Kunnallis oppilaitos"Kuntosali nro 41"
Valvoja: ,
matematiikan opettaja
Novouralsk, 2012.
Johdanto 3
1. Yleistä tietoa maagisista neliöistä 4
1.1. Maaginen neliö -konsepti 4
1.2. Maagisten neliöiden historiasta 4
1.3. Maagisten neliöiden tyypit 6
2. Maagisten neliöiden ratkaiseminen 6
2.1. Maagisten neliöiden ratkaiseminen (Bachet de Mezirac -menetelmä) 7
2.2. Ongelman kuvaus 8
2.3. Algoritmi maagisten neliöiden ratkaisemiseen 8
2.4. Todiste algoritmista (in algebrallinen muoto) 9
2.5. Esimerkki maagisen neliön ratkaisemisesta algoritmilla 10
3. Maagisten neliöiden käyttäminen 11
3.1. Erilaisia maagisten neliöiden yleistämistä 11
3.2. Latinalaisen neliön käyttö 12
4. Yleiset johtopäätökset 13
5. Johtopäätös 14
6. Viitteet 15
Liite 1
Liite 2
Liite 3
Johdanto
Matematiikkakerhossa kohtasimme ongelmia, jotka liittyivät neliön solujen täyttämiseen erityissääntöjen mukaisesti. Ehdotetut numerot oli syötettävä niin, että tulos täyttää useita ehtoja kerralla:
Jos lasket yhteen kaikki kunkin rivin numerot,
Jos lasket yhteen kaikki luvut kussakin sarakkeessa,
Jos lasket yhteen kaikki luvut kahdessa lävistäjässä,
niin kaikki nämä summat ovat yhtä suuria kuin sama luku.
Huolimatta siitä, että tehtävät erosivat alkulukujen, lukujärjestyksen ja summan määrittelyn suhteen, ne olivat kaikki samanlaisia ja ratkaisut samantyyppisiä.
Ajatus syntyi paitsi kunkin ongelman ratkaisemisesta, myös yleisen ratkaisualgoritmin keksimisestä ja myös historiallisen tiedon löytämisestä tämän tyyppisistä ongelmista kirjallisuudesta.
Kävi ilmi, että meitä kiinnostavia hahmoja kutsutaan taikaneliöiksi, jotka tunnetaan muinaisista ajoista lähtien. Niitä käsitellään tässä työssä.
Työn tavoite: systematisoi tietoa maagisista neliöistä, kehitä algoritmi niiden ratkaisemiseksi.
Tehtävät:
1. Tutki maagisten neliöiden syntyhistoriaa.
2. Tunnista maagisten neliöiden tyypit.
3. Opi tapoja ratkaista maagisia neliöitä.
4. Kehitä ja todista ratkaisualgoritmi.
5. Määritä maagisten neliöiden käyttö.
1.Yleistä tietoa maagisista neliöistä
1.1. Maagisen neliön käsite
Maagiset neliöt ovat erittäin suosittuja tänäkin päivänä. Nämä ovat neliöitä, joihin on kirjoitettu numeroita jokaiseen soluun niin, että minkä tahansa vaaka-, pystysuoran ja lävistäjän numeroiden summat ovat yhtä suuret. Tunnetuin on taika-aukio, joka on kuvattu saksalaisen taiteilijan A. Dürerin kaiverruksessa ”Melankolia” (Liite 1).
1.2. Maagisten neliöiden historiasta
Numeroista on tullut niin osa ihmiselämää, että he alkoivat pitää kaikenlaisia maagisia ominaisuuksia. Jo useita tuhansia vuosia sitten Muinainen Kiina innostui taikaneliöiden tekemisestä. Neliön muotoisia amuletteja löydettiin arkeologisten kaivausten aikana Kiinasta ja Intiasta. Neliö jaettiin yhdeksään pieneen ruutuun, joihin kirjoitettiin numerot 1:stä 9:ään. On huomionarvoista, että minkä tahansa pysty-, vaaka- ja diagonaalilukujen summat olivat yhtä suuret kuin sama luku 15 (kuva 1). .
Kuva 1.
Keskiajalla maagiset neliöt olivat erittäin suosittuja. Yksi maagisista neliöistä on kuvattu kuuluisan saksalaisen taiteilijan Albrecht Dürerin kaiverruksessa "Melankolia". Neliön 16 solua sisältävät numeroita 1-16, ja lukujen summa kaikkiin suuntiin on 34. On outoa, että alarivin keskellä olevat kaksi numeroa osoittavat kuvan luomisvuoden - 1514. maagiset neliöt olivat suosittu harrastus matemaatikoiden keskuudessa, esimerkiksi 43x43, jotka sisälsivät numeroita 1-1849, ja maagisten neliöiden ilmoitettujen ominaisuuksien lisäksi niillä on myös monia muita ominaisuuksia. On keksitty tapoja rakentaa kaikenkokoisia taikaneliöitä, mutta kaavaa, jolla maagisten neliöiden lukumäärä voitaisiin selvittää, ei ole vielä löydetty. annettu koko. Tiedetään, ja voit helposti näyttää tämän itse, että 2x2 taikaneliöitä ei ole olemassa, on täsmälleen yksi 3x3 taikaneliö, loput tällaiset neliöt saadaan siitä kiertojen ja symmetrioiden avulla. Maagisia 4x4-ruutuja on jo 800 ja 5x5-ruutujen määrä on lähes neljännesmiljoonaa.
1.3. Maagisten neliöiden tyypit
Maaginen(maaginen neliö) n 2 numeroa siten, että kunkin rivin, jokaisen sarakkeen ja molemmissa lävistäjässä olevien numeroiden summa on sama.
Puolimaaginen neliö on nxn-neliötaulukko täytetty n 2 numeroa siten, että lukujen summat ovat yhtä suuret vain riveillä ja sarakkeilla.
Normaali– maaginen neliö, joka on täynnä kokonaislukuja 1:stä n 2.
Assosiatiivinen (symmetrinen) - maaginen neliö, jossa minkä tahansa kahden neliön keskipisteen ympärillä symmetrisesti sijaitsevan luvun summa on yhtä suuri n 2 + 1.
Paholaisen (pandiagonaalinen) maaginen neliö- maaginen neliö, jossa murtuneiden lävistäjien (lävistäjät, jotka muodostuvat, kun neliö taitetaan torukseksi) molempiin suuntiin olevien lukujen summat osuvat myös yhteen maagisen vakion kanssa.
Siellä on 48 4x4 pirullista taikaruutua pyörimis- ja heijastustarkkuudella. Jos otamme huomioon myös niiden lisäsymmetria - toriset rinnakkaiskäännökset, jäljelle jää vain 3 merkittävästi erilaista neliötä (kuva 2).
Kuva 2.
Neljännen asteen pandiagonaalisilla neliöillä on useita lisäominaisuuksia jota varten heidät on kutsuttu täydellinen. Ei ole olemassa täydellisiä parittoman järjestyksen neliöitä. Pandiagonaalisten neliöiden joukossa, joiden kaksinkertainen pariteetti on yli 4, on täydellisiä.
Viidennen asteen pandiagonaalisia ruutuja on 3600. Toric rinnakkaiskäännökset huomioon ottaen on olemassa 144 erilaista pandiagonaalista ruutua.
2. Taikaneliöiden ratkaiseminen
2.1 Maagisten neliöiden ratkaiseminen (Bachet de Mezirac -menetelmä)
Maagisten neliöiden rakentamissäännöt on jaettu kolmeen luokkaan sen mukaan, onko neliön järjestys pariton, kaksinkertainen pariton luku vai neljä kertaa pariton luku. Yleinen menetelmä Kaikkien neliöiden rakennetta ei tunneta, vaikka erilaisia järjestelmiä käytetään laajalti. On mahdollista löytää kaikki kertaluvun n maagiset neliöt vain arvolle n ≤ 4.
Satunnaisen suurikokoisten normaaleiden maagisten neliöiden ratkaisemiseksi käytämme ranskalaisen matemaatikon Claude Bachet de Meziracin vuonna 1612 kuvaamaa menetelmää. Hänen kirjansa venäjänkielinen käännös julkaistiin Pietarissa vuonna 1877 otsikolla "Matematiikkaan perustuvat pelit ja ongelmat".
Ruutupaperille on kätevää rakentaa maaginen neliö. Olkoon n pariton luku, ja meidän on rakennettava neliö nxn numeroilla 1 - n2, edetään vaiheittain.
1. Kirjoitamme kaikki luvut 1:stä n2:een soluihin vinottain (n numeroa peräkkäin) muodostamaan diagonaalisen neliön.
2. Valitse nxn-neliö sen keskeltä. Tämä on tulevan maagisen neliön perusta (kaikki solut eivät ole vielä täynnä).
3. Siirrämme varovasti jokaista numeerista "kulmaa", joka sijaitsee sisällä olevan keskusneliön ulkopuolella - neliön vastakkaiselle puolelle. Näiden kulmien numeroiden on täytettävä kaikki tyhjät solut. Maaginen aukio on rakennettu.
Otetaan esimerkki 3x3 neliön täyttämisestä numeroilla 1 - 9. Tätä varten lisäämme neliöön lisää soluja, jotta saadaan diagonaalit. Täytä ensin diagonaaliset solut numeroilla 1-9 (kuva 3), sitten "taivuta kulmat" sisäänpäin vastakkaiselle puolelle neliön tyhjiin soluihin (kuva 4).
Kuva 3. Kuva 4.
2.2. Ongelman muotoilu.
Kuvataanpa menetelmämme maagisten neliöiden ratkaisemiseksi. Keskitytään 3x3 maagisten neliöiden matemaattisen mallin tutkimiseen.
Ongelman yleinen muotoilu.
Numeroita on yhdeksän. Ne on sijoitettava 3x3 neliön soluihin siten, että missä tahansa pystysuorassa, vaakasuorassa ja diagonaalissa numeroiden summat ovat yhtä suuret.
2.3. Algoritmi maagisen neliön ratkaisemiseksi
Algoritmin sanallinen kuvaus
1. Järjestä numerot nousevaan järjestykseen.
2. Etsi keskusnumero (viides järjestyksessä).
3. Määritä parit säännön mukaan: 1 pari - ensimmäinen numero ja yhdeksäs,
2 paria - toinen numero ja kahdeksas,
3 paria - kolmas numero ja seitsemäs,
4 paria – neljäs numero ja kuudes.
4. Selvitä lukujen summa (S), joka pitäisi saada lisäämällä numeroita jokaista pystysuoraa, vaaka- tai diagonaalia pitkin: lisää pienin, keskimmäinen, suurin iso luku, eli numerot 1 pari keskusnumeron kanssa.
5. Aseta keskusnumero neliön keskelle.
6. Syötä ensimmäinen numeropari tyhjiin soluihin keskellä olevaa vaaka- (tai pystysuoraa) viivaa pitkin.
7. Kirjoita muistiin toinen numeropari mitä tahansa diagonaalia pitkin (niin että suurempi määrä ensimmäinen pari päätyi sarakkeeseen, jossa on pienempi määrä toista paria).
8. Laske numero, joka on kirjoitettava johonkin uloimmista sarakkeista säännön mukaan:
Vähennä S:stä sarakkeen soluissa olevien kahden luvun summa saadaksesi luvun.
9. Kirjoita diagonaalisesti tuloksena olevaan numeroon sen parin toinen numero.
10. Kirjoita jäljellä oleviin soluihin viimeinen lukupari säännön mukaisesti: kirjoita parin suurempi numero riville pienemmän kanssa ja pienempi jäljellä olevaan tyhjään soluun.
2.4. Todiste maagisen neliön oikeasta valmistumisesta
(Ratkaisu ongelmaan yleisessä muodossa)
Osoitetaan, että neliön pysty-, vaaka- ja diagonaaleja pitkin olevien lukujen summat ovat algoritmin suorittamisen tuloksena yhtä suuret.
Olkoon jokainen seuraava numero tilauksen jälkeen eroava edellisestä vakiomäärällä X. Ilmaistaan kaikki luvut läpi a1(pienin luku) ja X:
a1, a2=a1+x,
a3=a2+X=a1+2x,
a4=a1+3x,
a5=a1+4x,
a6=a1+5x,
a7=a1+6x,
a8=a1+7x,
a9 = a1 +8 x.
Etsitään summa S ja ilmaise se numeroiden avulla a1 Ja X: S= a1 + a5 + a9 =3 a1 +12 x.
Olkoon maaginen neliö täytettävä ehdotetun algoritmin mukaan.
Osoittakaamme, että neliön vaakasuunnassa, pystysuunnassa ja diagonaalisesti sijaitsevien lukujen summat ovat yhtä suuret S.
Pystysuoraan:
S1=a4+a3+a8=a1+a1+a1+3x+2x+7x=3a1+12x=S
S2=a9+a5+a1=a1+a1+a1+8x+4x=3a1+12x=S
S3=a2+a7+a6=a1+a1+a1+x+6x+5x=3a1+12x=S
Vaakasuunnassa:
S4=a4+a9+a2=a1+a1+a1+3x+8x+x=3a1+12x=S
S5=a3+a5+a7=a1+a1+a1+2x+4x+6x=3a1+12x=S
S6=a8+a1+a6=a1+a1+a1+7x+5x=3a1+12x=S
Diagonaalisesti:
S7=a4+a5+a6=a1+a1+a1+3x+4x+5x=3a1+12x=S
S8=a8+a5+a2=a1+a1+a1+7x+4x+x=3A1 +12x=S
Saimme samat summat. Väite on todistettu.
Huomautus.
Tällä tavalla järjestetyt luvut muodostavat aritmeettisen progression. Tässä järjestyksessä (järjestyksen jälkeen) a1 on ensimmäinen termi aritmeettinen progressio, x on aritmeettisen etenemisen erotus. Lukuille, jotka eivät muodosta aritmeettista etenemistä, algoritmi ei toimi.
2.5. Esimerkki maagisten neliöiden ratkaisemisesta
Annetut numerot ovat: 5,2,4,8,1,3,7,9,6. Täytä maaginen neliö annetuilla numeroilla.
1. 1,2,3,4,5,6,7,8,9.
2. Saimme keskusnumeron 5.
3. Parit: 1 ja 9, 2 ja 8, 3 ja 7, 4 ja 6.
4. S = 5+1+9= 15 - summa.
8. 15-(9+2)=4
Tämä algoritmi eroaa merkittävästi Bachet de Meziriacin menetelmästä. Toisaalta se vaatii lisälaskelmia (menetelmän haittapuoli, toisaalta menetelmämme ei vaadi lisärakenteita (diagonaalineliö). Lisäksi menetelmää voidaan soveltaa ei vain peräkkäisiin luonnollisiin lukuihin 1 - 9, vaan myös kaikkiin yhdeksään numeroon, jotka ovat aritmeettisen progression jäseniä, missä näemme sen edut. Lisäksi maaginen vakio määräytyy automaattisesti - kunkin diagonaalin, pysty- ja vaakasuuntaisen numeroiden summa.
3. Taikaneliöiden käyttäminen
3.1. Erilaisia maagisten neliöiden yleistämistä
Maagisten neliöiden muodostamisen ja kuvaamisen ongelma on kiinnostanut matemaatikoita muinaisista ajoista lähtien. kuitenkin täysi kuvaus Kaikkia mahdollisia maagisia neliöitä ei ole saatu tähän päivään mennessä. Kun neliön koko (solujen lukumäärä) kasvaa, mahdollisten maagisten neliöiden määrä kasvaa nopeasti. Neliöiden joukossa suuret koot Siellä on neliöitä, joilla on mielenkiintoisia ominaisuuksia. Esimerkiksi kuvan nro 5 neliössä ei vain rivien, sarakkeiden ja diagonaalien lukujen summat ole yhtä suuret, vaan myös viitosten summat "rikkinäisten" diagonaaleja pitkin, jotka on yhdistetty kuvassa värillisillä viivoilla.
Kuva 5. Kuva 6.
Latinalaiset neliöt ovat neliö, jossa on n x n solua, johon kirjoitetaan numerot 1, 2, ..., n ja siten, että kaikki nämä luvut esiintyvät kerran jokaisella rivillä ja jokaisella sarakkeella. (Kuva 6) näyttää kaksi tällaista 4x4 latinalaista neliötä. Niillä on mielenkiintoinen ominaisuus: jos yksi neliö asetetaan toisen päälle, kaikki tuloksena olevat numeroparit osoittautuvat erilaisiksi. Tällaisia latinalaisten neliöiden pareja kutsutaan ortogonaaleiksi. Ortogonaalisten latinalaisten neliöiden löytämisen ongelman esitti ensimmäisenä L. Euler ja näin viihdyttävässä sanamuodossa: "36 upseerin joukossa on yhtä paljon lansseja, lohikäärmeitä, husaareja, kirasiereja, ratsuväen vartijoita ja kranaattereita sekä lisäksi yksi yhtä monta kenraaleja, everstejä, majureita, kapteeneja, luutnantteja ja yliluutnantteja, ja Jokaista armeijan haaraa edustavat kaikkien kuuden tason upseerit. Onko mahdollista asettaa nämä upseerit 6x6 neliöön niin, että missä tahansa sarakkeessa on kaikenarvoisia upseereita?" (Liite 2).
L. Euler ei löytänyt ratkaisua tähän ongelmaan. Vuonna 1901 todistettiin, ettei tällaista ratkaisua ollut olemassa.
3.2. Latinalaisen neliön soveltaminen
Magic ja Latinalaiset neliöt ovat lähisukulaisia. Latinalaisten neliöiden teoria on löytänyt lukuisia sovelluksia sekä matematiikassa että sen sovelluksissa. Otetaan esimerkki. Oletetaan, että haluamme testata kahden vehnälajikkeen satoa tietyllä alueella, ja haluamme ottaa huomioon sadon harvalukuisuuden ja kahden lannoitteen vaikutuksen. Tätä varten jaamme neliön alueen 16 yhtä suureen osaan (kuva 7). Istutamme ensimmäisen vehnälajikkeen alempaa vaakasuoraa raitaa vastaaville pelloille, istutamme seuraavan lajikkeen neljälle seuraavaa raitaa vastaavalle palstalle jne. (kuvassa lajike on merkitty värillä.)
Maatalous" href="/text/category/selmzskoe_hozyajstvo/" rel="bookmark">maatalous, fysiikka, kemia ja tekniikka.
4. Yleiset johtopäätökset
Tapasin työni aikana erilaisia tyyppejä Taikaneliöt, opit ratkaisemaan normaaleja maagisia neliöitä Bachet de Mezirac -menetelmällä. Koska ratkaisumme 3x3 maagisiin neliöihin erosi määritetystä menetelmästä, mutta antoi meille mahdollisuuden täyttää neliön solut joka kerta oikein, haluttiin kehittää oma algoritmi. Tämä algoritmi on kuvattu yksityiskohtaisesti työssä ja todistettu algebrallisessa muodossa. Kävi ilmi, että se ei sovellu vain normaaleihin neliöihin, vaan myös 3x3-ruutuihin, joissa luvut muodostavat aritmeettisen progression. Onnistuimme myös löytämään esimerkkejä taikuuden ja latinalaisten neliöiden käytöstä.
Opin: ratkaisemaan maagisia neliöitä, kehittämään ja kuvaamaan algoritmeja, todistamaan väitteitä algebrallisessa muodossa. Opin uusia käsitteitä: aritmeettinen progressio, maaginen neliö, maaginen vakio, tutkin neliötyyppejä.
Valitettavasti kehittämäni algoritmi tai Bachet de Mezirac -menetelmä eivät mahdollista 4x4 maagisten neliöiden ratkaisemista. Siksi halusin luoda ratkaisualgoritmin tällaisille neliöille tulevaisuudessa.
5. Johtopäätös
Tässä työssä tutkittiin maagisia neliöitä ja pohdittiin niiden syntyhistoriaa. Maagisten neliöiden tyypit määriteltiin: maaginen tai maaginen neliö, puolimaaginen neliö, normaali, assosiatiivinen, pirullinen taikaneliö, täydellinen.
Joukossa olemassa olevia menetelmiä Niiden ratkaisemiseksi valittiin Bachet de Meziriacin menetelmä, jota testattiin esimerkkien avulla. Lisäksi 3x3 maagisten neliöiden ratkaisemiseen ehdotetaan omaa ratkaisualgoritmiamme ja matemaattinen todistus esitetään algebrallisessa muodossa.
Ehdotettu algoritmi eroaa merkittävästi Bachet de Meziriacin menetelmästä. Toisaalta se vaatii lisälaskelmia (toisaalta menetelmän haittana, lisärakenteita ei tarvita). Menetelmää ei voida soveltaa vain peräkkäisiin luonnollisiin lukuihin 1 - 9, vaan myös kaikkiin yhdeksään numeroon, jotka ovat aritmeettisen progression jäseniä, missä näemme sen edut. Lisäksi maaginen vakio määräytyy automaattisesti - kunkin diagonaalin, pysty- ja vaakasuuntaisen numeroiden summa.
Työssä esitetään yleistys maagisista neliöistä - latinalaisista neliöistä ja kuvataan niiden käytännön sovellutuksia.
Tätä työtä voidaan käyttää matematiikan tunneilla a lisämateriaalia, sekä kerhotunneilla ja in yksilöllistä työtä opiskelijoiden kanssa.
6. Viitteet
1. Numeroiden maailman mysteerit / Comp. – D.: Stalker, 1997.-448 s.
2. Nuoren matemaatikon tietosanakirja / Comp. – M.: Pedagogiikka, 1989 – 352 s.: ill.
3. Tietosanakirja lapsille. T11. Matematiikka / Ch. toim. – M.: Avanta+, 2000 – 688 s.: ill.
4. Tutkin maailmaa: Lasten tietosanakirja: Mathematics / Comp. – ja muut – M.: AST, 1996. – 480 s.: ill.
On olemassa erilaisia tekniikoita yhden ja kaksoispariteetin neliöiden rakentamiseen.
Laske maaginen vakio. Tämä voidaan tehdä käyttämällä yksinkertaista matemaattinen kaava/ 2, jossa n on rivien tai sarakkeiden lukumäärä neliössä. Esimerkiksi neliössä 6x6 n=6, ja sen maaginen vakio on:
- Maaginen vakio = / 2
- Maaginen vakio = / 2
- Maaginen vakio = (6 * 37) / 2
- Maaginen vakio = 222/2
- 6x6 neliön maaginen vakio on 111.
- Minkä tahansa rivin, sarakkeen ja diagonaalin lukujen summan on oltava yhtä suuri kuin maaginen vakio.
Jaa maaginen neliö neljään samankokoiseen kvadranttiin. Merkitse kvadrantit A (vasemmalla yläkulmalla), C (oikealla yläkulmalla), D (vasemmalla alhaalla) ja B (oikealla alhaalla). Saat selville kunkin kvadrantin koon jakamalla n kahdella.
- Siten 6x6 neliössä kunkin kvadrantin koko on 3x3.
Kirjoita neljännekseen A kaikkien lukujen neljäs osa; kirjoita neljännekseen B:n seuraava neljäsosa kaikista numeroista; kirjoita neljäsosa C-neljänneksestä kaikista numeroista; kirjoita neljännekseen D kaikkien lukujen viimeinen neljännes.
- Esimerkissämme 6x6 neliöstä, kirjoita neljännekseen A numerot 1-9; kvadrantissa B - numerot 10-18; neljänneksessä C - numerot 19-27; kvadrantissa D - numerot 28-36.
Kirjoita jokaisen neljänneksen numerot muistiin, kuten kirjoittaisit parittoman neliön. Aloita esimerkissämme kvadrantin A täyttäminen numeroilla, jotka alkavat 1:stä, ja neljännesten C, B ja D täyttämistä - alkaen vastaavasti numeroista 10, 19 ja 28.
- Kirjoita aina numero, josta aloitat kunkin kvadrantin täyttämisen, tietyn neljänneksen ylimmän rivin keskisoluun.
- Täytä jokainen kvadrantti numeroilla ikään kuin se olisi erillinen maaginen neliö. Jos kvadranttia täytettäessä on käytettävissä tyhjä solu toisesta kvadrantista, jätä tämä huomioimatta ja käytä parittomien neliöiden täyttösäännön poikkeuksia.
Korosta tietyt numerot neljänneksissä A ja D. Tässä vaiheessa sarakkeiden, rivien ja diagonaalisesti olevien numeroiden summa ei ole yhtä suuri kuin maaginen vakio. Siksi sinun on vaihdettava numerot tietyissä vasemman ylä- ja alavasemman neljänneksen soluissa.
- Aloita neljänneksen A ylimmän rivin ensimmäisestä solusta, valitse solujen lukumäärä, joka vastaa koko rivin solujen mediaanimäärää. Valitse siis 6x6 neliöstä vain ensimmäinen solu A-kvadrantin ylimmästä rivistä (numero 8 kirjoitetaan tähän soluun); 10x10 neliöstä sinun on valittava A-neljänneksen ylimmän rivin kaksi ensimmäistä solua (numerot 17 ja 24 kirjoitetaan näihin soluihin).
- Muodosta välineliö valituista soluista. Koska olet valinnut vain yhden solun 6x6 neliöstä, väliruutu koostuu yhdestä solusta. Kutsutaan tätä väliruutua A-1.
- Valitsit 10 x 10 neliöstä kaksi ylimmän rivin solua, joten sinun on valittava kaksi ensimmäistä solua toisesta rivistä muodostaaksesi neljän solun 2 x 2 välineliön.
- Ohita seuraavalla rivillä ensimmäisen solun numero ja korosta sitten niin monta numeroa kuin korostit väliruudussa A-1. Kutsutaan tuloksena olevaa välineliötä A-2.
- Välineliön A-3 saaminen on samanlaista kuin välineliön A-1 saaminen.
- Väliruudut A-1, A-2, A-3 muodostavat valitun alueen A.
- Toista kvadrantissa D kuvattu prosessi: luo välineliöt, jotka muodostavat valitun alueen D.
MAAGIC NELIÖ
neliönmuotoinen kokonaislukutaulukko, jossa minkä tahansa rivin, minkä tahansa sarakkeen ja minkä tahansa kahdesta päälävistäjästä olevien numeroiden summat ovat yhtä suuret. Maaginen neliö on muinaista kiinalaista alkuperää. Legendan mukaan keisari Yun hallituskaudella (n. 2200 eKr.) Keltaisen joen (Yellow River) vesistä nousi pyhä kilpikonna, jonka kuoreen oli kaiverrettu salaperäisiä hieroglyfiä (kuva 1a), ja nämä merkit ovat tunnetaan nimellä lo-shu ja ne vastaavat kuvassa 1 esitettyä maagista neliötä. 1, b. 11-luvulla He oppivat maagisista neliöistä Intiassa ja sitten Japanissa, missä 1500-luvulla. Maagisille neliöille on omistettu laajaa kirjallisuutta. Eurooppalaiset tutustuivat maagisiin neliöihin 1400-luvulla. Bysanttilainen kirjailija E. Moschopoulos. Ensimmäisenä eurooppalaisen keksimänä neliönä pidetään A. Durerin neliötä (kuva 2), joka on kuvattu hänen kuuluisassa kaiverruksessaan Melankolia 1. Kaiverruksen luomispäivämäärä (1514) on osoitettu numeroilla kahdessa keskellä. alimman rivin solut. Maagisille neliöille annettiin useita mystisiä ominaisuuksia. 1500-luvulla Cornelius Heinrich Agrippa rakensi 3., 4., 5., 6., 7., 8. ja 9. luokan neliöitä, jotka yhdistettiin 7 planeetan astrologiaan. Hopeaan kaiverretun maagisen neliön uskottiin suojaavan ruttoa vastaan. Vielä nykyäänkin eurooppalaisten ennustajien ominaisuuksien joukossa voit nähdä maagisia neliöitä.
1800- ja 1900-luvuilla. kiinnostus maagisia neliöitä kohtaan heräsi uutta voimaa. Niitä alettiin tutkia korkeamman algebran ja operaatiolaskennan menetelmillä. Jokaista maagisen neliön elementtiä kutsutaan soluksi. Neliö, jonka sivu koostuu n solusta sisältää n2 solua ja jota kutsutaan n:nnen kertaluvun neliöksi. Useimmat maagiset neliöt käyttävät ensimmäistä n peräkkäistä luonnollista lukua. Jokaisen rivin, jokaisen sarakkeen ja minkä tahansa diagonaalin S-luvun summaa kutsutaan neliövakioksi ja se on yhtä suuri kuin S = n(n2 + 1)/2. On todistettu, että n = 3. Kolmannen kertaluvun neliölle S = 15, 4. kertaluokkaa - S = 34, 5. kertaluokkaa - S = 65. Neliön keskipisteen läpi kulkevia kahta lävistäjää kutsutaan päälävistäjäksi. Katkoviiva on lävistäjä, joka, saavutettuaan neliön reunan, jatkuu samansuuntaisesti ensimmäisen segmentin kanssa vastakkaisesta reunasta (sellaisen diagonaalin muodostavat kuvan 3 varjostetut solut). Soluja, jotka ovat symmetrisiä neliön keskustan suhteen, kutsutaan vinosymmetrisiksi. Näitä ovat esimerkiksi kuvan 1 solut a ja b. 3.
Maagisten neliöiden rakentamissäännöt on jaettu kolmeen luokkaan sen mukaan, onko neliön järjestys pariton, kaksinkertainen pariton luku vai neljä kertaa pariton luku. Yleistä menetelmää kaikkien neliöiden rakentamiseksi ei tunneta, vaikka erilaisia kaavioita käytetään laajalti, joista joitain tarkastellaan alla. Parittoman järjestyksen maagisia neliöitä voidaan rakentaa 1600-luvun ranskalaisen geometrian menetelmällä. A. de la Lubera. Tarkastellaan tätä menetelmää 5. asteen neliön esimerkillä (kuva 4). Numero 1 sijoitetaan ylimmän rivin keskisoluun. Kaikki luonnolliset luvut on järjestetty luonnolliseen järjestykseen syklisesti alhaalta ylös diagonaalisiin soluihin oikealta vasemmalle. Kun olet saavuttanut neliön yläreunan (kuten numeron 1 tapauksessa), jatkamme diagonaalin täyttämistä seuraavan sarakkeen alasolusta alkaen. Kun olet saavuttanut neliön oikean reunan (numero 3), jatkamme yllä olevan rivin vasemmasta solusta tulevan diagonaalin täyttämistä. Saavutettuaan täytettyyn soluun (numero 5) tai nurkkaan (numero 15), liikerata laskee yhden solun alaspäin, jonka jälkeen täyttöprosessi jatkuu.
F. de la Hiren (1640-1718) menetelmä perustuu kahteen alkuperäiseen neliöön. Kuvassa Kuva 5 näyttää kuinka tätä menetelmää käytetään viidennen asteen neliön rakentamiseen. Numerot 1-5 syötetään ensimmäisen neliön soluun siten, että numero 3 toistuu päälävistäjän soluissa ylöspäin oikealle, eikä yksittäinen numero esiinny kahdesti samalla rivillä tai samassa sarakkeessa. Teemme samoin numeroiden 0, 5, 10, 15, 20 kanssa sillä ainoalla erolla, että luku 10 toistetaan nyt päälävistäjän soluissa ylhäältä alas (kuva 5, b). Näiden kahden neliön summa solulta solulta (kuva 5,c) muodostaa maagisen neliön. Tätä menetelmää käytetään myös parillisen järjestyksen neliöiden rakentamiseen.
Jos tiedät tavan muodostaa neliöitä, joiden kertaluku on m ja n, voit rakentaa neliön, jonka kertaluku on mґn. Tämän menetelmän olemus on esitetty kuvassa. 6. Tässä m = 3 ja n = 3. Kolmannen kertaluvun suurempi neliö (joissa numerot on merkitty alkuluvuilla) muodostetaan de la Loubertin menetelmällä. Soluun, jossa on numero 1ў (ylemmän rivin keskussolu), sopii 3. kertaluvun neliö luvuista 1-9, joka on myös muodostettu de la Lubertin menetelmällä. Solussa, jossa on numero 2ў (oikealla alimmalla rivillä), sopii 3. kertaluvun neliö numeroilla 10-18; solussa numerolla 3ў - numeroiden neliö välillä 19-27 jne. Tuloksena saamme 9. kertaluvun neliön. Tällaisia neliöitä kutsutaan komposiiteiksi.
Collier's Encyclopedia. – Avoin yhteiskunta. 2000 .
Katso, mitä "MAGIC SQUARE" on muissa sanakirjoissa:
Neliö, joka on jaettu yhtä suureen määrään n sarakkeita ja rivejä, joista ensimmäinen n2 on merkitty tuloksena oleviin soluihin luonnolliset luvut, jotka laskevat yhteen jokaisen sarakkeen, jokaisen rivin ja kaksi suurta diagonaalia, jotka ovat samat... Suuri Ensyklopedinen sanakirja
MAGIC SQUARE, neliömatriisi, joka on jaettu soluihin ja täytetty numeroilla tai kirjaimilla tietyllä tavalla, mikä korjaa erityisen maagisen tilanteen. Yleisin kirjainneliö on SATOR, joka koostuu sanoista SATOR, AREPO,... ... Tieteellinen ja tekninen tietosanakirja
Neliö, joka on jaettu yhtä suureen määrään n sarakkeita ja rivejä, ja tuloksena oleviin soluihin on kirjoitettu luonnollisia lukuja 1 - n2, jotka muodostavat saman luvun kullekin sarakkeelle, jokaiselle riville ja kahdelle suurelle diagonaalille. Kuvassa esimerkki M. k. Luonnontiede. tietosanakirja
Maaginen tai maaginen neliö on neliötaulukko, joka on täytetty numeroilla siten, että kunkin rivin, jokaisen sarakkeen ja molempien diagonaalien numeroiden summa on sama. Jos neliön lukujen summat ovat yhtä suuret vain riveissä ja sarakkeissa, niin ... Wikipedia
Neliö, joka on jaettu yhtä suureen määrään n sarakkeita ja rivejä, joista ensimmäiset n2 luonnollista lukua on merkitty tuloksena oleviin soluihin, jotka laskevat yhteen saman luvun jokaiselle sarakkeelle, jokaiselle riville ja kahdelle suurelle diagonaalille. Kuvassa esimerkki...... tietosanakirja
Neliö, joka on jaettu yhtä suureen määrään n sarakkeita ja rivejä, joista ensimmäiset n2 luonnollista lukua on kirjoitettu tuloksena oleviin soluihin, jotka laskevat yhteen jokaisen sarakkeen, jokaisen rivin ja kahden suuren diagonaalin saman luvun [saa kuin... ... Suuri Neuvostoliiton tietosanakirja
Neliötaulukko kokonaisluvuista 1 - n2, tyydyttävä seuraavat ehdot: missä s=n(n2+1)/2. Harkitaan myös yleisempiä matemaattisia yhtälöitä, joissa ei vaadita, että mitään lukua a karakterisoidaan yksiselitteisesti jäännösparilla (a, b) modulo n(numerot... Matemaattinen tietosanakirja
Kirja Neliö, joka on jaettu osiin, joista jokainen sisältää luvun, joka laskee yhteen saman luvun muiden kanssa vaaka-, pysty- tai vinottain. BTS, 512… Suuri sanakirja venäläisiä sanontoja
- (Kreikan magikos, sanasta magos taikuri). Maaginen, liittyy taikuuteen. Sanakirja vieraita sanoja, sisältyy venäjän kieleen. Chudinov A.N., 1910. MAAGISTA taikuutta. Venäjän kielen vieraiden sanojen sanakirja. Pavlenkov F., 1907 ... Venäjän kielen vieraiden sanojen sanakirja
Se on kolmiulotteinen versio maagisesta neliöstä. Perinteinen (klassinen) taikakuutio luokkaa n on kuutio, jonka mitat ovat n × n × n ja joka on täytetty erilaisilla luonnollisilla luvuilla 1 - n3 siten, että minkä tahansa 3n2 rivin lukujen summat, ... ... Wikipedia
Kirjat
- Magic Square, Irina Bjorno, "Magic Square" on kokoelma maagisen realismin tyyliin kirjoitettuja tarinoita ja novelleja, joissa todellisuus kietoutuu tiiviisti taikuuteen ja fantasiaan muodostaen uuden, maagisen tyylin -... Luokka: Kauhu ja mysteeri Kustantaja: Publishing Solutions, e-kirja (fb2, fb3, epub, mobi, pdf, html, pdb, lit, doc, rtf, txt)
XIII koululaisten tieteellinen ja käytännön konferenssi
"Maagiset neliöt"
8 "A" luokan oppilaita
PTP Lyseum
Sholokhova Anna
Päällikkö Anokhin M.N.
Teokseni syntyhistoria…………………………………………………………………
Maaginen neliö................................................ ...................................3
Historiallisesti merkittävät maagiset neliöt................................4-5
NELIÖ LÖYTYY KHAJURAHOSTA (INTIA).......6
Yang Huin maaginen aukio (Kiina)................................................ ..7
Albrecht Durer Square ................................................... .....................8
Henry E. Dudeneyn ja Allan W. Johnson Jr:n neliöt.....9
Paholaisen maaginen neliö.................................10-11
SÄÄNNÖT TAIKANELIÖIDEN RAKENTAMISESTA.....12
TAIKANELIÖIDEN LUONNOSTAMINEN...................................13-15
Albrecht Durerin maagisen neliön luominen. .....17-18
Sudoku................................................................ .. ..............................................19-21 Kakuro................................................................ .. ..............................................22-23
TEHTÄVÄPANKKI................................................ ...................24-25
Johtopäätökset................................................ ...................................26 Kirjallisuus................ .................................................. ........ .......27
Teokseni syntyhistoria .
Ennen en edes ajatellut, että jotain tällaista voitaisiin keksiä. Ensimmäisen kerran törmäsin taikaneliöön ensimmäisellä luokalla oppikirjassa, ne olivat yksinkertaisimpia.| 7 | ||
| 8 | 0 | |
| 5 |
Muutamaa vuotta myöhemmin menin merenrannalle vanhempieni kanssa ja tapasin tytön, joka piti sudokusta. Halusin myös oppia, ja hän selitti, kuinka se tehdään. Pidin tästä toiminnasta todella paljon ja siitä tuli niin sanottu harrastukseni.
Kun minulle tarjottiin osallistumista tieteelliseen ja käytännön konferenssiin, valitsin heti aiheen "Magic Squares". Tähän työhön sisällytin historiallista materiaalia, lajikkeet, säännöt arvoituspelin luomiseen.
Maaginen neliö.
Maagisia neliöitä on olemassa kaikille järjestyksessä paitsi n=2, vaikka tapaus n=1 on triviaali - neliö koostuu yhdestä numerosta.
Jokaisen rivin, sarakkeen ja diagonaalin lukujen summa. Nimeltään maaginen vakio, M. Normaalin maagisen neliön maaginen vakio riippuu vain n:stä ja on annettu kaavalla.
| Tilaus n | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| M(n) | 15 | 34 | 65 | 111 | 175 | 260 | 369 | 505 | 671 | 870 | 1105 |
Maagisten vakioiden ensimmäiset arvot on annettu seuraavissa taulukoissa.
Historiallisesti merkittävät maagiset neliöt.
Muinaisessa kiinalaisessa kirjassa "Zhe-kim" ("Permutaatioiden kirja") on legenda, että keisari Nu, joka eli 4 tuhatta vuotta sitten, näki pyhän kilpikonnan joen rannalla. Sen kuoressa oli kuvio valkoisista ja mustista ympyröistä (kuva 1). Jos korvaat jokaisen hahmon numerolla, joka osoittaa kuinka monta ympyrää se sisältää, saat taulukon. | 4 | 9 | 2 |
| 3 | 5 | 7 |
| 8 | 1 | 6 |
Tällä pöydällä on upea ominaisuus. Lisätään ensimmäisen sarakkeen luvut: 4+3+8=15 Sama tulos saadaan kun lasketaan yhteen toisen ja kolmannen sarakkeen numerot. Se saadaan myös lisäämällä numerot mistä tahansa kolmesta rivistä. Ei vain, vaan sama vastaus 15 saadaan, jos lasket yhteen kummankin lävistäjän numerot: 4+5+6=8+5+2=15.
Kiinalaiset luultavasti keksivät tämän legendan, kun he löysivät numeroiden järjestelyn 1:stä 9:ään, jolla on niin merkittävä ominaisuus. He kutsuivat piirrosta "lo-shuksi" ja alkoivat pitää sitä maagisena symbolina ja käyttää sitä loitsuissa. Siksi nyt kutsutaan mitä tahansa neliötaulukkoa, joka koostuu luvuista ja jolla on tämä ominaisuus maaginen neliö.
Kuva 1
NELIÖ LÖYTYI KHAJURAHOSTA (INTIA).
Varhaisin ainutlaatuinen maaginen aukio löydettiin 1000-luvun kaiverruksesta Intian Khajurahon kaupungista.
Tämä on ensimmäinen maaginen neliö, joka kuuluu useisiin niin kutsuttuihin "paholaisen" neliöihin.
Yang Huin maaginen aukio (Kiina)
1200-luvulla matemaatikko Yang Hui käsitteli maagisten neliöiden rakentamismenetelmiä. Muut kiinalaiset matemaatikot jatkoivat hänen tutkimustaan. Yang Hui piti maagisia neliöitä paitsi kolmannen, myös korkeamman tason.
Jotkut hänen neliöistään olivat melko monimutkaisia, mutta hän antoi aina säännöt niiden rakentamiselle. Hän onnistui rakentamaan kuudennen asteen maagisen neliön.
Minkä tahansa vaaka-, pysty- ja diagonaalin lukujen summa on 34. Tämä summa löytyy myös kaikista 2x2 kulmaruuduista, keskusneliöstä (10+11+6+7), kulmasolujen ruudusta (16+13+4+1), ”ritariliikkeen” rakentamista ruuduista. (2+8 +9+15 ja 3+5+12+14), suorakulmiot, jotka muodostuvat vastakkaisten sivujen keskisolupareista (3+2+15+14 ja 5+8+9+12). johtuen siitä, että minkä tahansa kahden keskeisesti symmetrisesti sijaitsevan luvun summa on 17.
Henry E. Dudeneyn ja Allan W. Johnson, Jr.:n neliöt
Jos ei-tarkka luonnollinen lukusarja syötetään neliömatriisiin n x n, tämä maaginen neliö on ei-perinteinen. Alla on kaksi tällaista taianeliötä, jotka on täytetty enimmäkseen alkuluvuilla. Ensimmäisen (kuvio 3) järjestys on n=3 (Dudeney-neliö); toinen (kuva 4) (koko 4x4) on Johnson-neliö. Molemmat kehitettiin 1900-luvun alussa.
Kuva 3 Kuva 4
Paholaisen maaginen neliö
Parilliset neliöt ovat paljon vaikeampia rakentaa kuin parittomat neliöt. On monia tapoja selittää niiden rakentamisen periaatteet. Tässä artikkelissa kuvataan hauska tapa rakentaa 4 x 4 maaginen neliö.
Aloitamme kirjoittamalla yksi ylimmän rivin vasempaan soluun. Nämä kaksi sijaitsevat seuraavassa solussa, ja numerot 3 ja 4 ovat myöhemmissä soluissa. Tällä tavalla ylin rivi valmistuu. Syötä seuraavalle riville numerot 5, 6, 7 ja 8.
Jatka, kunnes olet täyttänyt kaikki solut (kuva 1).
Kuva 1
Sitten kaikista ulommista riveistä sinun on poistettava kaksi numeroa keskimmäisistä soluista, toisin sanoen numerot 2 ja 3 poistetaan yläriviltä ja 14 ja 15 alimmalta riviltä ja 9 poistetaan ja oikealla rivillä - 8 ja 12 (kuva 2).
Kuva 2 Nyt nämä numerot voidaan järjestää melkoisesti mielenkiintoisella tavalla. Numerot 2 ja 3 ovat soluissa, joissa oli aiemmin numerot 14 ja 15. Näin alimmalle riville tulee luvut 13,3,2 ja 16. Numerot 14 ja 15 on järjestetty saman periaatteen mukaan, eli , ne vievät ne solut, joissa aiemmin oli numerot 2 ja 3. Tämän seurauksena ylin rivi muodostuu numeroista 1,15,14 ja 4. Toivottavasti ymmärrät jo, kuinka maaginen neliö rakennetaan edelleen. Numerot 8 ja 12 täyttävät solut, jotka aiemmin sisälsivät numerot 5 ja 9. Lopuksi numerot 5 ja 9 sopivat kahteen soluun oikeanpuoleisessa sarakkeessa (kuva 3).
Kuva 3 Huomaa, että tässä maagisessa neliössä minkä tahansa sarjan numeroiden summa on 34.
Samalla tavalla voit luoda 4 * 4 neliön yksinkertaisesti järjestämällä kuusitoista numeroa peräkkäin mistä tahansa numerosta alkaen. Jos rakennat maagisen neliön, jossa numerot ovat järjestyksessä 3, 6, 9, 12 jne., näet, että minkä tahansa sarjan numeroiden summa on 102.
On monia tapoja rakentaa jopa maagisia neliöitä. Jotkut niistä ovat hyvin monimutkaisia, aikaa vieviä ja kiinnostavia vain matemaatikoille. Onneksi tapa luoda maagisia yantra-neliöitä syntymäajan perusteella on erittäin yksinkertainen.
