Piirangud valmistavad kõigile matemaatikaõpilastele palju vaeva. Piiri lahendamiseks tuleb vahel kasutada palju nippe ja valida erinevate lahendusmeetodite hulgast täpselt see, mis konkreetse näite jaoks sobib.
Selles artiklis me ei aita teil mõista teie võimaluste piire ega mõista kontrolli piire, vaid püüame vastata küsimusele: kuidas mõista kõrgema matemaatika piire? Arusaamine tuleb kogemusega, nii et samal ajal anname mõned üksikasjalikud näited piiride lahendused koos selgitustega.
Piiri mõiste matemaatikas
Esimene küsimus on: mis see piir on ja mille piir? Võime rääkida arvjadade ja funktsioonide piiridest. Meid huvitab funktsiooni piiri mõiste, kuna sellega puutuvad õpilased kõige sagedamini kokku. Kuid kõigepealt - kõige rohkem üldine määratlus piirang:
Oletame, et on mingi muutuv väärtus. Kui see väärtus muutumise protsessis piiramatult läheneb teatud arvule a , See a – selle väärtuse piir.
Teatud intervallis määratletud funktsiooni jaoks f(x)=y sellist arvu nimetatakse limiidiks A , mida funktsioon kaldub millal X , kaldudes teatud punktini A . Punkt A kuulub intervalli, millel funktsioon on määratletud.
See kõlab kohmakalt, kuid see on kirjutatud väga lihtsalt:
Lim- inglise keelest piiri- piirang.
Piirmäära määramisel on ka geomeetriline seletus, kuid siinkohal me teooriasse ei süvene, kuna meid huvitab pigem probleemi praktiline kui teoreetiline pool. Kui me seda ütleme X kaldub mingile väärtusele, see tähendab, et muutuja ei võta arvu väärtust, vaid läheneb sellele lõpmatult lähedale.
Anname konkreetne näide. Ülesanne on leida piir.
Selle näite lahendamiseks asendame väärtuse x=3 funktsiooniks. Saame:
Muide, kui olete huvitatud, lugege sellel teemal eraldi artiklit.
Näidetes X võib kalduda mis tahes väärtusele. See võib olla mis tahes arv või lõpmatus. Siin on näide, millal X kipub lõpmatusse:
See on intuitiivselt selge, mis on mis suurem arv nimetajas, seda väiksema väärtuse funktsioon võtab. Niisiis, piiramatu kasvuga X tähenduses 1/x väheneb ja läheneb nullile.
Nagu näete, peate limiidi lahendamiseks lihtsalt asendama funktsiooni väärtusega, mille poole püüdlete X . See on aga kõige lihtsam juhtum. Tihti pole piiri leidmine nii ilmne. Piirides on tüübi määramatust 0/0 või lõpmatus/lõpmatus . Mida sellistel juhtudel teha? Kasutage trikke!
Ebakindlus sees
Vormi lõpmatus/lõpmatus määramatus
Olgu piirang:
Kui proovime funktsiooniga asendada lõpmatust, saame nii lugejas kui ka nimetajas lõpmatuse. Üldiselt tasub öelda, et selliste ebamäärasuste lahendamisel on teatud kunstielement: tuleb märgata, kuidas saab funktsiooni muuta nii, et määramatus kaoks. Meie puhul jagame lugeja ja nimetaja arvuga X vanemas astmes. Mis juhtub?
Eespool juba käsitletud näitest teame, et terminid, mis sisaldavad nimetajas x, kalduvad nulli. Siis on piiri lahendus:
Tüübi ebakindluse lahendamiseks lõpmatus/lõpmatus jagage lugeja ja nimetaja arvuga X kõrgeimal määral.
Muideks! Meie lugejatele on nüüd 10% allahindlus
Teist tüüpi määramatus: 0/0
Nagu alati, funktsiooni väärtuste asendamine x=-1 annab 0 lugejas ja nimetajas. Vaadake veidi lähemalt ja märkate, et lugejas on ruutvõrrand. Leiame juured ja kirjutame:
Vähendame ja saame:
Seega, kui seisate silmitsi tüübi ebakindlusega 0/0 – arvutage lugeja ja nimetaja.
Näidete lahendamise hõlbustamiseks esitame tabeli mõne funktsiooni piirangutega:
L'Hopitali reegel sees
Teine võimas viis, mis võimaldab kõrvaldada mõlemat tüüpi määramatused. Mis on meetodi olemus?
Kui limiidis on määramatus, võtke lugeja ja nimetaja tuletis, kuni määramatus kaob.
L'Hopitali reegel näeb välja selline:
Oluline punkt : piir, mille jooksul peavad lugeja ja nimetaja asemel olema lugeja ja nimetaja tuletised.
Ja nüüd - tõeline näide:
On tüüpiline ebakindlus 0/0 . Võtame lugeja ja nimetaja tuletised:
Voila, ebakindlus laheneb kiiresti ja elegantselt.
Loodame, et saate seda teavet praktikas kasulikult rakendada ja leida vastuse küsimusele "kuidas lahendada piire kõrgemas matemaatikas". Kui teil on vaja arvutada mingis punktis jada piir või funktsiooni piir, kuid selleks tööks pole absoluutselt aega, võtke kiireks ja kiireks saamiseks ühendust professionaalse üliõpilasteenindusega. üksikasjalik lahendus.
Esimene tähelepanuväärne piir on järgmine võrdsus:
\begin(võrrand)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(võrrand)
Kuna $\alpha\to(0)$ jaoks on meil $\sin\alpha\to(0)$, siis öeldakse, et esimene märkimisväärne piirmäär näitab vormi $\frac(0)(0)$ ebakindlust. Üldiselt võib valemis (1) muutuja $\alpha$ asemel asetada siinusemärgi ja nimetaja alla mis tahes avaldise, kui on täidetud kaks tingimust:
- Siinusmärgi all ja nimetajas olevad avaldised kipuvad üheaegselt nulli, s.t. esineb kuju $\frac(0)(0)$ määramatus.
- Siinusmärgi all ja nimetajas olevad avaldised on samad.
Sageli kasutatakse ka järeldusi esimesest. imeline piir:
\begin(võrrand) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(võrrand) \begin(võrrand) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(võrrand) \begin(võrrand) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(võrrand)
Sellel lehel on lahendatud 11 näidet. Näide nr 1 on pühendatud valemite (2)-(4) tõestamisele. Näited nr 2, nr 3, nr 4 ja nr 5 sisaldavad lahendusi koos üksikasjalike kommentaaridega. Näited nr 6-10 sisaldavad praktiliselt ilma kommentaarideta lahendusi, sest üksikasjalikud selgitused on antud eelmistes näidetes. Lahendus kasutab mõnda trigonomeetrilised valemid mida võib leida.
Lubage mul märkida, et trigonomeetriliste funktsioonide olemasolu koos määramatusega $\frac (0) (0)$ ei tähenda tingimata esimese märkimisväärse piiri rakendamist. Mõnikord piisab lihtsatest trigonomeetrilistest teisendustest – vt näiteks.
Näide nr 1
Tõesta, et $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.
a) Kuna $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$, siis:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$
Kuna $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ ja $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ , See:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$
b) Teeme muudatuse $\alpha=\sin(y)$. Kuna $\sin(0)=0$, siis tingimusest $\alpha\to(0)$ on meil $y\to(0)$. Lisaks on olemas nulli naabruskond, kus $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, seega:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$
Võrdsus $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ on tõestatud.
c) Teeme asenduseks $\alpha=\tg(y)$. Kuna $\tg(0)=0$, siis on tingimused $\alpha\to(0)$ ja $y\to(0)$ samaväärsed. Lisaks on olemas nulli naabruskond, kus $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, seega saame punkti a) tulemuste põhjal:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$
Võrdsus $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ on tõestatud.
Võrdseid a), b), c) kasutatakse sageli koos esimese märkimisväärse piiriga.
Näide nr 2
Arvutage piirang $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4) (x+7))$.
Kuna $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ ja $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, st. ja nii murdu lugeja kui nimetaja kipuvad üheaegselt nulli, siis siin on tegemist määramatusega kujul $\frac(0)(0)$, s.t. tehtud. Lisaks on selge, et siinusmärgi all ja nimetajas olevad avaldised langevad kokku (st ja on täidetud):
Seega on täidetud mõlemad lehe alguses loetletud tingimused. Sellest järeldub, et valem on rakendatav, s.t. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7 ))=1 $.
Vastus: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7))=1 $.
Näide nr 3
Otsige üles $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.
Kuna $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ ja $\lim_(x\to(0))x=0$, siis on tegemist vormi $\frac määramatusega (0)(0)$, s.o. tehtud. Siinusmärgi all ja nimetajas olevad avaldised aga ei lange kokku. Siin peate määraja avaldise kohandama nõutav vorm. Vajame, et avaldis $9x$ oleks nimetajas, siis muutub see tõeseks. Põhimõtteliselt on meil nimetajast puudu koefitsient 9 dollarit, mida pole nii raske sisestada – lihtsalt korrutage nimetaja avaldis 9 dollariga. Loomulikult, et kompenseerida korrutamist $9$-ga, peate kohe jagama $9$-ga:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x)$$
Nüüd langevad nimetajas ja siinusmärgi all olevad avaldised kokku. Mõlemad piirangu $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ tingimused on täidetud. Seetõttu $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. Ja see tähendab, et:
$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$
Vastus: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.
Näide nr 4
Otsige üles $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.
Kuna $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ ja $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, siis siin on tegemist vormi määramatusega $\frac(0)(0)$. Küll aga rikutakse esimese tähelepanuväärse piiri vormi. Lugeja, mis sisaldab väärtust $\sin(5x)$, nõuab nimetajat $5x$. Sellises olukorras on lihtsaim viis jagada lugeja $5x$-ga ja korrutada kohe $5x$-ga. Lisaks teostame sarnase toimingu nimetajaga, korrutades ja jagades $\tg(8x)$ $8x$-ga:
$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$
Vähendades $x$ võrra ja võttes konstanti $\frac(5)(8)$ väljaspool piirmärki, saame:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$
Pange tähele, et $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ vastab täielikult esimese märkimisväärse limiidi nõuetele. $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ leidmiseks on rakendatav järgmine valem:
$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$
Vastus: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.
Näide nr 5
Otsige üles $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.
Kuna $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (pidage meeles, et $\cos(0)=1$) ja $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, siis on tegemist vormi $\frac(0)(0)$ määramatusega. Esimese tähelepanuväärse piiri rakendamiseks tuleks aga lugejas koosinusest lahti saada, liikudes edasi siinustele (et seejärel valemit rakendada) või puutujatele (valemi rakendamiseks). Seda saab teha järgmise teisendusega:
$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$
Lähme tagasi piiri juurde:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\parem) $$
Murd $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ on juba esimese tähelepanuväärse limiidi jaoks vajaliku vormi lähedal. Töötame veidi murdosaga $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$, kohandades selle esimese tähelepanuväärse piirini (pange tähele, et lugejas ja siinuse all olevad avaldised peavad ühtima):
$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$
Tuleme tagasi kõnealuse piiri juurde:
$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0) ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$
Vastus: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.
Näide nr 6
Leidke piirang $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.
Kuna $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ ja $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, siis tegemist on määramatusega $\frac(0)(0)$. Avaldagem see esimese tähelepanuväärse piiri abil. Selleks liigume koosinustelt siinustele. Kuna $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, siis:
$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$
Antud limiidis siinustele üle minnes saame:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x) \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$
Vastus: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.
Näide nr 7
Arvutage piirang $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ vastavalt $\alpha\neq \ beeta$.
Üksikasjalikud selgitused on antud varem, kuid siinkohal märgime lihtsalt, et jällegi on ebakindlus $\frac(0)(0)$. Liigume valemi abil koosinustelt siinustele
$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$
Seda valemit kasutades saame:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\paremale| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beeta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta) )(2)\right)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alfa^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$
Vastus: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alfa^2)(2)$.
Näide nr 8
Leidke piirang $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.
Kuna $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (pidage meeles, et $\sin(0)=\tg(0)=0$) ja $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, siis siin on tegemist vormi $\frac(0)(0)$ määramatusega. Jaotame selle järgmiselt:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\right)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) =\frac(1)(2). $$
Vastus: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.
Näide nr 9
Leidke piirang $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.
Kuna $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ ja $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, siis esineb kuju $\frac(0)(0)$ määramatus. Enne selle laiendamist on mugav muuta muutujat nii, et uus muutuja kaldub nulli (pange tähele, et valemites on muutuja $\alpha \to 0$). Lihtsaim viis on sisse viia muutuja $t=x-3$. Edasiste teisenduste mugavuse huvides (see kasu on näha alloleva lahenduse käigus) tasub aga teha järgmine asendus: $t=\frac(x-3)(2)$. Märgin, et sel juhul on rakendatavad mõlemad asendused, lihtsalt teine asendus võimaldab teil murdosadega vähem töötada. Alates $x\to(3)$, siis $t\to(0)$.
$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\parem| =\left|\begin(joondatud)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(joondatud)\paremale| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$
Vastus: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.
Näide nr 10
Leidke piirang $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2) $.
Taas on tegemist määramatusega $\frac(0)(0)$. Enne selle laiendamist on mugav muuta muutujat nii, et uus muutuja kipub nulli (pange tähele, et valemites on muutuja $\alpha\to(0)$). Lihtsaim viis on sisse viia muutuja $t=\frac(\pi)(2)-x$. Alates $x\to\frac(\pi)(2)$, siis $t\to(0)$:
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\left|\frac(0)(0)\right| =\left|\begin(joondatud)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(joondatud)\paremale| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$
Vastus: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.
Näide nr 11
Leidke piirangud $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2) \ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.
Sel juhul ei pea me kasutama esimest imelist piiri. Pange tähele, et nii esimene kui ka teine limiit sisaldavad ainult trigonomeetrilisi funktsioone ja numbreid. Sageli on sellistes näidetes võimalik lihtsustada piirmärgi all olevat väljendit. Pealegi kaob pärast eelmainitud lihtsustamist ja mõningate tegurite vähendamist ebakindlus. Selle näite tõin ainult ühel eesmärgil: näidata, et trigonomeetriliste funktsioonide olemasolu piirmärgi all ei tähenda tingimata esimese tähelepanuväärse piiri kasutamist.
Kuna $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (pidage meeles, et $\sin\frac(\pi)(2)=1$) ja $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (tuletan teile meelde, et $\cos\frac(\pi)(2)=0$), siis on meil tegeleb vormi $\frac(0)(0)$ määramatusega. See aga ei tähenda, et me peaksime kasutama esimest imelist piiri. Ebakindluse paljastamiseks piisab, kui arvestada, et $\cos^2x=1-\sin^2x$:
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$
Sarnane lahendus on ka Demidovitši lahendusraamatus (nr 475). Teise piirangu osas, nagu ka selle jaotise eelmistes näidetes, on meil määramatus kujul $\frac(0)(0)$. Miks see tekib? See tekib seetõttu, et $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ ja $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. Kasutame neid väärtusi lugejas ja nimetajas olevate avaldiste teisendamiseks. Meie tegevuse eesmärk on kirjutada lugejasse ja nimetajasse summa korrutisena. Muide, sageli on sarnase tüübi sees mugav muuta muutujat, mis on tehtud nii, et uus muutuja kipub nulli (vt nt sellel lehel näiteid nr 9 või nr 10). Selles näites pole aga mõtet asendada, kuigi soovi korral pole muutuja $t=x-\frac(2\pi)(3)$ asendamine keeruline.
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin) \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3 ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$
Nagu näha, ei pidanud me esimest imelist limiiti rakendama. Muidugi saate seda teha, kui soovite (vt märkust allpool), kuid see pole vajalik.
Mis on lahendus, kasutades esimest tähelepanuväärset piiri? Näita Peida
Kasutades esimest märkimisväärset piiri, saame:
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ paremal))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$
Vastus: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3)) $.
Funktsiooni piirang- number a on mõne muutuva suuruse piir, kui selle muutumise käigus see muutuv suurus lõputult läheneb a.
Või teisisõnu number A on funktsiooni piir y = f(x) punktis x 0, kui mis tahes punktide jada puhul funktsiooni määratluspiirkonnast , ei ole võrdne x 0, ja mis läheneb punktile x 0 (lim x n = x0), koondub vastavate funktsiooniväärtuste jada numbrile A.
Funktsiooni graafik, mille piirväärtus on võrdne lõpmatuseni kalduva argumendiga L:
Tähendus A on funktsiooni piirväärtus (piirväärtus). f(x) punktis x 0 mis tahes punktijada puhul 
, mis läheneb x 0, kuid mis ei sisalda x 0ühe selle elemendina (st torgatud läheduses x 0), funktsiooni väärtuste jada 
koondub A.
Cauchy funktsiooni piir.
Tähendus A saab funktsiooni piir f(x) punktis x 0 kui ette võetud mittenegatiivse arvu puhul ε leitakse vastav mittenegatiivne arv δ = δ(ε) nii et iga argumendi puhul x, mis vastab tingimusele 0 < | x - x0 | < δ , siis ebavõrdsus rahuldatakse | f(x)A |< ε .
See on väga lihtne, kui mõistate limiidi olemust ja selle leidmise põhireegleid. Mis on funktsiooni piir f (x) juures x poole püüdlemas a võrdub A, on kirjutatud nii:
Lisaks väärtus, milleni muutuja kaldub x, võib olla mitte ainult arv, vaid ka lõpmatus (∞), mõnikord +∞ või -∞ või piirangut ei pruugi üldse olla.
Et mõista, kuidas leida funktsiooni piirid, on kõige parem vaadata lahenduste näiteid.
On vaja leida funktsiooni piirid f (x) = 1/x aadressil:
x→ 2, x→ 0, x→ ∞.
Leiame lahenduse esimesele piirile. Selleks saate lihtsalt asendada x number, millele see kipub, st. 2, saame:
Leiame funktsiooni teise piiri. Asendage siin puhtal kujul selle asemel 0 x see on võimatu, sest Te ei saa 0-ga jagada. Kuid me võime võtta nullilähedased väärtused, näiteks 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 ja nii edasi ning funktsiooni väärtus f (x) suureneb: 100; 1000; 10000; 100 000 ja nii edasi. Seega võib aru saada, et millal x→ 0 piirmärgi all oleva funktsiooni väärtus suureneb piiranguta, s.t. püüdlema lõpmatuse poole. Mis tähendab:
Seoses kolmanda piiriga. Sama olukord nagu eelmisel juhul, seda ei saa asendada ∞ kõige puhtamal kujul. Peame arvestama piiramatu suurendamise juhtumiga x. Asendame 1000 ükshaaval; 10000; 100000 ja nii edasi, meil on see funktsiooni väärtus f (x) = 1/x väheneb: 0,001; 0,0001; 0,00001; ja nii edasi, kaldudes nulli. Sellepärast:
On vaja arvutada funktsiooni piir 
Alustades teise näite lahendamist, näeme ebakindlust. Siit leiame lugeja ja nimetaja kõrgeima astme - see on x 3, võtame selle lugejas ja nimetajas sulgudest välja ning seejärel vähendame seda järgmiselt:
Vastus 
Esimene samm sisse selle piiri leidmine, asendage selle asemel väärtus 1 x, mille tulemuseks on ebakindlus. Selle lahendamiseks faktoriseerime lugeja ja teeme seda juurte leidmise meetodil ruutvõrrand x 2 + 2x - 3:
D = 2 2 - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16→ √ D=√16 = 4
x 1,2 = (-2±4)/2→ x 1 = -3;x 2= 1.
Seega on lugeja järgmine:
Vastus 
See on selle konkreetse väärtuse või teatud ala, kuhu funktsioon langeb, määratlus, mis on piiriga piiratud.
Piirangute lahendamiseks järgige reegleid:
Olles aru saanud olemusest ja peamisest limiidi lahendamise reeglid, Sa saad põhikontseptsioon kuidas neid lahendada.
Funktsioon y = f (x) on seadus (reegel), mille kohaselt on hulga X iga element x seotud hulga Y ühe ja ainult ühe elemendiga y.
Element x ∈ X helistas funktsiooni argument või sõltumatu muutuja.
Element y ∈ Y helistas funktsiooni väärtus või sõltuv muutuja.
Hulk X kutsutakse funktsiooni domeen.
Elementide hulk y ∈ Y, mille komplektis X on eelkujutised, kutsutakse ala või funktsiooni väärtuste komplekt.
Tegelikku funktsiooni nimetatakse ülalt piiratud (altpoolt), kui on selline arv M, et ebavõrdsus kehtib kõigi kohta:
.
Kutsutakse numbrifunktsiooni piiratud, kui on olemas selline arv M, et kõigi jaoks:
.
Ülemine serv või täpne ülemine piir Tegelikku funktsiooni nimetatakse väikseimaks arvuks, mis piirab selle väärtuste vahemikku ülalt. See tähendab, et see on arv s, mille kõigi ja kõigi jaoks on argument, mille funktsiooni väärtus ületab s′: .
Funktsiooni ülemist piiri saab tähistada järgmiselt:
.
Vastavalt alumine serv või täpne alumine piir Reaalfunktsiooni nimetatakse suurimaks arvuks, mis piirab selle väärtuste vahemikku altpoolt. See tähendab, et see on arv i, mille kõigi ja kõigi jaoks on argument, mille funktsiooni väärtus on väiksem kui i′: .
Funktsiooni infimumi saab tähistada järgmiselt:
.
Funktsiooni piiri määramine
Funktsiooni piiri määramine Cauchy järgi
Funktsiooni lõplikud piirid lõpp-punktides
Olgu funktsioon defineeritud mõnes lõpp-punkti läheduses, välja arvatud punkt ise. punktis, kui mõne jaoks on olemas selline asi, olenevalt , et kõigi x puhul, mille puhul kehtib ebavõrdsus
.
Funktsiooni piirang on tähistatud järgmiselt:
.
Või kell .
Kasutades eksistentsi ja universaalsuse loogilisi sümboleid, saab funktsiooni piiri määratluse kirjutada järgmiselt:
.
Ühepoolsed piirid.
Vasakpoolne piir punktis (vasakpoolne piir):
.
Punkti parempoolne piir (parempoolne piir):
.
Vasak- ja parempoolsed piirid on sageli tähistatud järgmiselt:
;
.
Funktsiooni lõplikud piirid lõpmatuse punktides
Piirid lõpmatuse punktides määratakse kindlaks sarnasel viisil.
.
.
.
Neid nimetatakse sageli:
;
;
.
Punkti naabruse mõiste kasutamine
Kui võtta kasutusele punkti punktsiooniga ümbruse mõiste, siis saame anda funktsiooni lõpliku piiri ühtse definitsiooni lõplikes ja lõpmata kaugetes punktides:
.
Siin on lõpp-punktid
;
;
.
Lõpmatuse punktide mis tahes ümbrus torgatakse:
;
;
.
Lõpmatud funktsioonipiirangud
Definitsioon
Olgu funktsioon määratletud punkti mingis punkteeritud ümbruses (lõpmatus või lõpmatuses). Funktsiooni piir f (x) kui x → x 0
võrdub lõpmatusega, kui kellelegi, siis suvaliselt suur number M > 0
, on arv δ M > 0
, olenevalt M-st, et kõigi punktide δ M - punkti naabrusesse kuuluvate x kohta kehtib järgmine ebavõrdsus:
.
Lõpmatu piir on tähistatud järgmiselt:
.
Või kell .
Kasutades eksistentsi ja universaalsuse loogilisi sümboleid, saab funktsiooni lõpmatu piiri määratluse kirjutada järgmiselt:
.
Võite tutvustada ka teatud märkide lõpmatute piiride määratlusi, mis on võrdsed ja :
.
.
Funktsiooni piiri universaalne määratlus
Kasutades punkti naabruse mõistet, saame anda funktsiooni lõpliku ja lõpmatu piiri universaalse definitsiooni, mis on rakendatav nii lõplike (kahe- ja ühepoolsete) kui ka lõpmata kaugete punktide jaoks:
.
Funktsiooni piiri määramine Heine järgi
Olgu funktsioon defineeritud mingil hulgal X:.
Arvu a nimetatakse funktsiooni piiriks punktis:
,
kui mis tahes jada puhul, mis läheneb x-le 0
:
,
mille elemendid kuuluvad hulka X: ,
.
Kirjutame selle määratluse eksistentsi ja universaalsuse loogilisi sümboleid kasutades:
.
Kui me võtame punkti x vasakpoolse ümbruse hulgana X 0 , siis saame vasakpoolse piiri määratluse. Kui see on paremakäeline, saame õige piiri definitsiooni. Kui võtta lõpmatuses oleva punkti naabruskond hulgana X, saame funktsiooni piiri määratluse lõpmatuses.
Teoreem
Funktsiooni piiri Cauchy ja Heine definitsioonid on samaväärsed.
Tõestus
Funktsiooni piiri omadused ja teoreemid
Lisaks eeldame, et vaadeldavad funktsioonid on määratletud punkti vastavas läheduses, milleks on lõplik arv või üks sümbolitest: . See võib olla ka ühepoolne piirpunkt, st olla kujul või . Naabruskond on kahepoolse piirmäära jaoks kahepoolne ja ühepoolse piiri jaoks ühepoolne.
Põhiomadused
Kui funktsiooni f väärtused (x) muuta (või määramata) lõplikku arvu punkte x 1, x 2, x 3, ... x n, siis see muudatus ei mõjuta funktsiooni piiri olemasolu ja väärtust suvalises punktis x 0 .
Kui on olemas lõplik piir, siis on olemas punkti x punkteeritud ümbrus 0
, millel funktsioon f (x) piiratud:
.
Olgu funktsioonil punkt x 0
lõplik nullist erinev piir:
.
Siis on suvalise arvu c korral vahemikust punkt x selline punkteeritud naabruskond 0
, milleks ,
, Kui ;
, Kui.
Kui mõnel punkti naabruskonnal , , on konstant, siis .
Kui punkti x mõnel torgatud ümbruskonnal on lõplikud piirid ja ja 0
,
See .
Kui , Ja mõnel punkti naabruses
,
See .
Eelkõige siis, kui mõne punkti naabruses
,
siis kui , siis ja ;
kui , siis ja .
Kui mõnel punkti x torgatud ümbruskonnal 0
:
,
ja on olemas lõplikud (või teatud märgi lõpmatud) võrdsed piirid:
, See
.
Peamiste omaduste tõendid on toodud lehel
"Funktsiooni piiride põhiomadused."
Funktsiooni piiri aritmeetilised omadused
Olgu funktsioonid ja määratletud punkti mõnes punktsiooniga naabruses. Ja olgu piiratud piirid:
Ja .
Ja olgu C konstant, see tähendab antud number. Siis
;
;
;
, Kui.
Kui siis.
Aritmeetiliste omaduste tõendid on toodud lehel
"Funktsiooni piiride aritmeetilised omadused".
Cauchy kriteerium funktsiooni piiri olemasoluks
Teoreem
Selleks, et funktsioon, mis on defineeritud lõpliku punkti mõnel punkteeritud naabruskonnal või lõpmatuspunktis x 0
, oli selles punktis lõplik piir, on vajalik ja piisav, et iga ε korral > 0
seal oli selline punkti x torgatud naabruskond 0
, et mis tahes punktide ja selle naabruskonna puhul kehtib järgmine ebavõrdsus:
.
Keerulise funktsiooni piir
Teoreem kompleksfunktsiooni piiri kohta
Laske funktsioonil olla piir ja kaardistada punkti läbimurtud naabruskond punkti punkteeritud ümbrusega. Olgu see funktsioon sellel naabruskonnal määratletud ja sellel on piirang.
Siin on viimased või lõpmatult kauged punktid: . Naabruskonnad ja neile vastavad piirid võivad olla kas kahe- või ühepoolsed.
Siis on keerulise funktsiooni piirang ja see on võrdne:
.
Kompleksfunktsiooni piirteoreemi rakendatakse siis, kui funktsioon ei ole punktis defineeritud või selle väärtus erineb piirväärtusest. Selle teoreemi rakendamiseks peab punktis, kus funktsiooni väärtuste hulk punkti ei sisalda, olema punkteeritud naabrus:
.
Kui funktsioon on pidev punktis , saab pideva funktsiooni argumendile rakendada piirmärki:
.
Järgnev on sellele juhtumile vastav teoreem.
Teoreem funktsiooni pidevfunktsiooni piiri kohta
Olgu funktsiooni g limiit (t) nagu t → t 0
, ja see on võrdne x-ga 0
:
.
Siin on punkt t 0
võib olla lõplik või lõpmatult kauge: .
Ja olgu funktsioon f (x) on pidev punktis x 0
.
Siis on kompleksfunktsiooni f piir (g(t)), ja see on võrdne f-ga (x0):
.
Teoreemide tõestused on toodud lehel
"Keerulise funktsiooni piir ja järjepidevus".
Lõpmatult väikesed ja lõpmata suured funktsioonid
Lõpmatult väikesed funktsioonid
Definitsioon
Funktsiooni nimetatakse lõpmatult väikeseks, kui
.
Summa, vahe ja toode Lõpliku arvu lõpmatute väikeste funktsioonide juures on lõpmatult väike funktsioon juures .
Piiratud funktsiooni korrutis mõnel torgatud naabruses punkt , Et lõpmatult väike juures on lõpmatu funktsioon juures .
Selleks, et funktsioonil oleks lõplik piir, on vajalik ja piisav, et
,
kus on infinitesimal funktsioon juures .
"Lõpmata väikeste funktsioonide omadused".
Lõpmatult suured funktsioonid
Definitsioon
Funktsiooni nimetatakse lõpmatult suureks, kui
.
Piiratud funktsiooni summa või erinevus, mõnel punkti naabruses ja lõpmatult suur funktsioon juures on lõpmatult suur funktsioon .
Kui funktsioon on jaoks lõpmatult suur ja funktsioon on piiratud punkti mingi läbitorkatud naabrusega, siis
.
Kui funktsioon , punkti mõnel torgatud naabruses, rahuldab ebavõrdsust:
,
ja funktsioon on lõpmatult väike:
, ja (punkti mõnel torgatud naabruskonnal), siis
.
Omaduste tõendid on esitatud jaotises
"Lõpmatult suurte funktsioonide omadused".
Lõpmatult suurte ja lõpmata väikeste funktsioonide vaheline seos
Kahest eelnevast omadusest tuleneb seos lõpmatult suurte ja lõpmata väikeste funktsioonide vahel.
Kui funktsioon on lõpmatult suur juures , siis funktsioon on lõpmatult väike juures .
Kui funktsioon on , ja jaoks lõpmatult väike, on funktsioon lõpmatult suur.
Lõpmatult väikese ja lõpmata suure funktsiooni suhet saab väljendada sümboolselt:
,
.
Kui lõpmata väikesel funktsioonil on teatud märk punktis , see tähendab, et see on positiivne (või negatiivne) punkti mõnel punkteeritud naabruskonnal, siis saab seda fakti väljendada järgmiselt:
.
Samamoodi, kui lõpmata suurel funktsioonil on teatud märk kohas , kirjutavad nad:
.
Siis saab sümboolset seost lõpmatult väikeste ja lõpmatult suurte funktsioonide vahel täiendada järgmiste seostega:
,
,
,
.
Täiendavad valemid lõpmatuse sümbolite kohta leiate lehelt
"Punktid lõpmatusele ja nende omadused."
Monotoonsete funktsioonide piirid
Definitsioon
Mõnes komplektis määratletud funktsioon reaalarvud X kutsutakse rangelt suurenev, kui kõigi puhul kehtib järgmine ebavõrdsus:
.
Vastavalt sellele, jaoks rangelt vähenemas funktsioon kehtib järgmine ebavõrdsus:
.
Sest mitte-kahanev:
.
Sest mitte suurenev:
.
Sellest järeldub, et ka rangelt kasvav funktsioon ei ole kahanev. Rangelt kahanev funktsioon on ka mittekasv.
Funktsiooni kutsutakse üksluine, kui see ei vähene või ei suurene.
Teoreem
Las funktsioon ei vähene intervallil, kus .
Kui see on ülalt piiratud arvuga M: siis on olemas lõplik piir. Kui ülalt ei piirata, siis .
Kui see on altpoolt piiratud arvuga m: siis on olemas lõplik piir. Kui altpoolt ei piirdu, siis .
Kui punktid a ja b on lõpmatuses, siis avaldistes tähendavad piirmärgid, et .
Seda teoreemi saab sõnastada kompaktsemalt.
Las funktsioon ei vähene intervallil, kus . Siis on punktides a ja b ühepoolsed piirid:
;
.
Sarnane teoreem mittekasvava funktsiooni kohta.
Las funktsioon ei suurene intervallil, kus . Siis on ühepoolsed piirangud:
;
.
Teoreemi tõestus on toodud lehel
"Monotoonsete funktsioonide piirid".
Viited:
L.D. Kudrjavtsev. Matemaatilise analüüsi kursus. 1. köide. Moskva, 2003.
CM. Nikolski. Matemaatilise analüüsi kursus. 1. köide. Moskva, 1983.
