Todiste:
Todistetaan ensin lause jonon tapaukselle 
Newtonin binomikaavan mukaan:
Olettaen, että saamme
Tästä yhtälöstä (1) seuraa, että kun n kasvaa, positiivisten termien määrä oikealla puolella kasvaa. Lisäksi kun n kasvaa, luku pienenee, joten arvot pienenevät 
lisääntyvät. Siksi sekvenssi 
kasvaa, ja (2)*Näytämme, että se on rajallinen. Korvaa jokainen tasa-arvon oikealla puolella oleva sulku ykkösellä, oikea puoli kasvaa ja saamme epätasa-arvon
Vahvistamme tuloksena olevaa epäyhtälöä, korvaamme murtolukujen nimittäjissä olevat 3,4,5, ... luvulla 2: Hakasuluissa oleva summa saadaan geometrisen progression ehtojen summan kaavalla: Siksi 
(3)*
Joten sarja on rajoitettu ylhäältä, ja epäyhtälöt (2) ja (3) täyttyvät: 
Siksi Weierstrassin lauseen (jonon konvergenssin kriteeri) perusteella sekvenssi 
monotonisesti kasvaa ja on rajoitettu, mikä tarkoittaa, että sillä on raja, joka on merkitty kirjaimella e. Nuo. 
Tietäen, että toinen merkittävä raja on totta x:n luonnollisille arvoille, todistamme toisen merkittävän rajan todelliselle x:lle, eli todistamme, että 
. Tarkastellaan kahta tapausta:
1. Olkoon jokainen x:n arvo kahden positiivisen kokonaisluvun välissä: ,jossa on koko osa x. => =>
Jos , niin Siksi rajan mukaan 
Meillä on
Perustuu rajojen olemassaolon kriteeriin (noin välifunktion rajasta). 
2. Anna . Tehdään sitten substituutio − x = t
Näistä kahdesta tapauksesta seuraa, että 
oikealle x:lle.
Seuraukset:
9 .) Infinitesimaalien vertailu. Lause infinitesimaalien korvaamisesta ekvivalenteilla rajassa ja lause infinitesimaalien pääosasta.
Olkoon funktiot a( x) ja b( x) – b.m. klo x ® x 0 .
MÄÄRITELMÄT.
1)a( x) nimeltään äärettömän vähän enemmän korkea järjestys Miten b (x) Jos
Kirjoita ylös: a( x) = o(b( x)) .
2)a( x) Ja b( x)kutsutaan samaa luokkaa olevat infinitesimaalit, Jos
missä CÎℝ ja C¹ 0 .
Kirjoita ylös: a( x) = O(b( x)) .
3)a( x) Ja b( x) kutsutaan vastaava , Jos
Kirjoita ylös: a( x) ~ b( x).
4)a( x) kutsutaan infinitesimaaliksi kertaluvun k suhteelliseksi
aivan äärettömän vähäistä b( x),
jos äärettömän pieni a( x)Ja(b( x))k on sama järjestys, ts. Jos
missä CÎℝ ja C¹ 0 .
LAUSE 6 (infinitesimaalien korvaamisesta vastaavilla).
Antaa a( x), b( x), a 1 ( x), b 1 ( x)– b.m. klo x ® x 0 . Jos a( x) ~ a 1 ( x), b( x) ~ b 1 ( x),
Että 
Todiste: Olkoon a( x) ~ a 1 ( x), b( x) ~ b 1 ( x), Sitten
LAUSE 7 (noin infinitesimaalin pääosasta).
Antaa a( x)Ja b( x)– b.m. klo x ® x 0 , ja b( x)– b.m. korkeampi järjestys kuin a( x).
= , a koska b( x) – korkeampi järjestys kuin a( x), sitten ts. 
alkaen on selvää, että a( x) + b( x) ~ a( x)
10) Funktion jatkuvuus pisteessä (epsilon-deltan kielellä geometriset rajat) Yksipuolinen jatkuvuus. Jatkuvuus välissä, segmentissä. Jatkuvien funktioiden ominaisuudet.
1. Perusmääritelmät
Antaa f(x) on määritelty jossain pisteen ympäristössä x 0 .
MÄÄRITELMÄ 1. Toiminto f(x) nimeltään jatkuva jossakin pisteessä x 0 jos tasa-arvo on totta
Huomautuksia.
1) Lauseen 5 §3 mukaisesti yhtäläisyys (1) voidaan kirjoittaa muotoon
Kunto (2) - funktion jatkuvuuden määrittely pisteessä yksipuolisten rajojen kielellä.
2) Tasa-arvo (1) voidaan kirjoittaa myös seuraavasti:
He sanovat: "Jos funktio on jatkuva jossakin pisteessä x 0, niin rajan etumerkki ja funktio voidaan vaihtaa keskenään."
MÄÄRITELMÄ 2 (e-d-kielellä).
Toiminto f(x) nimeltään jatkuva jossakin pisteessä x 0 Jos"e>0 $d>0 sellaisia, Mitä
jos xОU( x 0 , d) (eli | x – x 0 | < d),
sitten f(x)ÎU( f(x 0), e) (eli | f(x) – f(x 0) | < e).
Antaa x, x 0 Î D(f) (x 0 - kiinteä, x – mielivaltainen)
Merkitään: D x= x – x 0 – argumentin lisäys
D f(x 0) = f(x) – f(x 0) – funktion lisäys kohdassa x 0
MÄÄRITELMÄ 3 (geometrinen).
Toiminto f(x) päällä nimeltään jatkuva jossakin pisteessä
x 0
jos tässä vaiheessa argumentin ääretön lisäys vastaa funktion äärettömän pientä lisäystä, eli
Anna toiminnon f(x) on määritelty aikavälillä [ x 0 ; x 0 + d) (välillä ( x 0 - d; x 0 ]).
MÄÄRITELMÄ. Toiminto f(x) nimeltään jatkuva jossakin pisteessä
x 0 oikealla
(vasemmalle
), jos tasa-arvo on totta
Se on selvää f(x) on jatkuva pisteessä x 0 Û f(x) on jatkuva pisteessä x 0 oikealle ja vasemmalle.
MÄÄRITELMÄ. Toiminto f(x) nimeltään jatkuva tietyn ajanjakson ajan e ( a; b) jos se on jatkuva tämän aikavälin jokaisessa pisteessä.
Toiminto f(x) kutsutaan jatkuvaksi segmentillä [a; b] jos se on jatkuvaa välissä (a; b) ja sillä on yksisuuntainen jatkuvuus rajapisteissä(eli jatkuva pisteessä a oikealla, pisteessä b- vasen).
11) Katkopisteet, niiden luokittelu
MÄÄRITELMÄ. Jos toiminto f(x) määritelty jossain pisteen x ympäristössä 0 , mutta ei ole jatkuvaa tässä vaiheessa f(x) kutsutaan epäjatkuvaksi pisteessä x 0 , ja itse pointti x 0 kutsutaan taukopisteeksi toiminnot f(x) .
Huomautuksia.
1) f(x) voidaan määrittää pisteen epätäydelliseen ympäristöön x 0 .
Harkitse sitten vastaavaa funktion yksipuolista jatkuvuutta.
2) Þ-pisteen määritelmästä x 0 on funktion taitepiste f(x) kahdessa tapauksessa:
a) U( x 0, d)О D(f), mutta varten f(x) tasa-arvo ei päde
b) U * ( x 0, d)О D(f) .
Alkeisfunktioille vain tapaus b) on mahdollinen.
Antaa x 0 – funktion keskeytyskohta f(x) .
MÄÄRITELMÄ. Piste x 0 nimeltään taukopiste minä tavallaan jos funktio f(x)on rajalliset rajat vasemmalla ja oikealla tässä vaiheessa.
Jos nämä rajat ovat yhtä suuret, niin piste x 0 nimeltään irrotettava murtokohta , muuten - hyppypiste .
MÄÄRITELMÄ. Piste x 0 nimeltään taukopiste II tavallaan jos ainakin yksi funktion f yksipuolisista rajoista(x)tässä vaiheessa on tasainen¥ tai ei ole olemassa.
12) Välillä jatkuvien funktioiden ominaisuudet (Weierstrassin (ilman todistetta) ja Cauchyn lauseet
Weierstrassin lause
Olkoon funktio f(x) jatkuva välillä
1)f(x) on rajoitettu
2)f(x) saa pienimmän arvonsa välillä ja korkein arvo
Määritelmä: Funktion arvoa m=f kutsutaan pienimmäksi, jos m≤f(x) millä tahansa x€ D(f) -arvolla.
Funktion m=f arvon sanotaan olevan suurin, jos m≥f(x) millä tahansa x € D(f) kohdalla.
Funktio voi ottaa pienimmän/suurimman arvon useissa janan pisteissä.
f(x3)=f(x4)=max
Cauchyn lause.
Olkoon funktio f(x) jatkuva janalla ja x f(a):n ja f(b):n välissä oleva luku, silloin on vähintään yksi piste x 0 € siten, että f(x 0)= g
Termiä "merkittävä raja" käytetään laajalti oppikirjoissa ja menetelmäkäsikirjoja merkitsemään tärkeitä identiteettejä, jotka auttavat merkittävästi yksinkertaistaa työtäsi rajojen löytämisessä.
Mutta siihen saa tuoda rajasi ihmeelliselle, sinun on tarkasteltava sitä huolellisesti, koska niitä ei löydy suora muoto, ja usein seurausten muodossa, jotka on varustettu lisäehdoilla ja -tekijöillä. Ensin kuitenkin teoria, sitten esimerkit, niin onnistut!
Ensimmäinen upea raja
Piditkö? Lisää kirjanmerkkeihin
Ensimmäinen merkittävä raja on kirjoitettu seuraavasti (muodon $0/0$ epävarmuus):
$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin x)(x)=1. $$
Seurauksia ensimmäisestä merkittävästä rajasta
$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(x)(\sin x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (ax))(\sin (bx))=\frac(a)(b). $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\tan x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arcsin x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arctan x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos x)(x^2/2)=1. $$Esimerkkiratkaisut: 1 upea raja
Esimerkki 1. Laske raja $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x).$$
Ratkaisu. Ensimmäinen vaihe on aina sama - korvaamme raja-arvon $x=0$ funktioon ja saamme:
$$\left[ \frac(\sin 0)(0) \right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$
Olemme saaneet epävarmuuden muodossa $\left[\frac(0)(0)\right]$, joka tulee paljastaa. Jos katsot tarkasti, alkuperäinen raja on hyvin samanlainen kuin ensimmäinen merkittävä, mutta ei ole sama. Tehtävämme on saada se samanlaiseksi. Muunnetaan se näin - katso lauseke sinin alla, tee sama nimittäjässä (suhteellisesti sanottuna kerro ja jaa $3x$), pienennä ja yksinkertaista:
$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(3x)\frac(3x)(8x) )=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x)\frac(3)(8)=\frac(3)(8). $$
Yllä on täsmälleen ensimmäinen merkittävä raja: $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x) = \lim\limits_(y\to 0)\frac(\sin ( y) ))(y)=1, \text( tehty ehdollisen korvauksen ) y=3x. $$ Vastaus: $3/8$.
Esimerkki 2. Laske raja $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x).$$
Ratkaisu. Korvaamme funktion raja-arvon $x=0$ ja saamme:
$$\left[ \frac(1-\cos 0)(\tan 0\cdot \sin 0)\right] =\left[ \frac(1-1)( 0\cdot 0)\right] = \left [\frac(0)(0)\oikea].$$
Saimme epävarmuuden muodossa $\left[\frac(0)(0)\right]$. Muunnetaan raja käyttämällä ensimmäistä upeaa rajaa (kolme kertaa!) yksinkertaistettuna:
$$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac( 2 \sin^2 (3x/2))(\sin 2x\cdot \sin 4x)\cdot \cos 2x = $$ $$ = 2\lim\limits_(x\to 0)\frac( \sin^2 (3x/2) )((3x/2)^2) \cdot \frac( 2x)(\sin 2x) \cdot \frac( 4x)( \sin 4x)\cdot \frac( (3x/2)^2)( 2x \ cdot 4x) \cdot \cos 2x = $$ $$ =2\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac( (9/4)x^2)( 8x^2 ) \cdot \cos 2x= 2 \cdot \frac( 9)( 32) \lim\limits_(x\to 0) \cos 2x=\frac(9)(16). $$
Vastaus: $9/16$.
Esimerkki 3. Etsi raja $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5).$$
Ratkaisu. Entä jos trigonometrisen funktion alla on monimutkainen lauseke? Sillä ei ole väliä, jatketaan samalla tavalla täällä. Ensin tarkistetaan epävarmuuden tyyppi, korvataan funktio $x=0$ ja saadaan:
$$\left[ \frac(\sin (0+0))(0-0)\oikea] = \vasen[\frac(0)(0)\oikea].$$
Saimme epävarmuuden muodossa $\left[\frac(0)(0)\right]$. Kerro ja jaa $2x^3+3x$:
$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x) ^3+3x))((2x^3+3x)) \cdot \frac(2x^3+3x)(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot \frac( 2x^3+3x)(5x-x^5)= \vasen[\frac(0)(0)\oikea] = $$
Saimme jälleen epävarmuutta, mutta tässä tapauksessa se on vain murto-osa. Pienennetään osoittajaa ja nimittäjää $x$:lla:
$$ =\lim\limits_(x\to 0) \frac(2x^2+3)(5-x^4)= \left[\frac(0+3)(5-0)\right] =\ frac(3)(5). $$
Vastaus: $3/5$.
Toinen upea raja
Toinen merkittävä raja on kirjoitettu seuraavasti (muodon $1^\infty$ epävarmuus):
$$ \lim\limits_(x\to \infty) \left(1+\frac(1)(x)\right)^(x)=e, \quad \text(tai) \quad \lim\limits_( x\to 0) \vasen(1+x\oikea)^(1/x)=e. $$
Toisen merkittävän rajan seuraukset
$$ \lim\limits_(x\to \infty) \left(1+\frac(a)(x)\right)^(bx)=e^(ab). $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\ln (1+x))(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(e^x -1)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(a^x-1)(x \ln a)=1, a>0, a \ne 1. $$ $$ \lim\limits_( x\to 0)\frac((1+x)^(a)-1)(ax)=1. $$Esimerkkejä ratkaisuista: 2 ihanaa rajaa
Esimerkki 4. Etsi raja $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3).$$
Ratkaisu. Tarkastetaan epävarmuuden tyyppi, korvataan funktio $x=\infty$ ja saadaan:
$$\left[ \left(1-\frac(2)(\infty)\right)^(\infty) \right] = \left.$$
Saimme epävarmuuden muodossa $\left$. Raja voidaan lyhentää toiseen merkittävään asiaan. Muunnetaan:
$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3) = \lim\limits_(x\to \infty)\left( 1+\frac(1)((-3x/2))\right)^(\frac(-3x/2)(-3x/2)(x+3))= $$ $$ = \lim\limits_ (x\to \infty)\left(\left(1+\frac(1)((-3x/2))\right)^((-3x/2))\right)^\frac(x+3 )(-3x/2)= $$
Suluissa oleva lauseke on itse asiassa toinen merkittävä raja $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, vain $t= - 3x/2$, siis
$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^\frac(x+3)(-3x/2)= \lim\limits_(x\to \infty)e^\ frac(1+3/x)(-3/2)=e^(-2/3). $$
Vastaus:$e^(-2/3)$.
Esimerkki 5. Etsi raja $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x).$ $
Ratkaisu. Korvaamme funktion $x=\infty$ ja saamme epävarmuuden muodossa $\left[ \frac(\infty)(\infty)\right]$. Ja tarvitsemme $\left$. Aloitetaan siis muuntamalla suluissa oleva lauseke:
$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x) = \lim\limits_ (x\to \infty)\vasen(\frac(x^3+(x-7)-(x-7)+2x^2+1)(x^3+x-7)\oikea)^(x ) = \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac((x^3+x-7)+(-x+7+2x^2+1))(x^3+x-7 )\oikea)^(x) = $$ $$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7) \oikea)^(x) = \lim\limits_(x\to \infty)\left(\left(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)\right) ^(\frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8))\oikea)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)) = $$
Suluissa oleva lauseke on itse asiassa toinen merkittävä raja $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, vain $t= \ frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8) \to \infty$, joten
$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7))= \lim\limits_ (x\to \infty)e^( \frac(2x^2-x+8)(x^2+1-7/x))= \lim\limits_(x\to \infty)e^( \frac (2-1/x+8/x^2)(1+1/x^2-7/x^3))=e^(2). $$
Tämä artikkeli: "Toinen merkittävä raja" on omistettu paljastamiselle muodon epävarmuustekijöiden rajoissa:
$ \bigg[\frac(\infty)(\infty)\bigg]^\infty $ ja $ ^\infty $.
Myös tällaiset epävarmuudet voidaan paljastaa käyttämällä eksponentiaalista logaritmia tehotoiminto, mutta tämä on erilainen ratkaisumenetelmä, jota käsitellään toisessa artikkelissa.
Kaava ja seuraukset
Kaava toinen merkittävä raja kirjoitetaan seuraavasti: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1+\frac(1)(x)\bigg)^x = e, \text( missä ) e \noin 2,718 $$
Se seuraa kaavasta seuraukset, joita on erittäin kätevä käyttää esimerkkien ratkaisemiseen rajoituksilla: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(k)(x) \bigg)^x = e^k, \text( jossa ) k \in \mathbb(R) $$ $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(1)(f(x)) \bigg)^(f(x)) = e $ $ $$ \lim_(x \to 0) \bigg (1 + x \iso)^\frac(1)(x) = e $$
On syytä huomata, että toista merkittävää rajaa ei voida aina soveltaa eksponentiaaliseen funktioon, vaan vain tapauksissa, joissa kanta pyrkii yhtenäisyyteen. Tätä varten laske ensin henkisesti pohjan raja ja tee sitten johtopäätökset. Kaikkea tätä käsitellään esimerkkiratkaisuissa.
Esimerkkejä ratkaisuista
Katsotaanpa esimerkkejä ratkaisuista, joissa käytetään suoraa kaavaa, ja sen seurauksia. Analysoimme myös tapauksia, joissa kaavaa ei tarvita. Riittää, kun kirjoittaa vain valmiin vastauksen.
| Esimerkki 1 |
| Etsi raja $ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) $ |
| Ratkaisu |
|
Korvataan ääretön rajaan ja katsotaan epävarmuutta: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) = \bigg (\frac (\infty)(\infty)\bigg)^\infty $$ Etsitään perustan raja: $$ \lim_(x\to\infty) \frac(x+4)(x+3)= \lim_(x\to\infty) \frac(x(1+\frac) (4)() x)))(x(1+\frac(3)(x))) = 1 $$ Olemme saaneet yhden verran kantaa, mikä tarkoittaa, että voimme jo soveltaa toista merkittävää rajaa. Tätä varten säädetään funktion kanta kaavaan vähentämällä ja lisäämällä yksi: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(x+4)(x+3) - 1 \bigg)^(x+3) = \lim_(x\to\infty) \ iso(1 + \frac(1)(x+3) \iso)^(x+3) = $$ Katsotaanpa toista seurausta ja kirjoitetaan vastaus muistiin: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ Jos et pysty ratkaisemaan ongelmaasi, lähetä se meille. Me tarjoamme yksityiskohtainen ratkaisu. Voit tarkastella laskennan edistymistä ja saada tietoa. Tämä auttaa sinua saamaan arvosanan opettajaltasi ajoissa! |
| Vastaus |
| $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ |
| Esimerkki 4 |
| Ratkaise raja $ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) $ |
| Ratkaisu |
|
Löydämme kantarajan ja näemme, että $ \lim_(x\to\infty) \frac(3x^2+4)(3x^2-2) = 1 $, mikä tarkoittaa, että voimme soveltaa toista merkittävää rajaa. Vakiosuunnitelman mukaan lisäämme ja vähennämme tutkinnon perusteesta yhden: $$ \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(3x^2+4)(3x^2-2)-1 \bigg) ^(3x) = \lim_(x\to \infty ) \bigg (1+\frac(6)(3x^2-2) \iso) ^(3x) = $$ Säädämme murtoluvun 2. sävelen kaavaan. raja: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(3x) = $$ Säädetään nyt aste. Potenssissa on oltava murto-osa, joka on yhtä suuri kuin kantaosan $ \frac(3x^2-2)(6) $ nimittäjä. Tee tämä kertomalla ja jakamalla aste sillä ja jatkamalla ratkaisemista: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(\frac(3x^2-2) (6) \cdot \frac(6)(3x^2-2)\cdot 3x) = \lim_(x\to \infty) e^(\frac(18x)(3x^2-2)) = $$ Tehon $ e $ raja on yhtä suuri kuin: $ \lim_(x\to \infty) \frac(18x)(3x^2-2) = 0 $. Jatkamme siis ratkaisua: |
| Vastaus |
| $$ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = 1 $$ |
Tarkastellaanpa tapauksia, joissa ongelma on samanlainen kuin toinen merkittävä raja, mutta voidaan ratkaista ilman sitä.
Artikkelissa: "Toinen merkittävä raja: esimerkkejä ratkaisuista" analysoitiin kaava, sen seuraukset ja esitettiin yleisiä ongelmatyyppejä tästä aiheesta.
Toisen merkittävän rajan kaava on lim x → ∞ 1 + 1 x x = e. Toinen kirjoitustapa näyttää tältä: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e.
Kun puhumme toisesta merkittävästä rajasta, joudumme käsittelemään muodon 1 ∞ epävarmuutta, ts. yhtenäisyys äärettömään määrään.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Tarkastellaan ongelmia, joissa kyky laskea toinen merkittävä raja on hyödyllinen.
Esimerkki 1
Etsi raja lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 .
Ratkaisu
Korvataan vaadittu kaava ja suorita laskelmat.
lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞
Vastauksemme osoittautui yhdeksi äärettömyyden voimaan. Ratkaisumenetelmän määrittämiseen käytämme epävarmuustaulukkoa. Valitaan toinen merkittävä raja ja tehdään muuttujien muutos.
t = - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 = - t 2
Jos x → ∞, niin t → - ∞.
Katsotaan mitä saimme vaihdon jälkeen:
lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = raja t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2
Vastaus: lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2 .
Esimerkki 2
Laske raja lim x → ∞ x - 1 x + 1 x .
Ratkaisu
Korvataan ääretön ja saadaan seuraava.
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞
Vastauksessa saimme jälleen saman asian kuin edellisessä tehtävässä, joten voimme jälleen käyttää toista merkittävää rajaa. Seuraavaksi meidän on valittava koko osa tehofunktion pohjasta:
x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1
Tämän jälkeen raja saa seuraavan muodon:
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x
Vaihda muuttujat. Oletetaan, että t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 ; jos x → ∞, niin t → ∞.
Sen jälkeen kirjoitamme muistiin, mitä saimme alkuperäisestä rajasta:
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 + 1 ∞ = e - 2 · (1 + 0) - 1 = e - 2
Tämän muunnoksen suorittamiseen käytimme rajojen ja potenssien perusominaisuuksia.
Vastaus: lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = e - 2 .
Esimerkki 3
Laske rajaraja x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 .
Ratkaisu
lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1 ∞
Sen jälkeen meidän on muutettava funktio soveltaaksemme toista suurta rajaa. Saimme seuraavat:
lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = raja x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5
Koska meillä on nyt samat eksponentit murtoluvun osoittajassa ja nimittäjässä (yhtä kuin kuusi), murto-osan raja äärettömyydessä on yhtä suuri kuin näiden kertoimien suhde suuremmilla tehoilla.
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = raja x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = raja x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3
Korvaamalla t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 saamme toisen merkittävän rajan. Tarkoittaa mitä:
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3
Vastaus: lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3 .
johtopäätöksiä
Epävarmuus 1 ∞, ts. ykseys äärettömään potenssiin on potenssilainepävarmuus, joten se voidaan paljastaa käyttämällä eksponentiaalisten potenssifunktioiden rajojen löytämisen sääntöjä.
Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter
On olemassa useita merkittäviä rajoja, mutta tunnetuimmat ovat ensimmäinen ja toinen merkittävä raja. Merkittävää näissä rajoissa on, että niitä käytetään laajalti ja niiden avulla voit löytää muita rajoja lukuisia tehtäviä. Näin teemme tämän oppitunnin käytännön osassa. Ongelmien ratkaisemiseksi vähentämällä ne ensimmäiseen tai toiseen merkittävään rajaan ei ole tarvetta paljastaa niihin sisältyviä epävarmuustekijöitä, koska suuret matemaatikot ovat jo pitkään päättäneet näiden rajojen arvot.
Ensimmäinen upea raja kutsutaan rajaksi äärettömän pienen kaaren sinin suhteelle samaan kaareen, ilmaistuna radiaanimittana:
Jatketaan ongelmien ratkaisemista ensimmäisellä merkittävällä rajalla. Huomaa: jos rajamerkin alla on trigonometrinen funktio, tämä on lähes varma merkki siitä, että tämä lauseke voidaan vähentää ensimmäiseen merkittävään rajaan.
Esimerkki 1. Löydä raja.
Ratkaisu. Korvaus sen sijaan x nolla johtaa epävarmuuteen:
.
Nimittäjä on sini, joten lauseke voidaan viedä ensimmäiseen merkittävään rajaan. Aloitetaan muunnos:
.
Nimittäjä on kolmen X:n sini, mutta osoittajassa on vain yksi X, mikä tarkoittaa, että sinun täytyy saada myös kolme X:ää osoittajaan. Minkä vuoksi? Esittelyssä 3 x = a ja saada ilmaisu.
Ja tulemme ensimmäisen merkittävän rajan muunnelmaan:
sillä ei ole väliä mikä kirjain (muuttuja) tässä kaavassa on X:n sijaan.
Kerromme X kolmella ja jaamme välittömästi:
.
Ensimmäisen havaitun huomattavan rajan mukaisesti korvaamme murtolausekkeen:
Nyt voimme vihdoin ratkaista tämän rajan:
.
Esimerkki 2. Löydä raja.
Ratkaisu. Suora korvaaminen johtaa jälleen "nolla jaettuna nollalla" -epävarmuuteen:
.
Ensimmäisen merkittävän rajan saamiseksi on välttämätöntä, että x:llä sinimerkin alla osoittajassa ja vain x:llä nimittäjässä on sama kerroin. Olkoon tämä kerroin yhtä suuri kuin 2. Tätä varten kuvittele x:n nykyinen kerroin alla, suorittamalla operaatioita murtoluvuilla, saamme:
.
Esimerkki 3. Löydä raja.
Ratkaisu. Korvattaessa saamme jälleen epävarmuuden "nolla jaettuna nollalla":
.
Luultavasti ymmärrät jo, että alkuperäisestä lausekkeesta saat ensimmäisen ihanan rajan kerrottuna ensimmäisellä upealla rajalla. Tätä varten jaamme osoittajan x:n ja nimittäjän sinin neliöt identtisiksi tekijöiksi, ja saadaksemme samat kertoimet x:lle ja sinille jaamme osoittajan x:n kolmella ja kerromme heti mennessä 3. Saamme:
.
Esimerkki 4. Löydä raja.
Ratkaisu. Jälleen kerran saamme epävarmuuden "nolla jaettuna nollalla":
.
Voimme saada kahden ensimmäisen merkittävän rajan suhteen. Jaamme sekä osoittajan että nimittäjän x:llä. Sitten, jotta sinien ja x:ien kertoimet ovat samat, kerrotaan ylempi x 2:lla ja jaetaan välittömästi kahdella ja kerrotaan alempi x 3:lla ja jaetaan välittömästi 3:lla.
Esimerkki 5. Löydä raja.
Ratkaisu. Ja taas "nolla jaettuna nollalla" epävarmuus:
Muistamme trigonometriasta, että tangentti on sinin ja kosinin suhde ja nollan kosini on yhtä kuin yksi. Suoritamme muunnokset ja saamme:
.
Esimerkki 6. Löydä raja.
Ratkaisu. Rajan merkin alla oleva trigonometrinen funktio viittaa jälleen ensimmäisen merkittävän rajan käyttöön. Esitämme sen sinin ja kosinin suhteena.
