Geometriaa opiskellessa herää monia kysymyksiä vektoreista. Opiskelijalla on erityisiä vaikeuksia, kun on tarpeen löytää vektorien välisiä kulmia.

Perustermit

Ennen kuin tarkastellaan vektoreiden välisiä kulmia, on välttämätöntä tutustua vektorin määritelmään ja vektorien välisen kulman käsitteeseen.

Vektori on segmentti, jolla on suunta, eli segmentti, jolle sen alku ja loppu on määritelty.

Kahden vektorin välinen kulma tasossa, joilla on yhteinen origo, on kulmista pienempi sen verran, kuinka paljon yhtä vektoreista on siirrettävä yhteisen pisteen ympäri, kunnes niiden suunnat osuvat yhteen.

Kaava ratkaisulle

Kun ymmärrät, mikä vektori on ja kuinka sen kulma määritetään, voit laskea vektorien välisen kulman. Tämän ratkaisukaava on melko yksinkertainen, ja sen soveltamisen tulos on kulman kosinin arvo. Määritelmän mukaan se on yhtä suuri kuin vektorien skalaaritulon ja niiden pituuksien tulon osamäärä.

Vektorien skalaaritulo lasketaan tekijävektorien vastaavien koordinaattien summana kerrottuna keskenään. Vektorin pituus tai sen moduuli lasketaan sen koordinaattien neliöiden summan neliöjuurena.

Kun olet saanut kulman kosinin arvon, voit laskea itse kulman arvon laskimella tai trigonometrisen taulukon avulla.

Esimerkki

Kun olet selvittänyt kuinka laskea vektorien välinen kulma, vastaavan ongelman ratkaiseminen tulee yksinkertaiseksi ja selkeäksi. Esimerkkinä kannattaa harkita yksinkertaista kulman arvon löytämisen ongelmaa.

Ensinnäkin on helpompaa laskea vektorin pituuksien arvot ja niiden skalaaritulot, jotka ovat tarpeen ratkaisulle. Yllä olevaa kuvausta käyttämällä saamme:

Korvaamalla saadut arvot kaavaan laskemme halutun kulman kosinin arvon:

Tämä luku ei ole yksi viidestä yleisestä kosiniarvosta, joten kulman saamiseksi sinun on käytettävä laskinta tai Bradis-trigonometrista taulukkoa. Mutta ennen kuin saadaan kulma vektorien välillä, kaavaa voidaan yksinkertaistaa ylimääräisen negatiivisen merkin poistamiseksi:

Tarkkuuden säilyttämiseksi voit jättää lopullisen vastauksen ennalleen tai laskea kulman arvon asteina. Bradis-taulukon mukaan sen arvo on noin 116 astetta ja 70 minuuttia, ja laskin näyttää arvoa 116,57 astetta.

Kulman laskeminen n-ulotteisessa avaruudessa

Kun tarkastellaan kahta vektoria kolmiulotteisessa avaruudessa, on paljon vaikeampaa ymmärtää, mistä kulmasta puhumme, jos ne eivät ole samassa tasossa. Havainnon yksinkertaistamiseksi voit piirtää kaksi leikkaavaa segmenttiä, jotka muodostavat pienimmän kulman niiden välille. Vaikka vektorissa on kolmas koordinaatti, vektorien välisten kulmien laskentaprosessi ei muutu. Laske vektorien skalaaritulo ja modulit niiden osamäärän kaarikosini on vastaus tähän ongelmaan.

Geometriassa on usein ongelmia tiloissa, joissa on enemmän kuin kolme ulottuvuutta. Mutta heille vastauksen löytämisen algoritmi näyttää samalta.

Ero 0 ja 180 asteen välillä

Yksi yleisimmistä virheistä kirjoitettaessa vastausta ongelmaan, joka on suunniteltu laskemaan vektorien välinen kulma, on päätös kirjoittaa, että vektorit ovat yhdensuuntaiset, eli haluttu kulma on 0 tai 180 astetta. Tämä vastaus on väärä.

Kun ratkaisun tuloksena on saatu kulma-arvo 0 astetta, oikea vastaus olisi nimetä vektorit samansuuntaisiksi, eli vektoreilla on sama suunta. Jos saadaan 180 astetta, vektorit ovat vastakkaisia.

Erityiset vektorit

Kun olet löytänyt vektorien väliset kulmat, voit löytää yhden erikoistyypeistä edellä kuvattujen samansuuntaisten ja vastakkaisten suuntaisten lisäksi.

• Useita yhden tason suuntaisia ​​vektoreita kutsutaan koplanaariseksi.
• Vektoreita, jotka ovat saman pituisia ja suuntaisia, kutsutaan yhtäläisiksi.
• Vektoreita, jotka sijaitsevat samalla suoralla suunnasta riippumatta, kutsutaan kollineaarisiksi.
• Jos vektorin pituus on nolla, eli sen alku ja loppu ovat samat, niin sitä kutsutaan nollaksi, ja jos se on yksi, niin yksikkö.

Vektorien skalaaritulo (jäljempänä SP). Rakkaat ystävät! Matematiikan tentti sisältää ryhmän vektoreiden ratkaisemiseen liittyviä tehtäviä. Olemme jo pohtineet joitain ongelmia. Näet ne "Vektorit" -luokassa. Yleensä vektoriteoria ei ole monimutkainen, tärkeintä on tutkia sitä johdonmukaisesti. Laskutoimitukset ja operaatiot vektoreilla sisään koulun kurssi Matematiikka on yksinkertaista, kaavat eivät ole monimutkaisia. Katso. Tässä artikkelissa analysoimme vektoreiden SP-ongelmia (sisältyy Unified State Examinationiin). Nyt "upotus" teoriaan:

H Löytääksesi vektorin koordinaatit, sinun on vähennettävä sen lopun koordinaateistasen alkupisteen vastaavat koordinaatit

Ja kauemmas:

*Vektorin pituus (moduuli) määritetään seuraavasti:

Nämä kaavat täytyy muistaa!!!

Näytetään vektorien välinen kulma:

On selvää, että se voi vaihdella välillä 0 - 180 0(tai radiaaneina 0:sta Pi:iin).

Voimme tehdä joitain johtopäätöksiä skalaaritulon merkistä. Vektorien pituudet ovat positiivinen arvo, Se on selvää. Tämä tarkoittaa, että skalaaritulon etumerkki riippuu vektorien välisen kulman kosinin arvosta.

Mahdolliset tapaukset:

1. Jos vektorien välinen kulma on terävä (0 0 - 90 0), kulman kosini on positiivinen.

2. Jos vektorien välinen kulma on tylppä (90 0 - 180 0), kulman kosini on negatiivinen.

* Nollaasteessa, eli kun vektoreilla on sama suunta, kosini on yhtä suuri kuin yksi ja vastaavasti tulos on positiivinen.

180 o:ssa, eli kun vektoreilla on vastakkaiset suunnat, kosini on yhtä suuri kuin miinus yksi,ja vastaavasti tulos on negatiivinen.

Nyt TÄRKEÄÄ!

90 o:ssa, eli kun vektorit ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden, kosini on yhtä suuri kuin nolla, ja siksi SP on yhtä suuri kuin nolla. Tätä tosiasiaa (seuraus, johtopäätös) käytetään ratkaisemaan monia ongelmia, joissa puhumme vektorien suhteellisesta sijainnista, mukaan lukien ongelmat, jotka sisältyvät avoin pankki matematiikan tehtäviä.

Muotoilkaamme väite: skalaaritulo on yhtä suuri kuin nolla, jos ja vain jos nämä vektorit sijaitsevat kohtisuorassa suorassa.

Joten kaavat SP-vektorille:

Jos vektorien koordinaatit tai niiden alku- ja loppupisteiden koordinaatit ovat tiedossa, voimme aina löytää vektorien välisen kulman:

Mietitään tehtäviä:

27724 Laske vektorien a ja b skalaaritulo.

Voimme löytää vektorien skalaaritulon kahdella kaavalla:

Vektorien välinen kulma on tuntematon, mutta voimme helposti löytää vektorien koordinaatit ja käyttää sitten ensimmäistä kaavaa. Koska molempien vektorien alkupisteet ovat samat kuin koordinaattien origo, näiden vektorien koordinaatit ovat yhtä suuret kuin niiden päiden koordinaatit, eli

Vektorin koordinaattien löytäminen kuvataan kohdassa.

Laskemme:

Vastaus: 40

Etsitään vektorien koordinaatit ja käytetään kaavaa:

Vektorin koordinaattien löytämiseksi on vähennettävä sen alun vastaavat koordinaatit vektorin lopun koordinaateista, mikä tarkoittaa

Laskemme skalaaritulon:

Vastaus: 40

Etsi vektorien a ja b välinen kulma. Kerro vastauksesi asteina.

Olkoon vektorien koordinaatit muotoa:

Vektorien välisen kulman löytämiseksi käytämme vektorien skalaaritulon kaavaa:

Vektorien välisen kulman kosini:

Siten:

Näiden vektorien koordinaatit ovat yhtä suuret:

Korvataan ne kaavaan:

Vektorien välinen kulma on 45 astetta.

Vastaus: 45

Vektorien pistetulo

Jatkamme vektoreiden käsittelyä. Ensimmäisellä oppitunnilla Vektorit tutille Tarkastelimme vektorin käsitettä, toimintoja vektorien kanssa, vektorin koordinaatteja ja yksinkertaisimpia vektoreita koskevia ongelmia. Jos tulit tälle sivulle ensimmäistä kertaa hakukoneen kautta, suosittelen lämpimästi lukemaan yllä olevan johdantoartikkelin, sillä materiaalin hallitsemiseksi sinun on tunnettava käyttämäni termit ja nimitykset. perustieto vektoreista ja osaa ratkaista alkeellisia ongelmia. Tämä oppitunti on looginen jatko aiheelle, ja siinä analysoin yksityiskohtaisesti tyypillisiä tehtäviä, joissa käytetään vektorien skalaarituloa. Tämä on ERITTÄIN TÄRKEÄÄ toimintaa.. Älä ohita esimerkkejä, sillä niissä on hyödyllinen bonus - harjoittelu auttaa sinua yhdistämään käsittelemääsi materiaalia ja ratkaisemaan paremmin yleisiä analyyttisen geometrian ongelmia.

Vektorien yhteenlasku, vektorin kertominen luvulla.... Olisi naiivia ajatella, etteivät matemaatikot olisi keksineet jotain muuta. Jo käsiteltyjen toimien lisäksi on olemassa useita muita vektoreita käyttäviä operaatioita, nimittäin: vektorien pistetulo, vektorien vektoritulo Ja vektorien sekatulo. Vektorien skalaaritulo on meille tuttu koulusta, kaksi muuta tuloa kuuluvat perinteisesti korkeamman matematiikan kurssiin. Aiheet ovat yksinkertaisia, algoritmi monien ongelmien ratkaisemiseen on suoraviivainen ja ymmärrettävä. Ainoa asia. Tietoa on kunnollinen määrä, joten ei ole toivottavaa yrittää hallita ja ratkaista KAIKKI KERRAN. Tämä pätee erityisesti nukkeihin, uskokaa minua, kirjoittaja ei todellakaan halua tuntea olevansa matematiikan Chikatilo. No, ei tietenkään matematiikastakaan =) Valmistautuneet opiskelijat voivat käyttää materiaaleja valikoivasti, tietyssä mielessä "hankkia" sinulle puuttuvan tiedon, minusta tulee harmiton kreivi Dracula =)

Avataan vihdoin ovi ja katsotaan innolla mitä tapahtuu, kun kaksi vektoria kohtaavat...

Vektorien skalaaritulon määritelmä.
Skalaaritulon ominaisuudet. Tyypillisiä tehtäviä

Pistetuotteen käsite

Ensin noin vektorien välinen kulma. Luulen, että kaikki ymmärtävät intuitiivisesti mikä vektorien välinen kulma on, mutta varmuuden vuoksi hieman enemmän yksityiskohtia. Tarkastellaan vapaita nollasta poikkeavia vektoreita ja . Jos piirrät nämä vektorit mielivaltaisesta pisteestä, saat kuvan, jonka monet ovat jo kuvitelleet mielessään:

Myönnän, tässä kuvailin tilannetta vain ymmärryksen tasolla. Jos tarvitset vektoreiden välisen kulman tiukan määritelmän, katso käytännön ongelmia oppikirjasta, periaatteessa siitä ei ole meille hyötyä. Myös TÄÄLLÄ JA TÄSSÄ jätän paikoin huomioimatta nollavektorit niiden vähäisen käytännön merkityksen vuoksi. Tein varauksen erityisesti edistyneille sivuston vierailijoille, jotka saattavat moittia minua joidenkin myöhempien lausuntojen teoreettisesta epätäydellisyydestä.

voi ottaa arvoja 0 - 180 astetta (0 - radiaaneja), mukaan lukien. Analyyttisesti tämä tosiasia on kirjoitettu muotoon kaksinkertainen eriarvoisuus: tai (radiaaneina).

Kirjallisuudessa kulmasymboli ohitetaan usein ja kirjoitetaan yksinkertaisesti.

Määritelmä: Kahden vektorin skalaaritulo on NUMERO, joka on yhtä suuri kuin näiden vektorien pituuksien ja niiden välisen kulman kosinin tulo:

Tämä on nyt melko tiukka määritelmä.

Keskitymme olennaiseen tietoon:

Nimitys: skalaarituloa merkitään tai yksinkertaisesti.

Toiminnan tulos on NUMERO: Vektori kerrotaan vektorilla, ja tuloksena on luku. Todellakin, jos vektorien pituudet ovat lukuja, kulman kosini on luku, niin niiden tulo tulee myös numeroksi.

Vain pari lämmittelyesimerkkiä:

Esimerkki 1

Ratkaisu: Käytämme kaavaa . SISÄÄN tässä tapauksessa:

Vastaus:

Kosiniarvot löytyvät trigonometrinen taulukko. Suosittelen sen tulostamista - sitä tarvitaan lähes kaikissa tornin osissa ja tarvitaan monta kertaa.

Puhtaasti matemaattisesta näkökulmasta skalaaritulo on dimensioton, eli tulos on tässä tapauksessa vain numero ja siinä se. Fysiikan ongelmien näkökulmasta skalaaritulolla on aina tietty fyysinen merkitys, eli tuloksen jälkeen sinun on osoitettava yksi tai toinen fyysinen yksikkö. Kanoninen esimerkki voiman työn laskemisesta löytyy mistä tahansa oppikirjasta (kaava on täsmälleen skalaaritulo). Voiman työ mitataan jouleina, joten vastaus kirjoitetaan melko tarkasti, esimerkiksi .

Esimerkki 2

Etsi jos , ja vektorien välinen kulma on yhtä suuri kuin .

Tämä on esimerkki itsenäinen päätös, vastaus on oppitunnin lopussa.

Vektorien ja pistetuloarvon välinen kulma

Esimerkissä 1 skalaaritulo osoittautui positiiviseksi ja esimerkissä 2 negatiiviseksi. Selvitetään, mistä skalaaritulon etumerkki riippuu. Katsotaanpa kaavaamme: . Nollasta poikkeavien vektorien pituudet ovat aina positiivisia: , joten etumerkki voi riippua vain kosinin arvosta.

Huomautus: Alla olevien tietojen ymmärtämiseksi on parempi tutkia käsikirjassa olevaa kosinikaaviota Funktiokaaviot ja ominaisuudet. Katso kuinka kosini käyttäytyy segmentissä.

Kuten jo todettiin, vektorien välinen kulma voi vaihdella sisällä , ja seuraavat tapaukset ovat mahdollisia:

1) Jos kulma vektorien välillä mausteinen: (0 - 90 astetta), sitten , Ja pistetulo on positiivinen ohjattu yhdessä, silloin niiden välistä kulmaa pidetään nollana, ja skalaaritulo on myös positiivinen. Koska , kaava yksinkertaistaa: .

2) Jos kulma vektorien välillä tylsä: (90 - 180 astetta), sitten ja vastaavasti pistetulo on negatiivinen: . Erikoistapaus: jos vektorit vastakkaisiin suuntiin, niin niiden välinen kulma otetaan huomioon laajennettu: (180 astetta). Skalaaritulo on myös negatiivinen, koska

Myös käänteiset väitteet pitävät paikkansa:

1) Jos , niin näiden vektorien välinen kulma on akuutti. Vaihtoehtoisesti vektorit ovat samansuuntaisia.

2) Jos , niin näiden vektorien välinen kulma on tylppä. Vaihtoehtoisesti vektorit ovat vastakkaisiin suuntiin.

Mutta kolmas tapaus on erityisen kiinnostava:

3) Jos kulma vektorien välillä suoraan: (90 astetta), sitten skalaaritulo on nolla: . Päinvastoin on myös totta: jos , niin . Lausunto voidaan muotoilla tiiviisti seuraavasti: Kahden vektorin skalaaritulo on nolla silloin ja vain jos vektorit ovat ortogonaalisia. Lyhyt matemaattinen merkintä:

! Huomautus : Toistetaan matemaattisen logiikan perusteet: Kaksipuolinen looginen seurauskuvake luetaan yleensä "jos ja vain jos", "jos ja vain jos". Kuten näet, nuolet on suunnattu molempiin suuntiin - "tästä seuraa tätä ja päinvastoin - tästä seuraa tätä." Mitä eroa muuten on yksisuuntaiseen seurantakuvakkeeseen? Kuvake ilmoittaa vain se, että "tästä seuraa tätä", eikä se ole tosiasia, että päinvastoin olisi totta. Esimerkki: , mutta kaikki eläimet eivät ole pantteri, joten tässä tapauksessa et voi käyttää kuvaketta. Samaan aikaan kuvakkeen sijaan Voi käytä yksipuolista kuvaketta. Esimerkiksi, kun ratkaisimme ongelman, huomasimme, että päätimme vektorien olevan ortogonaalisia: - tällainen merkintä on oikea ja jopa sopivampi kuin .

Kolmannella tapauksella on suuri käytännön merkitys, koska sen avulla voit tarkistaa, ovatko vektorit ortogonaalisia vai eivät. Ratkaisemme tämän ongelman oppitunnin toisessa osassa.

Pistetuotteen ominaisuudet

Palataan tilanteeseen, jossa kaksi vektoria ohjattu yhdessä. Tässä tapauksessa niiden välinen kulma on nolla, ja skalaaritulokaava on muotoa: .

Mitä tapahtuu, jos vektori kerrotaan itsestään? On selvää, että vektori on kohdistettu itsensä kanssa, joten käytämme yllä olevaa yksinkertaistettua kaavaa:

Numeroon soitetaan skalaari neliö vektori, ja niitä merkitään .

Täten, vektorin skalaarineliö on yhtä suuri kuin annetun vektorin pituuden neliö:

Tästä yhtälöstä voimme saada kaavan vektorin pituuden laskemiseksi:

Toistaiseksi se näyttää epäselvältä, mutta oppitunnin tavoitteet asettavat kaiken paikoilleen. Tarvitsemme myös ongelmien ratkaisemiseksi pistetuotteen ominaisuudet.

Mielivaltaisille vektoreille ja mille tahansa numerolle seuraavat ominaisuudet ovat tosia:

1) – kommutatiivinen tai kommutatiivisia skalaaritulolaki.

2) – jakelu tai jakavia skalaaritulolaki. Yksinkertaisesti voit avata kiinnikkeet.

3) – assosiatiivinen tai assosiatiivista skalaaritulolaki. Vakio voidaan johtaa skalaaritulosta.

Usein kaikenlaiset ominaisuudet (jotka on myös todistettava!) kokevat opiskelijat tarpeettomaksi roskana, joka tarvitsee vain opetella ulkoa ja turvallisesti unohtaa heti kokeen jälkeen. Vaikuttaa siltä, ​​että mikä tässä on tärkeää, kaikki tietävät jo ensimmäisestä luokasta lähtien, että tekijöiden uudelleenjärjestely ei muuta tuotetta: . Minun on varoitettava, että korkeammassa matematiikassa on helppo sotkea asiat sellaisella lähestymistavalla. Joten esimerkiksi kommutatiivinen ominaisuus ei pidä paikkaansa algebralliset matriisit. Se ei myöskään pidä paikkaansa vektorien vektoritulo. Siksi on vähintäänkin parempi syventää korkeamman matematiikan kurssilla törmäämiäsi ominaisuuksia ymmärtääksesi, mitä voit tehdä ja mitä et.

Esimerkki 3

.

Ratkaisu: Selvitetään ensin tilanne vektorilla. Mitä tämä muuten on? Vektorien summa on hyvin määritelty vektori, jota merkitään . Artikkelista löytyy geometrinen tulkinta vektoreilla toimivista toimista Vektorit tutille. Sama persilja, jossa on vektori, on vektorien ja .

Ehdon mukaan on siis löydettävä skalaaritulo. Teoriassa sinun on sovellettava työkaavaa , mutta ongelma on se, että emme tiedä vektorien pituuksia ja niiden välistä kulmaa. Mutta ehto antaa vektoreille samanlaiset parametrit, joten valitsemme eri reitin:

(1) Korvaa vektorit lausekkeilla.

(2) Avaamme hakasulkeet polynomien kertomissäännön mukaisesti, artikkelista löytyy vulgaari kielenkääntäjä Monimutkaiset luvut tai Murto-rationaalisen funktion integrointi. En toista itseäni =) Muuten, skalaarituotteen jakautumisominaisuus antaa meille mahdollisuuden avata sulut. Meillä on oikeus.

(3) Ensimmäisessä ja viimeisessä termissä kirjoitetaan kompaktisti vektorien skalaarineliöt: . Toisessa termissä käytämme skalaaritulon kommutoitavuutta: .

(4) Esittelemme samankaltaisia ​​termejä: .

(5) Ensimmäisessä termissä käytämme skalaarineliön kaavaa, joka mainittiin vähän aikaa sitten. Vastaavasti viimeisellä lukukaudella sama toimii: . Laajennamme toista termiä vakiokaavan mukaan .

(6) Korvaa nämä ehdot , ja suorita HUOLELLISESTI lopulliset laskelmat.

Vastaus:

Skalaaritulon negatiivinen arvo ilmaisee, että vektorien välinen kulma on tylppä.

Ongelma on tyypillinen, tässä on esimerkki sen ratkaisemiseksi itse:

Esimerkki 4

Etsi vektorien skalaaritulo ja jos se tiedetään .

Nyt toinen yleinen tehtävä, vain vektorin pituuden uudelle kaavalle. Tässä oleva merkintä on hieman päällekkäinen, joten selvyyden vuoksi kirjoitan sen uudelleen toisella kirjaimella:

Esimerkki 5

Etsi vektorin pituus jos .

Ratkaisu tulee olemaan seuraava:

(1) Toimitamme lausekkeen vektorille .

(2) Käytämme pituuskaavaa: , ja koko lauseke ve toimii vektorina "ve".

(3) Käytämme summan neliön koulukaavaa. Huomaa, miten se toimii tässä omituisella tavalla: – itse asiassa se on eron neliö, ja näin se itse asiassa on. Halukkaat voivat järjestää vektorit uudelleen: - sama tapahtuu, termien uudelleenjärjestelyyn asti.

(4) Seuraava on jo tuttua kahdesta edellisestä tehtävästä.

Vastaus:

Koska puhumme pituudesta, älä unohda ilmoittaa mittaa - "yksiköt".

Esimerkki 6

Etsi vektorin pituus jos .

Tämä on esimerkki, jonka voit ratkaista itse. Täydellinen ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Jatkamme hyödyllisten asioiden puristamista pistetuotteesta. Katsotaanpa kaavaamme uudelleen . Suhteellisuussäännön avulla nollaamme vektorien pituudet vasemman puolen nimittäjään:

Vaihdetaan osia:

Mikä tämän kaavan merkitys on? Jos kahden vektorin pituudet ja niiden skalaaritulo tunnetaan, voimme laskea näiden vektorien välisen kulman kosinin ja siten itse kulman.

Onko pistetuote numero? Määrä. Ovatko vektorin pituudet numeroita? Numerot. Tämä tarkoittaa, että murtoluku on myös luku. Ja jos kulman kosini tunnetaan: , käytä sitten käänteinen funktio Itse kulman löytäminen on helppoa: .

Esimerkki 7

Etsi vektorien välinen kulma ja jos tiedetään, että .

Ratkaisu: Käytämme kaavaa:

Päällä viimeinen taso laskelmissa käytettiin teknistä tekniikkaa - poistamalla irrationaalisuus nimittäjästä. Irrationaalisuuden poistamiseksi kerroin osoittajan ja nimittäjän luvulla.

Niin jos , Tuo:

Käänteisten trigonometristen funktioiden arvot löytyvät trigonometrinen taulukko. Vaikka tätä tapahtuu harvoin. Analyyttisen geometrian ongelmissa paljon useammin joku kömpelö karhu tykkää, ja kulman arvo on löydettävä likimäärin laskimen avulla. Itse asiassa tulemme näkemään sellaisen kuvan useammin kuin kerran.

Vastaus:

Jälleen, älä unohda ilmoittaa mitat - radiaanit ja asteet. Henkilökohtaisesti, jotta ilmeisesti "ratkaisisin kaikki kysymykset", haluan ilmaista molemmat (ellei ehto tietenkään edellytä vastauksen esittämistä vain radiaaneina tai vain asteina).

Nyt voit itsenäisesti selviytyä monimutkaisemmasta tehtävästä:

Esimerkki 7*

On annettu vektorien pituudet ja niiden välinen kulma. Etsi vektorien välinen kulma , .

Tehtävä ei ole niin vaikea kuin se on monivaiheinen.
Katsotaanpa ratkaisualgoritmia:

1) Ehdon mukaan sinun on löydettävä kulma vektorien ja välillä, joten sinun on käytettävä kaavaa .

2) Etsi skalaaritulo (katso esimerkit 3, 4).

3) Laske vektorin pituus ja vektorin pituus (katso esimerkit 5, 6).

4) Ratkaisun loppu on sama kuin esimerkissä 7 - tiedämme numeron , mikä tarkoittaa, että itse kulman löytäminen on helppoa:

Nopea Ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Oppitunnin toinen osa on omistettu samalle skalaaritulolle. Koordinaatit. Se on vielä helpompaa kuin ensimmäisessä osassa.

vektorien pistetulo,
annettuna koordinaatteina ortonormaalisesti

Vastaus:

Sanomattakin on selvää, että koordinaattien käsittely on paljon miellyttävämpää.

Esimerkki 14

Etsi vektorien skalaaritulo ja jos

Tämä on esimerkki, jonka voit ratkaista itse. Tässä voidaan käyttää operaation assosiatiivisuutta, eli älä laske , vaan ota kolmois välittömästi skalaaritulon ulkopuolelle ja kerro se sillä viimeisenä. Ratkaisu ja vastaus ovat oppitunnin lopussa.

Kappaleen lopussa provosoiva esimerkki vektorin pituuden laskemisesta:

Esimerkki 15

Etsi vektorien pituudet , Jos

Ratkaisu: menetelmä ehdottaa taas itseään edellinen jakso: , mutta on toinenkin tapa:

Etsitään vektori:

Ja sen pituus triviaalin kaavan mukaan :

Skalaarituote ei liity tähän ollenkaan!

Se ei myöskään ole hyödyllinen laskettaessa vektorin pituutta:
Lopettaa. Eikö meidän pitäisi hyödyntää vektorin pituuden ilmeistä ominaisuutta? Mitä voit sanoa vektorin pituudesta? Tämä vektori on 5 kertaa pidempi kuin vektori. Suunta on päinvastainen, mutta tällä ei ole väliä, koska puhumme pituudesta. On selvää, että vektorin pituus on yhtä suuri kuin tulo moduuli numerot per vektorin pituus:
– moduulimerkki "syö" luvun mahdollisen miinuksen.

Täten:

Vastaus:

Koordinaateilla määritettyjen vektorien välisen kulman kosinin kaava

nyt meillä on täydelliset tiedot, niin että aiemmin johdettu kaava vektorien välisen kulman kosinille ilmaista vektorikoordinaateilla:

Tasovektorien välisen kulman kosini ja ortonormaalisti määriteltynä, ilmaistaan ​​kaavalla:
.

Avaruusvektorien välisen kulman kosini, määritetty ortonormaalisti, ilmaistaan ​​kaavalla:

Esimerkki 16

Annettu kolmion kolme kärkeä. Etsi (vertex-kulma).

Ratkaisu: Ehtojen mukaan piirustusta ei vaadita, mutta silti:

Tarvittava kulma on merkitty vihreällä kaarella. Muistetaan heti koulun nimitys kuvakulmalle: – Erityistä huomiota päällä keskiverto kirjain - tämä on tarvitsemamme kulman kärki. Lyhytyyden vuoksi voit kirjoittaa myös yksinkertaisesti .

Piirustuksen perusteella on ilmeistä, että kolmion kulma on sama kuin vektorien välinen kulma ja toisin sanoen: .

On suositeltavaa oppia suorittamaan analyysi henkisesti.

Etsitään vektorit:

Lasketaan skalaaritulo:

Ja vektorien pituudet:

Kulman kosini:

Juuri tätä tehtävän suorittamisjärjestystä suosittelen nukkeille. Edistyneemmät lukijat voivat kirjoittaa laskelmat "yhdelle riville":

Tässä on esimerkki "huonosta" kosiniarvosta. Tuloksena oleva arvo ei ole lopullinen, joten nimittäjän irrationaalisuudesta ei ole juurikaan hyötyä.

Etsitään itse kulma:

Jos katsot piirustusta, tulos on melko uskottava. Kulman voi tarkistaa myös mittaamalla astemittarilla. Älä vahingoita näytön kantta =)

Vastaus:

Vastauksessa emme unohda sitä kysyttiin kolmion kulmasta(eikä vektorien välisestä kulmasta), älä unohda ilmoittaa tarkkaa vastausta: ja kulman likimääräinen arvo: , löytyi laskimen avulla.

Prosessista nauttineet voivat laskea kulmat ja varmistaa kanonisen tasa-arvon pätevyyden

Esimerkki 17

Kolmio määritellään avaruudessa sen kärkipisteiden koordinaatteilla. Etsi sivujen välinen kulma ja

Tämä on esimerkki, jonka voit ratkaista itse. Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa

Lyhyt viimeinen osa on omistettu ennusteille, jotka sisältävät myös skalaaritulon:

Vektorin projektio vektoriin. Vektorin projektio koordinaattiakseleille.
Vektorin suuntakosinit

Harkitse vektoreita ja:

Projisoidaan vektori vektoriin tehdäksesi tämän, jätämme pois vektorin alusta ja lopusta kohtisuorat vektoriksi (vihreät katkoviivat). Kuvittele, että valonsäteet putoavat kohtisuoraan vektoriin. Sitten segmentti (punainen viiva) on vektorin "varjo". Tässä tapauksessa vektorin projektio vektoriin on janan PITUUS. Eli PROJEKTI ON NUMERO.

Tämä NUMERO on merkitty seuraavasti: , "suuri vektori" tarkoittaa vektoria MIKÄ projekti, "pieni alaindeksivektori" tarkoittaa vektoria PÄÄLLÄ joka ennustetaan.

Itse merkintä kuuluu näin: "vektorin "a" projektio vektoriin "olla".

Mitä tapahtuu, jos vektori "olla" on "liian lyhyt"? Piirrämme suoran, joka sisältää vektorin "olla". Ja vektori "a" projisoidaan jo vektorin "olla" suuntaan, yksinkertaisesti - suoralle viivalle, joka sisältää vektorin "be". Sama tapahtuu, jos vektoria "a" lykätään 30. valtakunnassa - se heijastetaan silti helposti suoralle viivalle, joka sisältää vektorin "be".

Jos kulma vektorien välillä mausteinen(kuten kuvassa) siis

Jos vektorit ortogonaalinen, niin (projektio on piste, jonka mittoja pidetään nollana).

Jos kulma vektorien välillä tylsä(kuvassa, järjestä vektorinuoli henkisesti uudelleen), sitten (sama pituus, mutta otettu miinusmerkillä).

Piirretään nämä vektorit yhdestä pisteestä:

On selvää, että kun vektori liikkuu, sen projektio ei muutu

Kahden vektorin välinen kulma:

Jos kahden vektorin välinen kulma on akuutti, niin niiden skalaaritulo on positiivinen; jos vektorien välinen kulma on tylppä, niin näiden vektorien skalaaritulo on negatiivinen. Kahden nollasta poikkeavan vektorin skalaaritulo on yhtä suuri kuin nolla, jos ja vain jos nämä vektorit ovat ortogonaalisia.

Harjoittele. Etsi vektorien ja välinen kulma

Ratkaisu. Halutun kulman kosini

16. Suoran, suoran ja tason välisen kulman laskeminen

Suoran ja tason välinen kulma, joka leikkaa tämän suoran eikä ole kohtisuorassa sitä vastaan, on suoran ja sen tähän tasoon projektion välinen kulma.

Suoran ja tason välisen kulman määrittäminen antaa meille mahdollisuuden päätellä, että suoran ja tason välinen kulma on kahden leikkaavan suoran välinen kulma: itse suora ja sen projektio tasoon. Siksi suoran ja tason välinen kulma on terävä kulma.

Pystysuoran suoran ja tason välisen kulman katsotaan olevan yhtä suuri kuin , ja yhdensuuntaisen suoran ja tason välistä kulmaa joko ei määritetä ollenkaan tai sen katsotaan olevan yhtä suuri kuin .

§ 69. Suorien välisen kulman laskeminen.

Kahden suoran välisen kulman laskeminen avaruudessa ratkaistaan ​​samalla tavalla kuin tasossa (32 §). Merkitään φ:llä viivojen välisen kulman suuruus l 1 ja l 2, ja ψ:n kautta - suuntavektorien välisen kulman suuruus A Ja b näitä suoria viivoja.

Sitten jos

ψ 90° (kuva 206.6), sitten φ = 180° - ψ. Ilmeisesti molemmissa tapauksissa yhtälö cos φ = |cos ψ|. Kaavalla (1) § 20 meillä on

siten,

Olkoon suorat annettu niiden kanonisten yhtälöiden avulla

Sitten viivojen välinen kulma φ määritetään kaavalla

Jos yksi suorista (tai molemmat) on annettu ei-kanonisilla yhtälöillä, kulman laskemiseksi sinun on löydettävä näiden viivojen suuntavektorien koordinaatit ja käytettävä sitten kaavaa (1).

17. Rinnakkaisviivat, Lauseet yhdensuuntaisista suorista

Määritelmä. Kahta tasossa olevaa suoraa kutsutaan rinnakkain, jos niillä ei ole yhteisiä kohtia.

Kaksi suoraa kolmiulotteisessa avaruudessa kutsutaan rinnakkain, jos ne sijaitsevat samassa tasossa eikä niillä ole yhteisiä pisteitä.

Kahden vektorin välinen kulma.

Pistetuotteen määritelmästä:

.

Kahden vektorin ortogonaalisuuden ehto:

Kahden vektorin kolineaarisuuden ehto:

.

Seuraa määritelmästä 5 - . Itse asiassa vektorin ja luvun tulon määritelmästä se seuraa. Siksi vektorien tasa-arvosäännön perusteella kirjoitamme , , , mikä tarkoittaa . Mutta vektori, joka saadaan kertomalla vektori luvulla, on kollineaarinen vektorin kanssa.

Vektorin projektio vektoriin:

.

Esimerkki 4. Annetut pisteet , , , .

Etsi pistetuote.

Ratkaisu. löydämme käyttämällä kaavaa vektorien skalaaritulolle, joka on määritetty niiden koordinaatilla. Koska

, ,

Esimerkki 5. Annetut pisteet , , , .

Etsi projektio.

Ratkaisu. Koska

, ,

Projisointikaavan perusteella meillä on

.

Esimerkki 6. Annetut pisteet , , , .

Etsi kulma vektorien ja .

Ratkaisu. Huomaa, että vektorit

, ,

eivät ole kollineaarisia, koska niiden koordinaatit eivät ole verrannollisia:

.

Nämä vektorit eivät myöskään ole kohtisuorassa, koska niiden skalaaritulo on .

Etsitään

Kulma löydämme kaavasta:

.

Esimerkki 7. Selvitä millä vektoreilla ja kollineaarinen.

Ratkaisu. Kollineaarisuuden tapauksessa vektorien vastaavat koordinaatit ja sen on oltava suhteellisia, eli:

.

Siksi ja.

Esimerkki 8. Määritä millä vektorin arvolla Ja kohtisuorassa.

Ratkaisu. Vektori ja ovat kohtisuorassa, jos niiden skalaaritulo on nolla. Tästä ehdosta saamme: . Tuo on, .

Esimerkki 9. löytö , Jos , , .

Ratkaisu. Skalaarituotteen ominaisuuksien vuoksi meillä on:

Esimerkki 10. Etsi kulma vektorien ja , Missä ja - yksikkövektorit ja vektorien välinen kulma ja on 120°.

Ratkaisu. Meillä on: , ,

Lopulta meillä on: .

5 B. Vector taidetta.

Määritelmä 21.Vector taideteoksia vektori vektorilta kutsutaan vektoriksi, tai se määritellään seuraavilla kolmella ehdolla:

1) Vektorin moduuli on yhtä suuri kuin , missä on vektorien välinen kulma ja , ts. .

Tästä seuraa, että vektoritulon moduuli on numeerisesti yhtä suuri kuin vektoreille ja molemmille sivuille rakennetun suuntaviivan pinta-ala.

2) Vektori on kohtisuorassa kullekin vektorille ja ( ; ), ts. kohtisuorassa tasoon suuntaviivan rakennettu vektorit ja .

3) Vektori on suunnattu siten, että sen päästä katsottuna lyhin käännös vektorista vektoriin olisi vastapäivään (vektorit , , muodostavat oikeankätisen kolmion).

Kuinka laskea vektorien väliset kulmat?

Geometriaa opiskellessa herää monia kysymyksiä vektoreista. Opiskelijalla on erityisiä vaikeuksia, kun on tarpeen löytää vektorien välisiä kulmia.

Perustermit

Ennen kuin tarkastellaan vektoreiden välisiä kulmia, on välttämätöntä tutustua vektorin määritelmään ja vektorien välisen kulman käsitteeseen.

Vektori on segmentti, jolla on suunta, eli segmentti, jolle sen alku ja loppu on määritelty.

Kahden vektorin välinen kulma tasossa, joilla on yhteinen origo, on kulmista pienempi sen verran, kuinka paljon yhtä vektoreista on siirrettävä yhteisen pisteen ympäri, kunnes niiden suunnat osuvat yhteen.

Kaava ratkaisulle

Kun ymmärrät, mikä vektori on ja kuinka sen kulma määritetään, voit laskea vektorien välisen kulman. Tämän ratkaisukaava on melko yksinkertainen, ja sen soveltamisen tulos on kulman kosinin arvo. Määritelmän mukaan se on yhtä suuri kuin vektorien skalaaritulon ja niiden pituuksien tulon osamäärä.

Vektorien skalaaritulo lasketaan tekijävektorien vastaavien koordinaattien summana kerrottuna keskenään. Vektorin pituus tai sen moduuli lasketaan seuraavasti Neliöjuuri sen koordinaattien neliöiden summasta.

Kun olet saanut kulman kosinin arvon, voit laskea itse kulman arvon laskimella tai trigonometrisen taulukon avulla.

Esimerkki

Kun olet selvittänyt kuinka laskea vektorien välinen kulma, vastaavan ongelman ratkaiseminen tulee yksinkertaiseksi ja selkeäksi. Esimerkkinä kannattaa harkita yksinkertaista kulman arvon löytämisen ongelmaa.

Ensinnäkin on helpompaa laskea vektorin pituuksien arvot ja niiden skalaaritulot, jotka ovat tarpeen ratkaisulle. Yllä olevaa kuvausta käyttämällä saamme:

Korvaamalla saadut arvot kaavaan laskemme halutun kulman kosinin arvon:

Tämä luku ei ole yksi viidestä yleisestä kosiniarvosta, joten kulman saamiseksi sinun on käytettävä laskinta tai Bradis-trigonometrista taulukkoa. Mutta ennen kuin saadaan kulma vektorien välillä, kaavaa voidaan yksinkertaistaa ylimääräisen negatiivisen merkin poistamiseksi:

Tarkkuuden säilyttämiseksi voit jättää lopullisen vastauksen ennalleen tai laskea kulman arvon asteina. Bradis-taulukon mukaan sen arvo on noin 116 astetta ja 70 minuuttia, ja laskin näyttää arvoa 116,57 astetta.

Kulman laskeminen n-ulotteisessa avaruudessa

Kun tarkastellaan kahta vektoria kolmiulotteisessa avaruudessa, on paljon vaikeampaa ymmärtää, mistä kulmasta puhumme, jos ne eivät ole samassa tasossa. Havainnon yksinkertaistamiseksi voit piirtää kaksi leikkaavaa segmenttiä, jotka muodostavat pienimmän kulman niiden välille. Vaikka vektorissa on kolmas koordinaatti, vektorien välisten kulmien laskentaprosessi ei muutu. Laske vektorien skalaaritulo ja modulit niiden osamäärän kaarikosini on vastaus tähän ongelmaan.

Geometriassa on usein ongelmia tiloissa, joissa on enemmän kuin kolme ulottuvuutta. Mutta heille vastauksen löytämisen algoritmi näyttää samalta.

Ero 0 ja 180 asteen välillä

Yksi yleisimmistä virheistä kirjoitettaessa vastausta ongelmaan, joka on suunniteltu laskemaan vektorien välinen kulma, on päätös kirjoittaa, että vektorit ovat yhdensuuntaiset, eli haluttu kulma on 0 tai 180 astetta. Tämä vastaus on väärä.

Kun ratkaisun tuloksena on saatu kulma-arvo 0 astetta, oikea vastaus olisi nimetä vektorit samansuuntaisiksi, eli vektoreilla on sama suunta. Jos saadaan 180 astetta, vektorit ovat vastakkaisia.

Erityiset vektorit

Kun olet löytänyt vektorien väliset kulmat, voit löytää yhden erikoistyypeistä edellä kuvattujen samansuuntaisten ja vastakkaisten suuntaisten lisäksi.

• Useita yhden tason suuntaisia ​​vektoreita kutsutaan koplanaariseksi.
• Vektoreita, jotka ovat saman pituisia ja suuntaisia, kutsutaan yhtäläisiksi.
• Vektoreita, jotka sijaitsevat samalla suoralla suunnasta riippumatta, kutsutaan kollineaarisiksi.
• Jos vektorin pituus on nolla, eli sen alku ja loppu ovat samat, niin sitä kutsutaan nollaksi, ja jos se on yksi, niin yksikkö.

Kuinka löytää vektorien välinen kulma?

auta minua kiitos! Tiedän kaavan, mutta en osaa laskea sitä ((
vektori a (8; 10; 4) vektori b (5; -20; -10)

Aleksanteri Titov

Niiden koordinaattien määrittelemä vektorien välinen kulma löydetään käyttämällä standardialgoritmia. Ensin sinun on löydettävä vektorien a ja b skalaaritulo: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. Korvaamme näiden vektorien koordinaatit tähän ja laskemme:
(a,b) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
Seuraavaksi määritetään kunkin vektorin pituudet. Vektorin pituus tai moduuli on sen koordinaattien neliöiden summan neliöjuuri:
|a| = (x1^2 + y1^2 + z1^2) juuri = (8^2 + 10^2 + 4^2) = (64 + 100 + 16) juuri = 180:n juuri = 6 juuria 5
|b| = (x2^2 + y2^2 + z2^2) juuri = (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) = (25 + 400 + 100) juuri 525 = 5 juurta 21:stä.
Kerromme nämä pituudet. Saamme 30 juuria 105:stä.
Ja lopuksi jaamme vektorien skalaaritulon näiden vektorien pituuksien tulolla. Saamme -200/(30 juurta 105:stä) tai
- (4 juuria 105:stä) / 63. Tämä on vektorien välisen kulman kosini. Ja itse kulma on yhtä suuri kuin tämän luvun kaarikosini
f = arccos(-4 juurta 105:stä) / 63.
Jos laskin kaiken oikein.

Kuinka laskea vektorien välisen kulman sini vektorien koordinaattien avulla

Mihail Tkachev

Kerrotaan nämä vektorit. Niiden skalaaritulo on yhtä suuri kuin näiden vektorien pituuksien ja niiden välisen kulman kosinin tulo.
Kulma on meille tuntematon, mutta koordinaatit tunnetaan.
Kirjoitetaan se matemaattisesti ylös näin.
Olkoon vektorit a(x1;y1) ja b(x2;y2).
Sitten

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

Puhutaan.
vektorien a*b-skalaaritulo on yhtä suuri kuin näiden vektorien koordinaattien vastaavien koordinaattien tulojen summa, eli yhtä kuin x1*x2+y1*y2

|a|*|b|-vektorin pituuksien tulo on yhtä suuri kuin √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2).

Tämä tarkoittaa, että vektorien välisen kulman kosini on yhtä suuri kuin:

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

Kun tiedämme kulman kosinin, voimme laskea sen sinin. Keskustellaan kuinka tämä tehdään:

Jos kulman kosini on positiivinen, tämä kulma on 1 tai 4 kvadrantissa, mikä tarkoittaa, että sen sini on joko positiivinen tai negatiivinen. Mutta koska vektorien välinen kulma on pienempi tai yhtä suuri kuin 180 astetta, sen sini on positiivinen. Selvitämme samalla tavalla, jos kosini on negatiivinen.

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

Siinä se)))) onnea sen selvittämiseen)))

Dmitri Levishchev

Se tosiasia, että on mahdotonta suoraan sinata, ei ole totta.
Kaavan lisäksi:
(a,b)=|a|*|b|*cos A
Löytyy myös tämä:
||=|a|*|b|*sin A
Eli skalaaritulon sijasta voit ottaa vektoritulon moduulin.

Ohjeet

Olkoon tasolle kaksi nollasta poikkeavaa vektoria yhdestä pisteestä piirrettynä: vektori A koordinaattein (x1, y1) B koordinaattein (x2, y2). Kulma niiden välissä on θ. Kulman θ astemitan löytämiseksi sinun on käytettävä skalaaritulon määritelmää.

Kahden nollasta poikkeavan vektorin skalaaritulo on luku, joka on yhtä suuri kuin näiden vektorien pituuksien ja niiden välisen kulman kosinin tulo, eli (A,B)=|A|*|B|*cos( θ). Nyt sinun on ilmaistava kulman kosini tästä: cos(θ)=(A,B)/(|A|*|B|).

Skalaaritulo voidaan löytää myös kaavalla (A,B)=x1*x2+y1*y2, koska kahden nollasta poikkeavan vektorin tulo on yhtä suuri kuin niitä vastaavien vektoreiden tulojen summa. Jos nollasta poikkeavien vektoreiden skalaaritulo on yhtä suuri kuin nolla, niin vektorit ovat kohtisuorassa (niiden välinen kulma on 90 astetta) ja lisälaskelmat voidaan jättää tekemättä. Jos kahden vektorin skalaaritulo on positiivinen, niin näiden välinen kulma vektorit akuutti, ja jos negatiivinen, niin kulma on tylppä.

Laske nyt vektorien A ja B pituudet käyttämällä kaavoja: |A|=√(x1²+y1²), |B|=√(x2²+y2²). Vektorin pituus lasketaan sen koordinaattien neliöiden summan neliöjuurena.

Korvaa skalaaritulon ja vektorien pituuksien löydetyt arvot vaiheessa 2 saadun kulman kaavaan, eli cos(θ)=(x1*x2+y1*y2)/(√(x1²+y1²)+ √(x2²+y2²)). Nyt, kun tiedät arvon , löytääksesi välisen kulman astemitta vektorit sinun täytyy käyttää Bradis-taulukkoa tai ottaa tästä: θ=arccos(cos(θ)).

Jos vektorit A ja B on annettu kolmiulotteisessa avaruudessa ja niillä on vastaavasti koordinaatit (x1, y1, z1) ja (x2, y2, z2), niin kulman kosinia löydettäessä lisätään yksi koordinaatti lisää. Tässä tapauksessa kosini: cos(θ)=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(√(x1²+y1²+z1²)+√(x2²+y2²+z2²)).

Hyödyllinen neuvo

Jos kahta vektoria ei ole piirretty samasta pisteestä, niiden välisen kulman löytämiseksi rinnakkaiskäännöksen avulla sinun on yhdistettävä näiden vektorien origot.
Kahden vektorin välinen kulma ei voi olla suurempi kuin 180 astetta.

Lähteet:

• kuinka laskea vektorien välinen kulma
• Suoran ja tason välinen kulma

Monien sekä sovellettavien että teoreettisten ongelmien ratkaisemiseksi fysiikassa ja lineaarisessa algebrassa on tarpeen laskea vektorien välinen kulma. Tämä näennäisesti yksinkertainen tehtävä voi aiheuttaa monia vaikeuksia, jos et ymmärrä skalaaritulon olemusta ja arvoa tämän tuotteen tuloksena.

Ohjeet

Vektorien välinen kulma vektorilineaariavaruudessa - minimikulma klo , jossa vektorien samansuuntaisuus saavutetaan. Piirtää yhden vektoreista aloituspisteensä ympärille. Määritelmästä käy selväksi, että kulman arvo ei saa ylittää 180 astetta (katso kohta).

Tässä tapauksessa oletetaan aivan oikein, että lineaarisessa avaruudessa vektorien rinnakkaissiirtoa suoritettaessa niiden välinen kulma ei muutu. Siksi kulman analyyttisen laskennan kannalta vektorien avaruudellisella orientaatiolla ei ole merkitystä.

Pistetulon tulos on luku, muuten skalaari. Muista (tämä on tärkeää tietää), jotta vältytään virheiltä myöhemmissä laskelmissa. Tasossa tai vektoreiden avaruudessa sijaitsevan skalaaritulon kaavalla on muoto (ks. vaiheen kuva).

Jos vektorit sijaitsevat avaruudessa, suorita laskenta samalla tavalla. Ainoa termi esiintyy osingossa on hakemuksen termi, eli. vektorin kolmas komponentti. Vastaavasti vektoreiden moduulia laskettaessa on otettava huomioon myös z-komponentti, jolloin avaruudessa sijaitseville vektoreille muunnetaan viimeinen lauseke seuraavasti (katso vaihe kuvasta 6).

Vektori on jana, jolla on tietty suunta. Vektorien välinen kulma on fyysinen merkitys, esimerkiksi kun etsitään vektorin projektion pituutta akselille.

Ohjeet

Kahden nollasta poikkeavan vektorin välinen kulma laskemalla pistetulo. Määritelmän mukaan tulo on yhtä suuri kuin pituuksien ja niiden välisen kulman tulo. Toisaalta lasketaan skalaaritulo kahdelle vektorille a koordinaattein (x1; y1) ja b koordinaattein (x2; y2): ab = x1x2 + y1y2. Näistä kahdesta menetelmästä pistetulo on helposti vektorien välinen kulma.

Etsi vektorien pituudet tai suuruudet. Vektoreillemme a ja b: |a| = (x1² + y1²)^1/2, |b| = (x2² + y2²)^1/2.

Etsi vektorien skalaaritulo kertomalla niiden koordinaatit pareittain: ab = x1x2 + y1y2. Skalaaritulon määritelmästä ab = |a|*|b|*cos α, missä α on vektorien välinen kulma. Sitten saadaan, että x1x2 + y1y2 = |a|*|b|*cos α. Sitten cos α = (x1x2 + y1y2)/(|a|*|b|) = (x1x2 + y1y2)/((x1² + y1²)(x2² + y2²))^1/2.

Etsi kulma α käyttämällä Bradis-taulukoita.

Video aiheesta

Huomautus

Skalaaritulo on vektorien pituuksien ja niiden välisen kulman skalaariominaisuus.

Taso on yksi geometrian peruskäsitteistä. Taso on pinta, jolle seuraava väite pitää paikkansa: mikä tahansa suora, joka yhdistää sen kaksi pistettä, kuuluu kokonaan tälle pinnalle. Lentokoneet on yleensä nimetty kreikkalaiset kirjaimetα, β, γ jne. Kaksi tasoa leikkaa aina molempiin tasoihin kuuluvaa suoraa pitkin.

Ohjeet

Tarkastellaan puolitasoja α ja β, jotka muodostuvat pisteen leikkauspisteestä. Kulma, jonka muodostaa suora a ja kaksi puolitasoa α ja β kaksitahoisen kulman avulla. Tässä tapauksessa puolitasoja, jotka muodostavat dihedraalisen kulman pintojensa kanssa, suoraa a, jota pitkin tasot leikkaavat, kutsutaan dihedraalisen kulman reunaksi.

Dihedraalinen kulma, kuten tasokulma, on asteina. Dihedraalisen kulman muodostamiseksi sinun on valittava mielivaltainen piste O sen pinnalla. Molemmissa pisteen O läpi vedetään kaksi sädettä a. Muodostunutta kulmaa AOB kutsutaan lineaariseksi dihedraaliseksi kulmaksi a.

Olkoon siis vektori V = (a, b, c) ja taso A x + B y + C z = 0, missä A, B ja C ovat normaalin N:n koordinaatit. Sitten kulman kosini α vektorien V ja N välillä on yhtä suuri kuin: cos α = (a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²)).

Laskeaksesi kulman asteina tai radiaaneina, sinun on laskettava käänteinen kosinifunktio tuloksena olevasta lausekkeesta, ts. arkosiini:α = аrsсos ((a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²))).

Esimerkki: löytää kulma välillä vektori(5, -3, 8) ja kone, annettu yleinen yhtälö 2 x – 5 y + 3 z = 0. Ratkaisu: kirjoita muistiin tason N = (2, -5, 3) normaalivektorin koordinaatit. Korvaa kaikki tunnetut arvot annettuun kaavaan: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Video aiheesta

Muodosta yhtälö ja eristä kosini siitä. Yhden kaavan mukaan vektorien skalaaritulo on yhtä suuri kuin niiden pituudet kerrottuna keskenään ja kosinilla kulma, ja toisaalta - kunkin akselin koordinaattien tulojen summa. Yhdistäen molemmat kaavat, voimme päätellä, että kosini kulma on oltava yhtä suuri kuin koordinaattien tulojen summan suhde vektorien pituuksien tuloon.

Kirjoita tuloksena oleva yhtälö muistiin. Tätä varten sinun on määritettävä molemmat vektorit. Oletetaan, että ne on annettu kolmiulotteisessa suorakulmaisessa järjestelmässä ja niiden aloituspisteet ovat koordinaattiverkossa. Ensimmäisen vektorin suunta ja suuruus ilmoitetaan pisteellä (X1,Y1,Z1), toisen - (X2,Y2,Z2) ja kulma merkitään kirjaimella γ. Sitten jokaisen vektorin pituudet voidaan esimerkiksi käyttää Pythagoran lauseella , joka muodostuu niiden projektioista jokaiselle koordinaattiakselille: √(X1² + Y1² + Z1²) ja √(X₂² + Y₂² + Z₂²). Korvaa nämä lausekkeet edellisessä vaiheessa laadittuun kaavaan ja saat yhtälön: cos(γ) = (X1*X₂ + Y1*Y₂ + Z1*Z2) / (√(X1² + Y1² + Z₁²) * √(X₂) + Y₂² + Z2² )).

Käytä sitä tosiasiaa, että neliösumma sini ja co sini alkaen kulma sama määrä antaa aina yhden. Tämä tarkoittaa, että nostamalla edellisessä vaiheessa saatua sini neliö ja vähennetään yhdestä ja sitten neliöjuuri ratkaisee ongelman. Kirjoita se ylös vaadittu kaava V yleisnäkymä: sin(γ) = √(1-cos(γ)²) = √(1 - ((X1*X2 + Y1*Y2 + Z1*Z2) / (√(X12 + Y12 + Z12) * √² +(X₂) Y22 + Z22))²) = √(1 - ((X1*X2 + Y1*Y2 + Z1*Z2)² / ((X12 + Y12 + Z12) * (X22 + Y22 + Z22))))