Eksponenttioiminen on kertomiseen läheisesti liittyvä operaatio; tämä operaatio on seurausta luvun toistuvasta kertomisesta itsestään. Esitetään se kaavalla: a1 * a2 * … * an = an.
Esimerkiksi a=2, n=3: 2*2*2=2^3 = 8 .
Yleisesti ottaen eksponentiota käytetään usein erilaisissa matematiikan ja fysiikan kaavoissa. Tällä toiminnolla on tieteellisempi tarkoitus kuin neljällä päätoiminnolla: yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku.
Numeron nostaminen potenssiin
Numeron nostaminen potenssiin ei ole monimutkainen toimenpide. Se liittyy kertomiseen samalla tavalla kuin kerto- ja yhteenlaskusuhteeseen. Merkintä an on lyhyt merkintä n:nnelle lukujen "a" lukumäärälle kerrottuna toisillaan.
Harkitse eksponentiota käyttämällä yksinkertaisimpia esimerkkejä, siirtymällä monimutkaisiin esimerkkeihin.
Esimerkiksi 42. 42 = 4 * 4 = 16. Neljä neliötä (toiseen potenssiin) on yhtä kuin kuusitoista. Jos et ymmärrä kertolaskua 4 * 4, lue kertomista koskeva artikkelimme.
Katsotaanpa toista esimerkkiä: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Viisi kuutiota (kolmannelle potenssille) on satakaksikymmentäviisi.
Toinen esimerkki: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Yhdeksän kuutiota on seitsemänsataakaksikymmentäyhdeksän.
Eksponenttikaavat
Nostaaksesi oikein potenssiin, sinun on muistettava ja tiedettävä alla annetut kaavat. Tässä ei ole mitään ylimääräistä luonnollista, tärkeintä on ymmärtää ydin ja sitten ne eivät vain jää mieleen, vaan myös näyttävät helpoilta.
Monomiaalin nostaminen potenssiksi
Mikä on monomi? Tämä on lukujen ja muuttujien tulo missä tahansa määrissä. Esimerkiksi kaksi on monomi. Ja tämä artikkeli koskee nimenomaan tällaisten monomioiden nostamista valtuuksiksi.
Käyttämällä eksponentiointikaavoja ei ole vaikeaa laskea monomin eksponentiointia.
Esimerkiksi, (3x^2y^3)^2= 3^2*x^2*2*y^(3*2) = 9x^4y^6; Jos nostat monomin potenssiin, niin jokainen monomin komponentti korotetaan potenssiin.
Nostamalla muuttuja, jolla on jo potenssi, potenssit kerrotaan. Esimerkiksi (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;
Nostaminen negatiiviseen voimaan
Negatiivinen potenssi on luvun käänteisluku. Mikä on käänteisluku? Minkä tahansa luvun X käänteisluku on 1/X. Eli X-1 = 1/X. Tämä on negatiivisen asteen ydin.
Harkitse esimerkkiä (3Y)^-3:
(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).
Miksi niin? Koska asteessa on miinus, siirrämme tämän lausekkeen yksinkertaisesti nimittäjään ja nostamme sen sitten kolmanteen potenssiin. Yksinkertaista eikö?
Nostaminen murto-osaan
Aloitetaan tarkastelemalla ongelmaa erityisellä esimerkillä. 43/2. Mitä tutkinto 3/2 tarkoittaa? 3 – osoittaja, tarkoittaa luvun (tässä tapauksessa 4) nostamista kuutioon. Numero 2 on nimittäjä; se on luvun toisen juuren poiminta (tässä tapauksessa 4).
Sitten saamme neliöjuuren 43 = 2^3 = 8. Vastaus: 8.
Joten murto-osan potenssin nimittäjä voi olla joko 3 tai 4 ja äärettömään mikä tahansa luku, ja tämä luku määrittää annetusta luvusta otetun neliöjuuren asteen. Nimittäjä ei tietenkään voi olla nolla.
Juuren nostaminen valtaan
Jos juuria nostetaan asteeseen, joka on yhtä suuri kuin itse juuren aste, vastaus on radikaali lauseke. Esimerkiksi (√x)2 = x. Ja niin joka tapauksessa juuren aste ja juuren nousuaste ovat samat.
Jos (√x)^4. Sitten (√x)^4=x^2. Ratkaisun tarkistamiseksi muunnamme lausekkeen lausekkeeksi, jolla on murtoluku. Koska juuri on neliö, nimittäjä on 2. Ja jos juuri nostetaan neljänteen potenssiin, niin osoittaja on 4. Saamme 4/2=2. Vastaus: x = 2.
Joka tapauksessa paras vaihtoehto on yksinkertaisesti muuntaa lauseke lausekkeeksi, jolla on murtoluku. Jos murto-osa ei peruuntu, tämä on vastaus, edellyttäen, että annetun luvun juuria ei ole eristetty.
Kompleksiluvun nostaminen potenssiin
Mikä on kompleksiluku? Kompleksiluku on lauseke, jolla on kaava a + b * i; a, b ovat reaalilukuja. i on luku, joka neliöitynä antaa luvun -1.
Katsotaanpa esimerkkiä. (2 + 3i)^2.
(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.
Ilmoittaudu kurssille "Nopeuta mielenlaskentaa, EI mentaalista aritmetiikkaa" oppiaksesi kuinka nopeasti ja oikein laskea yhteen, vähentää, kertoa, jakaa, neliönumeroita ja jopa poimia juuria. 30 päivässä opit käyttämään helppoja temppuja aritmeettisten operaatioiden yksinkertaistamiseksi. Jokainen oppitunti sisältää uusia tekniikoita, selkeitä esimerkkejä ja hyödyllisiä tehtäviä.
Eksponentointi verkossa
Laskimellamme voit laskea luvun nostamisen potenssiin:
Eksponentointi 7. luokka
Koululaiset alkavat nousta valtaan vasta seitsemännellä luokalla.
Eksponenttioiminen on kertomiseen läheisesti liittyvä operaatio; tämä operaatio on seurausta luvun toistuvasta kertomisesta itsestään. Esitetään se kaavalla: a1 * a2 * … * an=an.
Esimerkiksi, a = 2, n = 3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.
Esimerkkejä ratkaisusta:
Eksponentointiesitys
Seitsemäsluokkalaisille suunniteltu esitys valtuuksien kasvattamisesta. Esitys saattaa selventää joitain epäselviä kohtia, mutta nämä kohdat eivät todennäköisesti selviä artikkelimme ansiosta.
Bottom line
Olemme katsoneet vain jäävuoren huippua ymmärtääksemme matematiikkaa paremmin - ilmoittaudu kurssillemme: Kiihdyttävä mieliaritmetiikka - EI mieliaritmetiikka.
Kurssilla opit paitsi kymmeniä tekniikoita yksinkertaistettuun ja nopeaan kerto-, yhteen-, kerto-, jakolasku- ja prosenttilaskumenetelmiin, vaan harjoittelet niitä myös erikoistehtävissä ja opetuspeleissä! Mielenkiintoinen aritmetiikka vaatii myös paljon huomiota ja keskittymistä, joita harjoitellaan aktiivisesti ratkottaessa mielenkiintoisia tehtäviä.
Lyhennettyjä kertolaskukaavoja tai -sääntöjä käytetään aritmetiikassa, tarkemmin sanottuna algebrassa, nopeuttamaan suurten algebrallisten lausekkeiden arviointia. Itse kaavat on johdettu algebran säännöistä useiden polynomien kertomiselle.
Näiden kaavojen käyttö tarjoaa melko nopean ratkaisun erilaisiin matemaattisiin ongelmiin ja auttaa myös yksinkertaistamaan lausekkeita. Algebrallisten muunnosten sääntöjen avulla voit suorittaa joitain manipulaatioita lausekkeiden kanssa, joita seuraamalla voit saada yhtälön vasemmalle puolelle oikean puolen lausekkeen tai muuntaa yhtälön oikean puolen (vasemman puolen lausekkeen saamiseksi yhtäläisyysmerkin jälkeen).
Lyhennettyyn kertolaskuun käytetyt kaavat on hyvä tietää muistista, koska niitä käytetään usein tehtävien ja yhtälöiden ratkaisemisessa. Alla ovat tähän luetteloon sisältyvät pääkaavat ja niiden nimet.
Summan neliö
Summan neliön laskemiseksi sinun on löydettävä summa, joka koostuu ensimmäisen termin neliöstä, kaksi kertaa ensimmäisen ja toisen ja toisen termin neliöstä. Lausekkeen muodossa tämä sääntö kirjoitetaan seuraavasti: (a + c)² = a² + 2ac + c².
Neliöllinen ero
Eron neliön laskemiseksi sinun on laskettava summa, joka koostuu ensimmäisen luvun neliöstä, ensimmäisen ja toisen luvun tulosta kaksinkertaisesti (vastakkaisella merkillä) ja toisen luvun neliöstä. Lausekkeen muodossa tämä sääntö näyttää tältä: (a - c)² = a² - 2ac + c².
Neliöiden ero
Kahden luvun neliön erotuksen kaava on yhtä suuri kuin näiden lukujen ja niiden eron summan tulo. Lausekkeen muodossa tämä sääntö näyttää tältä: a² - с² = (a + с)·(a - с).
Summan kuutio
Kahden termin summan kuution laskemiseksi sinun on laskettava summa, joka koostuu ensimmäisen termin kuutiosta, kolminkertaistaa ensimmäisen ja toisen termin neliön tulo, kolminkertaistaa ensimmäisen ja toisen termin tulo. neliö ja toisen termin kuutio. Lausekkeen muodossa tämä sääntö näyttää tältä: (a + c)³ = a³ + 3a²c + 3ac² + c³.
Kuutioiden summa
Kaavan mukaan se on yhtä suuri kuin näiden termien summan ja niiden erotuksen epätäydellisen neliön tulo. Lausekkeen muodossa tämä sääntö näyttää tältä: a³ + c³ = (a + c)·(a² - ac + c²).
Esimerkki. On tarpeen laskea hahmon tilavuus, joka muodostuu lisäämällä kaksi kuutiota. Vain niiden sivujen koot tunnetaan.
Jos sivuarvot ovat pieniä, laskelmat ovat yksinkertaisia.
Jos sivujen pituudet ilmaistaan hankalia numeroita, niin tässä tapauksessa on helpompi käyttää "kuutioiden summa" -kaavaa, mikä yksinkertaistaa laskelmia huomattavasti.
Erokuutio
Kuutioeron lauseke kuulostaa tältä: ensimmäisen termin kolmannen potenssin summana kolminkertaistaa ensimmäisen termin neliön negatiivinen tulo toisella, kolminkertaistaa ensimmäisen termin tulo toisen neliöllä ja toisen termin negatiivinen kuutio. Matemaattisen lausekkeen muodossa erotuksen kuutio näyttää tältä: (a - c)³ = a³ - 3a²c + 3ac² - c³.
Kuutioiden ero
Kuutioiden erotuskaava eroaa kuutioiden summasta vain yhdellä merkillä. Siten kuutioiden ero on kaava, joka on yhtä suuri kuin näiden lukujen ja niiden summan epätäydellisen neliön eron tulo. Muodossa kuutioiden ero näyttää tältä: a 3 - c 3 = (a - c)(a 2 + ac + c 2).
Esimerkki. On tarpeen laskea kuvion tilavuus, joka jää jäljelle, kun sinisen kuution tilavuudesta on vähennetty keltainen tilavuusluku, joka on myös kuutio. Vain pienen ja suuren kuution sivukoko tunnetaan.
Jos sivuarvot ovat pieniä, laskelmat ovat melko yksinkertaisia. Ja jos sivujen pituudet ilmaistaan merkittävinä luvuina, kannattaa käyttää kaavaa nimeltä "Kuutioiden ero" (tai "Erotuskuutio"), mikä yksinkertaistaa laskelmia huomattavasti.
Lyhennetyt kertolaskukaavat. Koulutus.
Yritä arvioida seuraavat lausekkeet tällä tavalla:
Vastaukset:
Tai jos tiedät kaksinumeroisten peruslukujen neliöt, muista kuinka paljon se on? Muistatko? . Loistava! Koska neliöimme, meidän on kerrottava. Siitä käy ilmi.
Muista, että neliösumma- ja neliöero-kaavat eivät kelpaa vain numeerisille lausekkeille:
Laske itse seuraavat lausekkeet:
Vastaukset:
Lyhennetyt kertolaskukaavat. Bottom line.
Tehdään vähän yhteenvetoa ja kirjoitetaan summan ja erotuksen neliön kaavat yhdelle riville:
Harjoitellaan nyt kaavan "kokoamista" hajautetusta näkymästä toiseen. Tarvitsemme tätä taitoa myöhemmin, kun muunnamme suuria lausekkeita.
Oletetaan, että meillä on seuraava lauseke:
Tiedämme, että summan (tai erotuksen) neliö on yhden luvun neliö toisen luvun neliö Ja kaksinkertainen näiden lukujen tulo.
Tässä tehtävässä on helppo nähdä yhden luvun neliö - tämä. Vastaavasti yksi suluissa olevista luvuista on neliöjuuri, eli
Koska toinen termi sisältää, se tarkoittaa, että tämä on yhden ja toisen luvun kaksoistulo:
Missä on suluissamme oleva toinen numero.
Toinen luku suluissa on yhtä suuri kuin.
Tarkistetaan. pitäisi olla tasa-arvoisia. Todellakin, näin on, mikä tarkoittaa, että olemme löytäneet molemmat luvut suluissa: ja. On vielä määritettävä merkki, joka seisoo niiden välillä. Millainen merkki siellä mielestäsi on?
Oikein! Koska me lisätä Jos tuote tuplataan, tulee numeroiden väliin lisäysmerkki. Kirjoita nyt muunnettu lauseke muistiin. Onnistuitko? Sinun pitäisi saada seuraavat:
Huomaa: termien paikkojen muuttaminen ei vaikuta tulokseen (ei väliä onko ja väliin sijoitettava yhteen- vai vähennyslasku).
Ei ole ehdottoman välttämätöntä, että muunnettavan lausekkeen termit ovat kuten kaavassa on kirjoitettu. Katso tätä ilmaisua: . Kokeile muuntaa se itse. Tapahtui?
Harjoittele - muunna seuraavat lausekkeet:
Vastaukset: Onnistuitko? Korjataan aihe. Valitse alla olevista lausekkeista ne, jotka voidaan esittää summan tai erotuksen neliöinä.
- - todistaa, että se on vastaava.
- - ei voida esittää neliönä; voisi kuvitella, jos sen sijaan olisi.
Neliöiden ero
Toinen lyhennetty kertolasku on neliöiden erotus.
Neliöiden erotus ei ole eron neliö!
Kahden luvun neliöiden välinen ero on yhtä suuri kuin näiden lukujen ja niiden eron summan tulo:
Katsotaan, onko tämä kaava oikein. Tätä varten kerrotaan, kuten teimme summan ja erotuksen neliön kaavat:
Olemme siis juuri varmistaneet, että kaava on todellakin oikea. Tämä kaava yksinkertaistaa myös monimutkaisia laskennallisia operaatioita. Tässä on esimerkki:
On tarpeen laskea: . Tietysti voimme neliöttää, sitten neliöidä ja vähentää toinen toisesta, mutta kaava helpottaa sitä:
Tapahtui? Verrataanpa tuloksia:
Aivan kuten summan (eron) neliötä, neliöiden erotuskaavaa voidaan käyttää paitsi numeroiden kanssa:
Neliöiden eron laskemisen tietäminen auttaa meitä muuntamaan monimutkaisia matemaattisia lausekkeita.
Kiinnittää huomiota:
Koska kun jaamme oikean lausekkeen eron neliöllä, saamme
Ole varovainen ja katso, mikä termi neliötetään! Yhdistä aihe muuttamalla seuraavat lausekkeet:
Kirjoititko sen ylös? Verrataanpa saatuja lausekkeita:
Nyt kun olet hallinnut summan neliön ja erotuksen neliön sekä neliöiden eron, yritetään ratkaista esimerkkejä näiden kolmen kaavan yhdistelmästä.
Peruslausekkeiden muuntaminen (summaneliö, erotusneliö, neliöiden erotus)
Oletetaan, että meille annetaan esimerkki
Tätä ilmaisua on yksinkertaistettava. Katso tarkkaan, mitä näet osoittajassa? Aivan oikein, osoittaja on täydellinen neliö:
Kun yksinkertaistat lauseketta, muista, että vihje, mihin suuntaan yksinkertaistamisessa mennään, on nimittäjässä (tai osoittajassa). Meidän tapauksessamme, kun nimittäjä on laajennettu eikä mitään muuta voida tehdä, voimme ymmärtää, että osoittaja on joko summan neliö tai erotuksen neliö. Kun lisäämme, käy selväksi, että osoittaja on summan neliö.
Kokeile itse muuntaa seuraavat lausekkeet:
Tapahtui? Vertaile vastauksia ja jatka eteenpäin!
Summan kuutio ja erotuksen kuutio
Summakuution ja erotuskuution kaavat johdetaan samalla tavalla kuin summan neliö Ja neliöity ero: sulkeiden avaaminen, kun termit kerrotaan toisillaan.
Jos summan neliö ja erotuksen neliö ovat erittäin helppo muistaa, herää kysymys: "Kuinka muistaa kuutiot?"
Katso huolellisesti kahta kuvattua kaavaa verrattuna samankaltaisten termien neliöintiin:
Millaisen kuvion näet?
1. Kun se on pystytetty sisään neliö meillä on neliö ensimmäinen päivä ja neliö toinen; kun se nostetaan kuutioksi - kyllä kuutio sama numero ja kuutio toinen numero.
2. Kun se on pystytetty sisään neliö, meillä on kaksinkertaistunut lukujen tulo (luvut korotettuina 1. potenssiin, joka on yhden potenssin pienempi kuin se, johon nostetaan lauseke); rakentamisen aikana kuutio - kolminkertaistunut tulo, jossa yksi luvuista on neliöity (joka on myös 1 potenssi pienempi kuin potenssi, johon lauseke nostetaan).
3. Neliöitäessä suluissa oleva etumerkki avoimessa lausekkeessa heijastuu kun lisätään (tai vähennetään) kaksoistuloa - jos suluissa on lisäys, niin lisäämme, jos on vähennys, vähennämme; kuutiota nostettaessa sääntö on tämä: jos meillä on summakuutio, niin kaikki merkit ovat "+", ja jos meillä on erokuutio, niin merkit vuorottelevat: " " - " " - " " - " " .
Kaikki edellä mainitut, paitsi potenssien riippuvuus termien kertomisessa, on esitetty kuvassa.
Harjoitellaanko? Avaa sulut seuraavissa lausekkeissa:
Vertaa tuloksena olevia lausekkeita:
Kuutioiden ero ja summa
Katsotaanpa viimeistä kaavaparia: kuutioiden erotus ja summa.
Kuten muistamme, neliöiden erossa kerromme näiden lukujen eron ja summan keskenään. Kuutioiden erossa ja kuutioiden summassa on myös kaksi hakasulkua:
1 hakasulke - lukujen erotus (tai summa) ensimmäiseen potenssiin (riippuen siitä, paljastammeko eron vai kuutioiden summan);
2. hakasulke on epätäydellinen neliö (katso tarkkaan: jos vähentäisimme (tai lisäisimme) lukujen kaksoistulon, muodostuisi neliö), merkki lukuja kerrottaessa on vastapäätä alkuperäisen lausekkeen etumerkkiä.
Aiheen vahvistamiseksi ratkaistaan muutama esimerkki:
Vertaa tuloksena olevia lausekkeita:
Koulutus
Vastaukset:
Tehdään yhteenveto:
On 7 lyhennettyä kertolaskukaavaa:
EDISTYNYT TASO
Lyhennettyjen kertolaskujen kaavoja ovat kaavoja, joiden tiedossa voit välttää joidenkin vakiotoimintojen suorittamisen lausekkeita yksinkertaistettaessa tai polynomien tekijöissä. Lyhennetyt kertolaskut on tiedettävä ulkoa!
- Summan neliö kaksi lauseketta on yhtä suuri kuin ensimmäisen lausekkeen neliö plus kaksi kertaa ensimmäisen lausekkeen tulo ja toinen plus toisen lausekkeen neliö:
- Neliöllinen ero kaksi lauseketta on yhtä suuri kuin ensimmäisen lausekkeen neliö miinus kaksi kertaa ensimmäisen lausekkeen tulo ja toinen plus toisen lausekkeen neliö:
- Neliöiden ero kaksi lauseketta on yhtä suuri kuin näiden lausekkeiden ja niiden summan eron tulo:
- Summan kuutio kaksi lauseketta on yhtä suuri kuin ensimmäisen lausekkeen kuutio plus kolminkertainen ensimmäisen lausekkeen neliön tulo ja toinen plus kolminkertainen ensimmäisen lausekkeen ja toisen lausekkeen neliön tulo plus toisen lausekkeen kuutio:
- Erokuutio kaksi lauseketta on yhtä suuri kuin ensimmäisen lausekkeen kuutio miinus kolminkertainen ensimmäisen lausekkeen neliön tulo ja toinen plus kolminkertainen ensimmäisen lausekkeen tulo ja toisen lausekkeen neliö miinus toisen lausekkeen kuutio:
- Kuutioiden summa kaksi lauseketta on yhtä suuri kuin ensimmäisen ja toisen lausekkeen summan ja näiden lausekkeiden erotuksen epätäydellisen neliön tulo:
- Kuutioiden ero kaksi lauseketta on yhtä suuri kuin ensimmäisen ja toisen lausekkeen eron tulos näiden lausekkeiden summan epätäydellisellä neliöllä:
Todistetaan nyt kaikki nämä kaavat.
Lyhennetyt kertolaskukaavat. Todiste.
1. .
Lausekkeen neliöinti tarkoittaa sen kertomista itsestään:
.
Avataan sulut ja annetaan vastaavat:
2. .
Teemme saman: kerromme eron itsestään, avaa sulut ja annamme samanlaiset:
.
3. .
Otetaan oikealla puolella oleva lauseke ja avataan sulut:
.
4. .
Kuutioluku voidaan esittää tämän luvun neliöllä kerrottuna:
Samoin:
Kuutioiden erossa merkit vuorottelevat.
6. .
.
7. .
Avataan oikeanpuoleiset sulut:
.
Lyhennettyjen kertolaskujen käyttäminen esimerkkien ratkaisemiseen
Esimerkki 1:
Etsi ilmaisujen merkitys:
Ratkaisu:
- Käytämme summan neliökaavaa: .
- Kuvitellaan tämä luku erotuksena ja käytetään erotuksen neliön kaavaa: .
Esimerkki 2:
Selvitä ilmaisun merkitys: .
Ratkaisu:
Käyttämällä kaavaa kahden lausekkeen neliöiden erolle, saamme:
Esimerkki 3:
Yksinkertaista lauseke:
Ratkaisu kahdella tavalla:
Käytetään kaavoja: summan neliö ja erotuksen neliö:
II menetelmä.
Käytetään kahden lausekkeen neliöiden erotuksen kaavaa:
NYT SANASI...
Kerroin sinulle kaiken, mitä tiedän lyhennetyistä kertolaskukaavoista.
Kerro nyt, käytätkö niitä? Jos ei, miksi ei?
Mitä mieltä olet tästä artikkelista?
Ehkä sinulla on kysymyksiä. Tai ehdotuksia.
Kirjoita kommentteihin. Luemme kaikki kommentit ja vastaamme kaikkiin.
Ja onnea kokeisiin!
Edellisellä oppitunnilla käsittelimme faktorointia. Hallitsimme kaksi tapaa: yhteisen tekijän jättämisen suluista ja ryhmittelyn. Tässä oppitunnissa - seuraava tehokas menetelmä: lyhennetyt kertolaskukaavat. Lyhyesti - FSU.
Lyhennetyt kertolaskut (summa- ja erotusneliö, summa- ja erotuskuutio, neliöiden erotus, kuutioiden summa ja erotus) ovat erittäin tarpeellisia kaikilla matematiikan aloilla. Niitä käytetään lausekkeiden yksinkertaistamiseen, yhtälöiden ratkaisemiseen, polynomien kertomiseen, murtolukujen vähentämiseen, integraalien ratkaisemiseen jne. ja niin edelleen. Lyhyesti sanottuna on kaikki syyt käsitellä niitä. Ymmärrä, mistä ne tulevat, miksi niitä tarvitaan, kuinka muistaa ne ja miten niitä käytetään.
Ymmärrämmekö?)
Mistä lyhennetyt kertolaskukaavat ovat peräisin?
Yhtälöitä 6 ja 7 ei ole kirjoitettu kovin tutulla tavalla. Se on tavallaan päinvastoin. Tämä on tarkoituksellista.) Mikä tahansa tasa-arvo toimii sekä vasemmalta oikealle että oikealta vasemmalle. Tämä merkintä tekee selväksi, mistä FSU:t tulevat.
Ne on otettu kertolaskusta.) Esimerkiksi:
(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2
Siinä se, ei tieteellisiä temppuja. Kerromme vain hakasulkeet ja annamme samanlaiset. Näin se käy kaikki lyhennetyt kertolaskukaavat. Lyhennettynä kertominen johtuu siitä, että itse kaavoissa ei ole hakasulkujen kertolaskua ja samankaltaisten pelkistämistä. Lyhennettynä.) Tulos ilmoitetaan välittömästi.
FSU on tunnettava ulkoa. Ilman kolmea ensimmäistä et voi haaveilla C:stä; ilman muita et voi haaveilla B:stä tai A:sta.)
Miksi tarvitsemme lyhennettyjä kertolaskukaavoja?
On kaksi syytä oppia nämä kaavat, jopa oppia ulkoa. Ensimmäinen on se, että valmis vastaus vähentää automaattisesti virheiden määrää. Mutta tämä ei ole tärkein syy. Mutta toinen...
Jos pidät tästä sivustosta...
Muuten, minulla on sinulle pari muuta mielenkiintoista sivustoa.)
Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Opitaan - mielenkiinnolla!)
Voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.
Lyhennetyt kertolaskukaavat.
Lyhennettyjen kertolaskujen opiskelu: kahden lausekkeen summan neliö ja erotuksen neliö; kahden lausekkeen neliöiden erotus; kahden lausekkeen summan kuutio ja erotuksen kuutio; kahden lausekkeen kuutioiden summat ja erot.
Lyhennettyjen kertolaskujen soveltaminen esimerkkejä ratkaistaessa.
Lausekkeiden yksinkertaistamiseksi, kerroinpolynomien yksinkertaistamiseksi ja polynomien pelkistämiseksi standardimuotoon käytetään lyhennettyjä kertolaskukaavoja. Lyhennetyt kertolaskut on tiedettävä ulkoa.
Olkoon a, b R. Sitten:
1. Kahden lausekkeen summan neliö on yhtä suuri ensimmäisen lausekkeen neliö plus kaksi kertaa ensimmäisen lausekkeen tulo ja toinen plus toisen lausekkeen neliö.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2. Kahden lausekkeen erotuksen neliö on yhtä suuri kuin ensimmäisen lausekkeen neliö miinus kaksi kertaa ensimmäisen lausekkeen tulo ja toinen plus toisen lausekkeen neliö.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
3. Neliöiden ero kaksi lauseketta on yhtä suuri kuin näiden lausekkeiden ja niiden summan erotuksen tulo.
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
4. Summan kuutio kaksi lauseketta on yhtä suuri kuin ensimmäisen lausekkeen kuutio plus kolminkertainen ensimmäisen lausekkeen neliön tulo ja toinen plus kolminkertainen ensimmäisen lausekkeen ja toisen lausekkeen neliön tulo plus toisen lausekkeen kuutio.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. Erokuutio kaksi lauseketta on yhtä kuin ensimmäisen lausekkeen kuutio miinus kolminkertainen ensimmäisen lausekkeen neliön tulo ja toinen plus kolminkertainen ensimmäisen lausekkeen tulo ja toisen lausekkeen neliö miinus toisen lausekkeen kuutio.
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. Kuutioiden summa kaksi lauseketta on yhtä suuri kuin ensimmäisen ja toisen lausekkeen summan ja näiden lausekkeiden erotuksen epätäydellisen neliön tulo.
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
7. Kuutioiden ero kaksi lauseketta on yhtä suuri kuin ensimmäisen ja toisen lausekkeen eron tulos näiden lausekkeiden summan epätäydellisellä neliöllä.
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Lyhennettyjen kertolaskujen soveltaminen esimerkkejä ratkaistaessa.
Esimerkki 1.
Laskea
a) Käyttämällä kaavaa kahden lausekkeen summan neliölle, saamme
(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
b) Käyttämällä kaavaa kahden lausekkeen eron neliölle saadaan
98 2 = (100 - 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10 000 - 400 + 4 = 9604
Esimerkki 2.
Laskea
Käyttämällä kaavaa kahden lausekkeen neliöiden erolle, saamme
Esimerkki 3.
Yksinkertaista lauseke
(x - y) 2 + (x + y) 2
Käytetään kaavoja kahden lausekkeen summan neliön ja erotuksen neliöön
(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2
Lyhennetyt kertolaskukaavat yhdessä taulukossa:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
