적절한 분수. 분수 - 그게 뭐죠? 분수의 종류

적절한 분수

병사

온화. ㅏ그리고 비세 가지 관계 중 하나만 고유하게 식별할 수 있는 규칙이 있습니다.< », « >" 또는 " = ". 이 규칙은 주문 규칙는 다음과 같이 공식화됩니다: 음수가 아닌 두 개의 숫자는 두 개의 정수와 동일한 관계로 관련됩니다. 양수가 아닌 두 개의 숫자 ㅏ그리고 비음수가 아닌 두 개의 숫자와 동일한 관계로 관련되어 있으며 ; 만약 갑자기 ㅏ음수는 아니지만 비- 그럼 부정이네 ㅏ > 비. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
분수 더하기
추가 작업.임의의 유리수에 대해 ㅏ그리고 비소위가있다. 합산 규칙 씨. 게다가 숫자 자체도 씨~라고 불리는 양숫자 ㅏ그리고 비을 로 표시하고, 그러한 숫자를 찾는 과정을 이라고 한다. 요약. 합산 규칙의 형식은 다음과 같습니다. .
곱셈 연산.임의의 유리수에 대해 ㅏ그리고 비소위가있다. 곱셈 규칙, 이는 그들에게 유리수를 할당합니다. 씨. 게다가 숫자 자체도 씨~라고 불리는 일하다숫자 ㅏ그리고 비을 로 표시하며, 그러한 숫자를 찾는 과정을 이라고도 한다. 곱셈. 곱셈 규칙은 다음과 같습니다. .
순서 관계의 전이성.임의의 세 배의 유리수의 경우 ㅏ , 비그리고 씨만약에 ㅏ더 적은 비그리고 비더 적은 씨, 저것 ㅏ더 적은 씨, 그리고 만약 ㅏ같음 비그리고 비같음 씨, 저것 ㅏ같음 씨. 6435">덧셈의 교환성. 유리항의 위치를 변경해도 합계는 변경되지 않습니다.
덧셈의 결합 법칙.세 개의 유리수를 더하는 순서는 결과에 영향을 주지 않습니다.
0의 존재.더할 때 다른 모든 유리수를 유지하는 유리수 0이 있습니다.
반대 숫자의 존재.모든 유리수는 반대 유리수를 가지며, 이를 더하면 0이 됩니다.
곱셈의 교환성.합리적인 요소의 위치를 변경해도 제품이 변경되지는 않습니다.
곱셈의 연관성.세 개의 유리수를 곱하는 순서는 결과에 영향을 주지 않습니다.
단위의 가용성.곱할 때 다른 모든 유리수를 유지하는 유리수 1이 있습니다.
역수의 존재.모든 유리수는 역 유리수를 가지며, 이를 곱하면 1이 됩니다.
덧셈에 대한 곱셈의 분포.곱셈 연산은 분포 법칙을 통해 덧셈 연산과 조화됩니다.
덧셈 연산과 순서 관계의 연결.왼쪽과 오른쪽 부분에는 합리적 불평등동일한 유리수를 추가할 수 있습니다. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
아르키메데스의 공리.어떤 유리수라도 ㅏ, 당신은 그 합이 초과하는 너무 많은 단위를 취할 수 있습니다 ㅏ. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

추가 속성

유리수에 내재된 다른 모든 속성은 기본 속성으로 구별되지 않습니다. 왜냐하면 일반적으로 더 이상 정수의 속성에 직접적으로 기반을 두지 않고 주어진 기본 속성을 기반으로 하거나 일부 수학적 개체의 정의를 통해 직접 증명할 수 있기 때문입니다. . 그런 추가 속성너무 많아. 여기에 그 중 몇 가지만 나열하는 것이 합리적입니다.

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집합의 가산성

유리수의 번호 매기기

유리수의 수를 추정하려면 해당 집합의 카디널리티를 찾아야 합니다. 유리수 집합이 셀 수 있음을 증명하는 것은 쉽습니다. 이를 위해서는 유리수를 열거하는 알고리즘, 즉 유리수 집합과 자연수 집합 사이의 전단사를 설정하는 알고리즘을 제공하는 것으로 충분합니다.

이러한 알고리즘 중 가장 간단한 것은 다음과 같습니다. 일반 분수의 끝없는 표가 각각 컴파일됩니다. 나-각각의 번째 줄 제이분수가 위치한 번째 열입니다. 명확성을 위해 이 표의 행과 열은 1부터 번호가 매겨져 있다고 가정합니다. 테이블 셀은 로 표시됩니다. 여기서 나- 셀이 위치한 테이블 행의 번호 제이- 열 번호.

결과 테이블은 다음 형식 알고리즘에 따라 "스네이크"를 사용하여 탐색됩니다.

이러한 규칙은 위에서 아래로 검색되며 첫 번째 일치 항목을 기준으로 다음 위치가 선택됩니다.

이러한 순회 과정에서 각각의 새로운 유리수는 다른 유리수와 연관됩니다. 자연수. 즉, 분수 1/1은 숫자 1에 할당되고, 분수 2/1은 숫자 2에 할당되는 식입니다. 기약 분수에만 번호가 지정된다는 점에 유의해야 합니다. 환원 불가능성의 공식적 표시는 분수의 분자와 분모의 최대 공약수가 1과 같다는 것입니다.

이 알고리즘에 따라 모든 양의 유리수를 열거할 수 있습니다. 이는 양의 유리수 집합이 셀 수 있음을 의미합니다. 단순히 각 유리수에 반대되는 숫자를 할당함으로써 양수와 음수 유리수 세트 사이의 전단사를 확립하는 것은 쉽습니다. 저것. 음의 유리수 집합도 셀 수 있습니다. 그들의 합집합은 또한 셀 수 있는 집합의 속성으로 셀 수 있습니다. 유리수 집합은 셀 수 있는 집합과 유한 집합의 합집합으로도 셀 수 있습니다.

유리수 집합의 가산 가능성에 대한 설명은 언뜻 보면 자연수 집합보다 훨씬 더 광범위한 것처럼 보이기 때문에 약간의 혼란을 야기할 수 있습니다. 사실, 이것은 그렇지 않으며 모든 합리적인 숫자를 열거하기에 충분한 자연수가 있습니다.

유리수의 부족

이러한 삼각형의 빗변은 어떤 식으로든 표현할 수 없습니다. 유리수

1 / 형식의 유리수 N전체적으로 N임의로 소량을 측정할 수 있습니다. 이 사실은 유리수를 사용하여 기하학적 거리를 측정할 수 있다는 잘못된 인상을 줍니다. 이것이 사실이 아니라는 것을 보여주는 것은 쉽습니다.

피타고라스 정리를 통해 우리는 직각삼각형의 빗변이 다리의 제곱합의 제곱근으로 표현된다는 것을 알고 있습니다. 저것. 단위변이 있는 이등변 직각삼각형의 빗변의 길이는 와 같습니다. 즉, 제곱이 2인 수입니다.

숫자가 어떤 유리수로 표현될 수 있다고 가정하면 그러한 정수가 있습니다. 중그리고 그런 자연수 N, that , 그리고 분수는 기약입니다. 즉, 숫자 중그리고 N- 상호 간단합니다.

그렇다면 , 즉. 중 2 = 2N 2. 그러므로 수는 중 2는 짝수이지만 두 개의 홀수의 곱은 홀수입니다. 즉, 숫자 자체가 중그것도. 그러므로 자연수가 존재한다. 케이, 숫자는 중형태로 표현될 수 있다 중 = 2케이. 숫자 제곱 중이런 의미에서 중 2 = 4케이 2, 하지만 반면에 중 2 = 2N 2는 4를 의미합니다. 케이 2 = 2N 2 또는 N 2 = 2케이 2. 앞서 번호에 대해 설명했듯이 중, 이는 숫자를 의미합니다. N- 심지어 중. 그러나 둘 다 이등분되기 때문에 상대적으로 소수가 아닙니다. 결과적인 모순은 그것이 유리수가 아니라는 것을 증명합니다.

간단한 수학적 규칙과 기술은 지속적으로 사용하지 않으면 가장 빨리 잊혀집니다. 용어는 훨씬 더 빨리 기억에서 사라집니다.

이들 중 하나 간단한 행동– 변신은 아니다 적절한 분수올바른 것으로, 즉 혼합으로.

가분수

가분수는 분자(선 위의 숫자)가 분모(선 아래의 숫자)보다 크거나 같은 분수입니다. 이 분수는 분수를 더하거나 분수에 정수를 곱하여 얻습니다. 수학의 법칙에 따르면, 그러한 분수는 적절한 분수로 변환되어야 합니다.

적절한 분수

다른 모든 분수를 적절한 것으로 가정하는 것이 논리적입니다. 엄격한 정의는 분자가 분모보다 작은 분수를 진분수라고 합니다. 정수 부분을 갖는 분수를 대분수라고도 합니다.

가분수를 가분수로 변환하기

첫 번째 경우: 분자와 분모가 서로 같습니다. 그러한 분수를 변환한 결과는 1입니다. 3/3이든 125125든 상관없습니다. 본질적으로 이러한 분수는 숫자 자체를 나누는 동작을 나타냅니다.

두 번째 경우: 분자가 분모보다 큽니다. 여기서 숫자를 나머지로 나누는 방법을 기억해야 합니다.
이렇게 하려면 나머지 없이 분모로 나눌 수 있는 분자 값에 가장 가까운 숫자를 찾아야 합니다. 예를 들어 분수 19/3이 있습니다. 3으로 나눌 수 있는 가장 가까운 숫자는 18입니다. 6개입니다. 이제 분자에서 결과 숫자를 뺍니다. 우리는 하나를 얻습니다. 이것이 나머지입니다. 변환 결과를 기록하십시오: 전체 6개와 1/3.

하지만 분수를 다음으로 줄이기 전에 올바른 종류, 단축이 가능한지 확인이 필요합니다.
분자와 분모에 공통인수가 있으면 분수를 줄일 수 있습니다. 즉, 둘 다 나머지 없이 나눌 수 있는 숫자입니다. 그러한 약수가 여러 개인 경우 가장 큰 약수를 찾아야 합니다.
예를 들어, 모든 짝수에는 2라는 공통 약수가 있습니다. 그리고 16/12 분수에는 공약수가 하나 더 있는데, 바로 4입니다. 이것이 가장 큰 약수입니다. 분자와 분모를 4로 나눕니다. 감소 결과: 4/3. 이제 연습삼아 이 분수를 진분수로 변환해 보세요.

분수수학에서 단위의 하나 이상의 부분(분수)으로 구성된 숫자. 분수는 유리수 분야의 일부입니다. 분수는 작성 방식에 따라 2가지 형식으로 나뉩니다. 평범한유형과 소수 .

분수의 분자- 취득한 주식 수를 나타내는 숫자(분수 상단 - 선 위) 분수 분모- 단위가 분할된 공유 수를 나타내는 숫자입니다(라인 아래 - 하단에 있음). , 차례로 다음과 같이 나뉩니다. 옳은그리고 잘못된, 혼합된그리고 합성물측정 단위와 밀접한 관련이 있습니다. 1미터는 100cm를 포함하며, 이는 1m가 100개의 동일한 부분으로 나누어진다는 의미입니다. 따라서 1cm = 1/100m(1cm는 1/100m와 같습니다)입니다.

또는 3/5(3/5), 여기서 3은 분자이고 5는 분모입니다. 분자가 분모보다 작으면 분수는 1보다 작으며 다음과 같이 불립니다. 옳은:

분자가 분모와 같으면 분수는 1과 같습니다. 분자가 분모보다 크면 분수는 1보다 큽니다. 마지막 두 경우 모두 분수가 호출됩니다. 잘못된:

가분수에 포함된 가장 큰 정수를 분리하려면 분자를 분모로 나눕니다. 나머지 없이 나누기를 수행하면 가분수는 몫과 같습니다.

나머지를 사용하여 나누기를 수행하면 (불완전한) 몫이 원하는 정수를 제공하고 나머지는 분수 부분의 분자가 됩니다. 분수 부분의 분모는 동일하게 유지됩니다.

정수와 분수 부분을 포함하는 숫자를 호출합니다. 혼합된. 분수 대분수아마도 가분수. 그런 다음 분수 부분에서 가장 큰 정수를 선택하고 다음과 같은 방식으로 대분수를 나타낼 수 있습니다. 분수고유한 분수가 되었습니다(또는 완전히 사라졌습니다).

공통 분수는 \textit(진수) 분수와 \textit(가수) 분수로 나뉩니다. 이 나눗셈은 분자와 분모의 비교를 기반으로 합니다.

고유 분수

적절한 분수분자가 분모보다 작은 일반 분수 $\frac(m)(n)$가 호출됩니다. $m

실시예 1

예를 들어, 분수 $\frac(1)(3)$, $\frac(9)(123)$, $\frac(77)(78)$, $\frac(378567)(456298)$는 정확합니다. , 그래서 각각의 분자가 분모보다 작은 이유는 고유 분수의 정의를 충족하는 것입니다.

분수를 1과 비교하는 것을 기반으로 하는 고유 분수에 대한 정의가 있습니다.

옳은, 1보다 작은 경우:

실시예 2

예를 들어, 공분수 $\frac(6)(13)$는 다음과 같은 이유로 적절합니다. $\frac(6)(13) 조건이 충족됩니다.

가분수

가분수분자가 분모보다 크거나 같은 일반 분수 $\frac(m)(n)$가 호출됩니다. $m\gen$.

실시예 3

예를 들어, 분수 $\frac(5)(5)$, $\frac(24)(3)$, $\frac(567)(113)$, $\frac(100001)(100000)$은 불규칙합니다. , 그래서 각각에서 어떻게 분자가 분모보다 크거나 같으며, 이는 가분수의 정의를 충족합니다.

1과의 비교를 기반으로 가분수를 정의해 보겠습니다.

공분수 $\frac(m)(n)$는 다음과 같습니다. 잘못된, 1보다 크거나 같은 경우:

\[\frac(m)(n)\ge 1\]

실시예 4

예를 들어, 공분수 $\frac(21)(4)$는 다음과 같이 부적절합니다. $\frac(21)(4) >1$ 조건이 충족됩니다.

공분수 $\frac(8)(8)$는 부적절합니다. 왜냐하면 $\frac(8)(8)=1$ 조건이 충족됩니다.

가분수의 개념을 자세히 살펴보겠습니다.

가분수 $\frac(7)(7)$를 예로 들어보겠습니다. 이 분수의 의미는 물건의 7몫을 가져와 7등분으로 나누는 것입니다. 따라서 사용 가능한 7개의 공유로 전체 개체를 구성할 수 있습니다. 저것들. 가분수 $\frac(7)(7)$는 전체 객체를 설명하고 $\frac(7)(7)=1$을 나타냅니다. 따라서 분자와 분모가 동일한 가분수는 하나의 전체 개체를 설명하며 이러한 분수는 자연수 $1$로 대체될 수 있습니다.

$\frac(5)(2)$ -- 이 5초 부분에서 $2$ 전체 개체를 구성할 수 있다는 것은 매우 분명합니다(하나의 전체 개체는 $2$ 부분으로 구성되며 두 개의 전체 개체를 구성하려면 $2+2=4$ 공유가 필요함) 1초 공유가 남습니다. 즉, 가분수 $\frac(5)(2)$는 객체의 $2$와 이 객체의 몫을 $\frac(1)(2)$를 나타냅니다.

$\frac(21)(7)$ -- 21/7 부분에서 $3$ 전체 개체를 만들 수 있습니다(각각 $7$ 공유가 있는 $3$ 개체). 저것들. 분수 $\frac(21)(7)$는 $3$ 전체 개체를 나타냅니다.

고려된 예에서 다음과 같은 결론을 도출할 수 있습니다. 분자가 분모로 나누어지면 가분수는 자연수로 대체될 수 있습니다(예: $\frac(7)(7)=1$ 및 $\frac (21)(7)=3$) , 또는 분자가 분모로 완전히 나누어지지 않는 경우 자연수와 고유 분수의 합(예: $\ \frac(5)(2)=2+ \frac(1)(2)$). 이것이 바로 그러한 분수가 호출되는 이유입니다. 잘못된.

정의 1

가분수를 자연수와 진분수(예: $\frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$)의 합으로 표현하는 과정을 다음과 같이 부릅니다. 전체 부분을 가분수에서 분리하기.

가분수로 작업할 때 가분수와 대분수 사이에는 밀접한 관계가 있습니다.

가분수는 종종 대분수(정수와 분수 부분으로 구성된 숫자)로 표시됩니다.

가분수를 대분수로 쓰려면 분자를 분모로 나누어 나머지를 구해야 합니다. 몫은 대분수의 정수 부분이 되고 나머지는 분수 부분의 분자가 되며 제수는 분수 부분의 분모가 됩니다.

실시예 5

가분수 $\frac(37)(12)$를 대분수로 쓰세요.

해결책.

나머지를 사용하여 분자를 분모로 나눕니다.

\[\frac(37)(12)=37:12=3\ (나머지\ 1)\] \[\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)\]

답변.$\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)$.

대분수를 가분수로 쓰려면, 분모에 숫자의 전체 부분을 곱하고, 결과 곱에 분수 부분의 분자를 더한 다음, 결과 금액을 분수의 분자에 써야 합니다. 가분수의 분모는 대분수의 분수 부분의 분모와 같습니다.

실시예 6

대분수 $5\frac(3)(7)$를 가분수로 쓰세요.

해결책.

답변.$5\frac(3)(7)=\frac(38)(7)$.

대분수와 적절한 분수의 덧셈

대분수 덧셈$a\frac(b)(c)$ 그리고 적절한 분수$\frac(d)(e)$는 주어진 분수에 주어진 대분수의 분수 부분을 더함으로써 수행됩니다:

실시예 7

진분수 $\frac(4)(15)$와 대분수 $3\frac(2)(5)$를 더합니다.

해결책.

대분수와 진분수를 더하는 공식을 사용해 봅시다:

\[\frac(4)(15)+3\frac(2)(5)=3+\left(\frac(2)(5)+\frac(4)(15)\right)=3+\ 왼쪽(\frac(2\cdot 3)(5\cdot 3)+\frac(4)(15)\right)=3+\frac(6+4)(15)=3+\frac(10)( 15)\]

\textit(5)라는 숫자로 나누면 $\frac(10)(15)$이 약분된다는 것을 알 수 있습니다. 축소를 수행하고 추가 결과를 찾아보겠습니다.

따라서 진분수 $\frac(4)(15)$와 대분수 $3\frac(2)(5)$를 더한 결과는 $3\frac(2)(3)$입니다.

답변:$3\frac(2)(3)$

대분수와 가분수 더하기

가분수와 대분수 더하기두 개의 대분수를 더하는 것으로 줄어들며, 이는 가분수로부터 전체 부분을 분리하는 것으로 충분합니다.

실시예 8

대분수 $6\frac(2)(15)$와 가분수 $\frac(13)(5)$의 합을 계산합니다.

해결책.

먼저, 가분수 $\frac(13)(5)$에서 전체 부분을 추출해 보겠습니다.

답변:$8\frac(11)(15)$.

가분수

병사

온화. ㅏ그리고 비세 가지 관계 중 하나만 고유하게 식별할 수 있는 규칙이 있습니다.< », « >" 또는 " = ". 이 규칙은 주문 규칙는 다음과 같이 공식화됩니다: 음수가 아닌 두 개의 숫자는 두 개의 정수와 동일한 관계로 관련됩니다. 양수가 아닌 두 개의 숫자 ㅏ그리고 비음수가 아닌 두 개의 숫자와 동일한 관계로 관련되어 있으며 ; 만약 갑자기 ㅏ음수는 아니지만 비- 그럼 부정이네 ㅏ > 비. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
분수 더하기
추가 작업.임의의 유리수에 대해 ㅏ그리고 비소위가있다. 합산 규칙 씨. 게다가 숫자 자체도 씨~라고 불리는 양숫자 ㅏ그리고 비을 로 표시하고, 그러한 숫자를 찾는 과정을 이라고 한다. 요약. 합산 규칙의 형식은 다음과 같습니다. .
곱셈 연산.임의의 유리수에 대해 ㅏ그리고 비소위가있다. 곱셈 규칙, 이는 그들에게 유리수를 할당합니다. 씨. 게다가 숫자 자체도 씨~라고 불리는 일하다숫자 ㅏ그리고 비을 로 표시하며, 그러한 숫자를 찾는 과정을 이라고도 한다. 곱셈. 곱셈 규칙은 다음과 같습니다. .
순서 관계의 전이성.임의의 세 배의 유리수의 경우 ㅏ , 비그리고 씨만약에 ㅏ더 적은 비그리고 비더 적은 씨, 저것 ㅏ더 적은 씨, 그리고 만약 ㅏ같음 비그리고 비같음 씨, 저것 ㅏ같음 씨. 6435">덧셈의 교환성. 유리항의 위치를 변경해도 합계는 변경되지 않습니다.
덧셈의 결합 법칙.세 개의 유리수를 더하는 순서는 결과에 영향을 주지 않습니다.
0의 존재.더할 때 다른 모든 유리수를 유지하는 유리수 0이 있습니다.
반대 숫자의 존재.모든 유리수는 반대 유리수를 가지며, 이를 더하면 0이 됩니다.
곱셈의 교환성.합리적인 요소의 위치를 변경해도 제품이 변경되지는 않습니다.
곱셈의 연관성.세 개의 유리수를 곱하는 순서는 결과에 영향을 주지 않습니다.
단위의 가용성.곱할 때 다른 모든 유리수를 유지하는 유리수 1이 있습니다.
역수의 존재.모든 유리수는 역 유리수를 가지며, 이를 곱하면 1이 됩니다.
덧셈에 대한 곱셈의 분포.곱셈 연산은 분포 법칙을 통해 덧셈 연산과 조화됩니다.
덧셈 연산과 순서 관계의 연결.유리수 부등식의 왼쪽과 오른쪽에 동일한 유리수를 더할 수 있습니다. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
아르키메데스의 공리.어떤 유리수라도 ㅏ, 당신은 그 합이 초과하는 너무 많은 단위를 취할 수 있습니다 ㅏ. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

추가 속성

유리수에 내재된 다른 모든 속성은 기본 속성으로 구별되지 않습니다. 왜냐하면 일반적으로 더 이상 정수의 속성에 직접적으로 기반을 두지 않고 주어진 기본 속성을 기반으로 하거나 일부 수학적 개체의 정의를 통해 직접 증명할 수 있기 때문입니다. . 이러한 추가 속성이 많이 있습니다. 여기에 그 중 몇 가지만 나열하는 것이 합리적입니다.

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집합의 가산성

유리수의 번호 매기기

결과 테이블은 다음 형식 알고리즘에 따라 "스네이크"를 사용하여 탐색됩니다.

이러한 규칙은 위에서 아래로 검색되며 첫 번째 일치 항목을 기준으로 다음 위치가 선택됩니다.

이러한 순회 과정에서 각각의 새로운 유리수는 다른 자연수와 연관됩니다. 즉, 분수 1/1은 숫자 1에 할당되고, 분수 2/1은 숫자 2에 할당되는 식입니다. 기약 분수에만 번호가 지정된다는 점에 유의해야 합니다. 환원 불가능성의 공식적 표시는 분수의 분자와 분모의 최대 공약수가 1과 같다는 것입니다.

유리수의 부족

이러한 삼각형의 빗변은 유리수로 표현될 수 없습니다.