는 부호를 "+"에서 "-"로 변경하므로
– 최대 포인트.

,
.

2) 함수는 구간 내에서 정의되고 연속적입니다.
. 파생상품을 찾아보자
.

방정식을 풀면
, 우리는 찾을 것입니다
그리고
– 중요한 포인트. 분모가
, 즉.
이면 파생 상품이 존재하지 않습니다. 그래서,
– 세 번째 중요한 점. 간격으로 도함수의 부호를 결정합시다.

따라서 함수는 다음 지점에서 최소값을 가집니다.
, 최대 포인트
그리고
.

3) 다음과 같은 경우 함수가 정의되고 연속됩니다.
, 즉. ~에
.

파생상품을 찾아보자

중요한 점을 찾아봅시다:

포인트 주변
정의 영역에 속하지 않으므로 극한값이 아닙니다. 그럼 중요한 점을 살펴보겠습니다
그리고
.

4) 함수가 정의되고 간격에 따라 연속됩니다.
. 규칙 2를 사용해 보겠습니다. 도함수를 찾아보세요.
.

중요한 점을 찾아봅시다:

2차 도함수를 구해보자
그리고 그 점에서 그 부호를 결정한다.

포인트에서
함수에는 최소값이 있습니다.

포인트에서
함수에는 최대값이 있습니다.