고조파 진동
함수 그래프 에프(엑스) = 죄( 엑스) 그리고 G(엑스) = 코사인( 엑스) 데카르트 평면에서.
고조파 진동- 사인파 또는 코사인 법칙에 따라 물리적(또는 기타) 양이 시간에 따라 변하는 변동. 고조파 진동의 운동 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.
,어디 엑스- 시간 t에서 평형 위치로부터 진동점의 변위(편차); ㅏ- 진동 진폭, 이것은 평형 위치에서 진동 지점의 최대 편차를 결정하는 값입니다. ω - 순환 주파수, 2π초 이내에 발생하는 완전한 진동의 수를 나타내는 값 - 진동의 전체 위상 - 진동의 초기 위상.
차동 형태의 일반화된 고조파 진동
(이 미분 방정식의 중요하지 않은 솔루션은 순환 주파수를 갖는 조화 진동입니다)
진동의 종류
조화 운동의 변위, 속도 및 가속도 시간의 진화
- 자유로운 진동시스템이 평형에서 벗어난 후 시스템의 내부 힘의 작용으로 만들어집니다. 자유 진동이 조화를 이루려면 진동 시스템이 선형이어야 하고(운동의 선형 방정식으로 설명됨) 에너지 소실이 없어야 합니다(후자는 감쇠를 유발함).
- 강제 진동외부 주기적 힘의 영향으로 수행됩니다. 그것들이 조화를 이루기 위해서는 진동 시스템이 선형(선형 운동 방정식으로 설명됨)이고 외력 자체가 시간이 지남에 따라 조화 진동으로 변하면 충분합니다(즉, 이 힘의 시간 종속성이 사인파임) .
애플리케이션
고조파 진동은 다음과 같은 이유로 다른 모든 유형의 진동보다 두드러집니다.
또한보십시오
노트
문학
- 물리학. 물리학의 초등 교과서 / Ed. G. S. 랜스버그. - 3판. - M., 1962. - T. 3.
- 카이킨 S.E.역학의 물리적 기초. - 엠., 1963.
- A. M. 아포닌.역학의 물리적 기초. - 에드. MSTU 임. 바우만, 2006.
- 고렐릭 G.S.진동과 파도. 음향, 방사선 물리학 및 광학 소개. - M .: Fizmatlit, 1959. - 572 p.
위키미디어 재단. 2010년 .
- 코뮌 말보르크
- 아프리카의 사람들
다른 사전에 "고조파 진동"이 무엇인지 확인하십시오.
고조파 진동 현대 백과사전
고조파 진동- 고조파 진동, 사인 법칙에 따라 발생하는 물리량의 주기적인 변화. 그래픽으로 고조파 진동은 사인 곡선으로 표시됩니다. 고조파 진동은 다음을 특징으로 하는 가장 단순한 유형의 주기 운동입니다. 일러스트 백과사전
고조파 진동- 사인 또는 코사인의 법칙에 따라 시간이 지남에 따라 물리량이 변하는 변동. 그래픽으로 G. to.는 사인 곡선 또는 코사인 곡선으로 표시됩니다(그림 참조). 다음과 같은 형식으로 작성할 수 있습니다. x = Asin(ωt + φ) 또는 x ... 위대한 소비에트 백과사전
고조파 진동- 고조파 진동, 진자의 운동과 같은 주기적인 운동, 전기 회로의 원자 진동 또는 진동. 물체는 선을 따라 진동할 때 감쇠되지 않은 조화 진동을 수행하고 동일하게 이동합니다. ... ... 과학 및 기술 백과사전
고조파 진동- 물리적인 변동. (또는 기타) 값은 사인파 법칙에 따라 시간이 지남에 따라 변경됩니다. x=Asin(wt+j), 여기서 x는 주어진 진동 값의 값입니다. 시간 t(기계적 G의 경우 예를 들어 변위 또는 속도, ... ... 물리적 백과사전
고조파 진동- 일반화된 좌표 및(또는) 일반화된 속도가 시간에 선형적으로 의존하는 인수를 갖는 사인에 비례하여 변화하는 기계적 진동. [권장용어집. 문제 106. 기계적 진동. 과학 아카데미 ... 기술 번역가 핸드북
고조파 진동- 물리적인 변동. (또는 기타) 양은 사인파 법칙에 따라 시간에 따라 변화합니다. 여기서 x는 시간 t에서 진동량의 값입니다(기계적 G의 경우, 예를 들어 변위 및 속도, 전압 및 전류) .. . 물리적 백과사전
고조파 진동- (참조), 물리적. 값은 사인 또는 코사인의 법칙에 따라 시간이 지남에 따라 변경됩니다(예: 진동 중 변경(참조) 및 속도(참조) 또는 변경(참조) 및 전기 G.에 대한 전류 강도) ... 그레이트 폴리테크닉 백과사전
고조파 진동- 법칙에 따라 시간 t에서 진동 값 x의 변화(예: 평형 위치에서 진자의 편차, 교류 회로의 전압 등)가 특징입니다. x = Asin(?t + ?), 여기서 A는 고조파 진동의 진폭, ? 모서리… … 큰 백과사전
고조파 진동- 19. Harmonic oscillations 진동량의 값이 법칙에 따라 시간에 따라 변하는 진동 Source ... 규범 및 기술 문서 용어 사전 참조 책
고조파 진동- 정기 물리적 시간의 krykh 변화와 함께 변동. 크기는 사인 또는 코사인의 법칙에 따라 발생합니다(그림 참조). s = Asin(wt + f0), 여기서 s는 cf에서 변동하는 값의 편차입니다. (평형) 값, A=진폭 상수, w= 원형 상수 ... 큰 백과사전 폴리테크닉 사전
주기적으로 변화하는 외부 힘의 작용으로 발생하는 진동(외부에서 진동 시스템으로 주기적으로 에너지 공급)
에너지 변환
스프링 진자
순환 주파수와 발진 주기는 각각 다음과 같습니다.
완벽하게 탄성이 있는 스프링에 부착된 소재 포인트
Ø x 좌표에 대한 스프링 진자의 위치 및 운동 에너지 플롯.
Ø 시간에 대한 운동 및 위치 에너지의 의존성에 대한 정성적 그래프.
Ø 강요된
Ø 강제 진동의 주파수는 외부 힘의 변화 주파수와 같습니다.
Ø 사인 또는 코사인 법칙에 따라 Fbc가 변경되면 강제 진동은 고조파가 됩니다.
Ø 자체 진동을 사용하면 진동 시스템 내부의 자체 소스에서 주기적으로 에너지를 공급해야 합니다.
고조파 진동은 사인 또는 코사인의 법칙에 따라 진동 값이 시간에 따라 변하는 진동입니다.
조화 진동의 방정식(점의 운동 법칙)은 다음과 같은 형식을 갖습니다.
고조파 진동
이러한 진동을 법칙에 따라 시간에 따라 진동 값이 변하는 진동이라고 합니다.공동
또는코사인
.
고조파 진동 방정식 다음과 같이 보입니다.
,
여기서 A - 진동 진폭
(평형 위치에서 시스템의 최대 편차 값); -순환(순환) 주파수.
주기적으로 변경되는 코사인 인수 - 호출됨 진동 위상
. 진동 위상은 주어진 시간 t에서 평형 위치로부터 진동량의 변위를 결정합니다. 상수 φ는 시간 t = 0에서의 위상 값이며 진동의 초기 단계
. 초기 단계의 값은 기준점의 선택에 따라 결정됩니다. x 값은 -A에서 +A까지의 값을 가질 수 있습니다.
진동 시스템의 특정 상태가 반복되는 시간 간격 T, 진동주기라고 함
. 코사인은 주기가 2π인 주기적 함수이므로 T 기간 동안 발진 위상이 2π와 동일한 증분을 수신하고 고조파 발진을 수행하는 시스템 상태가 반복됩니다. 이 기간 T를 고조파 진동 기간이라고 합니다.
고조파 진동 주기는
: T = 2π/.
단위 시간당 진동 횟수를 진동 주파수
ν.
고조파 진동의 주파수
는 다음과 같습니다. ν = 1/T. 주파수 단위 헤르츠(Hz) - 초당 하나의 진동.
원형 주파수 = 2π/T = 2πν는 2π초 동안의 진동 수를 나타냅니다.
차동 형태의 일반화된 고조파 진동
그래픽으로 고조파 진동은 t에 대한 x의 종속성으로 나타낼 수 있습니다(그림 1.1.A). 회전 진폭 방법(벡터 다이어그램 방법)(그림 1.1.B) .
회전 진폭 방법을 사용하면 고조파 진동 방정식에 포함된 모든 매개변수를 시각화할 수 있습니다. 실제로 진폭 벡터가 ㅏ x축에 대해 각도 φ에 위치하면(그림 1.1. B 참조) x축에 대한 투영은 x = Acos(φ)와 같습니다. 각도 φ는 초기 단계입니다. 벡터의 경우 ㅏ진동의 원형 주파수와 동일한 각속도로 회전하면 벡터 끝의 투영이 x축을 따라 이동하고 -A에서 +A 범위의 값을 취하고 이 투영의 좌표를 취합니다 법에 따라 시간이 지남에 따라 변경됩니다.
.
따라서 벡터의 길이는 고조파 진동의 진폭과 같으며 초기 모멘트에서 벡터의 방향은 진동 φ의 초기 위상과 동일한 x 축과 각도를 형성하고 방향 각도의 변화 시간에 따른 고조파 진동의 위상과 같습니다. 진폭 벡터가 1회전하는 시간은 고조파 진동 주기 T와 같습니다. 벡터의 초당 회전 수는 발진 주파수 ν와 같습니다.
가장 간단한 진동 유형은 다음과 같습니다. 고조파 진동- 평형 위치에서 진동점의 변위가 사인 또는 코사인 법칙에 따라 시간이 지남에 따라 변하는 변동.
따라서 원주 주위에서 공이 균일하게 회전하면 투영(평행 광선의 그림자)이 수직 화면에서 조화 진동 운동을 만듭니다(그림 13.2).
조화 진동 동안 평형 위치로부터의 변위는 다음과 같은 형식의 방정식(고조파 운동의 운동학적 법칙이라고 함)으로 설명됩니다.
\(x = A \cos \Bigr(\frac(2 \pi)(T)t + \varphi_0 \Bigl)\) 또는 \(x = A \sin \Bigr(\frac(2 \pi)(T) t + \varphi"_0 \Bigl)\)
어디 엑스- 혼합 - 시간의 순간에 진동점의 위치를 특성화하는 값 티평형 위치에 상대적이고 평형 위치에서 주어진 시점의 지점 위치까지의 거리로 측정됨; ㅏ- 진동 진폭 - 평형 위치에서 몸체의 최대 변위; 티- 진동 주기 - 하나의 완전한 진동 시간; 저것들. 진동을 특징 짓는 물리량 값이 반복되는 가장 짧은 시간; \(\varphi_0\) - 초기 단계; \(\varphi = \frac(2 \pi)(T)t + \varphi"_0\) - 시간에서의 진동 위상 티. 진동 위상은 주기 함수의 인수로, 주어진 진동 진폭에 대해 언제든지 본체의 진동 시스템 상태(변위, 속도, 가속도)를 결정합니다.
만약 초기에 t0 = 0진동점은 평형 위치에서 최대로 변위된 다음 \(\varphi_0 = 0\)이고 평형 위치에서 점의 변위는 법칙에 따라 변합니다.
\(x = A \cos \frac(2 \pi)(T)t.\)
t 0 = 0에서 진동점이 안정된 평형 위치에 있으면 평형 위치에서 점의 변위는 법칙에 따라 변합니다
\(x = A \sin \frac(2 \pi)(T)t.\)
가치 V, 주기의 역수이며 1초 동안 수행된 완전한 진동의 수와 같습니다. 진동 주파수:
\(\nu = \frac(1)(T) \)(SI에서 주파수 단위는 헤르츠, 1Hz = 1s -1).
시간이 되면 티신체 커밋 N풀 스윙, 그럼
\(T = \frac(t)(N) ; \nu = \frac(N)(t).\)
값 \(\omega = 2 \pi \nu = \frac(2 \pi)(T)\) , 몸체가 2 \(\pi\) 동안 얼마나 많은 진동을 하는지 보여줍니다. 와 함께, 라고 불리는 순환(원형) 주파수.
조화 운동의 운동학 법칙은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
\(x = A \cos(2\pi \nu t + \varphi_0), x = A \cos(\omega t + \varphi_0).\)
그래픽으로 시간에 대한 진동 지점의 변위 의존성은 코사인(또는 사인 곡선)으로 표시됩니다.
그림 13.3, a는 \(\varphi_0=0\)인 경우, 즉 평형 위치로부터 진동점의 변위의 시간 의존성을 보여줍니다. \(~x=A\cos\오메가 t.\)
진동하는 점의 속도가 시간에 따라 어떻게 변하는지 알아봅시다. 이를 위해 다음 식의 시간 도함수를 찾습니다.
\(\upsilon_x = x" A \sin \omega t = \omega A \cos \Bigr(\omega t + \frac(\pi)(2) \Bigl) ,\)
여기서 \(~\omega A = |\upsilon_x|_m\)은 축에 대한 속도 투영의 진폭입니다. 엑스.
이 공식은 고조파 진동 동안 x축에 대한 물체 속도의 투영도 고조파 법칙에 따라 같은 주파수, 다른 진폭으로 변하고 혼합 위상보다 \(\frac(\pi )(2)\) (그림 13.3, b).
가속도의 의존성을 알아내려면 x (t)속도 투영의 시간 도함수 찾기:
\(~ a_x = \upsilon_x" = -\omega^2 A \cos \omega t = \omega^2 \cos(\omega t + \pi),\)
여기서 \(~\omega^2 A = |a_x|_m\)는 차축에 대한 가속도 투영의 진폭입니다. 엑스.
고조파 진동의 경우 투영 가속 k만큼 위상 이동보다 앞서 있습니다(그림 13.3, c).
유사하게, \(~x = A \sin \omega t\)인 경우 \(~x(t), \upsilon_x (t)\) 및 \(~a_x(t),\)를 \(\varphi_0 =0.\)
\(A \cos \omega t = x\)를 고려하면 가속도 공식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
\(~a_x = - \오메가^2 x,\)
저것들. 조화 진동의 경우 가속도 투영은 변위에 정비례하고 부호는 반대입니다. 가속도는 변위와 반대 방향으로 향합니다.
따라서 가속도 투영은 변위의 2차 도함수입니다. 및 x \u003d x "", 결과 비율은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
\(~a_x + \omega^2 x = 0\) 또는 \(~x"" + \omega^2 x = 0.\)
마지막 평등이 호출됩니다. 고조파 진동 방정식.
고조파 진동이 존재할 수 있는 물리적 시스템을 고조파 발진기,고조파 진동 방정식 - 고조파 발진기 방정식.
문학
Aksenovich L. A. 고등학교 물리학: 이론. 작업. 테스트: Proc. 일반을 제공하는 기관에 대한 수당. 환경, 교육 / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino; 에드. K. S. 파리노. - Mn.: Adukatsia i vykhavanne, 2004. - S. 368-370.
양의 변화는 사인 또는 코사인의 법칙을 사용하여 설명되며 이러한 진동을 고조파라고 합니다. 커패시터(회로에 포함되기 전에 충전됨)와 인덕터(그림 1)로 구성된 회로를 고려하십시오.
그림 1.
고조파 진동 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$q=q_0cos((\오메가 )_0t+(\알파 )_0)$ (1)
여기서 $t$-시간; $q$ 요금, $q_0$-- 변경 중 평균(0) 값에서 최대 요금 편차; $(\omega )_0t+(\alpha )_0$- 진동 위상; $(\alpha )_0$ - 초기 단계; $(\omega )_0$ - 순환 주파수. 기간 동안 위상은 $2\pi $만큼 변경됩니다.
유형 방정식:
능동 저항을 포함하지 않는 발진 회로에 대한 차동 형태의 고조파 발진 방정식.
모든 종류의 주기적 진동은 소위 고조파 시리즈라고 하는 고조파 진동의 합으로 정확하게 나타낼 수 있습니다.
코일과 커패시터로 구성된 회로의 진동 주기에 대해 Thomson 공식을 얻습니다.
식 (1)을 시간에 대해 미분하면 $I(t)$ 함수에 대한 공식을 얻을 수 있습니다.
커패시터 양단의 전압은 다음과 같이 찾을 수 있습니다.
공식 (5)와 (6)에서 전류 강도가 $\frac(\pi )(2)만큼 커패시터의 전압보다 앞서 있음을 알 수 있습니다.$
고조파 진동은 방정식, 함수 및 벡터 다이어그램의 형태로 나타낼 수 있습니다.
식 (1)은 감쇠되지 않은 자유 진동을 나타냅니다.
감쇠 진동 방정식
저항을 고려한 회로의 커패시터 플레이트의 전하 변화($q$)는 다음 형식의 미분 방정식으로 설명됩니다.
그림 2.
회로의 일부인 저항 $R \
여기서 $\omega =\sqrt(\frac(1)(LC)-\frac(R^2)(4L^2))$는 순환 발진 주파수입니다. $\베타 =\frac(R)(2L)-$감쇠 계수. 감쇠 진동의 진폭은 다음과 같이 표현됩니다.
$t=0$에서 커패시터의 전하가 $q=q_0$인 경우 회로에는 전류가 흐르지 않으며 $A_0$에 대해 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
초기 시간($(\alpha )_0$)의 진동 위상은 다음과 같습니다.
$R >2\sqrt(\frac(L)(C))$의 경우 전하의 변화는 진동이 아니며 커패시터 방전을 비주기적이라고 합니다.
실시예 1
연습:최대 청구 금액은 $q_0=10\ C$입니다. 기간 $T= 5 c$에 따라 조화롭게 변경됩니다. 가능한 최대 전류를 결정하십시오.
해결책:
문제 해결의 기초로 다음을 사용합니다.
현재 강도를 찾으려면 식 (1.1)을 시간과 관련하여 미분해야 합니다.
여기서 현재 강도의 최대값(진폭 값)은 다음 식입니다.
문제의 조건에서 우리는 전하의 진폭 값($q_0=10\Kl$)을 압니다. 진동의 고유 진동수를 찾아야 합니다. 다음과 같이 표현해보자.
\[(\오메가 )_0=\frac(2\pi )(T)\왼쪽(1.4\오른쪽).\]
이 경우 원하는 값은 방정식 (1.3) 및 (1.2)를 사용하여 다음과 같이 찾을 수 있습니다.
문제 조건의 모든 양이 SI 시스템에 표시되므로 계산을 수행합니다.
대답:$I_0=12.56\ A.$
실시예 2
연습:$I\left(t\right)=-0.1sin20\pi t 법칙에 따라 회로의 전류가 변한다면 인덕터 $L=1$H와 커패시터를 포함하는 회로의 발진 주기는 얼마입니까? \ \left(A \right)?$ 커패시터의 커패시턴스는 얼마인가?
해결책:
문제의 조건에서 주어진 현재 진동 방정식에서 :
$(\omega )_0=20\pi $이므로 다음 공식을 사용하여 진동 주기를 계산할 수 있습니다.
\ \
인덕터와 커패시터를 포함하는 회로에 대한 Thomson의 공식에 따르면 다음과 같습니다.
용량을 계산해 보겠습니다.
대답:$T=0.1$ c, $C=2.5\cdot (10)^(-4)F.$
