고등 수학을 공부하는 학생들은 우리에게 주어진 계열의 수렴 간격에 속하는 특정 거듭제곱 계열의 합이 연속적이고 무제한의 미분 함수로 판명된다는 것을 알아야 합니다. 질문이 생깁니다: 주어진 임의 함수 f(x)가 특정 거듭제곱의 합이라고 말할 수 있습니까? 즉, 어떤 조건에서 함수 f(x)가 멱급수로 표현될 수 있나요? 이 질문의 중요성은 함수 f(x)를 멱급수의 처음 몇 항의 합, 즉 다항식으로 대략적으로 대체할 수 있다는 사실에 있습니다. 함수를 다소 간단한 표현식(다항식)으로 대체하는 것은 특정 문제를 해결할 때, 즉 적분을 풀 때, 계산할 때 등에도 편리합니다.
특정 함수 f(x)에 대해 (α - R; x 0 + R 부근에서 마지막 차수를 포함하여 (n+1)차까지 도함수를 계산할 수 있음이 입증되었습니다. ) 어떤 점 x = α, 공식은 다음과 같습니다.
이 공식은 유명한 과학자 Brooke Taylor의 이름을 따서 명명되었습니다. 이전 시리즈에서 얻은 시리즈를 Maclaurin 시리즈라고 합니다.
매클로린 급수에서 전개를 수행하는 것을 가능하게 하는 규칙:
- 첫 번째, 두 번째, 세 번째... 차수의 도함수를 결정합니다.
- x=0에서 도함수가 무엇인지 계산합니다.
- 이 함수에 대한 매클로린 급수를 기록한 다음 수렴 간격을 결정합니다.
- Maclaurin 공식의 나머지 부분이 되는 구간(-R;R)을 결정합니다.
R n (x) -> n -> 무한대에서 0입니다. 존재하는 경우 함수 f(x)는 매클로린 급수의 합과 일치해야 합니다.
이제 개별 기능에 대한 Maclaurin 급수를 고려해 보겠습니다.
1. 따라서 첫 번째 것은 f(x) = e x가 됩니다. 물론, 그 특성상 이러한 함수는 매우 다른 차수의 도함수를 가지며, f (k) (x) = e x , 여기서 k는 모두와 같습니다. x = 0을 대체합니다. 우리는 f (k) (0) = e 0 =1, k = 1,2... 위의 내용을 기반으로 시리즈 e x는 다음과 같습니다.
2. 함수 f(x) = sin x에 대한 매클로린 급수. 모든 미지수에 대한 함수는 도함수를 가지며, 또한 f "(x) = cos x = sin(x+n/2), f "" (x) = -sin x = sin(x + 2*n/2)..., f (k) (x) = sin(x+k*n/2), 여기서 k는 임의의 자연수와 같습니다. 즉, 간단한 계산을 한 후 다음을 얻을 수 있습니다. f(x) = sin x에 대한 급수는 다음과 같다는 결론:
3. 이제 f(x) = cos x 함수를 고려해 보겠습니다. 모든 미지수에 대해 임의 차수의 도함수를 가지며 |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:
그래서 우리는 Maclaurin 급수에서 확장할 수 있는 가장 중요한 함수를 나열했지만 일부 함수는 Taylor 급수로 보완됩니다. 이제 우리는 그것들을 나열할 것입니다. Taylor와 Maclaurin 시리즈는 고등 수학에서 시리즈를 해결하는 실제 작업의 중요한 부분이라는 점도 주목할 가치가 있습니다. 그래서 테일러 시리즈.
1. 첫 번째는 함수 f(x) = ln(1+x)에 대한 계열입니다. 이전 예에서와 같이 주어진 f(x) = ln(1+x)에 대해 Maclaurin 급수의 일반 형식을 사용하여 급수를 추가할 수 있습니다. 그러나 이 기능의 경우 Maclaurin 급수는 훨씬 더 간단하게 얻을 수 있습니다. 특정 기하 급수를 적분하면 해당 샘플의 f(x) = ln(1+x)에 대한 급수를 얻습니다.
2. 그리고 우리 기사의 마지막 부분이 될 두 번째는 f(x) = arctan x에 대한 계열이 될 것입니다. 간격 [-1;1]에 속하는 x의 경우 확장이 유효합니다.
그게 다야. 이 기사에서는 고등 수학, 특히 경제 및 기술 대학에서 가장 많이 사용되는 Taylor 및 Maclaurin 시리즈를 조사했습니다.
함수 계열 이론에서 중심 위치는 함수를 계열로 확장하는 데 사용되는 섹션이 차지합니다.
따라서 작업은 다음과 같이 설정됩니다. 주어진 기능에 대해 우리는 그러한 멱급수를 찾아야 합니다
이는 특정 간격으로 수렴되었으며 그 합은 다음과 같습니다. 
,
저것들.
=
..
이 작업은 함수를 멱급수로 확장하는 문제.
멱급수에서 함수를 분해하기 위한 필요 조건무한한 횟수의 미분 가능성입니다. 이는 수렴 거듭제곱의 속성에서 따릅니다. 이 조건은 원칙적으로 정의 영역의 기본 기능에 대해 충족됩니다.
그럼 함수가 다음과 같다고 가정해 봅시다. 
어떤 순서의 파생물도 있습니다. 멱급수로 확장하는 것이 가능합니까? 그렇다면 이 계열을 어떻게 찾을 수 있습니까? 문제의 두 번째 부분은 해결하기가 더 쉽기 때문에 시작해 보겠습니다.
함수가 다음과 같다고 가정해보자. 
점을 포함하는 구간에 수렴하는 거듭제곱 계열의 합으로 표현될 수 있습니다. 엑스 0 :
=
..
(*)
어디 ㅏ 0 ,ㅏ 1 ,ㅏ 2 ,...,ㅏ 피 ,... – (아직) 알려지지 않은 계수.
값을 동등(*)으로 입력해 보겠습니다. x = x 0 , 그럼 우리는 얻을
.
멱급수(*) 항을 항별로 구별해 보겠습니다.
=
..
그리고 여기를 믿으세요 x = x 0 , 우리는 얻는다
.
다음 차별화를 통해 우리는 시리즈를 얻습니다.
=
..
믿는 x = x 0 ,
우리는 얻는다 
, 어디 
.
후에 피- 우리가 얻는 다중 미분
마지막 평등을 가정하면 x = x 0 ,
우리는 얻는다 
, 어디
따라서 계수가 발견됩니다.
,
,
,
…,
,….,
어느 것을 시리즈(*)로 대체하면, 우리는 다음을 얻습니다.
결과 시리즈는 다음과 같습니다. 테일러 옆에
기능을 위해
.
따라서 우리는 다음을 확인했습니다. 함수가 거듭제곱(x - x)으로 확장될 수 있는 경우 0 ), 이 확장은 고유하며 결과 계열은 필연적으로 Taylor 계열입니다.
테일러 급수는 점에서 임의 차수의 도함수를 갖는 모든 함수에 대해 얻을 수 있습니다. x = x 0 . 그러나 이것이 함수와 결과 계열 사이에 등호를 배치할 수 있다는 의미는 아닙니다. 급수의 합은 원래 함수와 같습니다. 첫째, 그러한 등식은 수렴 영역에서만 의미가 있을 수 있으며, 함수에 대해 얻은 Taylor 시리즈는 발산할 수 있으며, 둘째, Taylor 시리즈가 수렴하면 그 합이 원래 함수와 일치하지 않을 수 있습니다.
3.2. 테일러 급수에서 함수의 분해성을 위한 충분한 조건
문제를 해결하는 데 도움이 되는 성명서를 작성해 보겠습니다.
기능의 경우
x 지점 근처에서 0 최대 파생 상품이 있습니다 (N+
1) 순서를 포함하면 이 동네에는공식
테일러
어디아르 자형 N (엑스)-테일러 공식의 나머지 항은 다음과 같은 형식을 갖습니다(라그랑주 형식).
어디 점ξ x와 x 사이에 위치 0 .
Taylor 급수와 Taylor 공식 사이에는 차이가 있습니다. Taylor 공식은 유한합입니다. 피 -정족수.
시리즈의 합을 기억하세요. 에스(엑스) 부분합의 함수 수열의 극한으로 정의될 수 있습니다. 에스 피 (엑스) 어느 정도 간격으로 엑스:
.
이에 따르면, 함수를 테일러 급수로 확장한다는 것은 어떤 함수에 대해서도 다음과 같은 급수를 찾는 것을 의미합니다. 엑스엑스
Taylor의 공식을 다음과 같은 형식으로 작성해 보겠습니다.
그것을주의해라 
우리가 얻는 오류를 정의하고 함수를 교체하십시오. 에프(엑스)
다항식 에스 N (엑스).
만약에 
, 저것 
,저것들. 이 기능은 Taylor 시리즈로 확장됩니다. 그 반대의 경우라면 
, 저것 
.
따라서 우리는 증명했습니다. 테일러 급수에서 함수의 분해 가능성에 대한 기준.
기능을 위해서는에프(x)는 Taylor 시리즈로 확장되며, 이 간격에서 다음이 필요하고 충분합니다.
, 어디아르 자형 N (엑스)는 테일러 급수의 나머지 항입니다.
공식화된 기준을 사용하면 다음을 얻을 수 있습니다. 충분한테일러 급수의 함수 분해 조건.
만약에x 지점 근처 0 함수의 모든 도함수의 절대값은 동일한 수 M으로 제한됩니다.≥ 0, 즉
, 티o 이 근처에서 함수는 Taylor 시리즈로 확장됩니다.
위에서부터 다음과 같다 연산기능 확장 에프(엑스) 테일러 시리즈에서한 지점 근처에 엑스 0 :
1. 함수의 도함수 찾기 에프(엑스):
f(x), f'(x), f"(x), f'"(x), f (N) (엑스),…
2. 해당 지점에서 함수의 값과 그 도함수 값을 계산합니다. 엑스 0
에프(엑스 0 ), f'(x 0 ), f”(x 0 ), f'”(x 0 ), f (N) (엑스 0 ),…
3. 공식적으로 Taylor 계열을 작성하고 결과로 나오는 거듭제곱 계열의 수렴 영역을 찾습니다.
4. 충분조건의 충족 여부를 확인합니다. 우리는 무엇을 위해 설립 엑스수렴 영역에서 나머지 항 아르 자형 N (엑스)
0이 되는 경향이 있다 
또는
.
이 알고리즘을 사용하여 함수를 테일러 급수로 확장하는 것을 다음과 같이 부릅니다. 정의에 따라 함수를 테일러 급수로 확장또는 직접 분해.
16.1. 기본 함수를 Taylor 계열로 확장하고
매클로린
임의의 함수가 집합에 정의되어 있는 경우를 보여드리겠습니다. 
, 지점 부근 
많은 파생 상품이 있으며 거듭제곱 시리즈의 합입니다.
그러면 이 계열의 계수를 찾을 수 있습니다.
멱급수로 바꿔보자 
. 그 다음에 
.
함수의 1차 도함수를 구해보자 
:
~에 
:
.
2차 미분에 대해 우리는 다음을 얻습니다:
~에 
:
.
이 절차를 계속 N일단 우리가 얻으면: 
.
따라서 우리는 다음 형식의 거듭제곱 계열을 얻었습니다.
,
라고 불리는 테일러 옆에기능을 위해 
지점 근처에 
.
Taylor 시리즈의 특별한 경우는 다음과 같습니다. 매클로린 시리즈~에 
:
Taylor(Maclaurin) 계열의 나머지는 주 계열을 버리고 얻어집니다. N첫 번째 멤버는 다음과 같이 표시됩니다. 
. 그런 다음 기능 
합계로 쓸 수 있다 N시리즈의 첫 번째 멤버 
그리고 나머지 
:,
.
나머지는 보통 
다양한 수식으로 표현됩니다.
그 중 하나는 라그랑주 형식입니다.
, 어디 
.
.
실제로는 Maclaurin 급수가 더 자주 사용됩니다. 따라서 함수를 작성하려면 
멱급수 합계의 형태로 다음이 필요합니다.
1) Maclaurin(Taylor) 계열의 계수를 찾습니다.
2) 결과적인 거듭제곱 계열의 수렴 영역을 찾습니다.
3) 이 계열이 다음 함수로 수렴됨을 증명하십시오. 
.
정리1
(맥라우린 급수의 수렴을 위한 필요충분조건) 시리즈의 수렴 반경을 보자 
. 이 계열이 간격으로 수렴하려면 
기능하다 
,조건이 충족되기 위해서는 필요하고 충분합니다. 
지정된 간격으로.
정리 2.함수의 임의 차수의 도함수인 경우 
어느 정도 간격을 두고 
절대값이 동일한 숫자로 제한됨 중, 그건 
, 이 간격에서 함수는 
Maclaurin 계열로 확장할 수 있습니다.
예1
.
점 주변의 Taylor 시리즈로 확장 
기능.
해결책.
.
,;
,
;
,
;
,
.......................................................................................................................................
,
;
융합지역 
.
예2
.
기능 확장 
한 점 주위의 테일러 급수에서 
.
해결책:
함수와 그 파생물의 값을 찾으십시오. 
.
,
;
,
;
...........……………………………
,
.
이 값들을 일렬로 나열해 보겠습니다. 우리는 다음을 얻습니다:
또는 
.
이 급수의 수렴영역을 찾아보자. d'Alembert의 검정에 따르면 계열은 다음과 같이 수렴합니다.
.
그러므로 어떤 경우에도 
이 한계는 1보다 작으므로 계열의 수렴 범위는 다음과 같습니다. 
.
기본 기본 함수의 매클로린 급수 확장의 몇 가지 예를 고려해 보겠습니다. Maclaurin 시리즈를 기억하세요:
.
간격으로 수렴 
기능하다 
.
함수를 시리즈로 확장하려면 다음이 필요합니다.
a) 이 함수에 대한 매클로린 급수 계수를 구합니다.
b) 결과 계열에 대한 수렴 반경을 계산합니다.
c) 결과 계열이 다음 함수로 수렴됨을 증명합니다. 
.
예시 3.기능을 고려하십시오 
.
해결책.
함수와 그 파생물의 값을 계산해 보겠습니다. 
.
그런 다음 계열의 수치 계수는 다음과 같은 형식을 갖습니다.
누구에게나 N.발견된 계수를 Maclaurin 급수로 대체하고 다음을 얻습니다. 
결과 계열의 수렴 반경을 찾아보겠습니다. 즉:
.
따라서 계열은 간격으로 수렴합니다. 
.
이 계열은 다음 함수로 수렴됩니다. 
어떤 값에 대해서도 
, 왜냐하면 어떤 간격으로든 
기능 
절대값 파생 상품의 수는 제한되어 있습니다. 
.
예4
.
기능을 고려하십시오 
.
해결책.
:
짝수차의 파생물이 있음을 쉽게 알 수 있습니다. 
, 그리고 파생 상품은 홀수 차수입니다. 발견된 계수를 Maclaurin 급수로 대체하고 확장을 구해 보겠습니다.
이 급수의 수렴구간을 구해보자. d'Alembert 징후에 따르면:
누구에게나 
. 따라서 계열은 간격으로 수렴합니다. 
.
이 계열은 다음 함수로 수렴됩니다. 
, 모든 파생 상품이 단일성으로 제한되기 때문입니다.
예5
.
.
해결책.
함수와 그 파생물의 값을 찾아 보겠습니다. 
:
따라서 이 계열의 계수는 다음과 같습니다. 
그리고 
, 따라서:
이전 행과 유사하게 수렴되는 영역 
. 계열은 다음 함수로 수렴합니다. 
, 모든 파생 상품이 단일성으로 제한되기 때문입니다.
기능을 참고해주세요 
홀수 거듭제곱, 함수의 홀수 및 계열 확장 
– 짝수 거듭제곱으로 시리즈로 확장합니다.
예6
.
이항 계열: 
.
해결책.
함수와 그 파생물의 값을 찾아 보겠습니다. 
:
이를 통해 다음을 알 수 있습니다.
이 계수 값을 Maclaurin 급수로 대체하고 이 함수를 거듭제곱 급수로 확장해 보겠습니다.
이 계열의 수렴 반경을 찾아보겠습니다.
따라서 계열은 간격으로 수렴합니다. 
. 제한 지점에서 
그리고 
지수에 따라 계열이 수렴할 수도 있고 수렴하지 않을 수도 있습니다. 
.
연구한 계열은 간격으로 수렴합니다. 
기능하다 
즉, 계열의 합입니다. 
~에 
.
예7
.
매클로린 급수(Maclaurin series)의 함수를 확장해 보겠습니다. 
.
해결책.
이 함수를 계열로 확장하기 위해 다음과 같은 이항 계열을 사용합니다. 
. 우리는 다음을 얻습니다: 
멱급수(멱급수는 수렴하는 영역에서 적분될 수 있음)의 속성을 기반으로 이 급수의 왼쪽과 오른쪽 변의 적분을 찾습니다.
이 시리즈의 수렴 영역을 찾아 보겠습니다. 
,
즉, 이 계열의 수렴 영역은 간격입니다. 
. 구간의 끝에서 계열의 수렴을 결정해 보겠습니다. ~에 
. 이 계열은 조화로운 계열, 즉 발산하는 계열입니다. ~에 
우리는 공통 용어로 숫자 시리즈를 얻습니다 
.
급수는 라이프니츠의 기준에 따라 수렴됩니다. 따라서 이 계열의 수렴 영역은 간격입니다. 
.
16.2. 대략적인 계산에 멱급수 적용
대략적인 계산에서 멱급수는 매우 중요한 역할을 합니다. 도움을 받아 삼각 함수 표, 로그 표, 기타 함수 값 표가 작성되었으며, 이는 확률 이론 및 수학적 통계와 같은 다양한 지식 분야에서 사용됩니다. 또한 함수를 거듭제곱 계열로 확장하는 것은 이론적 연구에 유용합니다. 대략적인 계산에서 멱급수를 사용할 때 주요 문제는 계열의 합을 첫 번째 계열의 합으로 대체할 때 오류를 추정하는 문제입니다. N회원.
두 가지 경우를 고려해 보겠습니다.
이 기능은 부호 교대 계열로 확장됩니다.
함수는 일련의 상수 부호로 확장됩니다.
교대 계열을 사용한 계산
기능을 보자 
교류 전력 계열로 확장되었습니다. 그런 다음 특정 값에 대해 이 함수를 계산할 때 
라이프니츠 기준을 적용할 수 있는 수열을 얻습니다. 이 기준에 따라 계열의 합이 첫 번째 계열의 합으로 대체되면 N항이면 절대 오차는 이 계열의 나머지 부분 중 첫 번째 항을 초과하지 않습니다. 즉, 
.
예8
.
계산하다 
0.0001의 정확도로.
해결책.
Maclaurin 급수를 사용하겠습니다. 
, 각도 값을 라디안으로 대체:
주어진 정확도로 계열의 첫 번째 항과 두 번째 항을 비교하면 다음과 같습니다.
세 번째 확장 기간:
지정된 계산 정확도보다 낮습니다. 그러므로 계산하려면 
시리즈의 두 항을 남겨두는 것으로 충분합니다.
.
따라서 
.
예9
.
계산하다 
0.001의 정확도로.
해결책.
우리는 이항 급수 공식을 사용할 것입니다. 이를 위해 다음과 같이 작성해 보겠습니다. 
처럼: 
.
이 표현에서는 
,
계열의 각 항을 지정된 정확도와 비교해 보겠습니다. 분명하다 
. 그러므로 계산하려면 
시리즈의 세 가지 용어를 남기는 것으로 충분합니다.
또는 
.
양수 계열을 사용한 계산
예10
.
숫자 계산 
0.001의 정확도로.
해결책.
기능에 대한 연속 
대체하자 
. 우리는 다음을 얻습니다:
계열의 합을 첫 번째 계열의 합으로 대체할 때 발생하는 오류를 추정해 보겠습니다. 
회원. 명백한 불평등을 적어 보겠습니다.
그건 2<
<3.
Используем формулу остаточного члена
ряда в форме Лагранжа:
,
.
문제에 따라 찾아야 할 것 N따라서 다음과 같은 부등식이 성립합니다. 
또는 
.
언제인지 확인하기 쉽습니다. N= 6:
.
따라서, 
.
예11
.
계산하다 
0.0001의 정확도로.
해결책.
로그를 계산하려면 함수에 계열을 사용할 수 있습니다. 
, 그러나 이 계열은 매우 느리게 수렴하므로 주어진 정확도를 달성하려면 9999개의 항을 사용해야 합니다! 따라서 로그를 계산하려면 일반적으로 함수에 대한 계열이 사용됩니다. 
, 이는 간격에 수렴합니다. 
.
계산해보자 
이 시리즈를 사용합니다. 허락하다 
, 그 다음에 
.
따라서, 
,
계산하기 위해서는 
주어진 정확도로 처음 네 항의 합을 구합니다. 
.
나머지 시리즈 
그것을 버리자. 오류를 추정해 봅시다. 그것은 분명하다 
또는 
.
따라서 계산에 사용된 계열에서는 함수에 대한 계열의 9999 대신 처음 4개의 항만 취하면 충분했습니다. 
.
자가진단 질문
1. 테일러 급수란 무엇입니까?
2. 매클로린 급수는 어떤 형태를 띠었는가?
3. 테일러 급수의 함수 전개에 대한 정리를 공식화합니다.
4. 주요 함수의 매클로린 급수 전개를 적어보세요.
5. 고려되는 시리즈의 수렴 영역을 나타냅니다.
6. 멱급수를 사용하여 대략적인 계산에서 오류를 추정하는 방법은 무엇입니까?
함수 f(x)가 점 a를 포함하는 특정 구간에서 모든 차수에 대한 도함수를 갖는 경우 Taylor 공식을 적용할 수 있습니다.
,
어디 r n– 소위 나머지 항 또는 계열의 나머지는 라그랑주 공식을 사용하여 추정할 수 있습니다.
, 여기서 숫자 x는 x와 a 사이에 있습니다.
기능 입력 규칙:
어떤 가치를 위해서라면 엑스 r n→0 N→π, 극한에서 Taylor 공식은 이 값에 대해 수렴됩니다. 테일러 시리즈:
,
따라서 함수 f(x)는 다음과 같은 경우 고려 중인 점 x에서 Taylor 계열로 확장될 수 있습니다.
1) 모든 주문의 파생 상품이 있습니다.
2) 구성된 계열은 이 지점에서 수렴됩니다.
a = 0 일 때 우리는 다음과 같은 시리즈를 얻습니다. 매클로린 근처:
,
Maclaurin 시리즈에서 가장 간단한(기본) 기능의 확장:
지수함수
, R=무한대
삼각함수 
, R=무한대 
, R=무한대
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
actgx 함수는 x의 거듭제곱으로 확장되지 않습니다. 왜냐하면 ctg0=무한대
쌍곡선 함수
로그 함수
, -1
이항 계열
.
예 1. 함수를 거듭제곱 계열로 확장 에프(엑스)= 2엑스.
해결책. 함수와 그 파생어의 값을 찾아 보겠습니다. 엑스=0
에프엑스(f(x)) = 2엑스, 에프( 0)
= 2 0
=1;
에프"(엑스) = 2엑스 ln2, 에프"( 0)
= 2 0
ln2= ln2;
에프""(x) = 2엑스 2 2, 에프""( 0)
= 2 0
ln 2 2= ln 2 2;
…
에프(엔)(엑스) = 2엑스에 N 2, 에프(엔)( 0)
= 2 0
에 N 2=ln N 2.
얻은 파생 상품 값을 Taylor 시리즈 공식으로 대체하면 다음을 얻습니다.
이 계열의 수렴 반경은 무한대와 같으므로 이 확장은 -무한대에 유효합니다.<엑스<+∞.
예 2. Taylor 급수를 거듭제곱( 엑스+4) 기능의 경우 에프(엑스)=이자형 엑스.
해결책. 함수 e의 도함수 찾기 엑스그리고 그 시점에서의 가치 엑스=-4.
에프엑스(f(x))= 전자 엑스, 에프(-4)
= 전자 -4
;
에프"(엑스)= 전자 엑스, 에프"(-4)
= 전자 -4
;
에프""(x)= 전자 엑스, 에프""(-4)
= 전자 -4
;
…
에프(엔)(엑스)= 전자 엑스, 에프(엔)( -4)
= 전자 -4
.
따라서 함수의 필수 Taylor 계열은 다음과 같은 형식을 갖습니다.
이 확장은 -무한대에도 유효합니다.<엑스<+∞.
예 번호 3. 기능 확장 에프엑스(f(x))=ln 엑스일련의 권력 ( 엑스- 1),
(즉, 점 근처의 Taylor 시리즈에서 엑스=1).
해결책. 이 함수의 도함수를 찾아보세요.
f(x)=lnx , , , ,
f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f (n) =(- 1) n-1(n-1)!
이 값을 공식에 대입하면 원하는 Taylor 계열을 얻습니다.
d'Alembert의 검정을 사용하면 계열이 ½x-1½에서 수렴하는지 확인할 수 있습니다.<1 . Действительно,
계열은 ½이면 수렴합니다. 엑스- 1½<1, т.е. при 0<엑스<2. При 엑스=2 라이프니츠 기준의 조건을 만족하는 교대 계열을 얻습니다. x=0이면 함수가 정의되지 않습니다. 따라서 Taylor 계열의 수렴 영역은 반 개방 구간(0;2]입니다.
예 번호 4. 함수를 거듭제곱 계열로 확장합니다. 예 번호 5. 함수를 Maclaurin 계열로 확장합니다. 논평
.
이 방법은 멱급수에서 함수 확장의 고유성에 관한 정리를 기반으로 합니다. 이 정리의 핵심은 동일한 점 근처에서 확장이 어떻게 수행되든 동일한 기능으로 수렴하는 두 개의 서로 다른 거듭제곱 계열을 얻을 수 없다는 것입니다. 예 번호 5a. 매클로린 급수(Maclaurin series)의 함수를 확장하고 수렴 영역을 나타냅니다. |3x|인 경우 분수 3/(1-3x)는 분모가 3x인 무한히 감소하는 기하 수열의 합으로 간주될 수 있습니다.< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд
예 번호 6. x = 3 점 근처에서 함수를 테일러 급수로 확장합니다. 예 번호 7. 함수 ln(x+2) 의 거듭제곱(x -1)으로 Taylor 계열을 작성합니다. 예 번호 8. 함수 f(x)=sin(πx/4)를 점 x =2 부근의 Taylor 계열로 확장합니다. 예 1. ln(3)을 0.01 단위까지 계산합니다. 예 2. 0.0001 단위로 계산합니다. 예 번호 3. 10 -5 이내의 적분 ∫ 0 1 4 sin (x) x 를 계산합니다. 예 번호 4. 0.001의 정확도로 적분 ∫ 0 1 4 e x 2를 계산합니다.
해결책. 확장 (1)에서 x를 -x 2로 바꾸면 다음과 같은 결과를 얻습니다.
, -∞
해결책. 우리는
공식 (4)를 사용하여 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
공식에서 x 대신 –x를 대체하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.
여기에서 우리는 다음을 발견합니다: ln(1+x)-ln(1-x) = -
괄호를 열고, 계열의 용어를 재배열하고 유사한 용어를 가져오면, 우리는 다음을 얻습니다.
. 이 계열은 각각 이 구간에서 수렴하는 두 개의 계열에서 얻어지기 때문에 (-1;1) 구간에서 수렴합니다.
공식 (1)-(5)를 사용하여 해당 함수를 Taylor 계열로 확장할 수도 있습니다. 즉, 양의 정수 거듭제곱으로 함수를 확장하는 경우( 하아). 이를 위해서는 함수 (1)-(5) 중 하나를 얻기 위해 주어진 함수에 대해 동일한 변환을 수행해야 합니다. 엑스비용은 k( 하아) m , 여기서 k는 상수이고, m은 양의 정수입니다. 변수를 변경하는 것이 편리한 경우가 많습니다. 티=하아 Maclaurin 시리즈의 t에 대해 결과 함수를 확장합니다.
해결책. 먼저 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , 를 찾습니다.
초등학생:
수렴 영역 |x|< 1/3.
해결책. 이 문제는 이전과 마찬가지로 Taylor 급수의 정의를 사용하여 해결할 수 있습니다. 이를 위해 함수의 도함수와 그 값을 찾아야 합니다. 엑스=3. 그러나 기존 확장(5)을 사용하는 것이 더 쉬울 것입니다.
=
결과 계열은 또는 –3에서 수렴됩니다.
해결책.
계열은 , 또는 -2에서 수렴합니다.< x < 5.
해결책. t=x-2로 대체해 보겠습니다.
x 대신 π / 4 t를 대체하는 확장(3)을 사용하여 다음을 얻습니다.
결과 계열은 -무한대에서 주어진 함수로 수렴됩니다.< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞
, (-∞멱급수를 사용한 대략적인 계산
멱급수는 대략적인 계산에 널리 사용됩니다. 도움을 받으면 근, 삼각 함수, 숫자의 대수 및 정적분의 값을 주어진 정확도로 계산할 수 있습니다. 계열은 미분방정식을 적분할 때도 사용됩니다.
멱급수에서 함수의 확장을 고려해보세요.
특정 지점에서 함수의 대략적인 값을 계산하려면 엑스, 표시된 시리즈의 수렴 영역에 속하며 첫 번째 시리즈는 확장에 남아 있습니다. N회원 ( N– 유한 수), 나머지 용어는 폐기됩니다.
구한 근사값의 오차를 추정하려면 버린 나머지 rn(x)를 추정해야 합니다. 이렇게 하려면 다음 기술을 사용하십시오.
해결책. x=1/2인 확장을 사용해 보겠습니다(이전 항목의 예제 5 참조).
전개의 처음 세 항 이후의 나머지를 버릴 수 있는지 확인해 보겠습니다. 이를 위해 무한히 감소하는 기하 수열의 합을 사용하여 이를 평가합니다.
그래서 우리는 이 나머지를 버리고 다음을 얻을 수 있습니다.
해결책. 이항 계열을 사용해 봅시다. 5 3 은 130에 가장 가까운 정수의 세제곱이므로, 숫자 130을 130 = 5 3 +5로 표현하는 것이 좋습니다. 
이미 라이프니츠 기준을 만족하는 결과 교대 급수의 네 번째 항이 필요한 정확도보다 작기 때문입니다.
이므로 해당 항목과 그 뒤에 나오는 용어를 삭제할 수 있습니다.
실제로 필요한 많은 정적분 또는 부적절한 적분은 뉴턴-라이프니츠 공식을 사용하여 계산할 수 없습니다. 왜냐하면 그 적용은 종종 기본 함수에 표현식이 없는 역도함수를 찾는 것과 관련되어 있기 때문입니다. 역도함수를 찾는 것도 가능하지만 불필요하게 노동 집약적입니다. 그러나 피적분 함수가 멱급수로 확장되고 적분의 한계가 이 급수의 수렴 간격에 속하면 미리 정해진 정확도로 적분의 대략적인 계산이 가능합니다.
해결책. 해당 부정 적분은 기본 함수로 표현될 수 없습니다. 즉, "비영구 적분"을 나타냅니다. 뉴턴-라이프니츠 공식은 여기에 적용될 수 없습니다. 적분을 대략적으로 계산해 봅시다.
죄에 대한 계열을 용어별로 나누기 엑스~에 엑스, 우리는 다음을 얻습니다: 
이 계열 항을 항별로 통합하면(적분 한계가 이 계열의 수렴 간격에 속하기 때문에 가능함) 다음을 얻습니다.
결과 계열은 라이프니츠의 조건을 충족하고 주어진 정확도로 원하는 값을 얻으려면 처음 두 항의 합을 취하는 것으로 충분합니다.
따라서 우리는 
.
해결책.
. 결과 계열의 두 번째 항 이후 나머지를 버릴 수 있는지 확인해 보겠습니다.
0.0001<0.001. Следовательно, 
.
