Ruutvõrrand on võrrand kujul a*x^2 +b*x+c=0, kus a,b,c on mingid suvalised reaalarvud ja x on muutuja. Veelgi enam, arv a = 0.

Arve a,b,c nimetatakse koefitsientideks. Arvu a nimetatakse juhtkoefitsiendiks, arvu b on koefitsient x ja arvu c nimetatakse vabaks liikmeks.

Ruutvõrrandite lahendamine

Ruutvõrrandi lahendamine tähendab selle kõigi juurte leidmist või fakti tuvastamist, et ruutvõrrandil pole juuri. Ruutvõrrandi a*x^2 +b*x+c=0 juur on muutuja x mis tahes väärtus, nii et ruuttrinoom a*x^2 +b*x+c kaob. Mõnikord nimetatakse seda x väärtust ruuttrinoomi juureks.

Ruutvõrrandite lahendamiseks on mitu võimalust. Mõelge ühele neist - kõige universaalsemaks. Seda saab kasutada mis tahes ruutvõrrandi lahendamiseks.

Ruutvõrrandite lahendamise valemid

Ruutvõrrandi juurte valem on a*x^2 +b*x+c=0.

x=(-b±√D)/(2*a), kus D =b^2-4*a*c.

See valem saadakse võrrandi a*x^2 +b*x+c=0 in lahendamisel üldine vaade, eraldades binoomi ruudu.

Ruutvõrrandi juurte valemis nimetatakse avaldist D (b^2-4*a*c) ruutvõrrandi a*x^2 +b*x+c=0 diskriminandiks. See nimi pärineb ladina keel, tõlgitud kui "diskrimineerija". Olenevalt diskriminandi väärtusest on ruutvõrrandil kaks või üks juur või üldse mitte.

Kui diskriminant on suurem kui null, siis ruutvõrrandil on kaks juurt. (x=(-b±√D)/(2*a))

Kui diskriminant on null, siis ruutvõrrandil on üks juur. (x=(-b/(2*a))

Kui diskriminant on negatiivne, siis ruutvõrrandil pole juuri.

Ruutvõrrandi lahendamise üldalgoritm

Eelneva põhjal koostame ruutvõrrandi a*x^2 +b*x+c=0 lahendamise üldalgoritmi, kasutades valemit:

1. Leidke diskriminandi väärtus valemiga D =b^2-4*a*c.

2. Sõltuvalt diskriminandi väärtusest arvutage juured valemite abil:

D<0, корней нет.

D=0, x=(-b/(2*a)

D>0, x=(-b+√D)/(2*a), x=(-b-√D)/(2*a)

See algoritm on universaalne ja sobib mistahes ruutvõrrandi lahendamiseks. Täielik ja mittetäielik, antud ja andmata.

Diskriminanti, nagu ruutvõrrandiki, hakatakse algebrakursusel õppima 8. klassis. Ruutvõrrandi saab lahendada diskriminandi ja Vieta teoreemi abil. Ruutvõrrandite ja ka diskrimineerivate valemite uurimismeetodit õpetatakse koolilastele üsna ebaõnnestunult, nagu paljusid asju reaalhariduses. Seetõttu kooliaastad mööduvad, haridus 9-11 klassis asendab " kõrgharidus"ja kõik vaatavad uuesti - "Kuidas lahendada ruutvõrrandit?", "Kuidas leida võrrandi juuri?", "Kuidas leida diskriminant?" Ja...

Diskrimineeriv valem

Ruutvõrrandi a*x^2+bx+c=0 diskriminant D on võrdne D=b^2–4*a*c.
Ruutvõrrandi juured (lahendused) sõltuvad diskriminandi märgist (D):
D>0 – võrrandil on 2 erinevat reaaljuurt;
D=0 – võrrandil on 1 juur (2 vastavat juurt):
D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Diskriminandi arvutamise valem on üsna lihtne, nii et paljud veebisaidid pakuvad online-diskriminandi kalkulaatorit. Me pole seda tüüpi skripte veel välja mõelnud, nii et kui keegi teab, kuidas seda rakendada, siis palun kirjutage meile e-posti teel See e-posti aadress on spämmirobotite eest kaitstud. Selle vaatamiseks peab teil olema JavaScript lubatud. .

Üldvalem ruutvõrrandi juurte leidmiseks:

Valemi abil leiame võrrandi juured
Kui ruudukujulise muutuja koefitsient on paaris, siis on soovitatav arvutada mitte diskriminant, vaid selle neljas osa
Sellistel juhtudel leitakse võrrandi juured valemi abil

Teine viis juurte leidmiseks on Vieta teoreem.

Teoreem on sõnastatud mitte ainult ruutvõrrandite, vaid ka polünoomide jaoks. Saate seda lugeda Wikipediast või muudest elektroonilistest allikatest. Kuid lihtsustamise mõttes vaatleme seda osa, mis puudutab ülaltoodud ruutvõrrandeid, st võrrandeid kujul (a=1)
Vieta valemite olemus seisneb selles, et võrrandi juurte summa võrdub muutuja koefitsiendiga, mis on võetud vastupidise märgiga. Võrrandi juurte korrutis on võrdne vaba liikmega. Vieta teoreemi saab kirjutada valemitega.
Vieta valemi tuletamine on üsna lihtne. Kirjutame ruutvõrrandi lihtsate tegurite kaudu
Nagu näete, on kõik geniaalne samal ajal lihtne. Vieta valemit on efektiivne kasutada, kui juurte moodulite erinevus või juurte moodulite erinevus on 1, 2. Näiteks järgmistel võrranditel on Vieta teoreemi järgi juured




Kuni võrrandini 4 peaks analüüs välja nägema selline. Võrrandi juurte korrutis on 6, seetõttu võivad juurteks olla väärtused (1, 6) ja (2, 3) või vastandmärgiga paarid. Juurte summa on 7 (vastupidise märgiga muutuja koefitsient). Siit järeldame, et ruutvõrrandi lahendid on x=2; x=3.
Lihtsam on valida vabaliikme jagajate hulgast võrrandi juuri, kohandades nende märki, et täita Vieta valemeid. Alguses tundub seda keeruline teha, kuid mitme ruutvõrrandi harjutamisel osutub see tehnika tõhusamaks kui diskriminandi arvutamine ja ruutvõrrandi juurte leidmine klassikalisel viisil.
Nagu näete, puudub diskriminandi uurimise kooliteoorial ja võrrandile lahenduste leidmise meetoditel praktiline tähendus - "Miks on koolilastele ruutvõrrandit vaja?", "Mis on diskrimineerija füüsiline tähendus?"

Proovime selle välja mõelda Mida diskriminant kirjeldab?

Algebra kursusel õpitakse funktsioone, funktsioonide uurimise skeeme ja funktsioonide graafiku koostamist. Kõigist funktsioonidest on olulisel kohal parabool, mille võrrandi saab kirjutada kujul
Seega on ruutvõrrandi füüsikaline tähendus parabooli nullpunktid, st funktsiooni graafiku lõikepunktid abstsissteljega Ox
Palun teil meeles pidada allpool kirjeldatud paraboolide omadusi. Saabub aeg sooritada eksamid, katsed või sisseastumiseksamid ja olete tänulik võrdlusmaterjali eest. Ruutmuutuja märk vastab sellele, kas parabooli harud graafikul tõusevad (a>0),

või parabool, mille oksad on allapoole (a<0) .

Parabooli tipp asub juurte vahel keskel

Diskriminandi füüsiline tähendus:

Kui diskriminant on suurem kui null (D>0), on paraboolil kaks lõikepunkti Ox-teljega.
Kui diskriminant on null (D=0), siis tipus olev parabool puudutab x-telge.
Ja viimane juhtum, kui diskriminant on väiksem kui null (D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Mittetäielikud ruutvõrrandid

Ruutvõrrandi ülesandeid õpitakse nii kooli õppekavas kui ka ülikoolides. Need tähendavad võrrandeid kujul a*x^2 + b*x + c = 0, kus x- muutuja, a, b, c – konstandid; a<>0 . Ülesandeks on leida võrrandi juured.

Ruutvõrrandi geomeetriline tähendus

Funktsiooni graafik, mis on esitatud ruutvõrrandiga, on parabool. Ruutvõrrandi lahendid (juured) on parabooli ja abstsisstelje (x) lõikepunktid. Sellest järeldub, et võimalikke juhtumeid on kolm:
1) paraboolil puuduvad lõikepunktid abstsissteljega. See tähendab, et see asub ülemises tasapinnas okstega ülespoole või alumisel tasapinnal allapoole. Sellistel juhtudel pole ruutvõrrandil tegelikke juuri (sellel on kaks keerulist juurt).

2) paraboolil on üks lõikepunkt härja teljega. Sellist punkti nimetatakse parabooli tipuks ja selles olev ruutvõrrand omandab oma minimaalse või maksimaalse väärtuse. Sel juhul on ruutvõrrandil üks reaaljuur (või kaks identset juurt).

3) Viimane juhtum on praktikas huvitavam - parabooli ja abstsisstelje lõikepunkti on kaks. See tähendab, et võrrandil on kaks tegelikku juurt.

Muutujate astmete kordajate analüüsi põhjal saab teha huvitavaid järeldusi parabooli paigutuse kohta.

1) Kui koefitsient a on suurem kui null, siis on parabooli oksad suunatud ülespoole, kui see on negatiivne, on parabooli harud suunatud alla.

2) Kui koefitsient b on suurem kui null, siis asub parabooli tipp vasakul pooltasandil, kui ta võtab negatiivse väärtuse, siis paremal.

Ruutvõrrandi lahendamise valemi tuletamine

Kanname konstandi ruutvõrrandist üle

võrdusmärgi jaoks saame avaldise

Korrutage mõlemad pooled 4a-ga

Täieliku ruudu saamiseks vasakule lisage mõlemale küljele b^2 ja viige läbi teisendus

Siit leiame

Ruutvõrrandi diskriminandi ja juurte valem

Diskriminant on radikaalavaldise väärtus. Kui see on positiivne, siis on võrrandil kaks reaaljuurt, mis arvutatakse valemiga Kui diskriminant on null, on ruutvõrrandil üks lahend (kaks kattuvat juurt), mille saab hõlpsasti saada ülaltoodud valemist D = 0. Kui diskriminant on negatiivne, pole võrrandil reaalseid juuri. Ruutvõrrandi lahendused leitakse aga komplekstasandil ja nende väärtus arvutatakse valemi abil

Vieta teoreem

Vaatleme ruutvõrrandi kaht juurt ja konstrueerime nende alusel ruutvõrrandi tähistusest tuleneb kergesti Vieta teoreem ise: kui meil on vormi ruutvõrrand siis on selle juurte summa võrdne vastasmärgiga koefitsiendiga p ja võrrandi juurte korrutis on võrdne vaba liikmega q. Ülaltoodu valemiline esitus näeb välja selline: Kui klassikalises võrrandis on konstant a nullist erinev, siis peate kogu võrrandi sellega jagama ja seejärel rakendama Vieta teoreemi.

Faktooringu ruutvõrrandi ajakava

Olgu ülesanne püstitatud: koefitsiendi ruutvõrrand. Selleks lahendame esmalt võrrandi (leiame juured). Järgmisena asendame leitud juured ruutvõrrandi laiendusvalemis, mis lahendab ülesande.

Ruutvõrrandi ülesanded

Ülesanne 1. Leia ruutvõrrandi juured

x^2-26x+120=0 .

Lahendus: kirjutage koefitsiendid üles ja asendage need diskrimineeriva valemiga

Selle väärtuse juur on 14, seda on lihtne kalkulaatoriga leida või sagedase kasutamise korral meelde jätta, kuid mugavuse huvides annan teile artikli lõpus loendi arvude ruutudest, mida võib sageli kohata. selliseid probleeme.
Asendame leitud väärtuse juurvalemiga

ja saame

2. ülesanne. Lahenda võrrand

2x 2 +x-3 = 0.

Lahendus: meil on täielik ruutvõrrand, kirjutame välja koefitsiendid ja leiame diskrimineerija


Kasutades tuntud valemeid, leiame ruutvõrrandi juured

3. ülesanne. Lahenda võrrand

9x2 -12x+4=0.

Lahendus: meil on täielik ruutvõrrand. Diskriminandi määramine

Saime juhtumi, kus juured langevad kokku. Leidke valemi abil juurte väärtused

4. ülesanne. Lahenda võrrand

x^2+x-6=0 .

Lahendus: juhtudel, kui x jaoks on väikesed koefitsiendid, on soovitatav rakendada Vieta teoreemi. Selle tingimuse järgi saame kaks võrrandit

Teisest tingimusest leiame, et korrutis peab olema võrdne -6. See tähendab, et üks juurtest on negatiivne. Meil on järgmine võimalik lahenduspaar (-3;2), (3;-2) . Võttes arvesse esimest tingimust, lükkame teise paari lahendusi tagasi.
Võrrandi juured on võrdsed

Ülesanne 5. Leia ristküliku külgede pikkused, kui selle ümbermõõt on 18 cm ja pindala on 77 cm 2.

Lahendus: pool ristküliku ümbermõõtu on võrdne selle külgnevate külgede summaga. Tähistame x suurema küljena, siis 18-x on selle väiksem külg. Ristküliku pindala on võrdne nende pikkuste korrutisega:
x(18-x)=77;
või
x 2 -18x+77=0.
Leiame võrrandi diskriminandi

Võrrandi juurte arvutamine

Kui x=11, See 18's=7, kehtib ka vastupidine (kui x=7, siis 21s=9).

Ülesanne 6. Koefitsiendi ruutvõrrand 10x 2 -11x+3=0.

Lahendus: Arvutame võrrandi juured, selleks leiame diskriminandi

Asendame leitud väärtuse juurvalemis ja arvutame

Rakendame ruutvõrrandi juurte järgi lagundamise valemit

Sulgude avamisel saame identiteedi.

Ruutvõrrand parameetriga

Näide 1. Millistel parameetri väärtustel A , kas võrrandil (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 on üks juur?

Lahendus: Väärtuse a=3 otsesel asendamisel näeme, et sellel pole lahendust. Järgmisena kasutame tõsiasja, et nulldiskriminandi korral on võrrandil üks kordsuse 2 juur. Kirjutame välja diskrimineerija

Lihtsustame seda ja võrdsustame selle nulliga

Parameetri a suhtes oleme saanud ruutvõrrandi, mille lahenduse saab hõlpsasti leida Vieta teoreemi abil. Juurte summa on 7 ja nende korrutis on 12. Lihtsa otsinguga tuvastame, et arvud 3,4 on võrrandi juured. Kuna me lükkasime juba arvutuste alguses tagasi lahenduse a=3, siis on ainus õige - a = 4. Seega, kui a=4 on võrrandil üks juur.

Näide 2. Millistel parameetri väärtustel A , võrrand a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 on rohkem kui üks juur?

Lahendus: vaatleme esmalt ainsuse punkte, need on väärtused a=0 ja a=-3. Kui a=0, siis võrrand lihtsustatakse kujule 6x-9=0; x=3/2 ja seal on üks juur. Kui a= -3 saame identiteedi 0=0.
Arvutame diskriminandi

ja leidke a väärtus, mille juures see on positiivne

Esimesest tingimusest saame a>3. Teise jaoks leiame võrrandi diskriminandi ja juured


Määratleme intervallid, kus funktsioon võtab positiivsed väärtused. Asendades punkti a=0 saame 3>0 . Seega väljaspool intervalli (-3;1/3) on funktsioon negatiivne. Ärge unustage mõtet a=0, mis tuleks välja jätta, kuna algvõrrandis on üks juur.
Selle tulemusena saame kaks intervalli, mis vastavad ülesande tingimustele

Praktikas on palju sarnaseid ülesandeid, proovige ülesanded ise välja mõelda ja ärge unustage arvestada üksteist välistavate tingimustega. Õppige hästi ruutvõrrandite lahendamise valemeid, neid läheb sageli vaja arvutustes erinevates ülesannetes ja teadustes.

Ruutvõrrandid. Diskrimineeriv. Lahendus, näited.

Tähelepanu!
On täiendavaid
materjalid erijaos 555.
Neile, kes on väga "mitte väga..."
Ja neile, kes "väga…")

Ruutvõrrandite tüübid

Mis on ruutvõrrand? Kuidas see välja näeb? Tähtajaliselt ruutvõrrand märksõna on "ruut". See tähendab, et võrrandis Tingimata seal peab olema x-i ruut. Lisaks sellele võib võrrand sisaldada (või mitte!) sisaldada ainult X-i (esimese astmeni) ja ainult arvu (vabaliige). Ja astmes, mis on suurem kui kaks, ei tohiks olla X-i.

Matemaatilises mõttes on ruutvõrrand järgmise kujuga võrrand:

Siin a, b ja c- mõned numbrid. b ja c- absoluutselt ükskõik, aga A– midagi muud kui null. Näiteks:

Siin A =1; b = 3; c = -4

Siin A =2; b = -0,5; c = 2,2

Siin A =-3; b = 6; c = -18

No saate aru...

Nendes vasakpoolsetes ruutvõrrandites on täiskomplekt liikmed. X ruudus koefitsiendiga A, x koefitsiendiga esimese astmeni b Ja vabaliige s.

Selliseid ruutvõrrandeid nimetatakse täis.

Ja kui b= 0, mida me saame? Meil on X kaotatakse esimesele astmele. See juhtub siis, kui korrutada nulliga.) Selgub näiteks:

5x 2 -25 = 0,

2x2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

Ja nii edasi. Ja kui mõlemad koefitsiendid b Ja c on nulliga, siis on veelgi lihtsam:

2x2 =0,

-0,3x2 =0

Selliseid võrrandeid, kus midagi on puudu, nimetatakse mittetäielikud ruutvõrrandid. Mis on üsna loogiline.) Pange tähele, et x ruudus esineb kõigis võrrandites.

Muide, miks A ei saa olla võrdne nulliga? Ja asendate selle asemel A null.) Meie X ruudus kaob! Võrrand muutub lineaarseks. Ja lahendus on täiesti erinev...

See on kõik ruutvõrrandite peamised tüübid. Täielik ja mittetäielik.

Ruutvõrrandite lahendamine.

Täielike ruutvõrrandite lahendamine.

Ruutvõrrandeid on lihtne lahendada. Valemite ja selgete lihtsate reeglite järgi. Esimeses etapis on vaja antud võrrand taandada standardvaade, st. vormile:

Kui võrrand on teile juba antud kujul antud, ei pea te esimest etappi tegema.) Peaasi on kõik koefitsiendid õigesti määrata, A, b Ja c.

Ruutvõrrandi juurte leidmise valem näeb välja järgmine:

Juuremärgi all olevat väljendit nimetatakse diskrimineeriv. Temast aga lähemalt allpool. Nagu näete, kasutame X leidmiseks ainult a, b ja c. Need. koefitsiendid ruutvõrrandist. Lihtsalt asendage väärtused ettevaatlikult a, b ja c Arvutame selle valemi järgi. Asendame oma märkidega! Näiteks võrrandis:

A =1; b = 3; c= -4. Siin paneme selle kirja:

Näide on peaaegu lahendatud:

See on vastus.

Kõik on väga lihtne. Ja mis sa arvad, et viga on võimatu teha? No jah, kuidas...

Levinuimad vead on segiajamine märgiväärtustega a, b ja c. Või pigem mitte nende märkidega (kus segadusse ajada?), vaid negatiivsete väärtuste asendamisega juurte arvutamise valemis. Siin aitab valemi üksikasjalik salvestamine konkreetsete numbritega. Kui arvutustega on probleeme, tee seda!

Oletame, et peame lahendama järgmise näite:

Siin a = -6; b = -5; c = -1

Oletame, et teate, et saate harva vastuseid esimesel korral.

Noh, ära ole laisk. Lisarea kirjutamine võtab umbes 30 sekundit ja vigade arv väheneb järsult. Nii et me kirjutame üksikasjalikult koos kõigi sulgude ja märkidega:

Tundub uskumatult raske nii hoolikalt välja kirjutada. Kuid see ainult tundub nii. Proovi. No või vali. Mis on parem, kiire või õige? Pealegi teen ma sulle rõõmu. Mõne aja pärast pole enam vaja kõike nii hoolikalt üles kirjutada. See saab iseenesest korda. Eriti kui kasutate praktilisi võtteid, mida kirjeldatakse allpool. Selle hunniku miinustega kurja näite saab lihtsalt ja vigadeta lahendada!

Kuid sageli näevad ruutvõrrandid veidi erinevad. Näiteks nii:

Kas tundsite ära?) Jah! See mittetäielikud ruutvõrrandid.

Mittetäielike ruutvõrrandite lahendamine.

Neid saab lahendada ka üldise valemi abil. Peate lihtsalt õigesti aru saama, millega need siin on võrdsed. a, b ja c.

Kas olete sellest aru saanud? Esimeses näites a = 1; b = -4; A c? Seda pole seal üldse! No jah, see on õige. Matemaatikas tähendab see seda c = 0 ! See on kõik. Selle asemel asendage valemis null c, ja meil õnnestub. Sama ka teise näitega. Ainult meil pole siin nulli Koos, A b !

Kuid mittetäielikke ruutvõrrandeid saab lahendada palju lihtsamalt. Ilma ühegi valemita. Vaatleme esimest mittetäielikku võrrandit. Mida saab vasakul küljel teha? X võib sulgudest välja võtta! Võtame selle välja.

Ja mis sellest? Ja see, et korrutis võrdub nulliga siis ja ainult siis, kui mõni tegur on null! Ei usu mind? Olgu, siis mõtle välja kaks nullist erinevat arvu, mis korrutatuna annavad nulli!
Ei tööta? See on kõik...
Seetõttu võime julgelt kirjutada: x 1 = 0, x 2 = 4.

Kõik. Need on meie võrrandi juured. Mõlemad sobivad. Asendades ükskõik millise neist algsesse võrrandisse, saame õige identiteedi 0 = 0. Nagu näete, on lahendus palju lihtsam kui üldvalemi kasutamine. Lubage mul muide märkida, milline X on esimene ja milline teine ​​- täiesti ükskõikne. Mugav on kirjutada järjekorras, x 1- mis on väiksem ja x 2- see, mis on suurem.

Teise võrrandi saab lahendada ka lihtsalt. Liigutage 9 paremale küljele. Saame:

Jääb üle ainult juur 9-st eraldada ja ongi kõik. Selgub:

Samuti kaks juurt . x 1 = -3, x 2 = 3.

Nii lahendatakse kõik mittetäielikud ruutvõrrandid. Kas asetades X sulgudest välja või lihtsalt nihutades numbrit paremale ja eraldades seejärel juure.
Neid tehnikaid on äärmiselt raske segi ajada. Lihtsalt sellepärast, et esimesel juhul peate välja võtma X-i juure, mis on kuidagi arusaamatu, ja teisel juhul pole sulgudest midagi välja võtta...

Diskrimineeriv. Diskrimineeriv valem.

Maagiline sõna diskrimineeriv ! Harva mõni gümnaasiumiõpilane pole seda sõna kuulnud! Fraas „lahendame diskrimineerija kaudu” äratab usaldust ja kindlustunnet. Sest diskrimineerijalt pole vaja trikke oodata! Seda on lihtne ja probleemivaba kasutada.) Tuletan meelde kõige üldisemat lahendamise valemit ükskõik milline ruutvõrrandid:

Juuremärgi all olevat väljendit nimetatakse diskriminandiks. Tavaliselt tähistatakse diskrimineerijat tähega D. Diskrimineeriv valem:

D = b2-4ac

Ja mis on selles väljendis nii tähelepanuväärset? Miks see erilist nime vääris? Mida diskrimineerija tähendus? Pealegi -b, või 2a selles valemis ei nimeta nad seda konkreetselt millekski... Tähed ja tähed.

Siin on asi. Selle valemi abil ruutvõrrandi lahendamisel on see võimalik ainult kolm juhtumit.

1. Diskriminant on positiivne. See tähendab, et juurt saab sellest eraldada. Kas juur on hästi või halvasti välja võetud, on teine ​​küsimus. Oluline on see, mis põhimõtteliselt välja võetakse. Siis on teie ruutvõrrandil kaks juurt. Kaks erinevat lahendust.

2. Diskriminant on null. Siis on teil üks lahendus. Kuna lugejas nulli liitmine või lahutamine ei muuda midagi. Rangelt võttes pole see üks juur, vaid kaks identset. Aga sisse lihtsustatud versioon, on kombeks rääkida üks lahendus.

3. Diskriminant on negatiivne. Negatiivse arvu ruutjuurt ei saa võtta. No okei. See tähendab, et lahendusi pole.

Ausalt öeldes, millal lihtne lahendus ruutvõrrandid, ei ole diskriminandi mõiste eriti vajalik. Asendame koefitsientide väärtused valemisse ja loendame. Kõik toimub seal iseenesest, kaks juurt, üks ja mitte ükski. Keerulisemate ülesannete lahendamisel aga teadmisteta diskriminandi tähendus ja valem mitte piisavalt. Eriti parameetritega võrrandites. Sellised võrrandid on vigurlend riigieksami ja ühtse riigieksami jaoks!)

Niisiis, kuidas lahendada ruutvõrrandid läbi diskrimineerija, mis sulle meelde jäi. Või õppisite, mis pole samuti halb.) Oskate õigesti määrata a, b ja c. Kas sa tead, kuidas? tähelepanelikult asendage need juurvalemis ja tähelepanelikult loe tulemust. Saate aru, et võtmesõna siin on tähelepanelikult?

Nüüd pange tähele praktilisi võtteid, mis vähendavad oluliselt vigade arvu. Needsamad, mis on tingitud tähelepanematusest... Mille pärast muutub see hiljem valusaks ja solvavaks...

Esimene kohtumine . Ärge olge laisk enne ruutvõrrandi lahendamist ja viige see standardvormi. Mida see tähendab?
Oletame, et pärast kõiki teisendusi saate järgmise võrrandi:

Ärge kiirustage juurvalemi kirjutamisega! Peaaegu kindlasti ajate koefitsiendid segamini a, b ja c. Koostage näide õigesti. Esiteks X ruudus, siis ilma ruuduta, siis vaba termin. Nagu nii:

Ja veelkord, ärge kiirustage! Miinus X ruudu ees võib sind tõsiselt häirida. Lihtne on unustada... Vabane miinusest. Kuidas? Jah, nagu eelmises teemas õpetati! Peame kogu võrrandi korrutama -1-ga. Saame:

Nüüd aga võid julgelt juurte valemi kirja panna, diskriminandi arvutada ja näite lahendamise lõpetada. Otsustage ise. Nüüd peaksid teil olema juured 2 ja -1.

Vastuvõtt teine. Kontrollige juuri! Vastavalt Vieta teoreemile. Ärge kartke, ma selgitan kõik! Kontrollimine viimane asi võrrand. Need. mida kasutasime juurvalemi kirja panemiseks. Kui (nagu selles näites) koefitsient a = 1, juurte kontrollimine on lihtne. Piisab nende korrutamisest. Tulemuseks peaks olema vabaliige, st. meie puhul -2. Pange tähele, mitte 2, vaid -2! Vaba liige oma märgiga . Kui see ei õnnestu, tähendab see, et nad on juba kuskil sassi läinud. Otsige viga.

Kui see töötab, peate juured lisama. Viimane ja viimane kontroll. Koefitsient peaks olema b Koos vastupidine tuttav. Meie puhul -1+2 = +1. Koefitsient b, mis on enne X, on võrdne -1. Niisiis, kõik on õige!
Kahju, et see on nii lihtne ainult näidete puhul, kus x ruudus on puhas koefitsiendiga a = 1. Kuid vähemalt kontrollige selliseid võrrandeid! Kõik vähem vigu tahe.

Vastuvõtt kolmas . Kui teie võrrandil on murdosakoefitsiendid, vabanege murdudest! Korrutage võrrand ühise nimetajaga, nagu on kirjeldatud õppetükis "Kuidas võrrandeid lahendada? Identiteedi teisendused". Murdudega töötades hiilivad vead millegipärast sisse...

Muide, ma lubasin kurja näite lihtsustada hunniku miinustega. Palun! Siin ta on.

Et mitte miinustest segadusse sattuda, korrutame võrrandi -1-ga. Saame:

See on kõik! Lahendamine on nauding!

Niisiis, võtame teema kokku.

Praktilised nõuanded:

1. Enne lahendamist viime ruutvõrrandi standardkujule ja koostame selle Õige.

2. Kui X ruudu ees on negatiivne koefitsient, siis elimineerime selle, korrutades kogu võrrandi -1-ga.

3. Kui koefitsiendid on murdarvulised, siis elimineerime murrud, korrutades kogu võrrandi vastava teguriga.

4. Kui x ruut on puhas, selle koefitsient on võrdne ühega, saab lahendit hõlpsasti kontrollida Vieta teoreemi abil. Tee seda!

Nüüd saame otsustada.)

Lahenda võrrandid:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2)

Vastused (segaduses):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0,5

x - suvaline arv

x 1 = -3
x 2 = 3

lahendusi pole

x 1 = 0,25
x 2 = 0,5

Kas kõik sobib? Suurepärane! Ruutvõrrandid pole teie peavalu. Esimesed kolm töötasid, aga ülejäänud mitte? Siis pole probleem ruutvõrrandites. Probleem seisneb võrrandite identsetes teisendustes. Vaata linki, see on abiks.

Ei tule päris välja? Või ei tule see üldse välja? Siis aitab sind paragrahv 555. Kõik need näited on seal ära liigendatud. Näidatud peamine vead lahenduses. Loomulikult räägime ka identsete teisenduste kasutamisest erinevate võrrandite lahendamisel. Aitab palju!

Kui teile meeldib see sait...

Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)

Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õpime - huviga!)

Saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.

Jätkame teema uurimist " võrrandite lahendamine" Lineaarvõrranditega oleme juba tuttavaks saanud ja liigume edasi tutvumise juurde ruutvõrrandid.

Esiteks vaatleme, mis on ruutvõrrand, kuidas seda üldkujul kirjutatakse ja anname sellega seotud definitsioonid. Pärast seda uurime näidete abil üksikasjalikult, kuidas lahendatakse mittetäielikud ruutvõrrandid. Järgmisena liigume täisvõrrandite lahendamise juurde, saame juurvalemi, tutvume ruutvõrrandi diskriminandiga ja kaalume lahendusi tüüpnäidetele. Lõpuks jälgime juurte ja koefitsientide vahelisi seoseid.

Leheküljel navigeerimine.

Mis on ruutvõrrand? Nende tüübid

Kõigepealt peate selgelt mõistma, mis on ruutvõrrand. Seetõttu on loogiline alustada vestlust ruutvõrrandi kohta ruutvõrrandi definitsioonist, aga ka sellega seotud definitsioonidest. Pärast seda võite kaaluda ruutvõrrandite peamisi tüüpe: taandatud ja taandamata, samuti täielikke ja mittetäielikke võrrandeid.

Ruutvõrrandite definitsioon ja näited

Definitsioon.

Ruutvõrrand on vormi võrrand a x 2 +b x+c=0, kus x on muutuja, a, b ja c on mõned arvud ning a on nullist erinev.

Ütleme kohe, et ruutvõrrandeid nimetatakse sageli teise astme võrranditeks. See on tingitud asjaolust, et ruutvõrrand on algebraline võrrand teine ​​aste.

Esitatud definitsioon võimaldab tuua näiteid ruutvõrranditest. Seega 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0 jne. Need on ruutvõrrandid.

Definitsioon.

Numbrid a, b ja c nimetatakse ruutvõrrandi koefitsiendid a·x 2 +b·x+c=0 ja koefitsienti a nimetatakse esimeseks ehk suurimaks või koefitsiendiks x 2, b on teine ​​koefitsient või x koefitsient ja c on vaba liige .

Näiteks võtame ruutvõrrandi kujul 5 x 2 −2 x −3=0, siin on juhtkoefitsient 5, teine ​​koefitsient on võrdne −2 ja vaba liige −3. Pange tähele, et kui koefitsiendid b ja/või c on negatiivsed, nagu just toodud näites, on ruutvõrrandi lühivorm 5 x 2 −2 x −3=0, mitte 5 x 2 +(−2 ) ·x+(−3)=0 .

Väärib märkimist, et kui koefitsiendid a ja/või b on võrdsed 1 või −1, siis neid ruutvõrrandis tavaliselt otseselt ei esine, mis on tingitud selliste kirjutamise iseärasustest. Näiteks ruutvõrrandis y 2 −y+3=0 on juhtiv koefitsient üks ja y koefitsient on võrdne −1.

Redutseeritud ja taandamata ruutvõrrandid

Sõltuvalt juhtkoefitsiendi väärtusest eristatakse redutseeritud ja taandamata ruutvõrrandid. Anname vastavad definitsioonid.

Definitsioon.

Nimetatakse ruutvõrrand, mille juhtkoefitsient on 1 antud ruutvõrrand. Muidu ruutvõrrand on puutumata.

Vastavalt see määratlus, ruutvõrrandid x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0 jne. – antud juhul on esimene koefitsient võrdne ühega. A 5 x 2 −x−1=0 jne. - redutseerimata ruutvõrrandid, nende juhtkoefitsiendid erinevad 1-st.

Mis tahes taandamata ruutvõrrandist, jagades mõlemad pooled juhtiva koefitsiendiga, saate minna redutseeritud koefitsiendini. See toiming on samaväärne teisendus, see tähendab, et sel viisil saadud taandatud ruutvõrrandil on samad juured, mis algsel taandamata ruutvõrrandil, või nagu sellel pole juuri.

Vaatame näidet selle kohta, kuidas toimub üleminek taandamata ruutvõrrandilt redutseeritud võrrandile.

Näide.

Võrrandist 3 x 2 +12 x−7=0 minge vastava taandatud ruutvõrrandi juurde.

Lahendus.

Peame lihtsalt jagama algse võrrandi mõlemad pooled juhtiva koefitsiendiga 3, see on nullist erinev, et saaksime selle toimingu sooritada. Meil on (3 x 2 +12 x-7):3=0:3, mis on sama, (3 x 2):3+(12 x):3-7:3=0 ja siis (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, kust . Nii saime redutseeritud ruutvõrrandi, mis on samaväärne algse võrrandiga.

Vastus:

Täielikud ja mittetäielikud ruutvõrrandid

Ruutvõrrandi definitsioon sisaldab tingimust a≠0. See tingimus on vajalik selleks, et võrrand a x 2 + b x + c = 0 oleks ruutkeskne, kuna kui a = 0, muutub see tegelikult lineaarvõrrandiks kujul b x + c = 0.

Mis puudutab koefitsiente b ja c, siis need võivad olla võrdsed nulliga nii eraldi kui ka koos. Nendel juhtudel nimetatakse ruutvõrrandit mittetäielikuks.

Definitsioon.

Nimetatakse ruutvõrrand a x 2 +b x+c=0 mittetäielik, kui vähemalt üks koefitsientidest b, c on võrdne nulliga.

Omakorda

Definitsioon.

Täielik ruutvõrrand on võrrand, milles kõik koefitsiendid erinevad nullist.

Selliseid nimesid ei pandud juhuslikult. See selgub järgmistest aruteludest.

Kui koefitsient b on null, on ruutvõrrand kujul a·x 2 +0·x+c=0 ja see on võrdne võrrandiga a·x 2 +c=0. Kui c=0, st ruutvõrrand on kujul a·x 2 +b·x+0=0, siis saab selle ümber kirjutada kujul a·x 2 +b·x=0. Ja b=0 ja c=0 korral saame ruutvõrrandi a·x 2 =0. Saadud võrrandid erinevad täisruutvõrrandist selle poolest, et nende vasakpoolsed küljed ei sisalda ei muutujaga x ega vaba liiget ega mõlemat. Sellest ka nende nimi – mittetäielikud ruutvõrrandid.

Seega on võrrandid x 2 +x+1=0 ja −2 x 2 −5 x+0,2=0 täielike ruutvõrrandite näited ja x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 on mittetäielikud ruutvõrrandid.

Mittetäielike ruutvõrrandite lahendamine

Eelmises lõigus esitatud teabest järeldub, et on olemas kolme tüüpi mittetäielikud ruutvõrrandid:

• a·x 2 =0, sellele vastavad koefitsiendid b=0 ja c=0;
• ax2 +c=0, kui b=0;
• ja a·x 2 +b·x=0, kui c=0.

Uurime järjekorras, kuidas lahendatakse igat tüüpi mittetäielikud ruutvõrrandid.

a x 2 =0

Alustame mittetäielike ruutvõrrandite lahendamisega, milles koefitsiendid b ja c on võrdsed nulliga, st võrranditega kujul a x 2 =0. Võrrand a·x 2 =0 on samaväärne võrrandiga x 2 =0, mis saadakse originaalist, jagades mõlemad osad nullist erineva arvuga a. Ilmselgelt on võrrandi x 2 =0 juur null, kuna 0 2 =0. Sellel võrrandil pole muid juuri, mis on seletatav sellega, et iga nullist erineva arvu p korral kehtib ebavõrdsus p 2 >0, mis tähendab, et p≠0 korral ei saavutata kunagi võrdust p 2 =0.

Seega on mittetäielikul ruutvõrrandil a·x 2 =0 üks juur x=0.

Näitena anname lahenduse mittetäielikule ruutvõrrandile −4 x 2 =0. See on ekvivalentne võrrandiga x 2 =0, selle ainus juur on x=0, seetõttu on algvõrrandil üks juurnull.

Lühilahenduse saab sel juhul kirjutada järgmiselt:
−4 x 2 =0,
x 2 =0,
x=0.

a x 2 + c=0

Nüüd vaatame, kuidas lahendatakse mittetäielikud ruutvõrrandid, milles koefitsient b on null ja c≠0, st võrrandid kujul a x 2 +c=0. Teame, et võrrandi ühelt küljelt teisele nihutamine vastupidise märgiga, samuti võrrandi mõlema poole jagamine nullist erineva arvuga annab samaväärse võrrandi. Seetõttu saame mittetäieliku ruutvõrrandi a x 2 +c=0 ekvivalentsed teisendused läbi viia:

• liigutage c paremale, mis annab võrrandi a x 2 =-c,
• ja jagame mõlemad pooled a-ga, saame .

Saadud võrrand võimaldab teha järeldusi selle juurte kohta. Olenevalt a ja c väärtustest võib avaldise väärtus olla negatiivne (näiteks kui a=1 ja c=2, siis ) või positiivne (näiteks kui a=-2 ja c=6, siis ), ei ole see võrdne nulliga , kuna tingimusel c≠0. Vaatame juhtumeid eraldi.

Kui , siis võrrandil pole juuri. See väide tuleneb asjaolust, et mis tahes arvu ruut on mittenegatiivne arv. Sellest järeldub, et kui , siis suvalise arvu p puhul ei saa võrdsus olla tõene.

Kui , siis võrrandi juurtega on olukord erinev. Sel juhul, kui me mäletame umbes , siis ilmneb kohe võrrandi juur, see on arv, kuna . Lihtne on arvata, et arv on ka võrrandi juur, tõepoolest. Sellel võrrandil pole muid juuri, mida saab näidata näiteks vastuoluga. Teeme seda.

Tähistame äsja väljakuulutatud võrrandi juurteks x 1 ja −x 1 . Oletame, et võrrandil on veel üks juur x 2, mis erineb näidatud juurtest x 1 ja −x 1. On teada, et selle juurte asendamine võrrandiga x asemel muudab võrrandi õigeks arvuliseks võrrandiks. x 1 ja −x 1 jaoks on meil , ja x 2 jaoks on meil . Arvvõrduste omadused võimaldavad teostada õigete arvuliste võrratuste terminihaaval lahutamist, seega võrduse vastavate osade lahutamine annab x 1 2 −x 2 2 =0. Arvudega tehte omadused võimaldavad meil saadud võrrandi ümber kirjutada kujul (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Teame, et kahe arvu korrutis on võrdne nulliga siis ja ainult siis, kui vähemalt üks neist on võrdne nulliga. Seetõttu järeldub saadud võrrandist, et x 1 −x 2 =0 ja/või x 1 +x 2 =0, mis on sama, x 2 =x 1 ja/või x 2 = −x 1. Nii jõudsime vastuoluni, kuna alguses ütlesime, et võrrandi x 2 juur erineb x 1 ja −x 1 omast. See tõestab, et võrrandil pole muid juuri peale ja .

Teeme selles lõigus toodud teabe kokkuvõtte. Mittetäielik ruutvõrrand a x 2 +c=0 on samaväärne võrrandiga, mis

• tal pole juuri, kui
• on kaks juurt ja kui .

Vaatleme näiteid mittetäielike ruutvõrrandite lahendamisest kujul a·x 2 +c=0.

Alustame ruutvõrrandiga 9 x 2 +7=0. Pärast vaba liikme liigutamist võrrandi paremale poolele saab see kujul 9 x 2 =−7. Jagades saadud võrrandi mõlemad pooled 9-ga, jõuame . Kuna paremal pool on negatiivne arv, pole sellel võrrandil juuri, seega pole algsel mittetäielikul ruutvõrrandil 9 x 2 +7 = 0 juuri.

Lahendame veel ühe mittetäieliku ruutvõrrandi −x 2 +9=0. Nihutame üheksa paremale poole: −x 2 =−9. Nüüd jagame mõlemad pooled −1-ga, saame x 2 =9. Paremal pool on positiivne arv, millest järeldame, et või . Seejärel kirjutame üles lõpliku vastuse: mittetäielikul ruutvõrrandil −x 2 +9=0 on kaks juurt x=3 või x=−3.

a x 2 +b x=0

Jääb üle lahendada viimast tüüpi mittetäielikud ruutvõrrandid c=0 korral. Mittetäielikud ruutvõrrandid kujul a x 2 + b x = 0 võimaldavad lahendada faktoriseerimise meetod. Ilmselgelt saame võrrandi vasakul küljel asudes, mille jaoks piisab, kui võtta sulgudest välja ühistegur x. See võimaldab meil liikuda algselt mittetäielikult ruutvõrrandilt ekvivalentsele võrrandile kujul x·(a·x+b)=0. Ja see võrrand on ekvivalentne kahe võrrandi hulgaga x=0 ja a·x+b=0, millest viimane on lineaarne ja mille juur on x=-b/a.

Seega on mittetäielikul ruutvõrrandil a·x 2 +b·x=0 kaks juurt x=0 ja x=−b/a.

Materjali koondamiseks analüüsime konkreetse näite lahendust.

Näide.

Lahenda võrrand.

Lahendus.

Võttes x välja sulgudest, saadakse võrrand . See on võrdne kahe võrrandiga x=0 ja . Lahendame selle, mis meil on lineaarvõrrand: , ja jagades segaarvu hariliku murruga, leiame . Seetõttu on algvõrrandi juurteks x=0 ja .

Pärast vajaliku praktika omandamist võib selliste võrrandite lahendused lühidalt kirjutada:

Vastus:

x=0 , .

Diskriminant, ruutvõrrandi juurte valem

Ruutvõrrandite lahendamiseks on juurvalem. Paneme selle kirja ruutvõrrandi juurte valem: , Kus D=b 2 −4 a c- nn ruutvõrrandi diskriminant. Kirje tähendab sisuliselt seda, et .

Kasulik on teada, kuidas juurvalem tuletati ja kuidas seda ruutvõrrandite juurte leidmisel kasutatakse. Mõtleme selle välja.

Ruutvõrrandi juurte valemi tuletamine

Peame lahendama ruutvõrrandi a·x 2 +b·x+c=0. Teeme mõned samaväärsed teisendused:

• Võime jagada selle võrrandi mõlemad pooled nullist erineva arvuga a, mille tulemuseks on järgmine ruutvõrrand.
• Nüüd vali terve ruut selle vasakul küljel: . Pärast seda võtab võrrand kuju .
• Selles etapis on võimalik kaks viimast terminit vastupidise märgiga paremale poole üle kanda, meil on .
• Ja teisendame ka paremal küljel olevat väljendit: .

Selle tulemusena jõuame võrrandini, mis on ekvivalentne algse ruutvõrrandiga a·x 2 +b·x+c=0.

Oleme juba eelmistes lõikudes, kui uurisime, lahendanud vormilt sarnaseid võrrandeid. See võimaldab meil teha võrrandi juurte kohta järgmised järeldused:

• kui , siis võrrandil pole reaalseid lahendeid;
• kui , siis võrrandil on vorm , seega, , millest on nähtav selle ainus juur;
• kui , siis või , mis on sama kui või , see tähendab, et võrrandil on kaks juurt.

Seega sõltub võrrandi juurte ja seega ka algse ruutvõrrandi olemasolu või puudumine parempoolse avaldise märgist. Selle avaldise märgi määrab omakorda lugeja märk, kuna nimetaja 4·a 2 on alati positiivne, see tähendab avaldise b 2 −4·a·c märgiga. Seda avaldist kutsuti b 2 −4 a c ruutvõrrandi diskriminant ja määratud kirjaga D. Siit on diskrimineerija olemus selge - selle väärtuse ja märgi põhjal järeldavad nad, kas ruutvõrrandil on reaalsed juured ja kui on, siis milline on nende arv - üks või kaks.

Tuleme tagasi võrrandi juurde ja kirjutame selle ümber, kasutades diskrimineerivat tähistust: . Ja me teeme järeldused:

• kui D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• kui D=0, siis sellel võrrandil on üks juur;
• lõpuks, kui D>0, siis võrrandil on kaks juurt või, mille saab ümber kirjutada kujule või ning peale murdude laiendamist ja ühisnimetajasse toomist saame.

Nii tuletasime ruutvõrrandi juurte valemid, need näevad välja sellised, kus diskriminant D arvutatakse valemiga D=b 2 −4·a·c.

Nende abiga saate positiivse diskriminandi abil arvutada ruutvõrrandi mõlemad reaaljuured. Kui diskriminant on võrdne nulliga, annavad mõlemad valemid juure sama väärtuse, mis vastab ruutvõrrandi ainulaadsele lahendile. Ja negatiivse diskriminandi korral seisame ruutvõrrandi juurte valemi kasutamisel silmitsi ekstraheerimisega ruutjuur negatiivsest arvust, mis viib meid kaugemale ja kooli õppekava. Negatiivse diskriminandi korral pole ruutvõrrandil tegelikke juuri, kuid sellel on paar kompleksne konjugaat juured, mida saab leida samade juurvalemite abil, mille saime.

Algoritm ruutvõrrandite lahendamiseks juurvalemite abil

Praktikas saab ruutvõrrandite lahendamisel nende väärtuste arvutamiseks kohe kasutada juurvalemit. Kuid see on rohkem seotud keerukate juurte leidmisega.

Siiski sisse koolikursus algebra tavaliselt me räägime mitte keeruliste, vaid ruutvõrrandi tegelike juurte kohta. Sel juhul on soovitatav enne ruutvõrrandi juurte valemite kasutamist kõigepealt leida diskriminant, veenduda, et see pole negatiivne (muidu võime järeldada, et võrrandil pole reaalseid juuri), ja alles siis arvutage juurte väärtused.

Ülaltoodud põhjendus lubab meil kirjutada ruutvõrrandi lahendamise algoritm. Ruutvõrrandi a x 2 +b x+c=0 lahendamiseks peate:

• kasutades diskriminantvalemit D=b 2 −4·a·c, arvuta selle väärtus;
• järeldada, et ruutvõrrandil pole reaalseid juuri, kui diskriminant on negatiivne;
• arvutage valemi abil võrrandi ainus juur, kui D=0;
• leida ruutvõrrandi kaks reaaljuurt juurvalemi abil, kui diskriminant on positiivne.

Siinkohal märgime lihtsalt, et kui diskriminant on võrdne nulliga, võite kasutada ka valemit; see annab sama väärtuse kui .

Võite liikuda näidete juurde ruutvõrrandite lahendamise algoritmi kasutamise kohta.

Näiteid ruutvõrrandite lahendamisest

Vaatleme kolme ruutvõrrandi lahendusi positiivse, negatiivse ja nulldiskriminandiga. Olles käsitlenud nende lahendust, on analoogia põhjal võimalik lahendada mis tahes muu ruutvõrrand. Alustagem.

Näide.

Leia võrrandi x 2 +2·x−6=0 juured.

Lahendus.

Sel juhul on ruutvõrrandi koefitsiendid järgmised: a=1, b=2 ja c=−6. Algoritmi järgi tuleb kõigepealt välja arvutada diskriminant, selleks asendame diskriminandi valemiga näidatud a, b ja c, saame D=b 2 –4·a·c=2 2–4·1·(–6)=4+24=28. Kuna 28>0, see tähendab, et diskriminant on suurem kui null, on ruutvõrrandil kaks reaaljuurt. Leiame need juurvalemi abil, saame , siin saate tekkivaid avaldisi tehes lihtsustada kordaja liigutamine juurmärgist kaugemale millele järgneb fraktsiooni vähendamine:

Vastus:

Liigume järgmise tüüpilise näite juurde.

Näide.

Lahenda ruutvõrrand −4 x 2 +28 x−49=0 .

Lahendus.

Alustame diskrimineerija leidmisega: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Seetõttu on sellel ruutvõrrandil üks juur, mille leiame kui , see tähendab,

Vastus:

x = 3,5.

Jääb üle kaaluda ruutvõrrandite lahendamist negatiivse diskriminandiga.

Näide.

Lahendage võrrand 5·y 2 +6·y+2=0.

Lahendus.

Siin on ruutvõrrandi koefitsiendid: a=5, b=6 ja c=2. Asendame need väärtused diskrimineeriva valemiga, meil on D=b 2 –4·a·c=6 2 –4·5·2=36–40=–4. Diskriminant on negatiivne, seetõttu pole sellel ruutvõrrandil tegelikke juuri.

Kui teil on vaja näidata keerulisi juuri, siis rakendame ruutvõrrandi juurte jaoks tuntud valemit ja teostame toimingud kompleksarvud :

Vastus:

pärisjuuri pole, keerulised juured on: .

Märgime veel kord, et kui ruutvõrrandi diskriminant on negatiivne, siis koolis kirjutatakse tavaliselt kohe kirja vastus, milles märgitakse, et pärisjuuri pole ja keerulisi juuri ei leita.

Juurvalem isegi teise koefitsiendi jaoks

Ruutvõrrandi juurte valem, kus D=b 2 −4·a·c võimaldab saada kompaktsema kujuga valemi, mis võimaldab lahendada ruutvõrrandi x paariskoefitsiendiga (või lihtsalt koefitsient on näiteks kujul 2·n või 14· ln5=2·7·ln5). Toome ta välja.

Oletame, et peame lahendama ruutvõrrandi kujul a x 2 +2 n x+c=0. Leiame selle juured meile teadaoleva valemi abil. Selleks arvutame diskriminandi D = (2 n) 2 -4 a c = 4 n 2 -4 a c = 4 (n 2 -a c), ja seejärel kasutame juurvalemit:

Tähistame avaldist n 2 −a c kui D 1 (mõnikord on see tähistatud D "). Siis saab teise koefitsiendiga 2 n vaadeldava ruutvõrrandi juurte valem kuju , kus D 1 =n 2 −a·c.

On lihtne näha, et D=4·D 1 või D 1 =D/4. Teisisõnu, D 1 on diskriminandi neljas osa. On selge, et D 1 märk on sama, mis D märk. See tähendab, et märk D 1 näitab ka ruutvõrrandi juurte olemasolu või puudumist.

Seega on teise koefitsiendiga 2·n ruutvõrrandi lahendamiseks vaja

• Arvutage D 1 =n 2 −a·c ;
• Kui D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Kui D 1 =0, siis arvutage valemi abil võrrandi ainus juur;
• Kui D 1 >0, siis leia valemi abil kaks reaaljuurt.

Kaaluge näite lahendamist selles lõigus saadud juurvalemi abil.

Näide.

Lahenda ruutvõrrand 5 x 2 −6 x −32=0 .

Lahendus.

Selle võrrandi teist kordajat saab esitada kui 2·(−3) . See tähendab, et saate algse ruutvõrrandi ümber kirjutada kujul 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, siin a=5, n=−3 ja c=−32 ning arvutada välja ruutvõrrandi neljanda osa. diskrimineeriv: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Kuna selle väärtus on positiivne, on võrrandil kaks reaaljuurt. Leiame need vastava juurvalemi abil:

Pange tähele, et ruutvõrrandi juurte jaoks oli võimalik kasutada tavalist valemit, kuid sel juhul tuleks teha rohkem arvutustööd.

Vastus:

Ruutvõrrandite vormi lihtsustamine

Mõnikord, enne ruutvõrrandi juurte arvutamist valemite abil, ei tee paha küsida: "Kas selle võrrandi vormi on võimalik lihtsustada?" Nõus, et arvutustes on ruutvõrrandi 11 x 2 −4 x−6=0 lahendamine lihtsam kui 1100 x 2 −400 x−600=0.

Tavaliselt saavutatakse ruutvõrrandi vormi lihtsustamine, korrutades või jagades mõlemad pooled teatud arvuga. Näiteks eelmises lõigus oli võimalik lihtsustada võrrandit 1100 x 2 −400 x −600=0, jagades mõlemad pooled 100-ga.

Sarnane teisendus viiakse läbi ruutvõrranditega, mille koefitsiendid ei ole . Sel juhul jagatakse võrrandi mõlemad pooled tavaliselt selle koefitsientide absoluutväärtustega. Näiteks võtame ruutvõrrandi 12 x 2 −42 x+48=0. selle koefitsientide absoluutväärtused: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. Jagades algse ruutvõrrandi mõlemad pooled 6-ga, saame ekvivalentse ruutvõrrandi 2 x 2 −7 x+8=0.

Ja ruutvõrrandi mõlema poole korrutamine toimub tavaliselt murdosakoefitsientidest vabanemiseks. Sel juhul korrutatakse selle koefitsientide nimetajatega. Näiteks kui ruutvõrrandi mõlemad pooled korrutada LCM(6, 3, 1)=6, siis saab see lihtsamal kujul x 2 +4·x−18=0.

Selle punkti kokkuvõtteks märgime, et peaaegu alati vabanevad nad ruutvõrrandi kõrgeima koefitsiendi miinusest, muutes kõigi liikmete märke, mis vastab mõlema poole korrutamisele (või jagamisele) -1-ga. Näiteks tavaliselt liigutakse ruutvõrrandilt −2 x 2 −3 x+7=0 lahendusele 2 x 2 +3 x−7=0 .

Ruutvõrrandi juurte ja kordajate vaheline seos

Ruutvõrrandi juurte valem väljendab võrrandi juuri oma kordajate kaudu. Juurevalemi põhjal saate juurte ja koefitsientide vahel muid seoseid.

Vieta teoreemi kõige tuntumad ja rakendatavad valemid on kujul ja . Eelkõige on antud ruutvõrrandi puhul juurte summa võrdne teise vastasmärgiga koefitsiendiga ja juurte korrutis on võrdne vaba liikmega. Näiteks ruutvõrrandi 3 x 2 −7 x + 22 = 0 kuju vaadates võime kohe öelda, et selle juurte summa võrdub 7/3 ja juurte korrutis on võrdne 22-ga. /3.

Kasutades juba kirjutatud valemeid, saate ruutvõrrandi juurte ja kordajate vahel mitmeid muid seoseid. Näiteks saab ruutvõrrandi juurte ruutude summat väljendada selle kordajate kaudu: .

Bibliograafia.

• Algebra:õpik 8. klassi jaoks. Üldharidus institutsioonid / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindjuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toimetanud S. A. Teljakovski. - 16. väljaanne. - M.: Haridus, 2008. - 271 lk. : haige. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovitš A.G. Algebra. 8. klass. Kell 14 1. osa Õpik õpilastele õppeasutused/ A. G. Mordkovitš. - 11. väljaanne, kustutatud. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 lk.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.